重庆市人口老龄化现状及人口年龄结构的分析
课程名称数学模型
学院计算机学院年级2014级专业班计科5班
学生姓名袁胜涛学号20144592
开课时间2015 至2016 学年第二学期
组员：
20144592 袁胜涛
20144589 刘心想
20144611 户维波
重庆市人口老龄化现状及年龄结构的分析
摘要
人口数量、质量和年龄分布直接影响一个地区的经济发展、资源分配、社会保障、社会稳定和城市活力。所以对人口模型的研究起着越来越重要的意义，而且随着时代的进步，人民生活水平的提高，人均寿命逐渐提高，于此同时，人口老龄化现象也越来越严重，人口老龄化是当今世界人口发展的趋势，人口年龄结构的变化也正在广泛而深刻地影响着人类社会生活的各个方面。因此，我们建立模型分析重庆市当前人口老龄化现状及“二孩政策”对人口年龄结构的影响。
对于问题一，我们首先分析了2001年到2014年总人口与老年人口随时间的变化规律，建立了两种模型，一种是随时间变化老年人口的一次线性的曲线，，二是随总人口变化的老年人口的二阶函数曲线，分别做拟合曲线，求出相应的拟合函数，从而计算了2016当前的老龄化现状。通过分析两种模型的变化与误差，我们得到了2016年的老龄化现状：老年人占总人口的比例高达13.89%，足以可见重庆市当前已然进入了老龄化时代。
对于问题二，我们通过建立按年龄分布的Leslie模型，分别对于每个年龄段的、每个生育年龄段的女性的人数数据查找，还有根据当前年代的死亡率、生育率对未来每年的死亡率，生育率预测，然后再通过Leslie模型计算出每个年龄段的人数，从而得到在未来51年内的0-14岁，15-64岁、65岁以上的三个年龄段的人口数的估计，从而分析未来重庆市三个年龄段人口数的变化。在未来10年左右的时间段内，老年人仍然在增加，15到64岁段年龄组的人口则在减少，同时的，0到14岁的人口也在缓慢增加，从2050年左右，老年人口开始呈现下降趋势，15到64岁的人口数下降更为明显，而0到14岁的人口数则开始增加，可见，在2050年左右，重庆市老龄化得到初步的治疗效果。同时，人口随年龄的分布也呈现出来健康的金字塔方式。
关键词：人口老龄化Leslie模型年龄结构
1 问题重述
一、背景知识：
人口数量、质量和年龄分布直接影响一个地区的经济发展、资源分配、社会保障、社会稳定和城市活力。所以对人口模型的研究起着越来越重要的意义，而且随着时代的进步，人民生活水平的提高，人均寿命逐渐提高，于此同时，人口老龄化现象也越来越严重，关于人口老龄化国际上的标准是：60岁以上的人口数占总人口数的比例超过10%，或者65岁以上的人口数占总人口数的比例超过7%。人口老龄化是当今世界人口发展的趋势，人口年龄结构的变化也正在广泛而深刻地影响着人类社会生活的各个方面。2015年10月，中共十八届中央委员会第五次全体会议公报指出：促进人口均衡发展，坚持计划生育的基本国策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子政策，二孩的全面开放将为年龄结构的演变带来一定的影响。 二、要解决的问题：
1 收集数据，查阅文献，建模分析重庆市人口老龄化现状
2 讨论“二孩政策”对重庆市人口年龄结构的影响
2 问题分析
人口的变化受到众多方面因素的影响，因此对人口的预测与控制也就十分复杂，为了解决此问题，我们分析了题目以及所得数据中所给的相关信息，考虑到可以根据对人口增长不同的评价指标及不同的时期建立模型加以讨论。由模型的计算结果我们还能够得到各年份处在各年龄段的人口数量、男女比率的预测值。根据这些预测值我们可以计算出反映人口增长特点的其他指标，由此我们可以对模型的计算结果进行进一步的分析，并预测“二孩政策”对重庆市人口年龄结构的影响。
3 模型假设
1. 社会稳定，不会发生重大自然灾害和战争i i s b ,不随时间而变化
2. 超过90岁的妇女都按90岁年龄计算
3. 在较短的时间内，平均年龄变化较小，可以认为不变
4. 不考虑流动人口对人口总数的影响
5. 假设本问题所使用的数据均真实有效，具有统计分析价值
6. 在农村中，由于不同地区的政策不同，故假设如果农村夫妇第一胎为女孩；
7. 抽查统计的10%的人口随机性很强
8. 女人15 岁开始生育，50 岁停止生育
9. 假设各个年龄段的死亡率不变，以2010 为基础
10. 单独二胎政策下，假设的各个年龄段变化的生育率合理
4 符号说明
5 模型的建立与求解
按年龄分布的Leslie 模型 一、模型的准备
将人口按年龄大小等间隔地划分成m 个年龄组（譬如每10岁一组），模型要讨论在不同时间人口的年龄分布，对时间也加以离散化，其单位与年龄组的间隔相同。时间离散化为 2,1,0=t .设在时间段t 第i 年龄组的人口总数为m i t n i ,2,1),(=，定义向量T m t n t n t n t n )](),(),([)(21 =，模型要研究的是女性的人口分布)(t n 随t 的变化规律，从而进一步研究总人口数等指标的变化规律。
设第i 年龄组的生育率为i b ，即i b 是单位时间第i 年龄组的每个女性平均生育女儿的人数；第i 年龄组的死亡率为i d ，即i d 是单位时间第i 年龄组女性死亡人数与总人数之比，i i d s -=1称为存活率。设i b 、i s 不随时间t 变化，根据i b 、
i s 和)(t n i 的定义写出)(t n i 与)1(+t n i 应满足关系：
?????
-==+=++=∑1,,2,1),()1()
()1(11
m i t n s t n t n b t n i i i m
i i i i （1）
在（1）式中我们假设i b 中已经扣除婴儿死亡率，即扣除了在时段t 以后出生而活不到1t +的那些婴儿。若记矩阵
??
?
????
