一、手拉手模型：
1手的判别：
判断左右，将等腰三角形顶角顶点朝上，左边为左手顶点，右边为右手顶点。 2手拉手的定义
两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形。（左手拉左手，右手拉右手） 3手拉手基本结论
①△ABC ≌△AB'C'(SAS) ②∠BAB'=∠BOB' ③AO 平分∠BOC'
二、例题
例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。
（4） △AGB ≌△DFB
（5） △EGB ≌△CFB
（6） BH 平分∠AHC （7） GF ∥AC
变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC
（2） AE=DC
（3） AE 与DC 的夹角为60。
（4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC
变式练习2：如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC
（2） AE=DC
（3） AE 与DC 的夹角为60。
（4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC
变式训练3：两个等腰三角形ABD 与BCE ，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE=a 连接AE 与CD. 问（1）△ABE ≌△DBC 是否成立？
（2）AE 是否与CD 相等？
（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？ （4）HB 是否平分∠AHC ？
例2：如图，两个正方形ABCD 和DEFG ，连接AG 与CE ，二者相交于H 问：（1）△ADG ≌△CDE 是否成立？
（2）AG 是否与CE 相等？
（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分∠AHE ？
例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连接AG,CE,二者相交于H. 问 （1）△ADG ≌△CDE 是否成立？
（2）AG 是否与CE 相等？
（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分∠AHE ？
二、半角模型
1、条件：
2、思路：①截长补短 ②旋转
例1、在正方形ABCD 中，若M 、N 分别在边BC 、CD 上移动，且满足MN=BM +DN ， 求证：①.∠MAN= ②.
③.AM 、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM.
.
1802
10=+=γθβα且
45AB C CMN 2=
?
例2拓展：在正方形ABCD 中，已知∠MAN=，若M 、N 分别在边CB 、DC 的延长线上移动， ①.试探究线段MN 、BM 、DN 之间的数量关系. ②.求证：AB=AH.
例3.在四边形ABCD 中，∠B+∠D=，AB=AD ，若E 、F 分别在边BC 、CD 上，且满足EF=BE +DF.
求证：
练习巩固1：（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45°，试判断BE 、DF 与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；
（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=
2
1
∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由； （3）在（2）问中，若将△AE F 绕点A 逆时针旋转，当点分别E 、F 运动到BC 、CD 延长线上时， 如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明
..
45 180.21
BAD EAF ∠=
∠
练习巩固2：已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．
（1）如图1，当M A N ∠绕点A 旋转到BM DN =时，有BM DN MN +=．当M
A N ∠ 绕点A 旋转到BM DN ≠时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；
（2）当M A N ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，
并证明．
练习巩固3：在等边ABC ?的两边AB ，AC 所在直线上分别有两点M N D ，
，为ABC ?外一点，且60MDN ∠=?，120BDC ∠=?，BD CD =，探究：当点M N ，分别爱直线AB AC ，上移动时，BM BN MN ，，之间的数量关系及AMN ?的周长Q 与等边ABC ?的周长L 的关系．
（1）如图①，当点M N ，在边AB AC ，上，且DM DN =时，BM NC MN ，，之间的数量关系式_________；此时Q
L
=
__________
（2）如图②，当点M N ，
在边AB AC ，上，且DM DN ≠时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（3）如图③，当点M N ，
分别在边AB CA ，的延长线上时，若AN x =，则Q =_________(用x L ，表示)
N
M
D
C
B
A
N
M
C
D
B
A
N
M D C
B
A
图①
M N
D C
B
A 图②
M
N
D C
B
A
N
图③
M
D C
B A
练习巩固4：如图，已知在正方形ABCD 中，∠MAN =45°，连接BD 与AM ，AN 分别交于E 、F 两点。
求证：（1）MN=MB+DN ；
（2）点A 到MN 的距离等于正方形的边长； （3）CMN 的周长等于正方形ABCD 边长的2倍； （4）
=
ABCD CMN S 2AB
S MN
； （5）若∠MAB =20°，求∠AMN ； （6）若(
)
∠=ααMAB 045，求∠AMN ；
（7）=+2
22EF
EB DF ；
（8）AEN 与AFM 是等腰三角形； （9）=
AEF AMN
S 1S
2
。
三、三垂直模型（一线三等角）（K 型）
1、常见的一线三垂直的模型。
例1：如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G．
求证：AE=BF．
变式训练：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，点D是AC的中点，AF⊥BD于点E，交BC于点F，连接DF，求证：∠1=∠2。
例2：.如图，点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点A．B重合)，连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F．连接BE、DF。
求证：∠ADP=∠EPB；
求∠CBE的度数；
例3：等腰直角△ABC，其中AB=AC，∠BAC=90°，过B、C作经过A点直线L的垂线，垂足分别为M、N．
（1）你能找到一对三角形的全等吗？并说明．
