华英学校七年级数学培优班暑期讲义
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第一章有理数
§1.有理数的相关概念
整数和分数统称为有理数,有理数又可分为正有理数,0和负有理数.
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大.正数都大于零,负数都小于零,正数大于负数.
只有符号不同的两个数称互为相反数.例如2.5和 2.5
-互为相反数,即2.5是2.5
-的相反数； 2.5
-是2.5的相反数.
在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作||a.例如,在数轴上表示5
-的点与原点的距离是5,所以5
-的绝对值是5,记作|5|5
-=.一个正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；一个负数的绝对值是它的相反数.
这些基本概念以及它们的性质是初中数学中常考的内容,必须牢固掌握.
例1.峨眉山上某天的最高气温为12 C,最低气温为4
-C,那么这天的最高气温比最低气温高（）
A. 4 C
B. 8 C
C. 12 C
D. 16 C
例2.下列说法正确的是（）
A. 一个有理数不是整数就是分数
B. 正整数和负整数统称整数
C. 正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数
D. 0不是有理数
例3．数,,
x y z在数轴上的位置如图,下列判断正确的是（）
A. 0
x y z
>>> B. 0
y x z
>>>
C. 0
y x z
<<< D. 0
x y z
<<<
例4.说出下列各数的相反数：
16,－3,0,
1
2007
-,0.001,m,n-,m n
-.
例 5.如图,若数轴上a的绝对值是b的绝对值的3倍,则数轴的原点在点 .（填“A”、“B”、“C”或“D”）
练习一
1．有如下四个命题：①两个符号相反的分数之间至少有一个正整数；②两个符号相反的分数之间至少有一个负整数；③两个符号相反的分数之间至少有一个整数；④两个符号相反的分数之间至少有一个有理数.其中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 下列说服中正确的是（ ） A. 正整数和负整数统称为整数 B. 正数和负数统称为有理数 C. 整数和分数统称为有理数 D. 自然数和负数统称为有理数
3. 以下四个判断中不正确的是
A. 在数轴上,关于原点对称的两个点所对应的两个有理数互为相反数
B. 两个有理数互为相反数,则他们在数轴上对应的两个点关于原点对称
C. 两个有理数不等,则他们的绝对值不等
D. 两个有理数的绝对值不等,则这两个有理数不等
4. 下面四个命题中,正确的是( ) A. 一切有理数的倒数还是有理数
B. 一切正有理数的相反数必是负有理数
C. 一切有理数的绝对值必是正有理数
D. 一切有理数的平方是正有理数
5. 在数轴上,点A 对应的数是－2006,点B 对应的数是＋17,则A 、B 两点的距离是（ ）
A. 1989
B. 1999
C. 2013
D. 2023
6. 如图所示,圆的周长为4个单位长度,在圆的4等分点处标上数字0,1,2,3. 先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数－1所对应的点重合,再让数轴按逆时针方向绕在该圆上,那么数轴上的数－2006将与圆周上的数字 重合.
7. 下列说法中错误的是（ ）
A. 所有的有理数都可以用数轴上的点表示.
B. 数轴上原点表示数0.
C. 数轴上点A 表示3-,从A 点出发,沿数轴上移动2个单位长度到达B 点,则点B 表示1-.
D. 在数轴上表示3-和2的两点之间的距离是5.
8. 下列说法正确的是（ ）
A. 有最大的整数
B. 有最小的负数
C. 有最大的正数
D. 有最小的正整数
图73
210
x 0－1－2－3－4－5
练习二
1. 如果n 是大于1的偶数,那么n 一定小于它的 A. 相反数 B. 倒数 C. 绝对值 D. 平方
2. If we have 0,0<-
a
.and a+6>O,then the points in real number
axis,given by a and b,can be represented as( )
(英汉词典point ：点．real number axis ：实数轴．represent ：表示．)
3. 有理数a,b,c 大小关系如图,则下列式子中一定成立的是
A. a+b+c>0
B. c>|a+b|
C. |a-c|=|a|+c
D. |b-c|>|c-a
4. 如果a+b+c=0,且|a|>|b|>|c|,则下列说法中可能成立的是 A. a,b 是正数,c<0 B. a,c 是正数,b<0 C. b,c 是正数,a<0 D. a,c 是负数,b>0
5. 如果3333||||a b a b -=-+,那么下列不等式中成立的是 A. 0ab > B. 0ab ≥ C. 0ab < D. 0ab ≤
6. a 为有理数,下列说法中正确的是
A. 21()2007a +为正数
B. 2
1()2007a --为负数
C. 21()2007a +为正数
D. 21
2007
a +
为正数
7. 若a A. a+b+c+d 一定是正数． B. d+c-a-b 可能是负数． C. d-c-b-a 一定是正数． D. c-d-b-a 一定是正数． 8. 已知23m -和7-互为相反数,求m 的值. 9. 若a 与b 互为相反数,c 到原点的距离为3,求2a c b +++的值. 10. 已知|4||7||3|0x y z -+++-=,求x y z ++的值. §2. 有理数的运算 －、知识提要 1. 整数和分数统称为有理数. 2. 有理数还可以这样定义： 形如p m (其中,m p 均为整数,且0m ≠)的数是有理数. 这种表达形式常被用来证明或判断某个数是不是有理数. 3. 有理数可以用数轴上的点表示. 4. 零是正数和负数的分界点；零不是正数也不是负数. 5. 如果两个数的和为0,则称这两个数互为相反数. 如果两个数的积为1,则称这两个数互为倒数. 6. 有理数的运算法则： (1) 加法：两数相加,同号的取原来的符号,并把绝对值相加；异号的取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值,绝对值相等时,和为0；一个数与0相加,仍得这个数. (2) 减法：减去一个数等于加上这个数的相反数. (3) 乘法：两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘；一个数与0相乘,积为0. 乘方：求n 个相同因数a 的积的运算称为乘方,记为n a . (4) 除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数. 整数的运算律对有理数的运算也适合. 二、例题与练习 例1. 2243(43)-?--?=____________. 例2. 13 117( 0.125)( 1.2)(1)3213 -?-÷-?-=____________ . 实践练习： 1. 计算：4.40.5 6.60.258.8 1.25?+÷+?. 2. 计算：78(0.125)8-?. 例3. 用简便方法计算797997999799997++++=__________ . 例4. 314151617181 ()()()()()()4556677889910 ++++++++++-=_________. 实践练习： 1. 计算：9999999999991999999?+=__________ . 2. 计算：112123 ()()233444++++++ 1234124849 ()()555550505050+++++++++=________ . 3. 计算：11111 (1)(1)(1)(1)(1)20082007200610011000 -----=________ . 例5. 若9160a b +=,则ab 是 ( ) (A) 正数. (B) 非正数. (C) 负数. (D) 非负数. 例6. 若n 是自然数,并且有理数,a b 满足1 0a b +=,则必有 ( ) (A)210n n a b ??+= ???. (B)21 210n n a b +?? += ? ?? . (C)3210n n a b ??+= ???. (D)21 2110n n a b ++?? += ? ?? . 实践练习： 1. 2008个不全相等的有理数之和为零,则这2008个有理数中 ( ) (A) 至少有一个是零. (B) 至少有1004个正数. (C) 至少有一个是负数. (D) 至多有2006个是负数. 2. 有理数a 等于它的倒数,有理数b 等于它的相反数,则20082008a b +等于 ( ) (A) 0. (B) 1. (C) －1. (D) 2. 练习三 1. 计算：211(455)365455211545545365?-+?-?+?=________ . 