?????????=--000000121121m m m s s s b b b b L （2）
则（1）式可写作
)()1(t Ln t n =+ （3） 当L 、)0(n 已知时，对任意的 ,2,1=t 有
)0()(n L t n t = （4）
若（2）中的元素满足
（ⅰ）1,,2,1,0-=>m i s i ；
（ⅱ）m i b i ,2,1,0 =≥，且至少一个0>i b 。 则矩阵L 称为Leslie 矩阵。
只要我们求出Leslie 矩阵L 并根据人口分布的初始向量)0(n ，我们就可以求出t 时段的人口分布向量)(t n 。
二、模型的建立
我们以2010年为初始年份对以后各年的女性总数及总人口数进行预测，根据所查数据中所给数据，以1岁为间距对女性分组，其中数据来自于《重庆市人口预测与控制》一文，其中的数据为抽查数据。
(1) 计算2010年处在各个年龄上的妇女人数的分布向量)90,,2,1,0),0(+= i n i （；假设重庆市城市、镇、乡人口占2010年全国总人口的比率等于全国平均水平，则0.242,0.1297,0.6283s z x p p p ===；我们由表1数据知2010年重庆市总人口22488.30=Z （单位：千万），因此可以算出2010年城市、镇、乡的总人口分别为78042096.00=?=z p z s s 、41826694.00=?=z p z z z 、
0261921.20=?=z p z x x
根据所查数据给的2010年城市、镇、乡各个年龄段的女性比率，可以分别算出2010年城市、镇、乡处在第)90,,2,1,0(+= i i 年龄段的女性的总数分别为)0(,)0(,)0(321i i i n n n 。以城市为例，设2010年城市中处在i 年龄段妇女占城市总人口比率分别为i P ，则s i i Z P n ?=)0(1（镇、乡类似）。于是可以算出2010年
处在第)90,,2,1,0(+= i i 年龄段上的妇女总人数.
)0()0()0()0(321i i i i n n n n ++=
（2）计算处在第)90,,2,1,0(+= i i 年龄段的每个女性平均生育女儿的人数)90,,2,1,0(+= i b i 。所查数据中分别给出了2010年城市、镇、乡育龄妇女（15岁—49岁）的生育率（此处应该是包含男孩和女孩)90,,1,0(+= i i ）（15i 时都为0），则可以分别算出2010年处在第)90,,1,0(+= i i 年龄段的城市、镇、乡育龄妇女总共生育的小孩数（包含男孩和女孩），记为：
)49,,16,15(,)49,,16,15(,)49,,16,15(321 ===i H i H i H i i i 。以城市为例计算
)49,,16,15(1 =i H i ：)49,,16,15()0(*)49,,16,15(111 ===i n b i H i i i （镇、乡类似）。所查数据中还分别给出了2010年市、镇、乡的男女出生人口性别比
321,,c c c （女100计）
，据此可以分别计算出城市、镇、乡女孩的出生率)3,2,1(100=+=i c c v i
i
i 。由此
就可以求出2010年处在第)49,,15( =i i 年龄段的每个女性平均生育女儿的人数：
)49,,15()
0(3
32211 =?+?+?=i n v H v H v H b i i i i i ，
由于总和生育率：i 1i b *1)S)/S v 8.1((b +-?=
(3) 计算第i 年龄段的女性总存活率率)90,,2,1,0(+= i d i ：
记第)90,,2,1,0(+= i i 年龄段的女性的死亡率为i d 。所查数据中分别给出了城市、镇、乡处在第)90,,2,1,0(+= i i 年龄段的女性死亡率)90,,2,1,0(,,321+= i d d d i i i ，则处在第i 年龄段的女性总死亡率)90,,2,1,0(+= i d i 为：
)90,,2,1,0()
0()0()0()0(332211+=?+?+?= i n n b n b n d d i i i i i i i i ，
于是总存活率为：i i d s -=1见附录。用EXCEL 对计算出来的数据进行整理，然后运用MATLAB 软件进行编程，计算出Leslie 矩阵，
于是可以用上面(4)式
)0()(n L t n t =
进行预测。
三、模型的分析
我国人口发展形势复杂，目前人口的低生育水平面临着严峻的挑战，下面我们分别从如下方面分析预测我国人口发展将要面临的复杂局面。
（1）人口老龄化
图1
从图1可以看出，随着年份的增加，总人口和老年人口都呈上升趋势，且近似于线性变化。
图2
从图2中可以看出，老年人的增长速率是在随着年份逐渐变大的。
考虑老龄化增长速度，我们假设其随时间为1阶线性的增长方式，设，其中y为对应的x年的老年人口占总人口的比例；通过matlab拟合，
得到a=0.003699，b=-7.319，所以得到老年人口随时间的变化函数
。
图3
由于考虑到总人口的变化，所以单独考虑老年人口所占比例和时间的关系是不明确的，假设老年人口与总人口的关系为2阶的函数关系，假设函数关系式为
，（y为老年人口，x为总人口），根据matlab的数据拟合情况
来看（图表1.4），我们解得a=0.005698,b=-35.46,c=5.548e+04。所以函数为
5.548e+04。拟合图像如下：
图4
由以上两种方式分别得到当前的老龄化状况，分别将2016与当前的总人口代入式子计算，得到当前的老年人占总人口的比例为0.138878，即100个人当中将会有14个老人；将总人口代入第二个式子计算，得到2016年重庆市的老年人口数为451.6万，可见重庆市的老龄化状况俨然已成为一个亟待解决的问题。
（2）“二孩政策”对人口年龄结构影响的预测
图5
从图2.1为实施“二孩政策”前各年龄段人口的分布图。从图中可以看出，0到14岁的人口呈下降趋势，15到64岁的人口先减后增，而65岁以上的人口则近似呈线性增长。说明了重庆市人口的老龄化现象在加重，出生率降低，劳动人口下降。
图6
图6为实施“二孩政策”后对人口年龄结构的预测图。由图可知，实行二孩政策之后，在未来10年左右的时间段内，老年人仍然在增加，15到64岁段年龄组的人口则在减少，同时的，0到14岁的人口也在缓慢增加，可见，实行二孩政策之后，在长久的目光来看，确实有利于改善重庆市的老龄化状况，因为在老年人由于年龄增长死去，而中年人同时也在进入老年人的阶段，随着0到14岁的人的长大，未来的老龄化必将得到改善。同时0到14岁的人数也在增加。图中显示，从2050年左右，老年人口开始呈现下降趋势，15到64岁的人口数
下降更为明显，而0到14岁的人口数则开始增加，可见，在2050年左右，重庆市老龄化得到初步的治疗效果。同时，人口随年龄的分布也呈现出来健康的金字塔方式。
6 模型的评价及推广
模型的优点：
1. 将人口按照年龄段来分组，避免仅通过一个总的出生率和死亡率来研究人口增长问题
2. 每年的总的出生率和死亡率是变化的
模型的缺点：
二胎政策，对出生率的改变也是通过预测得到的
模型的改进：
可以通过设计一份问卷调查，调查二胎政策对独生子女生育意愿的影响
模型的推广：
虽然二胎政策对独生子女的出生意愿的影响很难得到，但是具体到县以及乡镇，由于重庆市人口的数量相对全国来统计较少，所以对于独生子女的生育意愿可以得到一份比较准确的结果，运用本文所用的模型，可以得到一个比较准确的结果。
参考文献
[1]姜启源,谢金星,叶俊.数学模型[M].北京:.2003年8月第三版
[2]骆小琴，西南大学硕士，重庆市人口预测与控制
[3]姜启源.数学模型[M].北京: 高等教育出版社.1987年4月第一版
[4]于洪彦.Excel统计分析与决策[M].北京:高等教育出版社.2006年4月
[5]胡守信,李柏年.基于MATLAB的数学实验[M].北京:科学出版社.2004年6月
