第3讲圆锥曲线中的热点问题
【高考考情解读】 1.本部分主要以解答题形式考查,往往是试卷的压轴题之一,一般以椭圆或抛物线为背景,考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题,试题难度较大.2.求轨迹方程也是高考的热点与重点,若在客观题中出现通常用定义法,若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法,往往出现在解答题的第(1)问中.
1.直线与圆锥曲线的位置关系
(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法:
将直线方程与椭圆方程联立,消去一个未知数,得到一个一元二次方程.若Δ>0,则直线与椭圆相交;若Δ=0,则直线与椭圆相切;若Δ<0,则直线与椭圆相离.
(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法:
将直线方程与双曲线方程联立,消去y(或x),得到一个一元方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).
①若a≠0,当Δ>0时,直线与双曲线相交;当Δ=0时,直线与双曲线相切;当Δ<0时,
直线与双曲线相离.
②若a=0时,直线与渐近线平行,与双曲线有一个交点.
(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法:
将直线方程与抛物线方程联立,消去y(或x),得到一个一元方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).
①当a≠0时,用Δ判定,方法同上.
②当a=0时,直线与抛物线的对称轴平行,只有一个交点.
2.有关弦长问题
有关弦长问题,应注意运用弦长公式及根与系数的关系,“设而不求”;有关焦点弦长问题,要重视圆锥曲线定义的运用,以简化运算.
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦长|P1P2|=1+k2
|x2-x1|或|P1P2|=1+1
k2|y2-y1|,其中求|x2-x1|与|y2-y1|时通常使用根与系数的关系,即作如下变形:
|x2-x1|=(x1+x2)2-4x1x2,
|y2-y1|=(y1+y2)2-4y1y2.
(2)当斜率k 不存在时,可求出交点坐标,直接运算(利用两点间距离公式). 3. 弦的中点问题
有关弦的中点问题,应灵活运用“点差法”,“设而不求法”来简化运算.
考点一 圆锥曲线的弦长及中点问题
例1 已知椭圆G :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为6
3
,右焦点(22,0),斜率为1的直线l
与椭圆G 交于A ,B 两点,以AB 为底边作等腰三角形,顶点为P (-3,2). (1)求椭圆G 的方程; (2)求△P AB 的面积.
解 (1)由已知得c =22,c a =6
3.
解得a =23,又b 2=a 2-c 2=4. 所以椭圆G 的方程为x 212+y 2
4=1.
(2)设直线l 的方程为y =x +m . 由?????
y =x +m ,x 212+y 24
=1.
得4x 2+6mx +3m 2-12=0.①
设A ,B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)(x 1 因为AB 是等腰△P AB 的底边, 所以PE ⊥AB . 所以PE 的斜率k =2- m 4 -3+ 3m 4=-1. 解得m =2. 此时方程①为4x 2+12x =0. 解得x 1=-3,x 2=0. 所以y 1=-1,y 2=2. 所以|AB |=3 2. 此时,点P (-3,2)到直线AB : x -y +2=0的距离d =|-3-2+2|2=32 2, 所以△P AB 的面积S =12|AB |·d =9 2 . 解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方 程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单. 椭圆x 2 2 +y 2=1的弦被点????12,12平分,则这条弦所在的直线方程是____________. 答案 2x +4y -3=0 解析 设弦的两个端点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=1,y 1+y 2=1. ∵A ,B 在椭圆上,∴x 212+y 21=1,x 222+y 2 2=1. (x 1+x 2)(x 1-x 2) 2+(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0, 即 y 1-y 2x 1-x 2=-x 1+x 22(y 1+y 2) =-1 2, 即直线AB 的斜率为-1 2 . ∴直线AB 的方程为y -12=-1 2????x -12, 即2x +4y -3=0. 