V=AVYA-1(0)
B;
(2)V=AVYA-1(0);
(3)对任一直和分解V=V0YV1,存在唯一的射影A,使得AV=V1,A(0)=V 0.
证明:(1)BIAV时,必有AIV,使得AA=B,于是AB=AAA=AA=B.
反过来,若AB=B,由于BIV,则ABIAV,-1
-1
在AV中取基A1,A2,,,Ar,在A(0)中取基
Ar+1,Ar+2,,,An,则A1,A2,,,Ar,Ar+1,Ar+2,,,An就是V的一组基.显然
AA1=A1, AA2=A2,,,AAr=Ar,AAr+1=0, AAr+2=0,,,AAn=0即在基A1,A 2,,,Ar,Ar+1,Ar+2,,,An下的矩阵为
Er0
00,r=rank(A)故存在一个可逆矩阵P,使得
A=P-1
Er00
P即A相似于对角矩阵
Er
00
.推论3.1 A、B,则A与
B相似的充要条件rank(A)=rank(B).证明:由定理3的知
A~Er1000,B~Er20
0,
其中,rank(A)=1,rank(=r2而A与B相似的充要条件是
Er1
00~
Er2
00
所以r1=r2,即rank(A)=rank(B).
推论3.2 设A为n阶实系数矩阵A2=A,则A可写成两个实对称矩阵之积.
证明:由定理3知,存在一个可逆矩阵P,使得
A=P-1Er0-1
Er0Er000P=P0000P
=
P
-1
Er00
0(PT)-1
P
T
Er00
P
令B=P
-1
Er
(PT)
-1
,C=P
T
Er000
P,则
A=BC,B,为对称矩阵.推论3.3 若幂等矩阵A可逆,则此矩阵为单位矩阵.
证明:由定理3知,A相似于
Er00
,而
rank(A)=n,所以A=En.
定理4 设线性空间V的线性变换A在某组基下的矩阵为A,且A2
=A,称为投影或投射,则
(1)BI
V是AV中向量的充要条件为AB=
从而BIAV.
(2)假设AIAVHA-1(0),则AA=A,由(1)知,由于AIA-1(0),所以
A=AA=0即AVHA-1(0)={0}又由引理4知
AVYA-1(0)=V.
(3)对于直和分解V=V0YV1,定义线性变换A如下
AA=A(AIV1), AA=0(AIV0).则A就是满足条件的射影.
假设还存在另一射影B,则
(B-A)A=A-A=0(AIV)故B-A=0,即B=A,A唯一.
定理5 设A、B均为幂等矩阵,则(1)若A+B为幂等矩阵,则AB=0(2)如果AB=BA,那么
(A+B-AB)2=A+B-AB
证明:(1)因为A2
=A,B2
=B,且(A+B)2
=A+B.由
(A+B)2=(A+B)(A+B)=A2+BA+AB+B2,故
A+B=A+B+BA+AB.即有
AB+BA=0或AB=-BA
又
2AB=AB+AB=AB-BA=A2B-BA2=A2B+ABA=A(AB+BA)=A@0=0所以
AB=0
(2)因为A2=A,B2=B,AB=BA,所以(A+B-AB)2
=(A+B-AB)(A+B-AB)=
A2+BA-ABA+AB+B2-AB2-A2B-BAB+ABAB=A+B-AB.
(下转第71页)
第3/4页(x+2)+
当-2[x<+]时,
U(x)= 从而
x/2+x-2
它有统一的解析式
U(x)=
x+3x
22
x-2
Qf(t)dt=Q(2t+3)dt+
-3
-3
x-2
U(x)=
2
x-(x+2)4
2x+3x
(x+2)-1.
Q(t+1)dt=
x2/2+x-2.