[6]扬启帆,康旭升,等.数学建模[M].北京: 高等教育出版社.2006年5月
附录
附录1(老年人口与总人口的关系)
a=[3104.06 3118.37 3132.04 3145.18 3158.53 3172.23 3186.1 3199.77 3212.86 3224.88 3235.3 3243.95 3251.92 3260.61 3270.01];
b=[256.32 377.07 287.94 298.1 308.99 319.8 330.74 343.14 356.05 370.85 387.22 403.41 415.62 428.69 440.71];
y=polyfit(a,b,2);
d=polyval(y,a);
plot(a,b,'ro',a,d,'b');
xlabel('总人口');
ylabel('老年人人口');
title('老年人口与总人口的关系');:
附录2（老年人占总人口比例的增长速度与年份的关系）
x=[2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015];
a=[3104.06 3118.37 3132.04 3145.18 3158.53 3172.23 3186.1 3199.77 3212.86 3224.88 3235.3 3243.95 3251.92 3260.61 3270.01];
b=[256.32 377.07 287.94 298.1 308.99 319.8 330.74 343.14 356.05 370.85 387.22 403.41 415.62 428.69 440.71];
y=a.\b;
s=polyfit(x,y,1);
d=polyval(s,x);
plot(x,y,'Xb',x,d,'b');
xlabel('年份');
ylabel('增长速度');
title('老龄化增长趋势');
附录3（求解各个年份的各个年龄段的人数）
p=0.464429182;
N=[15.04 15.49 15.78 15.85 15.70 15.30 14.74 14.11 13.55 13.34 13.18 13.11 15.22 14.34 15.62 16.62 17.08 17.96 19.04 19.66 20.08 21.85 22.91 24.25 25.76 30.01 32.82 30.89 30.02 27.88 22.67 19.59 19.01 20.51 21.36 20.28 20.82 21.78 21.20 22.13 23.74 25.40 27.23 28.35 29.77 31.62 31.88 32.29 30.22 28.56 30.23 30.15 32.27 29.99 20.32 16.55 17.59 19.41 22.91 23.05 22.52 23.52 22.22 20.85 19.35 17.52 16.95 15.48 13.92 13.05 11.72 11.00 10.39 9.45 9.06 8.69 7.75 7.28 7.12 6.54 5.99 5.51 5.04 4.31 3.60 3.19 2.63 2.13 1.77 1.38 1.12];
N00=N'/10;
A=eye(90);
b=[0.974906966 0.999321231 0.99772433 0.999247616 0.999567418
0.999180663 0.999887948 0.999387596 0.999618586 0.999985672 0.999389434 0.999724354 0.999801796 0.999627626 0.999704795 0.999639686 0.999728462 0.999974533 0.999173327 0.998954118 0.999441067 0.999357392 0.999290675 0.998999176 0.999881604 0.998896347 0.998355939 0.999135339 0.999074527 0.998872652 0.999180794 0.998918159 0.999046112 0.999042354 0.999396027 0.998624972 0.998252716 0.999597855 0.998710945 0.999003274 0.999443444 0.999141415 0.998772101 0.998940505 0.997905005 0.998374562 0.997783774 0.997596666 0.997344906 0.996954499 0.996669784 0.996030759 0.995006639 0.996157488 0.994647744 0.995779435 0.995652313 0.99577713 0.992477806 0.994969564 0.988130537 0.989284868 0.988703961 0.988302563 0.98420824 0.984495416 0.985298735 0.980062089 0.978928307 0.977358446 0.971126989 0.969303899 0.969979818 0.96405059 0.961740312 0.96729706 0.948302346 0.946571559 0.949641387 0.935949391 0.912489482 0.9261805 0.923757863 0.928757906 0.918230333 0.887761389 0.885306858 0.875178086 0.882495752 0.824428701];
for i=1:90
A(i,:)=A(i,:)*b(1,i);
end
A;
c=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4.478E-05
0.000322169 0.000358246 0.001004604 0.004683367 0.011011165 0.033616492 0.057875394 0.074871727 0.069182006 0.076039141 0.06724895 0.052429406 0.043732464 0.034350502 0.024632733 0.023252532 0.018343847 0.014701275 0.011039961 0.007117557 0.005094843 0.00359291 0.002514858 0.002484781 0.001764709 0.001471644 0.000676953 0.000265476 0.000401474 0.000408779 0.000110447 0.000192401 0.000389421 0.000224069 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];
c1=1.295274487*c;
M=sum(c1');
d=zeros(91,1);
B=[c1;A];
L=[B,d];
for i=0:1:50
X=L^i*N00;
Z=X./p;
S1=sum(Z([1:15],:));
D(1,i+1)=S1;
S2=sum(Z([16:65],:));
E(1,i+1)=S2;
S4=sum(Z([66:91],:));
F(1,i+1)=S4;
end
zx=linspace(2010,2067,51);
plot(zx,D,'xr');
hold on,plot(zx,E,'*k');hold off hold on,plot(zx,F,':m');hold off
