伯努利分布参数p的区间估计_F分布法

伯努利分布参数p 的区间估计_F 分布法

本文基于Wolfram Mathematica 9,在证明伯努利分布与二项分布的关系、

二项分布与F 分布关系的基础上，给出了伯努得分布参数p 的经典等尾置信区间和区间长度，以及最短置信区间和区间长度的求法，并通过程序实现。

定理一：n 个独立同伯努利分布B p 的和服从二项分布B n,p ：

CharacteristicFunction BinomialDistribution n,p ,t

CharacteristicFunction BernoulliDistribution p ,t n

1 p t p

n 1 p t p

n

0定理二：二项分布B n,p 与F 分布F n 1,m 的分布函数分别记为F B n,p k 和F F n 1,m x ,则有F B n,p k F F 2 n k ,2 k 1

。

In[101]:=Assuming n 0&&0 p 1&&k Integers &&0 k n,CDF BinomialDistribution n,p ,k

Assuming n 0&&0 p 1&&k Integers &&0 k n,

CDF FRatioDistribution 2 n k ,2 k 1 ,k 1n k 1 p

p FullSimplify FullSimplify ,k Integers &&0 k n &&0 p 1

Out[101]=BetaRegularized 1 p,n Floor k ,1 Floor k 0 k n 1k n

0True

Out[102]=

BetaRegularized 1 p, k n,1 k 1 k k n 1 p p 00True Out[103]=0

推论：由F 分布的性质知F F Α,Β p 1

F Β,Α

,

从而得F B n,p k F F

2 n k ,2 k 1

1 F F

2 k 1 ,2 n k 。伯努利分布B p 参数p 的经典置信区间：

设X 1,X 2, ,X n 为伯努利分布B p 总体的一个i.i.d.n 为样本容量，

k i 1n

X i 为成功数，根据定理一，知k B n,p 。

参数p 的置信水平为1 Α的经典等尾置信区间的下限和上限由F B n,p k 1

1 Α Β和F B n,p k Β决定，其中0 Β Α。根据定理二及其推论，得到

F B n,p k 1

第1章 多元正态分布的参数估计

1 第一章 多元正态分布的参数估计 一、填空题 1.设X 、Y 为两个随机向量，对一切的u 、v ，有 ，则称X 与Y 相互独立。 2.多元分析处理的数据一般都属于 数据。 3．多元正态向量()' =p X X X ,,1 的协方差阵∑是 ，则X 的各分量是相互独立的随机变量。 4．一个p 元函数() p x x x f ,,,21 能作为p R 中某个随机向量的密度函数的主要条件是 和 。 5．若p 个随机变量1X ，2X ， ，p X 的联合分布等于 ，则称1X ， 2X ， ，p X 是相互独立的。 6.多元正态分布的任何边缘分布为 。 7.若()∑,~μp N X ，A 为p s ?阶常数阵，d 为s 维常数向量，则~d AX + 。 8.多元正态向量X 的任何一个分量子集的分布称为X 的 。 9.多元样本中，不同样品的观测值之间一定是 。 10.多元正态总体均值向量和协差阵的极大似然估计量分别是 。 11.多元正态总体均值向量μ和协差阵∑的估计量X 、 S n 1 1-具有 、 和 。 12．设X 和S 分别是多元正态总体()∑,μp N 的样本均值向量和离差阵，则 ~X ，X 和S 。 13.若()()∑,~μαp N X ，n ,,2,1 =α且相互独立，则样本离差阵 ()()()()∑='--=n X X X X S 1~ααα 。 14．若()∑,~i p i n W S ，k i ,,1 =，且相互独立，则~21k S S S S +++= 。 二、判断题 1.多元分布函数()x F 是单调不减函数，而且是右连续的。 2.设X 是p 维随机向量，则X 服从多元正态分布的充要条件是：它的任何组合()p R X ∈'αα都是一元正态分布。 3.μ是一个P 维的均值向量，当A 、B 为常数矩阵时，具有如下性质： （1）E （AX ）=AE （X ） （2）E （AXB ）=AE （X ）B 4．若P 个随机变量X 1，…X P 的联合分布等于各自边缘分布的乘积，则称X 1，… X P 是相互独立的。 5．一般情况下，对任何随机向量()'=X X X p ,,1 ，协差阵∑是对称阵，也 是正定阵。 6．多元正态向量()'=X X X p ,,1 的任意线性变换仍然服从多元正态分布。 7．多元正态分布的任何边缘分布为正态分布，反之一样。 8．多元样本中，不同样品之间的观测值一定是相互独立的。 9．多元正态总体参数均值μ的估计量X 具有无偏性、有效性和一致性。 10． S n 1是∑的无偏估计。

厦门大学《应用多元统计分析》习题第02章 多元正态分布的参数估计

思考与练习 2.1 试述多元联合分布和边缘分布之间的关系。 2.2 设随机向量12(,)X X ′=X 服从二元正态分布，写出其联合分布密度函数和1X 、2X 各自的边缘密度函数。 2.3 已知随机向量12(,)X X ′=X 的联合分布密度函数为： ()()()()()()()()() 121122 2 22,d c x a b a x c x a x c f x x b a d c ??+?????2???? = ?? 其中，。求： 12,a x b c x d ≤≤≤≤⑴ 随机变量1X 和2X 各自的边缘密度函数、均值与方差。 ⑵ 随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数。 ⑶ 判断1X 和2X 是否相互独立。 2.4 设随机向量12(,,,)p X X X ′=X L 服从正态分布，已知其协差阵为对角阵，证明ΣX 的分量是相互独立的随机变量。 2.5 从某企业全部职工中随机抽取一个容量为6的样本，该样本中各职工的目前工资、受教育年限、初始工资和工作经验资料如下表所示： 职工编号 目前工资 （美元） 受教育年限（年） 初始工资 （美元） 工作经验（月） 1

