习题11
11-1．直角三角形ABC的A点上，有电荷C
10
8.19
1
-
?
=
q，B点上有电荷C
10
8.49
2
-
?
-
=
q，
试求C点的电场强度(设0.04m
BC=，0.03m
AC=)。
解：1
q在C点产生的场强：
1
12
4
AC
q
E i
r
πε
=
，
2
q在C点产生的场强：
2
22
0BC
q
E j
πε
=
，
∴C点的电场强度：44
12
2.710 1.810
E E E i j
=+=?
+?
；
C点的合场强：4
3.2410V
E m
==?
，
方向如图：
1.8
arctan33.73342'
2.7
α===
。
11-2．用细的塑料棒弯成半径为cm
50的圆环，两端间空隙为cm
2，电量为C
10
12
.39-
?的正电荷均
匀分布在棒上，求圆心处电场强度的大小和方向。
解：∵棒长为
2 3.12
l r d m
π
=-=，
∴电荷线密度：
91
1.010
q C m
l
λ--
==??
可利用补偿法，若有一均匀带电闭合线圈，则圆心处的合场强为0
闭合线圈产生电场再减去m
d02
.0
=长的带电棒在该点产生的场强，即所求问题转化为求缺口处带负电
荷的塑料棒在O点产生的场强。
解法1：利用微元积分：
2
1
cos
4
O x
Rd
dE
R
λθ
θ
πε
=?
，
∴
2
000
cos2sin2
444
O
d
E d
R R R
α
α
λλλ
θθαα
πεπεπε
-
==?≈?=
?1
0.72V m-
=?；
解法2：直接利用点电荷场强公式：
由于d r
<<，该小段可看成点电荷：11
2.010
q d C
λ-
'==?
，
则圆心处场强：
11
91
22
2.010
9.0100.72
4(0.5)
O
q
E V m
R
πε
-
-
'?
==??=?
。
方向由圆心指向缝隙处。
11-3．将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为λ，四分之一圆弧AB的
半径为R，试求圆心O点的场强。
解：以O为坐标原点建立xOy坐标，如图所示。
①对于半无限长导线
A∞在O点的场强：
有：
(cos cos)
42
(sin sin)
42
Ax
A y
E
R
E
R
λπ
π
πε
λπ
π
πε
=-
=-
?
?
?
?
?
??
②对于半无限长导线
B∞在O点的场强：
i
x
x
y
E
有：00(sin sin )42(cos cos )42B x B y E R E R λπππελπππε=-=-?
???
??? ③对于AB 圆弧在O 点的场强：有：
20
00
2000cos (sin sin )442sin (cos cos )442AB x AB y E d R R E d R R π
π
λλπθθππεπελλπθθππεπε==-=??????=--???
∴总场强：
04O x E R λπε=
，04O y E R λπε=，得：0()
4O E i j R λ
πε=+。
或写成场强：0E ==
，方向45
。
11-4．一个半径为R 的均匀带电半圆形环，均匀地带有电荷，电荷的线密度为λ，
。
解：电荷元dq 产生的场为：
2
04d q
d E R
πε=；
根据对称性有：
y
d E
=?，则：
20
0sin sin 4x R d E dE d E R πλθθθπε===???
02R λ
πε=
，
方向沿x 轴正向。即：
02E i R
λπε=
。
11-5．带电细线弯成半径为R 的半圆形，电荷线密度 为
0sin λλ?=，式中0λ为一常数，?为半径R 与x 轴
所成的夹角，如图所示．试求环心O 处的电场强度。
解：如图，
02
00sin 44d dl
dE R R λ??λπεπε==， cos sin x y dE dE dE dE ?
?==?????考虑到对称性，有：0=x E ；
∴2000
0000sin (1cos 2)sin 4428y d d E dE dE R R R π
πλ??λ??πεπεε-=====
???
?，
方向沿
y 轴负向。
11-6．一半径为R 的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ，求球心O 处的电场强度。 解：如图，把球面分割成许多球面环带，环带宽为d l
Rd θ=，所带电荷：2dq r d l πσ=。
利用例11-3结论，有：
3
32
22
22
2
0024()
4()
x dq r xdl
d E x r x r σππεπε?=
=
++λ
∴
3222
02cos sin 4[(sin )(cos )]
R R Rd dE R R σπθθθ
πεθθ???=
+，
化简计算得：
2
1sin 2224E d πσσθθεε=
=?
，∴
4E i σ
ε=
。
11-7．图示一厚度为d 的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为ρ。求板内、外的场强分布，并画出场强随坐标x 变化的图线，即x E
-图线(设原点在带电平板的中央平面上，
Ox 轴垂直于平板)。
解：在平板内作一个被平板的中间面垂直平分的闭合圆柱面1S 为高斯面， 当
2
d x ≤
时，由
1
2S E dS E S
?=???和
2q x S ρ=?∑，
有：0x E ρε=
；
当
2d x >
时，由22S E dS E S ?=???和2q d S ρ=?∑
， 有：
02d E ρε=
。图像见右。 11-8．在点电荷q 的电场中，取一半径为R 的圆形平面(如图所示)， 平面到q 的距离为d ，试计算通过该平面的E 的通量.
解：通过圆平面的电通量与通过与
A 为圆心、AB
为半径、圆的平面
为周界的球冠面的电通量相同。
【先推导球冠的面积：如图，令球面的半径为r ，有2
2R d r
+=，
球冠面一条微元同心圆带面积为：2sin dS r rd πθθ=?
∴球冠面的面积：
200
cos 2sin 2cos d r
S r rd r θ
θπθθπθ
=
=?=?
22(1)
d
r r π=-】
∵球面面积为：2
4S r
π=球面
，通过闭合球面的电通量为：
q
εΦ=
闭合球面，
由：S S
Φ=Φ
球冠球面球面
球冠
，∴
001(1)(122d q q r εεΦ=-?=球冠。
11-9．在半径为R 的“无限长”直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为ρ，求圆柱体内、外的场强分布，并作E ~r 关系曲线。
解：由高斯定律
1
i
S
S E dS q
ε?=
∑??
内
，考虑以圆柱体轴为中轴，半径为r ，长为l 的高斯面。
（1）当r R <时，
202r l r l E ρππε?=
，有02E r
ρε=；
（2）当r R >时，
202R l r l E ρππε?=，则：2
02R r E ρε=
；
x
O
θ
r
即：02
0()2()2r
r R E R r R r ρερε???；
图见右。
11-10．半径为1R 和2R （21R R <）的两无限长同轴圆柱面，单位长度分别带有电量λ和λ-，试求：
（1）1R r
<；（2）21R r R <<；（3）2R r >处各点的场强。
解：利用高斯定律：0
1
i
S
S E dS q
ε?=
∑??
内
。
（1）1r
R <时，高斯面内不包括电荷，所以：10E =； （2）12R r R <<时，利用高斯定律及对称性，有：
202l r l E λπε=
，则：202E r λ
πε=
；
（3）2r
R >时，利用高斯定律及对称性，有：320rlE π=，则：30E =；
即：
11202
?20E r R E r R r R r E r R E λπε?=
?
=<
?==>?。
11-11．一球体内均匀分布着电荷体密度为ρ的正电荷，若保持电荷分布不变,在该球体中挖去半径为r 的一个小球体，球心为O '，两球心间距离d O O ='，如图所示。求：
（1）在球形空腔内，球心O '处的电场强度0E ；
（2）在球体内P 点处的电场强度E ，设O '、O 、P 三点在同一直径上，且d OP =
。
解：利用补偿法，可将其看成是带有电荷体密度为ρ的大球和带有电荷体密度为ρ-的小球的合成。
（1）以O 为圆心，过O '点作一个半径为d 的高斯面，根据高斯定理有：
1
3043S E d S d ρπε?=
???003d E ρε=，方向从O 指向O '；
（2）过P 点以O 为圆心，作一个半径为d 的高斯面。根据高斯定理有：
1
3043S E d S d ρπε?=
??
?
103P d E ρε=，方向从O 指向P ，
过P 点以O '为圆心，作一个半径为d 2的高斯面。根据高斯定理有：
2
3
043S E d S r ρπε?=-??
?
32203P r E d ρε=-
， ∴
1
2
3
20()
34P P r E E E d d ρε=+=-，方向从O 指向P 。
11-12．设真空中静电场E 的分布为E cxi =，式中
c 为常量，求空间电荷的分布。
解：如图，考虑空间一封闭矩形外表面为高斯面，
有：
0S
E d S cx S
?=????
由高斯定理：
1
S
S E d S q
ε?=
∑??
内
，
设空间电荷的密度为()x ρ，有：0
()x x Sd x cx S ρε???=
?
∴0
00
()x x x d x cd x
ρε=?
?，可见()x ρ为常数?
0c ρε=。
11-13．如图所示，一锥顶角为θ的圆台，上下底面半径分别为1R 和2R ，在它的侧面上均匀带电，电荷面密度为σ，求顶点O 的电势．(以无穷远处为电势零点)
解：以顶点为原点，沿轴线方向竖直向下为x 轴，在侧面上取环面元，如图示，易
知，环面圆半径为：
tan
2r x θ
=，环面圆宽：
cos
2
d x d l θ
=
22tan 2cos 2d x
dS r d l x θππθ
=?=??
，
利用带电量为q 的圆环在垂直环轴线上0x 处电势的表达式：
14U πε=
环，
有：
02tan 2
cos
1tan 422d x
x dU d x
θσπθσθπεε??
=
=?，
考虑到圆台上底的坐标为：
11cot
2
x R θ
=，
22cot
2x R θ
=，
∴U
=
2
1
0tan 22x x d x σθε??
21cot 2cot 02tan 22R R d x θθσθε=??210
()
2R R σε-=。
11-14．电荷量Q 均匀分布在半径为R 的球体内，试求：离球心r 处（r
R <）P 点的电势。
解：利用高斯定律：
01
S
S E dS q
ε?=
∑??