（2）BM，CN，MN之间有何关系？若将直线l旋转到如图2的位置，其他条件不变，那么上题的结论是否依旧成立？
N M O A B
P
2图4
321
A C
P B D A
B C
图1
A B D C
P A B
D
C P O N M
B A
A
四、角平分线模型
1、边垂直
如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作
PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。 结论：PB=PA 例1：（1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6，BD=4，那么点D 到直线AB 的距离是 ； （2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。 求证：AP 平分∠BAC 。
例2：如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点 P ，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。
例3：．如图，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC 。 求证：∠BAD+∠BCD=180°。
2、翻折全等（对称）
如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。 结论：△OPB ≌△OPA 。
例1：（1）如图①所示，在△ABC 中，AD 是△ABC 的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB+PC 与
AB+AC 的大小，并说明理由；
（2）如图②所示， AD 是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB 与AC-AB 的大小，并说明理由。
A
B
C D
E D
C B
A
A
B
C D
P
O N
M
B A
E
D C B
A 例2：．已知，在△ABC 中，∠A=2∠
B ，CD 是∠ACB 的平分线，AC=16，AD=8。 求线段B
C 的长。
例3：如图所示，在△ABC 中，∠A=100°，∠A=40°，BD 是∠ABC 的平分线，延长BD 至E ，DE=AD 。求证：BC=AB+CE 。
例4：已知，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=108°，BD 平分∠ABC 。 求证：BC=AB+CD 。
3、角平分线+垂线→等腰（三线合一）
如图，P 是∠MO 的平分线上一点，AP ⊥OP 于P 点，延长AP 于点B 。 结论：△AOB 是等腰三角形。
例1：如图，已知等腰直角三角形ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ， CE ⊥BD ，垂足为E 。求证：BD=2CE 。
21E D C
B A
Q
P
O
N
M
A
E B
C
N M D A E
B
C
例2：如图，在△ABC 中，BE 是角平分线，AD ⊥BE ，垂足为D 。 求证：∠2=∠1+∠C 。
例3：（1）如图①，BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分，过点A 作AD ⊥BD 、 AE ⊥CE ，垂足分别为D 、E ，连接DE 。 求证：(1)AB+AC+BC=MN （2）如图②，BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分，其它条件不变。上述结论是否成立？ 成立请说明理由，若不成立，那MN 与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并进行证明。
（3）如图③，BD 是△ABC 的内角平分，CE 是△ABC 的外角平分，其它条件不变。MN 与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并进行证明。
4、角平分线+平行线→等腰（底角相等）
如图，P 是∠MO 的平分线上一点，过点 P 作PQ ∥ON ，交OM 于点Q 。
结论：△POQ 是等腰三角形。
例1：如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交 于点E ，过点E 作EF ∥BC ，交AB 于点M ，交AC 于点N 。若BM+CN=9，则线段MN 的长为 。
3． 例2：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在CD 上，且AE 平分∠BAD ，BE 平分∠ABC 。求证：AD=AB-BC 。
一、手拉手模型： 1手的判别： 判断左右，将等腰三角形顶角顶点朝上，左边为左手顶点，右边为右手顶点。 2手拉手的定义 两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形。（左手拉左手，右手拉右手） 3手拉手基本结论 ①△ABC ≌△AB'C'(SAS) ②∠BAB'=∠BOB' ③AO 平分∠BOC' 二、例题 例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC （7） GF ∥AC
变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC 变式练习2：如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。 （4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC 变式训练3：两个等腰三角形ABD 与BCE ，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE=a 连接AE 与CD. 问（1）△ABE ≌△DBC 是否成立？ （2）AE 是否与CD 相等？ （3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？ （4）HB 是否平分∠AHC ？
例2：如图，两个正方形ABCD 和DEFG ，连接AG 与CE ，二者相交于H 问：（1）△ADG ≌△CDE 是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？ （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分∠AHE ？ 例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连接AG,CE,二者相交于H. 问 （1）△ADG ≌△CDE 是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？ （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分∠AHE ？ 二、半角模型 1、条件： 2、思路：①截长补短 ②旋转 例1、在正方形ABCD 中，若M 、N 分别在边BC 、CD 上移动，且满足MN=BM +DN ， 求证：①.∠MAN= ②. ③.AM 、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM. . 1802 10=+=γθβα且 45AB C CMN 2= ?