所以U(x)为初等函数. -3[x<-2-2[x<+]
三角模糊数互补判断矩阵案例 （模糊层次矩阵） 民航是一个高风险的服务行业，安全状况的好坏直接影响着其声誉、经济效益乃至生存。作为旅客登机出行的必经之地——机场则尤为重要。我国于2008年2月1日起，正式实施“民用机场运行安全管理规定”[2]，通过建立一套完善有效的安全管理体系，对保证航空安全有着重要的作用和意义，而其中的安全风险管理则是重要组成部分。目前美国、加拿大等国家在实施安全管理系统时，采用了风险评估矩阵来进行风险管理。该矩阵将风险的可能性和严重性联系在一起，可以根据用途进行细化，但是对于处理大量数据时，具有一定的局限性。 我国学者曾采用层次分析法(AHP)，对民用机场影响飞行安全的各因素进行了评估。但是，对于层次分析法，当判断矩阵不具有一致性时，需要调整判断矩阵的元素，使其具有一致性，这不排除要经过若干次调整、检验、再调整、再检验的过程才能使判断矩阵具有一致性；另外，判断矩阵的一致性与人类思维的一致性有显著差异[2-6]。 在进行安全风险管理时，存在着很多不确定因素困扰着风险评估，其主要原因是专家的意见存在着偏差，人为因素难以进行清晰明确的分析，然而这些不确定因素却是正常的和不可避免的。因此，引入了模糊数学，克服了层次分析法的局限性以及人类思维的主观性，从而形成了模糊层次分析法(Fuzzy Analytical Hierarchy Process，FAHP)。 笔者拟采取模糊层次分析法对某一民用机场影响飞行安全的各因素进行评估，这将不仅能够客观地评估民用机场的安全现状、发现隐患和薄弱环节，而且对于改善其安全有着积极的 作用。 1 预备知识
其中，λ值的选择取决于决策者的风险态度。 当λ＞0.5时，称决策者是追求风险的； 当λ=0.5时，称决策者是风险中立的；
控制软件说明书 PC端软件FTM 安装及应用 系统运行环境： 操作系统中英文Windows 98/2000/ NT/XP/WIN7/ Vista， 最低配置 CPU：奔腾133Mhz 内存：128MB 显示卡：标准VGA，256色显示模式以上 硬盘：典型安装 10M 串行通讯口：标准RS232通讯接口或其兼容型号。 其它设备：鼠标器 开始系统 系统运行前，确保下列连线正常： 1：运行本软件的计算机的RS232线已正确连接至控制器。 2：相关控制器的信号线，电源线已连接正确； 系统运行步骤： 1：打开控制器电源，控制电源指示灯将亮起。 绿色，代表处于开机运行状态；橙色代表待机状态。 2. 运行本软件 找到控制软件文件夹，点击FWM.exe运行。出现程序操作界面：
根据安装软件版本不同，上图示例中的界面及其内容可能会存在某些差别，可咨询我们的相关的售后服务人员。 上图中用红色字体标出操作界面的各部分的功能说明： 1. 菜单区：一些相关的菜单功能选择执行区。 2. 操作区：每一个方格单元代表对应的控制屏幕，可以通过鼠标或键盘的点选，拖拉的方式选择相应控制单元。 3.功能区：包含常用的功能按钮。 4.用户标题区：用户可根据本身要求，更改界面上的标题显示 5.用户图片区：用户可根据本身要求，更改界面上的图片显示，比如公司或工程相关LOGO图片。 6.附加功能区：根据版本不同有不同的附加项目。 7.状态区：显示通讯口状态，操作权限状态，和当前的本机时间，日期等。 如何开始使用 1. 通讯设置 单击主菜单中“系统配置”――》“通讯配置” 选择正确的通讯端口号，系统才能正常工作。 可以设置打开程序时自动打开串口。 2.系统配置
矩阵方程求解方法 本文所述的矩阵方程是指形如Ax=b的方程，其中A是一个mxn的矩阵，称为方程的系数 矩阵。x和b是mx1的矩阵。特别的，当b=0时，这种方程又称为其次方程。本文将讨论 这种矩阵的有解条件和求解方法。 矩阵方程的有解条件 为了解释矩阵方程的有解条件，我们首先要熟悉一些概念。 一个矩阵方程的增广矩阵是系数矩阵A和b并在一起构成的矩阵，记作(A,b)。 假定 , ,则矩阵方程的增广矩阵就是 矩阵的秩定义为其行向量中极大线性无关组中包含向量的个数，等价的说法是，矩阵的秩 是r，则矩阵通过行列初等变换，变换成左上角是一个r阶单位矩阵，其他都是0的矩阵。矩阵A的秩记作r(A)，其中r是英文单词rank的缩写。 有了这两个基本概念，我们就可以准确描述矩阵方程的有解条件了：矩阵方程Ax=b的有 解条件是矩阵A的秩等于增广矩阵(A,b)的秩，也就是r(A)=r(A,b)。 证明很简单，既然矩阵A的秩是r，那么肯定可以找到两个可逆的矩阵P,Q，满足 --1) 其中I r表示r阶单位矩阵。 应用到原来的方程，可以得到: --2) 我们把Q-1x当作一个未知的变量，PAQ当作系数，这就构成一个新的矩阵方程。而这个矩 阵方程的左侧系数除了前r行是有1的之外，其余行是0。为了它有解，Pb的后m-r行必 须也是0。这样(A,b)的秩必然是r。 必须注意到Q-1是可逆的，因此以Q-1x为未知变量的方程有解意味着以x为未知变量的原 方程也是有解的。
矩阵方程的解 对于矩阵方程Ax=b，如果满足r(A)=r(A,b)，则矩阵方程是有解的。为了求它的解，我们首先把矩阵方程通过行列初等变换变化成前文2）式的形式，代入1）式后得到： --3) 其中Q-1x和Pb是一个列向量，我们可以把它们分割成rx1和(n-r)x1的两个矩阵，分别记作x’1和x’2，及b’1和b’2。则很显然我们可以得到： --4) 很显然，b’2必须为0，因为展开后b’2等于0 x’1 +0 x’2 =0 而由4式可以看出，x’1= b’1，x’2可以为任意向量。 所以方程最后的解为： --5) 从解的形式可以看出解空间有如下特性： 1．方程Ax=b的解空间的秩是n=r(A) 2．如果A是满秩的，则方程的解唯一。