内
可求电场的分布。
（1）r R <时，
32
304Q r r E R πε=?内；有：304Q r
E R πε=
内； （2）r R >时，204Q r E πε=外；有：2
04Q
E r πε=外；
离球心r 处（r
R <）的电势：
R r r
R
U E dr E dr
∞
=?+???
外内，即：
x
cos
2
dx θ
32
00
44
R
r r R
Q r Q
U dr dr
R r
πεπε
∞
=?+?
??23
00
3
88
Q Q r
R R
πεπε
=-
。
11-15．图示为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为
ρ，球壳内表面半径为
1
R，外表面半径为
2
R．设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势。
解：当1
r R
<
时，因高斯面内不包围电荷，有：1
E=
，
当12
R r R
<<
时，有：
2
3
1
3
2
3
1
3
23
)
(
4
)
(
3
4
r
R
r
r
R
r
E
ε
ρ
πε
π
ρ
-
=
-
=
，
当2
r R
>
时，有：
2
3
1
3
2
2
3
1
3
2
33
)
(
4
)
(
3
4
r
R
R
r
R
R
E
ε
ρ
πε
π
ρ
-
=
-
=
，
以无穷远处为电势零点，有：
2
12
23
R
R R
U E d r E d r
∞
=?+?
???
?∞-
+
-
=
2
R
dr
r
R
R
dr
r
R
r
R
R
2
3
1
3
2
2
3
1
3
3
)
(
3
)
(
2
1ε
ρ
ε
ρ
)
(
2
2
1
2
2
R
R-
=
ε
ρ
。11-16．电荷以相同的面密度σ 分布在半径为1
10
r cm
=
和2
20
r cm
=
的两个同心球面上，设无限远处电势为零，球心处的电势为
V
300
=
U
。
（1）求电荷面密度
σ；
（2）若要使球心处的电势也为零，外球面上电荷面密度
σ'为多少？
（
2
1
2
12
m
N
C
10
85
.8-
-
-?
?
=
ε
）
解：（1）当1
r r
<
时，因高斯面内不包围电荷，有：1
E=
，
当12
r r r
<<
时，利用高斯定理可求得：
2
1
22
r
E
r
σ
ε
=
，
当2
r r
>
时，可求得：
22
12
32
()
r r
E
r
σ
ε
+
=
，
∴
2
12
023
r
r r
U E d r E d r
∞
=?+?
??212
222
112
22
00
()
r
r r
r r r
d r d r
r r
σσ
εε
∞+
=+
??)
(
2
1
r
r+
=
ε
σ
那么：
2
9
3
12
2
1
010
85
.8
10
30
300
10
85
.8
m
C
r
r
U
-
-
-
?
=
?
?
?
=
+
=
ε
σ
（2）设外球面上放电后电荷密度'σ，则有：
0120
'(')/0
U r r
σσε
=+=
，∴
1
2
'
r
σσ
σ=-=-
则应放掉电荷为：
2'2
22
3
4()4
2
q r r
πσσσπ
?=-=?
12
4 3.148.85103000.2
-
=?????9
6.6710C
-
=?。
11-17．如图所示，半径为R的均匀带电球面，带有电荷q，沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为
λ，长度为l，细线左端离球心距离为0r。设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能（设无穷远处的电势为零）。
解：（1）以O点为坐标原点，有一均匀带电细线的方向为x轴，
均匀带电球面在球面外的场强分布为：
2
4
q
E
r
πε
=
（r R
>）。
取细线上的微元：
dq dl dr
λλ
==，有：d F E dq
=，
∴
2
0000
?
44()
r l
r
q ql r
F dr
x r r l
λ
λ
πεπε
+
==
+
?
（
?r为r方向上的单位矢量）
（2）∵均匀带电球面在球面外的电势分布为：0
4
q
U
r
πε
=
（r R
>，∞为电势零点）。
对细线上的微元
dq dr
λ
=，所具有的电势能为：
4
q
dW d r
r
λ
πε
=?
，
∴
000
ln
44
r l
r
r l
q dr q
W
r r
λλ
πεπε
++
==
?
。
11-18. 一电偶极子的电矩为
p，放在场强为E的匀强电场中，p与E之间夹角为θ，如图所示．若将此偶极子绕通过其中心且垂直于
p、E平面的轴转
180，外力需作功多少？
解：由功的表示式：
d A Mdθ
=
考虑到：
M p E
=?，有：sin2cos
A pE d pE
πθ
θ
θθθ
+
==
?
。
11-19．如图所示，一个半径为R的均匀带电圆板，其电荷面密度为σ(＞0)今有一质量为m，电荷为q
-的粒子(
q＞0)沿圆板轴线(x轴)方向向圆板运动，已知在距圆心O（也是x轴原点）为b的位置上时，粒子的速度为0
v
，求粒子击中圆板时的速度(设圆板带电的均匀性始终不变)。
解：均匀带电圆板在其垂直于面的轴线上0
x
处产生的电势为：
)
2
U x
σ
ε
=
，那么，
(
2
Ob O b
U U U R b
σ
ε
=-=+
，
由能量守恒定律，
222
00
111
()(
2222
Ob
q
m v mv qU mv R b
σ
ε
=--=++
，
有：
)
(2
2
2
b
R
b
R
m
q
v
v+
-
+
+
=
ε
σ
思考题11
11-1．两个点电荷分别带电
q和q2，相距l，试问将第三个点电荷放在何处它所受合力为零?
答：由
22
00
2
44()
qQ qQ
x l x
πεπε
=
-
，解得：
1)
x l=，即离点电荷q
的距离为
1)
l。
11-2．下列几个说法中哪一个是正确的？
（A）电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向；
（B）在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同；
（C）场强方向可由
q/
F
E=定出，其中q为试验电荷的电量，q可正、可负，F为试验电荷所受的
（D ）以上说法都不正确。 答：（C ）
11-3．真空中一半径为R 的的均匀带电球面,总电量为q (q ＜0)，今在球面面上挖去非常小的一块面积S ?(连同电荷)，且假设不影响原来的电荷分布，则挖去S ?后球心处的电场强度大小和方向.
答：题意可知：
2
04q R σπε=
，利用补偿法，将挖去部分看成点电荷，
有：2
04S E R σπε?=
，方向指向小面积元。
11-4．三个点电荷1q 、2q 和3q -在一直线上，相距均为R 2，以1q 与2q 的中心O 作一半径为R 2的球面，
A 为球面与直线的一个交点，如图。求：
(1)通过该球面的电通量???S E d ；
(2)
A 点的场强A E 。
解：(1)
12
S
q q E dS ε+?=
??
；
(2)2
03202
20144)3(4R πεq R πεq R πεq E A -
+=
。
11-5．有一边长为a 的正方形平面，在其中垂线上距中心O 点2/a 处， 有一电荷为q 的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量 为多少？
解：设想一下再加5个相同的正方形平面将q 围在正方体的中心， 通过此正方体闭合外表面的通量为：
0/q εΦ=闭合，那么，
通过该平面的电场强度通量为：0
6q εΦ=
。
11-6．对静电场高斯定理的理解，下列四种说法中哪一个是正确的？
(A )如果通过高斯面的电通量不为零，则高斯面内必有净电荷； (B )如果通过高斯面的电通量为零，则高斯面内必无电荷； (C )如果高斯面内无电荷，则高斯面上电场强度必处处为零； (D )如果高斯面上电场强度处处不为零，则高斯面内必有电荷。 答：(A )
11-7．由真空中静电场的高斯定理
1
S
E d S q
ε?=
∑?
可知
(A )闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强一定为零； (B )闭合面内的电荷代数和不为零时，闭合面上各点场强一定都不为零； (C )闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强不一定都为零； (D )闭合面内无电荷时，闭合面上各点场强一定为零。
11-8．图示为一具有球对称性分布的静电场的r
E ~关系曲线．请指出该静电场是
由下列哪种带电体产生的。
(A )半径为R 的均匀带电球面； (B )半径为R 的均匀带电球体； (C )半径为R 、电荷体密度Ar =ρ
(A 为常数）的非均匀带电球体；
(D )半径为R 、电荷体密度r A /=ρ(A 为常数)的非均匀带电球体。 答：(D )
11-9．如图，在点电荷q 的电场中，选取以q 为中心、R 为半径的球面上一点P 处作电势零点，则与点电荷q 距离为r 的P'点的电势为
(A )r
q 04επ (B )??? ??-πR r q
1140ε (C )()R r q
-π04ε (D )??? ??-πr R q 1140
ε
答：(B )
11-10．密立根油滴实验，是利用作用在油滴上的电场力和重力平衡而测量电荷的，其电场由两块带电平行板产生．实验中，半径为r 、带有两个电子电荷的油滴保持静止时，其所在电场的两块极板的电势差为
12U ．当电势差增加到412U 时，半径为2r 的油滴保持静止，则该油滴所带的电荷为多少？ 解：g r πρq d U 31234?=┄①，g
r πρq d U 312)2(34
4?='┄②
∴①②联立有：e q q 42=='。
11-11．设无穷远处电势为零，则半径为R 的均匀带电球体产生的电场的电势分布规律为(图中的0U 和b 皆为常量)：
答：(C )
11-12．无限长均匀带电直线的电势零点能取在无穷远吗？ 答：不能。见书中例11-12。
大学物理第12章课后习题
12-1．一半径为10.0米的孤立导体球，已知其电势为V 100(以无穷远为零电势)，计算球表面的面电荷密度。
解：由于导体球是一个等势体，导体电荷分布在球表面，∴电势为：00
4Q R U
R
σπεε=
=
，
则：129208.85101008.85100.1
U
C m R εσ--??===?。
12-2．两个相距很远的导体球，半径分别为cm 0.61
=r ，cm 0.122=r ，都带有C 1038-?的电量，
如果用一导线将两球连接起来，求最终每个球上的电量。 解：半径分别为1r 的电量为1q ，2r 电量为2q ，
由题意，有：
1201
02
44q q r r πεπε=
┄①，821
106-?=+q q ┄②，
①②联立，有：81210q C -=?，82410q C -=?。
12-3．有一外半径为1R ，内半径2R 的金属球壳，在壳内有一半径为3R 的金属球，球壳和内球均带电量q ，求球心的电势．
解：由高斯定理，可求出场强分布：
132322032141
2
004024E r R q E R r R r E R r R q E r R r πεπε=
<
=<???