附录4（各年龄段女性人口抽查总数）
附录5
年份人口/万老年人/万
2001 3104.06 256.32 2002 3118.37 377.07 2003 3132.04 287.94 2004 3145.18 298.1
2005 3158.53 308.99
2006 3172.23 319.8
2007 3186.1 330.74
2008 3199.77 343.14
2009 3212.86 356.05
2010 3224.88 370.85
2011 3235.3 387.22
2012 3243.95 403.41
2013 3251.92 415.62
2014 3260.61 428.69
2015 3270.01 440.71
附录6（从2010年到2061年各个年龄段的总人数）
%年龄在0-14岁总人数（包括男女）
Columns 1 through 13
47.4496 48.6877 50.0330 51.0427 52.3508 53.4888 54.4345 55.1774 55.6446 55.8175 55.7203 55.3978 54.9140
Columns 14 through 26
54.3293 53.7152 53.2017 51.2161 49.3362 47.5985 46.0239 44.6261 43.4088 42.3757 41.5567 40.9834 40.6680
Columns 27 through 39
40.5720 40.6861 40.9743 41.3681 41.8250 42.2960
42.7285 43.0972 43.3772 43.5513 43.6130 43.5569
43.3570
Columns 40 through 51
42.9899 42.4464 41.7655 40.9579 40.0633 39.1312 38.1967 37.2970 36.4682 35.7267 35.0921 34.5775
%年龄在15-64岁总人数（包括男女）
Columns 1 through 13
259.7102 258.2244 256.1861 254.0978 251.3433
248.8696 246.3481 243.9349 242.3501 241.2622 240.4947 239.0635 235.7690
Columns 14 through 26
232.0474 228.7121 225.2143 223.4871 221.3327
218.6608 215.9474 213.1578 210.5969 208.1721 205.8254 203.6837 201.7157
Columns 27 through 39
199.9240 198.1846 196.2145 194.3439 192.5050
190.4091 188.4490 186.7623 184.9696 182.6096 179.2970 175.6291 171.8803
Columns 40 through 51
167.8933 164.5765 162.1638 160.1382 158.4345
156.9589 155.8178 154.7308 153.7099 152.8335 152.0492 151.2737
%年龄在65岁及65岁以上总人数（包括男女）
Columns 1 through 13
43.6213 45.7073 47.9736 50.3598 52.8643 54.9926 57.0970 59.0407 60.1459 60.7749 61.1152 62.1181 64.9157
Columns 14 through 26
68.0159 70.5875 73.0435 75.0169 77.1929 79.6336 81.8300 83.8502 85.3880 86.5151 87.3238 87.6489 87.5431
Columns 27 through 39
87.0708 86.2974 85.5300 84.5114 83.3575 82.4714 81.4107 80.0652 78.9391 78.4403 78.9310 79.6567 80.2125
Columns 40 through 51
81.0976 81.5674 81.2852 80.8214 80.0861 79.1357 77.9360 76.7368 75.5505 74.2635 72.8966 71.5464
常微分方程在数学建模中的应用 这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子. 一、人口预测模型 由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型. 例1（ 马尔萨斯 （Malthus ） 模型） 英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r ,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型. 解 设时刻t 的人口为)(t N ,把)(t N 当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t 到t t ?+时间段内,人口的增长量为 t t rN t N t t N ?=-?+)()()(, 并设0t t =时刻的人口为0N ,于是 ?????==． ， 00)(d d N t N rN t N 这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为 )(00e )(t t r N t N -=, 此式表明人口以指数规律随时间无限增长. 模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为9 1006.3?,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样19610=t ,901006.3?=N ,02.0=r ,于是 ) 1961(02.09 e 1006.3)(-?=t t N . 这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为,这期间地球上的人 口大约每35年翻一番,而上式断定34.6年增加一倍（请读者证明这一点）． 但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36 000亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此,这一模型应该修改. 例2（逻辑Logistic 模型） 马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢？这主要是地