考点二 圆锥曲线中的定值、定点问题 例2 已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1经过点(0,3),离心率为1 2 ,直线l 经过椭圆C 的右焦点F 交椭圆于A 、B 两点,点A 、F 、B 在直线x =4上的射影依次为D 、K 、E . (1)求椭圆C 的方程; (2)若直线l 交y 轴于点M ,且MA →=λAF →,MB →=μBF → ,当直线l 的倾斜角变化时,探求λ+μ的值是否为定值?若是,求出λ+μ的值;否则,说明理由; (3)连接AE 、BD ,试探索当直线l 的倾斜角变化时,直线AE 与BD 是否相交于定点?若是,请求出定点的坐标,并给予证明;否则,说明理由. (1)待定系数法;(2)用直线的斜率为参数建立直线方程,代入椭圆方程消y 后 可得点A ,B 的横坐标的关系式,然后根据向量关系式MA →=λAF →,MB →=μBF → 把λ,μ用点A ,B 的横坐标表示出来,只要证明λ+μ的值与直线的斜率k 无关即证明了其为定值,否则就不是定值;(3)先根据直线l 的斜率不存在时的特殊情况,看两条直线AE ,BD 的 交点坐标,如果直线AE ,BD 相交于定点的话,这个特殊位置时的交点就是这个定点,这样只要证明直线AE ,BD 都经过这个定点即证明了两直线相交于定点,否则两直线就不相交于定点. 解 (1)依题意得b =3,e =c a =1 2,a 2=b 2+c 2, ∴a =2,c =1,∴椭圆C 的方程为x 24+y 2 3 =1. (2)因直线l 与y 轴相交,故斜率存在,设直线l 方程为 y =k (x -1),求得l 与y 轴交于M (0,-k ), 又F 坐标为(1,0),设l 交椭圆于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由????? y =k (x -1),x 24+y 23 =1, 消去y 得(3+4k 2)x 2-8k 2x +4k 2-12=0, ∴x 1+x 2=8k 2 3+4k 2,x 1x 2=4k 2-123+4k 2 , 又由MA →=λAF → ,∴(x 1,y 1+k )=λ(1-x 1,-y 1), ∴λ=x 11-x 1,同理μ=x 2 1-x 2 , ∴λ+μ=x 11-x 1+x 2 1-x 2=x 1+x 2-2x 1x 21-(x 1+x 2)+x 1x 2 =8k 2 3+4k 2-2(4k 2-12)3+4k 21-8k 2 3+4k 2+4k 2-123+4k 2 =-83. 所以当直线l 的倾斜角变化时,直线λ+μ的值为定值-83 . (3)当直线l 斜率不存在时,直线l ⊥x 轴,则ABED 为矩形,由对称性知,AE 与BD 相交于FK 的中点N ???? 52,0, 猜想,当直线l 的倾斜角变化时, AE 与BD 相交于定点N ????52,0, 证明:由(2)知A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), ∴D (4,y 1),E (4,y 2),当直线l 的倾斜角变化时,首先证直线 AE 过定点????52,0, ∵l AE :y -y 2=y 2-y 14-x 1 (x -4), 当x =5 2时,y =y 2+y 2-y 14-x 1·????-32 =2(4-x 1)·y 2-3(y 2-y 1) 2(4-x 1) =2(4-x 1)·k (x 2-1)-3k (x 2-x 1) 2(4-x 1) = -8k -2kx 1x 2+5k (x 1+x 2) 2(4-x 1) =-8k (3+4k 2)-2k (4k 2-12)+5k ·8k 22(4-x 1)·(3+4k 2)=0. ∴点N ???? 52,0在直线l AE 上. 同理可证,点N ????52,0也在直线l BD 上. ∴当直线l 的倾斜角变化时,直线AE 与BD 相交于定点????52,0. (1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题,基本思想是使用参数表示要 解决的问题,证明要解决的问题与参数无关.在这类试题中选择消元的方向是非常关键的. (2)由直线方程确定定点,若得到了直线方程的点斜式:y -y 0=k (x -x 0),则直线必过定点(x 0,y 0);若得到了直线方程的斜截式:y =kx +m ,则直线必过定点(0,m ). (2013·陕西)已知动圆过定点A (4,0),且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程; (2)已知点B (-1,0),设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ,Q ,若x 轴是∠PBQ 的角平分线,证明:直线l 过定点. (1)解 如图,设动圆圆心为O 1(x ,y ),由题意,得|O 1A |=|O 1M |, 当O 1不在y 轴上时,过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ,则H 是MN 的中 点, ∴|O 1M |=x 2+42, 又|O 1A |=(x -4)2+y 2, ∴(x -4)2+y 2=x 2+42, 化简得y 2=8x (x ≠0). 