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高等数学讲义(二)

2014年山东省专升本高等数学备考讲义(二)

高等数学拓展延伸

时间:2013年8月30日 讲义制作:曲天尧 温馨提示:鉴于山东省专升本考试高等数学专业课历年都会出现超纲的内容,所以在专升本考试前夕编写了这一份拓展延伸的复习讲义,不要求考生在短时间内可以完全掌握,只是大概了解一下即可. 当然,每位考生的情况是不同的,在复习阶段只需要量力而行,基础好的同学可以深入探索延伸,基础不是很好的同学这部分内容将不作为掌握的重点.

拓展一:定积分的应用—求旋转体的体积:

结论..

: 1. 由曲线)(x f y =,直线x=a ,x=b (a <b )及x 轴所围曲边梯形绕x 轴旋转一周后得到旋转体W ,如图所示. 其所成旋转体的体积为()2b

x a

V f x dx π=?

.

2. 由曲线()x y ?=,直线y=c ,y=d (c <d )及y 轴所围曲边梯形绕y 轴旋转一周后得到旋转体M ,如图所示. 其所成旋转体的体积为y V ()2d

c

y dy π?=?

.

)

例题1. 已知2

y x =与y x =所围部分. 求: (1)绕x 轴旋转所得图形的体积; (2)绕y 轴旋转所得图形的体积. 解:①()1

2

410

V x

x dx π

=-?

1123515

ππ??=-= ???

②(

)

2

12

20

V y dy π

=-?

111236

ππ??=-= ???

例题2. (2011年会计学专业真题)

设S 1是由抛物线y=4x 2与直线x=a ,x=1,y=0所围成的平面图形,S 2是由抛物线y=4x 2与直线x=a ,y=0所围成的平面图形(0<a <1). 设S 1、S 2分别绕x 轴、y 轴旋转面得到的旋转体的体积为V 1、V 2,则V 1+V 2最大时a 的值为( ) A. 1 B. 1/3 C. 1/4 D.1/2 答案:D

拓展二:三角有理函数的积分—万能代换公式:

由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称为三角函数有理式. 一般记为 R(sin x , cos x) ,则万能代换公式:

则:

注意:

①三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能代换.

② 通常含有sin 2x 、cos 2x 及sinxcosx 的有理式的积分时,用代换u=tanx 往往更方便.

例题3. 求不定积分

解: 则原式=

2,arctan 2u x =则,2tan x

u =令,12sin 2u u x +=,11cos 22u u x +-=u u x d 12d 2+=.d sin 14?

x x ,2tan x u =,12sin 2

u u x +=,122du u dx +=?

dx x 4sin 1du u u u u ?

+++=46428331C u u u u +++--=]3

3331[813

3.2tan 2412tan 83tan

83tan 24133

C x

x x x +???

??++-

?

? ?

-

=

拓展三:求幂级数的和函数:

幂级数

∑∞

=0

n n n x a 的和函数s(x)的性质:

性质1:幂级数

∑∞

=0

n n n x a 的和函数s(x)在其收敛域I 上连续.

如果幂级数在x =R (或x =-R)也收敛, 则和函数s(x)在(-R, R](或[-R, R))连续.

性质..2.:幂级数...∑∞

=0

n n n x a 的和函数....s(x)....在其收敛域.....I .上可积...,. 并且有逐项积分公式.........

∑??∑?∞

=+∞

=∞

=+===0

1

000

01)()(n n n n x

n

n x

n n

n x x n a dx x a dx x a dx x s (x ..∈.I )..,. 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径..........................

性质..3.:幂级数...∑∞

=0n n n x a 的和函数....s(x)....在其收...敛区间...(.-.R .,. R)..内可导...,. 并且有逐项求导公式.........

∑∑∑∞

=-∞=∞=='='='1

10

)()()(n n n n n n n n n x na x a x a x s (.|.x|..<.R)..,.

逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.......................... 例题4. 求幂级数

∑∞

=+0

11

n n x n 的和函数.

解:求得幂级数的收敛域为[-1, 1). 设和函数为s(x), 即∑

=+=01

1)(n n x n x s , x ∈[-1, 1). 显然s(0)=1.

在∑

=++=011

1)(n n x n x xs 的两边求导得 x x x n x xs n n n n -=='+='∑∑∞

=∞

=+11)11(

])([0

01

. 对上式从0到x 积分, 得 )1l n (11)(0x dx x

x xs x

--=-=?

.

于是, 当x ≠0时, 有)1ln(1)(x x x s --=. 从而?????=<<--=0

1 1||0 )1ln(1)(x x x x x s .

因为?∑∑

'+=+=∞=+∞

=+x n n n n dx x n x n x xs 00101

]1

1[11)()1ln(11000x dx x dx x x x n n --=-==??∑∞=,

所以, 当x ≠0时, 有)1ln(1)(x x

x s --=,

从而 ?????=<<--=0

1 1

||0 )1ln(1)(x x x x x s .