2. 计算：200120082008200820012000?-?=_________ . 3. 计算：374841 (0.625)()8(1)54 -???-. 4. 2(3)(4)56(7)(8)910(11)(12)131415+-+-+++-+-+++-+-+++=______. 5. 20(0.300.310.320.69)÷+++ +的值的整数部分是_______ . 6. 设a 是最小的自然数,b 是最大负整数,c 是绝对值最小的有理数,则a b c -+=___ . 7. 数轴上对应是整数的点称为整点,某数轴的单位长度是1厘米,若在这个数轴上随意画出一条长为1995厘米的线段AB ,则线段AB 盖住的整点有______个. 8. 电子跳蚤落在数轴上的某点0K ,第一步从0K 向左跳1个单位到1K ,第二步从1K 向右跳2个单位到2K ,第三步从2K 向左跳3个单位到3K ,第四步从3K 向右跳4个单位到4K ,…按以上规律跳了100步时,电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是20.08,则电子跳蚤的初始位置0K 点所表示的数是多少? §3. 有理数的巧算 知识要点： 整数和分数统称为有理数.有理数通常可以表示成分数n m 的形式,这里,m n 都是整数,且0,,m m n ≠互质. 有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上,能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此,还要善于根据题目条件,将推理与计算相结合,灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题,从而提高运算能力,发展思维的敏捷性与灵活性． 四则运算对有理数是封闭的,即任意两个有理数相加、相减、相乘、相除（除数不能为0）,其结果还是有理数.有理数可以比较大小,任意两个有理数之间都有无穷多个有理数. 有理数计算中常用到的一些等式如下： （1） 11 m n mn m n +=+； （2）()11111n n n n =-++；（3）()11m n n m n n m =-++ （4）()()22a b a b a b +=+-；（5）() 11232 n n n ++++ += ； （6）()() 22221211236 n n n n ++++++= 例1：计算：()1010.5 5.214.69.2 5.2 5.4 3.7 4.6 1.5-÷?-?+?-????? 实践练习： 1、计算：831.8216.93 1.16 1.3255?? ?÷÷?? ??? 2、计算：()()()4318 8431 2.524242641515??????----÷+?-÷-?? ????????? 3、计算：591119219930.4 1.6910505271119950.5199519195050?? +- ???? ??÷+ ????? ?-- ??? 例2.（1）计算： 1111 122334 19992000 ++++ ???? （2）计算： 1111 132435 19982000 ++++ ???? 实践练习： 1、计算：1111 599131317 101105 ++++ ???? 2、计算：131－127＋209－3011＋4213－56 15 3、计算： 22222 2227191111 9917191111 991 ++++++++---- 例3.计算：2222222123499100101-+-++-+ 实践练习： 1、计算：22222221949195019511952199719981999-+-++-+ 2、计算：222222222468101298100-+-+-++- 3、计算：()() 2 222222224610013599123891098321 +++ +-+++++++++++++ +++ 练习四 1、计算：237970.71 6.6 2.20.7 3.31173118 ?-?-÷+?+÷ 2、计算：137153163127255 248163264128256 +++++++ 3、计算：131－127＋209－3011＋4213－56 15 4、计算：3112122911532140.25534335???? -++-++ ? ????? 5、计算：11111111 1357911131517612203042567290 ++++++++ 6、计算：2222222213579114951-+-+-++- 7、计算： 1111 166111116 5156 ++++ ???? 8、1999减去它的12,再减去余下的13,再减去余下的1 4 ,…,依此类推,一直减去余下的1 1999 ,那么最后剩下的数是多少? 第二章 整式 §1．单项式： 1.单项式的概念 由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式.单独一个数或一个字母也是单项式,如a ,5. 判断下列各代数式哪些是单项式? (1)21 x ； (2)a bc ； (3)b 2； (4)－5a b 2； (5)y ； (6)－xy 2； (7)－5. 2.单项式系数和次数 单项式是由数字因数和字母因数两部分组成的.说出下列四个单项式3 1 a 2h,2 πr,a bc,－m 的系数和次数. 例1.判断下列各代数式是否是单项式.如不是,请说明理由；如是,请指出它的系数和次数. ①x ＋1； ②x 1； ③πr 2； ④－2 3a 2b. 例2.下面各题的判断是否正确? ①－7xy 2的系数是7； ②－x 2y 3与x 3没有系数； ③－a b 3c 2的次数是0＋3＋2； ④－a 3的系数是－1； ⑤－32x 2y 3的次数是7； ⑥3 1πr 2h 的系数是3 1. 注意： ①圆周率π是常数； ②当一个单项式的系数是1或－1时,“1”通常省略不写,如x 2,－a 2b 等； ③单项式次数只与字母指数有关. §2．多项式 (1)长方形的长与宽分别为a、b,则长方形的周长 是； (2)某班有男生x人,女生21人,则这个班共有学生人 _______； (3)图中阴影部分的面积为_________； (4)鸡兔同笼,鸡a只,兔b只,则共有头个,脚只. 2．观察以上所得出的四个代数式与上节课所学单项式有何区别. (1)2(a＋b); (2)21＋x ; (3)a＋b ; (4)2a＋4b . 几个单项式的和叫做多项式(polynomi a l).在多项式中,每个单项式叫做多项式的项(term).其中,不含字母的项,叫做常数项(const a nt term).例如,多项式x有三项,它们是2 -x 2 5 32+ 3x,－2x,5.其中5是常数项. 一个多项式含有几项,就叫几项式.多项式里,次数最高项的次数,就是这个多项式的次数.例如,多项式5 -x x是一个二次三项式. 2 32+ 单项式与多项式统称整式(integr a l expression). 注意： (1)多项式的次数不是所有项的次数之和；多项式的次数为最高次项的次数. (2)多项式的每一项都包括它前面的符号. 例1.判断： ①多项式a3－a2ｂ＋a b2－b3的项为a3、a2ｂ、a b2、b3,次数为12； ②多项式3n4－2n2＋1的次数为4,常数项为1. 例2.指出下列多项式的项和次数： (1)3x－1＋3x2；(2)4x3＋2x－2y2. 例3.指出下列多项式是几次几项式. (1)x3－x＋1；(2)x3－2x2y2＋3y2. 例4.已知代数式3x n －(m －1)x ＋1是关于x 的三次二项式,求m 、n 的条件. 课堂练习： ①填空：－4 5a 2b －3 4a b ＋1是 次 项式,其中三次项系数是 ,二次项 为 ,常数项为 ,写出所有的项 . ②已知代数式2x 2－mnx 2＋y 2是关于字母x 、y 的三次三项式,求m 、n 的条件. §3．多项式的升(降)幂排列 请运用加法交换律,任意交换多项式x 2＋x ＋1中各项的位置,可以得到几种不同的排列方式?在众多的排列方式中,你认为那几种比较整齐? 1．升幂排列与降幂排列： 有两种排列x 的指数是逐渐变大(或变小)的.我们把这种排列叫做升幂排列与降幂排列. 例如：把多项式5x 2＋3x －2x 3－1按x 的指数从大到小的顺序排列,可以写成－2x 3＋5x 2＋3x －1,这叫做这个多项式按字母x 的降幂排列. 若按x 的指数从小到大的顺序排列,则写成－1＋3x ＋5x 2－2x 3,这叫做这个多项式按字母x 的升幂排列. 例 1.五个学生上前自己选一张卡片,根据老师要求排成一列,并把排列正确的式子写下来. 例如： 按x 降幂排列： 例2.把多项式2πr －1＋3πr 3－π2r 2按r 升幂排列. 例3.把多项式a 3－b 3－3a 2b ＋3a b 2重新排列. (1)按a 升幂排列； (2)按a 降幂排列. 想一想： 观察上面两个排列,从字母b 的角度看,它们又有何特点? 例4.把多项式－1＋2πx 2－x －x 3y 用适当的方式排列. 例5.把多项式x 4－y 4＋3x 3y －2xy 2－5x 2y 3用适当的方式排列. (1)按字母x 的升幂排列得： ； (2)按字母y 的升幂排列得： . 