1 2 3 4 5 6 57,000 40,200 21,450 21,900 45,000 28,350 15 16 12 8 15 8 27,000 18,750 12,000 13,200 21,000 12,000 144 36 381 190 138 26 设职工总体的以上变量服从多元正态分布，根据样本资料求出均值向量和协差阵的最大似然估计。 2.6 均值向量和协差阵的最大似然估计量具有哪些优良性质？ 2.7 试证多元正态总体的样本均值向量(,)p N μΣ1 ~(, p N n X μΣ)。 2.8 试证多元正态总体的样本协差阵S 为(,)p N μΣΣ的无偏估计。 2.9 设()1x 、()2x 、…、()n x 是从多元正态总体中独立抽取的一个随机样本，试求样本协差阵的分布。 (,)p N μΣS 2.10 设()i i X n p ×是来自(),p i i N μΣ的数据阵，1,,i k =L ， ⑴ 已知1k ===μμμL 且1k ===ΣΣL Σ，求μ和的估计。 Σ⑵ 已知1k ===ΣΣL Σ，求1,,k μμL 和Σ的估计。 2

货币效用函数辨析

货币效用函数辨析 内容摘要：货币的边际效用递减理论源自于著名数学家Daniel Bernoulli（1738）为解决“圣彼得堡悖论”而提出的效用函数解决方案。然而，王文辉在《圣彼得堡悖论新解与不确定性估值》中证明了Bernoulli的效用函数解决方案是不成立的，因此，货币的边际效用递减是颇值得怀疑的。本文对传统效用理论进行了更深入的分析和阐述，得到了一个效用函数族，并且首次提出了“效用阈限漂移”现象。进而通过理论和实验两方面证明了货币的边际效用并非是单调递减的，而且效用函数与人们的风险偏好没有任何关系，从而纠正了微观金融经济学基础理论中长期存在的误区，为新的研究开辟了方向。 关键词：边际效用，效用函数，风险偏好，风险厌恶 1.传统效用及效用函数理论回顾 1.1贝努利与圣彼得堡悖论――最初的肇始 著名数学家丹尼尔.贝努利（Bernoulli, D. 1738）于1738年提出了货币的边际效用递减理论，其目的在于解决“圣彼得堡悖论”。“圣彼得堡悖论”来自于一种掷币游戏，即圣彼得堡游戏。设定掷币掷出正面为成功，游戏者如果第一次投掷成功，得奖金2元，游戏结束；第一次若不成功，继续投掷，第二次成功得奖金4元，游戏结束；这样，游戏者如果投掷不成功就反复继续投掷，直到成功，游戏结束。如果第n次投掷成功，得奖金2n元，游戏结束。由于各个结果之间是相互独立的，因此游戏的期望收益为所有可能结果的得奖期望值之和： 1111 ()2482 2482n n E=?+?+?++?+ 这是无数个1求和，等于无穷大。由于游戏的次数没有限制，该游戏的数学期望值是无限的。问题是人们对于参加这样一个理论上收益的数学期望无穷大的‘游戏’会支付多少费用呢？试验表明，大多数人只准备支付几元参加这一游戏。人们对参与这种游戏所愿支付的有限费用与其无穷数学期望之间的矛盾就构成了所谓的“圣彼得堡悖论”。 贝努利对于这个问题给出一种解决办法，他认为人们真正关心的是货币的效用而非它的价值量；而且额外货币增加提供的额外效用，会随着奖励的价值量的增加而减少，即后来广为流传的“货币边际效用递减律”。 贝努利将货币的效用测度函数用货币值的对数来表示，从而所有结果的效用

伯努利分布参数p的区间估计_F分布法

伯努利分布参数p 的区间估计_F 分布法 本文基于Wolfram Mathematica 9,在证明伯努利分布与二项分布的关系、 二项分布与F 分布关系的基础上，给出了伯努得分布参数p 的经典等尾置信区间和区间长度，以及最短置信区间和区间长度的求法，并通过程序实现。 定理一：n 个独立同伯努利分布B p 的和服从二项分布B n,p ： CharacteristicFunction BinomialDistribution n,p ,t CharacteristicFunction BernoulliDistribution p ,t n 1 p t p n 1 p t p n 0定理二：二项分布B n,p 与F 分布F n 1,m 的分布函数分别记为F B n,p k 和F F n 1,m x ,则有F B n,p k F F 2 n k ,2 k 1 。 In[101]:=Assuming n 0&&0 p 1&&k Integers &&0 k n,CDF BinomialDistribution n,p ,k Assuming n 0&&0 p 1&&k Integers &&0 k n, CDF FRatioDistribution 2 n k ,2 k 1 ,k 1n k 1 p p FullSimplify FullSimplify ,k Integers &&0 k n &&0 p 1 Out[101]=BetaRegularized 1 p,n Floor k ,1 Floor k 0 k n 1k n 0True Out[102]= BetaRegularized 1 p, k n,1 k 1 k k n 1 p p 00True Out[103]=0 推论：由F 分布的性质知F F Α,Β p 1 F Β,Α , 从而得F B n,p k F F 2 n k ,2 k 1 1 F F 2 k 1 ,2 n k 。伯努利分布B p 参数p 的经典置信区间： 设X 1,X 2, ,X n 为伯努利分布B p 总体的一个i.i.d.n 为样本容量， k i 1n X i 为成功数，根据定理一，知k B n,p 。 参数p 的置信水平为1 Α的经典等尾置信区间的下限和上限由F B n,p k 1 1 Α Β和F B n,p k Β决定，其中0 Β Α。根据定理二及其推论，得到 F B n,p k 1