∴32
1
3
2
1
12340
R R R R R R U E d r E d r E d r E d r ∞
=?+?+?+?????
2
3
1
2
2
00244R R R q q dr dr r r
πεπε∞
=+?
?
321
112
(
)4q R R R πε=-+。
12-4．一电量为q 的点电荷位于导体球壳中心，壳的内外半径分别为1R 、2R ．求球壳内外和球壳上场强和电势的分布，并画出r E ~和r V ~曲线.
解：由高斯定理，可求出场强分布：
112
021232
200404q E r R r E R r R q E r R r πεπε?=<
=<
?=
>??
∴电势的分布为： 当10r
R <≤时，12
12
2
0044R r
R q q U dr
r
r πεπε∞
=+?
?012
111
()4q
r R R πε=-+； 当12R r R <≤时，2
22
002
44R q q U dr r R πεπε∞
==?
；
当2R r ≥时，32
0044r
q q
U dr r
r
πεπε∞==
?
。
12-5．半径
10.05,R m =，带电量8310C q -=?的金属球，被一同心导体球壳包围，球壳内半径
20.07R m =，外半径30.09R m =，带电量8210C Q -=-?。试求距球心r 处的P 点的场强与电势。（1）0.10r m =（2）0.06r m =（3）0.03r m =。
解：由高斯定理，可求出场强分布：
r
r
12
112122032343
200404E r R q E R r R r E R r R Q q E r R r πεπε=
<
=<
>???
∴电势的分布为： 当1r
R ≤时，21
312200
44R R R q Q q U dr dr r
r πεπε∞
+=+?
?0120311()44q Q q
R R R πεπε+=-+
，
当12R r R <≤时，2322
20044R r R q
Q q U dr dr r
r πεπε∞
+=+?
?0203
11()44q Q q
r R R πεπε+=-+
， 当23R r R <≤时，3320
4R Q q U dr r πε∞
+=?
034Q q
R πε+=
， 当3r
R >时，4200
44r Q q Q q
U dr r r πεπε∞
++==
?
， ∴（1）0.10r m =，适用于3r R >情况，有：
3
420910N 4Q q E r πε+==?，4
0900V 4Q q U r
πε+==； （2）0.06r m =，适用于12R r R <<情况，有： 422
07.510N 4q E r πε=
=?，320203
11
() 1.6410V 44q
Q q U r R R πεπε+=
-+=?； （3）0.03r
m =，适用于1r R <情况，有：
10E =，310
1203
11
(
) 2.5410V 44q Q q U R R R πεπε+=
-+=?。
12-6．两块带有异号电荷的金属板A 和B ，相距mm 0.5，两板面积都是2
cm 150
，电量分别为C 1066.28-?±，A 板接地，略去边缘效应，求：（1）B 板的电势；（2）AB 间离A 板mm 0.1处的
电势。
解：（1）由0E σε=有：0q
E S
ε=
，
则：0AB
qd U Ed S
ε==
，而0A
U =，
∴83
122
2.661051010008.8510 1.510B U V ----???=-
=-???， 离A 板mm 0.1处的电势：3
1(10)2005
P U V
=?-=-
12-7．平板电容器极板间的距离为d ，保持极板上的电荷不变，忽略边缘效应。若插入厚度为t (t 解：（1）设极板带电量为0Q ，面电荷密度为0σ。 B 5mm 无金属板时电势差为：0 1 00 U E d d σε=?= ， 有金属板时电势差为：0 200 ()()U E d t d t σε=?-=-， 电势差比为：0 01020 ()d U d U d t d t σεσε==--； （2）设无金属板时极板带电量为0Q ，面电荷密度为0σ， 有金属板时极板带电量为Q ，面电荷密度为σ。 由于12U U =，有0()E d E d t ?=?-，即000 ()d d t σσ εε?=- ∴00Q d t Q d σσ-==。 解法二： 无金属板时的电容为：00 S C d ε= ，有金属板时的电容为：00 S C d t ε= -。那么： （1）当极板电荷保持不变时，利用Q C U = 知：12U d U d t =-； （2）当极板电压保持不变时，利用Q C U =知：0Q d t Q d -=。 12-8．实验表明，在靠近地面处有相当强的电场E 垂直于地面向下，大小约为V/m 130.在离地面km 5.1的高空的场强也是垂直向下，大小约为5V/m 2. （1）试估算地面上的面电荷密度(设地面为无限大导体平面)； （2）计算从地面到km 5.1高空的空气中的平均电荷密度． 解：（1）因为地面可看成无穷大导体平面，地面上方的面电荷密度可用00 E σ ε= 考察，选竖直向上为正向， 考虑到靠近地面处场强为0 130E V =-，所以： 129208.8510(130) 1.1510E C m σε--==??-=-?； （2）如图，由高斯定理01 i S S E dS q ε?=∑??内 ，有： 00 '()h S E S E S ρε??+-?= ，则：3121.51025(130)8.8510ρ-??---=?， 得：13 36.210C m ρ-=?。 12-9．同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属圆柱(内)和圆筒(外)构成，设内圆柱半径为1R ，电势为1V ，外圆筒的内半径为2R ，电势为2V .求其离轴为r 处(1R λ πε= ， ∴内外圆柱间电势差为：2 1 2 12 001 ln 22R R R V V dr r R λλ πεπε-==? σ+ U km '25 E =-2 则： 12021()2ln() V V R R λ πε-= 同理，r 处的电势为：22 200ln 22R r r R U V dr r r λλ πεπε-==? （*） ∴220ln 2r R U V r λ πε=+ 212221ln()()ln() R r V V V R R =-+。 【注：上式也可以变形为：r U =111221ln() () ln() r R V V V R R =--，与书后答案相同，或将（*）式用： 1 1001 ln 22r r R r V U dr r R λλπεπε-==? 计算，结果如上】 12-10．半径分别为a 和b 的两个金属球，它们的间距比本身线度大得多，今用一细导线将两者相连接，并给系统带上电荷Q ，求： （1）每个求上分配到的电荷是多少？（2）按电容定义式，计算此系统的电容。 解：（1）首先考虑a 和b 的两个金属球为孤立导体，由于有细导线相连，两球电势相等：0044a b a b q q r r πεπε= ┄①，再由系统电荷为Q ，有：a b q q Q +=┄② 两式联立得：a Qa q a b =+，b Qb q a b =+； （2）根据电容的定义：0a Q Q C U q πε==（或0b Q Q C U q πε==），将（1）结论代入， 有：04()C a b πε=+。 12-11．图示一球形电容器，在外球壳的半径b 及内外导体间的电势差U 维持恒定的条件下，内球半径a 为多大时才能使内球表面附近的电场强度最小？求这个最小电场强度的大小。 解：由高斯定理可得球形电容器空间内的场强为：2 04Q E r πε= ， 而电势差：20 044b b a a Q Q b a U E d r d r r ab πεπε-=?==? ??， ∴04Q Uab b a πε= -，那么，场强表达式可写为：2a b U E b a r =?-。 因为要考察内球表面附近的场强，可令a r =，有：()a bU E b a a =-， 将a 看成自变量，若有0a dE da =时，出现极值，那么：22 (2)0()bU b a ab a --=- 得：2b a =，此时：min 4a U E b =。 12-12．一空气平板电容器，极板B 、 A 的面积都是S ，极板间距离为d ．接上电源 后，A 板电势V U =A ，B 板电势0B =U ．现将一带有电荷q 、面积也是S 而厚度可忽略的导体片C 平行插在两极板的中间位置，如图所示，试求导体片C 的电势。 解：由题意，22AB BC d d V E E =?+?，而：0A AB E σε=，0 A BC E σσ ε+= 且q S σ= ，∴002A d q d V S σεε= +，则：0 0()2A q d V S d εσε=- 。 导体片C 的电势：022 A C CB CB d d U U E σσε+==?=?， ∴01()22C q U V d S ε=+。 12-13．两金属球的半径之比为1∶4，带等量的同号电荷，当两者的距离远大于两球半径时，有一定的电势能；若将两球接触一下再移回原处，则电势能变为原来的多少倍？ 解：（1）设小球1 r R =，大球24r R =，两球各自带有电量为q ，有： 接触之前的电势能：220 00444q q W R R πεπε= + ； （2）接触之后两球电势相等电荷重新分布，设小球带电为1q ，大金属球带电为2q ， 有： 1201 02 44q q R R πεπε= ┄①和122q q q +=┄②，①②联立解得：125 q q = ，2 85 q q = 。 那么，电势能为：22 221 2 0000046416252544444425 q q q q W W R R R R πεπεπεπε= +=+=。 思考题12 12-1．一平行板电容器，两导体板不平行，今使两板分别带有q + 和q -的电荷，有人将 两板的电场线画成如图所示，试指出这种画法的错误，你认为电场线应如何分布。 答：导体板是等势体，电场强度与等势面正交， 两板的电场线接近板面时应该垂直板面。 12-2．在“无限大”均匀带电平面A 附近放一与它平行，且有一定厚度的“无限大”平面导体板B ，如图所示．已知A 上的电荷面密度为σ+，则在导体板B 的两个表面1和2上 的感生电荷面密度为多少？ 答：2 1 σ σ- =，2 2 σ σ= 。 12-3．充了电的平行板电容器两极板(看作很大的平板)间的静电作用力F 与两极板间的电压U 之间的关系是怎样的？ 答：对静电能的求导可以求得电场作用于导体上的力。 12-4．一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R ，在腔内离球心的 距离为d 处(d 接地后，再把地线撤去．选无穷远处为电势零点，则球心O 处的电 势为多少？ 答：R πεq d πεq U 000 44-+ = 12-5．在一个原来不带电的外表面为球形的空腔导体 A 内，放一 带有电荷为Q +的带电导体B ，如图所示，则比较空腔导体A 的 电势A U 和导体B 的电势B U 时，可得什么结论？ 答：A U 和B U 都是等势体，3 04R Q U A πε= ； ??? ? ??-+=210301144R R Q R Q U B πεπε 习题13 13-1．