拓展四:求解二阶常系数非齐次线性常微分方程:

1. 二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是:)(x f qy y p y =+'+'',其中q p ,为常数,若特解为*y ,对应的齐次微分方程0=+'+''qy y p y 的通解为)()()(2211x y c x y c x y +=,则原方程的通解为

)()(2211x y c x y c y y ++=*.

2. 求二阶线性常系数非齐次微分方程的待定系数法:...................... ①设x n e x P qy y p y λ)(=+'+'',其中)(x P n 是n 次多项式,设特解

x n k e x Q x y λ)(=*,其中)(x Q n 也是n 次多项式,当λ不是0=+'+''qy y p y 的单特征根时,

0=k ;当λ是0=+'+''qy y p y 的重特征根时,2=k ,再设

111)(a x a x a x a x Q n n n n n ++++=-- ,将

x

n k e x Q x y λ)(=*代入微分方程

x n e x P qy y p y λ)(=+'+'',两端比较x 同次幂系数,就可求出符定系数n a a a ,,,10 .

②设[]wx x P wx x p e qy y p y l n x sin )(cos )(+=+'+''λ其特解为

[]wx x Q wx x R e x y m m x k sin )(cos )(+=*λ其中{}l n m ,max =,而k 按iw +λ (或iw -λ)不是特

征方程的根据或是特征方程的单根依次取0或1. 3. 归纳总结:对于非齐次方程()()()()()cos sin x

m

n

y py qy e

P x x P x x αββ'''++=+其中

()m P x ,()n P x 表示,m n 次多项式. 其特解y *形式设定如下:

(1)识别,,,m n αβ;

(2)计算i μαβ=+,k μ=和特征根12,λλ相等个数,()max ,l m n =。 (3)特解可设为()()()()()()?cos sin k x

l

l

y x x e

Q x x Q

x x αββ*=+,

其中()(),l l Q x Q x

为l 次多项式.

注:这一公式是将通常教科书上若干公式统一而成.

解:(1)20y y y '''+-=,

()()2210,2110λλλλ+-=-+=,121

,12

λλ==-,

齐次通解12

12x x y C e C e -=+

(2)()()()22cos 00sin 0x

x

e e

x x =?+??,

1,0,0m n αβ====,1i μαβ=+= ()0,max ,0k l m n ===,

又设()()()0

cos 0sin 0x

x

y x e

A x

B x Ae

*=??+?=,代入原方程得

221x x x x Ae Ae Ae e A +-=?=,x y e *=.

故通解12

12x x x y C e

C e e -=++

例题6. 求解微分方程2x

y y y xe '''-+=.

解:(1)21220,210,1y y y λλλλ'''-+=-+===,

12x x y C e C xe =+

(2)()()()cos 00sin 0x

x

xe e

x x x =?+??,

1,0,1,0m n αβ====,1i μαβ=+=, ()2,max ,1k l m n ===

可设()()()()2cos 0sin 0x y x e Ax B x Cx D x *=+?++?????

()()232x x x e Ax B Ax Bx e =+=+

计算得: ()()

3232x y Ax A B x Bx e '*=+++

()()()326642x y Ax A B x A B x B e ''*=+++++

代入原方程得

162,06Ax B x A B +=?==,316x y x e *=,故通解121

6

x x x y C e C xe xe =++.

解:(1)2

40,40,2y y i λλ''+=+==±,

12cos 2sin 2y C x C x =+

(2)4sin 2y y x ''+=的特解1y *

()()0sin 20cos 21sin 2x x e x x ?=?+?,

0,2,0m n αβ====,2i i μαβ=+=,()max ,0l m n ==,1k =。

又设()()01cos 2sin 2cos 2sin 2x

y xe

A x

B x x A x B x ?*=+=+

()12sin 22cos 2cos 2sin 2y A x B x x A x B x '*=-+++ ()14sin 24cos 24cos 24sin 2y A x B x x A x B x ''*=-++--

代入原方程得

1144sin 24cos 2sin 2y y A x B x x ''*+*=-+=

解得1,04A B =-=1,cos 24

x

y x *=-; (3)

4x y y e ''+=的特解2y *

可设2x

y D e *

=,代入得5x x

De e =,D =

15,215

x y e *

=. 综合得通解__

12121

cos 2sin 2cos 245

x x y y y y C x C x x e **=++=+-+.

拓展五:多元函数微分学在几何中的应用:

归纳总结:

1. 空间曲线切线与法平面:

1)??

?

??===)()()(t z z t y y t x x

切向量),,(t t t z y x v '''=→

切线方程:

t

t t z z z y y y x x x '-='-='-0

00

法平面方程:0)()()(000=-'+-'+-'z z z y y y x x x t t t

2)),,1()

()()()(z y v x z z x y y x

x x z z x y y ''==??

?

??===???

