第1讲几何证明选讲
【高考考情解读】高考中主要考查三角形相似、平行截割定理、直角三角形射影定理以及与圆有关的性质和判定，考查逻辑推理能力．与圆有关的切线、割线以及三角形的综合问题是高考的热点．高考中主要是应用定理解决有关求角、求线段长、求线段长的比以及证明等类型的题目，题型以解答题形式出现，难度为中档，分值为10分．
1．相似三角形的判定与性质
(1)判定定理
①两角对应相等的两个三角形相似；
②三边对应成比例的两个三角形相似；
③两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．
(2)性质定理
①相似三角形对应边上的高的比、中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
②相似三角形周长的比等于相似比．
③相似三角形面积的比等于相似比的平方．
2．直角三角形的射影定理及逆定理
(1)射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边
分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．
(2)射影定理的逆定理：如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例
中项，那么这个三角形是直角三角形．
3．圆周角与圆心角定理
(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．
(3)推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也
相等；②半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
4．圆内接四边形的性质与判定定理
(1)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆． 推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． (2)性质定理：①圆的内接四边形的对角互补；②圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．
5． 圆的切线的判定及性质
(1)圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (2)圆的切线的性质定理
①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 6． 直线与圆位置关系的“四定理”
(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
考点一 相似三角形的判定与性质
例1 如右图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，E 、F 分别是
AB 、BC 的中点，EF 与BD 相交于点M . (1)求证：△EDM ∽△FBM ； (2)若DB ＝9，求BM .
(1)证明 ∵E 是AB 的中点，∴AB ＝2EB . ∵AB ＝2CD ，∴CD ＝EB .
又AB ∥CD ，∴四边形CBED 是平行四边形． ∴CB ∥DE ，
∴?
????
∠DEM ＝∠BFM ，∠EDM ＝∠FBM ， ∴△EDM ∽△FBM .
(2)解 ∵△EDM ∽△FBM ， ∴
DM BM ＝DE
BF
. ∵F 是BC 的中点， ∴DE ＝2BF .∴DM ＝2BM ， ∴BM ＝1
3
DB ＝3.
判定三角形相似的常用方法：
(1)利用三角形判定定理； (2)利用平行线分线段成比例定理； (3)利用与圆有关的“四定理”．
(1)(2013·陕西改编)如图，AB 与CD 相交于点E ，
过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P .已知∠A ＝ ∠C ，PD ＝2DA ＝2，求PE 的长． 解 ∵BC ∥PE ，∴∠PED ＝∠C ＝∠A ，
∴△PDE ∽△PEA ，∴PE P A ＝PD
PE ，则PE 2＝P A ·PD ，
又∵PD ＝2DA ＝2，∴P A ＝PD ＋DA ＝3. ∴PE ＝P A ·PD ＝ 6.
(2)如图，梯形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，过点C 作⊙O 的切线，交 BD 的延长线于点P ，交AD 的延长线于点E . ①求证：AB 2＝DE ·BC ；
②若BD ＝9，AB ＝6，BC ＝9，求切线PC 的长． ①证明 ∵AD ∥BC ， ∴AB ＝CD ，∠EDC ＝∠BCD .
又PC 与⊙O 相切，∴∠ECD ＝∠DBC . ∴△CDE ∽△BCD ，∴DC BC ＝DE DC .
∴CD 2＝DE ·BC ， 即AB 2＝DE ·BC .
②解 由①知，DE ＝AB 2BC ＝629＝4，
∵AD ∥BC ，∴△PDE ∽△PBC ， ∴
PD PB ＝DE BC ＝49
. 又∵PB －PD ＝9，
∴PD ＝365，PB ＝81
5
.
∴PC 2
＝PD ·PB ＝365×815＝542
5
2.
∴PC ＝54
5
.
考点二 圆的切割线定理的应用
例2 如图所示，已知P A 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，
D 为⊙O 上一点，AD ，BC 相交于点
E . (1)若AD ＝AC ，求证：AP ∥CD ；
(2)若F 为CE 上一点使得∠EDF ＝∠P ，已知EF ＝1，EB ＝2， PB ＝4，求P A 的长．
(1)证明 ∵P A 是⊙O 的切线，AD 是弦， ∴∠P AD ＝∠ACD . ∵AD ＝AC ， ∴∠ADC ＝∠ACD ， ∴∠P AD ＝∠ADC ， ∴AP ∥CD .
(2)解 ∵∠EDF ＝∠P ， 又∠DEF ＝∠PEA ， ∴△DEF ∽△PEA ， 有
EF EA ＝ED
EP
， 即EF ·EP ＝EA ·ED .