练习一多元正态分布的参数估计(精)

练习一 多元正态分布的参数估计 1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。 2.设二维随机向量12()X X '服从二元正态分布，写出其联合分布。 3.已知随机向量1 2()X X '的联合密度函数为 12121222 2[()()()()2()()] (,)()()d c x a b a x c x a x c f x x b a d c --+-----= -- 其中1a x b ≤≤，2c x d ≤≤。求 （1）随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数； （3）判断1X 和2X 是否相互独立。 4.设12(,,)p X X X X '= 服从正态分布，已知其协方差矩阵∑为对角阵，证明其分量是相互独立的随机变量。 5. 影响粮食产量的因素很多, 大致可分为三个层次：第一层次是宏观因素。主要有三种，一是制度创新, 如20世纪50年代初的土地改革、60年代初的“ 三自一包”和 80年代初的联产承包责任制和现行的粮食直补及税费改革等。二是政策导向, 如收购政策及价格、市场政策结构调整、储备政策、财政投人、政府抓粮食生产的力度等。三是科技进步,如良种的培育、播种技术的改进、机械化程度的提高等等, 特别是杂交水稻的发明, 是粮食生产的一次绿色革命, 大大地提高了粮食单位面积产量。第二层次是中观因素。主要有粮食播种面积、单位面积产量、受灾面积等等, 这些因素是影响粮食产量的直接因素。第三层次是微观因素, 主要有有效灌溉面积、化肥施用量、农业机械化程度、财政三项投入等。为了分析粮食产量的影响因素及其影响程度,将用1978一2007年的统计数据进行分析。其中：Y 是粮食产量(万吨),X1是农业化肥试用量(万吨),X2是粮食播种面积(千公顷),X3是成灾面积(千公顷),X4是农业劳动力(万人),X5是农业机械总动力(万千瓦)。

参数估计练习题

第七章参数估计练习题 一．选择题 1. 估计量的含义是指（） A. 用来估计总体参数的统计量的名称 B. 用来估计总体参数的统计量的具体数值 C．总体参数的名称 D．总体参数的具体取值 2．一个95%的置信区间是指（） A. 总体参数有95%的概率落在这一区间内 B. 总体参数有5%的概率未落在这一区间内 C. 在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间包含该总体参数。 D. 在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间不包含该总体参数。 %的置信水平是指（） A. 总体参数落在一个特定的样本所构造的区间内的概率是95% B．在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间比例为95% C．总体参数落在一个特定的样本所构造的区间内的概率是5% D．在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间比例为5% 4. 根据一个具体的样本求出的总体均值的95%的置信区间（） A．以95%的概率包含总体均值 B．有5%的可能性包含总体均值 C. 一定包含总体均值 D．要么包含总体均值，要么不包含总体均值 5. 当样本量一定时，置信区间的宽度（） A.随着置信水平的增大而减小 B. .随着置信水平的增大而增大 C．与置信水平的大小无关D。与置信水平的平方成反比 6. 当置信水平一定时，置信区间的宽度（） A.随着样本量的增大而减小 B. .随着样本量的增大而增大 C．与样本量的大小无关D。与样本量的平方根成正比 7. 在参数估计中，要求通过样本的统计量来估计总体参数，评价统计量的标准之一是使它与 总体参数的离差越小越好。这种评价标准称为（） A．无偏性 B. 有效性 C. 一致性 D. 充分性 8. 置信水平（1-α）表达了置信区间的（） A．准确性 B. 精确性 C. 显着性 D. 可靠性 9. 在总体均值和总体比例的区间估计中，边际误差由（）A．置信水平决定 B. 统计量的抽样标准差确定 C. 置信水平和统计量的抽样标准差 D. 统计量的抽样方差确定 10. 当正态总体的方差未知，且为小样本条件下，估计总体均值使用的分布是（） A.正态分布 B. t 分布 C.χ2分布 D. F分布

几种常见的分布

一、常见数据类型 在正式的解释分布之前，我们先来看一看平时遇到的数据。数据可大致分为离散型数据和连续型数据。 离散型数据 离散型数据顾名思义就是只取几个特定的值。例如：当你掷骰子的时候，结果只有1,2,3,4,5,6，不会出现类似1.5,2.5。 连续型数据 在一个给定的范围内，连续型数据可以取任意值。这个范围可以是有限的或者是无穷的。例如：一个人的体重或者身高，可以取值54kg,54.4kg,54.33333kg等等都没有问题。 下面就开始介绍分布的类型。 二、分布类型 伯努利分布（Bernoulli Distribution） 首先从最简单的分布开始，伯努利分布实际上是一个听起来最容易理解的分布。伯努利分布一次实验有两个可能的结果，比如1代表success及0代表failure。随机变量X X一个取值为1并代表成功，成功概率为p p，一个取值为0表示失败，失败概率为q q或者说1?p1?p。 这里，概率分布函数为p x(1?p)1?x px(1?p)1?x，其中x∈(0,1)x∈(0,1)，我们也可以写成如下形式： P(x)={1?p，p，x=0x=1P(x)={1?p，x=0p，x=1 成功和失败的概率没必要相同，也就是没必要都是0.5，但是这俩概率加和应该为1，比如可以是下面的图：