?==→

类似的

切线方程:

z z z y y y x x '

-=

'-=-0

001

法平面方程:0)()(000=-'+-'+-z z z y y y x x

3)),,1(000),,(0),,(x x x z x y x

x z x y x z y v z G y G G z F y F F z y x G y z x F ''=??????=''+''+'=''+'

'+'????==→

2. 空间曲面切平面与法线:

1)0|),,(,0),,(P z y x F F F n z y x F '''==→

切平面:0)(|)(|)(|000000=-'+-'+-'z z F y y F x x F p z p y p x 法线:

00|||0

00p z p y p x F z z F y y F x x '-='-='- 2)),(y x f z =)1,,(),(-''=?-=?→

y x f f n z y x f F 类似地

切平面:0)()()(000=---'+-'z z y y f x x f y x 法线:

1

00--='-='-z z f y y f x x y x 3)*??

?

??===),(),(),(v u z z v u y y v u x x (参数方程形式)

切线 ),,(,),,(21v v v u u u

z y x v z y x v '''='''=→

→ ???? ????????=''''''=?=→

),(),(,),(),(,),(),(21v u y x v u x z v u z y z y x z y x k

j

i v v n v

v

v

u

u u

3. 方向导数:

),,(z y x u u =

→?=??+??+??=??

l gradu z

u y u x u l u γβαcos cos cos (梯度在→

l 方向投影)

4. 梯度、散度、旋度: 设???

?

????????=?z y x ,, 梯度:????

????????=?=z u y u x u u gradu ,,

散度:z

R

y Q x P A A div ??+

??+??=

?=→

旋度:R

Q

P z y x k j i

A A rot ??????

=

??=→

→ 例题8. (2012年会计学专业真题)

已知曲面z=4-x 2-y 2上点P 处的切平面平行于平面2x+2y+z-1=0,则点P 的坐标是( ) A. (1,-1,2) B. (-1,1,2) C. (1,1,2) D. (-1,-1,-2) 答案:C

例题9. 求曲线3

2,,t z t y t x =-==上与平面42=++z y x 平行的切线方程. 解:由题意得:切向量)3,2,1(2

t t -=→

τ,)1,2,1(=→

n 由→→⊥n τ,则0=?→

→n τ,即

3

1

,10341212==?=+-t t t t ,

当1=t 时

1,1,1,)3,2,1(111=-==-=→

z y x τ,切线方程为

3

1

2111-=

-+=-z y x 当3

1

=t 时

27

1,91

,31,)31,32,1(1122=

-==-=→

z y x τ, 切线方程为

3

12713291131-=-+=-z y x . 例题10. 求曲面x z y x =++2

2

2

的切平面,使之与平面22

=-

-z

y x 垂直,同时也与2=--z y x 垂直.

解:切平面法向量)2,2,12(z y x n -=→

,)2

1

,1,1(1--=→

n ,)1,1,1(2--=→

n ,

依题意有:01=?→

→n n 既有0212=---z y x

(1) 02=?→

→n n

012212=---z y x

(2)

联立(1)(2)和原方程

得解?????????==+=042422z y x ,????

??

?

??=-=-=04242

2z y x

???? ??=→

0,22,2201n ,????

??--=→0,22,2202n 切平面

0)42(22)422(22=-++-y x 即221+=+y x 得 0)4

2(2242222=+-???? ??---

y x 即2

2

1-=

+y x 拓展六:曲线积分与曲面积分:

一、曲线积分:

(一)第一型曲线积分(对弧长的曲线积分)

1. 定义: 设函数f(x , y)定义在可求长度的曲线L 上, 并且有界. 将L 任意分成n 个弧段: ?s 1, ?s 2, ? ? ?, ?s n , 并用?s i 表示第i 段的弧长; 在每一弧段?s i 上任取一点(ξi , ηi ), 作和

i i i n

i s f ?=∑),(1

ηξ; 令λ=max{?s 1, ?s 2, ? ? ?, ?s n }, 如果当λ→0时, 这和的极限总存在, 则称此极

限为函数f(x , y)在曲线弧L 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分, 记作

ds y x f L ),(?, 即

i i i n

i L s f ds y x f ?==→∑?),(lim ),(1

0ηξλ. 其中f(x , y)叫做被积函数, L 叫做积分弧段.

2. 曲线积分的存在性: 当f(x , y)在光滑曲线弧L 上连续时, 对弧长的曲线积分ds

y x f L ),(?是存在的.

3. 对弧长的曲线积分的性质: 性质1 设c 1、c 2为常数, 则

ds y x g c ds y x f c ds y x g c y x f c L L L ),(),()],(),([2121???+=+;

性质2 若积分弧段L 可分成两段光滑曲线弧L 1和L 2, 则 ds y x f ds y x f ds y x f L

L L ),(),(),(2

1

???+=;

性质3设在L 上f(x , y)≤g(x , y), 则

??≤L L ds y x g ds y x f ),(),(. 特别地, 有 ??≤L L ds y x f ds y x f |),(||),(|

4. 第一型曲线积分(对弧长的曲线积分)的计算....................

: 定理..:设.f(x ...,. y)..在曲线弧....L .上有定义且连续.......,. L .的参数方程为...... x .=.?.(t)...,. y .=.ψ.(t) (....α.≤.t .≤.β.).