小结： 对一个多项式进行排列,这样的写法除了美观之外,还会为今后的计算带来方便.在排列时我们要注意: (1)重新排列多项式时,每一项一定要连同它的符号一起移动；原首项省略的“＋”号交换到后面时要添上； (2)含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一字母升幂排列或降幂排列. §4.同类项 创设问题情境 ⑴、5个人+8个人= ⑵、5只羊+8只羊= ⑶、5个人+8只羊= 观察下列各单项式,把你认为相同类型的式子归为一类. 8x 2y,－mn 2, 5a ,－x 2y, 7mn 2, 83, 9a , －3 2 xy , 0, 0.4mn 2 , 9 5 ,2xy 2 我们常常把具有相同特征的事物归为一类.8x 2y 与－x 2y 可以归为一类,2xy 2与－ 3 2xy 可以归为一类,－mn 2、7mn 2与0.4mn 2可以归为一类,5a 与9a 可以归为一 类,还有8 3、0与9 5也可以归为一类.8x 2y 与－x 2y 只有系数不同,各自所含的字母都是x 、y,并且x 的指数都是2,y 的指数都是1；同样地,2xy 2与－32 xy 也只有系数不同,各自所含的字母都是x 、y,并且x 的指数都是1,y 的指数都是2. 像这样,所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项(simil a r terms).另外,所有的常数项都是同类项.比如,前面提到的8 3、0与9 5也是同 类项. 例1.判断下列说法是否正确,正确地在括号内打“√”,错误的打“×”. (1)3x 与3mx 是同类项. ( ) (2)2a b 与－5a b 是同类项. ( ) (3)3x 2y 与－3 1yx 2是同类项. ( ) (4)5a b 2与－2a b 2c 是同类项. ( ) (5)23与32是同类项. ( ) 例2.指出下列多项式中的同类项： (1)3x －2y ＋1＋3y －2x －5； (2)3x 2y －2xy 2＋3 1xy 2－2 3yx 2. 例3.k 取何值时,3x k y 与－x 2y 是同类项? 例4.若把(s ＋t)、(s －t)分别看作一个整体,指出下面式子中的同类项. (1)3 1(s ＋t)－5 1(s －t)－4 3(s ＋t)＋6 1(s －t)； (2)2(s －t)＋3(s －t)2－5(s －t)－8(s －t)2＋s －t. 课堂练习： 1.请写出2ab 2c 3的一个同类项．你能写出多少个?它本身是自己的同类项吗? 2.若2a m b 2m+3n 与a 2n －3b 8的和仍是一个单项式,则m 与 n 的值分别是______ §5.整式的加减 为了搞好班会活动,李明和张强去购买一些水笔和软面抄作为奖品.他们首先购买了15本软面抄和20支水笔,经过预算,发现这么多奖品不够用,然后他们又去购买了6本软面抄和5支水笔.问： ①他们两次共买了多少本软面抄和多少支水笔? ②若设软面抄的单价为每本x 元,水笔的单价为每支y 元,则这次活动他们支出的总金额是多少元? 可根据购买的时间次序列出代数式,也可根据购买物品的种类列出代数式,再运用加法的交换律与结合律将同类项结合在一起,将它们合并起来,化简整个多项式,所的结果都为(21x ＋25y)元. 由此可得：把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项. 合并同类项的法则： 把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母指数保持不变. 例1.找出多项式3x 2y －4xy 2－3＋5x 2y ＋2xy 2＋5种的同类项,并合并同类项. 例2.下列各题合并同类项的结果对不对?若不对,请改正. (1)2x 2＋3x 2=5x 4； (2)3x ＋2y=5xy ； (3)7x 2－3x 2=4； (4)9a 2b －9b a 2=0. 例3.合并下列多项式中的同类项： (1) 2a 2b －3a 2b ＋0.5a 2b ； (2)a 3－a 2b ＋a b 2＋a 2b －a b 2＋b 3； (3)5(x ＋y)3－2(x －y)4－2(x ＋y)3＋(y －x)4. 例4.求多项式3x 2＋4x －2x 2－x ＋x 2－3x －1的值,其中x=－3. 试一试：把x ＝－3直接代入例4这个多项式,可以求出它的值吗?与上面的解法比较一下,哪个解法更简便? 例1．化简下列各式： (1)8a+2b+（5a －b ）； （2）（5a －3b ）－3（a 2－2b ）． (2)计算：5xy 2－[3xy 2－（4xy 2－2x 2y ）]+2x 2y －xy 2． [5xy 2] 小结 去括号是代数式变形中的一种常用方法,去括号时,特别是括号前面是“－”号时,括号连同括号前面的“－”号去掉,括号里的各项都改变符号．去括号规律可以简单记为“－”变“＋”不变,要变全都变．当括号前带有数字因数时,这个数字要乘以括号内的每一项,切勿漏乘某些项． 学生作总结后教师强调要求大家应熟记法则,并能根据法则进行去括号运算.去括号法则顺口溜：去括号,看符号：是“+”号,不变号；是“―”号,全变号. 不难发现,去括号和合并同类项是整式加减的基础.因此,整式加减的一般步骤可以总结为： （１）如果有括号,那么先去括号.（２）如果有同类项,再合并同类项. 例1.求整式x 2―7x ―2与―2x 2+4x ―1的差. 练习：一个多项式加上―5x 2―4x ―3与―x 2―3x,求这个多项式. 例2.计算：―2y 3+(3xy 2―x 2y)―2(xy 2―y 3). 例3.化简求值:(2x 3―xyz)―2(x 3―y 3+xyz)+(xyz ―2y 3),其中x=1,y=2,z=―3. 复习题 1.找出下列代数式中的单项式、多项式和整式. 3 z y x ++,4xy,a 1, 2 2n m ,x 2+x+x 1,0, x x 212 -,m,―2.01×105 2.指出下列单项式的系数、次数：a b,―x 2,5 3xy 5,3 5 3z y x -. 3.指出多项式a 3―a 2b ―a b 2+b 3―1是几次几项式,最高次项、常数项各是什么? 4.化简,并将结果按x 的降幂排列： (1)(2x 4―5x 2―4x+1)―(3x 3―5x 2―3x)； (2)―［―(―x+2 1)］―(x ―1)； (3)―3(21x 2―2xy+y 2)+ 2 1(2x 2―xy ―2y 2). 5.化简、求值：5a b ―2［3a b ―(4a b 2+2 1a b)］―5a b 2,其中a =2 1,b=―3 2. 6.一个多项式加上―2x 3+4x 2y+5y 3后,得x 3―x 2y+3y 3,求这个多项式,并求当x=― 2 1,y=2 1时,这个多项式的值. 7．如果关于x 的两个多项式4 2 1 42 ax x +- 与35b x x +的次数相同,求 3 212342 b b b -+-的值. 第三章 一元一次方程 §1.一元一次方程 1. 定义： 方程：含有未知数的等式称为方程. 一元一次方程：方程中只含一个未知数（元）,并且未知数的指数是1（次）,未知数的系数不等于0,这样的方程叫做一元一次方程. 如312x +=,658x +=. 解：解方程就是求出使方程等号左右两边相等的未知数的值,这个值就是方程的解. 2. 等式的性质： 性质1 等式两边加（或减）同一个不为0的数,结果仍相等. 如果a b =,那么a c b c ±=±. 性质2 等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等. 如果a b =,那么ac bc =. 如果a b =（0c ≠）,那么a b c c =. 3. 同解方程和方程的同解原理： (1) 如果方程Ⅰ的解都是方程Ⅱ解,并且方程Ⅱ的解也都是方程Ⅰ的解,那么这两个方程是同解方程. (2) 方程同解原理 Ⅰ：方程两边同时加上（或减去同一个数或同一个整式）,所得的方程与原方程是同解方程. 方程同解原理 Ⅱ：方程两边同时乘以（或除以）同一个不为0的数,所得的 方程与原方程是同解方程. 方程同解原理 Ⅲ：方程()()0f x g x ?=与()0f x =或()0g x =是同解方程. 4. 解一元一次方程的一般步骤： (1) 去分母；(2) 去括号；(3) 移项；(4) 合并同类项,化为最简形式ax b =；(5) 方程两边同除以未知数的系数. 解一元一次方程没有固定的步骤,去分母与去括号要因题而异,灵活掌握,但是,不管采取什么顺序,都要保证正确地运用各种运算法则以及同解原理,使得到的方程与原方程同解. 5. 一元一次方程ax b =的解由,a b 的值确定： (1) 当0a ≠时,方程有唯一的解b x a = ； (2) 当0a b ==时,方程的解可为任意的有理数； (3) 当0a =且0b ≠时,方程无解. 例1. 利用等式的性质解一元一次方程： （1）33x -=； （2）54x =-； （3）5(1)10y -=； （4）352 a --=. 例2. 检验下列各数是不是方程4323x x -=+的解： （1）3x =； （2）8x =； （3）5y =. 