如图为半径为R 的介质球，试分别计算下列两种情况下球表面上的极化面电荷密度和极化电荷的总和，已知极化强度为P (沿x 轴)。 （1）0P P =；（2） R x P P 0 =。 解：可利用公式 'cos S S q P d S P d S θ=-?=-????算出极化电荷。 首先考虑一个球的环形面元，有：2sin ()d S R Rd πθθ=， （1）0P P =时，由'cos P σθ=知10'cos P σθ=， 2 20 100 'cos 2sin sin 220 2R P q P R d d π π πθπθθθθ=-?=- =?? ； （2） R x P P 0=时，22000cos 'cos cos cos x R P P P R R θσθθθ ===， 222 2 2000 'cos 2sin 2cos cos q P R d R P d π π θπθθπθθ =-?=?? 2 2 30 24cos 3 3 R P R P πππθ= =- 。 13-2．平行板电容器，板面积为2 cm 100，带电量C 109.87 -?±，在两板间充满电介质后，其场强为 V/m 104.16?，试求：（1）介质的相对介电常数r ε；(2)介质表面上的极化电荷密度。 解：（1）由 0r E σ εε= ，有：18.710100104.11085.8109.84 6127 0=??????==---ES Q r εε （2）520'(1)7.6610r P E C m σεε-==-=? 13-3．面积为S 的平行板电容器，两板间距为d ，求：（1）插入厚度为3d ，相对介电常数为r ε的电介质， 其电容量变为原来的多少倍？（2）插入厚度为3d 的导电板，其电容量又变为原来的多少倍？ 解：（1）电介质外的场强为： 00 E σ ε= ， 而电介质内的场强为： 0r r E σεε= ， 所以，两板间电势差为： 00233r d U d σσεεε= ?+?， 那么， 03(21)r r S Q S C U U d εεσε= ==+，而 00S C d ε= ，∴0321r r C C εε=+； P sin θ 3 d （2）插入厚度为3 d 的导电板，可看成是两个电容的串联， 有： 00123/3 S S C C d d εε== = ， ∴ 0021212323C d S C C C C C ==+=ε?032C C = 。 13-4．在两个带等量异号电荷的平行金属板间充满均匀介质后，若已知自由电荷与极化电荷的面电荷密度 分别为0σ与σ'(绝对值)，试求：（1）电介质内的场强E ；（2）相对介电常数r ε。 解：（1）由： 1 (') S E d S q q ε?= +∑?? ，有： ' E σσε-=（∵'σ给出的是绝对值） （2）又由 00r E σεε= ，有： 0000 0000''r E σσεσεεεσσσσ= =?= --。 13-5．在导体和电介质的分界面上分别存在着自由电荷和极化电荷。若导体内表面的自由电荷面密度为σ，则电介质表面的极化电荷面密度为多少？(已知电介质的相对介电常数为r ε) 解：由 'S q P d S =-???，考虑到0(1)r P E εε=-， 有： 0'(1) S r q E d S εε?=- -?? ， 与 ' S q q E d S ε+?= ?? 联立，有： 00'' (1)r q q q εεε+- = -， 得：(1)'r r q q εε-=- ，∴ 1'r r εσσε-=- 。 13-6．如图所示，半径为0R 的导体球带有电荷Q ，球外有一层均匀介质同心球壳，其内、外半径分别为1R 和2R ，相对电容率为r ε，求：介质内、外的电场强度大小和电位移矢量大小。 解：利用介质中的高斯定理 i S S D dS q ?=∑??内 。 （1）导体内外的电位移为：0r R >， 2 4Q D r π= ；0r R <，0D =。 （2）由于 0r D E εε= ，所以介质内外的电场强度为： 0r R <时，10E =；10R r R >>时， 22 04D Q E r επε= = ； 21R r R >>时， 32 04r r D Q E r εεπεε= = ； 2r R >时， 42 04D Q E r επε = = 。 13-7．一圆柱形电容器，外柱的直径为cm 4，内柱的直径可以适当 选择，若其间充满各向同性的均匀电介质，该介质的击穿电场强度 3d 3 d σ +σ - 大小为0200/E kV m =，试求该电容器可能承受的最高电压。 解：由介质中的高斯定理，有： 02r E r λπεε= ， ∴ 00ln 22R R r r r r r R U E d r d r r r λλπεεπεε=?==?? ， ∵击穿场强为0E ，∴002r r E λπεε=，则 0ln r R U r E r =， 令0 r r r dU d r ==，有： 000ln 0R E E r -=，∴ 0ln 1R r =?e R r =0， ∴ max 000ln 147R E R U r E KV r e ===。 13-8．一平行板电容器，中间有两层厚度分别为1d 和2d 的电介质，它们的相对介电常数为1r ε和2r ε，极板面积为S ，求电容量。 解：∵1 2D D σ==，∴ 101r E σεε= ，202 r E σ εε= ， 而： 1211220102r r d d U E d E d σσεεεε=+= + ， 有：0012 12211212r r r r r r S S Q C d d U d d εεεεεεεε===++。 13-9．利用电场能量密度2 12e w E ε=计算均匀带电球体的静电能，设球体半径为R ，带电量为Q 。 解：首先求出场强分布：13022044Q r E r R E R Q E r R r πεπε?= ?=>?=? ∴ 222 2200032 000()4( )422424R R Q r Q W E dV r d r r d r R r εεεπππεπε∞ ==+ ????? 2 0320Q R πε= 。 13-10．半径为cm 0.2的导体外套有一个与它同心的导体球壳，球壳的内外半径分别为cm 0.4和cm 0.5，当内球带电量为C 10 0.38 -?时，求：（1）系统储存了多少电能?（2）用导线把壳与球连在一起后电能变 化了多少？ 解：（1）先求场强分布： 112122032333 200404E r R q E R r R r E R r R q E r E r R πεπε= < ? =< ? =>? 考虑到电场能量密度2 12e w E ε=，有：球与球壳之间的电能： 2 1 22 22 12 00 1211 ( )4( ) 2 2 48R R q q W E dV r dr r R R εεππεπε== =-???? 41.0110J -=? 球壳外部空间的电能： 3 2 2 22 22 003( )42 2 48R q q W E dV r dr r R εεππεπε∞ == = ??? ? 58.110J -=?， ∴系统储存的电能：412 1.8210W W W J -=+=?； （2）如用导线把壳与球连在一起，球与球壳内表面所带电荷为0，所以1'0W = 而外表面所带电荷不变，那么： 5 2'8.110W W J -==?。 13-11．球形电容器内外半径分别为1R 和2R ，充有电量Q 。（1）求电容器内电场的总能量；（2）证明此 结果与按 C Q W 2 e 21= 算得的电容器所储电能值相等。 解：（1）由高斯定理可知，球内空间的场强为： 2 04Q E r πε= ，（1 2R r R <<） 利用电场能量密度2 12e w E ε=，有电容器内电场的能量： 2 1 222 2 2 2120012012()11 ()4()2 2488R R Q R R Q Q W E dV r d r r R R R R εεππεπεπε-== =-=??? ? ； （2）由 2 121 212 00 12012()11 ( )444R R R R Q R R Q Q U dr r R R R R πεπεπε-==-=? ， 则球形电容器的电容为： 12 120 214R R R R Q C U R R πε= =-， 那么， 2221012 () 128e Q R R Q W C R R πε-== 。（与前面结果一样） 13-12．一平行板电容器的板面积为S ，两板间距离为d ，板间充满相对介电常数为r ε的均匀介质，分别求出下述两种情况下外力所做的功：（1）维持两板上面电荷密度0σ不变而把介质取出；（2）维持两板上电压U 不变而把介质取出。 解：（1）维持两板上面电荷密度0σ不变，有介质时： 22 01001122r r Sd W E Sd σεεεε== ， （0r D E εε=，0 D σ=） 取出介质后： 22 02001122Sd W E Sd σεε== ， 外力所做的功等于静电场能量的增加： 2 021011 (1) 2r Sd W W W σεε?=-=-； （2）维持两板上电压U 不变，有介质时： 2 0212121U d S CU W r εε== ， 取出介质后：2 0222121U d S CU W ε== ， ∴02211(1) 2r S W W W U d εε?=-=-。 思考题13 13-1．介质的极化强度与介质表面的极化面电荷是什么关系？ 答：θP σcos ='。 13-2．不同介质交界面处的极化电荷分布如何？ 答： 1σ'=?1 1n P e ， 2 σ'=?2 2n P e ()P σ=-?12n P P e 即在两种介质的交界面上，极化电荷的面密度等于两种介质的极化强度的法向分量 之差。 13-3．介质边界两侧的静电场中D 及E 的关系如何？ 答：在两种介质的交界面上，若无自由电荷电位移矢量在垂直界面的分量是连续的，平行于界面的分量发生突变。电场强度在垂直界面的分量是不连续的，有突变。 13-4．真空中两点电荷 A q 、 B q 在空间产生的合场强为 B A E E E +=.系统的电场能为 τετεd 21 d 21020 e 00E E ?==?????? V V E W ??????????++=0 00d d 21d 21B A 02 B 02A 0V V V E E τ ετετεE E . （1）说明等式后面三项能量的意义； （2）B A 、两电荷之间的相互作用能是指哪些项？ （3）将B A 、两电荷从给定位置移至无穷远，电场力做功又是哪些项？ 答：第一项表示点电荷A 所形成的电场的能量，第二项是点电荷B 所形成的电场的能量，第三项是两个 点电荷的相互作用能。 大学物理第14章课后习题 14-1．如图所示的弓形线框中通有电流I ，求圆心O 处的磁感应强度B 。 解：圆弧在O 点的磁感应强度：00146I I B R R μθμπ= = ，方向：； 直导线在O 点的磁感应强度：0000 2 [sin 60sin(60)]4cos60 2I I B R R μππ= --= ，方向：?； ∴总场强：01 ( )23 I B R μπ= -，方向?。 14-2．如图所示，两个半径均为R 的线圈平行共轴放置，其圆心O 1、O 2相距为a ，在两线圈中通以电流强度均为I 的同方向电流。 （1）以O 1O 2连线的中点O 为原点，求轴线上坐标为x 的任意点的磁感应强度大小； （2）试证明：当a R =时，O 点处的磁场最为均匀。 解：见书中载流圆线圈轴线上的磁场，有公式：2 032 22 2() I R B R z μ= +。 （1）左线圈在x 处P 点产生的磁感应强度：2 01 3222 2[()] 2P I R B a R x μ= ++， 右线圈在x 处P 点产生的磁感应强度：2 02 3222 2[()] 2 P I R B a R x μ= +-， 1P B 和2P B 方向一致，均沿轴线水平向右， ∴P 点磁感应强度：12P P P B B B =+= 23302 222 22[()][()]2 22I R a a R x R x μ--? ?++++-????； （2）因为P B 随x 变化，变化率为 d B d x ，若此变化率在0x =处的变化最缓慢，则O 点处的磁场最为均匀，下面讨论O 点附近磁感应强度随x 变化情况，即对P B 的各阶导数进行讨论。 对B 求一阶导数： d B d x 255 02222223()[()]()[()]22222I R a a a a x R x x R x μ--??=-++++-+-???? 当0x =时，0d B d x =，可见在O 点，磁感应强度B 有极值。 对B 求二阶导数： 22()d d B d B d x d x d x == 222 057572222222222225()5()311222[()][()][()][()]2222a a x x I R a a a a R x R x R x R x μ?? +-????--+-???? +++++-+-???? 第11章 稳恒磁场 习 题 一 选择题 11-1 边长为l 的正方形线圈，分别用图11-1中所示的两种方式通以电流I （其中ab 、cd 与正方形共面），在这两种情况下，线圈在其中心产生的磁感应强度的大小分别为：[ ] （A ）10B =，20B = （B ）10B = ，02I B l π= （C ）01I B l π= ，20B = （D ）01I B l π= ，02I B l π= 答案：C 解析：有限长直导线在空间激发的磁感应强度大小为012(cos cos )4I B d μθθπ= -，并结合右手螺旋定则判断磁感应强度方向，按照磁场的叠加原理，可计 算 01I B l π= ，20B =。故正确答案为（C ）。 11-2 两个载有相等电流I 的半径为R 的圆线圈一个处于水平位置，一个处于竖直位置，两个线圈的圆心重合，如图11-2所示，则在圆心O 处的磁感应强度大小为多少? [ ] （A ）0 （B ）R I 2/0μ （C ）R I 2/20μ （D ）R I /0μ 答案：C 解析：圆线圈在圆心处的磁感应强度大小为120/2B B I R μ==，按照右手螺旋定 习题11-1图 习题11-2图 则判断知1B 和2B 的方向相互垂直，依照磁场的矢量叠加原理，计算可得圆心O 处的磁感应强度大小为0/2B I R =。 11-3 如图11-3所示，在均匀磁场B 中，有一个半径为R 的半球面S ，S 边线所在平面的单位法线矢量n 与磁感应强度B 的夹角为α，则通过该半球面的磁通量的大小为[ ] （A ）B R 2π （B ）B R 22π （C ）2cos R B πα （D ）2sin R B πα 答案：C 解析：通过半球面的磁感应线线必通过底面，因此2cos m B S R B παΦ=?= 。故正 确答案为（C ）。 11-4 如图11-4所示，在无限长载流直导线附近作一球形闭合曲面S ，当曲面S 向长直导线靠近时，穿过曲面S 的磁通量Φ B 将如何变化？[ ] （ A ）Φ增大， B 也增大 （B ）Φ不变，B 也不变 （ C ）Φ增大，B 不变 （ D ）Φ不变，B 增大 答案：D 解析：根据磁场的高斯定理0S BdS Φ==? ，通过闭合曲面S 的磁感应强度始终为0，保持不变。无限长载流直导线在空间中激发的磁感应强度大小为02I B d μπ= ，曲面S 靠近长直导线时，距离d 减小，从而B 增大。故正确答案为（D ）。 11-5下列说法正确的是[ ] (A) 闭合回路上各点磁感应强度都为零时，回路内一定没有电流穿过 (B) 闭合回路上各点磁感应强度都为零时，回路内穿过电流的代数和必定为零 (C) 磁感应强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感应强度必定为零 (D) 磁感应强度沿闭合回路的积分不为零时，回路上任意一点的磁感应强度 I 习题11-4图 习题11-3图 2003—2004学年度第2学期期末考试试卷（A 卷） 《A 卷参考解答与评分标准》 一 填空题：（18分） 1． 10V 2.（变化的磁场能激发涡旋电场），（变化的电场能激发涡旋磁场）. 3. 5， 4. 2， 5. 3 8 6. 293K ，9887nm . 二 选择题：（15分） 1. C 2. D 3. A 4. B 5. A . 三、【解】(1) 如图所示，内球带电Q ，外球壳内表面带电Q -. 选取半径为r （12R r R <<）的同心球面S ，则根据高斯定理有 2() 0d 4πS Q r E ε?==? E S 于是，电场强度 204πQ E r ε= (2) 内导体球与外导体球壳间的电势差 22 2 1 1 1 2200 01211d 4π4π4πR R R AB R R R Q Q dr Q U dr r r R R εεε?? =?=?==- ????? ? r E (3) 电容 12 001221114π/4πAB R R Q C U R R R R εε??= =-= ?-?? 四、【解】 在导体薄板上宽为dx 的细条，通过它的电流为 I dI dx b = 在p 点产生的磁感应强度的大小为 02dI dB x μπ= 方向垂直纸面向外. 电流I 在p 点产生的总磁感应强度的大小为 22000ln 2222b b b b dI I I dx B x b x b μμμπππ===? ? 总磁感应强度方向垂直纸面向外. 五、【解法一】 设x vt ＝, 回路的法线方向为竖直向上( 即回路的绕行方向为逆时 针方向)， 则 21 d cos602B S Blx klvt Φ=?=?= ? ∴ d d klvt t εΦ =- =- 0ac ε < ，电动势方向与回路绕行方向相反，即沿顺时针方向（abcd 方向）． 【解法二】 动生电动势 1 cos602 Blv klvt ε?动生＝＝ 感生电动势 d 111 d [cos60]d 222d d dB B S Blx lx lxk klvt t dt dt dt εΦ=- =?=--?===?感生－ klvt εεε==感生动生＋ 电动势ε的方向沿顺时针方向（即abcd 方向）。 六、【解】 1. 已知波方程 10.06cos(4.0)y t x ππ=- 与标准波方程 2cos(2) y A t x π πνλ =比较得 , 2.02, 4/Z H m u m s νλνλ==== 2. 当212(21)0x k ππΦ-Φ==+合时，A ＝ 于是，波节位置 21 0.52k x k m += =+ 0,1,2, k =±± 3. 当 21222x k A ππΦ-Φ==合时，A ＝ 于是，波腹位置 x k m = 0,1,2, k =±± ( 或由驻波方程 120.12cos()cos(4)y y y x t m ππ=+= 有 (21) 00.52 x k A x k m π π=+?=+合＝ 0,1,2, k =±± 20.122 x k A m x k m π π=?=合＝, 0,1,2, k =±± ) 习题八 8-1 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)(2)这种平衡与三角形的边长有无关系 解: 如题8-1图示 (1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知：q '为负电荷 2 22 0)3 3(π4130cos π412a q q a q '=?εε 解得 q q 3 3- =' (2)与三角形边长无关． 题8-1图 题8-2图 8-2 两小球的质量都是m ，都用长为l 的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2θ ,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量． 解: 如题8-2图示 ?? ? ?? ===220)sin 2(π41 sin cos θεθθl q F T mg T e 解得 θ πεθtan 4sin 20mg l q = 8-3 根据点电荷场强公式2 04r q E πε= ，当被考察的场点距 源点电荷很近(r →0)时，则场强→∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解 解: 02 0π4r r q E ε= 仅对点电荷成立，当0→r 时，带电体不能 再视为点电荷，再用上式求场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不 会是无限大． 8-4 在真空中有A ，B 两平行板，相对距离为d ，板面积为S ，其带电量分别为+q 和-q ．则这两板之间有相互作用力f ，有人说f = 2 024d q πε,又有人说，因为f =qE ,S q E 0ε= ，所以f =S q 02 ε．试问这两种说法对吗为什么 f 到底应等于 多少 解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强S q E 0ε= 看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个板的电场为S q E 02ε= ，另一板受它的作用力 S q S q q f 02 022εε= =，这是两板间相互作用的电场力． 8-5 一电偶极子的电矩为l q p =，场点到偶极子中心O 点的 距离为r ,矢量r 与l 的夹角为θ,(见题8-5图)，且l r >>．试 证P 点的场强E 在r 方向上的分量r E 和垂直于r 的分量θE 分别为 习 题 四 4-1 质量为m =的弹丸，其出口速率为300s m ，设弹丸在枪筒中前进所受到的合力 9800400x F -=。开抢时，子弹在x =0处，试求枪筒的长度。 [解] 设枪筒长度为L ，由动能定理知 2022121mv mv A -= 其中??-==L L dx x Fdx A 00)9 8000400( 9 40004002 L L - = 而00=v ， 所以有： 22 300002.05.09 4000400??=-L L 化简可得： m 45.00 813604002==+-L L L 即枪筒长度为。 4-2 在光滑的水平桌面上平放有如图所示的固定的半圆形屏障。质量为m 的滑块以初速度0v 沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为μ，试证明：当滑块从屏障的另一端滑出时，摩擦力所作的功为() 12 1220-= -πμe mv W [证明] 物体受力：屏障对它的压力N ，方向指向圆心，摩擦力f 方向与运动方向相反，大小为 N f μ= (1) 另外，在竖直方向上受重力和水平桌面的支撑力，二者互相平衡与运动无关。 