,. 其中..?.(t)...、.ψ.(t)...在.[.α.,. β.].上具有一阶连续导数.........,. 且.?.'.2.(t)...+.ψ.'.2.(t)...≠.0.,. 则曲线积分.....ds y x f L ),(?

存.

在.,. 且.

dt t t t t f ds y x f L )()()](),([),(22ψ?ψ?β

α

'+'=??(.α.<.β.).

.. 应注意的问题......:定积分的下限......α.一定要小于上限.......β.. 结论:(1)若曲线L 的方程为y =ψ(x)(a ≤x ≤b), 则

dx x x x f ds y x f b

a L ??'+=)(1)](,[),(2ψψ.

(2)若曲线L 的方程为x =?(y)(c ≤y ≤d), 则

dy y y y f ds y x f d c

L

??+'=1)(]),([),(2??.

(3)若曲Γ的方程为x =?(t), y =ψ(t), z =ω(t)(α≤t ≤β), 则

dt t t t t t t f ds z y x f )()()()](),(),([),,(222ωψ?ωψ?β

α

'+'+'=??Γ.

例题11. 计算

ds y L

?, 其中L 是抛物线y =x 2上点O(0, 0)与点B(1, 1)之间的一段弧.

解:曲线的方程为y =x 2 (0≤x ≤1), 因此

??'+=10222)(1dx x x ds y L ?+=1

0241dx x x )155(12

1-=.

例题12. 计算?

L xyds ,其中L 为从(0,0)到(2,0)的上半圆弧:)0(22

2

≥=+y x y x .

解:2sin )cos 1(0

=+=

?

tdt t xyds L

.

(二)第二型曲线积分(对坐标的曲线积分)

1. 定义: 设函数f(x , y)在有向光滑曲线L 上有界. 把L 分成n 个有向小弧段L 1, L 2, ? ? ?, L n ; 小弧段L i 的起点为(x i -1, y i -1), 终点为(x i , y i ), ?x i =x i -x i -1, ?y i =y i -y i -1; (ξi , η)为L i 上任意一点, λ为各小弧段长度的最大值.

如果极限∑=→?n

i i i i x f 1

),(lim

ηξλ总存在, 则称此极限为函数

f(x , y)在有向曲线L 上对坐标x 的曲线积分, 记作

?L dx y x f ),(, 即

∑?=→?=n

i i i i L x f dx y x f 1

),(lim ),(ηξλ, 如果极限∑=→?n

i i i i y f 1

),(lim

ηξλ总存在, 则称此极限为函数

f(x , y)在有向曲线L 上对坐标x 的曲线积分, 记作

?L dy y x f ),(, 即

∑?=→?=n

i i i i L y f dy y x f 1

),(lim ),(ηξλ. 设L 为xOy 面上一条光滑有向曲线, {cos τ, sin τ}是与曲线方向一致的单位切向量, 函数P(x , y)、Q(x , y)在L 上有定义. 如果下列二式右端的积分存在, 我们就定义 ??=L L ds y x P dx y x P τcos ),(),(,

??=L L ds y x Q dy y x Q τsin ),(),(,

前者称为函数P(x , y)在有向曲线L 上对坐标x 的曲线积分, 后者称为函数Q(x , y)在有向曲线L 上对坐标y 的曲线积分, 对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分. 2. 第二型曲线积分(对坐标的曲线积分)的简写形式:

dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P L L L ),(),(),(),(+=+???;

???ΓΓΓ++dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(++=?Γ.

3. 第二型曲线积分(对坐标的曲线积分)的性质: (1) 如果把L 分成L 1和L 2, 则

???+++=+2

1

L

L L Q d y P d x Q d y P d x Q d y P d x . (2) 设L 是有向曲线弧, -L 是与L 方向相反的有向曲线弧, 则

??+-=+-L L dy y x Q dx y x P d y x Q dx y x P ),(),(),(),(.

4. 第二型曲线积分(对坐标的曲线积分)的计算....................

: 定理..1.:设.P(x ...,. y)..、.Q(x ...,. y)..是定义在光滑有向曲线..........

L .:. x .=.?.(t)...,. y .=.ψ.(t)...,. 上的连续函数......,. 当参数...t .单调地由....α.变到..β.时.,. 点.M(x ...,. y)..从.L .的起点...A .沿.L .运动到终点.....B .,. 则.

??'=β

α

?ψ?dt t t t P dx y x P L )()](),([),(,.

??'=β

α

ψψ?dt t t t Q dy y x Q L )()](),([),(..

且.??'+'=

αψψ??ψ?dt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P L

)}()](),([)()](),([{),(),(..

定理2:若P(x , y)是定义在光滑有向曲线 L : x =?(t), y =ψ(t)(α≤t ≤β)

上的连续函数, L 的方向与t 的增加方向一致, 则

??'=β

α

?ψ?dt t t t P dx y x P L )()](),([),(.

