1．行列式的概念及性质
1.1 n 阶行列式的定义
我们知道，二、三阶行列式的定义如下：
22
21
1211a a a a =21122211a a a a -，
=33
32
31
23222113
1211a a a a a a a a a .312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a
a a a a a a a a ---++
从二、三阶行列式的内在规律引出n 阶行列式的定义． 设有2n 个数，排成n 行n 列的数表
nn
n n n
n a a a a a a a a a 21
2222111211，
即n 阶行列式．这个行列式等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积
n 21nj j 2j 1a a a ⑴
的代数和，这里n 21j j j 是n 21，，，
的一个排列,每一项⑴都按下列规则带有符号：当n 21j j j 是偶排列时, ⑴带正号；当n 21j j j 是奇排列时, ⑴带负号． 即
nn
n n n
n a a a a a a a a a
2
1
2222111211=()()n
2
1
n
2
1n 21nj j 2j 1j j j j j j 1a a a τ∑
-，
这里
∑
n
21j j j 表示对所有n 级排列求和.
1.2 行列式的性质
性质1 行列互换，行列式不变．即
nn
a a a a a a a a a a a a a a a a a a
n
2n
1n22212n12111nn
n2n1
2n 22211n 1211= .
性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即
=nn
n2
n1
in i2i1n 11211
k k k a a a a a a a a a
k nn
a a a a a a a a a
n2
n1
in i2i1
n 11211. 性质3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即
1112111121111211122121
21
2
1
21
2.n n n n n n n n n nn
n n nn
n n nn
a a a a a a a a a
b
c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+
性质4 如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即
k a a a ka ka ka a a a a a a nn
n n in
i i in i i n =
2
1
212111211nn
n n in
i i in i i n a a a a a a a a a a a a
21
2121
11211=0. 性质5 把一行的倍数加到另一行，行列式不变．即
=+++nn
n n kn k k kn
in k i k i n a a a a a a ca a ca a ca a a a a
2
1
21221
111211nn
n n kn
k k in i i n a a a a a a a a a a a a
2
1
212111211. 性质6 对换行列式中两行的位置，行列式反号.即
nn
n n kn
k k in i i n a a a a a a a a a a a a
21
212111211
=-
nn
n n in
i i kn
k k n a a a a a a a a a a a a
21
212111211
.
性质7 行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零．即
00000nn
1
-n n,n2n1
n
11-n ,11211=a a a a a a a a
.
2、行列式的几种常见计算技巧和方法
2.1 定义法
适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．
例1 计算行列式
00400300200
1000. 解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！
项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑
1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有
41322314a a a a ，而()64321
=τ，所以此项取正号．故 0
004003002001
000=()()
241413223144321=-a a a a τ.
2.2 利用行列式的性质
即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法
上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：
nn n n
n
a a a a a a a a a a a a a 2211nn 333223221131211000000=，nn nn n n n a a a a a a a a a a a a a
221132
1
33323122211100
00
00=. 例2 计算行列式n
n n n b a a a a a b a a a a ++=
+
21
21121
1n 1
11
D .
解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．
解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得
1
21n 11210000D 0
n n n
a a a
b b b b b +=
=
.
2.2.2 连加法
这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．
例3 计算行列式m
x x x x m x x x x m
x D n n n n ---=
2
1
2121.
解： m
x x m
x
x m x m x
x x m
x
n n
i i
n n
i i
n n
i i
-----=
∑∑∑===
2
1
212
1n D
m
x x x m x x x m x n n n
n i i --?
?? ??-=∑=
222
1111
m
m x x m x n
n i i --?
?? ??-=∑=
00012
1()??? ??
--=∑=-m x m n
i i n 11.
2.2.3 滚动消去法
当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．
例4 计算行列式()21
2
21231
2
3
1
2212
1321
D n ≥-------=n n n n n n n n n
n
.
解：从最后一行开始每行减去上一行，有
111
1
1
111111
11111
3
2
1
D n ---------=
n
n 1
1
111200222
00021321----=
n n 0
1
11100011000011132122
+-=-n n n ()
()21
211-++-=n n n .
2.2.4 逐行相加减
对于有些行列式，虽然前n 行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．
例5 计算行列式1
1
1
1
1
0000000000000D 32211
n n
a a a a a a a ----=
.
解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：
1
3
2
1
0000000000000000D 321+----=
n n
a a a a n
()
()()()()n n n a a a n a a a n 21n 21n 2
211111+-=+--=+.
2.3 降阶法
将高阶行列式化为低阶行列式再求解． 2.3.1 按某一行（或列）展开
例6 解行列式1
2
21
n 10
000000
0010
0001D a a a a a x
x x x n n n
-----=
. 解：按最后一行展开，得
n n n n n a x a x a x a D ++++=---12211 .
2.3.2 按拉普拉斯公式展开
拉普拉斯定理如下：设在行列式D 中任意选定了()1-n k 1k ≤≤个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即
n n 2211A M A M A M D +++= ，其中i A 是子式i M 对应的代数余子式． 即
nn nn nn nn nn B A B C A ?=0，
nn nn nn
nn nn B A B C A ?=0
.
例7 解行列式γ
βββββ
γ
β
βββγλ
b
b
b
a
a
a
a
n =D .
解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得
βγβ
γγ
ββ
ββγλ
---=
00
00
D n b a
a a a
()()βγβ
γβ
βββ
γλ
---+-=
00
00
00021n b a
a a
a n ()()β
γβ
γβ
γλ
--?
