2015学年第一学期十校联合体高二期末联考
数学 试 卷
参考公式： 球的表面积公式
24πS R =
球的体积公式
34
3
πV R =
其中R 表示球的半径 柱体的体积公式
V =Sh
其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高
锥体的体积公式
V =
13
Sh 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 台体的体积公式
()
11221
3
V h S S S S =++
其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积，
h 表示台体的高
一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.直线31y x =-+的倾斜角是（ ▲） A.
π6 B.π
3
C.2π3
D.
5π
6
2.在命题“若4
π
α=
，则1tan =α”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题
的个数是( ▲ )
A.0
B.2
C.3
D.4 3.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3， 则正视图中的x 的值（ ▲ ） A.
23 B.2 C.3 D.2
9 4．已知椭圆13
42
2=+y x ，直线l 与椭圆相交于B A 、两点，点)1,1(P 是线段AB 的中点，
则直线l 的斜率为( ▲ )
A.2
3
-
B.23
C.43-
D.43
5.已知n m 、是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ▲ ） A.若αβα//,m ⊥,则β⊥m B.若,//,//βαn m 且n m //，则βα// C.若βαβ⊥⊥,m ,则α//m D.若,,βα⊥⊥n m 且n m ⊥，则βα⊥ 6．已知P 是抛物线24y x =上一动点，则点P 到直线:230l x y -+=和y 轴的距离之和的最小值是（ ▲ ）
A.3
B.5
C.2
D.51-
7．过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 作倾斜角为60的直线l ，若直线l 与抛物线在第一
象限的交点为A 并且点A 也在双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐近线上，则双
曲线的离心率为（ ▲ ） A ．
213 B ．13 C ．233
D ．5
8.如图，平面⊥α平面ABC ，D 为线段AB 的中点， 32=AB ，?=∠30CDB ，P 为面α内的动点，
且P 到直线CD 的距离为1，则APB ∠的最大值为（ ▲ ） A ．?60 B ．?90 C ．?120 D ．?150
二、填空题：本大题有7小题，9-12题每题6分，每格3分，13-15题每题4分，共36分.把答案填在答题卷的相应位置.
9．抛物线22y x =的准线方程是 ▲ ；焦点到准线的距离为 ▲ 10.已知直线012:1=++y x l 和直线2:30l x ay ++=，若12l l ⊥，则实数a 的值为 ▲ ；若12//l l ，则1l 与2l 间的距离为 ▲ 11. 若正方体外接球的体积是9
2
π，则正方体的棱长等于 ▲ ；该正方体内切球的表面积为 ▲
12．设P 是椭圆
22
1259
x y +=上的一点，12,F F 是该椭圆的两个焦点，且123F PF π∠=， 则12F PF ?的面积为 ▲ ，12F PF ?内切圆半径为 ▲ 13.正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，点M 和N 分别 是11D B 和11C B 的中点，则异面直线AM 和CN 所成角的 余弦值为 ▲
14．已知双曲线
)0(1222
2>=-b b
y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y 2=
，点),3(0y P 在双曲线上.则1PF ·2PF ＝ ▲
15. 已知点()5,0A -，()1,3B --，若圆()2220x y r r +=>上恰有两点M ，N ，使得M AB ? 和NAB ? 的面积均为5，则r 的取值范围是 ▲
三.解答题：本大题共5小题,满分52分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.（本题满分10分)已知方程22
14x y m m
+=-（m R ∈）表示双曲线。
(Ⅰ)求实数m 的取值集合A ；
(Ⅱ)设不等式22(21)0x a x a a -+++<的解集为B ，若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围。
17.（本题满分10分)已知圆042:22=+-++a y x y x C ，点)1,0(M 为圆内的一点. 直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且点M 恰好为弦AB 的中点。 （1）求实数a 的取值范围以及直线l 的方程；
（2）若以AB 为直径的圆过原点O ，求圆C 的方程. 18.（本题满分10分)如图，已知AE ⊥平面CDE ，四边形ABCD 为正方形，M 、N 分别是线段BE 、DE 的中点。（I ）求证：MN//平面ABCD ； （II ）若1
2
AE EC =，求EC 与平面ADE 所成角的正弦值。
19.（本题满分10分）如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ,四边形ABCD 为平行四边形，2,1=
=BC AB , 45=∠ABC ,PC AE ⊥,垂足为E ．
（Ⅰ）求证：平面AEB ⊥平面PCD ；
（Ⅱ）若二面角D AE B --的大小为 150，求侧棱PA 的长。
20.（本题满分12分）已知直线)0(1:≠+=k kx y l 与椭圆a y x =+223相交于B A 、两个不同的点，记l 与y 轴的交点为C ．
（Ⅰ）若1=k ，且2
10
||=
AB ，求实数a 的值； （Ⅱ）若CB AC 2=，求AOB ?面积的最大值，及此时椭圆的方程．
2015学年第一学期十校联合体高二期末联考
数 学 试 卷（参考答案）
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
C
B
C
C
D
D
A
C
二、填空题
9.y= -
18 1
4
10.-2 5 11. 3 3π 12. 33
3
3
13.
10
30
14. -1 15. （1，5） 三、解答题
16.解：(Ⅰ)由题意：(4)0m m -<…………………3分
可得集合{}
04A m m m =<>或…………………5分 (Ⅱ) 由题意：{}
1B x a x a =<<+…………………7分 ∵x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，∴4a ≥或10a +≤ ∴实数a 的取值范围：4a ≥或1a ≤-…………………10分 17.解：（1）因为044222>-+a ，所以5