又当O 1在y 轴上时,O 1与O 重合,点O 1的坐标为(0,0)也满足方程y 2=8x , ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2=8x . (2)证明 由题意,设直线l 的方程为y =kx +b (k ≠0), P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 将y =kx +b 代入y 2=8x 中, 得k 2x 2+(2bk -8)x +b 2=0. 其中Δ=-32kb +64>0. 由根与系数的关系得,x 1+x 2=8-2bk k 2, ① x 1x 2=b 2 k 2, ② 因为x 轴是∠PBQ 的角平分线,所以y 1x 1+1=-y 2 x 2+1, 即y 1(x 2+1)+y 2(x 1+1)=0, (kx 1+b )(x 2+1)+(kx 2+b )(x 1+1)=0, 2kx 1x 2+(b +k )(x 1+x 2)+2b =0 ③ 将①,②代入③得2kb 2+(k +b )(8-2bk )+2k 2b =0, ∴k =-b ,此时Δ>0, ∴直线l 的方程为y =k (x -1),即直线l 过定点(1,0). 考点三 圆锥曲线中的最值范围问题 例3 (2013·浙江)如图,点P (0,-1)是椭圆C 1:x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0) 的一个顶点,C 1的长轴是圆C 2:x 2+y 2=4的直径.l 1,l 2是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中l 1交圆C 2于A ,B 两点,l 2交椭 圆C 1于另一点D . (1)求椭圆C 1的方程; (2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程. 解 (1)由题意得? ???? b =1, a =2. 所以椭圆C 1的方程为x 24+y 2 =1. (2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),D (x 0,y 0). 由题意知直线l 1的斜率存在,不妨设其为k , 则直线l 1的方程为y =kx -1. 又圆C 2:x 2+y 2=4, 故点O 到直线l 1的距离 d = 1 k 2+1 , 所以|AB |=24-d 2 =2 4k 2+3 k 2+1 . 又l 2⊥l 1,故直线l 2的方程为x +ky +k =0. 由? ???? x +ky +k =0,x 2+4y 2 =4. 消去y ,整理得(4+k 2)x 2+8kx =0, 故x 0=-8k 4+k 2. 所以|PD |=8k 2+1 4+k 2 . 设△ABD 的面积为S ,则S =1 2·|AB |·|PD | =84k 2+34+k 2, 所以S = 32 4k 2 +3+134k 2+3 ≤32 2 4k 2 +3·13 4k 2 +3 = 1613 13 , 当且仅当k = ± 10 2 时取等号. 所以所求直线l 1的方程为y = ± 10 2 x -1. 求最值及参数范围的方法有两种:①根据题目给出的已知条件列出一个关于参 数的函数关系式,将其代入由题目列出的不等式(即为消元),然后求解不等式;②由题目条件和结论建立目标函数,进而转化为求函数的值域. 已知椭圆C 1与抛物线C 2的焦点均在x 轴上且C 1的中心和C 2的顶点均为坐 标原点O ,从每条曲线上的各取两个点,其坐标如下表所示: (1)求C 1,C 2(2)过点A (m,0)作倾斜角为π 6的直线l 交椭圆C 1于C ,D 两点,且椭圆C 1的左焦点F 在以 线段CD 为直径的圆的外部,求m 的取值范围. 解 (1)先判断出(-6,0)在椭圆上,进而断定点(1,-3)和(4,-6)在抛物线上,故(3,1)在椭圆上,所以椭圆C 1的方程为x 26+y 2 2=1,抛物线C 2的方程为y 2=9x . (2)设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),直线l 的方程为y = 3 3 (x -m ), 由??? y =33(x -m )x 2 6+y 2 2=1, 消去y 整理得2x 2-2mx +m 2-6=0, 由Δ>0得Δ=4m 2-8(m 2-6)>0, 即-23 ① 而x 1x 2=m 2-6 2,x 1+x 2=m , 故y 1y 2= 33(x 1-m )·3 3 (x 2-m ) =1 3[x 1x 2-m (x 1+x 2)+m 2] =m 2-66 . 