由牛顿运动定律 切向 t ma f =- (2) 法向 R v m N 2 = (3) 联立上述三式解得 R v a 2 t μ-= 又 s v v t s s v t v a d d d d d d d d t === 所以 R v s v v 2 d d μ -= 即 s R v v d d μ-= 两边积分，且利用初始条件s =0时，0v v =得 0ln ln v s R v +- =μ 即 s R e v v μ -=0 由动能定理 2 022 121mv mv W -= ，当滑块从另一端滑出即R s π=时，摩擦力所做的功为 () 12 1212122020220-=-=--πμ πμ e mv mv e mv W R R 4-3 质量为m 的质点开始处于静止状态，在外力F 的作用下沿直线运动。已知 T t F F π2sin 0=，方向与直线平行。求：(1)在0到T 的时间内，力F 的冲量的大小；(2)在0到2T 时间内，力F 冲量的大小；(3)在0到2T 时间内，力F 所作的总功；(4)讨论质点的运动情况。 [解]由冲量的定义?=1 2 d t t t F I ，在直线情况下，求冲量I 的大小可用代数量的积分，即 ?= 1 2 d t t t F I (1) 从t ＝0到 t=T ，冲量的大小为： ?= =T t F I 01d ?-=T T T t T F t T t F 0 00]2cos [2d 2sin πππ=0 (2) 从t =0到 t =T /2，冲量的大小为 π πππ0000 0022 2 2]2cos [2d 2sin d TF T t T F t T t F t F I T T T =-=== ?? (3) 初速度00=v ，由冲量定理 0mv mv I -= 当 t =T /2时，质点的速度m TF m I v π0== 又由动能定理，力F 所作的功 m F T m F mT mv mv mv A 22022 22022 20222212121ππ===-= (4) 质点的加速度)/2sin()/(0T t m F a π=，在t =0到t =T /2时间内，a >0，质点 作初速度为零的加速运动，t =T /2时，a =0，速度达到最大；在t =T /2到t =T 时间内，a <0，但v >0，故质点作减速运动，t =T 时 a =0，速度达到最小，等于零；此后，质点又进行下一 习题八 8-1 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题8-1图示 (1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q'为负电荷 2 2 2 0) 3 3 ( π4 1 30 cos π4 1 2 a q q a q' = ? ε ε 解得q q 3 3 - =' (2)与三角形边长无关． 题8-1图题8-2图 8-7 一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ,求环心处O点的场强． 解: 如8-7图在圆上取? Rd dl= 题8-7图 ? λ λd d d R l q= =，它在O点产生场强大小为 2 0π4d d R R E ε? λ= 方向沿半径向外 则 ??ελ ?d sin π4sin d d 0R E E x = = ??ελ ?πd cos π4)cos(d d 0R E E y -= -= 积分R R E x 000 π2d sin π4ελ ??ελπ == ? 0d cos π400 =-=? ??ελ π R E y ∴ R E E x 0π2ελ = =，方向沿x 轴正向． 8-11 半径为1R 和2R (2R ＞1R )的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量λ和-λ,试求:(1)r ＜1R ；(2) 1R ＜r ＜2R ；(3) r ＞2R 处各点的场强． 解: 高斯定理0 d ε∑? = ?q S E s 取同轴圆柱形高斯面，侧面积rl S π2= 则 rl E S E S π2d =?? 对(1) 1R r < 0,0==∑E q (2) 21R r R << λl q =∑ ∴ r E 0π2ελ = 沿径向向外 题1.1：已知质点沿x 轴作直线运动，其运动方程为3322)s m 2()s m 6(m 2t t x --?-?+= 。求（l ）质点在运动开始后s 0.4内位移的大小；（2）质点在该时间内所通过的路程。 题1.1解：（1）质点在4.0 s 内位移的大小 m 3204-=-=?x x x （2）由 0)s m 6()s m 12(d d 232=?-?=--t t t x 得知质点的换向时刻为 ｓ2=P t （t = 0不合题意） 则：m 0.8021=-=?x x x m 40x 242-=-=?x x 所以，质点在4.0 s 时间间隔内的路程为 m 4821=?+?=x x s 题1.2：一质点沿x 轴方向作直线运动，其速度与时间的关系如图所示。设0=t 时，0=x 。试根据已知的图t v -，画出t a -图以及t x -图。 题1.2解：将曲线分为AB 、BC 、CD 三个过程，它们对应的加速度值分别为 2A B A B AB s m 20-?=--=t t v v a （匀加速直线运动） 0BC =a （匀速直线） 2C D C D CD s m 10-?-=--= t t v v a （匀减速直线运动） 根据上述结果即可作出质点的a －t 图 在匀变速直线运动中，有 2002 1at t v x x + += 间内，质点是作v = 201s m -?的匀速直线运动，其x －t 图是斜率k = 20的一段直线。 题1.3：如图所示，湖中有一小船。岸上有人用绳跨过定滑轮拉船靠岸。设滑轮距水面高度为h ，滑轮到原船位置的绳长为0l ，试求：当人以匀速v 拉绳，船运动的速度v '为多少？ 《大学物理学》课后习题参考答案 习 题1 1-1. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为 )ωt sin ωt (cos j i +=R r 其中ω为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。 解：1） 由)ωt sin ωt (cos j i +=R r 知 t cos R x ω= t sin R y ω= 消去t 可得轨道方程 222R y x =+ 2） j r v t Rcos sin ωωt ωR ωdt d +-== i R ωt ωR ωt ωR ωv =+-=2 122 ])cos ()sin [( 1-2. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为j i r )t 23(t 42++=，式中r 的单位为m ，t 的单位为s .求： （1）质点的轨道；（2）从0=t 到1=t 秒的位移；（3）0=t 和1=t 秒两时刻的速度。 解：1）由j i r )t 23(t 42++=可知 2t 4x = t 23y += 消去t 得轨道方程为：2)3y (x -= 2）j i r v 2t 8dt d +== j i j i v r 24)dt 2t 8(dt 1 1 +=+==??Δ 3） j v 2(0)= j i v 28(1)+= 1-3. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为j i r t t 22+=，式中r 的单位为m ，t 的单 位为s .求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。 解：1）j i r v 2t 2dt d +== i v a 2dt d == 2）21 22 12)1t (2] 4)t 2[(v +=+= 1 t t 2dt dv a 2 t +== n a == 1-4. 一升降机以加速度a 上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为d ，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。 解：以地面为参照系，坐标如图，升降机与螺丝的运动方程分别为 2012 1 at t v y += （1） 图 1-4 2022 1 gt t v h y -+= （2） 21y y = （3） 解之 t = 1-5. 一质量为m 的小球在高度h 处以初速度0v 水平抛出，求： （1）小球的运动方程； （2）小球在落地之前的轨迹方程； （3）落地前瞬时小球的t d d r ，t d d v ，t v d d . 解：（1） t v x 0= 式（1） 2gt 2 1 h y -= 式（2） j i r )gt 2 1 -h (t v (t)20+= （2）联立式（1）、式（2）得 2 02 v 2gx h y -= （3） j i r gt -v t d d 0= 而 落地所用时间 g h 2t = 大学物理课后习题答案第六章 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 第6章 真空中的静电场 习题及答案 1. 电荷为q +和q 2-的两个点电荷分别置于1=x m 和1-=x m 处。一试验电荷置于x 轴上何处，它受到的合力等于零？ 解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷0q 位于点电荷q +的右侧，它受到的合力才可能为0，所以 2 00 200)1(π4)1(π42-=+x qq x qq εε 故 223+=x 2. 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解：(1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知，q '为负电荷，所以 2 220)3 3(π4130cos π412a q q a q '=?εε 故 q q 3 3- =' (2)与三角形边长无关。 3. 如图所示，半径为R 、电荷线密度为1λ的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为 l 、电荷线密度为2λ的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。求该直线段受到的 电场力。 解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。在带电圆环上取dl dq 1λ=，dq 在带电圆环轴线上x 处产生的场强大小为 ) (4220R x dq dE += πε 根据电荷分布的对称性知，0==z y E E 2 3220)(41 cos R x xdq dE dE x += =πεθ R O λ1 λ2 l x y z 大学物理学下册 吴柳 第12章 12.1 一个封闭的立方体形的容器,内部空间被一导热的、不漏气的、可移动的隔板分为两部分,开始其内为真空,隔板位于容器的正中间(即隔板两侧的长度都为l 0),如图12-30所示.当两侧各充以p 1,T 1与 p 2,T 2的相同气体后, 长度之比是多少)? 