与三角形有关的角 一、本节学习指导 本节知识点比较多要熟练掌握知识点：1．理解三角形内角和定理的证明方法；2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题；４．学会添加辅助线构造基本图形解决问题． 二、知识要点 １、三角形内角 （１）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°． 表示为：在△ABC中，有∠A+∠B+∠C=180°． 由三角形内角和定理可得： ①直角三角形的两个锐角互余. ②有两个角互余是三角形是直角三角形. （２）作用： 在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角之间关系，求各角；已经知道了三角形的内角和等于180°，但要注意的是在解决实际问题时，这一点是不会在已知中说出，往往要把它作为隐含的条件来用． 三角形内角和定理证明方法很多，定理的证明需要添加辅助线，通过辅助线将角转移和集中，把隐含的条件显现出来． 如几种常见的证明思路： 思路1：如图1所示，延长BC到E，作CD∥AB．
因为AB∥CD（已知）， 所以∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）． 又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义）， 所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）． 思路2：如图2所示，在BC边上任取一点D，作DE∥AB，交AC于E，DF∥AC，交AB于点F． 因为DF∥AC（已作）， 所以∠1=∠C（两直线平行，同位角相等）， ∠2=∠DEC（两直线平行，内错角相等）． 因为DE∥AB（已作）． 所以∠3=∠B，∠DEC=∠A（两直线平行，同位角相等）． 所以∠A=∠2（等量代换）． 又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），
八年级专题复习---第二章 特殊三角形 知识点回顾 一、等腰三角形 1、等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 2、等腰三角形性质 (1)等腰三角形的两腰相等、两个底角相等 (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 3、等腰三角形判定 （1） 定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。 （2）判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形 二、等边三角形 1、等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形 2、等边三角形性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° 3、等边三角形判定： （1）三个角都相等的三角形是等边三角形。 （2）三条边都相等的三角形是等边三角形 （3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 三、直角三角形 1、直角三角形：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。通常用符 号“Rt △”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。 如果AB ＝AC 且∠A ＝90°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称 之为等腰直角三角形。 2、直角三角形性质： (1) 在直角三角形中，两个锐角互余 (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 (3)在直角三角形中，如果一个锐角等于 30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 (4)直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方。如果用字母a,b 和c 分别表示直角三角形的 两条直角边和斜边，那么222c b a =+ 3、直角三角形判定 (1)根据定义判定 (2)两内角互余的三角形是直角三角形. (3)如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 四、勾股定理 1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 符号语言：在△ABC 中，∠C=90°（已知）222c b a =+∴ 2、勾股定理的应用： （1）已知两边（或两边关系）求第三边； （2）已知一边求另两边关系； （3）证明线段的平方关系； （4）作长为n 的线段. 3、利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤：
一、新课： 1、 在右下图中你能用符号表示上面的三角形吗？ 2、它的三个顶点分别是 ，三条边分别 是 ，三个内角分别是 。 3、分别量出这三角形三边的长度，并计算任意两边 之和以及任意两边之差。你发现了什么？ 结论：三角形任意两边之和大于第三边 三角形任意两边之差小于第三边 例1：有两根长度分别为5cm 和8cm 的木棒，用长度为2cm 的木棒与它们能摆成三角形吗？ 为什么？长度为13cm 的木棒呢？长度为7cm 的木棒呢？ 巩固练习： 1、下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？为什么？（单位：cm ） （1） 1， 3， 3 （2） 3， 4， 7 （3） 5， 9， 13 （4） 11， 12， 22 （5） 14， 15， 30 2、已知一个三角形的两边长分别是3cm 和4cm ，则第三边长X 的取值范围是 。若X 是奇数，则X 的值是 。 A B C a b c
这样的三角形有 个 若X 是偶数，则X 的值是 。 这样的三角形又有 个 3、一个等腰三角形的一边是2cm ，另一边是9cm ,则这个三角形的周长 是 cm 4、一个等腰三角形的一边是5cm ，另一边是7cm ,则这个三角形的周长 是 cm 小 结：掌握三角形三边关系：“三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边”。 二、三角形的内角性质 根据自己手中的一副特殊的三角板，知道三角形的三个内角和等于180°，那么是否对其他的三角形也有这样的一个结论呢？（提出问题，激发学生的兴趣） 让学生用自己剪好的一个三角形，把三个角撕下来，拼在一块。你发现了什么？小组交流。 结论：三角形三个内角和等于180°（几何表示） 例2 、如右图，在△ABC 中，∠A ＝x 3°∠＝x 2°∠＝x °求三个内角的度数。 解：∵∠A+∠B+∠C=180°，（ ） ∴=++x x x 23 ∴x 6= ∴x = 从而，∠A= ，∠B= ，∠C= 练习2 1、判断： （1）一个三角形的三个内角可以都小于60°； （ ） （2）一个三角形最多只能有一个内角是钝角或直角； （ ） x 2x 3x A B C