欲使左焦点F 在以线段CD 为直径的圆的外部, 则FC →·FD →>0, 又F (-2,0),即FC →·FD →=(x 1+2,y 1)·(x 2+2,y 2) =x 1x 2+2(x 1+x 2)+y 1y 2+4>0. 整理得m (m +3)>0, 即m <-3或m >0.② 由①②可得m 的取值范围是(-23,-3)∪(0,23). 1. 求轨迹与轨迹方程的注意事项 (1)求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中,发现动点P 的运动规律,即P 点满足的等量关系,因此要学会动中求静,变中求不变. (2)求出轨迹方程后,应注意检验其是否符合题意,既要检验是否增解(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上),又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示).检验方法:研究运动中的特殊情形或极端情形. 2. 定点、定值问题的处理方法 定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题,处理时可以直接推理求出定值,也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明.对于客观题,通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果. 3. 圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法 (1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决; (2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立起目标函数,再求这个函数的最值,在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑: ①利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围; ②利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系; ③利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围; ④利用基本不等式求出参数的取值范围; ⑤利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围. 设直线l :y =k (x +1)与椭圆x 2+3y 2=a 2(a >0)相交于A 、B 两个不同的点,与x 轴相交于点C ,记O 为坐标原点. (1)证明:a 2 >3k 21+3k 2 ; (2)若AC →=2CB → ,求△OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程. (1)证明 依题意,直线l 显然不平行于坐标轴, 故y =k (x +1)可化为x =1 k y -1. 将x =1 k y -1代入x 2+3y 2=a 2,消去x , 得????3+1k 2y 2-2y k +1-a 2=0, ① 由直线l 与椭圆相交于两个不同的点,得 Δ=4k 2-4????1k 2+3(1-a 2)>0, 整理得????1k 2+3a 2 >3, 即a 2 >3k 2 1+3k 2 . (2)解 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)由①, 得y 1+y 2=2k 1+3k 2 , 因为AC →=2CB → ,得y 1=-2y 2, 代入上式,得y 2=-2k 1+3k 2 . 于是,△OAB 的面积S =12|OC |·|y 1-y 2|=3 2|y 2| = 3|k |1+3k 2≤3|k |23|k |=3 2 . 其中,上式取等号的条件是3k 2=1,即k =±3 3. 由y 2=-2k 1+3k 2,可得y 2=±3 3. 将k =33,y 2=-33及k =-3 3 , y 2= 3 3 这两组值分别代入①, 均可解出a 2=5. 所以,△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是x 2+3y 2=5. (推荐时间:70分钟) 一、选择题 1. 已知方程x 2k +1+y 2 3-k =1(k ∈R )表示焦点在x 轴上的椭圆,则k 的取值范围是 ( ) A .k <1或k >3 B .1 C .k >1 D .k <3 答案 B 解析 若椭圆焦点在x 轴上,则???? ? k +1>03-k >0k +1>3-k , 解得1 2. △ABC 的顶点A (-5,0)、B (5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线x =3上,则顶点C 的轨迹 方程是 ( ) A.x 29-y 2 16 =1 B.x 216-y 2 9 =1 C.x 29-y 2 16 =1(x >3) D.x 216-y 2 9 =1(x >4) 答案 C 解析 如图|AD |=|AE |=8,|BF |=|BE |=2,|CD |=|CF |, 所以|CA |-|CB |=8-2=6. 