解: 活塞两侧气体的始末状态满足各自的理想气体状态方程 左侧: T pV T V p 111= 得, T pT V p V 1 11= 右侧: T pV T V p 222= 得, T pT V p V 2 22= 122121T p T p V V = 即隔板两侧的长度之比 1 22121T p T p l l = 12.2 已知容器内有某种理想气体,其温度和压强分别为T =273K,p =1.0×10-2 atm ,密度32kg/m 1024.1-?=ρ.求该气体的摩尔质量. 解: nkT p = (1) nm =ρ (2) A mN M = (3) 由以上三式联立得: 1235 2232028.010022.610 013.1100.12731038.11024.1----?=?????????==mol kg N p kT M A ρ 12.3 可用下述方法测定气体的摩尔质量:容积为V 的容器内装满被试验的气体,测出其压力为p 1,温度为T ,并测出容器连同气体的质量为M 1,然后除去一部分气体,使其压力降为p 2,温度不变,容器连同气体的质量为M 2,试求该气体的摩尔质量. 解： () V V -2 2p T )(21M M - V 1p T 1M V 2p T 2M 221V p V p = (1) ( )()RT M M M V V p 21 22-=- (2) 西安工业大学试题纸 1.若质点的运动方程为：()2r 52/2t t i t j =+-+（SI ），则质点的v ＝ 。 2. 一个轴光滑的定滑轮的转动惯量为2/2MR ，则要使其获得β的角加速度，需要施加的合外力矩的大小为 。 3.刚体的转动惯量取决于刚体的质量、质量的空间分布和 。 4.一物体沿x 轴运动，受到F =3t (N)的作用，则在前1秒内F 对物体的冲量是 （Ns ）。 5. 一个质点的动量增量与参照系 。（填“有关”、“无关”） 6. 由力对物体的做功定义可知道功是个过程量，试回答：在保守力场中，当始末位置确定以后，场力做功与路径 。（填“有关”、“无关”） 7.狭义相对论理论中有2个基本原理(假设)，一个是相对性原理，另一个是 原理。 8.在一个惯性系下，1、2分别代表一对因果事件的因事件和果事件，则在另一个惯性系下，1事件的发生 2事件的发生（填“早于”、“晚于”）。 9. 一个粒子的固有质量为m 0，当其相对于某惯性系以0.8c 运动时的质量m = ；其动能为 。 10. 波长为λ，周期为T 的一平面简谐波在介质中传播。有A 、B 两个介质质点相距为L ，则A 、B 两个质点的振动相位差=?φ____；振动在A 、B 之间传播所需的时间为_ 。 11. 已知平面简谐波方程为cos()y A Bt Cx =-，式中A 、B 、C 为正值恒量，则波的频率为 ；波长为 ；波沿x 轴的 向传播（填“正”、“负”）。 12.惠更斯原理和波动的叠加原理是研究波动学的基本原理，对于两列波动的干涉而言，产生稳定的干涉现象需要三个基本条件：相同或者相近的振动方向，稳定的位相差，以及 。 13. 已知一个简谐振动的振动方程为10.06cos(10/5)()X t SI π=+，现在另有一简谐振动，其振动方程为20.07cos(10)X t =+Φ，则Φ= 时，它们的合振动振幅最 大；Φ= 时，它们的合振动振幅最小。 14. 平衡态下温度为T 的1mol 单原子分子气体的内能为 。 15. 平衡态下理想气体(分子数密度为n ，分子质量为m ，分子速率为v )的统计压强P= ;从统计角度来看，对压强和温度这些状态量而言， 是理想气体分子热运动激烈程度的标志。 大学物理下练习题 一、选择题（每题1分，共41分） 1．关于电场强度定义式E = F /q 0，下列说法中哪个是正确的？（B ） (A) 场强E 的大小与试验电荷q 0的大小成反比； (B) 对场中某点，试验电荷受力F 与q 0的比值不因q 0而变； (C) 试验电荷受力F 的方向就是场强E 的方向； (D) 若场中某点不放试验电荷q 0，则F = 0，从而E = 0. 2．下列几个说法中哪一个是正确的？（C ） （A ）电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向。 （B ）在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同。 （C ）场强方向可由 E =F /q 定出，其中 q 为试验电荷的电量，q 可正、可负，F 为试验电荷所受的电场力。 ( D )以上说法都不正确。 3．图1.1所示为一沿x 轴放置的“无限长”分段均匀带电直线,电荷线密度分别为+λ ( x < 0)和-λ ( x > 0)，则xOy 平面上(0, a )点处的场强为: （A ） (A ) i a 02πελ . (B) 0. (C) i a 04πελ . (D) )(40j +i a πελ . 4. 边长为a 的正方形的四个顶点上放置如图1.2所示的点电荷,则中心O 处场强（C ） (A) 大小为零. (B) 大小为q/(2πε0a 2), 方向沿x 轴正向. (C) 大小为() 2022a q πε, 方向沿y 轴正向. (D) 大小为()2 022a q πε, 方向沿y 轴负向. 5. 如图1.3所示.有一电场强度E 平行于x 轴正向的均匀电场，则通过图中一半径为R 的半球面的电场强度通量为（D ） (A) πR 2E . (B) πR 2E /2 . (C) 2πR 2E . (D) 0 . 6. 下列关于高斯定理理解的说法中，正确的是：（B ） （Ａ）当高斯面内电荷代数和为零时，高斯面上任意点的电场强度都等于零 +λ -λ ? (0, a ) x y O 图 1.1 图1.2 图1.3 大学物理(上)课后习题答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 3 第1章 质点运动学 P21 1.8 一质点在xOy 平面上运动，运动方程为：x =3t +5, y = 2 1t 2 +3t -4. 式中t 以 s 计，x ,y 以m 计。⑴以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；⑵求出t =1 s 时刻和t ＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；⑶ 计算t ＝0 s 时刻到t ＝4s 时刻内的平均速度；⑷求出质点速度矢量表示式，计算t ＝4 s 时质点的速度；(5)计算t ＝0s 到t ＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t ＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)。 解：（1）j t t i t r )432 1()53(2 m ⑵ 1 t s,2 t s 时，j i r 5.081 m ；2114r i j v v v m ∴ 213 4.5r r r i j v v v v v m ⑶0t s 时，054r i j v v v ；4t s 时，41716r i j v v v ∴ 140122035m s 404r r r i j i j t v v v v v v v v v ⑷ 1 d 3(3)m s d r i t j t v v v v v ，则：437i j v v v v 1s m (5) 0t s 时，033i j v v v v ；4t s 时，437i j v v v v 24041 m s 44 j a j t v v v v v v v v v (6) 2d 1 m s d a j t v v v v 这说明该点只有y 方向的加速度，且为恒量。 1.9 质点沿x 轴运动，其加速度和位置的关系为2 26a x ，a 的单位为m/s 2， x 的单位为m 。质点在x =0处，速度为10m/s,试求质点在任何坐标处的速度值。 解：由d d d d d d d d x a t x t x v v v v 得：2 d d (26)d a x x x v v 两边积分 210 d (26)d x x x v v v 得：2322250x x v ∴ 31225 m s x x v 1.11 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 =2+33t ，式中 以弧度计，t 以秒计，求：⑴ t ＝2 s 时，质点的切向和法向加速度；⑵当加速度 的方向和半径成45°角时，其角位移是多少? 解： t t t t 18d d ,9d d 2 ⑴ s 2 t 时，2 s m 362181 R a 2 222s m 1296)29(1 R a n ⑵ 当加速度方向与半径成ο45角时，有：tan 451n a a 即： R R 2 ，亦即t t 18)9(2 2 ，解得：9 2 3 t 则角位移为：32 2323 2.67rad 9 t 1.13 一质点在半径为0.4m 的圆形轨道上自静止开始作匀角加速度转动，其角加速度为 =0.2 rad/s 2，求t ＝2s 时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度。 解：s 2 t 时，4.02 2.0 t 1s rad 则0.40.40.16R v 1s m 064.0)4.0(4.022 R a n 2 s m 0.40.20.08a R 2 s m 22222s m 102.0)08.0()064.0( a a a n 与切向夹角arctan()0.0640.0843n a a 习题9 9.1选择题 (1)正方形的两对角线处各放置电荷Q，另两对角线各放置电荷q，若Q所受到合力为零， 则Q与q的关系为：（） （A）Q=-23/2q (B) Q=23/2q (C) Q=-2q (D) Q=2q [答案：A] (2)下面说法正确的是：（） （A）若高斯面上的电场强度处处为零，则该面内必定没有净电荷； （B）若高斯面内没有电荷，则该面上的电场强度必定处处为零； （C）若高斯面上的电场强度处处不为零，则该面内必定有电荷； （D）若高斯面内有电荷，则该面上的电场强度必定处处不为零。 [答案：A] (3)一半径为R的导体球表面的面点荷密度为σ，则在距球面R处的电场强度（） （A）σ/ε0 （B）σ/2ε0 （C）σ/4ε0 （D）σ/8ε0 [答案：C] (4)在电场中的导体内部的（） （A）电场和电势均为零；（B）电场不为零，电势均为零； （C）电势和表面电势相等；（D）电势低于表面电势。 [答案：C] 9.2填空题 (1)在静电场中，电势梯度不变的区域，电场强度必定为。 [答案：零] (2)一个点电荷q放在立方体中心，则穿过某一表面的电通量为，若将点电荷由中 心向外移动至无限远，则总通量将。 [答案：q/6ε0, 将为零] (3)电介质在电容器中作用（a）——（b）——。 [答案：(a)提高电容器的容量;(b) 延长电容器的使用寿命] (4)电量Q均匀分布在半径为R的球体内，则球内球外的静电能之比。 [答案：1：5] 9.3 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题9.3图示 (1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q 为负电荷 1某质点的运动学方程x=6+3t-5t 3 ，则该质点作 （ D ） （A ）匀加速直线运动，加速度为正值 （B ）匀加速直线运动，加速度为负值 （C ）变加速直线运动，加速度为正值 （D ）变加速直线运动，加速度为负值 2一作直线运动的物体，其速度x v 与时间t 的关系曲线如图示。