实践练习： 1. 解方程：（1）3413x +=-； （2）2153x -=； （3）31 342 x x -=+. 2. 解方程：2007122334 20072008 x x x x ++++ =????. 列简易方程解决问题 例3. 根据下列条件列方程 （1）x 的5倍比x 的2倍大12； （2）某数的2 3 比它的相反数小5. 实践练习： 1. 根据下列问题,列出方程,不必求解. （1）把若干本书发给学生. 如果每人发4本,还剩下2本；如果每人发5本,还差5本. 问共有多少学生? （2）某班50名学生准备集体去看电影,电影票中有1.5元的和2元的,买电影票共花88元,问这两种电影票应各买多少? 练习一 1. 解方程：（1）19969619x x -=-； （2）7110.251 0.0240.0180.012 x x x --+=- . 2. 假设关于x 的方程()()0a x a b x b -++=有无穷多个解,求a b +的值. 3. 若关于x 的方程(5)60a x --=的解是2,求a 的值. 4. 若关于x 的方程332 x a x -=+的解是4,求22a a -的值. 5. 某地电话拨号上网有两种收费方式,用户可以任选其一. （1）计时制：0.05元/分； （2）包月制：50元/月. 此外,每一种上网方式都得加收通信费0.02元/分,问用户每月上网多少小时,这两种收费方式所收费用一样?请列出方程. 6. 小李去商店买练习本,回来后告诉同学：店主跟我说,如果多买一些就给我8折优惠,我就买了20本,结果总共便宜了1.60元,你猜原来每本价格是多少?你能列出方程吗? 例4.某大型商场三个季度共销售DVD 2800台,第一个季度销售量是第二个季度的2倍,第三个季度销售量是第一个季度的2倍,第一个季度这家商场销售DVD 多少台? 例5.某校高中一年级434名师生外出春游,已有3辆校车可乘坐84人,还需 租用50座的客车多少辆? 实践练习： 1. 某工厂八月十五中秋节给工人发苹果,如果每人分两箱,则剩余20箱,如果每人分3箱,则还缺20箱,这个工厂有工人多少人? 2. 据某《城市晚报》报道,2004年2月16日,中国著名篮球明星姚明与麦当劳公司正式签约,姚明作为麦当劳的形象代言人,三年共获酬金1400万美元,若后一年的酬金是前一年的两倍,并且不考虑税金,那么姚明第一年应得酬金为多少万美元? 例6.男女生有若干人,男生与女生数之比为4 : 3,后来走了12名女生,这时男生人数恰好是女生的2倍,求原来的男生和女生人数. 实践练习： 1. 已知::2:3:4 --的值. a b c ++=,求22 a b c a b c=,27 2. 一个三位数的三个数字和是15,十位数字是百位数字的2倍,个位数字比十位数字的2倍还多1,求这个三位数. 例7.甲、乙两人骑自行车,同时从相距45千米的两地相向而行,2小时相遇,甲比乙每小时多走2.5千米,求甲、乙每小时各走多少千米? 实践练习： 1. 一轮船在A,B两港口之间航行,顺水航行用3小时,逆水航行比顺水航行多用30分钟,轮船在静水中的速度是36千米/小时,问水流的速度是多少? 初一数学上学期教学计划 数学组： 为了更好的完成学校的初一数学的教学任务，依照教科室的计划，针对初一学生的特点和所教班的的具体情况特制订如下教学计划： 一、学情介绍： 根据小学升初中考试的情况来分析学生的数学成绩不算理想，总体的水平一般，往往对课程增多、课堂学习容量加大不适应，顾此失彼，精力分散，使听课效率下降，因此要重视听法的指导。学习离不开思维，善思则学得活，效率高，不善思则学得死，效果差。初一学生常常固守小学算术中的思维定势，思路狭窄、呆滞，不利于后继学习，要重视对学生进行思法指导。学生在解题时，在书写上往往存在着条理不清、逻辑混乱的问题，要重视对学生进行写法指导。 本学期的工作重点是扭转学生的学习态度，培养学生的好的学习习惯、创新意识，激发学生学习数学的热情和兴趣，培优补差，同时强调对数学知识的灵活运用，反对死记硬背，以推动数学教学中学生素质的培养。 二、教学措施 1、根据今年学校及教科室计划，认真构建“三四五优质高效”课堂教学模式，努力提高课堂教学的有效性和实效性。 初一学生刚刚进入初中阶段，正是从小学过度到初中学习的重要阶段，要求我们多研究、多思考、多创新、多探究。按照“低（起点）慢（速度）多（落点）高（标准）”元素结构教学法进行教学，“低起点”考虑到学生的基础，初一学生从小学数学到初中数学的学习是一个飞跃，怎样帮助学生慢慢过渡是一个难点，从细小的问题、每一个小知识点出发结合小学知识融汇到初中的知识中去，从而使学生很快接受知识。“高标准”为学生确立的学习标准。而且把目标细化，使学生能很快达到，既能掌握知识又能体会到成功的愉悦，使初一的学生对数学充满兴趣，从而达到高效课堂的标准。 2、精心设计习题，使习题从简单到复杂形成梯度，引导学生学会发散思维，培养学生创造性思维的能力，实现一题多解、举一反三、触类旁通，培养思维的灵活性。 3、批改作业做到全批全改，从过程到步骤严格要求，发现问题及时解决作认好总结，从初一使学生慢慢养成认真按步骤做作业的习惯。 4、继续实行课前一题的模式。课前五分钟每个班的课代表把上一节课涉及到的典型题目呈现在黑板上，学生在解题的过程中复习上一节的内容，而且也能做到尽快把学生从课间拉回到上课的的状态，并力求把学生中新方法新思维挖掘出来。 5、实行一对一的帮扶活动，由好学生带动一个差一点的学生，从知识、作业、学习习惯等各方面互帮互助，从而全面提高学生的综合素质。 三、合理落实各项教学常规 1、备好课是上好课的基础，是提高课堂教学质量的关键。根据“三四五优质高效”课堂教学模式，所以在备课时深入钻研教材，正确地掌握和处理好教材的重点、难点，准备大量的、难度不同的习题备用，备课以个人独立钻研备课为主，在此基础上进行集体备课，广泛吸取其他老师的优点和精华，完善自己的备课达到精益求精。 初一数学基础知识讲义 第一讲和绝对值有关的问题 一、知识结构框图： 数 二、绝对值的意义： (1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数； ③零的绝对值是零。 也可以写成： () () () ||0 a a a a a a ? ?? =? ? - ?? 当为正数 当为0 当为负数 说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数； （Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。 三、典型例题 例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（A ）A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b 解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a 分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。 例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++ 的值（ C ） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号 解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示： 所以 分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。 例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。 解：设甲数为x ，乙数为y 由题意得：y x 3=， （1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧： 若x 在原点左侧，y 在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6 若x 在原点右侧，y 在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6 （2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧： 若x 、y 在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12 若x 、y 在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12 例4．（整体的思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ D ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个 分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程a a -=的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D 。 