而AD ，BC 是⊙O 的相交弦， ∴EC ·EB ＝EA ·ED ， 故EC ·EB ＝EF ·EP ，
∴EC ＝EF ·EP EB ＝1×(2＋4)2
＝3.
由切割线定理有P A 2＝PB ·PC ＝4×(3＋2＋4)＝36， ∴P A ＝6.
在与圆有关的问题中，或在特殊的几何图形中，常利用“四定理”及三角形
相似等知识来证明线段相等或线段成比例等问题．
一般地，涉及圆内的两条相交弦时首先考虑相交弦定理，涉及两条割线时要想到割线定理，涉及切线和割线时要注意应用切割线定理，要注意相交弦定理中线段之间的关系与切割线定理中线段之间的关系的区别．
(1)(2013·广东改编)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D
使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，求BC 的长．
解 因为C 为BD 中点，且AC ⊥BC ， 所以△ABD 为等腰三角形．
又∵AB ＝AD ＝6，∴AE ＝4，DE ＝2， 又
AE AC ＝AC
AD
?AC 2＝AE ·AD ＝4×6＝24，AC ＝2 6. 在△ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝36－24＝2 3.
(2)如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ，过N 点的切线交CA 的延长线于P . ①求证：PM 2＝P A ·PC ；
②若⊙O 的半径为23，OA ＝3OM ，求MN 的长．
①证明 如图，连结ON ，则ON ⊥PN ，且△OBN 为等腰三角形， 则∠OBN ＝∠ONB .
∵∠PMN ＝∠OMB ＝90°－∠OBN ， ∠PNM ＝90°－∠ONB ， ∴∠PMN ＝∠PNM ，∴PM ＝PN . 根据切割线定理，有PN 2＝P A ·PC ， ∴PM 2＝P A ·PC .
②解 ∵OA ＝23，OA ＝3OM ，∴OM ＝2， 在Rt △BOM 中，BM ＝OB 2＋OM 2＝4， 延长BO 交⊙O 于点D ，连结DN . 由条件易知△BOM ∽△BND ，
于是BO BN ＝BM BD ，即23BN ＝443，∴BN ＝6.
∴MN ＝BN －BM ＝6－4＝2. 考点三 圆的有关性质的综合应用
例3 (2013·课标全国Ⅱ)如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长
线交直线CD 于点D ，E 、F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE ＝DC ·AF ，B 、E 、F 、C 四点共圆． (1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；
(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B 、E 、F 、C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值． (1)证明 因为CD 为△ABC 外接圆的切线， 所以∠DCB ＝∠A ，
由题设知BC F A ＝DC
EA ，故△CDB ∽△AEF ，
所以∠DBC ＝∠EF A .
因为B ，E ，F ，C 四点共圆，
所以∠CFE ＝∠DBC ，故∠EF A ＝∠CFE ＝90°. 所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．
(2)解 连结CE ，因为∠CBE ＝90°， 所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ， 由DB ＝BE ，有CE ＝DC ， 又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2， 所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2.
而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比 值为12
.
高考中对几何证明的命题集中在圆和三角形、四边形相结合的综合性题目上，
这类试题往往要综合运用多个定理和添加一定的辅助线才能解决．已知圆的切线时，第一要考虑过切点和圆心的连线得直角；第二应考虑弦切角定理；第三涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理．同时注意四点共圆的判定及性质的应用．
(2013·课标全国Ⅰ)如图，直线AB 为圆O 的切线，切点为B ，点C 在圆上，
∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .
(1)证明：DB ＝DC ；
(2)设圆的半径为1，BC ＝3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径．
(1)证明 连结DE ， 则∠DCB ＝∠DEB ， ∵DB ⊥BE ，
∴∠DBC ＋∠CBE ＝90°，∠DEB ＋∠EDB ＝90°， ∴∠DBC ＋∠CBE ＝∠DEB ＋∠EDB ，
又∠CBE ＝∠EBF ＝∠EDB ， ∴∠DBC ＝∠DEB ＝∠DCB ， ∴DB ＝DC .
(2)解 由(1)知：∠CBE ＝∠EBF ＝∠BCE ， ∴CE ＝BE ， ∴∠BDE ＝∠CDE ，
∴DE 是BC 的垂直平分线，设交点为H ，则BH ＝3
2
， ∴OH ＝
1－34＝12，∴DH ＝32
，
∴tan ∠BDE ＝3232＝3
3，∴∠BDE ＝30°，
∴∠FBE ＝∠BDE ＝30°，
∴∠CBF ＋∠BCF ＝90°，∴∠BFC ＝90°， ∴BC 是△BCF 的外接圆直径． ∴△BCF
的外接圆半径为
3
2
.