这个图就是p(success)=0.15，p(failure)=0.85p(success)=0.15，p(failure) =0.85。 下面说一下随机变量的期望，一个分布的期望就是这个分布的均值。服从伯努利分布的随机变量X X的期望值就是： E(X)=1?p+0?(1?p)=p E(X)=1?p+0?(1?p)=p 服从伯努利分布的随机变量的方差是： V(X)=E(X2)?[E(X)]2=p?p2=p(1?p)V(X)=E(X2)?[E(X)]2=p?p2=p(1?p) 还有许多伯努利分布的例子，比如说明天是否会下雨，今天会不会去健身，明天乒乓球比赛是不是会赢。 均匀分布（Uniform Distribution） 当你掷骰子的时候，结果出现1到6中的任何一个，而任何一个结果出现的概率都是相同的，这就是均匀分布最原始的雏形。你可能看出来了，与伯努利分布不同的是，这n n个出现的结果的概率都是相同的。 一个随机变量X X为均匀分布是指密度函数如下： f(x)=1b?a?∞

第二章 多元正态分布及参数的估计汇总

第二章多元正态分布及参数的估计 在多元统计分析中,多元正态分布占有相当重要的地位.这是因为许多实际问题涉及到的随机向量服从正态分布或近似服从正态分布;当样本量很大时,许多统计量的极限分布往往和正态分布有关;此外,对多元正态分布,理论与实践都比较成熟,已有一整套行之有效的统计推断方法.基于这些理由,我们在介绍多元统计分析的种种具体方法之前，首先介绍多元正态分布的定义、性质及多元正态分布中参 数的估计问题. 目录 §2.1 随机向量 §2.2 多元正态分布的定义与基本性质 §2.3 条件分布和独立性 §2.4 多元正态分布的参数估计 §2.1 随机向量 本课程所讨论的是多变量总体.把p个随机变量放在一起得X=(X1,X2,…,Xp)′为一个p维随机向量,如果同时对p维总体进行一次观测,得一个样品为p维数据.常把n个样品排成一个n×p矩阵,称为样本资料阵.

?? ? ? ?? ??'''= ?????? ??=)()2()1(2 1 2222111211n np n n p p X X X x x x x x x x x x X def =(X 1,X 2,…,X p ) 其中 X(i)( i =1,…,n)是来自p 维总体的一个样品. 在多元统计分析中涉及到的都是随机向量,或是多个随机向量放在一起组成的随机矩阵. 本节有关随机向量的一些概念(联合分布,边缘分布,条件分布,独立性;X 的均值向量,X 的协差阵和相关阵,X 与Y 的协差阵)要求大家自已复习. 三﹑ 均值向量和协方差阵的性质 (1) 设X ,Y 为随机向量,A ,B 为常数阵,则 E(AX )=A·E(X )， E(AXB )=A·E(X )·B D(AX)=A·D(X)·A' COV(AX,BY)=A·COV(X,Y)·B' (2) 若X,Y 相互独立,则COV(X,Y)=O;反之不成立. 若COV(X,Y)=O,我们称X 与Y 不相关.故有: 两随机向量若相互独立,则必不相关;

FRM模型丨效用函数和风险偏好的辨析

FRM模型丨效用函数和风险偏好的辨析 1.效用历史沿革 效用的概念是丹尼尔·伯努利（不是数学家伯努利，但是他们都是伯努利家族的。）在解释圣彼得堡悖论时提出的，目的是挑战以金额期望值作为决策的标准，证明期望收益并不是人们在做决策时的唯一衡量标准。 经济学家对于效用的理解是有一个过程的。 ●19世纪的威廉姆·斯坦利·杰文斯、里昂·瓦尔拉斯和阿尔弗雷德·马歇尔等早期经济 学家认为效用如同人们的身高和体重一样是可以测量的。 ●而约翰·希克斯则尝试了只在序数性效用的假定下，也取得了很多的研究成果。希 克斯认为，效用的数值表现只是为了表达偏好的顺序，并非效用的数值。 因此，从分析消费者行为的方法来看，基数效用论者采用边际效用分析方法，序数效用论者采用无差异曲线分析方法。从教科书等内容判断，现在比较通用的应该是后者的序数性效用。 1.1.效用概念的提出——圣彼得堡悖论 圣彼得堡悖论是尼古拉·伯努利在1738年提出的一个概率期望值悖论。它来自于一种掷币游戏，圣彼得堡游戏。游戏规则为：掷出正面或者反面为成功，游戏者如果投掷成功，