例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值． ()()()()()() 1111 112220072007ab a b a b a b ++++++++++L 0)()(=--+-+=--+++y x z y z x y x z y z x 2014～2015年新人教版七年级上册《数学》教案 第一章有理数 课题：1.1 正数和负数（1） 【学习目标】：1、掌握正数和负数概念； 2、会区分两种不同意义的量，会用符号表示正数和负数； 3、体验数学发展是生活实际的需要，激发学生学习数学的兴趣。【重点难点】：正数和负数概念 【教学过程】： 一、知识链接： 1、小学里学过哪些数请写出来：、、。 2、阅读课本P2三幅图（重点是三个例子，边阅读边思考） 回答下面提出的问题： 3、在生活中，仅有整数和分数够用了吗？有没有比0小的数？如果有，那叫做什么数？ 二、自主学习 1、正数与负数的产生 （1）、生活中具有相反意义的量 如：运进5吨与运出3吨；上升7米与下降8米；向东50米与向西47米等都是 生活中遇到的具有相反意义的量。 请你也举一个具有相反意义量的例子：。 （2）负数的产生同样是生活和生产的需要 2、正数和负数的表示方法 （1）一般地，我们把上升、运进、零上、收入、前进、高出等规定为正的，而 与它相反的量，如：下降、运出、零下、支出、后退、低于等规定为负的。正 的量就用小学里学过的数表示，有时也在它前面放上一个“+”（读作正）号， 如前面的5、7、50；负的量用小学学过的数前面放上“—”（读作负）号来表示， 如上面的—3、—8、—47。 （2）活动：两个同学为一组，一同学任意说意义相反的两个量，另一个同学用正负数表示. （3）阅读P2的内容 3、正数、负数的概念 1）大于0的数叫做，小于0的数叫做。 2）正数是大于0的数，负数是的数，0既不是正数也不是负数。 【课堂练习】： 1. P3第1，2题（直接做在课本上）。 2．小明的姐姐在银行工作，她把存入3万元记作+3万元，那么支取2万元应记作 _______,-4万元表示________________。 3．已知下列各数：51-，4 32-，3.14，+3065，0，-239； 则正数有_____________________；负数有____________________。 4．下列结论中正确的是 …………………………………………（ ） A ．0既是正数，又是负数 B ．O 是最小的正数 C ．0是最大的负数 D ．0既不是正数，也不是负数 【要点归纳】： 正数、负数的概念： （1）大于0的数叫做 ，小于0的数叫做 。 （2）正数是大于0的数，负数是 的数，0既不是正数也不是负数。 【拓展训练】： 1．零下15℃，表示为_________，比O ℃低4℃的温度是_________。 2．地图上标有甲地海拔高度30米，乙地海拔高度为20米，丙地海拔高度为-5米， 其中最高处为_______地，最低处为_______地． 3．“甲比乙大-3岁”表示的意义是______________________。 4．如果海平面的高度为0米，一潜水艇在海水下40米处航行，一条鲨鱼在潜水艇 上方10米处游动，试用正负数分别表示潜水艇和鲨鱼的高度。 【课后作业】P5第1、2题 【板书设计】： 【总结反思】： 初一年级：数学教学计划 通过教学计划可以具体规定一定学校的学科设置、各门学科的教学顺序、教学时数以及各种活动等。为此查字典数学网初中频道为大家提供了数学教学计划，希望可以作为大家的参考! 一.教材分析 为了实现《全日制义务教育数学课程标准》的课程目标，教科书力图突出如下特点： 1. 为学生提供现实、有趣、富有挑战性的学习素材。所有数学知识的学习，都力求从学生的实际出发，以他们熟悉或感兴趣的问题情景引入学习主题，并提供了众多有趣而富有数学含义的问题，以展开数学探究。 2. 为学生提供探索、交流的时间与空间。在提供学习素材的基础上，还依据学生已有的知识背景和活动经验，提供了大量的操作，思考与交流的机会，如提出了大量富有启发性的问题，设立了做一做想一想议一议等栏目，以使学生通过自主探索与合作交流，形成新的知识，包括归纳法则与方法，描述概念等。 3. 展示数学知识的形成与应用过程。经历知识的形成与应用过程，将有利于学生更好地理解数学，应用数学，增强学好数学地信心。力图采用问题情景建立模型解释，应用与拓展的展开。 4. 立足不同学生的发展需求。课本中的习题分为两类：一类面向全体学生，为他们熟悉和巩固新学的数学知识，加深对相关知识与方法的理解所设;另一类则面向更多数学学习需 求的学生，即试一试中的题目，不要求全体学生都尝试完成。 二.教学内容 第一章丰富的图形世界第二章有理数及其运算 第三章代数式第四章平面图形及其位置关系 第五章一元一次方程第六章生活中的数据 三.教学重点和难点 教学重点： 第二章有理数及其运算第三章代数式 第四章平面图形及其位置关系第五章一元一次方程 教学难点： 第二章有理数及其运算第五章一元一次方程的应用 四.教学措施 认真备课，不但备学生而且备教材备教法，根据教材内容及学生的实际，设计课的类型，拟定采用的教学方法。课堂上要特别注意调动学生的积极性，加强师生交流，充分体现学生的主动性，让学生学的容易，学的轻松，学的愉快，注意精讲精练。布置作业做到精炼，有针对性，有层次性，同时对学生的作业及时认真批改，同时注意分层教学。在教学中，应引导学生在学好概念的基础上掌握数学的规律，并着重培 精品文档 七年级数学上册重要知识点汇总 第一章有理数 1. 有理数: ⑴ 凡能写成q (p,q 为整数且p =0)形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数 . P 注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；二不是有理数; (3) 注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性； 这三个数把数轴上的数分成四个区域, 这四个区域的数也有自己的特性; (4) 自然数=0和正整数； a >0 a 是正数； a v 0 = a 是负数; a > 0 = a 是正数或0 a 是非负数； a < 0 = a 是负数或0 = a 是非正数. 2. 数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度(数轴的三要素) 的一条直线. 3?相反数：(1)只有符号不同的两个数， 我们说其中一个是另一个的相反数； 0的相反数还是0； (2)注意: a-b+c 的相反数是-(a-b+c)= -a+b-c ； a-b 的相反数是b-a ； a+b 的相反数是-a-b ； ⑶相反数的和为0二a+b=0 ：= a 、b 互为相反数. ⑷相反数的商为-1. (5) 相反数的绝对值相等 w w w .x k b 1.c o m 4. 绝对值： (1) 正数的绝对值 等于它本身，0的绝对值是0,负数的绝对值 等于它的相反数; (1) 正数永远比0大，负数永远比 0小； (2) 正数大于一切负数； (3) 两个负数比较，绝对值大的反而小； (4 )数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大; (5) -1 , -2 , +1, +4, -0.5，以上数据表示与标准质量的差 6. 倒数：乘积为1的两个数互为倒数； 注意：0没有倒数； 若ab=1：= a 、b 互为倒数； 若ab=-1：= a 、b 互为负倒数 精品文档 (2)有理数的分类 正有理数<■ 正整数 正分数 负有理数 负整数 ，负分数 「正整数 整数丿零 ②有理数彳 ［负整数 分数J 正分数 分数负分数 注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的 距离; 0) (2)绝对值可表示为： a (a=0) [-a (a<0) lai ⑶ 」=1 二 a A 0 ； 1 二 a <0 ； a a ⑷|a|是重要的非负数, 即 1 |a| > 0,非负性 _ Ja {a> 0) ,-a g0) ，绝对值越小，越接近标准。 5.有理数比大小: 七年级数学教学计划表 从实际出发，七年级数学教师如何制定教学计划。下面是收集整理的七年级数学教学计划，欢迎阅读。 七年级数学教学计划篇一 本学期，我适应新时期教学工作的要求，认真学习新课程。从各方面严格要求自己，积极向老教师请教，结合本校的实际条件和学生的实际情况，使教学工作有计划，有组织，有步骤地开展。立足现在，放眼未来，为使今后的工作取得更大的进步，现对本学期教学工作计划如下： 一.教材分析： 1、学生提供现实，有趣，富有挑战性的学习素材。所有数学知识学习，都力求从学生的实际出发，以他们熟悉或感兴趣问题情景引入学习主题，并提供了众多有趣而富有数学含义问题，以展开数学探究。 2、学生提供探索，交流的时间与空间。在提供学习素材的基础上，还依据学生已有的知识背景和活动经验，提供了大量的操作，思考与交流的机会，如提出了大量富有启发性的问题，设立了“做一做”“想一想”“议一议”等栏目，以使学生通过自主探索与合作交流，形成新的知识，包括归纳法则与方法，描述概念等。 