时间：45分钟 满分：100分 班级：________ 姓名：________ 学号：
________ 得分：________
一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2014·江西五校联考)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利( )
A ．25元
B ．20.5元
C ．15元
D ．12.5元
解析：九折出售时价格为100×(1＋25%)×90%＝112.5元，此时每件还获利112.5－100＝12.5元．
答案：D
2．(2014·宁夏育才中学月考)国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费(扣税前)为( )
A ．2800元
B ．3000元
C ．3800元
D ．3818元
解析：设扣税前应得稿费为x 元，则应纳税额为分段函数，由题意，得
y ＝???
0，x ≤800
(x －800)×14%，800
如果稿费为4000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应
在800～4000元之间，
∴(x －800)×14%＝420，∴x ＝3800. 答案：C
3．(2014·延边质检)已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，汽车离开A 地的距离x (千米)与时间t (小时)之间的函数表达式是( )
A ．x ＝60t
B ．x ＝60t ＋50t
C ．x ＝?
??
60t (0≤t ≤2.5)
150－5t (x ＞3.5)
D ．x ＝???
60t (0≤t ≤2.5)，
150(2.5＜t ≤3.5)，
150－50(t －3.5)(3.5＜t ≤6.5)
解析：到达B 地需要
150
60
＝2.5小时， 所以当0≤t ≤2.5时，x ＝60t ； 当2.5＜t ≤3.5时，x ＝150；
当3.5＜t ≤6.5时，x ＝150－50(t －3.5)． 答案：D
4．(2014·枣庄期末)在养分充足的情况下，细菌的数量会以指数函数的方式增加．假设细菌A 的数量每2个小时可以增加为原来的2倍；细菌B 的数量每5个小时可以增加为原来的4倍．现在若养分充足，且一开始两种细菌的数量相等，要使细菌A 的数量是B 的数量的两倍，需要的时间为( )
A ．5 h
B ．10 h
C ．15 h
D ．30 h
解析：假设一开始两种细菌数量均为m ，则依题意经过x 小时后，细菌A 的
数量是
，细菌B 的数量是
，令
，解得x ＝10.
答案：B
5．(2014·哈尔滨月考)在一次数学试验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：
则x ，y )( ) A ．y ＝a ＋bx
B ．y ＝a ＋b x
C．y＝ax2＋b D．y＝a＋b x
解析：在坐标系中将点(－2,0.24)，(－1,0.51)，(0,1)，(1,2.02)，(2,3.98)，(3,8.02)画出，观察可以发现这些点大约在一个指数型函数的图象上，因此x与y的函数关系与y＝a＋b x最接近．
答案：B
6．(2014·福州二模)某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品．已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P和Q(万元)，且它们与投入资金x(万
元)的关系是P＝x
4
，Q＝
a
2
x(a＞0)．若不管资金如何投放，经销这两种商品或其
中的一种商品所获得的纯利润总不小于5万元，则a的最小值应为()
A. 5 B．5
C．3 D. 3
解析：设对乙商品投入资金x万元，则投入甲商品的资金为(20－x)万元(0≤x≤20)．
则纯利润S(x)＝20－x
4
＋
a
2
x，
依题意应有S(x)≥5恒成立，
即20－x
4
＋
a
2
x≥5，即a≥
x
2
，
由于0≤x≤20，∴
x
2
的最大值为
20
2
＝5，
∴a≥5，即a的最小值为 5.
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)
7．(2014·豫南九校联考)地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R＝2
3 (lg E
－11.4).2008年5月12日，中国汶川发生了8.0级特大地震，而1989年旧金山海湾区域地震的震级为6.0级，那么2008年地震的能量是1989年地震能量的________倍．
解析：据题意可知8＝2
3
(lg E1－11.4)?lg E1＝23.4，又6＝
2
3
(lg E2－11.4)?lg E2
＝20.4，故有lg E1－lg E2＝23.4－20.4＝3?lg E1
E2
＝3?