应注意的问题......: 下限..a .对应于...L .的起点...,. 上限..β. 对应于...L .的终点...,. α.不一定小于.....β. . 推广:若空间曲线Γ由参数方程

x =?t ), y =ψ (t), z =ω(t)

给出,那么曲线积分 ?Γ++dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(

?'=

β

α?ωψ? )()](),(),([{t t t t P dt t t t t R t t t t Q )}()](),(),([)()](),(),([ωωψ?ψωψ?'+'+,

其中α对应于Γ的起点, β对应于Γ的终点. 例题13. 计算

?L

xydx , 其中L 为抛物线y 2=x 上从点A(1, -1)到点B(1, 1)的一段弧.

解法一:以x 为参数. L 分为AO 和OB 两部分:

AO 的方程为x y -=, x 从1变到0; OB 的方程为x y =, x 从0变到1. 因此

???+=OB AO L xydx xydx xydx

5

42)(1023

1

1==+-

=

?

??dx x dx x x dx x x .

解法二:以y 为积分变量. L 的方程为x =y 2, y 从-1变到1. 因此

??-'=1

122)(dy y y y xydx L 5

421

14==?-dy y . 例题14. 计算

ydz x dy zy dx x 2233-+?Γ, 其中Γ是从点A(3, 2, 1)到点B(0, 0, 0)的直线段AB .

解: 直线AB 的参数方程为 x =3t , y =2t , x =t , t 从1变到0. 所以 所以 dt t t t t t I ??-?+?=

12

23]2)3(2)2(33)3[(4

87870

13-==?dt t .

5. 两类曲线积分之间的联系: 由定义,得

??+=+L L ds Q P Qdy Pdx )sin cos (ττ ???=?=L

L

d ds Q P r F }sin ,{cos },{ττ,

其中F ={P , Q}, T ={cos τ, sin τ}为有向曲线弧L 上点(x , y)处单位切向量, dr =Tds ={dx , dy}.

类似地有

??ΓΓ++=++ds R Q P Rdz Qdy Pdx )cos cos cos (γβα ??Γ

Γ

?=?=r F d ds R Q P }cos ,cos ,{cos },,{γβα.

其中F ={P , Q , R}, T ={cos α, cos β, cos γ}为有向曲线弧Γ上点(x , y , z)处单们切向量, dr =Tds ={dx , dy , dz }. (三)格林公式: 1. 单连通与复连通区域:

设D 为平面区域, 如果D 内任一闭曲线所围的部分都属于D , 则称D 为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.

2. 对平面区域D 的边界曲线L , 我们规定L 的正向如下:

当观察者沿L 的这个方向行走时,D 内在他近处的那一部分总在他的左边. 3. 格林定理....:设闭区域....D .由分段光滑的曲线........L 围成..,. 函数..P(x ...,. y)..及.Q(x ...,. y)..在.D .上具有一阶.....连续偏导数.....,. 则有..

???+=??-??L D

Qdy Pdx dxdy y

P

x Q )(

,

其中..L .是.D .的取正向的边界曲线.........

. 4. 应用格林公式必须注意:

(1)格林公式的条件是:封闭、正向、偏导数连续,三者缺一不可. 若曲线积分C 不封闭则添加辅助线使之封闭;若C 是顺时针方向,则改为逆时针方向;应用格林公式时先要检查x

Q

y P Q P ????,

, ,的连续性; (2)P dx 前面的项是,Q dy 前面的项是;

(3)用Green 公式计算二重积分时不能将曲线C 的方程代入被积函数. 例题15. 利用格林公式计算?

-L

x y x y xy d d 22,其中L 是圆周222a y x =+(按逆时针

方向).

解:L 所围区域D :2

22a y x ≤+,由格林公式,可得

?

-L

x y x y xy d d 22=

y x y y x x xy D d d ))()((22???-?-??=??+D

y x y x d d )(22=4π2002

2πd a r r r d a ??=?θ. 例题16. (2012年会计学专业真题)

利用格林公式计算曲线积分∫L (2x+1-e y sinx)dy-e y cosxdx ,其中L 是半圆x=(1-y 2)1/2由A (0,-1)

到B (0,1)的一段弧.

解:令封闭曲线L 2=L+L 1,其中L 1是起点为B ,终点为A 的y 轴的一部分.

由格林公式,得:∫L2(2x+1-e y sinx)dy+(-e y cosx)dx=∫∫D [?(2x+1-e y sinx)/ ?x -?(-e y cosx)/?y]dxdy=

∫∫D 2dxdy=π(其中D 为封闭曲线L 2所围).

而∫L2(2x+1-e y sinx)dy+(-e y cosx)dx=∫L (2x+1-e y sinx)dy+(-e y cosx)dx+∫

L1(2x+1-e y sinx)dy+(-e y cosx)dx ,其中∫

L1(2x+1-e y sinx)dy+(-e y

cosx)dx=-2.

所以有∫L (2x+1-e y sinx)dy+(-e y cosx)dx=π-(-2)=π+2. 5. 平面上曲线积分与路径无关的条件...............

: 定理..:设开区域....G .是一个单连通域.......,. 函数..P(x ...,. y)..及.Q(x ...,. y)..在.G .内具有一阶连续偏导数..........,. 则.曲线积分....?