3、使数学知识的形成与应用过程。经历知识的形成与 应用过程，将有利于学生更好地理解数学，应用数学，增强学好数学地信心。力图采用“问题情景——建立模型——解释，应用与拓展”的展开。 4、满足不同学生的发展需求。课本中的习题分为两类：一类面向全体学生，为他们熟悉和巩固新学的数学知识，加深对相关知识与方法的理解所设;另一类则面向更多数学学习需求 二.教学措施： 1、认真备课，不但备学生而且备教材备教法，根据教材内容及学生的实际，设计课的类型，拟定采用的教学方法，并对教学过程的程序及时间安排都作了详细的记录，认真写好教案。每一课都做到“有备而来”，每堂课都在课前做好充分的准备，并制作各种利于吸引学生注意力的有趣教具，课后及时对该课作出总结。 2、在课堂上特别注意调动学生的积极性，加强师生交流，充分体现学生的主动作用，让学生学得容易，学得轻松，学得愉快;注意精讲精练，在课堂上老师讲得尽量少，学生动口动手动脑尽量多;同时在每一堂课上都充分考虑每一个层次的学生学习需求和学习能力，让各个层次的学生都得到提高。 3、虚心请教其他老师。在教学上，有疑必问。在各个章节的学习上都积极征求其他老师的意见，学习他们的方法， 人教版初一数学上册知识点归纳总结 第一章有理数 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数. 注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； (2)有理数的分类: ① ??? ??????????负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 (3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性； (4)自然数? 0和正整数； a ＞0 ? a 是正数； a ＜0 ? a 是负数； a ≥0 ? a 是正数或0 ? a 是非负数； a ≤ 0 ? a 是负数或0 ? a 是非正数. 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度（数轴的三要素）的一条直线. 3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)注意： a-b+c 的相反数是-(a-b+c)= -a+b-c ；a-b 的相反数是b-a ；a+b 的相反数是-a-b ； (3)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. (4)相反数的商为-1. （5）相反数的绝对值相等 4.绝对值： (1)正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数； 注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对值可表示为：?????<-=>=) 0a (a )0a (0)0a (a a 或 ???≤-≥=)0()0(a a a a a ； (3) 0a 1a a >?= ； 0a 1a a 一、指导思想：七年级数学是初中数学的重要组成部分，通过本学期的教学，要使学生学会适应日常生活，参加生产和进一步学习所必须的基础知识与基本技能，进一步培养运算能力、思维能力和空间观念：能够运用所学的知识解决简单的实际问题，培养学生的数学创新意识、良好个性品质及初步的辩证唯物主义的观点。 二、学生基本情况：根据初次教学，学生学习积极性不高，厌学情况严重，纪律涣散，意志力薄弱，学习欠缺勤奋，学习的自觉性不高。根据上述情况本期的工作重点将扭转学生的学习态度，培养学生的创新意识，激发学生学习数学的热情，抓优扶差，同时强调对数学知识的灵活运用，反对死记硬背，以推动数学教学中学生素质的培养。不断加强学生的逻辑推理、逻辑思维能力，计算能力，以便提升学生的整体成绩，应在合适的时候补充课外知识，拓展学生的知识面;本学期中我要抽出一定的时间给孩子们讲讲有关新概念几何，提升学生素质;在学习态度上，部分学生上课能全神贯注，积极的投入到学习中去，部分学生对数学学习上的困难，使他们对数学处于一种放弃的心态，课堂作业，大部分学生能认真完成，少数学生需要教师督促，这一少数学生也成为老师的重点牵挂对象，课堂家庭作业，学生完成的质量要打折扣，学生的自觉性降低了，学习的风气有所淡化，是本学期要解决的一个问题;学生的学习习惯养成还不理想，预习的习惯，进行总结的习惯，自习课专心致志学习的习惯，主动纠正(考试、作业后)错误的习惯，还需要加强，需要教师的督促才能做，陶行知说：教育就是培养习惯，这是本期教学中重点予以关注的。 三、提高学科教育质量的主要措施：1、认真做好教学工作。把教学认真作为提高成绩的主要方法，认真研读新课程标准，钻研新教材，根据新课程标准，扩 第一讲 和绝对值有关的问题 一、 知识结构框图： 二、 绝对值的意义： (1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数； ③零的绝对值是零。 也可以写成： ()()() ||0a a a a a a ??? =??-??当为正数当为0当为负数 三、 典型例题 例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图： 则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ） A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b 例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ ） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号 例3．（分类讨论思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 例4．（整体思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个 例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值． ()()()() ()() 1111 112220072007ab a b a b a b ++++ ++++++ 说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数； （Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。 例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题： （1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___ . （2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离 可以表示为 ________________. （3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 ___. （4） 满足341>+++x x 的x 的取值范围为 ______ . 第二讲：代数式的化简求值问题 一、知识链接 1．“代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容. 2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。 注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化 3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。 二、典型例题 例1．若多项式( ) x y x x x mx 5378522 2 2 +--++-的值与x 无关， 求()[] m m m m +---45222 的值. 例2．x=-2时，代数式635-++cx bx ax 的值为8，求当x=2时，代数式63 5-++cx bx ax 的值。 例3．当代数式532 ++x x 的值为7时,求代数式2932 -+x x 的值. 例4． 已知012 =-+a a ，求200722 3 ++a a 的值. 课题： 1.1 正数和负数（1）授课时间：____________ 学习目标 1、整理前两个学段学过的整数、分数（包括小数）的知识，掌握正数和负数的概念； 2、能区分两种不同意义的量，会用符号表示正数和负数； 3、体验数学发展的一个重要原因是生活实际的需要，激发学生学习数学的兴趣。 教学难点正确区分两种不同意义的量。 知识重点两种相反意义的量 教学过程（师生活动） 引入课题 上课开始时，教师应通过具体的例子，简要说明在前两个学段我们已经学过的数，并由此请学生思考：生活中仅有这些“以前学过的数”够用了吗？下面的例子仅供参考． 