E1
E2
＝1000，即2008年地震
的能量是1989年的1000倍．
答案：1000
8．(2014·兖州二模)一水池有两个进水口，一个出水口，每水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示(至少打开一个水口)．
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定正确的是________．
解析：由丙图(题图)知0点到3点蓄水量为6，故应两个进水口进水，不出水，故①正确．
由丙图(题图)知3点到4点间1小时蓄水量少1个单位，故1个进水1个出水，故②错误．
由丙图(题图)知4点到6点蓄水量不变，故两个进水一个出水，故③错误．答案：①
9．(2014·济南统考)一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，按定价40元出售，每月可销售20万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件，则月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的函数解析式为________(不必写出x的取值范围)．
解析：根据题意中的等量关系，直接列出解析式：y＝20＋2×(40－x)＝－2x ＋100.
答案：y＝－2x＋100
10．(2014·郑州质检)将边长为1 m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的
直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝(梯形的周长)2
梯形的面积
，则S的最小值是________．
解析：设剪成的小正三角形的边长为x ， 则：S ＝(3－x )2
12·(x ＋1)·32·(1－x )＝43
·(3－x )2
1－x 2(0＜x ＜1) 令3－x ＝t ，t ∈(2,3)，1t ∈(13，1
2则：S ＝4
3
·t 2
－t 2＋6t －8
＝4
3·1－8t 2＋6t
－1. 故当1t ＝38，x ＝13时，S 的最小值是3233.
答案：
323
3
三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)
11．(2014·东北三校联合模拟)某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李．如果超过规定的质量，则需购买行李票，行李费用y (元)是关于行李质量x (kg)的一次函数，其图象如图所示．
(1)根据图象数据，求y 与x 之间的函数关系式； (2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少千克？ 解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b . 由题图可知，当x ＝60时，y ＝6； 当x ＝80时，y ＝10.
∴???
60k ＋b ＝680k ＋b ＝10，解得：?????
k ＝15b ＝－6
.
∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝1
5
x －6(x ≥30)．
(2)y ＝1
5－6(x ≥30)中y 的值为0时，x 的值为最多可免费携带行李的质量，
应是函数图象与x 轴交点的横坐标．
当y ＝0时，x ＝30.
∴旅客最多可免费携带行李的质量为30 kg.
12．(2014·开封二模)某公司生产的A 型商品通过租赁柜台进入某商场销售．第一年，商场为吸引厂家，决定免收该年管理费，该年A 型商品定价为每件70元，年销售量为12.7万件．第二年，商场开始对该商品征收比率为m %的管理费(即销售100元要征收m 元)，于是该商品每件的定价提高m
1－0.01m
%，预
计年销售量将减少m 万件．
(1)将第二年商场对该商品征收的管理费y (万元)表示成m 的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于21万元，则商场对该商品征收管理费的比率m %的范围是多少？
(3)第二年，商场在所收管理费不少于21万元的前提下，求使厂家获得最大销售金额时的m 的值．
解：(1)依题意，第二年该商品年销售量为(12.7－m )万件，每件销售价格为： 70(1＋
m
1－0.01m
%)＝
70
1－
m 100
， ∴年销售收入为70
1－
m 100(12.7－m )万元．
则商场该年对该商品征收的总管理费为 70
1－
m 100(12.7－m )m %万元． 故所求函数为y ＝
70
100－m
(12.7－m )m ，
由12.7－m ＞0及m ＞0得其定义域为{m |0＜m ＜12.7}． (2)由y ≥21得
70
100－m
(12.7－m )m ≥21，
化简得m 2－13m ＋30≤0，
即(m －3)(m －10)≤0， 解得3≤m ≤10，
故当比率在[3%,10%]内时，商场收取的管理费将不少于21万元． (3)第二年，当商场收取的管理费不少于21万元时，厂家的销售收入为g (m )＝7000100－m
(12.7－m )(3≤m ≤10)， ∵g (m )＝
7000100－m (12.7－m )＝700(10＋873
m －100
)为减函数，
∴g (m )max ＝g (3)＝700(万元)，
故当m ＝3时，厂家销售金额最大，且商场所收管理费又不少于21万元． 13．(2014·江苏模拟)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －1
20＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的
射程是指炮弹落地点的横坐标．
(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
解：(1)令y ＝0，得kx －1
20(1＋k 2)x 2＝0，
由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0，
故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k ≤20
2
＝10，当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程
为10千米．
(2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标 ?存在k ＞0，使3.2＝ka －1
20(1＋k 2)a 2成立
?关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根 ?判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0
?a≤6.
所以当a不超过6(千米)时，可击中目标．