§11.2.1三角形的内角 教学目标： 知识与技能 1.掌握直角三角形的概念及表示方法 2.能用推理的方法导出直角三角形的性质，会用直角三角形性质进行有关的推理与计算 3.会用推理的方法推导出两锐角互余的 过程与方法 在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯 情感、态度与价值观 体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心 重点、难点 重点：直角三角形的性质 难点：理解直角三角形的性质及两锐角互余的三角形是直角三角形 教学过程 一、复习回顾 三角形的内角和是多少度？ 二、探求新知 1、请同学画一个直角三角形ABC,其中∠C=90° 2试问：∠A与∠B有什么关系？请说明理由。 答：∠A与∠B互为余角 理由：在△ABC中 ∵∠A+∠B +∠C=180°（三角形内角和定理） ∵∠C=90°（已知） ∴∠A+∠B = 90°（等式性质） 也就是：直角三角形两锐角互余。 问题：1.直角我们可以用什么符号表示？三角形用什么符号表示？直角三角 形又用什么符号表示呢？ 直角我们用“Rt”表示，三角形我们用“△”表示，所以直角三角形我们就用 “Rt△”来表示。 如图直角三角形ABC就表示为Rt△ABC 三、例题讲解 例3：如图∠D= ∠C=90 ,AD,BC交于点E, ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什 么？ 答：∠CAE=∠DBE 理由：在Rt△ACE中， ∠CAE+ ∠CEA =90°（直角三角形两锐角互余） 在Rt△ACE中， ∠DBE + ∠DEB =90° （直角三角形两锐角互余） ∵∠CEA= ∠ DEB（对顶角相等） ∴∠CAE=∠DBE（等角的余角相等）
11.4《三角形内角和定理》导学案（1） 课本内容：p178—p179 课前准备：刻度尺、三角板 学习目标： （1）知识与技能： 掌握“三角形内角和定理”的证明过程，并能根据这个定理解决实际问题。 （2）过程与方法： 通过学生猜想动手实验，互相交流，师生合作等活动探索三角形内角和为180度，发展学生的推理能力和语言表达能力。对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。逐渐由实验过渡到论证。 通过一题多解、一题多变等，初步体会思维的多向性，引导学生的个性化发展。 （3）情感态度与价值观： 通过猜想、推理等数学活动，感受数学活动充满着探索以及数学结论的确定性，提高学生的学习数学的兴趣。使学生主动探索，敢于实验，勇于发现，合作交流。 一．自主预习课本p178—p179内容，独立完成课后练习1、2后，与小组同学交流（课前完成） 二．回顾课本p178—p179思考下列问题： 1、三角形的内角和是多少度？你是怎样知道的？ 2、那么如何证明此命题是真命题呢？你能用学过的知识说一说这一结论的证明 思路吗？你能用比较简洁的语言写出这一证明过程吗？与同伴进行交流。
3、回忆证明一个命题的步骤 ①画图 ②分析命题的题设和结论，写出已知求证，把文字语言转化为几何语言。 ③分析、探究证明方法。 4、要证三角形三个内角和是180°，观察图形，三个角间没什么关系，能不能象前面那样，把这三个角拼在一起呢？拼成什么样的角呢？ ①平角，②两平行线间的同旁内角。 5、要把三角形三个内角转化为上述两种角，就要在原图形上添加一些线，这些线叫做辅助线，在平面几何里，辅助线常画成虚线，添辅助线是解决问题的重要思想方法。如何把三个角转化为平角或两平行线间的同旁内角呢？ ①如图1，延长BC得到一平角∠BCD，然后以CA为一边，在△ABC的外部画∠1=∠A。 ②如图1，延长BC，过C作CE∥AB ③如图2，过A作DE∥AB ④如图3，在BC边上任取一点P，作PR∥AB，PQ∥AC。
D B C A F E 三 角 形 一、选择题 1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（ ） （A ）17 （B ）22 （C ）17或22 （D ）13 2、 等边三角形的对称轴有 （ ） A 1 条 B 2条 C 3条 D 4条 3、 以下列三个数为边长的三角形能组成直角三角形的是 （ ） A 3, 3 ,6 B 8, 12，13 C 6 ,7 ,8 D 8, 10 ,6 4、 已知ΔABC 的三边分别是3cm, 4cm, 5cm,则ΔABC 的面积是 （ ） A 6c ㎡, B 7.5c ㎡ C 10c ㎡ D 12c ㎡ 5、 三角形内到三角形各边的距离都相等的点必在三角形的 （ ） A 中线上 B 角平分线上 C 高线上 D 不能确定 6、 下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是 （ ） A 两个锐角对应相等 B 一条边和一个锐角对应相等 C 两条直角边对应相等 D 一条直角边和一条斜边对应相等 7、等腰三角形的一个内角为40o，则它的底角为（ ） （A ）100o （B ）40o （C ）70o （D ）70o或40o 8、下列能断定△ABC 为等腰三角形的是（ ） （A ）∠A=30o、∠B=60o （B ）∠A=50o、∠B=80o （C ）AB=AC=2，BC=4 （D ）AB=3、BC=7，周长为13 9、若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60o，那么这个三角形一定为（ ） （A ）等边三角形 （B ）等腰三角形 （C ）直角三角形 （D ）钝角三角形 10、如图∠B C A =90，C D ⊥A B ，则图中与∠A 互余的角有（ ） A ．1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 二．填空题 1、一个等腰三角形底上的高、________和顶角的________互相重合。 2、在Rt △ABC 中,∠C=90度,∠B=25度,则∠A 的余角为______度. 3、 等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则其底边上的高为______. 4、已知等边三角形的周长为24cm ，则等边三角形的面积为_______c ㎡ 5、Rt △ABC 的斜边AB 的长为10cm ，则AB 边上的中线长为________ 6、在Rt △ABC 中，∠C=90o，∠A=30o，BC=2cm ，则AB=_____cm 。 7、等边三角形两条高线相交所成的钝角为________度 8、若直角三角形的两个锐角之差为24度，则较大的锐角的度数是_________ 。 9、如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC 与∠ACB 的平分线AF 、 CE 相交于点D ，且∠B=70o，则∠ADE 的度数为_________ 10、如图，在Rt △ABC 中，CD 是AB 边上的高，若AC=4， BC=3 ，则CD= D C B A D C B A
