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几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式

几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式

(45分钟70分)

一、选择题(每小题5分,共40分)

1.(优质试题·丽江高二检测)函数f(x)=,则f′(3)等于( )

A. B.0 C. D.

【解析】选A.因为f′(x)=()′=,

所以f′(3)==.

【规律总结】求函数在某点处导数的方法

函数f(x)在点x0处的导数等于f′(x)在点x=x0处的函数值.在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公式求出导函数,再将x0代入导函数求解,不能先代入后求导.

2.若y=lnx,则其图象在x=2处的切线斜率是( )

A.1

B.0

C.2

D.

【解析】选D.因为y′=,所以当x=2时,y′=,

故图象在x=2处的切线斜率为.

3.已知函数f(x)=x3的切线的斜率等于3,则切线有( )

A.1条

B.2条

C.3条

D.不确定

【解析】选B.因为f ′(x)=3x2=3,解得x=±1.

切点有两个,即可得切线有两条.

【补偿训练】若曲线y=x3+x-2在点P0处的切线平行于直线4x-y+1=0,则点P0的一个坐标是( )

A.(0,-2)

B.(1,1)

C.(-1,-4)

D.(1,4)

【解析】选C.因为y′=3x2+1=4,所以x=±1,

所以y=0或-4,

所以P0的坐标为(1,0)或(-1,-4).

4.给出下列四个导数

①′=cos;②(lo x)′=-;③′=;④(x4)′=4x3. 其中正确的导数共有( )

A.2个

B.3个

C.4个

D.0个

【解析】选A.根据导数基本公式求导,再判断.

①sin=,而′=0,①错;

②(lo x)′==-,②对;

③′=-,③错;

④(x4)′=4x3,④对,故②④正确.

【补偿训练】下列各式中正确的是( )

A.(lnx)′=x

B.(cosx)′=sinx

C.(sinx)′=cosx

D.(x-8)′=-x-9

【解析】选C.因为(lnx)′=,(cosx)′=-sinx,(x-8)′=-8x-9=-,所以A,B,D均不正确,C正确.

5.对任意的x,有f′(x)=4x3,f(1)=-1,则此函数解析式为( )

A.f(x)=x3

B.f(x)=x4-2

C.f(x)=x3+1

D.f(x)=x4-1

【解析】选B.由f′(x)=4x3知,f(x)中含有x4项,然后将x=1代入选项中验证可得.

6.(优质试题·许昌高二检测)已知y=x+1+lnx在点A(1,2)处的切线是l,若l与二次函数y=ax2+(a+2)x+1的图象也相切,则实数a的取值为( )

A.12

B.8

C.0

D.4

【解析】选D.因为y′=1+,

所以曲线y=x+1+lnx在x=1处的切线斜率为k=2,

则切线方程为y-2=2x-2,即y=2x,

由于切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,

联立得ax2+ax+1=0,

又因为a≠0且两线相切有一切点,所以Δ=a2-4a=0,所以a=4.

7.若曲线y=在点(a,)处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为18,则a= ( )

A.64

B.32

C.16

D.8

【解析】选A.由y′=-,

所以k=-,切线方程是y-=-(x-a).

令x=0,y=;令y=0,x=3a.

所以三角形的面积S=·3a·=18,解得a=64.

8.(优质试题·宝鸡高二检测)已知直线y=kx是曲线y=e x的切线,则实数k的值为

( ) A. B.- C.-e D.e

【解析】选D.设切点为(x0,).y′=e x,

当x=x0时,y′=,

所以过切点的切线方程为y-=(x-x0),

即y=x+(1-x0),

又y=kx是切线,所以所以

【延伸探究】若将本题中的曲线“y=e x”改为“y=lnx”,则实数k= ( )

A. B.- C.-e D.e

【解析】选A.设切点为(x0,lnx0).y′=,

当x=x0时,y′=,

所以过切点的切线方程为y-lnx0=(x-x0),

即y=x+lnx0-1,所以

所以

二、填空题(每小题5分,共10分)

9.(优质试题·兴义高二检测)设曲线y=x n+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n,令a n=lgx n,则a1+a2+…+a99的值

为.

【解析】y′=(n+1)x n,曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得x n=.

a n=lgx n=lg=lgn-lg(n+1),

则a1+a2+…+a99=lg1-lg2+lg2-lg3+…+lg99-lg100=-lg100=-2.

答案:-2

10.(优质试题·广州高二检测)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=lnx在x=e(e为自然对数的底数)处的切线与直线ax-y+3=0垂直,则实数a的值为.

【解析】因为y=lnx的导数为y′=,

即曲线y=lnx在x=e处的切线斜率为k=,

由于切线与直线ax-y+3=0垂直,则a·=-1,

解得a=-e.

答案:-e

三、解答题(每小题10分,共20分)

11.求下列函数的导数.

(1)y=.

(2)y=.

(3)y=-2sin.

(4)y=log2x2-log2x.

【解析】(1)y′=()′=()′===.

(2)y′=′=(x-5)′=-5x-6

=-.

(3)因为y=-2sin

=2sin=2sin cos=sinx,

所以y′=(sinx)′=cosx.

(4)因为y=log2x2-log2x=log2x,所以y′=(log2x)′=.

【方法总结】

1.公式记忆:对于公式(a x)′=a x lna与(log a x)′=记忆较难,又易混淆,要注意区分公式的结构特征,既要从纵的方面(lnx)′与(log a x)′和(e x)′与(a x)′区分,又要从横的方面(log a x)′与(a x)′区分,找出差异记忆公式.

2.求导注意点:

(1)应用导数公式时不需对公式说明,掌握这些公式的基本结构和变化规律直接应用即可.

(2)需要根据所给函数的特征,恰当地选择公式.

(3)对一些函数求导时,要弄清一些函数的内部关系,合理转化后再求导,如y=,y=,可以转化为y=,y=x-3后再求导.

【补偿训练】求下列函数的导数.

(1)y=a2(a为常数).

(2)y=x12.

(3)y=x-5.

(4)y=lgx.