矩阵基本运算及应用 牛晨晖 在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的或集合。矩阵是高等代中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、、光学和中都有应用；中，制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是领域的重要问题。将为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。 1矩阵的运算及其运算规则 1.1矩阵的加法与减法 1.1.1运算规则 设矩阵，， 则 简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！ 注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．
1.1.2运算性质 满足交换律和结合律 交换律； 结合律． 1.2矩阵与数的乘法 1.2.1运算规则 数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或．特别地，称称为的负矩阵． 1.2.2运算性质 满足结合律和分配律 结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA． 分配律：λ(A+B)=λA+λB． 1.2.3典型举例 已知两个矩阵 满足矩阵方程，求未知矩阵． 解由已知条件知
? 1.3矩阵与矩阵的乘法 1.3.1运算规则 设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵： (1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即． (2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和． 1.3.2典型例题 设矩阵 计算 解是的矩阵．设它为
城市核心竞争力的多层次评价指标 作者：未知来源：网络添加日期：10年02月06日 一、城市核心竞争力评价指标体系的建立 （一）层次体系建立 1.城市竞争力的评价指标 城市竞争力是一个混沌的系统，这些系统以其表现方式的不同可概括成两类:硬分力和软分力，其中硬分力=人才力+资本力+科技力+环境力+区位力+设施力+结构力，软分力=文化力+制度力+管理力+开放力，这样城市竞争力的框架便表示为:城市竞争力=硬分力+软分力。 2.城市核心竞争力的定义 城市核心竞争力是一座城市所具有的关键性能力，这种能力能使一座城市在某一个行业(或产业)、某一个领域取得领先地位，获得竞争优势。所以，在这些关键性领域的投入与产出比例一般要高于其他领域。 3.城市核心竞争力的评价方法 确定权重的方法很多，由于城市核心竞争力判别系统是一个多级递阶结构，采用层次分析法较为适宜。 4.建立的指标层次体系 城市核心竞争力包含软实力与硬实力两方面。前者包含有：文化力、制度力、管理力、开放力。后者包含有：人才力、资本力、科技力、环境力、区位力、设施力、结构力。 （二）层次分析方法的基本过程 1.建立层次结构模型 在这一步中，我们首先要确定目标，随后找出影响目标的几个主因，而然后在每个主因下再找出分别影响这些主因的分因。 2.构造判断矩阵
确定各层次因素之间的相对重要性并赋以相应的分值，构造出各层次中的所有判断矩阵。分值标准如上表： 3.层次单排序 对判断矩阵B，计算满足BW=λmaxW的特征根与特征向量，式中λmax 为B 的最大特征根，W 为对应于λmax 的正规化特征向量，W的分量Wi 是相应因素单排序的权值。为了检验矩阵的一致性,需要计算它的一致性指标CI，定义CI=(λmax- n) /(n- 1)。随机一致性指标RI，可查表确定。 4.层次总排序 层次总排序需要从上到下逐层顺序进行，对于最高层下面的第二层，其层次单排序即为总排序。随后对这个总的排序矩阵计算特征值与特征向量。 5.一致性检验 对总排序矩阵的计算结果仍然要进行一致性检验，方法可参考步骤（3） 二、城市核心竞争力层次评价步骤 1.建立城市核心竞争力层次结构模型 根据以上层次结构模型建立城市核心竞争力的层次结构模型，即城市核心竞争力包含软实力与硬实力两方面。前者包含有：文化力、制度力、管理力、开放力。后者包含有：人才力、资本力、科技力、环境力、区位力、设施力、结构力。 2.构造判断矩阵 首先，建立城市核心竞争力层次矩阵，设为A，其表达如下： 其次，细化硬实力矩阵，设为B1，表达如下：
第3章 矩阵及其运算 3.1 基本要求、重点难点 基本要求： 1．1．掌握矩阵的定义. 2．2．掌握矩阵的运算法则. 3．3．掌握伴随矩阵的概念及利用伴随矩阵求逆矩阵的方法. 4．4．掌握矩阵秩的概念及求矩阵秩的方法. 5．5． 掌握初等变换和初等矩阵的概念，能够利用初等变换计算矩阵的秩，求可逆矩阵的逆矩阵. 6．6．掌握线形方程组有解得判定定理及其初等变换解线形方程组的方法. 重点难点：重点是矩阵定义，矩阵乘法运算，逆矩阵的求法，矩阵的秩，初等 变换及线性方程组的解. 难点是矩阵乘法，求逆矩阵的伴随矩阵方法. 3.2 基本内容 3.2.1 3.2.1 重要定义 定义3.1 由n m ?个数)2,1;,2,1(n j m i a ij ==组成的m 行n 列的数表成为一个m 行n 列矩阵，记为 ????????????mn m m n n a a a a a a a a a 2122221 11211 简记为A n m ij a ?=)(，或A )(ij a =,n m A ?,mn A 注意行列式与矩阵的区别： （1） （1） 行列式是一个数，而矩阵是一个数表. （2） （2） 行列式的行数、列数一定相同，但矩阵的行数、列数不一定相 同. （3） （3） 一个数乘以行列式，等于这个数乘以行列式的某行（或列）的所有元素，而一个数乘以矩阵等于这个数乘以矩阵的所有元素. （4） （4） 两个行列式相等只要它们表示的数值相等即可，而两个矩阵相等则要求两个矩阵对应元素相等. （5） （5） 当0||≠A 时，||1A 有意义，而A 1 无意义.
