一元二次方程培优训练
（90分钟 120分）
某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一
个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的情况，请解答以下问题：
（1） 当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和销售利润。
（2） 设销售单价为x 元()50≥x ，月销售利润为y 元，求y 与x 的关系式。 （3） 商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000
元，销售单价应为多少？
一、学科内综合题（每小题8分，共48分）
1．随着城市人口的不断增加，美化城市、改善人们的居住环境，已成为城市建设的一项重要内容，?某城市到2006?年要将该城市的绿地面积在2004?年的基础上增加44%，同时，要求该城市到2006年人均绿地的占有量在2004年基础上增加21%，?为保证实验这个目标，这两年该城市人口的平均增长率应控制在多少以内？（精确1%）
2．如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=4cm ，BC=10cm ，点P ?从点B ?出发沿BC ?以1cm/s 的速度向点C 移动，问：经过多少秒后，点P 到点A 的距离的平方比点P 到点B ?的距离的8倍大1？
3．已知关于x的方程（a－1）x2－（2a－3）x+a=0有实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）设x1，x2是方程（a－1）x2－（2a－3）x+a=0的两个根，且x12+x22=9，求a的值．
4．设m为整数，且4 5．一扇上部是半圆形下部是矩形的钢窗，它的高等于宽，如果窗的全部面积是25 7 m2，求 它的高和宽．（ =22 7 ） 6．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克赢利10元，每天可售出500?千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，?日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天赢利6 000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 二、学科间综合题（10分） 7．如图，AO=OB=50cm，OC是一条射线，OC⊥AB，一只蚂蚁由A以2cm/s速度向B 爬行，同时另一只蚂蚁由O点以3cm/s的速度沿OC方向爬行，几秒钟后，?两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为450cm2？ O C B A 三、应用题（每小题10分，共20分） 8．在等腰△ABC中，a=3，b，c是x2+mx+2－1 2 m=0的两个根，试求△ABC的周长． 9．一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，?往上走一层楼梯感到3分不满意，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼） 四、创新新（12分） 10．问题：构造ax 2 +bx+c=0解题，已知：21a +1a －1=0，b 4+b 2－1=0，且1a ≠b 2 ，求21ab a 的值． 五、中考题（共30分） 11．（6分）某商场今年2月份的营业额为400万元，3?月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到5月份营业额的平均增长率是__________． 12．（6分）解方程： 2 2 2(1)6(1) 11 x x x x ++ + ++ =7时，利用换元法将方程化为6y2－7y+2=0，? 则应设y=_________． 13．（6分）已知关于x的方程x2－3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m的值为________． 14．（12分）已知：关于x的两个方程①2x2+（m+4）x+m－4=0与②mx2+（n－2）x+m－3=0，方程①有两个不相等的负实数根，方程②有两个实数根． （1）求证：方程②两根的符号相同； （2）设方程②的两根分别为α、β，若α：β=1：2，且n为整数，求m的最小整数值． 