八年级上册三角形内角和练习题 一、填空题 1．△ABC中，∠A=40o，∠B=60o，则与∠C相邻外角的度数是______．2．三角形三个内角的比为2：3：4，则最大的内角是_______度． 3．如果△ABC扣，∠A+∠B=∠C—10o，则△ABC是________三角形． 4．一个五边形的4个内角都是100o，则第五个内角的度数是_______．5．一个n边形的内角和与外角和的比为2：1，则n=________． 6．三角形三个外角的比为2：3：4，则三个内角的比为_______． 二、选择题 7．一个多边形的每个内角都等于156o，则此多边形是A．十五边形B．十六边形C．十七边形D．十八边形8．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是A．∠A+∠B=∠C B．∠A—∠B=∠C C．∠A：∠B：∠C=1：2：D．∠A=∠B=3∠C 9．一个三角形的三个外角中，钝角的个数最少为 A．0个B．1个C．2个D．3个 10．如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的圆形喷水池，则这四个喷水 xx占去的绿化园地的面积为 A．2?RB．47?RC．?RD．不能确定 11．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块，你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形?应该带 A．第1块B．第2块C．第3块D．第4块
12．如图，光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜舳和CD之间来回反射，这时光 线的入射角等于反射角，即∠l=∠6，∠5=∠3，∠2=∠4．若已知∠l=55o，∠3=75o，那么∠2等于 A．50o B．5o C．6oDo 三、解答题 13．如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．14．已知：在△ABC 中，∠A+∠B=2∠C，∠A—∠B=20o，求三角形三 个内角的度数． 15．如图，∠A=65o，∠ABD=30o，∠ACB=72o，且CE平分∠ACB，求 ∠BEC的度数． 16．如果一个n边形的内角都相等，且它的每一个外角与内角的比为2：3， 求这个多边形的内角和． 17．本题8分)如果一个多边形的每个内角都相等，每个内角与每个外角的差是90o， 求这个多边形的内角和． 18．如图，在?ABC中，∠B、∠C的平分线交于点O．若∠A=50o，求 ∠BOC的度数． 设∠A=no，求∠BOC的度数． 当∠A为多少度时，∠BOC=3∠A? 19．一个同学在进行多边形的内角和计算时，所得的内角和为1125o ，当
三角形边之间的关系 1、_____________cm 8cm 5cm 4cm 2为可以组成三角形的个数，那么 取三根组成一个三角形长的四根木棒，任意选，，，现有 2、的取值范围边则第三 满足其中的三边长分别为设△c ,0)4(6,,,,2=+-+-+b a b a b a c b a ABC 3、个形的个数有的三角，但不是最短边，这样为整数，其中一边长是已知三角形的三边长均_________4 4、PC BP AC AB ABC P +>+内任意一点，证明： 是△如图， 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线．求证：AD<12 (AB+AC) AC AB CE DE BD E D ABC +<++两点，求证：中有如图，在△, 三角形角与角的关系 1、求法呢？写出你的思考 ）想一想，还有其他的的度数）求，平分，于点，中，如图，在△216080AEC B DAC AE D BC AD BAC ABC ∠?=∠∠⊥?=∠ ）（，求证：和分别平分已知：如图，D B M BCD BAD CM AM ∠+∠=∠∠∠2 1,
的度数 A 求∠ 110 = BG C ∠ 140 = BDC 若∠ ， G 交于 CE 与 BE 的平分线平 ACD 是∠ CF 的角平分线角 ABD 是∠ BE 如图 ， ， ， ? ? _________ 66= ∠ ? = ∠P FGE AM E B AN C F ABC P AFE G ，那么 上，如果 在 ， 上，点 在 ， 点 的两外角平分线的交点 是△ ， 的两外角平分线的交点 是△ 如图， 2、 A BPC ACB ABC P ABC ∠ + ? = ∠ ∠ ∠ 2 1 90 3,2,1 求证： 角平分线的交点 和 是 ，若点 ，已知△ 如图 3、 别为多少度？ 分 ， ， ；依次类推，则 ； 的角平分线，交于点 ， ，再作 的角平分线，交于点 ）的条件下，若再作 ）在 的度数 求 ）若 的度数 ，求 ）若 的角平分线交于点 与 上， 在直线 如图，点 n 3 2 3 2 2 2 1 1 1 1 1 , 2 3 A m, 2 60 1 A A A A CE A BE A A CE A BE A A A A A ACE ABC BE C ∠ ? ∠ ∠ ? ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ = ∠ ∠ ? = ∠ ∠ ∠
浙教版八年级三角形 中几种模型 Revised on November 25, 2020
一、手拉手模型： 1手的判别： 判断左右，将等腰三角形顶角顶点朝上，左边为左手顶点，右边为右手顶点。 2手拉手的定义 两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形。（左手拉左手，右手拉右手） 3手拉手基本结论 ①△ABC ≌△AB'C'(SAS) ②∠BAB'=∠BOB' ③AO 平分∠BOC' 二、例题 例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC （7） GF ∥AC 变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC 变式练习2：如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证 明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。 （4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC 变式训练3：两个等腰三角形ABD 与BCE ，其中AB=BD,CB=EB,∠ ABD=∠CBE=a
连接AE与CD. 问（1）△ABE≌△DBC是否成立 （2）AE是否与CD相等 （3）AE与CD之间的夹角为多少度 （4）HB是否平分∠AHC 例2：如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H 问：（1）△ADG≌△CDE是否成立 （2）AG是否与CE相等 （3）AG与CE之间的夹角为多少度 （4）HD是否平分∠AHE 例3：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连接AG,CE,二者相交于H. 问（1）△ADG≌△CDE是否成立 （2）AG是否与CE相等 （3）AG与CE之间的夹角为多少度 （4）HD是否平分∠AHE 二、半角模型 1、条件： . 180 2 1 = + =γ θ β α且 2、思路：①截长补短 ②旋转 例1、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM +DN，求证：①.∠MAN= 45 ②. AB C CMN 2 = ? ③.AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM.