设21t t →时间合力作功为 A 1，32t t →时间合力作功为A 2，43t t → 3 C ） （A ）01?A ，02?A ，03?A （B ）01?A ，02?A ， 03?A （C ）01=A ，02?A ，03?A （D ）01=A ，02?A ，03?A 3 关于静摩擦力作功，指出下述正确者（ C ） （A ）物体相互作用时，在任何情况下，每个静摩擦力都不作功。 （B ）受静摩擦力作用的物体必定静止。 （C ）彼此以静摩擦力作用的两个物体处于相对静止状态，所以两个静摩擦力作功之和等于 零。 4 质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，经过时间T 转动一圈，那么在2T 的时间，其平均 速度的大小和平均速率分别为（B ） （A ） ， （B ） 0， （C ）0， 0 （D ） T R π2， 0 5、质点在恒力F 作用下由静止开始作直线运动。已知在时间1t ?，速率由0增加到υ；在2t ?， 由υ增加到υ2。设该力在1t ?，冲量大小为1I ，所作的功为1A ；在2t ?，冲量大小为2I ， 所作的功为2A ，则（ D ） A ．2121;I I A A <= B. 2121;I I A A >= C. 2121;I I A A => D. 2121;I I A A =< 6如图示两个质量分别为B A m m 和的物体A 和B 一起在水平面上沿x 轴正向作匀减速直线 运动，加速度大小为a ，A 与B 间的最大静摩擦系数为μ，则A 作用于B 的静摩擦力F 的 大小和方向分别为（D ） 轴正向相反与、轴正向相同 与、轴正向相同 与、轴正向相反 与、x a m D x a m x g m x g m B B B B ,,C ,B ,A μμT R π2T R π2T R π2t 一、 选择题 1. 对一个作简谐振动的物体，下面哪种说法是正确的？ [ C ] (A) 物体处在运动正方向的端点时，速度和加速度都达到最大值； (B) 物体位于平衡位置且向负方向运动时，速度和加速度都为零； (C) 物体位于平衡位置且向正方向运动时，速度最大，加速度为零； (D) 物体处在负方向的端点时，速度最大，加速度为零。 2. 一沿X 轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A ，周期为T ，振动方程用余弦函数表示，如果该振子 的初相为4 3 π，则t=0时，质点的位置在： [ D ] (A) 过1x A 2=处，向负方向运动； (B) 过1x A 2 =处，向正方向运动； (C) 过1x A 2=-处，向负方向运动；(D) 过1 x A 2 =-处，向正方向运动。 3. 一质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为/2A ，且向x 轴的正方向运动，代表 此简谐振动的旋转矢量图为 [ B ] 4. 图(a)、(b)、(c)为三个不同的谐振动系统，组成各系统的各弹簧的倔强系数及重物质量如图所示，(a)、(b)、(c)三个振动系统的ω (ω为固有圆频率)值之比为： [ B ] (A) 2：1：1； (B) 1：2：4； (C) 4：2：1； (D) 1：1：2 5. 一弹簧振子，当把它水平放置时，它可以作简谐振动，若把它竖直放置或放在固定的光滑斜面上如图，试判断下面哪种情况是正确的： [ C ] (A) 竖直放置可作简谐振动，放在光滑斜面上不能作简谐振动； (B) 竖直放置不能作简谐振动，放在光滑斜面上可作简谐振动； (C) 两种情况都可作简谐振动； (D) 两种情况都不能作简谐振动。 6. 一谐振子作振幅为A 的谐振动，它的动能与势能相等时，它的相位和坐标分别为： [ C ] (4) 题(5) 题 第一章质点运动学 1、(习题1.1)：一质点在xOy 平面内运动，运动函数为2 x =2t,y =4t 8-。（1）求质点的轨道方程；（2）求t =1 s t =2 s 和时质点的位置、速度和加速度。 解：（1）由x=2t 得， y=4t 2-8 可得： y=x 2 -8 即轨道曲线 （2）质点的位置 ： 2 2(48)r ti t j =+- 由d /d v r t =则速度： 28v i tj =+ 由d /d a v t =则加速度： 8a j = 则当t=1s 时，有 24,28,8r i j v i j a j =-=+= 当t=2s 时，有 48,216,8r i j v i j a j =+=+= 2、（习题1.2）： 质点沿x 在轴正向运动，加速度kv a -=，k 为常数．设从原点出发时速 度为0v ，求运动方程)(t x x =. 解： kv dt dv -= ??-=t v v kdt dv v 001 t k e v v -=0 t k e v dt dx -=0 dt e v dx t k t x -?? =0 00 )1(0 t k e k v x --= 3、一质点沿x 轴运动，其加速度为a = 4t (SI)，已知t = 0时，质点位于x 0=10 m 处，初速度v 0 = 0．试求其位置和时间的关系式． 解： =a d v /d t 4=t d v 4=t d t ? ?=v v 0 d 4d t t t v 2=t 2 v d =x /d t 2=t 2 t t x t x x d 2d 0 20 ?? = x 2= t 3 /3+10 (SI) 4、一质量为m 的小球在高度h 处以初速度0v 水平抛出，求： （1）小球的运动方程； （2）小球在落地之前的轨迹方程； （3）落地前瞬时小球的 d d r t ，d d v t ，t v d d . 解：（1） t v x 0= 式（1） 2gt 21h y -= 式（2） 201 ()(h -)2 r t v t i gt j =+ （2）联立式（1）、式（2）得 2 2 v 2gx h y -= （3） 0d -gt d r v i j t = 而落地所用时间 g h 2t = 所以 0d -2g h d r v i j t = d d v g j t =- 2 202y 2x )gt (v v v v -+=+= 21 20 212202)2(2])([gh v gh g gt v t g dt dv +=+= 第9章 静电场 习 题 一 选择题 9-1 两个带有电量为2q 等量异号电荷，形状相同的金属小球A 和B 相互作用力为f ，它们之间的距离R 远大于小球本身的直径，现在用一个带有绝缘柄的原来不带电的相同的金属小球C 去和小球A 接触，再和B 接触，然后移去，则球A 和球B 之间的作用力变为[ ] (A) 4f (B) 8f (C) 38f (D) 16 f 答案：B 解析：经过碰撞后，球A 、B 带电量为2q ，根据库伦定律12204q q F r πε=，可知球A 、B 间的作用力变为 8 f 。 9-2关于电场强度定义式/F E =0q ，下列说法中哪个是正确的？[ ] (A) 电场场强E 的大小与试验电荷0q 的大小成反比 (B) 对场中某点，试验电荷受力F 与0q 的比值不因0q 而变 (C) 试验电荷受力F 的方向就是电场强度E 的方向 (D) 若场中某点不放试验电荷0q ，则0=F ，从而0=E 答案：B 解析：根据电场强度的定义，E 的大小与试验电荷无关，方向为试验电荷为正电荷时的受力方向。因而正确答案（B ） 9-3 如图9-3所示，任一闭合曲面S 内有一点电荷q ，O 为S 面上任一点，若将q 由闭合曲面内的P 点移到T 点，且 OP =OT ，那么[ ] (A) 穿过S 面的电场强度通量改变，O 点的场强大小不变 (B) 穿过S 面的电场强度通量改变，O 点的场强大小改变 习题9-3图 (C) 穿过S 面的电场强度通量不变，O 点的场强大小改变 (D) 穿过S 面的电场强度通量不变，O 点的场强大小不变 答案：D 解析：根据高斯定理，穿过闭合曲面的电场强度通量正比于面内电荷量的代数和，曲面S 内电荷量没变，因而电场强度通量不变。O 点电场强度大小与所有电荷有关，由点电荷电场强度大小的计算公式2 04q E r πε= ，移动电荷后，由于OP =OT ， 即r 没有变化，q 没有变化，因而电场强度大小不变。因而正确答案（D ） 9-4 在边长为a 的正立方体中心有一个电量为q 的点电荷，则通过该立方体任一面的电场强度通量为 [ ] (A) q /ε0 (B) q /2ε0 (C) q /4ε0 (D) q /6ε0 答案：D 解析：根据电场的高斯定理，通过该立方体的电场强度通量为q /ε0，并且电荷位于正立方体中心，因此通过立方体六个面的电场强度通量大小相等。因而通过该立方体任一面的电场强度通量为q /6ε0，答案（D ） 9-5 在静电场中，高斯定理告诉我们[ ] (A) 高斯面内不包围电荷，则面上各点E 的量值处处为零 (B) 高斯面上各点的E 只与面内电荷有关，但与面内电荷分布无关 (C) 穿过高斯面的E 通量，仅与面内电荷有关，而与面内电荷分布无关 (D) 穿过高斯面的E 通量为零，则面上各点的E 必为零 答案：C 解析：高斯定理表明通过闭合曲面的电场强度通量正比于曲面内部电荷量的代数和，与面内电荷分布无关；电场强度E 为矢量，却与空间中所有电荷大小与分布均有关。故答案（C ） 9-6 两个均匀带电的同心球面，半径分别为R 1、R 2(R 1 2008年下学期2007级《大学物理（下）》期末考试（A 卷） 一、选择题(共27分) 1. (本题3分) (2717) 距一根载有电流为3×104 A 的电线1 m 处的磁感强度的大小为 (A) 3×10-5 T ． (B) 6×10-3 T ． (C) 1.9×10-2T ． (D) 0.6 T ． (已知真空的磁导率μ0 =4π×10-7 T ·m/A) ［ ］ 2. (本题3分)(2391) 一电子以速度v 垂直地进入磁感强度为B 的均匀磁场中，此电子在磁场中运动轨道所围的面积内的磁通量将 (A) 正比于B ，反比于v 2． (B) 反比于B ，正比于v 2． (C) 正比于B ，反比于v ． (D) 反比于B ，反比于v ． ［ ］ 3. (本题3分)(2594) 有一矩形线圈AOCD ，通以如图示方向的电流I ，将它置于均匀磁场B 中，B 的方向与x 轴正方向一致，线圈平面与x 轴之间的夹角为α，α < 90°．若AO 边在y 轴上，且线圈可绕y 轴自由转动，则线圈将 (A) 转动使α 角减小． (B) 转动使α角增大． (C) 不会发生转动． (D) 如何转动尚不能判定． ［ ］ 4. (本题3分)(2314) 如图所示，M 、N 为水平面内两根平行金属导轨，ab 与cd 为垂直于导轨并可在其上自由滑动的两根直裸导线．外磁场垂直水平面向上．当外力使 ab 向右平移时，cd (A) 不动． (B) 转动． (C) 向左移动． (D) 向右移动．［ ］ 5. (本题3分)(2125) 如图，长度为l 的直导线ab 在均匀磁场B 中以速度v 移动，直导线ab 中的电动势为 (A) Bl v ． (B) Bl v sin α． (C) Bl v cos α． (D) 0． ［ ］ 6. (本题3分)(2421) 已知一螺绕环的自感系数为L ．若将该螺绕环锯成两个半环式的螺线管，则两个半环螺线管的自感系数 c a b d N M B大学物理学下册答案第11章
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