-+-=
00
0021n b
a n ()()[]()
2
1n 2-----+=n ab n βγβλλγ.
2.4 升阶法
就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质
化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．
其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．
例8 解行列式D=0
111110111110111110111110
.
解：使行列式D 变成1+n 阶行列式，即
111010110110101110011111D
=
.
再将第一行的()1-倍加到其他各行，得：
D=
1
1
01
001001010001
111111--------
.
从第二列开始，每列乘以()1-加到第一列，得：
1
01
0000010000010
1111)1n D ------=
（
()
()1n 11
n --=+.
2.5数学归纳法
有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．
例9 计算行列式β
β
βββcos 21
1cos 200000cos 210001cos 210001cos
=
n D .
解:用数学归纳法证明. 当1=n 时，βcos 1=D . 当2=n 时，βββ
β
2cos 1cos 2cos 211
cos 22=-==
D .
猜想，βn D n cos =.
由上可知，当1=n ，2=n 时，结论成立．
假设当k n =时，结论成立．即：βk D k cos =.现证当1+=k n 时，结论也成立．
当1+=k n 时，β
β
βββcos 21
1cos 200000cos 210001cos 210001cos 1
=
+k D .
将1+k D 按最后一行展开，得
()
ββββ
β
cos 2000
cos 21001cos 21001cos cos 21D 1
11k ?-=++++k k
()
1
0cos 21001cos 210
1cos 11 βββ
k
k ++-+ 1cos 2--=k k D D β.
因为
βk D k cos =，
()()βββββββsin sin cos cos cos 1cos 1k k k k D k +=-=-=-， 所以
1+k D 1cos 2--=k k D D β
ββββββsin sin cos cos cos cos 2k k k --= ββββsin sin cos cos k k -=
()β1cos +=k .
这就证明了当1+=k n 时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立． 即：βn D n cos =.
2.6 递推法
技巧分析：若n 阶行列式D 满足关系式
021=++--n n n cD bD aD .
则作特征方程
02=++c bx ax .
① 若0≠?，则特征方程有两个不等根，则1
211--+=n n n Bx Ax D ．
② 若0=?，则特征方程有重根21x x =，则()11-+=n n x nB A D ． 在①②中， A ，B 均为待定系数，可令2,1==n n 求出．
例10 计算行列式9
4000005940000000594000005940000059D n
=
.
解：按第一列展开，得
21209---=n n n D D D .
即
020921=+---n n n D D D ．
作特征方程
02092=+-x x .
解得
5,421==x x .
则
1154--?+?=n n n B A D .
当1=n 时，B A +=9； 当2=n 时，B A 5461+=. 解得
25,16=-=B A ，
所以
1145++-=n n n D .
3、行列式的几种特殊计算技巧和方法
3.1 拆行（列）法
3.1.1 概念及计算方法
拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和． 3.1.2 例题解析
例11 计算行列式n
n n n a a a a a a a a --------=
-11
1000001100011
0001D 1
33
221
.
解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得
n
n n n a a a a a a a a --+-+--+-+--=
-11
010000001100001010001D 1
3
32
21
.
110
100000110001000011000100000
1100011000113322113322n
n n n
n
n a a a a a a a a a a a a a a a -------+-------=
--
上面第一个行列式的值为1，所以
n
n n n a a a a a a a ------=-11
1000010011D 1
332
1
111--=n D a .
这个式子在对于任何()2≥n n 都成立，因此有
111--=n n D a D
()
()n n n a a a a a a D a a 211
2112211111---+++-==--=
()∏∑==-+=i
j j i
i a 1
n
1
11.
3.2 构造法
3.2.1 概念及计算方法
有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值． 3.2.2 例题解析
例12 求行列式n n
n n
n n n n n
n
n x x x x x x x x x x x x D
2
1222212222
12
1
111---=
. 解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值．
构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得
()n
n n
n n
n n n
n n n n n n n n
n
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f
2
111
121122
22212222
212
1
1111--------=
.
将()x f 按第1+n 列展开，得
()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，
其中，1
-n x
的系数为
()
()
n n n n n n D D A -=-=+++11,1.
又根据范德蒙德行列式的结果知
()()()()
()∏≤<≤----=n
i j j i
n x x
x x x x x x x f 121 .
由上式可求得1-n x 的系数为
()
()∏≤<≤-+-n
i j j i
n x x
x x x 121 .
故有
()
()∏≤<≤-+++=n
i j j i
n n x x
x x x D 121 .
3.3 特征值法
3.3.1 概念及计算方法
设n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，则有公式
n A λλλ 21=.
故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可以计算出A 的行列式．
3.3.2 例题解析
例13 若n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，证明：A 可逆当且仅当它的特征值全不为零． 证明：因为n A λλλ 21=，则
A 可逆()n i i n 2,1000A 21=≠?≠?≠?λλλλ.