n m =的矩阵叫做阶方阵或m 阶方阵.一阶方阵在书写时不写括号，它在 运算中可看做一个数. 对角线以下（上）元素都是0的矩阵叫上（下）三角矩阵，既是上三角阵， 又是下三角的矩阵，也就是除对角线以外的元素全是0的矩阵叫对角矩阵.在对角矩阵中，对角线上元素全一样的矩阵叫数量矩阵；数量矩阵中，对角线元素全是1的n 阶矩阵叫n 阶单位矩阵，常记为n E （或n I ），简记为E （或I ），元素都是0的矩阵叫零矩阵，记为n m 0?，或简记为0. 行和列分别相等的两个矩阵叫做同型矩阵，两个同型矩阵的且对应位置上的 元素分别相等的矩阵叫做相等矩阵. 设有矩阵A =n m ij a ?)(，则A -n m ij a ?-=)(称为A 的负矩阵. 若A 是方阵，则保持相对元素不变而得到的行列式称为方针A 的行列式，记 为||A 或A Det . 将矩阵A 的行列式互换所得到的矩阵为A 的转置矩阵，记为T A 或A '. 若方阵A 满足A A T =，则称A 为对称矩阵，若方阵A 满足A A T -=，则称A 为反对称矩阵. 若矩阵的元素都是实数，则矩阵称为实矩阵.若矩阵的元素含有复数，则称矩 阵为复矩阵，若A =n m ij a ?)(是复矩阵，则称矩阵n m ij a ?)(（其中ij a 为ij a 的共轭矩阵，记为A n m ij a ?=)(. 定义3.2 对于n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==，则 称方阵A 可逆，B 称为A 的逆矩阵，记做1-=A B . 对于方阵A n m ij a ?=)(，设ij a 的代数余子式为ij A ，则矩阵 *A ????????????=nm n n n n A A A A A A A A A 2122212 12111 称为A 的伴随矩阵，要注意伴随矩阵中元素的位置. 定义3.3 设有矩阵A ，如果： （1） （1） 在A 中有一个r 阶子式D 不为零.
16入8出矩阵控制器的调试方法 1、矩阵控制器的接口认识 VIDEO-IN 视频信号输入 VIDEO-OUT 视频信号输出 VIDEO-IR 环路输出（相当于视频分支器） AUDIO-IN 音频输入 ARM 报警模块，本系统报警模块有16路报警输入合2路报警联动输出2、控制数据线的连接 CODE1:主要用于连接键盘、报警主机、多媒体控制器等设备 CODE2:主要用于连接解码器、智能高速球、码分配器、码转换器等设备 CODE3:主要用于连接网络矩阵 CODE4:主要用于连接计算机、DVR等设备 3、矩阵控制器的功能 A、视频切换控制 矩阵系统的中央处理模块控制所有摄像机输入和监视器输出的视频切换。切换可通过键盘的操作、或执行系统切换队列、或报警的自动响应功能等来控制； B、系统切换（自由切换、程序切换、群组切换、报警切换）； C、报警响应（当接收到报警信号时，切换摄像机输入到指定监视器上面去）； D、屏幕显示 在监视器屏幕上显示摄像机标题、日期、状态和标识，硬盘录象机本身提供了该功能，但矩阵控制器上的图象通常没有经过硬盘录象机，必须通过矩阵控制器进行字符叠加； E、摄像机控制 F、优先级别权限（大型矩阵系统当中会有多个键盘，可以设定每个键盘的权限，允许响应高级别的用户去控制摄像机而不响应低级别用户） G、系统分区 键盘对监视器的分区、监视器对摄像机的分区、键盘对摄像机的分区、键盘对报警点控制的分区 H、菜单设置
由菜单提供了系统设置和编程功能。菜单直接显示在第一好监视器上； I、数据保存（编程数据可保存10年以上） 4、矩阵系统的操作 4.1 键盘密码登陆LOCK+0000+OFF 4.2 键盘密码锁定LOCK+0000+ON 4.3 修改键盘密码（置键盘开关至PROG，输入4位密码，按键盘上LOCK，再按键盘上ACK，置键盘开关到OFF） 4.4 指定监视器数字＋MON 4.5 在指定监视器上显示指定图象数字＋CAM 4.6 云台的控制直接通过摇杆转动，摇杆在中间位置时，云台不转动，云台自动巡航键盘输入0＋AUX+ON 云台停止巡航0+AUX+OFF 4.7 镜头的控制键盘上CLOSE/OPEN,控制光圈，NEAR/FAR 控制变倍，WIDE/TELE 控制聚焦 4.8 高速球预置位设置键盘开关调整到PROG 调整到需要设置的预置位角度图象，输入该预置点序号，按键盘上SHOT+ON,转动PROG到OFF状态 4.9 关闭某个预置位调整键盘开关到PROG 输入预置位序号＋SHOT+OFF，调整键盘开关到OFF 4.10 调用预置位输入预置位序号＋SHOT+ACK 4.11 设置巡视队列键盘输入PATRN+ON+预置位序号＋SHOT+预置位序号＋SHOT＋SHOT+预置位序号＋SHOT+预置位序号＋SHOT+预置位序号+OFF 4.12 运行巡航队列巡航队列号＋PATRN+ACK 5、切换方式选择 5.1 系统自由切换经过适当的编程，按键盘0+RUN，可在监视器上显示一组指定的视频输入，每个视频输入显示一段设定的时间（不常用）键盘输入数字＋TIME,设置每个画面停留的时间，输入指定的摄像机序号＋ON+摄像机序号＋ON＋OFF 5.2 系统程序切换通过菜单编程，能在监视器上自动地按照顺序显示一列指定的视频输入，每个视频停留一段时间；调用方式——程序切换序号＋RUN 5.3 同步切换通过菜单编程，将一组摄像机图象顺序地切换到一组设定的监视
一、矩阵的线性运算 定义1 设有两个矩阵和,矩阵与的和记作, 规定为 注：只有两个矩阵是同型矩阵时，才能进行矩阵的加法运算. 两个同型矩阵的和，即为两个矩阵对应位置元素相加得到的矩阵. 设矩阵记 , 称为矩阵的负矩阵, 显然有 . 由此规定矩阵的减法为 . 定义2 数与矩阵A的乘积记作或, 规定为 数与矩阵的乘积运算称为数乘运算. 矩阵的加法与矩阵的数乘两种运算统称为矩阵的线性运算. 它满足下列运算规律：设都是同型矩阵，是常数，则 (1) (2) ; (3) (4) (5) (6) (7) (8) 注：在数学中，把满足上述八条规律的运算称为线性运算. 二、矩阵的相乘 定义3设 矩阵与矩阵的乘积记作, 规定为
其中，( 记号常读作左乘或右乘. 注: 只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时, 两个矩阵才能进行乘法运算. 若，则矩阵的元素即为矩阵的第行元素与矩阵的第列对应元素乘积的和. 即 . 矩阵的乘法满足下列运算规律(假定运算都是可行的)： （1） （2） （3） （4） 注: 矩阵的乘法一般不满足交换律, 即 例如, 设则 而 于是且 从上例还可看出: 两个非零矩阵相乘, 可能是零矩阵, 故不能从必然推出 或 此外, 矩阵乘法一般也不满足消去律,即不能从必然推出例如, 设 则 但 定义4如果两矩阵相乘, 有 则称矩阵A与矩阵B可交换.简称A与B可换. 注：对于单位矩阵, 容易证明 或简写成 可见单位矩阵在矩阵的乘法中的作用类似于数1. 更进一步我们有 命题1设是一个n阶矩阵，则是一个数量矩阵的充分必要条件是与任何n阶矩阵可换。