得奖金2元，游戏结束；若不成功，继续投掷，二次成功得奖金4元，游戏结束；这样，游戏者如果投掷不成功就反复继续投掷，直到成功，游戏结束。如果n 次投掷成功，得奖金2n 元，游戏结束。 首先，我们用公式1()k k k E X x p ∞ ==∑来计算这个游戏收益的数学期望值： 2342341111 1()222222222 2 n n E X n n ==?+?+?+?+ + ?= 从理论上来说，该游戏的期望值是无穷大的。按照概率的理论，多次试验的结果将会接近于其数学期望。这就出现了计算的期望值与实际情况的“矛盾”。如果仅仅以期望值标准，我们将无法给这个游戏进行定价。 圣彼得堡悖论反映了决策理论和实际之间的差别。人们总是不自觉地把模型与实际问题进行比较，但决策理论模型与实际问题并不是一个东西；圣彼得堡问题的理论模型是一个概率模型，它不仅是一种理论模型，而且本身就是一种统计的 “近似的”模型。在实际问题涉及到无穷大的时候，这种近似可能会带来极大的误差。 效用的概念首次由丹尼尔·伯努利在其对于对这个悖论的解答中提出。在丹尼尔?伯努利1738年的论文里，提出了效用的概念来说明以金额期望值作为决策标准的片面性。论文提出了大效用原理：在风险和不确定条件下，个人的决策行为准则是为了获得大期望效用值而非大期望金额值。 2. 基数效用论 基数效用论基本观点是：效用是可以计量并可以加总求和的。 基数效用论采用边际效用的分析法。 这个理论有两个主要假设：1. 效用量可以具体衡量；2. 边际效用（MU ）递减规律。

各种概率分布及应用场合(建模对象)

1、高斯分布 高斯分布是最常见的分布，我现在觉得高斯分布中最难的就是，如何说服别人，你假设某个分布是高斯，是有依据的，而不是一个所谓的“经验假设”。 高斯分布的概率密度函数为： 各种各样的心理学测试分数、各种各样的无力现象、测量误差等都被发现近似地服从正态分布。尽管这些现象的根本原因经常是未知的，但是理论上可以证明如果把许多小作用加起来看做一个变量，那么这个变量服从正态分布。 由正态分布还可以到处一些常见的分布： 2、伯努利分布（又称：两点分布，0-1分布） 均值为p，方差为p(1-p). 这是为纪念瑞士科学家伯努利而命名的，猜测应该与伯努利本人没有太大关系吧，哈哈。 3、二项分布

进行独立的n次伯努利实验得到。均值为np，方差为np(1-p)。 与高斯分布的关系：当n足够大时，且p不接近于0或1，则二项分布近似为高斯分布，且n越大越近似。 4、多项分布 与二项分布对应，每次独立事件会出现3个及3个以上可能值。 二项分布和多项分布的概率值都可以经过计算多项式（x1+x2）^n 和多项式 (x1+x2+...+xm)^n的通项得到，对于二项分布，此时的x1=p，x2=1-p。 5、泊松分布 参考资料： https://www.doczj.com/doc/148857920.html,/wiki/%E6%B3%8A%E6%9D%BE%E5%88%86%E5%B8%83 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的候客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数等等。 概率质量函数为：（区分概率质量函数和概率密度函数，概率质量函数-离散，是概率值；概率密度-连续，不是概率值）

第二讲不确定性下的期望效用理论

第二讲 不确定性下的期望效用理论 确定性条件下的消费与投资尽管考虑了跨时问题，但未来投资收益是完全确定的。未来往往是未知的，现实中更多重要的经济决策是在不确定环境下做出的，很难直接运用第一章阐述的效用理论来研究不确定性环境中的个体选择，必须建立起一整套基于不确定性的专门理论——期望效用理论来那就不确定性下的个体最优决策行为。我们从一个经典的案例开始讲起。 案例 圣·彼得堡悖论 圣.彼得堡悖论（St Peterburg Paradox ）关系到经济学理论的一个重要问题：如何对一个含风险的赌局进行评估？200多年前，瑞士数学家丹尼尔.伯努利（Daniel Bernoulli ）对该悖论提出了开创性的解，从此创立了效用理论以及期望效用理论。该悖论是丹尼尔.伯努利的表兄尼古拉斯.伯努利于1713年提出来的。1713年9月9日，尼古拉斯.伯努利在写给数学家M. de Montmort 的信中提出了5个问题，其中第5个问题是这样的： 彼得掷一枚硬币，如果第一次掷硬币头面朝上，彼得答应给保尔一盾（荷兰盾）；如果第一次掷的结果是背面朝上，则掷第二次; 如果第二次掷硬币头面朝上, 彼得付保尔2个盾；如果第二次掷的结果是背面朝上，则掷第三次……，到第n 次，如结果是头面朝上，彼得付保尔1 2n -个盾。这个博 局可以无限期地玩下去。保尔在该博局中所获的价值的期望值是多少？ 尼古拉斯.伯努利之所以提出这个问题，是由于他发现数学界对这个赌局的期望收益的计算与实际生活中发现的该博局的门票价之间存在着悖论。他发现，如果计算保尔的期望收入，则 23211111 ()*1()*2()*2...()*2... 22221111 ...... 2222n n E w -=+++++=+++++=∞ 按这个估算，保尔在该博局中的所获为无穷大，他应该付无穷大来买这个机会。但是，在实际生活中，任何一个理智正常的人若出卖这个机会，其卖价不会超过20盾，因为当时瑞士类似的赌局的门票不超过20盾。 如何解释这个悖论？ 大数学家M. de Montmort (1678-1719) 对此并没有回答，但将尼古拉斯.伯努利的信连同上述问题公开出版了。从而引起了数学界后来者的兴趣。 2.1偏好与效用 2.1.1风险备选项的描述 假设C 为代表所有可能的结果所组成的集合。如果集合所有结果数目有限，则可以用 {}12,, n C x x x =来表示。假设12,, n x x x 状态发生的概率分别为12,,n p p p （任意一种状态i x 发生的概率为i p ，满足0i p ≥，且1 1n i i p ==∑） ，我们称1212(,,;,, )n n L x x x p p p =表示一个简 单博彩。 （说明：博彩是描述风险备选项的一个正式工具。简单博彩有时候也写成这种形式：