即
A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．
4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法
4.1 三角形行列式
4.1.1 概念
形如
nn
n n
n a a a a a a a a a a 333223
22
11312
11
，nn
n n n a a a a a a a a a a
32
1
33
3231
2221
11这样的行列式，
形状像个三角形，故称为“三角形”行列式． 4.1.2 计算方法 由行列式的定义可知，
nn nn
n n
n
a a a a a a a a a a a a a 2211333223221131211000000=,nn nn
n n n a a a a a a a a a a a a a
221132
1
33323122211100
00
0=. 4.2 “爪”字型行列式
4.2.1 概念
形如n
n
n
a c a c a c
b b b a
2
2
1
1
210，
n
n
n
c a c a c a a b b b
22
11
012
，n
n
n b b b a a c a c a c 2
1
112
2，
1
2
1122
a b b b c a c a c a n
n n
这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式． 4.2.2 计算方法
利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横． 4.2.3 例题解析
例14 计算行列式n
a a a a 1
1
1
1
113
2
1
，其中.,2,1,0n i a i =≠
分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第
.),3,2(n i i =列元素乘以i
a 1
-
后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式．
解:n
a a a a 1
1
1
1
113
2
1
n
n
i i
a a a a a 0
001
1113
2
2
1
∑
=-=
???
?
??-=∑=n
i i n a
a a a a 21321
. 4.3 “么”字型行列式
4.3.1 概念
形如
n
n
n b b b a a c a c a c
2
1
1122，n
n
n
a b c a b c a b c a 22
2
1
1
10，
n 阶行列式的计算方法 徐亮 （西北师大学数信学院数学系 ， 730070 ） 摘 要：本文归纳总结了n 阶行列式的几种常用的行之有效的计算方法，并举列说明了它们的应运． 关键词：行列式，三角行列式，递推法，升降阶法，得蒙行列式 The Calculating Method of the N-order Determinant Xu Liang (College o f M athematics and Information Scien ce ，North west Normal Uni versit y ， Lanzhou 730070，Gansu ，Chin a ) Abstract:This paper introduces some common and effective calculating methods of the n-order determinant by means of examples. Key words: determinant; triangulaire determinant; up and down order; vandermonde determinant 行列式是讨论线形方程组理论的一个有力工具，在数学的许多分支中都有这极为广泛的应用，是一种不可缺少的运算工具，它是研究线性方程组，矩阵，特征多项式等问题的基础，熟练掌握行列式的计算是非常必要的．行列式的计算问题多种多样，灵活多变，需要有较强的技巧．现介绍总结的计算n 阶行列式的几种常用方法． 1． 定义法 应用n 阶行列式的定义计算其值的方法，称为定义法． 根据定义，我们知道n 阶行列式 12121211 12121222() 1212(1)n n n n n j j j j j nj j j j n n nn a a a a a a a a a a a a π= -∑ L L L L L M M L M L ．
行列式的几种常见计算技巧和方法 2.1 定义法 适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性． 例1 计算行列式 004003002001 000. 解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑 1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有 41322314a a a a ，而()64321=τ，所以此项取正号．故 004003002001000=() () 241413223144321=-a a a a τ. 2.2 利用行列式的性质 即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该
方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法 上、下三角形行列式的形式及其值分别如下： nn n n n a a a a a a a a a a a a a K ΛM O M M M K K K 2211nn 333223221131211000000=，nn nn n n n a a a a a a a a a a a a a K Λ M O M M M K K K 22113 2133323122211100 0000=. 例2 计算行列式n n n n b a a a a a b a a a a ++= +K M O M M M K K 21 211211n 1 11 D . 解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形． 解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得
计算技巧及方法总结 一、 一般来说，对于二阶、三阶行列式，可以根据定义来做 1、二阶行列式 2112221122 2112 11a a a a a a a a -= 2、三阶行列式 33 32 31 23222113 1211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ 例1计算三阶行列式6 01504 321 - 解 =-6 015043 21601??)1(52-?+043??+)1(03-??-051??-624??- 4810--=.58-= 但是对于四阶或者以上的行列式，不建议采用定义，最常采用的是行列式的性质以及降价法来做。但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。以便计算。 计算上三角形行列式 nn nn n n a a a a a a a a a ΛΛ ΛΛΛΛΛΛ2211222112110 0= 下三角形行列式 nn n n a a a a a a Λ ΛΛΛΛΛΛ2122 21 110 00.2211nn a a a Λ= 对角行列式 nn nn n n a a a a a a a a a ΛΛ ΛΛΛΛΛΛ221121 222111000= 二、用行列式的性质计算 1、记住性质，这是计算行列式的前提 将行列式D 的行与列互换后得到的行列式,称为D 的转置行列式,记为T D 或'D ,即若