八十年代以来我国人口发展的数学模型和展望1 The mathematical modeling and projection of China population after 1980 物理学院技术物理系99级王彦 摘要 以LESLIE矩阵构建人口的动力学方程，建立了80年以来中国人口的数学模型,并用人口普查的数据验证了该模型的有效性及所含假设的合理性。利用该模型可推算82年至98年的逐年的以岁为单位的年龄构成。通过调整模型中有关参数及输入的条件，定量地分析了“夫妻双方均为独生子女可生两胎”这一政策将在未来15年内对我国人口的影响。 所建模型有很好的移植性，理论上来讲可推测很长一段时期内任一年的年龄结构，并可通过调整参量定量分析一部分人口政策及社会因素对人口发展的影响，可供有关研究及政策制定部门参考。 abstract Based on the LESLIE Matrix as the dynamic function, we built up the mathematical model of the china population development since the adoption of “Family Planning Policy”. A few assumptions are made and justified by the Census Data. With this model, we could accurately estimate the yearly age distribution pattern of china population from 80 to 98. By modifying the relevant parameters and input, we further alculate the population age distribution in 2015 with and without adoption of “a spouse can have two children if the two parties of the spouse are both the only child in their family”. This model could be used , through adapting its parameters , to calculate and project population development under some different social conditions 社会经济的许多领域的规划都必须考虑人口这一重要因素。而人口普查只能为我们提供某几个时间点的横截面数值，但在现实生活中，人们常常需要其他时 1“政基金”项目和国家自然科学基金委员会杰出青年基金项目资助（No 10025523）
中国人口预测模型 摘要 本文对人口预测的数学模型进行了研究。首先，建立一次线性回归模型，灰色序列预测模型和逻辑斯蒂模型。考虑到三种模型均具有各自的局限性，又用加权法建立了熵权组合模型，并给出了使预测误差最小的三个预测模型的加权系数，用该模型对人口数量进行预测，得到的结果如下： 其次，建立Leslie人口模型，充分反映了生育率、死亡率、年龄结构、男女比例等影响人口增长的因素，并利用以1年为分组长度方式和以5年为 负指数函数，并给出了反映城乡人口迁移的人口转移向量。 最后我们BP神经网络模型检验以上模型的正确性 关键字：一次线性回归灰色序列预测逻辑斯蒂模型Leslie人口模型BP神经网络
一、问题重述 1. 背景 人口增长预测是随着社会经济发展而提出来的。由于人类社会生产力水平低，生产发展缓慢，人口变动和增长也不明显，生产自给自足或进行简单的以货易货，因而对未来人口发展变化的研究并不重要，根本不用进行人口增长预测。而当今社会，经济发展迅速，生产力达到空前水平，这时的生产不仅为了满足个人需求，还要面向社会的需求，所以必须了解供求关系的未来趋势。而人口增长预测是对未来进行预测的各环节中的一个重要方面。准确地预测未来人口的发展趋势，制定合理的人口规划和人口布局方案具有重大的理论意义和实用意义。 2. 问题 人口增长预测有短期、中期、长期预测之分，而各个国家和地区要根据实际情况进行短期、中期、长期的人口预测。例如，中国人口预期寿命约为70岁左右，因此，长期人口预测最好预测到70年以后，中期40—50年，短期可以是5年、10年或20年。根据2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》（附录一）及《中国人口年鉴》收集的数据（附录二），再结合中国的国情特点，如老龄化进程加速，人口性别比升高，乡村人口城镇化等因素，建立合理的关于中国人口增长的数学模型，并利用此模型对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，同时指出此模型的合理性和局限性。 二、问题的基本假设及符号说明 问题假设 1． 假设本问题所使用的数据均真实有效，具有统计分析价值。 2． 假设本问题所研究的是一个封闭系统，也就是说不考虑我国与其它国家的人口迁移问题。 3． 不考虑战争 瘟疫等突发事件的影响 4． 在对人口进行分段处理时，假设同一年龄段的人死亡率相同，同一年龄段的育龄妇女生育率相同。 5． 假设各年龄段的育龄妇女生育率呈正态分布 6．人类的生育观念不发生太大改变，如没有集体不愿生小孩的想法。 7.中国各地各民族的人口政策相同。 符号说明 ()i a t --------------------第t 时间区间内第i 个年龄段人口总数 ()i c t --------------------第t 时间区间内第i 个年龄段人口总数占总人口的比例 ()k i c t --------------------第t 时间区间内第i 个年龄段中第k 年龄值人口总数占总人口 的比例 ()A t --------------------第t 时间区间内各年龄段人口总数的向量 ()P t --------------------第t 时间区间各年龄段人口总数向量转移矩阵
实验24 人口预测的最小二乘模型 据统计，上世纪六十年代世界人口数据如下： 表24-1 世界人口数据（单位：亿） 年1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 人口29.72 30.61 31.51 32.13 32.34 32.85 33.56 34.20 34.83 的方法就是数据拟合方法。 一、问题分析 据人口增长的统计资料和人口理论，当人口总数N 不是很大时，在不长的时期内，人口增长率与人口数N成正比，这就是著名的马尔萨斯人口模型，用微分方程描述为 dN =(24.1) bN dt 其中，b为人口增长系数。用分离变量法解常微分方程，得ln N = b t + a，即 =(24.2) ()a bt N t e+ 由此可知，马尔萨斯模型是人口数量按指数函数递增的模型。由于指数函数表达式中a和b均未知，需要用人口数据来确定。即用指数函数对数据进行拟合，确定指数函数中参数使指数函数与人口数据偏差（残差平方和）尽可能小。下图是经数所拟合后的指数函数图形与原始数据散点图的对比，残差平方和为3.6974×10- 4 图24-1指数函数图形与原始数据散点图 为了计算方便，将上式两边同取对数，还原为ln N = a + b t，令 y = ln N或N = e y
- 160 - 第三章 综合实验 160 变换后的拟合函数为 y (t ) = a + b t (24-3) 由人口数据取对数（y = ln N ）计算，得下表 表24-2 世界人口数据（单位：亿） 二、求解超定方程组的数学原理 根据表中数据及等式a + b t k = y k ( k = 1，2，……，9)可列出关于两个未知数a 、b 的9个方程的线性方程组 ????? ??? ?? ?? ???=+=+=+=+=+=+=+=+=+5505 .319685322.319675133.319664920.319654763.319644698.319634503.319624213.319613918.31960b a b a b a b a b a b a b a b a b a (24-4) 由于这一问题中方程数目多于未知数个数，被称为超定方程组，用矩阵形式表示 为 AU = f (24-5) 显然A 矩阵的行数大于列数。求解这一类方程组的数学原理是将等式左、右同时乘以A 的转置矩阵，得新的线性方程组 A T AU =A T f (24-6) 令G =A T A ， b = A T f 。得系数矩阵为方阵的线性方程组。 GU=b 求解得原方程组的最小二乘解（广义解）。由于原方程组一般无解，将最小二乘解代入下式计算 R = f – A U (24-7) 通常会得非零向量，这一向量称为残差。残差的内积可以用来度量最小二乘解的逼近程度。