第4章总体参数估计讲解

◎第4章参数估计 ※一、单一总体的参数估计※ ●（一）估计的含义 ●估计：人人都做过。如： ?上课时，你会估计一下老师提问你的概率有多大？ ?当你去公司应聘时，会估计你被录用的可能性是多少？?推销员年初时要估计今年超额完成任务的概率有多大？◎估计量：用来估计总体参数的样本统计量。如：算术平均数、中位数、标准差、方差等。 ●估计的可能性与科学性：数理统计证明，一个“优良”的样本统计量应具备以下特征： （1）、无偏性。样本估计量的期望值应等于总体参数。无系统偏差。 （2）、有效性。与离散度相联系。在多个无偏估计量中，方差最小的估计量最有效。 （3）、一致性。随着样本容量的增加，可以使估计量越来越靠近总体参数。 （4）、充分性。估计量能够充分利用有关信息，中位数和众数不具备这一点。 ※估计的类型包括：

1、 点估计：只有一个取值。 就 是总体平均数μ的点估计值。 2、区间估计：给出取值范围（值域）。见PPT ▲两种估计类型哪一种更科学？ ※ 区间估计的优点在于：它在给出估计区间时， 还可以给予一个“可信程度”。例如：销售经理想 估计一下明年的出口总值，甲估计是53万美元，乙估计 是50—56万美元之间，并可以确切地说“有95%的把握”。 显然后者的可信程度大于前者。那么，50—56万美元之 间的范围是如何计算的？“有95%的把握”是什么意思？ 【引例】：某食品进出口公司向东南亚出口一批花生制品，管 理人员从中抽取50包作为样本，计算其平均数为250克。另 外，合同规定总体标准差为6克。 如果问这批花生制品的平均重量，可用样本平均数作为总 体平均数的最佳估计量：250克。但这是远远不够的，在许多 时候，管理人员还想了解“这个估计值的平均误差是多少？” “总体平均数可能落入样本平均数上、下多大范围内？”“ 这 个估计值的可靠程度是多少？” 〖1〗由于n=50，根据中心极限定理可作图： n=50，σ=6 〖2〗抽样平均误差：8485.0506 ===n x σσ

随机变量及其分布列.几类典型的随机分布

随机变量及其分布列.几类典型的随机分布 1． 离散型随机变量及其分布列 ⑴离散型随机变量 如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母,,X Y 表示． 如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量． ⑵离散型随机变量的分布列 将离散型随机变量X 所有可能的取值i x 与该取值对应的概率i p (1,2,,)i n =列表表示： X X 的分布列． 2．几类典型的随机分布 ⑴两点分布 如果随机变量X 其中01p <<，1q p =-X 服从参数为p 的二点分布． 二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X 为任意抽取一件产品得到的结果，则X 的分布列满足二点分布． 两点分布又称01-以这种分布又称为伯努利分布． ⑵超几何分布 一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件 ()n N ≤， 这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为 C C ()C m n m M N M n N P X m --==(0m l ≤≤，l 为n 和M 中较小的一个)． 我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参

数为N ，M ，n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列． ⑶二项分布 1．独立重复试验 如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为 ()C (1)k k n k n n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =． 2．二项分布 若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立 重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n k n P X k p q -==，其中0,1,2,,k n =．于是得到X 的分布列 由式 00111 0()C C C C n n n k k n k n n n n n n q p p q p q p q p q --+=++++ 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布， 记作~(,)X B n p ． 二项分布的均值与方差： 若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则 ()E X np =，()D x npq =(1)q p =-． ⑷正态分布 1．概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时， 直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X ，则这条曲线称为 X 的概率密度曲线． 曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． 2．正态分布 ⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从 正态分布． 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量． 正态变量概率密度曲线的函数表达式为 22 ()2()x f x μσ--= ，x ∈R ，其中μ，σ是参数，且0σ>， μ-∞<<+∞． 式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作2(,)N μσ． 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．

概率论中几种常用的重要的分布

伯努利试验、泊松过程、独立同分布生成 的重要分布 敖登 （内蒙古大学数学科学学院2010级数理基地，01008104） 摘要 本文是一篇读书报告。主要研究了伯努利试验与二项分布的关系，泊松过程生成泊松分布的过程和在泊松条件下的埃尔朗分布，正态分布的生成用到的独立同分布以及均匀分布生成任意分布的重要性质。 关键词：伯努利试验泊松分布独立同分布均匀分布的生成性

Important in theory of probability distribution of exploration Author：Ao Deng Tutor: Luo Cheng (School of Mathematical sciences ,Huhhot Inner Mongolia 01008104 ) Abstract This article mainly discusses the theory of several common distribution (0-1) distribution, binomial distribution, poisson distribution and uniform distribution, exponential distribution, normal distribution and normal distribution out three kinds of important distribution, distribution, distribution and the distribution of the source and the relationship among them and their application in actual. Key words: random variable; The discrete distribution ;Continuous distribution