根据双曲线定义,所求轨迹是以A 、B 为焦点,实轴长为6的双曲线 的右支,方程为x 29-y 2 16 =1(x >3). 3. 设M (x 0,y 0)为抛物线C :x 2=8y 上一点,F 为抛物线C 的焦点,以F 为圆心,|FM |为半 径的圆和抛物线的准线相交,则y 0的取值范围是 ( ) A .(0,2) B .[0,2] C .(2,+∞) D .[2,+∞) 答案 C 解析 依题意得:F (0,2),准线方程为y =-2, 又∵以F 为圆心,|FM |为半径的圆和抛物线的准线相交,且|FM |=|y 0+2|, ∴|FM |>4,即|y 0+2|>4, 又y 0≥0,∴y 0>2. 4. 若点O 和点F 分别为椭圆x 24+y 23 =1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP →·FP → 的最大值为 ( ) A .2 B .3 C .6 D .8 答案 C 解析 设P (x 0,y 0),则 x 204+y 2 03=1,即y 2 0=3-3x 204 , 又因为F (-1,0), 所以OP →·FP →=x 0·(x 0+1)+y 20=14x 20+x 0+3 =1 4 (x 0+2)2+2, 又x 0∈[-2,2],即OP →·FP → ∈[2,6], 所以(OP →·FP →)max =6. 5. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为F 1、F 2,且两条曲线在 第一象限的交点为P ,△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形,若|PF 1|=10,椭圆与双曲线的离心率分别为e 1,e 2,则e 1·e 2的取值范围是 ( ) A .(0,+∞) B .(1 3 ,+∞) C .(1 5,+∞) D .(1 9 ,+∞) 答案 B 解析 设椭圆与双曲线的半焦距为c , PF 1=r 1,PF 2=r 2. 由题意知r 1=10,r 2=2c , 且r 1>r 2,2r 2>r 1, ∴2c <10,2c +2c >10, ∴52 c 2<4, ∴e 2=2c 2a 双=2c r 1-r 2=2c 10-2c =c 5-c ; e 1= 2c 2a 椭=2c r 1+r 2=2c 10+2c =c 5+c . ∴e 1·e 2=c 225-c 2=125 c 2-1>1 3. 二、填空题 6. 直线y =kx +1与椭圆x 25+y 2 m =1恒有公共点,则m 的取值范围是________. 答案 m ≥1且m ≠5 解析 ∵方程x 25+y 2 m =1表示椭圆, ∴m >0且m ≠5. ∵直线y =kx +1恒过(0,1)点, ∴要使直线与椭圆总有公共点,应有: 025+12 m ≤1,m ≥1, ∴m 的取值范围是m ≥1且m ≠5. 7. 设F 1、F 2为椭圆x 24 +y 2 =1的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P ,Q 两点, 当四边形PF 1QF 2面积最大时,PF →1·PF → 2的值等于________. 答案 -2 解析 易知当P ,Q 分别在椭圆短轴端点时,四边形PF 1QF 2面积最大. 此时,F 1(-3,0),F 2(3,0),不妨设P (0,1), ∴PF →1=(-3,-1),PF → 2=(3,-1), ∴PF →1·PF →2=-2. 8. 已知抛物线方程为y 2=4x ,直线l 的方程为x -y +4=0,在抛物线上有一动点P 到y 轴 的距离为d 1,P 到直线l 的距离为d 2,则d 1+d 2的最小值为________. 答案 52 2 -1 解析 过点P 作抛物线的准线的垂线,垂足为A ,交y 轴于B ,由抛物线方程为y 2=4x 得焦点F 的坐标为(1,0),准线为x =-1,则由抛物线的定义可得 d 1+d 2=|P A |-|AB |+d 2=|PF |-1+d 2, |PF |+d 2大于或等于焦点F 点P 到直线l , 即|PF |+d 2的最小值为|1-0+4|2=52 2, 所以d 1+d 2的最小值为52 2 -1. 9. (2013·安徽)已知直线y =a 交抛物线y =x 2于A ,B 两点.若该抛物线上存在点C ,使得 ∠ACB 为直角,则a 的取值范围为________. 答案 [1,+∞) 解析 以AB 为直径的圆的方程为x 2+(y -a )2=a , 由? ???? y =x 2 x 2+(y -a )2 =a 得y 2+(1-2a )y +a 2-a =0. 