马尔萨斯生物定律与人口增长模型 马尔萨斯生物总数增长定律指出：在孤立的生物群体中，生物总数)(t N 的变化率与生物总数成正比，其数学模型为 ?????==0 0)()()(N t N t rN dt t dN （1） 其中r 为常数. 方程（1）的解为 )(00)(t t r e N t N -=（2） 因此，遵循马尔萨斯生物总数增长定律得任何生物都是随时间按指数方式增长，在此意义下，马尔萨斯方程（1）又称指数增长模型。人作为特殊的生物总群，人口的增长也应满足马尔萨斯生物总数增长定律，此时的（1）式称为马尔萨斯人口方程。 英国人口学家马尔萨斯根据百余年的人口统计资料，于1798年提出了人口指数增长模型。根据国家统计局1990年10月30日发布的公告，1990年7月1日我国人口总数为11.3368亿，今年的人口平均增长率为14.8‰. 假设人口的增长率保持不变，那么2000年我国的人口数量将达到13.45亿。 事实上，将 0148.0,2000,19900===r t t 代入到（2）式得 45.133368.11)()19902000(0148.0==-e t N （亿） 显然根据马尔萨斯人口方程预测2000年我国人口数量与全国第五次人口普查公报公布的12.9533亿，相差较大。造成误差过大的主要原因是人口的增长率r 不是常数，它是随时间而变化的，很多试验和事实也证明r 是时变的。为此修改马尔萨斯人口方程为 ?????=--=0 00)()())(()(N t N t N t t B A dt t dN (3) 其中)()(0t t B A t r r --==为时变人口增长率，B A ,为定常参数。求解微分方程 （3），得其特解为 2 00)(21)(0)(t t B t t A e N t N ---=（4）
题目：人口增长模型的确定 摘要 人口问题已成为当前世界上最普遍关注的问题之一，人口增长规律的发现以及人口增长的预测问题对一个国家制定长远的发展规划有着非常重要的意义。本文分别使用了马尔萨斯人口指数增长模型和阻滞增长模型，以美国1790-1980年间每隔10年的人口数量为依据，对接下来的每隔十年进行了预测五次人口数量。通过对比我们可以发现阻滞增长模型在预测准确度方面要明显优于原始的马尔萨斯人口指数增长模型。 关键词：人口增长；马尔萨斯人口指数增长模型；阻滞增长模型；人口预测
一、问题重述 1.1 问题背景 1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。 表1 人口记录表 1.2 问题提出 我们需要解决以下问题： 1.试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。 2.如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测，并对两次预测结果进行对比分析。 3.查阅资料找出中国人口与表1同时期的人口数量，用以上建立的两个模型进行人口预测与分析。 二、问题分析 首先，我们运用Matlab 软件绘制出1790到1980年的美国人口数据图，如图1。 17801800182018401860188019001920194019601980 050 100 150 200 250
图1 1790到1980年的美国人口数据图 从图表中我们可以清晰地看到人口数在1790—1980年是呈增长趋势的，而且我们很容易发现上述图表和我们学过指数函数的图表有很大的相似性，所以我们很自然想到建立指数模型。因此我们首先建立马尔萨斯模型，马尔萨斯生物总数增长定律指出：在孤立的生物群体中，生物总数N的变化率与生物总数成正比。 三、问题假设 为简化问题，我们做出如下假设： （1）在模型中预期的时间内，人口不会因发生大的自然灾害，突发事件或战争而受到大的影响； （2）所给出的数据具有代表性，能够反映普遍情况； （3）一段时间内我国人口死亡率不发生大的波动； （4）在查阅的资料与文献中，所得数据可信； （5）假设人口净增长率为常数。 四、变量说明 在此，对本文所使用的符号进行定义。 表2 变量说明 符号符号说明 N(0)起始年人口容纳量 N(t)t年后人口容纳量 t年份 r增长率 五、模型建立 5.1 问题一：马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型 设：t表示年份（起始年份t=0），r表示人口增长率，N(t)表示t年后的人口数量。 当考察一个国家或一个很大地区的人口时，N(t)是很大的整数。为了利用微积分这一数学工具，将N(t)视为连续、可微函数。记初始时刻(t=0)的人口为N(0)，人口增长率为r，r是单位时间内N(t)的增量与N(t)的比例系数。根据r是常数的基本假设，于是N(t)满足如下的微分方程： dN(t)/dt=r*N(t) (5-1) 由这个线性常系数微分方程容易解出: N(t)=N(0)e rt(5-2) 表明人口将按指数规律无限增长(r>0)。将以t年为单位，上式表明，人口以e r为公
摘要 以2010年11月1日零时为标准时点，中国大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口共13.397亿。13亿是一个忧虑的数字。13亿人要吃饭、要穿衣、要上学、要就业、要住房……，消费的需求乘以13亿，就是一个庞大的数目，而我国的耕地、水资源、森林以及矿产资源本来就稀缺，再除以13亿，就少得可怜。平均每人耕地面积只有1.4亩，水资源只相当于世界人均水平的1/4…….、 中国是世界上人口最多的发展中国家，人口多，底子薄，人均耕地少，人均占有资源相对不足，是我国的基本国情，人口问题一直是制约中国经济发展的首要因素。当前中国的人口存在着最为明显的三大特点：（1）人口基数大，人口数量的控制难度仍很大。（2）人口整体素质不高，特别是县域及以下农村人口素质普遍偏低。（3）人口结构不合理，城乡差别、地区差别和人口素质差别很大。 人口数量、质量和年龄分布直接影响一个地区的经济发展、资源配置、社会保障、社会稳定和城市活力。在我国现代化进程中，必须实现人口与经济、社会、资源、环境协调发展和可持续发展，进一步控制人口数量，提高人口质量，改善人口结构。对此，单纯的人口数量控制（如已实施多年的计划生育）不能体现人口规划的科学性。政府部门需要更详细、更系统的人口分析技术，为人口发展策略的制定提供指导和依据。 我国是世界第一人口大国，地球上每九个人中就有二个中国人，在20世纪的一段时间内我国人口的增长速度过快，如下表： 有效地控制人口的增长，不仅是使我国全面进入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理想来说，也是我们义不容辞的责任。 长期以来，对人口年龄结构的研究仅限于粗线条的定性分析，只能预测年龄结构分布的大致范围，无法用于分析年龄结构的具体形态。随着对人口规划精准度要求的提高，通过数学方法来定量计算各种人口指数的方法日益受到重视，这就是人口控制和预测。 我国人口问题已积重难返，对我国人口进行准确的预测是制定合理的社会经济发展规划