命题2设均为n阶矩阵，则下列命题等价： （1） （2） （3） （4） 三、线性方程组的矩阵表示 设有线性方程组 若记 则利用矩阵的乘法, 线性方程组(1)可表示为矩阵形式： (2) 其中矩阵称为线性方程组(1)的系数矩阵. 方程(2)又称为矩阵方程. 如果是方程组(1)的解, 记列矩阵 则 ， 这时也称是矩阵方程(2)的解; 反之, 如果列矩阵是矩阵方程(2)的解, 即有矩阵等式 成立, 则即也是线性方程组(1)的解. 这样, 对线性方程组(1)的讨论便等价于对矩阵方程(2)的讨论. 特别地, 齐次线性方程组可以表示为 将线性方程组写成矩阵方程的形式，不仅书写方便，而且可以把线性方程组的理论与矩阵理论联系起来，这给线性方程组的讨论带来很大的便利. 四、矩阵的转置 定义6把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵, 称为的转置矩阵, 记作(或 ). 即若 则
Dhaval Shroff1, Harsh Nangalia1, Akash Metawala1, Mayur Parulekar1, Viraj Padte1 Research and Innovation Center Dwarkadas J. Sanghvi College of Engineering Mumbai, India. dhaval92shroff@https://www.doczj.com/doc/177557550.html,; mvparulekar@https://www.doczj.com/doc/177557550.html, Abstract—Dynamic matrix and model predictive control in a car aims at vehicle localization in order to avoid collisions by providing computational control for driver assistance whichprevents car crashes by taking control of the car away from the driver on incidences of driver’s negligence or distraction. This paper provides ways in which the vehicle’s position with reference to the surrounding objects and the vehicle’s dynamic movement parameters are synchronized and stored in dynamic matrices with samples at regular instants and hence predict the behavior of the car’s surrounding to provide the drivers and the passengers with a driving experience that eliminates any reflex braking or steering reactions and tedious driving in traffic conditions or at junctions.It aims at taking corrective action based on the feedback available from the closed loop system which is recursively accessed by the central controller of the car and it controls the propulsion and steeringand provides a greater restoring force to move the vehicle to a safer region.Our work is towards the development of an application for the DSRC framework (Dedicated Short Range Communication for Inter-Vehicular Communication) by US Department of Traffic (DoT) and DARPA (Defense Advanced Research Projects Agency) and European Commission- funded Project SAVE-U (Sensors and System Architecture for Vulnerable road Users Protection) and is a step towards Intelligent Transportation Systems such as Autonomous Unmanned Ground and Aerial Vehicular systems. Keywords-Driver assist, Model predictive control, Multi-vehicle co-operation, Dynamic matrix control, Self-mapping I.INTRODUCTION Driver assist technologies aim at reducing the driver stress and fatigue, enhance his/her vigilance, and perception of the environment around the vehicle. It compensates for the driver’s ability to react [6].In this paper, we present experimental results obtained in the process of developing a consumer car based on the initiative of US DoT for the need for safe vehicular movement to reduce fatalities due to accidents [5]. We aim at developing computational assist for the car using the surrounding map data obtained by the LiDAR (Light Detection and Ranging) sensors which is evaluated and specific commands are issued to the vehicle’s propellers to avoid static and dynamic obstacles. This is also an