附加题（20分） 设m是不小于－1的实数，使得关于x的方程x2+2（m－2）x+m2－3m+3=0?有两个不相等的实数根x1，x2． （1）若x12+x22=0，求m的值;（2）求 22 12 12 11 mx mx x x + -- 的最大值． 答案: 一、 1．解：设2004年城市的人口总量为m ，绿地面积为n ，?这两年该城市人口的年平均增长率为x ，由题意，得 2 (144%) (1) n m x n m ++=1+21%，整理，得 （1+x ）2=1.44 1.2 ,11.21 1.1x +=±． ∴x 1=2123 9%,1111 x ≈=-（舍去）． 答：这两年该城市人口的平均增长率应控制在9%以内． 点拨：本题重点考查增长率的问题． 2．分析：假设当P 点移到E 点时可满足本题的条件，那么就有△ABE 为直角三角形，BE=PB ，EA=PA ，由题意，得PA 2－8PB=1． 解：设经过x秒后点P到点A的距离的平方比点P到点B的距离的8倍大1， 由题意，得BE=PB=1×x=xcm，AE=PA=42+x2． ∴42+x2－8x=1． 解得x1=3，x2=5． 答：经过3秒或5秒后，点P到点A的距离的平方比点P到点B的距离的8倍大1．点拨：本题应用了勾股定理和路程=速度×时间这个公式． 3．解：（1）由b2－4ac≥0，得（2a－3）2－4a（a－1）≥0，a≤9 8 ． （2）∵x1，x2是方程（a－1）x2－（2a－3）x+a=0的两个根， ∴x1+x2=23 1 a a - - ，x1x2= 1 a a- ． 又∵x12+x22=9，∴（x1+x2）2－2x1x2=9． （23 1 a a - - ）2－2× 1 a a- =9． 整理，得7a2－8a=0，a（7a－8）=0． ∴a1=0，a2=8 7 （舍去）． 点拨：本题主要应用根与系数的关系及根的情况． 4．分析：由△=b2－4ac，得 △=4（2m－3）2－4（4m2－14m+8）=4（2m+1）． ∵方程有两个整数根， ∴△=4（2m+1）是一个完全平方数，所以2m+1也是一个完全平方数． ∵4 ∴2m+1=16，25，36或49，∵m为整数，∴m=12或24． 代入已知方程，得x=16，26或x=38，25．综上所述m为12，或24． 点拨：本题应用的方程有整数根，b2－4ac必为一个完全平方数求解． 5．分析：如图所示，半圆的直径=矩形的长=窗宽=窗高；矩形的宽=窗高－半圆半径； 全窗面积=半圆面积+矩形面积． 解：设半圆的半径为xm ，则半圆的直径为2xm ，半圆的面积为 2 2 x πm 2， 矩形面积为x ·2x=2x 2（m 2）， ∴根据题意，有 2πx 2+2x 2=25 7 ，∴25x 2=25．∴x=1或x=－1（舍去）， 当x=1时，2x=2． 答：窗的高和宽都是2m ． 点拨：本题借助图分析比较直观简单，另外本题中x=－1虽符合所列方程，?但不符合题意，故舍去． 6．解：设每千克水果应涨价x 元， 由题意，得（500－20x ）（10+x ）=6 000，解得x 1=5，x 2=10． 要使顾客得到实惠，应取x=5． 点拨：本题与实际问题有关，应考虑题中要使顾客得到实惠这个条件得以应用． 二、 7．分析：本题可以分两种情况进行讨论． 解：（1）当蚂蚁在AO 上运动时，设xs 后两只蚂蚁与O 点组成的三角形面积为450cm 2． 由题意，得 1 2 ×3x ×（50－2x ）=450． 整理，得x 2－25x+150=0． 解得x 1=15，x 2=10． （2）当蚂蚁在OB 上运动时， 设xs 钟后，两只蚂蚁与O 点组成的三角形面积为450cm 2． 由题意，得 1 2 ×3x （2x －50）=450． 整理，得x 2－25x －150=0． 解得x 1=30，x 2=－5（舍去）． 答：15s ，10s ，30s 后，两蚂蚁与O 点组成的三角形的面积均为450cm 2． 点拨：本题考查的是学生的抽象思维能力，使学生学会用运动的观点来观察事物，同时要注意检验解的合理性． 三、 8．分析：在等腰三角形中，要分清楚腰与底边，本题应进行分类讨论． 解：∵b 、c 是方程x 2+mx+2－1 2 m=0的两个根， ∴b+c=－m ，b ·c=2－ 1 2 m ． （1）若a 为腰，则b=a=3． c=－m －b ，即3（－m －3）=2－ 1 2 m ． 解得m=－ 225，∴b+c=225 ． ∴周长Q=b+c+a=225+3=37 5 ． （2）若a 为底，则b=c ． ∴△=m 2－4（2－ 2 m ）=0． m 1=－4，m 2=2，∴b+c=4或b+c=－2（舍去）． ∴周长Q=b+c+a=4+3=7． 