人口增长预测模型 摘要 本文建立了我国人口增长的预测模型，对各年份全国人口总量增长的中短期和长期趋势作出了预测，并对人口老龄化、人口抚养比等一系列评价指标进行了预测。最后提出了有关人口控制与管理的措施。 模型Ⅰ：建立了Logistic人口阻滞增长模型，利用附件2中数据，结合网上查找补充的数据，分别根据从1963年、1980年、2005年到2012年四组总人口数据建立模型，进行预测，把预测结果与附件1《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。得出运用1980年到2005年的总人口数建立模型预测效果好，拟合的曲线的可决系数为0.9987。运用1980年到2005年总人口数据预测得到2010年、2020年、2033年我国的总人口数分别为13.55357亿、14.18440亿、14.70172亿。 模型Ⅱ：考虑到人口年龄结构对人口增长的影响，建立了按年龄分布的女性模型（Leslie模型）：以附件2中提供的2001年的有关数据，构造Leslie矩阵，建立相应Leslie模型；然后，根据中外专家给出的人口更替率1.8，构造Leslie矩阵，建立相应的 Leslie模型。 首先，分别预测2002年到2050年我国总人口数、劳动年龄人口数、老年人口数（见附录8），然后再用预测求得的数据分别对全国总人口数、劳动年龄人口数的发展情况进行分析，得出：我国总人口在2010年达到14.2609亿人，在2020年达到14.9513亿人，在2023年达到峰值14.985亿人；预测我国在短期内劳动力不缺，但须加强劳动力结构方面的调整。 其次，对人口老龄化问题、人口抚养比进行分析。得到我国老龄化在加速，预计本世纪40年代中后期形成老龄人口高峰平台，60岁以上老年人口达4.45亿人，比重达33.277%；65岁以上老年人口达3.51亿人，比重达25.53%；人口抚养呈现增加的趋势。 再次，讨论我国人口的控制，预测出将来我国育龄妇女人数与生育旺盛期育龄妇女人数，得到育龄妇女人数在短期内将达到高峰，随后又下降的趋势的结论。 最后，分别对模型Ⅰ与模型Ⅱ进行残差分析、优缺点评价与推广。 关键词 Logistic人口模型 Leslie人口模型人口增长预测 MATLAB软件
指数函数的数据拟合 世界人口预测问题 下表给出了本世纪六十年代世界人口的统计数据(单位：亿) 有人根据表中数据，预测公元2000年世界人口会超过60亿。这一结论在六十年代末令人难以置信，但现在已成为事实。试建立数学模型并根据表中数据推算出2000年世界人口的数量。 根据马尔萨斯人口理论，人口数量按指数递增的规律发展 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨（T.R.Malthus,1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模型： 精品文档，下载后可编辑
精品文档，下载后可编辑 rt e y y 0= 其中t 表示经过的时间， 0y 表示t ＝0时的人口数，r 表示人口的年平均增长率。 表3是1950～1959年我国的人口数据资料： (1)如果以各年人口增长平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符; 解：设1951~1959年的人口增长率分别为 于是, 1951~1959年期间,我国人口的年均增长率为 129r ,r ,......,r .155196(1)56300,1951, r +=≈≈≈≈≈≈≈≈≈1 2 34 5 678 9 可得年的人口增长率r 0.0200.同理可得r 0.0210,r 0.0229,r 0.0250,r 0.0197,r 0.0223,r 0.0276,r 0.0222,r 0.0184. 55196,1950~1959y =令则我国在年期间的人口增长模型为
2003年7月南京人口管理干部学院学报Jul.,2003第19卷 第3期 Journal of Nanjing college for P opulation Programme Management V ol.19 N o.3 [收稿日期]2003-05-08;[修订日期]2003-06-11 [作者简介]谢勇(1975-)男,安徽淮南人,南京大学商学院硕士研究生,研究方向:劳动经济与社会保障。 ①引自参考文献[1]李宗正“评马尔萨斯〈人口原理〉第一版”一文。 人口研究 马尔萨斯人口理论在中国 谢 勇,徐 倩 (南京大学商学院,江苏南京210093) [摘要]马尔萨斯人口理论在传入我国的100多年里,始终伴随着争议,我国学术界对其态度也经历了从最初的倍加推崇到上世纪50年代起的全盘否定再到改革开放后的部分肯定的转变。而在可持续发展日益受到重视的今天,重新认识和评价马尔萨斯人口理论已成为许多学者的共识。 [关键词]马尔萨斯人口理论;推崇;否定;重新评价 [中图分类号]C92 [文献标识码]A [文章编号]1007-032X (2003)03-0022-04 Abstract :Malthus P opulation Theory always comes with disputes since it was introduced in China m ore than 100years ag o.China ’s academic circle has als o experienced from excessive encomium in the early stage ,via full denial in 1950’s ,to partial acceptance after the reform and opening.T oday ,however ,with greater im portance attached to sus 2tainable development ,many scholars have reached a comm on understanding to study and evaluate Malthus P opulation Theory from a new point of view. K ey Words :Malthus P opulation Theory ;Encomium ;Deny ;Reappraise 一、马尔萨斯和他的人口理论 托马斯?罗伯特?马尔萨斯(1766-1834),英国经济学家,近代人口问题研究的先驱。1798年他 匿名发表了《人口原理》 (第一版),引起了广泛的关注。该书在马尔萨斯生前共出过6版,并对后人造成了极大的影响。 马尔萨斯的人口理论从两条公理出发,即“第一,食物为人类生存所必需。第二,两性间的情欲是必然的,且几乎会保持现状”,同时根据“土地肥力递减法则”引申出食物增长和人口增长两者之间是不平衡的,因为“人口若不受到抑制便会以几何比率增加,而生活资料却仅仅以算术比率增加。懂得一点算术的人都知道,同后者相比,前者的力量多么巨大”。由此,马尔萨斯得出三个命题:“人口没有生活资料便无法增加这一命题是极其明了的,无需再加以任何说明。只要有生活资料,人口便会增加,所有民族的历史已充分证明了这一点。占优势的人口增殖力若不产生贫困与罪恶便不会受到抑制”。最后,马尔萨斯得出了他的结论, “较强的人口增殖力为贫困和罪恶所抑制,因而实际人口同 生活资料保持平衡”[1] 。 马尔萨斯的人口理论自诞生之日起就伴随着 广泛的争议,《人口原理》甚至被认为是200多年来社会科学领域内争议最多的一部著作。在我国,对它的评价也一直是毁誉参半,众说纷纭。本文将对马尔萨斯人口理论一个世纪以来、尤其是新中国成立后在中国的遭遇做简要的回顾与述评。 二、解放前马尔萨斯人口理论倍受推崇马尔萨斯《人口原理》翻译成中文的时间较晚,直到1933年世界书局才出版了郭大力同志译的 《人口论》,而且印数很少。① 但这并没有影响我国学者对这一人口思想的研究。1906年《独立评论》发表的章宗元的文章《论古今生计界之竞争》,就主要宣传了马尔萨斯的生存竞争思想。 虽然马尔萨斯人口理论在中国传播的初期也曾经遭到过批评,例如梁启超、孙中山、廖仲恺等学者和政治家都从不同的角度对其进行过批评,其中不乏真知灼见,而马克思主义在中国最早的传播者李大钊和陈独秀更是运用历史唯物主义的观点,批判了马尔萨斯的人口观点;但是总体来说,当时社会上对马尔萨斯人口理论还是推崇备至的。这与旧中国现实的人口状况有着密切的联系:由于三座 2 2