initiative by the Volvo car company [1] where they plan to drive some of these control systems in their cars and trucks by 2020 and by General Motors, which aims to implement semi-autonomous control in cars for consumers by the end of this decade [18].Developments in wireless and mobile communication technologies are advancing methods for ex- changing driving information between vehicles and roadside infrastructures to improve driving safety and efficiency [3]. We attempt to implement multi-vehicle co-operative communication using the principle of swarm robotics, which will not only prevent collisions but also define specific patterns, which the nearby cars can form and pass through any patch of road without causing traffic jams. The position of the car and the position of the obstacles in its path, static or moving, will be updated in real time for every sampling point and stored in constantly updated matrices using the algorithm of dynamic matrix control. Comparing the sequence of previous outputs available with change in time and the inputs given to the car, we can predict its non-linear behavior with the help of model predictive control. One of the advantages of predictive control is that if the future evolution of the reference is known priori, the system can react before the change has effectively been made, thus avoiding the effects of delay in the process response [16]. We propose an approach in which human driving behavior is modeled as a hybrid automation, in which the mode is unknown and represents primitive driving dynamics such as braking and acceleration. On the basis of this hybrid model, the vehicles equipped with the cooperative active safety system estimate in real-time the current driving mode of non-communicating human-driven vehicles and exploit this information to establish least restrictive safe control actions [13].For each current mode uncertainty, a mode dependent dynamic matrix is constructed, which determines the set of all continuous states that lead to an unsafe configuration for the given mode uncertainty. Then a feedback is obtained for different uncertainties and corrective action is applied accordingly [7].This ITS (Intelligent Transport System) -equipped car engages in a sort of game-theoretic decision, in which it uses information from its onboard sensors as well as roadside and traffic-light sensors to try to predict what the other car will do, reacting accordingly to prevent a crash.When both cars are ITS-equipped, the “game” becomes a cooperative one, with both cars communicating their positions and working together to avoid a collision [19]. The focus is to improve the reaction time and the speed of communication along with more accurate vehicle localization. In this paper, we concentrate on improving vehicle localization using model predictive control and dynamic matrix control algorithm by sampling inputs of the car such as velocity, steering frame angle, self-created maps Dynamic Matrix and Model Predictive Control for a Semi-Auto Pilot Car