,21 2222111211nn n n n n a a a a a a a a a D Λ Λ ΛΛΛΛΛ= 则 nn n n n n T a a a a a a a a a D Λ ΛΛΛΛΛΛ 212 22 12 12111=. 性质1 行列式与它的转置行列式相等, 即.T D D = 注 由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有. 性质2 交换行列式的两行(列),行列式变号. 推论 若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零. 性质3 用数k 乘行列式的某一行(列), 等于用数k 乘此行列式, 即 .21 21 112112 1 21 112111kD a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a D nn n n in i i n nn n n in i i n ===Λ ΛΛ Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 第i 行(列)乘以k ,记为k i ?γ(或k C i ?). 推论1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 推论2 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. 性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 例如, nn n n in in i i i i n a a a c b c b c b a a a D Λ ΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛ2 1 221111211+++=. 则 2121 21 11211212111211D D a a a c c c a a a a a a b b b a a a D nn n n in i i n nn n n in i i n +=+=Λ ΛΛ Λ ΛΛΛ ΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛ ΛΛ Λ Λ Λ. 性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k 后加到另一行(列)对应位置的元素上, 行列式不变. 注: 以数k 乘第j 行加到第i 行上,记作j i kr r +; 以数k 乘第j 列加到第i 列上，记作j i kc c +. 2、利用“三角化”计算行列式 计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算. 例如化为上三角形行列式的步骤是:
行列式的若干计算技巧与方法 内容摘要 1. 行列式的性质 2.行列式计算的几种常见技巧和方法 定义法 利用行列式的性质 降阶法 升阶法（加边法） 数学归纳法 递推法 3. 行列式计算的几种特殊技巧和方法 拆行（列）法 构造法 特征值法 4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法 三角形行列式 “爪”字型行列式 “么”字型行列式 “两线”型行列式 “三对角”型行列式 范德蒙德行列式 5. 行列式的计算方法的综合运用 降阶法和递推法 逐行相加减和套用范德蒙德行列式 构造法和套用范德蒙德行列式
行列式的性质 性质1 行列互换，行列式不变．即 nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a n 2n 1n2 2212n12111nn n2n12n 2221 1n 1211 . 性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即 nn n2 n1in i2i1n 11211 k k k a a a a a a a a a k nn a a a a a a a a a n2n1in i2i1n 11211. 性质3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即 111211112111121112212121 2 1212.n n n n n n n n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a K K K M M M M M M M M M M M M K K K M M M M M M M M M M M M K K K 性质4 如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即 k a a a ka ka ka a a a a a a nn n n in i i in i i n 21 2121112 11nn n n in i i in i i n a a a a a a a a a a a a 212121112 11 =0. 性质5 把一行的倍数加到另一行，行列式不变．即
行列式的计算方法总结: 1. 利用行列式性质把行列式化为上、下三角形行列式. 2. 行列式按一行(一列)展开,或按多行(多列)展开(Laplace 定理). 几个特别的行列式: B A B C A B C A == 0021 , B A B A D D B A mn )1(0 021 -== ,其中B A ,分别是n m ,阶的方阵. 例子: n n a b a b a b b a b a b a D 22O N N O = , 利用Laplace 定理,按第1,+n n 行展开,除2级子式 a b b a 外其余由第1,+n n 行所得的2级子式均为零. 故222222112)()1(--+++++-=-= n n n n n n n D b a D a b b a D ,此为递推公式,应用可得 n n n n b a D b a D b a D )()()(224222222222-==-=-=--Λ. 3. 箭头形行列式或者可以化为箭头形的行列式. 例:n n n n n n n a x x a a x x a a x x a a a a x x a a a a x a a a a x a a a a x ------=Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛΛΛΛ00 000 01 133112 2113213 21321 321321 -----(倍加到其余各行第一行的1-) 100 101010 011)(3 332 221 111 Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛ-------? -=∏=n n n n i i i a x a a x a a x a a x x a x --------(每一列提出相应的公因子i i a x -) 1 001000 010)(3 332 222111 1 Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛn n n n i i i i n i i i a x a a x a a x a a x a a x x a x ----+-? -=∑∏== --------(将第n ,,3,2Λ列加到第一列)
浅谈求行列式的方法 【摘要】 行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要。本文归纳行列式的各种计算方法，通过这一方法可以提高我们对行列式的认识，对我们以后的学习带来十分有益的帮助。 【关键词】 行列式，范德蒙行列式，数学归纳法，递推法。 引言 行列式起源于1757年马拉普斯研究解含两个和三个未知量的线性方程组而创建的，然而它的应用早已超出了代数的范围，成为解析几何、数学分析、微分方程、概率统计等数学分支的基本工具。本文主要探讨行列式的计算方法以及它的简单应用。而行列式的计算方法并不是唯一的，本文主要针对行列式的特点，应用行列式的性质，给出了计算行列式的常用方法。 1．定义法： 根据行列式的定义，直接求其值。 例： 计算D= h g f e d c b a 000000 分析：根据定义，D 是一个4！=24项的代数和，而每一项是取自不同的行不同的列。因而，在这个行列式里，除了acfh ，adeh ，bdeg ，bcfg ，与上面四项对应的排列依次是1234，1324，4321，4231。其中第一个和第三个是偶排列，第二个是奇排列。因此D=acfh-adeh+bdeg-bcfg 。 注意：在应用定义法求非零元素的乘积项时，不一定从第一行开始，哪行非零元素最少就从哪行开始。 2．性质法： 例：已知1998，2196，2394，1800均能被18整除，证明：四阶行列式D= 0814******** 991能被18整除。 分析：根据行列式的性质（行列式的某行（列）的倍数相应的加到另一行（列），行列式不 变，因此，D 可变形为 1800 081239493221969121998 991 即：D=18 100 081133932122912111 991 其中（根据一个行列 式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。 因而，D 能被18整除。 3．三角化法： 化三角形法是将原行列式化为上（下）三角行列式。这是计算行列式的基本方法之一。