1． 几何证明的难度应严格控制，在解决同一个问题的过程中，相似三角形(或全等三角形)
的使用不宜超过两次，添置的辅助线不超过三条．
2． 相似三角形是平面几何中极为重要的内容．从概念上看，相似是全等的拓展，全等只是
相似的特殊情形，而且研究有关全等的各种问题几乎都可以平行地研究有关各种相似问题．
3． 圆是轴对称图形，利用这一点可研究垂径定理和圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理．关
系定理使我们在圆心角、弧、弦、弦心距的证明中得以相互转化；垂径定理又可与等腰三角形的性质定理相沟通．
4． 直线和圆的相切的位置关系，以及由它引伸出来的一系列知识，如切线长定理、弦切角
定理和与圆有关的比例线段定理又是本节的重点，利用上述定理可以很方便地证明角相等、线段相等以及线段的比例问题．
1． 如图，在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AD 上的一点，延长BE
交AC 于点F .若AE AD ＝14，求AF
AC
的值．
解 如图，过点A 作AG ∥BC ，交BF 的延长线于点G .
∵
AE AD ＝14，∴AE ED ＝1
3
. 又∵△AGE ∽△DBE ， ∴
AG BD ＝AE ED ＝13
. ∵D 为BC 中点，BC ＝2BD ，∴AG BC ＝1
6.
∵△AGF ∽△CBF ，∴AF FC ＝AG BC ＝16，∴AF AC ＝1
7
.
2． 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，F 为⊙O 上的点，AC 是∠BAF 的平分
线，过点C 作CD ⊥AF 交AF 的延长线于D 点，CM ⊥AB ，垂足为 点M .
(1)求证：DC 是⊙O 的切线； (2)求证：AM ·MB ＝DF ·DA .
证明 (1)如图，连结OC ， ∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝OAC . 又∵CA 是∠BAF 的平分线， ∴∠DAC ＝∠OAC .
∴∠DAC ＝∠OCA .∴AD ∥OC .
又CD ⊥AD ，∴OC ⊥CD ，即DC 是⊙O 的切线．
(2)∵CA 是∠BAF 的平分线，∠CDA ＝∠CMA ＝90°，AC ＝AC ， ∴△ACD ≌△ACM ，∴CD ＝CM .
由(1)知DC 2＝DF ·DA ，又CM 2＝AM ·MB ， ∴AM ·MB ＝DF ·DA .
(推荐时间：60分钟)
1． 如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，
求BE 的长．
解 ∵AC ＝4，AD ＝12，∠ACD ＝90°， ∴CD 2＝AD 2－AC 2＝128，∴CD ＝8 2. 又∵AE ⊥BC ，∠B ＝∠D ，∴△ABE ∽△ADC ， ∴
AB AD ＝BE CD ，∴BE ＝AB ·CD AD ＝6×82
12
＝4 2.
2． 如图，A ，E 是半圆周上的两个三等分点，直径BC ＝4，AD ⊥BC ，
垂足为D ，BE 与AD 相交于点F ，求AF 的长．
解 如图，连结CE ，AO ，AB .根据A ，E 是半圆周上的两个三等分
点，BC 为直径，可得∠CEB ＝90°，∠CBE ＝30°，∠AOB ＝60°，故 △AOB 为等边三角形，AD ＝3，OD ＝BD ＝1，∴DF ＝3
3
， ∴AF ＝AD －DF ＝233
.
3． 如图，已知P A 、PB 是圆O 的切线，A 、B 分别为切点，C 为圆O 上
不与A 、B 重合的另一点，若∠ACB ＝120°，求∠APB 的大小． 解 如图，连结OA ，OB ，
∠P AO ＝∠PBO ＝90°，
∵∠ACB ＝120°，∴∠AOB ＝120°. 又P ，A ，O ，B 四点共圆， 故∠APB ＝60°.
4． (2013·广东改编)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，求ED
的长．
解 如图，作DF ⊥AC 于点F ， 由AB ＝3，BC ＝3知∠BAC ＝60°. 从而AE ＝
32，同理CF ＝32，DF ＝3
2
，
所以EF ＝AC －AE －CF ＝23－
32－3
2
＝ 3. 所以在△DEF 中：DE 2＝DF 2＋EF 2＝94＋3＝21
4，
所以DE ＝
21
2
. 5． (2012·江苏)如图，AB 是圆O 的直径，D ，E 为圆O 上位于AB 异侧的两点，连结BD 并
延长至点C ，使BD ＝DC ，连结AC ，AE ，DE . 求证：∠E ＝∠C .