§8矩阵多项式与多项式矩阵 设A 是n 阶阵，则为矩阵A 的特征多项式 事实上，n n n n a a a A E f ++++=-=--λλλλλ111)( 因此有 一、Hamilton -Cayley Th （哈密顿—开莱） Th 2.每个n 阶矩阵A ，都是其特征多项式的根，即 0111=++++--E a A a A a A n n n n （矩阵） 注：该定理旨在用于：当一个n 阶矩阵的多项式次数高于n 次时，则可用该定理将它化为次数小于n 的多项式来计算。 eg 1.设???? ? ??-=010110201A 试计算E A A A A A 432)(2458-++-=? 解：A 的特征多项式为 12)(23+-=-=λλλλA E f 取多项式432)(2 458-++-=λλλλλ? )()()149542(235λλλλλλr f +?-+-+= 余项103724)(2+-=λλλr 由上定理0)(=A f ???? ? ??----=+-==∴346106195026483103724)()(2E A A A r A ? Df 2.一般地，设)(λ?是多项式，A 为方阵，若0)(=A ?，则称)(λ?是矩阵A 的零化多项式。 根据定义：每个矩阵都有其零化多项式，即A E f -=λλ)( Df 3.设A 是n 阶矩阵，则的首项系数为1的次数最小的零化多项式)(λm ，称为A 的最小多项式。 显然：①矩阵A 的零化多项式都被其最小多项式整除。 ②矩阵A 的最小多项式是唯一的 Th 3.矩阵A 的最小多项式的根必是A 的特征根；反之，A 的特征根也必是A 的最小多项式的根——特征多项式与最小多项式之间的关系。 由此可得，求最小多项式的一个方法： 设n n C A ?∈，其所有不同的特征值为s λλλ,,,21 ，则其特征多项式为ks s k k A E f )()()()(2121λλλλλλλλ---=-=
clear all; %A=LU矩阵三角分解法 n=input('输入方矩阵的维数: '); for i=1:n for j=1:n A(i,j)=input('依次输入矩阵元素：'); end end %输入一个n阶方形矩阵 for j=1:n L(j,j)=1; %Doolittle分解，L对角元素全为1 end for j=1:n U(1,j)=A(1,j); end %U的第一行 for i=2:n L(i,1)=A(i,1)/U(1,1); end %L的第一列 for k=2:n for j=k:n sum1=0; for m=1:k-1 sum1=sum1+L(k,m)*U(m,j); end %求和 U(k,j)=A(k,j)-sum1; end for i=k+1:n sum2=0; for m=1:k-1 sum2=sum2+L(i,m)*U(m,k); end %求和 L(i,k)=(A(i,k)-sum2)/U(k,k); end end L %输出下三角矩阵L U %输出上三角矩阵U
运行结果：（示例） 输入方矩阵的维数: 4 依次输入矩阵元素： 1 依次输入矩阵元素： 1 依次输入矩阵元素： 2 依次输入矩阵元素： 3 依次输入矩阵元素：0 依次输入矩阵元素： 2 依次输入矩阵元素： 1 依次输入矩阵元素： 2 依次输入矩阵元素： 1 依次输入矩阵元素：-1 依次输入矩阵元素： 2 依次输入矩阵元素： 2 依次输入矩阵元素： 2 依次输入矩阵元素： 2 依次输入矩阵元素： 5 依次输入矩阵元素：9 A=LU分解后则可以求解Ax=b线性方程组，相关计算参考计算方法，这里不再详细介绍。
矩阵基本运算及应用 201700060牛晨晖 在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的或集合。矩阵是高等代中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、、光学和中都有应用；中，制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是领域的重要问题。将为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。 1矩阵的运算及其运算规则 1.1矩阵的加法与减法 1.1.1运算规则 设矩阵，， 则
简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！ 注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的． 1.1.2运算性质 满足交换律和结合律 交换律； 结合律． 1.2矩阵与数的乘法 1.2.1运算规则 数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或． 特别地，称称为的负矩阵． 1.2.2运算性质 满足结合律和分配律
结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA． 分配律：λ(A+B)=λA+λB． 1.2.3典型举例 已知两个矩阵 满足矩阵方程，求未知矩阵． 解由已知条件知 1.3矩阵与矩阵的乘法 1.3.1运算规则 设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵： (1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即 ．
(2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和． 1.3.2典型例题 设矩阵 计算 解是的矩阵．设它为 可得结论1：只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数；结论2在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在与均有意义时，也未必有=成立．可见矩阵乘法不满足交换律；结论3方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即． 1.3.3运算性质（假设运算都是可行的）