FRM模型丨效用函数和风险偏好的辨析

ＦRＭ模型丨效用函数和风险偏好的辨析 1.效用历史沿革 效用的概念是丹尼尔·伯努利（不是数学家伯努利，但是他们都是伯努利家族的。)在解释圣彼得堡悖论时提出的，目的是挑战以金额期望值作为决策的标准,证明期望收益并不是人们在做决策时的唯一衡量标准。 经济学家对于效用的理解是有一个过程的。 ●１9世纪的威廉姆·斯坦利·杰文斯、里昂·瓦尔拉斯和阿尔弗雷德·马歇尔等早期经 济学家认为效用如同人们的身高和体重一样是可以测量的。 ●而约翰·希克斯则尝试了只在序数性效用的假定下，也取得了很多的研究成果。希 克斯认为，效用的数值表现只是为了表达偏好的顺序,并非效用的数值。 因此,从分析消费者行为的方法来看,基数效用论者采用边际效用分析方法,序数效用论者采用无差异曲线分析方法。从教科书等内容判断，现在比较通用的应该是后者的序数性效用。 1.1.效用概念的提出——圣彼得堡悖论 圣彼得堡悖论是尼古拉·伯努利在173８年提出的一个概率期望值悖论。它来自于一种掷币游戏，圣彼得堡游戏。游戏规则为:掷出正面或者反面为成功，游戏者如果投掷成

功，得奖金2元,游戏结束；若不成功，继续投掷，二次成功得奖金4元，游戏结束;这样,游戏者如果投掷不成功就反复继续投掷，直到成功，游戏结束。如果n 次投掷成功，得奖金2ｎ元，游戏结束。 首先,我们用公式 1()k k k E X x p ∞ ==∑来计算这个游戏收益的数学期望值: 2342341111 1 ()222222222 2 n n E X n n ==?+?+?+?+ + ?= 从理论上来说，该游戏的期望值是无穷大的。按照概率的理论，多次试验的结果将会接近于其数学期望。这就出现了计算的期望值与实际情况的“矛盾”。如果仅仅以期望值标准,我们将无法给这个游戏进行定价。 圣彼得堡悖论反映了决策理论和实际之间的差别。人们总是不自觉地把模型与实际问题进行比较,但决策理论模型与实际问题并不是一个东西;圣彼得堡问题的理论模型是一个概率模型,它不仅是一种理论模型，而且本身就是一种统计的 “近似的”模型。在实际问题涉及到无穷大的时候,这种近似可能会带来极大的误差。 效用的概念首次由丹尼尔·伯努利在其对于对这个悖论的解答中提出。在丹尼尔?伯努利1７３8年的论文里,提出了效用的概念来说明以金额期望值作为决策标准的片面性。论文提出了大效用原理：在风险和不确定条件下,个人的决策行为准则是为了获得大期望效用值而非大期望金额值。 2. 基数效用论 基数效用论基本观点是:效用是可以计量并可以加总求和的。 基数效用论采用边际效用的分析法。 这个理论有两个主要假设:1. 效用量可以具体衡量;2. 边际效用（M Ｕ）递减规律。

伯努利试验的推广及应用

伯努利试验的推广及应用 摘要伯努利（Bernoulli）试验作为一类典型的概率模型，可以引申拓展得到多种广泛应用的概率分布模型.文章介绍了由伯努利概型拓展推广得到的两点分布，二项分布，几何分布，多项分布以及帕斯卡分布等重要分布，并介绍了这些重要分布在生产实际中的简单应用. 关键字伯努利试验；两点分布；二项分布；几何分布；多项分布；帕斯卡分布；应用 伯努利（Bernoulli）试验作为史上最早被研究的概率模型之一，它从本质上反映一类试验：具有“二值”属性的随机试验.伯努利试验的应用十分广泛，在企业产品的质量控制管理与检测，金融行业的风险预测与控制，以及生物学上的群体遗传等方面都具有尤为突出的理论地位. 若在一次随机试验中，试验的结果只有两种“成功”或者“失败”，为方便描述记为基本事件和，且，则随机试验称为伯努利试验. 1伯努利试验推广的概率分布 重伯努利试验：伯努利试验在相同条件下独立重复地进行次，即进行随机试验其中试验代表一次伯努利试验，而且任意两次试验的结果相互之间不干扰，在每次子试验中事件发生的概率不变为，则试验称为重伯努利试验. 推广的伯努利试验：在一次随机试验中，试验有种不同的两两互斥的结果，试验结果为的概率为且，则称随机试验为推广的伯努利试验. 广义重伯努利试验：随机试验需要进行次重复的伯努利试验，即随机试验，其中试验指一次伯努利试验，试验的结果由基本事件和组成，在第次伯努利试验中事件发生的概率为不发生的概率为，且，当事件发生的概率与试验序数有关时，则称随机试验为广义重伯努利试验. 由伯努利试验、重伯努利试验以及推广的伯努利试验和广义重伯努利试验不难拓展推广得到以下的概率分布. 1.1两点分布 两点分布是从一次伯努利试验中提炼出来的简单离散型概率分布。为方便随机事件发生概率的描述，在一次伯努利试验中引入随机变量，伯努利试验的结果由和组成，定义随机变量：且.只进行一次伯努利试验的随机试验满足的分布称为两点分布，即，其中.两点分布又称为伯努利分布和分布. 1.2二项分布