数学与统计学学院 中期报告 学院: 专业: 年级: 题目: 学生姓名: 学号: 指导教师姓名职称: 年月日
目录 1 引言 (1) 2行列式性质 (2) 3行列式计算方法 (6) 3.1定义法 (6) 3.2递推法 (9) 3.3化三角法 (9) 3.4拆元法 (11) 3 .4加边法 (12) 3.6数学归结法 (13) 3.7降价法 (15) 3.8利用普拉斯定理 (16) 3.9利用范德蒙行列式 参考文献....................................................................................................... 错误！未定义书签。8
行列式的概念及应用 摘要： 本文先列举行列式计算相关性质，然后归纳总结出行列式的方法，包括：定义法，化三角法，递推法，拆元法，加边法，数学归结法，降价法，利用拉普拉斯定理，利用范德蒙行列式。 关键词：行列式；线性方程组；范德蒙行列式 The concept and application of determinant Summary: This article lists calculated properties of determinants, and then sum up the determinant method, including: Definition, triangulation, recursive method, remove method, bordered by, mathematical resolution method, cut method, using Laplace theorem, using the vandermonde determinant. Keywords: determinant;Linear equations;;Vandermonde determinant 1 引言 行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部名为解伏题之法的著作，意思是“解行列式问题的方法”，书中对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国数学家，微积分学奠基人之一莱布尼茨。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和向量组的行列式的定义。
特殊行列式及行列式计算方法总结 一、 几类特殊行列式 1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6） 2. 以副对角线为标准的行列式 11112112,1 221222,11,21,1 1,11 2 ,1 (1)2 12,11 000000 0000 0000 (1) n n n n n n n n n n n nn n n n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------===-L L L L L L M M M M M M M M M N L L L L 3. 分块行列式（教材P14例10） 一般化结果： 00n n m n n m n m m n m m n m A C A A B B C B ????= =? 0(1)0n m n n m n mn n m m m n m m n A C A A B B C B ????= =-? 4. 范德蒙行列式（教材P18例12） 注：4种特殊行列式的结果需牢记！ 以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！ 二、 低阶行列式计算 二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材P2、P3） 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】 1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式； 2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式； 3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算 ——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算； 4) 递推法或数学归纳法； 5) 升阶法（又称加边法）
1 行列式的概念及性质 1.1 行列式的概念 n 级行列式 nn n n n n a a a a a a a a a 21 2222111211 等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积n nj j j a a a 2121的代数和，这里的n j j j 21是1，2，…，n 的一个排列，每一项都按下列规则带有符号：当n j j j 21是偶排列时，带有正号；当n j j j 21是奇排列时，带有负号。这一定义可写成 ， 这里 ∑ n j j j 21表示对所有n 级排列的求和。 1.2 行列式的性质[1] 性质1 行列互换，行列式值不变，即 =nn n n n n a a a a a a a a a 2 1 2222111211nn n n n n a a a a a a a a a 212 22121 2111 性质2 行列式中某一行（列）元素有公因子k ，则k 可以提到行列式记号之外， 即 =nn n n in i i n a a a ka ka ka a a a 2 1 2111211nn n n in i i n a a a a a a a a a k 21 21 11211 这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘以行列式的一行就相当于用这个 n n n nj j j j j j r j j j nn n n n n a a a a a a a a a a a a 21212121) (2 1 2222111211) 1(∑-=
数乘以此行列式。 事实上， nn n n in i i n a a a ka ka ka a a a 212111211=11i i A ka +22i i A ka +in in A ka + =21(i i A a k +22i i A a +)in in A a + nn n n in i i n a a a a a a a a a k 2121 11211= ， 令k =0，如果行列式中任一行为零，那么行列式值为零。 性质3 如果行列式中某列（或行）中各元素均为两项之和，即 ),,2,1(n i c b a ij ij ij =+=，则这个行列式等于另两个行列式之和。 即 nn nj n n j n j nn nj n n j n j nn nj nj n n j j n j j a c a a c a a c a a b a a b a a b a a c b a a c b a a c b a 12221111112221111112222111111+ =+++ 这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而 这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样。 性质4 如果行列式中有两行（列）相同，则行列式等于零。所谓的两行相同就是 说两行的对应元素都相等。 性质5 如果行列式中两行（列）成比例，则行列式等于零。 性质6 如果行列式中的某一行（列）的各元素同乘数k 后加到另一行（列）的对 应元素上去，则行列式不变。 性质7 对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。 2 行列式的计算方法 行列式的计算灵活多变，需要有较强的技巧。当然，任何一个n 阶行列式都可以由它的定义去计算其值。但由定义可知，n 阶行列式的展开式有n ！项，计算量很大，一般情况下不用此法，但如果行列式中有许多零元素，可考虑此法。值的注意的是：在应