答：△ABC 的周长为 37 5 或7． 点拨：了解形与数结合分类讨论的思想． 9．分析：通过引元，把不满意的总分用相关的字母的代数式表示，然后对代数式进行恰当的配方，进而求出代数式的最小值． 解：由题意易知，这32个人恰好是第2层至第33层各住1人，对于每个乘电梯上、?下楼的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数．事实上，设住s 层的人乘电梯，而住在t 层的人直接上楼，s 设电梯停在第x 层，在第1层有y 人没有乘电梯即直接上楼，那么不满意的总分为： s=3[1+2+3+…+（33－x ）]+3（1+2+…+y ）+[1+2+…+（x －y －2）] = 3(33)(34)3(1)(2)(1) 222 x x y y x y x y ?--+----++ =2x 2－（y+102）x+2y 2+3y+1 684 =2（x － 1024y +）2+1 8（15y 2－180y+3 068） =2（x －1024y +）2+15 8 （y －6）2+316≥316． 又当x=27，y=6时，s=316， 故当电梯停在第27层时，不满意的总分最小，最小值为316． 四、 10．分析：模拟例子，求出a+b ，ab 的值，然后再求值． 解：∵ 21a +1 a －－1=0， ∴（1a ）2+1 a －1=0． 又∵b 4+b 2－1=0，∴（b 2）2+b 2－1=0． ∴ 1 a 、 b 2是方程x 2+x －1=0的两个根． ∴1a +b 2=－1，1 a ×b 2=－1． ∴21ab a +=b 2+1a =－1． 点拨：把 1 a 、b 2看成是方程x 2+x －1=0的两个根是解本题的关键所在． 五、 11．20% 分析：设月平均增长率为x ，由400（1+10%）（1+x ）2=633.6，解得x=0.2=20%． 点拨：基数×（1+平均增长率）n =n 次增长后到达的数． 12．应设y= 2 1 1 x x ++ 分析：设y= 2 11x x ++，∴原方程为2y +6y=7，∴6y 2 －7y+2=0． 点拨：利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 13．2 设一个根为x ，则另一根为2x ，由题意，得 2x ·x=m ，2x+x=3，x=1． ∴m=2． 点拨：由两根之和为－ b a ，两根之积为c a 可得方程． 14．证明：（1）设方程①两个负实根分别为x 1，x 2． 则1212 (4)42(4)0, 0,40,0, 20,4 0,2 m m m x x x x m ? ?+-?->?>??+??+<- >?-?>??即 解得m>4． 由方程②有两个实数根知m ≠0，当m>4时，3 m m ->0，即方程②的两根之积为正，? 故方程②的两根符号相同． （2）2 0,2,23,32,m n m m m βααβααβα≠??=?? -?+==-? ?-==?? 得 22 (2)392n m m m --=?（n －2）2=92m （m －3）． 经讨论，m=6时，（n －2）2= 9 2 ×6×3=81． 附加题 分析：方程有两个不相等的实根， ∴△=4（m －2）2－4（m 2－3m+3）=－4m+4>0，∴－1≤m<1． ∵x 1+x 2=－2（m －2），x 1x 2=m 2－3m+3． ∴（1）x 12+x 22=（x 1+x 2）2－2x 1x 2=4（m －2）2－2（m 2－3m+3）=2m 2－10m+10， ∴m 2－5m+5=0． 解得m= 5172±．∵－1≤m<1，∴m=517 2 -． （2）22121211mx mx x x +--=2222 1221121212211212[(1)(1)][()] (1)(1)1 m x x x x m x x x x x x x x x x x x -+-+-+= ----+． ∵x 1+x 2=－2（m －2），x 1x 2=m 2－3m+3． ∴上式可化为22 12 12 11mx mx x x + --=2（m 2－3m+1）=2（m －32）2－52． ∵－1≤m<1，当m=－1时，最大值为10． 点拨：本题是一道综合性较强的综合题，考查了根的情况、根与系数的关系以及以配方法求最值的问题．
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