+L Qdy Pdx 在.G .内与路径无关(或沿.........G .内任意闭曲线的曲线积分为零)的...............充分..必要条件是等式.......

x

Q y P ??=??

在.G .内恒成立....

. 应注意的问题:定理要求, 区域G 是单连通区域, 且函数P(x , y)及Q(x , y)在G 内具有一阶连续偏导数. 如果这两个条件之一不能满足, 那么定理的结论不能保证成立. 破坏函数P 、Q 及

y P ??、x

Q ??连续性的点称为奇点.

例题17. 计算

?+L dy x xydx 22, 其中L 为抛物线y =x 2

上从O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧.

解:因为

x x

Q y P 2=??=??在整个xOy 面内都成立,

所以在整个xOy 面内, 积分

?+L dy x xydx 22与路径无关.

???+++=+AB OA L dy x xydx dy x xydx dy x xydx 222222

111

2==?dy .

例题18. 证明曲线积分?-++)

3 ,2()1 ,1()()(dy y x dx y x 在整个xOy 面内与路径无关, 并计算积分

值.

解:P =x +y , Q =x -y , 显然P 、Q 在整个xOy 面内具有一阶连续偏 导数, 而且

1=??=??x

Q y P , 故在整个xOy 面内, 积分与路径无关.

取L 为点(1, 1)到(2, 3)的直线y =2x -1, x 从1变到2, 则

??-+-=-++)

3 ,2()

1 ,1(2

1)]1(2)13[()()(dx x x dy y x dx y x ?=+=2

12

5)1(dx x .

(四)第一型曲面积分(对面积的曲面积分)

1. 定义:设曲面∑是光滑的, 函数f(x , y , z)在∑上有界. 把∑任意分成n 小块: ?S 1, ?S 2 , ? ? ?, ?S n (?S i 也代表曲面的面积), 在?S i 上任取一点(ξi , ηi , ζi ), 如果当各小块曲面的直径的最大值λ→0时, 极限i i i i n

i S f ?=→∑),,(lim 1

0ζηξλ总存在, 则称此极限为函数f(x , y , z)在曲面∑上对面积

的曲面积分或第一类曲面积分, 记作

??∑

dS z y x f ),,(, 即

i i i i n

i S f dS z y x f ?==→∑

∑??),,(lim ),,(1

0ζηξλ. 其中f(x , y , z)叫做被积函数, ∑叫做积分曲面.

2. 第一型曲面积分(对面积的曲面积分)的存在性: 我们指出当f(x , y , z)在光滑曲面∑上连续时对面积的曲面积分是存在的.

3. 第一型曲面积分(对面积的曲面积分)的性质: (1)设c 1、c 2为常数, 则

dS z y x g c dS z y x f c dS z y x g c z y x f c ),,(),,()],,(),,([2121∑

??????+=+;

(2)若曲面∑可分成两片光滑曲面∑1及∑2, 则

dS z y x f dS z y x f dS z y x f ),,(),,(),,(2

1

∑∑∑

??????+=;

(3)设在曲面∑上f(x , y , z)≤g(x , y , z), 则

dS z y x g dS z y x f ),,(),,(∑

????≤;

(4)

A dS =∑

??, 其中A 为曲面∑的面积.

4. 第一型曲面积分(对面积的曲面积分)的计算....................

: 定理..:设曲面...∑.由方程...z .=.z(x ...,. y)..给出..,. ∑.在.xOy ...面上的投影区域为........D .xy ..,. 函数..z .=.z(x ...,. y)..在.D .xy ..上具有连续偏导数........,. 被积函数....f(x ...,. y .,. z)..在.∑.上连续...,. 则.

????++=∑

xy

D y x dxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f ),(),(1)]

,(,,[),,(22

..

如果积分曲面......∑.的方程为....y .=.y(z ...,. x)..,. D .zx ..为.∑.在.zOx ...面上的投影区域.......,. 则函数...f(x ...,. y .,. z)..在.∑.上对面积的曲面积分为..........

????++=∑

zx

D x z dzdx x z y x z y z x z y x f dS z y x f ),(),(1]

),,(,[),,(2

2..

如果积分曲面......∑.的方程为....x .=.x(y ...,. z)..,. D .yz ..为.∑.在.yOz ...面上的投影区域.......,. 则函数...f(x ...,. y .,. z)..在.∑.上对面积的曲面积分为..........

d y d z z y x z y x z y z y x f dS z y x f z y D yz

),(),(1],),,([),,(2

2++=????∑

.. 说明..:若曲面为参数方程........,. 只要求出在参数意义下..........d .S .的表达式.... ,.也可将对面积的曲面积分...........

转化为对参数的二重积分............ 例题19. 计算积分??

zdS ,其中∑是上半球面2

22y x a z --=. 解:

dxdy z z y x a I y x D

2

22221++?--=

??

=

????

π==

--?