行列式的计算技巧与方法汇总
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计算技巧及方法总结 一、 一般来说，对于二阶、三阶行列式，可以根据定义来做 1、二阶行列式 2112221122 2112 11a a a a a a a a -= 2、三阶行列式 33 32 31 232221131211a a a a a a a a a = .332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ 例1计算三阶行列式6 015043 21- 解 =-6 015043 21 601??)1(52-?+043??+)1(03-??-051??-624??- 4810--=.58-= 但是对于四阶或者以上的行列式，不建议采用定义，最常采用的是行列式的性质以及降价法来做。但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。以便计算。 计算上三角形行列式 nn nn n n a a a a a a a a a ΛΛ ΛΛΛΛΛΛ2211222112110 0= 下三角形行列式 nn n n a a a a a a Λ ΛΛΛΛΛΛ2122 21 110 00.2211nn a a a Λ= 对角行列式 nn nn n n a a a a a a a a a ΛΛ ΛΛΛΛΛΛ221121 222111000= 二、用行列式的性质计算 1、记住性质，这是计算行列式的前提 将行列式D 的行与列互换后得到的行列式,称为D 的转置行列式,记为T D 或'D ,即若
幻灯片1 幻灯片2 1、定义法：适用于0比较多的行列式． 2、利用性质化三角形行列式 3、 按行（列）展开 4、 其他方法： 析因子法 箭形行列式 行（列）和相等的行列式 递推公式法 加边法（升级法） 拆项法 数学归纳法 幻灯片3 （一）析因子法 2 2 11 23 122323152319x D x -=-例：计算 解：由行列式 定义知为 的4次多项式． x D 又，当 时，1，2行相同，有 ， 0 D =1x =±1x ∴=±为D 的根． 当 时，3，4行相同，有 0, D =2x =±2 x ∴=±为D 的根．
幻灯片4 3(1)(1)(2)(2) D x x x x ∴=-+-+- 幻灯片5 （二）箭形行列式 01211 122 ,0,1,2,3. n n i n n a b b b c a D a i n c a c a +=≠= 第1列，得： 112 01() n i i n n i i b c D a a a a a +==-∑ 幻灯片6 可转为箭形行列式的行列式： 故 有4个一次因式: 1,1,2,2 x x x x +-+-D (1)(1)(2)(2),D a x x x x =+-+-设 令 则 0, x =1123 1 2231223152 319 D ==-1(1)2(2)12. a ??-??-=- 3. a ∴=-即， 解：把所有的第 列 的 倍加到 (1,,)i n =i i c a -1i +
12111111 1) ,0,1,2,3. 11 1i n a a a i n a ++≠=+ 122) ,0,1,2,3. i n a x x x a x a i n x x a ≠= （把第 i 行分别减去第1行， 即可转为箭形行列式） 幻灯片7 （三）行（列）和相等的行列式 1)a b b b a b D b a = 12(1)(1)(1)n a n b b b a n b a b c c c a n b b a +-+-++ ++- 解： D
行列式的计算技巧与方法总结
1、记住性质，这是计算行列式的前提 将行列式D 的行与列互换后得到的行列式,称为D 的转置行列式,记为T D 或' D ,即若 , 21 2222111211nn n n n n a a a a a a a a a D = 则 nn n n n n T a a a a a a a a a D 21222 12 12111=. 性质 1 行列式与它的转置行列式相等, 即.T D D = 注 由性质1知道，行列式中的行与列具有 相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有. 性质 2 交换行列式的两行(列),行列式变号. 推论 若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零. 性质3 用数k 乘行列式的某一行(列), 等于用数k 乘此行列式, 即 . 21 2 1 112112 1 21 112111kD a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a D nn n n in i i n nn n n in i i n ===
第i 行(列)乘以k ,记为k i ?γ(或k C i ?). 推论 1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 推论2 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. 性质 4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 例如, nn n n in in i i i i n a a a c b c b c b a a a D 2 1 221111211+++=. 则 2 121 2 1 1121121 2 1 11211 D D a a a c c c a a a a a a b b b a a a D nn n n in i i n nn n n in i i n +=+= . 性质 5 将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k 后加到另一行(列)对应位置的元素上, 行列式不变. 注: 以数k 乘第j 行加到第i 行上,记作j i kr r +; 以数k 乘第j 列加到第i 列上，记作j i kc c +. 2、利用“三角化”计算行列式 计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算. 例如化为上三角形行
网上搜集的计算行列式方法总结, 还算可以. 计算n 阶行列式的若干方法举例 闵 兰 摘 要：《线性代数》是理工科大学学生的一门必修基础数学课程。行列式的计算是线性代数中的难点、重点，特别是n 阶行列式的计算，学生在学习过程中，普遍存在很多困难，难于掌握。计算n 阶行列式的方法很多，但具体到一个题，要针对其特征，选取适当的方法求解。 关键词：n 阶行列式 计算方法 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式 00100200 1 0000 00n D n n = - 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 1122 11!n n n nn a a a a n ---=. 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于 (1)(2) 2 n n --，故 (1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=-