证明 如图，连结OD ，因为BD ＝DC ，O 为AB 的中点， 所以OD ∥AC ，于是∠ODB ＝∠C . 因为OB ＝OD ，所以∠ODB ＝∠B . 于是∠B ＝∠C .
因为点A ，E ，B ，D 都在圆O 上，且D ，E 为圆O 上位于AB 异侧的 两点，所以∠E 和∠B 为同弧所对的圆周角，故∠E ＝∠B . 所以∠E ＝∠C .
6． 如图，P A 切⊙O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA
绕点O 逆时针旋转60°到OD ，求PD 的长． 解 方法一 连结AB ，
∵P A 切⊙O 于点A ，B 为PO 的中点， ∴AB ＝OB ＝OA ，
∴∠AOB ＝60°，∴∠POD ＝120°.
在△POD 中，由余弦定理得PD 2＝PO 2＋DO 2－2PO ·DO ·cos ∠POD ＝4＋1－4×(－1
2)＝7.
∴PD ＝7.
方法二 过D 作DE ⊥PC ，垂足为E ，
∴∠POD ＝120°，∴∠DOE ＝60°，可得OE ＝1
2，
DE ＝
3
2
，在Rt △PED 中，
PD ＝PE 2＋DE 2＝
254＋3
4
＝7.
7． 如图，AB ，CD 是圆O 内的两条平行弦，BF ∥AC ，BF 交CD 于点
E ，交圆O 于点
F ，过A 点的切线交DC 的延长线于点P ，若PC ＝ ED ＝1，P A ＝2，求AC 的长． 解 ∵P A 是⊙O 的切线， ∴由切割线定理得P A 2＝PC ·PD . ∵P A ＝2，PC ＝1，∴PD ＝4. 又∵PC ＝ED ＝1，
∴CE ＝2，由题意知四边形ABEC 为平行四边形，
∴AB ＝CE ＝2，连结BC ，如图， ∵P A 是⊙O 的切线， ∴∠P AC ＝∠CBA .
∵AB ，CD 是圆的两条平行弦， ∴∠PCA ＝∠CAB ，
∴△P AC ∽△CBA ，∴PC CA ＝CA AB ，
∴AC 2＝PC ·AB ＝2，∴AC ＝ 2.
8． 如图，已知△ABC 的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，∠B ＝60°，
F 在AC 上，且AE ＝AF .证明： (1)B 、D 、H 、E 四点共圆； (2)CE 平分∠DEF .
证明 (1)在△ABC 中，因为∠B ＝60°， 所以∠BAC ＋∠BCA ＝120°.
因为AD 、CE 分别是∠BAC 、∠DCF 的平分线， 所以∠HAC ＋∠HCA ＝60°， 故∠AHC ＝120°.
于是∠EHD ＝∠AHC ＝120°. 所以∠EBD ＋∠EHD ＝180°， 所以B 、D 、H 、E 四点共圆．
(2)连结BH ，则BH 为∠ABC 的平分线，得∠HBD ＝30°. 由(1)知B 、D 、H 、E 四点共圆， 所以∠CED ＝∠HBD ＝30°. 又∠AHE ＝∠EBD ＝60°，
由已知可得EF ⊥AD ，可得∠CEF ＝30°.
所以CE 平分∠DEF .
9． (2013·江苏)如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆
心O ，且BC ＝2OC .求证：AC ＝2AD .
证明 连结OD .因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，
所以∠ADO ＝∠ACB ＝90°.
又因为∠A ＝∠A ，所以Rt △ADO ∽Rt △ACB . 所以BC OD ＝AC
AD
.
又BC ＝2OC ＝2OD ，故AC ＝2AD .
10．(2013·辽宁)如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD
垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连结AE ，BE . 证明：
(1)∠FEB ＝∠CEB ； (2)EF 2＝AD ·BC .
证明 (1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB ＝∠EAB . 由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ， 从而∠EAB ＋∠EBF ＝π
2
；
又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π
2，
从而∠FEB ＝∠EAB . 故∠FEB ＝∠CEB . (2)由BC ⊥CE ，EF ⊥AB ， ∠FEB ＝∠CEB ，BE 是公共边， 得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，所以BC ＝BF . 同理可证，得AD ＝AF . 又在Rt △AEB 中，EF ⊥AB ， 故EF 2＝AF ·BF ，所以EF 2＝AD ·BC .