--D

D

a adxdy dxdy y x a a y x a 3

2

22222 例题20. 计算曲面积分

??∑

dS z

1, 其中∑是球面x 2+y 2+z 2=a 2被平面

z =h(0

解:∑的方程为222y x a z --=, D xy : x 2+y 2≤a 2-h 2. 因为 2

22y

x a x z x ---=

, 222y x a y z y ---=, d x d y y

x a a d x d y z z dS y x 22222

1--=

++=,

所以

????--=∑

xy

D dxdy y x a a

dS z 2221

??

--=π

θ20

2

22

2h a r a r d r d a 220

22)]ln(21[2h a r a a ---=πh a a ln 2π=.

提示:

2222222222222

11y

x a a y x a y y x a x z z y

x --=--+--+=++.

(五)第二型曲面积分(对坐标的曲面积分)

1. 有向曲面: 通常我们遇到的曲面都是双侧的. 例如由方程z =z(x , y) 表示的曲面分为上侧与下侧. 设n =(cos α, cos β, cos γ)为曲面上的法向量, 在曲面的上侧cos γ>0, 在曲面的下侧cos γ<0. 闭曲面有内侧与外侧之分.

类似地, 如果曲面的方程为y =y(z , x),则曲面分为左侧与右侧, 在曲面的右侧cos β>0, 在曲面的左侧cos β<0. 如果曲面的方程为x =x(y , z), 则曲面分为前侧与后侧, 在曲面的前侧cos α>0, 在曲面的后侧cos α<0.

设∑是有向曲面. 在∑上取一小块曲面?S , 把?S 投影到xOy 面上得一投影区域, 这投影区域的面积记为(?σ)xy .假定?S 上各点处的法向量与z 轴的夹角γ的余弦cos γ有相同的符号(即cos γ都是正的或都是负的). 我们规定?S 在xOy 面上的投影(?S)xy 为

??

?

??≡?=?0c o s 00cos )(0

cos )()(γγσγσxy xy xy S ,

其中cos γ≡0也就是(?σ)xy =0的情形. 类似地可以定义?S 在yOz 面及在zOx 面上的投影(?S)yz 及(?S)zx .

2. 流向曲面一侧的流量: 设稳定流动的不可压缩流体的速度场由

v(x , y , z)=(P(x , y , z) , Q(x , y , z) , R(x , y , z))

给出, ∑是速度场中的一片有向曲面, 函数P(x , y , z)、Q(x , y , z)、R(x , y , z)都在∑上连续, 求在单位时间内流向∑指定侧的流体的质量, 即流量Φ.

如果流体流过平面上面积为A 的一个闭区域, 且流体在这闭区域上各点处的流速为(常向量)v , 又设n 为该平面的单位法向量, 那么在单位时间内流过这闭区域的流体组成一个底面积为A 、斜高为|v|的斜柱体. 当(v ,^n)2

πθ<

=时, 这斜柱体的体积为

A|v|cos θ=A v ?n . 当(v ,^n)2

π=时, 显然流体通过闭区域A 的流向n 所指一侧的流量Φ为零, 而Av ?n =0, 故

Φ=Av ?n ; 当(v ,^n)2

π>

时, Av ?n <0, 这时我们仍把Av ?n 称为流体通过闭区域A 流向n 所指一侧的

流量, 它表示流体通过闭区域A 实际上流向-n 所指一侧, 且流向-n 所指一侧的流量为-Av ?n . 因此, 不论(v ,^n)为何值, 流体通过闭区域A 流向n 所指一侧的流量均为Av ?n . 把曲面∑分成n 小块: ?S 1, ?S 2, ? ? ?, ?S n (?S i 同时也代表第i 小块曲面的面积). 在∑是光滑的和v 是连续的前提下, 只要?S i 的直径很小, 我们就可以用?S i 上任一点(ξi , ηi , ζi )处的流速

v i =v(ξi , ηi , ζi )=P(ξi , ηi , ζi )i +Q(ξi , ηi , ζi )j +R(ξi , ηi , ζi )k 代替?S i 上其它各点处的流速, 以该点(ξi , ηi , ζi )处曲面∑的单位法向量 n i =cos αi i +cos βi j + cos γi k

代替?S i 上其它各点处的单位法向量. 从而得到通过?S i 流向指定侧的流量的近似值为 v i ?n i ?S i (i =1, 2, ? ? ? ,n) 于是, 通过∑流向指定侧的流量 i i i n

i S ??≈=∑n v 1Φ

i i i i i i i i i i i i i n i S R Q P ?++==∑]c o s ),,(c o s ),,(c o s ),,([1

γζηξβζηξαζηξ,

但 cos αi ??S i ≈(?S i )yz , cos βi ??S i ≈(?S i )zx , cos γi ??S i ≈(?S i )xy , 因此上式可以写成

]))(,,())(,,())(,,([1xy i i i i zx i i i i yz i i i i n

i S R S Q S P ?+?+?≈Φ=∑ζηξζηξζηξ;

令λ→0取上述和的极限, 就得到流量Φ的精确值.