2．利用行列式的性质计算 例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足 ,,1,2, ,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明 由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即 0,1,2, ,ii a i n == 故行列式D n 可表示为 1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=----- 由行列式的性质A A '= 1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=- 1213112 23213 23312300(1)0 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 3．化为三角形行列式 若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
行列式的若干计算技巧与方法 目录 摘要 (1) 关键字 (1) 1.行列式的概念及性质 (2) 1.1 n阶行列式的定义 (2) 1.2 行列式的性质 (2) 2.行列式计算的几种常见技巧和方法 (4) 2.1 定义法 (4) 2.2 利用行列式的性质 (5) 2.3 降阶法 (7) 2.4 升阶法（加边法） (9) 2.5 数学归纳法 (11) 2.6 递推法 (12) 3. 行列式计算的几种特殊技巧和方法 (14) 3.1 拆行（列）法 (14) 3.2 构造法 (17)
3.3 特征值法 (18) 4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法 (19) 4.1 三角形行列式 (19) 4.2 “爪”字型行列式 (19) 4.3 “么”字型行列式 (21) 4.4 “两线”型行列式 (22) 4.5 “三对角”型行列式 (23) 4.6 范德蒙德行列式 (25) 5. 行列式的计算方法的综合运用 (26) 5.1 降阶法和递推法 (27) 5.2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式 (27) 5.3 构造法和套用范德蒙德行列式 (28) 小结 (29) 参考文献 (30) 学习体会与建议 (31)
摘要：行列式是高等代数的一个基本概念，求解行列式是在高等代数的学习中遇到的基本问题，每一种复杂的高阶行列式都有其独特的求解方法．本文主要介绍了求行列式值的一些常用方法和一些特殊的行列式的求值方法．如：化三角形法、降阶法和数学归纳法等多种计算方法以及Vandermonde 行列式、“两线型”行列式和“爪”字型行列式等多种特殊行列式．并对相应例题进行了分析和归纳，总结了与每种方法相适应的行列式的特征． 关键词：行列式 计算方法 1．行列式的概念及性质 1.1 n 阶行列式的定义 我们知道，二、三阶行列式的定义如下： 22 21 1211a a a a =21122211a a a a -， =33 32 31 23222113 1211a a a a a a a a a . 312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ 从二、三阶行列式的内在规律引出n 阶行列式的定义． 设有2n 个数，排成n 行n 列的数表
2018考研数学：三种行列式的计算方法总结 对于数值型行列式来说，我们先看低阶行列式的计算，对于二阶或者三阶行列式其是有自己的计算公式的，我们可以直接计算。三阶以上的行列式，一般可以运用行列式按行或者按列展开定理展开为低阶行列式再进行计算，对于较复杂的三阶行列式也可以考虑先进行展开。在运用展开定理时，一般需要先利用行列式的性质将行列式化为某行或者某列只有一个非零元的形式，再进行展开。特殊低阶行列式可以直接利用行列式的性质进行求解。 对于高阶行列式的计算，我们的基本思路有两个：一是利用行列式的性质进行三角化，也就是将行列式化为上三角或者下三角行列式来计算;二是运用按行或者按列直接展开，其中运用展开定理的行列式一般要求有某行或者某列仅有一个或者两个非零元，如果展开之后仍然没有降低计算难度，则可以观察是否能得到递推公式，再进行计算。其中在高阶行列式中我是用加边法把其最终化为上(下)三角，或者就直接按行或者列直接展开了，展开后有的时候就直接是上或者下三角形行列式了，但有时其还不是上下三阶，可能就要用到递推的类型来处理此类题目了。总之，我们对于高阶行列式要求不是很高，只要掌握几种常见的情形的计算方法就可以了。 有的时候，对于那些比较特殊的形式，比如范德蒙行列式的类型，我们就直接把它凑成此类行列式，然后利用范德蒙行列式的计算公式就可以了，但是，我们一定要把范德蒙行列式的形式，一阶其计算方法给它掌握住，我们在上课时也给同学们讲解了其记忆的方面，希望同学们课下多多做些练习题进行巩固。 当然对于行列式我们有时可能还会用到克莱默法则和拉普拉斯展开来计算，只是这些都是些特殊的行列式的计算，其有一定的局限性，比如1995年数三就考到了一题用克莱默法则来处理的填空题。 对于抽象型行列式来说，其计算方法就有可能是与后面的知识相结合来处理的。关于抽象型行列式的计算：(1)利用行列式的性质来计算，这里主要是运用单行(列)可拆性来计算的，这种大多是把行列式用向量来表示的，然后利用单行或者列可拆性，把它拆开成多个行列式，然后逐个计算，这时一部分行列式可能就会出现两行或者列元素相同或者成比例了，这样简化后便可求出题目中要求的行列式。(2)利用矩阵的性质及运算来计算，这类题，主要是用两个矩阵相乘的行列式等于两个矩阵分别取行列式相乘，这里当然要求必须是方阵才行。这类题目的解题思路就是利用已知条件中的式子化和差为乘积的形式，进而两边再取行列式，便可得到所求行列式。之前很多年考研中都出现过此类填空或者选择题。因此，此类题型同学们务必要掌握住其解题思路和方法，多做练习加以巩固。 (3)利用单位矩阵的来求行列式，这类题目难度比前面题型要大，对矩阵的相关性质和结论要求比较高。早在1995年数一的考研试卷中出现过一题6分的解答题，这题就是要利用A乘以A的转置等于单位矩阵E这个条件来代换的，把要求的式子中的单位矩阵换成这个已知条件来处理的。 (4)利用矩阵特征值来求行列式，这类题在考研中出现过很多次，利用矩阵的特征值与其行列式的关系来求行列式，即行列式等于矩阵特征值之积，这种方法要求同学们一定
计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式 01002001000000n D n n =-L L M M M M L L 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---=L . 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于 (1)(2) 2 n n --，故 (1)(2) 2 (1)!.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算
例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足 ,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=L 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即 0,1,2,,ii a i n ==L 故行列式D n 可表示为 1213112 23213 2331230 000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----L L L L L L L L L 由行列式的性质A A '= 1213112 23213 2331230000n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-L L L L L L L L L 1213112 23213 23312300(1)0 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------L L L L L L L L L (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.