即(y -a )[y -(a -1)]=0,由已知? ???? a >0a -1≥0,解得a ≥1. 三、解答题 10.已知直线x -2y +2=0经过椭圆C :x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的左顶点A 和上顶点D ,椭圆C 的右顶点为B ,点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点,直线AS ,BS 与直线l :x =10 3分 别交于M ,N 两点. (1)求椭圆C 的方程; (2)求线段MN 的长度的最小值. 解 (1)如图,由题意得椭圆C 的左顶点为A (-2,0),上顶点为 D (0,1),即a =2,b =1. 故椭圆C 的方程为x 24 +y 2 =1. (2)直线AS 的斜率显然存在且不为0, 设直线AS 的方程为y =k (x +2)(k >0),解得M (103,16k 3),且将直线方程代入椭圆C 的方 程, 得(1+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2-4=0. 设S (x 1,y 1),由根与系数的关系得(-2)·x 1=16k 2-4 1+4k 2. 由此得x 1=2-8k 21+4k 2,y 1=4k 1+4k 2,即S (2-8k 21+4k 2,4k 1+4k 2). 又B (2,0),则直线BS 的方程为y =-1 4k (x -2), 联立直线BS 与l 的方程解得N (103,-1 3k ). ∴|MN |=????16k 3+13k =16k 3+1 3k ≥2 16k 3·13k =8 3 . 当且仅当16k 3=13k ,即k =14时等号成立,故当k =14时,线段MN 的长度的最小值为8 3. 11.在平面直角坐标系中,点P (x ,y )为动点,已知点A (2,0),B (-2,0),直线P A 与 PB 的斜率之积为-1 2 . (1)求动点P 的轨迹E 的方程; (2)过点F (1,0)的直线l 交曲线E 于M ,N 两点,设点N 关于x 轴的对称点为Q (M 、Q 不重合),求证:直线MQ 过x 轴上一定点. (1)解 由题知:y x +2·y x -2=-1 2. 化简得x 22 +y 2 =1(y ≠0). (2)证明 方法一 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),Q (x 2,-y 2), l :x =my +1,代入x 22+y 2 =1(y ≠0)整理得 (m 2+2)y 2+2my -1=0. y 1+y 2=-2m m 2+2,y 1y 2=-1 m 2+2, MQ 的方程为y -y 1=y 1+y 2 x 1-x 2(x -x 1), 令y =0, 得x =x 1+y 1(x 2-x 1) y 1+y 2 =my 1+1+my 1(y 2-y 1)y 1+y 2=2my 1y 2 y 1+y 2+1=2. ∴直线MQ 过定点(2,0). 方法二 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),Q (x 2,-y 2), l :y =k (x -1),代入x 22 +y 2 =1(y ≠0)整理得 (1+2k 2)x 2-4k 2x +2k 2-2=0, x 1+x 2=4k 2 1+2k 2,x 1x 2=2k 2-21+2k 2, MQ 的方程为y -y 1=y 1+y 2 x 1-x 2(x -x 1), 令y =0,得x =x 1+y 1(x 2-x 1) y 1+y 2 =x 1+k (x 1-1)(x 2-x 1)k (x 1+x 2-2) = 2x 1x 2-(x 1+x 2) x 1+x 2-2 =2. ∴直线MQ 过定点(2,0). 12.(2013·课标全国Ⅰ)已知圆M :(x +1)2+y 2=1,圆N :(x -1)2+y 2=9,动圆P 与圆M 外 切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程; (2)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A 、B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB |. 解 (1)设圆P 的半径为r , 则|PM |=1+r ,|PN |=3-r , ∴|PM |+|PN |=4>|MN |, ∴P 的轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆,左顶点除外, 且2a =4,2c =2,∴a =2,c =1, ∴b 2=a 2-c 2=3. ∴P 的轨迹曲线C 的方程为x 24+y 2 3=1(x =-2). (2)由(1)知:2r =(|PM |-|PN |)+2≤|MN |+2=4, ∴圆P 的最大半径为r =2.