师：今天我们已经是七年级的学生了，我是你们的数学老师．下面我先向你们做一下自我介绍，我的名字是XXX，身高1.69米，体重74.5千克，今年43岁．我们的班级是七(2)班，有50个同学，其中男同学有27个，占全班总人数的54%… 问题1：老师刚才的介绍中出现了几个数？分别是什么？你能将这些数按以前学过的数的分类方法进行分类吗？ 学生活动：思考，交流 师：以前学过的数，实际上主要有两大类，分别是整数和分数（包括小数）． 问题2：在生活中，仅有整数和分数够用了吗？ 请同学们看书（观察本节前面的几幅图中用到了什么数，让学生感受引入负数的必要性）并思考讨论，然后进行交流。 （也可以出示气象预报中的气温图，地图中表示地形高低地形图，工资卡中存取钱的记录页面等） 学生交流后，教师归纳：以前学过的数已经不够用了，有时候需要一种前面带有“－”的新数。 先回顾小学里学过的数的类型，归纳出我们已经学了整数和分数，然后，举一些实际生活中共有相反意义的量，说明为了表示相反意义的量，我们需要引入负数，这样做强调了数学的严密性，但对于学生来说，更多地感到了数学的枯燥乏味为了既复习小学里学过的数，又能激发学生的学习兴趣，所以创设如下的问题情境，以尽量贴近学生的实际． 这个问题能激发学生探究的欲望，学生自己看书学习是培养学生自主学习的重要途径，都应予以重视。 以上的情境和实例使学生体会生活中处处有数学，通过实例，使学生获取大量的感性材料，为正确建立相反意义的量奠定基础。 探究新知 问题3：前面带有“一”号的新数我们应怎样命名它呢？为什么要引人负数呢？通常在日常生活中我们用正数和负数分别表示怎样的量呢？ 这些问题都必须要求学生理解． 教师可以用多媒体出示这些问题，让学生带着这些问题看书自学，然后师生交流． 这阶段主要是让学生学会正数和负数的表示． 强调：用正，负数表示实际问题中具有相反意义的量，而相反意义的量包含两个要素：一是它们的意义相反，如向东与向西，收人与支出；二是它们都是数量，而且是同类的量．这些问题是这节课的主要知识，教师要清楚地向学生说明，并且要注意语言的准确与规范，要舍得花时间让学充分发表想法。 初一上册数学教学计划 对于蛋白质这一章节的内容，教师们要如何开展教学计划呢?以下是X就和大家分享的人教版初一上册生物教学计划，希望对大家有帮助! 人教版初一上册生物教学计划 知识点一、氨基酸及其种类 1.氨基酸的结构特点 (1)结构通式 (2)不同氨基酸之间的区别在于R基的不同(根据R基的不同将氨基酸分为不同的种类)。 (3)结构上有共同点：至少都有一个氨基和一个羧基，并且都有一个氨基和一个羧基连接在同一个碳原子上。(这两点是判断是否是组成生物体蛋白质的氨基酸的依据) 领悟整合对氨基酸结构共同点的理解 (1)“至少”的含义：氨基酸分子中的氨基和羧基的数目至少各1个，也可以是几个。例如当R基上含有氨基或羧基时，这个氨基酸分子就不止有一个氨基和一个羧基了，如：谷氨酸： HOOC—CH2—CH2—CH—COOH | NH2 赖氨酸：H2N—CH2—CH2—CH2—CH2—CH—COOH | NH2 (2)构成蛋白质的氨基酸分子中都有一个氨基和一个羧基 连接在同一个碳原子上。其意思是，氨基和羧基不连在同一个碳原子上的氨基酸不是构成蛋白质的氨基酸，因为自然界存在的蛋白质中尚未发现这样的氨基酸。 (3)“氨基酸”这一名词与其分子结构有对应关系，“氨基酸”代表了氨基酸分子结构中主要的部分——氨基(碱性)和羧基(酸性)。 (4)由氨基酸的结构通式可知，氨基酸的组成元素中都有C、 H、O、N。另外大多数蛋白质还含有少量的S元素，有些蛋 白质含有P、Fe、Cu、I、Mo等。 2.氨基酸的种类(约20种) (1)必需氨基酸：必须从外界获取。人体内有8种(婴儿体内有9种，比成人多1种组氨酸) (2)非必需氨基酸：可通过其他化合物转化而成。 活学巧记记忆8种必需氨基酸的谐音方法：写(缬)一(异亮)本(苯丙)胆(蛋、甲硫)量(亮)色(色)书(苏)来(赖)。 知识点二、蛋白质的结构及其多样性 第1讲 与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义 ⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ） A ． －18% B ． －8% C ． ＋2% D ． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A ． －5吨 B ． ＋5吨 C ． －3吨 D ． ＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l5：00，纽约时问是____ 【例２】在－227 ，π，0.033. 3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0 ??????????????? 正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数分类，有理数?????????????????正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926… 是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227 是分数0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ． 【变式题组】 第一章 有理数 1.1 正数和负数 （1）正数：大于0的数； 负数：小于0的数； （2）0既不是正数，也不是负数； （3）在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义； （4）－a 不一定是负数，+a 也不一定是正数； （5）自然数：0和正整数统称为自然数； （6）a>0 ? a 是正数； a ≥0 ? a 是正数或0 ? a 是非负数； a ＜0 ? a 是负数； a ≤ 0 ? a 是负数或0 ? a 是非正数. 1.2 有理数 （1）正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数； （2）正整数、0、负整数统称为整数； （3）有理数的分类： ?????????????负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 (4)数轴：规定了原点、正方向、单位长度的一条直线；（即数轴的三要素） (5)一般地，当a 是正数时，则数轴上表示数a 的点在原点的右边，距离原点a 个单位长度；表示数－a 的点在原点的左边，距离原点a 个单位长度； (6)两点关于原点对称：一般地，设a 是正数，则在数轴上与原点的距离为a 的点有两个，它们分别在原点的左右，表示－a 和a ，我们称这两个点关于原点对称； (7)相反数：只有符号不同的两个数称为互为相反数； (8)一般地，a 的相反数是－a ；特别地，0的相反数是0； (9)相反数的几何意义：数轴上表示相反数的两个点关于原点对称； (10)a 、b 互为相反数?a+b=0 ；（即相反数之和为0） (11)a 、b 互为相反数?1-=b a 或1-=a b ；（即相反数之商为－1） (12)a 、b 互为相反数?|a|=|b|；(即相反数的绝对值相等） (13)绝对值：一般地，在数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做a 的绝对值；（|a|≥0） (14)一个正数的绝对值是其本身；一个负数的绝对值是其相反数；0的绝对值是0； (15)绝对值可表示为：?????<-=>=) 0a (a )0a (0)0a (a a (16)0a 1a a >?= ; 0a 1a a 人教版初一上册数学教学计划 一、指导思想： 深化教学改革,以促使学生全面、持续、和谐的发展为出发点,课堂中以学生的发展为本,活动为主线,创新为主旨,培养学生的创新意识和实践能力为重点,充分体现新课程、新 标准、新教法坚持走教研之路，努力探索减负增效的教育教学模式，从培养学生学数学、用数学的能力入手，持之以恒地开展教研活动。充分发展学生数学思维，全面提高教育教 学质量。 二、学生情况分析 七年级学生往往延用小学的学习方法，死记硬背，这样既没读懂弄透，又使其自学能 力和实际应用能力得不到很好的训练，要重视对学生的读法指导。七年级学生往往对课程 增多、课堂学习容量加大不适应，顾此失彼，精力分散，使听课效率下降，要重视听法的 指导。学习离不开思维，善思则学得活，效率高，不善思则学得死，效果差。七年级学生 常常固守小学算术中的思维定势，思路狭窄、呆滞，不利于后继学习，要重视对学生进行 思法指导。学生在解题时，在书写上往往存在着条理不清、逻辑混乱的问题，要重视对学 生进行写法指导。学生是否掌握良好的记忆方法与其学业成绩的好坏相关，初一学生由于 正处在初级的逻辑思维阶段，识记知识时机械记忆的成份较多，理解记忆的成份较少，这 就不能适应初一教学的新要求，要重视对学生进行记法指导。 