计算行列式的方法总结 行列式涉及的方面很多，例如判断矩阵可逆与否要计算行列式的值、解线性方程组、特征值等都与求行列式密不可分，所以各种类型解行列式的方法一定要掌握好，才能写好行列式，下面是计算行列式的方法总结，一起来看看吧！ (一)首先，行列式的性质要熟练掌握 性质1行列互换，行列式的值不变。 性质2交换行列式的两行(列)，行列式的值变号。 推论若行列式中有两行(列)的对应元素相同，则此行列式的值为零。 性质3若行列式的某一行(列)各元素都有公因子k，则k可提到行列式外。 推论1数k乘行列式，等于用数k乘该行列式的某一行(列)。 推论2若行列式有两行(列)元素对应成比例，则该行列式的值为零。 性质4若行列式中某行(列)的每一个元素均为两数之和，则这个行列式等于两个行列式的和，这两个行列式分别以这两组数作为该行(列)的元素，其余各行(列)与原行列式相同。 性质5将行列式某行(列)的k倍加到另一行(列)上，行列式的值不变。 行列式展开法：行列式按某行(列)展开也是解行列式常用的方法。 行列式展开定理： 定理1：n阶行列式D等于它的任一行(列)的各元素与各自的代数余子式乘积之和。 定理2：行列式D的某一行(列)各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和必为零。 (二)几种特殊行列式的值 有关行列式的若干个重要公式： 为便于考生综合复习及掌握概念间的联系，现将以后各章所涉及的有关行列式的几个重要公式罗列于下： 2017考研数学：行列式的计算 对于数值型行列式来说，我们先看低阶行列式的计算，对于二阶或者三阶行列式其是有自己的`计算公式的，我们可以直接计算。三阶以上的行列式，一般可以运用行列式按行或者按列展开定理展开为低阶行列式再进行计算，对于较复杂的三阶行列式也可以考虑先进行展开。在运用展开定理时，一般需要先利用行列式的性质将行列式化为某行或者某列只有一个非零元的形式，再进行展开。特殊低阶行列式可以直接利用行列式的性质进行求解。
2017年9月13日15:53:58 由于本人最近在学习线性代数，刚学，很多东西不懂。于是边学边总结经验。 三阶行列式比二阶行列式计算难一些。于是总结计算方法如下。 二阶行列式 要计算三阶行列式的前提条件是，你要会计算二阶行列式 如下就是一个二阶行列式 222112 11a a a a 二阶行列式的计算方法非常简单，就是对角线互乘. 然后主对角线乘积(a 11a 22)减去副对角线乘积(a 12a 21). 222112 11a a a a =a 11a 22-a 12a 21 会了二阶行列式之后，你会发现二阶行列式其实不难。但是三阶行列式其实跟二阶行列式相比，难度就不在一个等级。我通过看书自学，发现有两个比较好的办法去解决这个问题。 方法一：对角线 只不过这次对角线比较多，而且比较繁琐 3332 312322 211312 11a a a a a a a a a 这个行列式中，我们计算，如果是用对角线去计算的话。方法如下 a 11a 22a 33 + a 12a 23a 31 + a 13a 21a 32 – a 13a 22a 31 – a 12a 21a 33 – a 11a 23a 32 例题 2 131323 21=1*3*2 + 2*1*3 + 3*2*1 – 3*3*3 – 2*2*2 – 1*1*1 = -18 理解对角线的关键在哪里呢？？？ 这里也是我做这个文档的原因。因为我发现很多教材包括我看到的，都是让你圈让你找。。。其实都太繁琐。我理解之后发现其实只有两个字就可以理解对角线。那就是——位移。 当然我发现更多的教材，对于基础问题，它都不怎么提及。你看吧。看得懂是你的悟性。看不懂来报我们的辅导班……这个怪现象真的容易把你带进沟你，因为所有的东西都涉及商业利益的时候，其实你看到的都不是真相，看到的只是教材编辑者想给你看到的。 是的。比如说a 12a 21a 33的时候，你可以通过对角线找到a 12a 21但是你怎么确定a 31的位置?关键其实只要把第三列整体移动到第一列前面就可以了。别的以此类推。 方法二：转换为二阶行列式 因为二阶行列式很简单，非常容易计算，虽然我们有了方法一可以解决大部分问题，但是有的时候还是计算太麻烦了。于是我们要升级方法。让原本可以解决的问题，我们用更简便的方法解决它。已达到省时省力的效果学习也事半功倍。
-! 行列式的若干计算技巧与方法 内容摘要 1. 行列式的性质 2.行列式计算的几种常见技巧和方法 2.1 定义法 2.2 利用行列式的性质 2.3 降阶法 2.4 升阶法（加边法） 2.5 数学归纳法 2.6 递推法 3. 行列式计算的几种特殊技巧和方法 3.1 拆行（列）法 3.2 构造法 3.3 特征值法 4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法 4.1 三角形行列式 4.2 “爪”字型行列式 4.3 “么”字型行列式 4.4 “两线”型行列式 4.5 “三对角”型行列式 4.6 范德蒙德行列式 5. 行列式的计算方法的综合运用 5.1 降阶法和递推法 5.2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式 5.3 构造法和套用范德蒙德行列式
1.2 行列式的性质 性质1 行列互换，行列式不变．即 nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a n 2n 1n2 2212n12111nn n2n12n 2221 1n 1211 . 性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即 nn n2 n1in i2i1n 11211 k k k a a a a a a a a a k nn a a a a a a a a a n2n1in i2i1n 11211. 性质3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即 111211112111121112212121 2 1212.n n n n n n n n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a K K K M M M M M M M M M M M M K K K M M M M M M M M M M M M K K K 性质4 如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即 k a a a ka ka ka a a a a a a nn n n in i i in i i n 21 2121112 11nn n n in i i in i i n a a a a a a a a a a a a 212121112 11 =0. 性质5 把一行的倍数加到另一行，行列式不变．即