3. 定义1:设∑为光滑的有向曲面, 函数R(x , y , z)在∑上有界. 把∑任意分成n 块小曲面?S i (?S i 同时也代表第i 小块曲面的面积). 在xOy 面上的投影为(?S i )xy , (ξi , ηi , ζi )是?S i 上任意取定的一点. 如果当各小块曲面的直径的最大值λ→0时, xy i i i i n

i S R ))(,,(lim 1

0?=→∑ζηξλ

总存在, 则称此极限为函数R(x , y , z)在有向曲面∑上对坐标x 、y 的曲面积分:, 记作

??∑

dxdy z y x R ),,(,

xy i i i i n

i S R dxdy z y x R ))(,,(lim ),,(1

0?==→∑

∑??ζηξλ. 类似地有

yz i i i i n

i S P dydz z y x P ))(,,(lim ),,(1

0?==→∑

∑??ζηξλ.

zx i i i i n

i S Q dzdx z y x Q ))(,,(lim ),,(1

0?==→∑

∑??ζηξλ. 其中R(x , y , z)叫做被积函数, ∑叫做积分曲面.

定义2: 设∑是空间内一个光滑的曲面, n =(cos α , cos β , cos γ)是其上的单位法向量, V(x , y , z)=(P(x , y , z), Q(x , y , z), R(x , y , z))是确在∑上的向量场. 如果下列各式右端的积分存在, 我们定义 ????∑

=dS z y x P dydz z y x P αcos ),,(),,(,

????∑

=dS z y x Q dzdx z y x Q βcos ),,(),,(,

????∑

=dS z y x R dxdy z y x R γcos ),,(),,(.

并称

??∑

dydz z y x P ),,(为P 在曲面∑上对坐标y 、z 的曲面积分, ??∑

dzdx z y x Q ),,(为Q 在曲

面∑上对坐标z 、x 的曲面积分,

??∑

dxdy z y x R ),,(为R 在曲面∑上对坐标y 、z 的曲面积分.

其中P 、Q 、R 叫做被积函数, ∑叫做积分曲面. 以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分. 4. 第二型曲面积分(对坐标的曲面积分)的简记形式: 在应用上出现较多的是

??????∑

++dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(

d x d y z y x R d z d x z y x Q d y d z z y x P ),,(),,(),,(++

=

??∑

. 流向∑指定侧的流量Φ可表示为 Φd x d y z y x R d z d x z y x Q d y d z z y x P ),,(),,(),,(++

=

??∑

. 5. 特殊形式:

??∧∑

dz Pdy 称为P 对坐标y ,z 的曲面积分;

??∧∑

dx Qdz 称为Q 对坐标z ,x 的曲面积分;

??∧∑

dy Rdx 称为R 对坐标x ,y 的曲面积分.

∑??=→∑

?=∧n

i yz i i i i S P dz dy z y x P 1

))(,,(lim ),,(ζηξλ∑??=→∑

?=∧n

i zx i i i i S Q dx dz z y x Q 1

))(,,(lim ),,(ζηξλ∑??=→∑

?=∧n

i xy i i i i S R dy dx z y x R 1

))(,,(lim ),,(ζηξλ

6. 一个规定: 如果∑是分片光滑的有向曲面, 我们规定函数在∑上对坐标的曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和.

7. 第二型曲面积分(对坐标的曲面积分)的性质:

对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分类似的一些性质. 例如 (1)如果把∑分成∑ 1和∑2, 则

R d x d y

Q d z d x P d y d z ++??∑

R d x d y Q d z d x P d y d z R d x d y Q d z d x P d y d z +++++=

????∑∑2

1

.

(2)设∑是有向曲面, -∑表示与∑取相反侧的有向曲面, 则

R d x d y Q d z d x P d y d z R d x d y Q d z d x P d y d z ++-=++????∑

-.

这是因为如果n =(cos α , cos β , cos γ)是∑的单位法向量, 则-∑上的单位法向量是 -n =(- cos α , -cos β , -cos γ).

R d x d y Q d z d x P d y d z

++??∑

- dS z y x R z y x Q z y x P ??

++-=}cos ),,(cos ),,(cos ),,({γβα

Rdxdy Qdzdx Pdydz ++-

=??∑

8. 第二型曲面积分(对坐标的曲面积分)的计算....................

: 定理..: 设积分曲面.....∑.由方程...z .=.z(x ...,. y)..给出的...,. ∑.在.xOy ...面上的投影区域为........D .xy .. ,. 函数..z .=.z(x ...,.

y)..在.D .xy ..上具有一阶连续偏导数..........,. 被积函数....R(x ...,. y .,. z)..在.∑.上连续...,. 则有..

????±=∑

xy

D dxdy y x z y x R dxdy z y x R )],(,,[),,(,.

其中当...∑.取上侧时....,. 积分前取....“.+.”.;当.∑.取下侧时....,. 积分前取....“.-.”.. 即.上侧取正,下......侧取负..... 若曲面为....∑:.),(z y x x =,则有...

????±=∧yz

D dydz z y z y x P dz dy z y x P ),),,((),,(∑

(前侧取正,后侧取负)........... 若曲面为....∑:.),(z x y y =,则有...

????±=∧xz

D dxdz z z x y x Q dz dx z y x Q )),,(,(),,(∑

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