《三角形的内角》优秀教学设计 一、教学目标 （一）知识与技能目标： 会用平行线的性质与平角的定义证明三角形的内角和等于1800，能用三角形内角和等于180度进行角度计算和简单推理，并初步学会利用辅助线解决问题，体会转化思想在解决问题中的应用。 （二）过程与方法目标： 经历拼图试验、合作交流、推理论证的过程，体现在“做中学”，发展学生的合情推理能力和逻辑思维能力。 （三）情感、态度价值观目标： 通过操作、交流、探究、表述、推理等活动培养学生的合作精神，体会数学知识内在的联系与严谨性，鼓励学生大胆质疑，敢于提出不同见解，培养学生良好的学习习惯。 二、教学重点: 三角形内角和等于180度的证明及应用 三、教学难点：证明三角形内角和等于180度（辅助线的添加） 四、教学活动程序： 1．情景激趣引出课题 一天，三角形蓝和三角形红见面了。蓝炫耀的说：“我的个子比你大，所以我的内角和比你大！”红不服气的说：“那可不好说噢，你自己量量看！”蓝用量角器量了量自己和红的三个内角，就不再说话了！同学们，你们知道其中的道理吗？ 设计意图：结合七年级学生的年龄特点，我采用了情境激趣的对话引入课题，可以激发学生学习兴趣和求知欲，为探索新知识创造一个最佳的心理和认知环境。2．自主探索动手实验 （1）三角形的三个内角和是180°，你是怎样得知的？ （2）拿出三角形学具，将它的两个内角撕下，把三个内角拼合在一起看看，你能量得它们的和为180°吗？ 设计意图：通过动手操作，得到三角形内角和为180°的直观认识，以提高对课题的认识，激发学生的兴趣。通过对拼图过程的引导与分析，为下面添加辅助线进行证明作好铺垫。
三角形内角和定理应用练习题 阅读下列文字，结合本章学过的数学知识，按要求在横线上补全内容。 一、三角形三个内角的关系 三角形三个内角的和等于_____.在小学，我们已通过下列三种实验，观察猜想得到。 ⑴ 折叠 本册教材P 70图______示意。（填图序号。下同） （2）剪拼 本册教材P 70图______示意或本册教材 P 75图______示意。 （3）度量 实际上，有可能： 折叠时，边缝不易平齐，难以拼成一个平角; 剪拼时，发现三个内角难以拼成一个平角，只是接近180°的某个角； 度量三个角，然后相加，有的接近179°，有的接近181°，不是很准确地都得180°。 以致于怀疑我们的猜想：三角形的内角的和等于180°。 事实上，它是真命题，并且曾多次运用它求三角形内角的度数。要判断它的“真“，必须进 行 _________。 二、证明三角形的内角的和等于180° 1、分析 要想求得三角形的内角的和等于180°，三角形纸片的折叠、剪拼过 程给我们这样的提示： 把三角形三个分散的角，全部或部分适当地集中起来，利用平角定义或两直 线平行，同旁内角互补来证明。这就需要在原来的图形上，添画一些线，转化为 易于证明的情况。 为了证明的需要，在原来的图形上添画的线，叫做__________.为了区别 于原图形中的线，辅助线一般画成____线。 由剪、拼角给我们的提示，得到辅助线的添法，如图（1）、（2）、（3）、（4） 所示。 （2） （1） 图（1）：剪掉三个角，拼接在它的一边BC 上，∠B 放在∠CDF 上，∠C 放在∠BDE 上 图（2）剪掉两个角（∠A 与∠B ），拼接在它的顶点C 处，其中∠A 放在∠1上 E B C A D
第二章练习卷 一、选择题 1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为( ) (A)17 (B)22 (C)17或22 (D)13 2、 等边三角形的对称轴有 ( ) A 1 条 B 2条 C 3条 D 4条 3、 以下列三个数为边长的三角形能组成直角三角形的是 ( ) A 1, 1 ,2 B 5, 8 10 C 6 ,7 ,8 D 3 ,4 ,5 4、 三角形内到三角形各边的距离都相等的点必在三角形的 ( ) A 中线上 B 角平分线上 C 高线上 D 不能确定 5、 下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是 ( ) A 两个锐角对应相等 B 一条边和一个锐角对应相等 C 两条直角边对应相等 D 一条直角边和一条斜边对应相等 6、等腰三角形的一个顶角为40o，则它的底角为( ) (A)100o (B)40o (C)70o (D)70o或40o 7、下列能断定△ABC 为等腰三角形的是( ) (A)∠A=30o、∠B=60o (B)∠A=50o、∠B=80o (C)AB=AC=2，BC=4 (D)AB=3、BC=7，周长为13 8、若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60o，那么这个三角形一定为( ) (A)等边三角形 (B)等腰三角形 (C)直角三角形 (D)钝角三角形 9、如上图∠B C A =90，C D ⊥A B ，则图中与∠A 互余的角有( )个 A ．1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 10、正三角形ABC 所在平面内有一点P ，使得⊿PAB 、⊿PBC 、⊿PCA 都是等腰三角形，则这样的P 点有( ) (A)1个 (B)4个 (C)7个 (D)10个 11.已知∠A=37°，∠B=53°，则△ABC 为( ) (A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 (D)以上都有可能 12．下列图形中，不是轴对称图形的是( ) (A)线段 (B)角 (C)等腰三角形 (D)直角三角形 13．已知一个三角形的周长为15cm ，且其中两边长都等于第三边的2倍，那么这个三角形的最短边为( ) (A)1cm (B)2cm (C)3cm (D)4cm 14．具有下列条件的2个三角形，可以证明它们全等的是( ) (A)2个角分别相等，且有一边相等; (B)3个角对应相等; (C)2边分别相等，且第三边上的中线也相等; (D)一边相等，且这边上的高也相等 15．在△ABC 中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，CD ⊥AB 于D ，AB=a ，则DB 等于( ) (A)2a (B)3a (C)4 a (D)以上结果都不对 16．如图4所示，△ABC 中，AB=AC ，过AC 上一点作DE ⊥AC ，EF ⊥BC ，若∠BDE=140°，则∠DEF=( ) (A)55° (B)60° (C)65° (D)70° B A D C E B ' B A C A ' B A D C (4) (5) (6) 17．一个三角形中，一条边是另一条边的2倍，并且有一角是30°，?那么这个三角形是( ) (A)直角三角形 (B)钝角三角形 (C)可能是锐角三角形 (D)以上说法都不对 18．如图5所示，在△ABC 中，∠A:∠B:∠C=3:5:10，又△A ′B ′C?′≌△ABC ，? 则∠BCA ′:∠BCB ′等于( ) (A)1:2 (B)1:3 (C)2:3 (D)1:4 19．如图6所示，△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，若AB=3，BC=5， 则DC 的长度是( ?) (A)85 (B)45 (C)165 (D)225 20．如图所示，已知△ABC 中，AB=6，AC=9，AD ⊥BC 于D ，M 为AD 上任 一点，则MC 2-MB 2?等于( ) (A)9 (B)35 (C)45 (D)无法计算 21. 一架2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚0.7m ，那么梯子的顶端距墙脚的距离是 ( ) A. 0.7m B. 0.9m C. 2.4m D. 2.5m 22. 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，∠C=90°，且c 2=2b 2，则这个三角形有一个锐角为 ( ) A. 15° B. 30° C. 45° D. 75° D C B A B A D C M