范里安_中级微观经济学

范里安中级微观经济学名词解释网络搜集 内生变量：其均衡值（解）在模型内部决定。 外生变量：其均衡值（解）在模型外部决定。 最优化原理：人们总是选择他们能支付得起的最佳消费方式。 狭义均衡原理：价格会自行调整，直到人们的需求数量与供给数量相等。 广义均衡原理：经济主体的行为必须相互一致。 保留价格：某人愿意接受、购买有关商品的最高价格。 需求曲线：一条把需求量和价格联系起来的曲线，描述了每一个可能价格上的需求数量。 均衡价格：住房需求量等于住房供给量时的价格。 所得税：对收入直接课征的税。 从量补贴：根据消费者购买商品的数量给予补贴； 从价补贴：根据消费者购买商品的价值给予补贴； 总额补贴：无论消费者行为如何，政府给予消费者一笔固定金额（从量补贴和从价补贴的变化将使预算线的斜率更平坦；总额补贴的变化将使预算线向外平行移动。）配给供应：对商品的购买量不能超过一定限额。 偏好的种类：A.弱偏好关系（X≥Y，X至少和Y一样好）B.严格偏好关系（X>Y，X严格优于Y）C.无差异关系（X~Y，X和Y无差异） 关于“偏好”的理性假设：完备性公理：对于任意X，Y属于C，有X≥Y或Y≥X，或两者兼得；传递性公理；反身性公理：对任意X属于C，都有X≥X，即任何消费束至少和本身一样好。 关于偏好的“凸性假设”：“平均化”的消费束至少与极端化的消费束一样好。 无差异曲线：由受到消费者相同偏好的消费束组成的曲线。（无差异集I(x)、弱偏好集WP(x)、严格偏好集SP(x)）“理性假设”意味着：表示不同偏好水平的无差异曲线不会相交。 “单调性假设”意味着：（1）离坐标原点越远的无差异曲线更受偏好；（2）无差异曲线的斜率为负。 “凸性假设”意味着：无差异曲线凸向原点。 完全替代品：消费者愿意按固定的比率用一种商品替代另一种商品（边际替代率固定不变）。。 完全互补品：始终以固定比例一起消费的商品（边际替代率为零或无穷大）。 厌恶品：消费者不喜欢的商品（边际替代率为正）。 中性商品：消费者不在乎的商品（边际替代率为无穷大）。 餍足：对消费者来说有一个最佳的消费束，就他自己的偏好而言，越接近这个消费束越好。在餍足点的右上和左下方无差异曲线斜率为负；在餍足点的左上和右下方无差异曲线的斜率为正。 离散商品：无差异曲线是一个离散点集。当x1是离散商品，x2是连续性商品时，特定消费束的“弱偏好集”是一组线段。 边际替代率（MRS）：无差异曲线的斜率，衡量消费者愿意用一种商品去替代另一种商品的比率。 边际替代率递减规律：是指在效用水平不变的前提条件下，连续增加单位X1的消费数量所能代替的X2的消费数量是递减的，几无差异曲线凸向原点。 效用函数：“效用函数”代表“偏好”，它是为每个可能的消费束指派一个数字的方法，它指派给受较多偏好的消费束的数字大于指派给受较少偏好的消费束的数字。（数学表示）；效用函数强调的是消费束的排列次序（序数效用）；效用函数如果存在，就不止一个，一个效用函数的任意“严格正单调变换”也是一个代表相同偏好的效用函数；偏好是“理性”的是可用效用函数来代表偏好的必要条件。 序数效用：有意义的仅是两个消费束之间效用的相对大小。 基数效用：两个消费束之间效用的差额也具有重要意义。 各类效用函数：完全替代u(x1,x2) = ax1+b x2；完全互补：u(x1,x2) = min{ax1,bx2}；拟线性偏好：u(x1,x2) = v(x1)+x2；柯布－道格拉斯偏好：u(x1,x2) = x1c x2d，c,d>0。 边际效用：MU1=△U/△x1。

中微试题(1)(1)

1、已知效用函数U(X,Y)=XY+Y （1）求马歇尔需求函数； （2）求支出函数； （3）若初试收入I=20，P X=2，P Y=1，求P X变动到4对X的价格效应分解。 2、已知消费者初始财富为16万元，其中一辆摩托车价值10万元。居民有20%的可能性遗失摩托车。假定居民的效用函数为U(W)=W0.5，其中W表示财富价值。 （1）求期望效用水平； （2）请根据效用函数形式判断消费者的风险态度； （3）现在为规避风险，消费者要购买保险，若保险公司按照实际损失额度赔偿，求消费者最多愿意支付多少保费； （4）求保险公司征收的“公平保费”（即使消费者在保险前后期望收入不变的保费额）以及此时保险公司的纯收入。 3、已知市场需求Q=54?P，厂商成本MC=AC=6 （1）市场上有两个厂商，求两个厂商进行古诺竞争的市场价格和数量； （2）若两个厂商合谋，追求总利润最大化，求市场价格和数量； （3）现在假设两个厂商的成本函数不同，产量追随者的成本函数是C(q2)=0.5q22，领导者先决定产量，追随者根据领导者的产量选择产量，求市场价格和数量。 4、一个行业有甲、乙两个厂商，现在面临一项研发决策。若两个厂商都开发，则利润都为5,；若一个厂商开发而另一个不开发，则开发的厂商获得利润4，不开发的厂商（由于可以直接模仿）获得利润6；若都不开发，两个厂商利润都为3。 （1）若两个厂商同时决策，写出策略式表示，求纯策略纳什均衡和混合策略纳什均衡； （2）若甲厂商先决策，乙厂商再决策，写出扩展式表述和策略式表述，求纳什均衡和子博弈精炼纳什均衡；（3）根据（1）和（2）的不同结果，说明纳什均衡与子博弈精炼纳什均衡的实质区别。 5、问答题： （1）两种商品的纯交换经济中，一般均衡的商品为什么只是相对价格？ （2）利率提高时，消费者的储蓄一定增加吗？利率提高一定有利于储蓄者吗？