三、教材及课标分析 第一章有理数 1、通过实际例子，感受引入负数的必要性、会用正负数表示实际问题中的数量、 2、理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数、借助数轴理解相反数和绝对值 的意义，会求有理数的相反数与绝对值绝对值符号内不含字母，会比较有理数的大小、通 过上述内容的学习，体会从数与形两方面考虑问题的方法、 3、掌握有理数的加、减、乘、除运算，理解有理数的运算律，并能运用运算律简化 运算、能运用有理数的运算解决简单的问题、 4、理解乘方的意义，会进行乘方的运算及简单的混合运算以三步为主、通过实例进 一步感受大数，并能用科学记数法表示、了解近似数与有效数字的概念、 第二章整式的加减 掌握单项式，多项式以及相关的概念。充分理解并掌握同类项的概念，在此基础上掌 握整式的加减法，并能熟练运用，为下一章一元一次方程打下坚实的基础。 七年级数学上册重要知识点汇总 第一章有理数 1.有理数： (1)凡能写成 )0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数. 注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； (2)有理数的分类: ① ??? ? ? ????????负分数 负整数负有理数零正分数正整数 正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数 分数负整数零正整数整数有理数 (3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性； (4)自然数? 0和正整数； a ＞0 ? a 是正数； a ＜0 ? a 是负数； a ≥0 ? a 是正数或0 ? a 是非负数； a ≤ 0 ? a 是负数或0 ? a 是非正数. 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度（数轴的三要素）的一条直线. 3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)注意： a-b+c 的相反数是-(a-b+c)= -a+b-c ；a-b 的相反数是b-a ；a+b 的相反数是-a-b ； (3)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. (4)相反数的商为-1. （5）相反数的绝对值相等w w w .x k b 1.c o m 4.绝对值： (1)正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数； 注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对值可表示为：??? ??<-=>=) 0a (a )0a (0)0a (a a 或 ???≤-≥=)0()0(a a a a a ； (3) 0a 1a a >?= ； 0a 1a a 人教版初一上数学教学计划 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢 人教版初一上册数学教学计划 一、基本情况分析 七年级两个班学生的总体情况如下：1班学生：33人，其中男生18人，女生15人。2班学生42人，其中女生20人，男生21人;通过小学的升学成绩来看，学生的数学成绩参差不齐，分数高的，有90分以上的分数低的，还不过30分，总体上看，学生的数学成绩较差，在学生的数学知识上看，小学学过的四则混合运算，相应的较为简单的应用题，对图形、图形的面积、体积，数据的收集与整理上有了初步的认识，无论是代数的知识，图形的知识都有待于进一步系统化，理论化，这就是初中的内容，本学期将要学习有关代数的初步知识，对图形的进一步认识;在数学的思维上， 学生正处于形象思维向逻辑抽象思维的转变期，这期间，结合教学，让学生适当思考部分有利于思维的题，无疑是对学生终身有用的;在学习习惯上，部分小学的不良习惯要得到纠正，良好的习惯要得到巩固，如独立思考，认真进行总结，及时改正作业，超前学习等，都应得到强化;通过前面几天的观察，大部分学生对数学是很感兴趣的，尽管成绩较差，但仍有部分学生对数学严重丧失信心，谈数学而色变，因此要给这部分学生树信心，鼓干劲;对于小学升入初中，学生有一个适应的过程，刚开始起点宜低，讲解宜慢，使学生迅速适应初中生活。 二、教材分析 走进数学世界：这部分内容是以通俗易懂的语言、丰富有趣的数学问题、著名数学家的生平史料等内容，让学生在极其轻松的氛围中，与数学交朋友，学会做一些简单的数学问题，使学生初步认识到数学与现实世界的密切联系， 懂得数学的价值，形成用数学的意识，使学生对数学产生一定的兴趣，获得学好数学的自信心，产生继续学习的欲望。这部分内容在小学数学和中学数学的联系中起到承上启下的作用，这为学生以后初中数学各部分的内容作了一个有益的铺垫。 有理数：这部分的主要内容是有理数的概念及其加减法、乘除法、和乘方运算，并配合有理数的运算学习近似数和有效数字的基本知识，以及使用计算器作简单的有理数运算。 这部分内容在设计上是从实际问题情境与已有的小学数学知识基础着手，提出问题，引导学生自主地发现新的有理数的一些概念，探索有理数的数量关系及其规律。在方法上采用了由具体特殊的现象发现一般规律，使学生初步体验从实际问题抽象出数学模型的思想方法，初步学会表示数量关系的一些数学工具以及解决一些简单问题的方法。同时适当控制练习和习题的难度，引人计 七年级数学上学期讲义第二讲授课时间：2017年9月16日授课时段：13:30—15:00 科目：有理数课时：2课时姓名：授课老师：徐老师 教学过程（内容）备注 例1.下列各对数中，互为相反数的是() A.＋(－8)和－8B．－(－8)和－|－8| C．－(－8)和|＋8|D．－(＋8)和－|－8| “一号一用”，即某个“－”号定为某种用途后，这个“－”号就不能再作他用． 例2.比较两个数的大小：﹣﹣．（填“＞”“＜”或“=”） 例3.数轴上的点A表示的数是-2，(1)向右平移3个单位，表示的数是 ___________ （2）与点A相距5个单位长度的点表示的数是________________ 例4.点M在数轴上距原点4个单位长度，将M向右移动2个单位长度至N 点，点N表示的数 例5.已知a=5，|b|=2，则a+b的值 例6.为体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午，出租车司机小王在东西方向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：+15，-4，+13，-10，-12，+3，-13． （1）出车地记为0，最后一名老师送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少？ （2）若汽车耗油量为0.1升/千米，这天上午汽车共耗油多少升？ 选择题 2．下面两个数互为相反数的是() A.12和0.2 B.13和－0.333 C.－2.75和324 D.9和－(－9) 3．一天早晨的气温是7-℃，中午的气温比早晨上升了11℃，中午的气温是（） A ．11℃ B ．4℃ C ．18℃ D ．11-℃ 4.如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重 的角度看，最接近标准的是（ ） A ． B ． C ． D ． 5.已知两个有理数的和为负数，则这两个有理数（） A ．均为负数 B ．均不为零 C ．至少有一正数 D ．至少有一负数 6．规定向北为正，某人走了+5km 后，又继续走了-10km ，那么他实际上（ ） A ．向北走了15km B ．向南走了15km C ．向北走了5km D ．向南走了5km 7.在数轴上与-1距离等于5个单位的点所表示的数是（） A.6 B.4 C.－6 D.4或－6 8．如果0=+b a ，那么a ，b 两个有理数一定是（ ） A ．一正一负 B ．互为倒数 C ．互为相反数 D ．无法确定 9.有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则a 、b 、a -、b 的大小关系正确的是（） A ．b a a b >->> B ．a a b b ->>> C ．a b b a ->>> D ．b a b a >->> 10.下列说法，其中正确的个数为是（） ①正数和负数统称为有理数；②符号相反的两个数互为相反数③a 一定是正数；④a -一定是负数. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 11.非零有理数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0，则a b c abc a b c abc +++所有可能的值为（）. A ．0B ．1或－1 C ．2或－2D ．0或－2 二．填空题 1.比较大小：3-1；π-________3.1432-_____34 -, 2.已知420x y -++=，则x ＝_____，y ＝_____初一数学上学期教学计划
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