G E F C B D A (1)P C B A (2) P C B A 1.1认识三角形 【例题讲析】 例1：如图,在△ABC 中,∠A=α,△ABC 的内角平分线或外角平分线交于点P, 且∠P=β,试探求下列各图中α与β的关系,并选择(3)加以说明. 中,AD ⊥BC 于D,AE 平分∠BAC(∠C>∠B),试说明∠EAD=1 2(∠C-∠B). 例2.如 图,在△ABC 【巩固练习】 1．在 △ABC 中，AB ＝4a ，BC ＝14，AC ＝3a ．则a 的取值范围 是 ( ) A ．a ＞2 B ．2＜a ＜14 C ．7＜a ＜14 D ．a ＜14 2．已知：a 、b 、c 是△ABC 三边长，且M ＝(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)(a －b －c)， 那么 ( ) A ．M ＞0 B ．M ＝0 C ．M ＜0 D ．不能确定 3．周长为P 的三角形中，最长边m 的取值范围是 A ．23P m P <≤ B ．23P m P << C ．2 3P m P ≤< D ．23P m P ≤≤ 4．若等腰三角形的一边是7，另一边是4，则此等腰三角形的周长是 （ ） A ．18 B ．15 C ．18或15 D ．无法确定 5.下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是（ ） A.∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3 B.∠A+∠B=∠C C.∠A= 21∠B=3 1 ∠C D.∠A=2∠B=3∠C 6.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 7.已知,△ABC 中,点D 、E 、F 分别在三边上,E 为AC 中点,AD 、BE 、CF 交于一点G,BD=2DC,S △GEC =3, S △GDC =4,则△ABC 的面积是( ) A.25 B.30 C.35 D.40 8. BE 是∠ABD 的平分线,CF 是∠ACD 的平分线,BE 与CF 交于G,若∠BDC= 140°,∠BGC=110°,则 ∠A 的大小是( ) A.70° B.75° C.80° D.85° 9.如图，三角形纸片ABC 中，∠A=65°,∠B=75°,将纸片的一角折叠，使点C 落在△ABC 内。若 ∠1=20°，则∠2的度数为( ) A 65° B 75° C 60° D 80° 10．在△ABC 中，AB ＝6， AC ＝10，那么BC 边的取值范围是________，周长的取值范围是_________. 11．在△ABC 中，∠A －∠B ＝30°、∠C ＝4∠B ，则∠C ＝________． 12.已知等腰三角形的两个内角的度数之比为1: 2, 则这个等腰三角形的顶角为_______. 13．在等腰△ABC 中，如果两边长分别为6cm 、10cm ，则这个等腰三角形的周长为____________ 14．如图5—14，△ABC 的两个外角的平分线相交于点D ，如果∠A ＝50°，那么∠D ＝_____． 15．如图5—15，△ABC 中，∠A ＝60°，∠ABC 、∠ACB 的平分线BD 、CD 交于点D ，则∠BDC ＝_____． E A
初二数学三角形内角和、外角专项练习题
初二数学三角形专题训练 类型一：三角形内角和定理的应用 1．已知一个三角形三个内角度数的比是1：5：6，则其最大内角的度数为（） A．60° B．75° C．90° D．120°举一反三： 【变式1】在△ABC中，∠A=55°，∠B比∠C大25°，则∠B的度数为（） A．50° B．75°C．100° D．125° 【变式2】三角形中至少有一个角不小于________度。 类型二：利用三角形外角性质证明角不等 2．如图所示，已知CE是△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA延长线于点E。求证：∠BAC ＞∠B。 举一反三： 【变式】如图所示，用“＜”把∠1、∠2、∠A联系起来________。
举一反三： 【变式1】如图10，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD 的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC= 140°，∠BGC=110°，求∠A的大小.80 【变式2】如图11, △ABC的两个外角的平分线相交于点D，如果∠A＝50°，求∠D. 【变式3】如图12，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，则∠AEB的度数是_____. 【变式4】（2009北京四中期末）如图所示，△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于点F，若∠A=68°，求∠F的度数。
类型五：与高线相关的综合问题 5．如图13，△ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，求∠FCD的度数. 举一反三： 【变式1】如图14，△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝104°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数． 【变式2】如图15, △ABC中，三条高AD、BE、CF相交于点O．若∠BAC＝60°，求∠BOC的度数．
一、等腰三角形定义及其性质 【知识梳理】 1．等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）； （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）； （3）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线（底边上的中线、底边上的高）所在的直线．【例题精讲】 例1．如图，有甲，乙两个三角形，请你用一条直线把每一个三角形分成两个等腰三角形，并标出每个三角形各角的度数． 例2．如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是__________ ．