此时P 的坐标为(2,0). 圆P 的方程为(x -2)2+y 2=4. ①当l 的方程为x =0时,|AB |=23, ②设l 的方程为y =kx +b (k ∈R ), ????? |-k +b |1+k 2=1|2k +b |1+k 2 =2 解之得:????? k =24b =2或????? k =-24b =-2. ∴l 的方程为y = 24x +2,y =-2 4 x - 2. 联立方程??? x 24+y 2 3 =1y =2 4x + 2 化简:7x 2+8x -8=0 ∴x 1+x 2=-87,x 1x 2=-8 7 , ∴|AB |=1+k 2(x 1+x 2)2-4x 1x 2=18 7 . 第一节集合 考纲下载 1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系. 2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题. 3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. 4.在具体情境中,了解全集与空集的含义. 5.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. 7.能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算. 1.元素与集合 (1)集合元素的特性:确定性、互异性、无序性. (2)集合与元素的关系:若a属于集合A,记作a∈A;若b不属于集合A,记作b?A. (3)集合的表示方法:列举法、描述法、图示法. (4)常见数集及其符号表示 2.集合间的基本关系 B A B 3.集合的基本运算 4.集合的运算性质 (1)A ∪B =A ?B ?A ,A ∩B =A ?A ?B ; (2)A ∩A =A ,A ∩?=?; (3)A ∪A =A ,A ∪?=A ; (4)A ∩?U A =?,A ∪?U A =U ,?U (?U A )=A . 1.集合A ={x |x 2=0},B ={x |y =x 2},C ={y |y =x 2},D ={(x ,y )|y =x 2}相同吗?它们的元素分别是什么? 提示:这4个集合互不相同,A 是以方程x 2=0的解为元素的集合,即A ={0};B 是函数y =x 2的定义域,即B =R ;C 是函数y =x 2的值域,即C ={y |y ≥0};D 是抛物线y =x 2上的点组成的集合. 2.集合?,{0},{?}中有元素吗??与{0}是同一个集合吗? 提示:?是不含任何元素的集合,即空集.{0}是含有一个元素0的集合,它不是空集,因为它有一个元素,这个元素是0.{?}是含有一个元素?的集合.?与{0}不是同一个集合. 1、(本小题满分14分) 已知函数. (1)当时,如果函数仅有一个零点,求实数的取值范围; (2)当时,试比较与的大小; (3)求证:(). 2、设函数,其中为常数. (Ⅰ)当时,判断函数在定义域上的单调性; (Ⅱ)若函数的有极值点,求的取值范围及的极值点; (Ⅲ)当且时,求证:. 3、在平面直角坐标系中,已知椭圆.如图所示,斜率为且不过原 点的直线交椭圆于,两点,线段的中点为,射线交椭圆于点,交直 线于点. (Ⅰ)求的最小值; (Ⅱ)若?,(i)求证:直线过定点; (ii )试问点,能否关于轴对称?若能,求出 此时 的外接圆方程;若不能,请说明理由. 二、计算题 (每空? 分,共? 分) 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ,且函数为偶函数.若函数 满足下列条件:①;② 对一切实数 ,不等式恒成立. (Ⅰ)求函数的表达式; (Ⅱ)求证: . 5 、已知函数: (1 )讨论函数的单调性; (2) 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为,问:在什么范围取值 时,函数 在区间上总存在极值? (3)求证:. 6、已知函数=,. (Ⅰ)求函数在区间上的值域; (Ⅱ)是否存在实数,对任意给定的,在区间上都存在两个不同的, 使得成立.若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)给出如下定义:对于函数图象上任意不同的两点,如果对 于函数图象上的点(其中总能使得 成立,则称函数具备性质“”,试判断函数是不是具 备性质“”,并说明理由. 7、已知函数 (Ⅰ)若函数是定义域上的单调函数,求实数的最小值; (Ⅱ)方程有两个不同的实数解,求实数的取值范围; (Ⅲ)在函数的图象上是否存在不同两点,线段的中点的横坐标 为,有成立?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由. 8、已知函数: ⑴讨论函数的单调性;最新高三数学专题复习资料集合
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