MATLAB 环境下动态矩阵控制实验 一 算法实现 设某工业对象的传递函数为：G P (s)=e -80s /(60s+1)，采用DMC 后的动态特性如图1所示。在仿真时采样周期T=20s ，优化时域P=10，控制时域M=2，建模时域N=20。 MATLAB 程序1： g=poly2tfd(1,[60 1],0,80);%通用传递函数模型转换为MPC 传递函数模型 delt=20; %采样周期 nt=1; %输出稳定性向量 tfinal=1000; %截断时间 model=tfd2step(tfinal,delt,nt,g);%传递函数模型转换为阶跃响应模型 plant=model; %进行模型预测控制器设计 p=10; %优化时域 m=2; %控制时域 ywt=[];uwt=1; %设置输入约束和参考轨迹等控制器参数 kmpc=mpccon(plant,ywt,uwt,m,p);%模型预测控制器增益矩阵计算 tend=1000;r=1; %仿真时间 [y,u,yrn]=mpcsim(plant,model,kmpc,tend,r);%模型预测控制仿真 t=0:20:1000; plot(t,y) xlabel('图1 DMC 控制系统的动态阶跃响应曲线(time/s)'); ylabel('响应曲线'); 0100 2003004005006007008009001000 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 图1 DMC 控制系统的动态阶跃响应曲线(time/s) 响应曲线 图中曲线为用DMC 控制后系统的阶跃响应曲线。从图中可以看出：采用DMC 控制后系统的调整时间小，响应的快速性好，而且系统的响应无超调。该结果是令人满意的。
矩阵的定义及其运算规则 1、矩阵的定义 一般而言，所谓矩阵就是由一组数的全体，在括号（）内排列成m行n 列（横的称行，纵的称列）的一个数表，并称它为m×n阵。 矩阵通常是用大写字母 A 、B …来表示。例如一个m 行n 列的矩阵可以简记为： ，或 。即： （2-3） 我们称（2-3）式中的为矩阵A的元素，a的第一个注脚字母，表示矩阵的行数，第二个注脚字母j（j＝1，2，…，n）表示矩阵的列数。 当m＝n时，则称为n阶方阵，并用表示。当矩阵（a ij）的元素仅有一行或一列时，则称它为行矩阵或列矩阵。设两个矩阵，有相同的行数和相同的列数，而且它们的对应元素一一相等，即，则称该两矩阵相等，记为A＝B。 2、三角形矩阵 由i＝j的元素组成的对角线为主对角线，构成这个主对角线的元素称为主对角线元素。 如果在方阵中主对角线一侧的元素全为零，而另外一侧的元素不为零或不全为零，则该矩阵叫做三角形矩阵。例如，以下矩阵都是三角形矩阵： ，，，。 3、单位矩阵与零矩阵 在方阵中，如果只有的元素不等于零，而其他元素全为零，如： 则称为对角矩阵，可记为。如果在对角矩阵中所有的彼此
都相等且均为1，如：，则称为单位矩阵。单位矩阵常用E来表示，即： 当矩阵中所有的元素都等于零时，叫做零矩阵，并用符号“0”来表示。 4、矩阵的加法 矩阵A＝（a ij）m×n和B＝（b ij）m×n相加时，必须要有相同的行数和列数。如以C＝（c ij）表示矩阵A及B的和，则有： m ×n 式中：。即矩阵C的元素等于矩阵A和B的对应元素之和。 由上述定义可知，矩阵的加法具有下列性质（设A、B、C都是m×n矩阵）： （1）交换律：A＋B＝B＋A （2）结合律：（A＋B）＋C＝A＋（B＋C） 5、数与矩阵的乘法 我们定义用k右乘矩阵A或左乘矩阵A，其积均等于矩阵中的所有元素都乘上k之后所得的矩阵。如： 由上述定义可知，数与矩阵相乘具有下列性质：设A、B都是m×n矩阵，k、h为任意常数，则： （1）k（A＋B）＝kA＋kB （2）（k＋h）A＝kA＋hA （3）k（hA）＝khA
安徽大学 本科毕业论文（设计） （内封面） 题目：预测控制中动态矩阵控制DMC算法研究 学生姓名：张汪兵学号：P4*******院（系）：电子科学与技术学院专业：自动化 入学时间：2006年9月导师姓名：张倩职称/学位：硕士 导师所在单位：安徽大学电子科学与技术学院
预测控制中动态矩阵控制DMC算法研究及仿真 摘要：动态矩阵控制（dynamic matrix control, DMC）算法是一种基于对象阶跃响应预测模型、滚动实施并结合反馈校正的优化控制算法，是预测控制算法之一。本文阐述了预测控制的产生、发展及应用，进一步介绍动态矩阵控制算法的产生和现状，就当前动态矩阵控制算法在实际工业控制领域中发展应用现状以及今后可能的研究发展方向作了分析。并对动态矩阵控制的算法作了推导，在理论依据方面给予证明。可是在实际工业控制领域中，大多数被控对象都是多变量的，本文通过对该算法作了有约束、多变量两方面的改进，使该算法实际应用性更强。文章还对该算法进行了 matlab 仿真，并对仿真结果进行分析研究，予以验证。 关键词：预测，动态矩阵控制，模型，反馈矫正，有约束，多变量。 Forecast for control of Dynamic Matrix Control DMC algorithm Abstract Dynamic Matrix Control (dynamic matrix control, DMC) algorithm is a step response based on the object prediction model, and rolling implementation and optimization of the feedback correction control algorithm, is one of predictive control algorithms. This paper describes the control forecast the rise, development and application of further information on Dynamic Matrix Control algorithm and the formation of the status quo on the current dynamic matrix control algorithm in the actual control in the field of industrial development and possible future application of the research and development direction of an analysis. Dynamic Matrix Control and the algorithm is derived, in terms of the theoretical basis for that. But in practice in the field of industrial control, the majority of objects are charged with multiple variables, the paper through the binding of the algorithm, two more variables in the promotion and improvement of the algorithm so that a more practical application. The article also has the algorithm matlab simulation, and analysis of simulation results to be verified. Key words: forecasting; dynamic matrix control; model; feedback correction; binding; multivariable