例3．探究题： （1）问题发现： 如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE． 填空：①∠AEB的度数为；直接写出结论，不用证明． ②线段AD、BE之间的数量关系是．直接写出结论，不用证明． （2）拓展探究： 如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM 为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由． 猜想：①∠AEB= °；②（CM、AE、BE的数量关系）． 证明：。 【巩固练习】 1．如图，∠AOB是一角度为10°的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：EF、FG、GH…，且OE=EF=FG=GH…，在OA、OB足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为 __________ ． 2．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分
考点分析 1、掌握等腰三角形的性质及判定定理 2、掌握直角三角形的性质 3、特殊三角形在全等证明中的运用 4、掌握勾股定理的计算方法 知识点概要 1、图形的轴对称性质：对称轴垂直平分连接两个对称点的线段；成轴对称的两个图形是全等图形 2、等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的性质定理及推论： 定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） 推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。 推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。 PS:等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 3、三角形中的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 （1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。 （2）要会区别三角形中线与中位线。 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 三角形中位线定理的作用： 位置关系：可以证明两条直线平行。 数量关系：可以证明线段的倍分关系。 常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有： 结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。 结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。 结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。 结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。 结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。 4、直角三角形的性质 （1）直角三角形的两个锐角互余
2020-2021学年浙教版八年级上册等腰三角形专题培优 姓名班级学号 基础巩固 1.如图，△ABC是等边三角形，AQ= PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR= PS，则下列结论:①点P在∠A的平分线上；②AS= AR；③QP∥AR；④△BRP ≌△QSP.其中正确的有（）. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第1题第2题第3题 2.如图，∠AOB= 120°，OP平分∠AOB，且OP= 2.若点M，N分别在OA，OB 上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）. A.2个 B.3个 C.4个 D.无数个 3.如图，已知△ABC和△CDE都是正三角形，且∠EBD= 62°，则∠AEB的度数是 （）. A.124° B.122° C.120° D.118° 第4题第5题 4.如图，一个等边三角形、一个直角三角形以及一个等腰三角形按如图放置，已知 等腰三角形的底角∠3 = 64°，则∠1 + ∠2 = _________ . 5.如图，六边形ABCDEF的六个角都是120°，边长AB = 1 cm，BC = 3 cm，CD = 3 cm，DE = 2 cm，则这个六边形的周长是 _________ .
6.在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，∠CAB= 30°.分别以AB，AC为边，向外作等边△ABD和邻边△ACE. （1）如图1，连结线段BE，CD.求证:BE = CD. （2）如图2，连结DE交AB于点F.求证:点F为DE中点. 7.已知△ABC是等边三角形，D是直线BC上一动点，连结AD，在线段AD的右侧 作射线DP且使∠ADP = 30°，作点A关于射线DP的对称点E，连结DE，CE.（1）当点D在线段BC上运动时. ①依题意将图1补全. ②请用等式表示线段AB，CE，CD之间的数量关系，并证明. （2）当点D在直线BC上运动时，请直接写出AB，CE，CD之间的数量关系，不需证明.
2013-2014学年八年级数学上册三角形的内角和和外角和练习-新人教版
11.2.1三角形的内角和 基础知识 选择题 1.下列说法正确的是( ) A.三角形的内角中最多有一个锐角; B.三角形的内角中最多有两个锐角 C.三角形的内角中最多有一个直角; D.三角形的内角都大于60° 答案：C 2.(2012 广东省梅州市) 如图，在折纸活动中，小明制作了一张ABC △纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将ABC △沿着DE折叠压平，A与A'重合，若∠=75，则∠1+∠2=（） A （A）150（B）210（C）105 （D）75 答案：A 3. (2012 山东省滨州市) 一个三角形的三个内 角的度数之比为37 2∶∶，则这个三角形一定是（）
D ．与虚线的位置有关 答案：C 7. (2012 广西来宾市) 如图，在△ABC 中，已知∠A ＝80°，∠B ＝60°，DE ∥BC ，那么∠CED 的大小是 （ ） A ．40° B ．60° C ．120° D ．140° 答案：D 8. (2012 山东省聊城市) 将一副三角板按如图所示摆放，图中 的度数是（ ） （A ）75° （B ）90° （C ）105° （D ）120° 答案：C 9.如图，ABCDE 是封闭折线，则 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 为（ ）度． A ．180 B ．270 C ．360 D ．540 1 2
答案：A 10．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角等于（） A．100°B．120°C．135°D．150° 答案：C 11.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（） A．40°B．30°C．20°D．10° 答案：D 12．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（） A．∠A-∠B=∠C B．∠A=3∠C，∠B=2∠C C．∠A=∠B=2∠C D．∠A=∠B= 1∠C 2 答案：C