全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反 竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：西安理工大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 20011 年 7 月4 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
中国人口增长模型 摘要：人口数量的变化，关系到一个国家的未来。认识人口数量的变化规律，建立人口模型，能过较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。针对题目所提要求，我们首先建立了Malthus模型。此模型假设人口增长率为常数，即人口按指数增长。但实际上人口增长率受环境、资源等多重因素影响，并不是常数。用Malthus模型计算1982~2005年的中国人口总量并与实际值比较发现，在短期内(1982~1995)Malthus模型能过较准确的计算出人口总量，但中长期的计算值误差较大，所以此模型只适用于短期的人口预测。为使人口预报特别是中长期预报更好地符合实际情况，必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这个基本假设。分析人口增长到一定数量后增长率下降的主要原因，注意到，自然资源、环境条件等因素对人口起着阻滞作用，并随着人口的增加，阻滞作用越来越大。假设人口增长率随着人口总量的增加线性递减，从而建立了性能更好的Logistic 模型。经对比发现，作为短期预测，Malthus模型和Logistic模型不相上下，但作为中长期预测Logistic模型比Malthus模型更合理一些。
考虑年龄结构的人口模型（Leslie 模型） 对Logistic 模型的批评意见除了实际统计时常采用离散变化的时间变量外，另一种看法是种群增长不应当只和种群总量有关，也应当和种群的年龄结构有关。不同年龄的个体具有不同的生育能力和死亡率，这一重要特征没有在Logistic 模型中反映出来。基于这一事实，Leslie 在20世纪40年代建立了一个考虑种群年龄结构的离散模型。 由于男、女性人口（或雌、雄性个体）通常有一定的比例，为了简便起见，建模时可以只考虑女性人数，人口总量可以按比例折算出来。将女性按年龄划分成m +1个组，即0,1,…,m 组，例如，可5岁（或10岁）一组划分。将时间也离散成间隔相同的一个个时段，即5年（或10年）为一个时段。记j 时段年龄在i 组中的女性人数为N （i ,j ），b i 为i 组每一妇女在一个时段中生育女孩的平均数，i p 为i 组女性存活一时段到下一时段升入i +1组的人数所占的比例（即死亡率d i =1-i p ）同时假设没有人能活到超过m 组的年龄。实际上可以这样来理解这一假设，少量活到超过m 组的妇女（老寿星）人数可以忽略不计，她们早已超过了生育期，对人口总量的影响是微小的而且是暂时性的，对今后人口的增长和人口的年龄结构不产生任何影响，假设b i 、i p 不随时段的变迁而改变，这一假设在稳定状况下是合理的。如果研究的时间跨度不过于大，人们的生活水平、整个社会的医疗条件及周围的生活环境没有过于巨大的变化，b i 、i p 事实上差不多是不变的，其值可通过统计资料估算出来。 根据以上假设可以得出以下j +1时段各组人数与j 时段各组人数之间的转换关系： ?????? ?-=+=++++=+-) ,1()1,(),0()1,1(),(),0(),0()1,0(10 10j m N p j m N j N p j N j m N b j N b j N b j N m m 显然，0,≥i j p b 。 简记??????????=),(),0(j m N j N N j ， ?? ?? ? ?????++=+)1,()1,0(1j m N j N N j 并引入矩阵 ??????? ?????????=--00 000 00 01 101 10 m m m p p p b b b b A 则方程组（4.28）可简写成
软件学院 人口增长模型数学建模报告 专业：软件工程 班级：卓越131班 学号：201370044120 学生姓名：郭俊成 指导教师：于志云 2015 年11 月12 日 题目：计划生育政策调整对人口数量、结构及其影响的研究
摘要 本论文针对2007年国家人口发展战略研究课题组发布的《国家人口发展战略研究报告》中关于“计划生育实施以来，全国少生了4亿多人，使世界60亿人口日推迟4年”的论述做了研究。论文根据计划生育实施之前1949-1980年的人口普查数据，使用最小二乘法拟合并建立灰色预测模型，利用数学软件，预测出了如果未实行计划生育现今中国人口的数量，从而对研究报告中“少生4亿”的结论产生质疑。 同时，本论文针对2006年全国老龄工作委员会发布的《中国人口老龄化发展趋势预测研究报告》中关于“2051年，中国老年人口规模将达到峰值4.37亿，老龄化水平基本稳定在31%左右”的论述做了研究，根据近几年的人口老龄化程度、老龄人口比重、老龄人口数量、死亡率的变化等诸多因素，建立阻滞增长模型(Logistic模型)，预测40年到70年的老龄人口数量和老龄化率，验证了报告中的关于老龄人口数目持续增加、数目庞大、老龄化严重的预测。 论文基于近期的计划生育调整、“单独二孩”政策的逐步实施、城镇化所导致的人口迁移等现象，结合江苏省的实际情况，利用差分方程模型、LESLIE矩阵，分析新政策对江苏人口数量的影响。论文从出生率着手，重点研究了新政策对江苏省14岁以下儿童、60岁以上老人的影响，分析了儿童和老人数量的变化对人口结构、教育改革、养老的直接影响作用。 关键字 单独二孩、人口老龄化、Logistic 模型、差分方程模型、LESLIE模型 一、问题描述
人口增长预测 数学实验 指导教师：何仁斌 城市建设与环境工程学院环境工程1班 姓名：郑惋月 学号：20096545
人口增长预测 摘要：人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。 本文主要介绍了两个最基本的人口模型，即人口指数增长模型和阻滞增长模型，并利用美国1790年至1980年人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预测2010年美国人口。 模型一：建立了指数增长模型，根据规律建立模型公式——年增长率r不变。我们要验证该模型是否适用。取题目中给出的数据1790年至1900年的，数据拟合用MATLAB软件计算的增长率r以及初始人口数。讲以上两参数带入公式，算的人口数量，将之与实际人口数相比较画出对比图形，发现比较相符。又取1790至2000年的数据，重复刚才步骤。发现算出数据前半部分相符，但后半部分明显增加的比实际数据快。所以，Malthus人口模型只适用于短期，并不适用于长期的人口预测。因为人口在增长到一定程度时，由于资源和环境对人口增长的阻滞作用使增长率下降。 模型二：建立了阻滞增长人口阻滞增长模型，利用题目中给出的数据。根据公式做出人口的时间变化率与人口容量的关系图，以及人口与时间的关系图。选择1860年至1990年的数据（去掉个别异常数据），用MATLAB软件计算出增长率和人口容量。根据得到的数据带入公式的到计算的人口数量与实际数据作比较。可以看出这个模型的吻合度相当好，由于阻滞增长人口模型。可以据此模型有效的预测在以后一段时间内如2020的美国人口增长。依次内推也可以利用此模型来预测世界人口在相当一段时间内的人口增长。 模型三：对模型进行了进一步的修正。 最后，分别对三模型进行优缺点评价与改进。 关键字：人口预测； matlab软件；人口指数增长模型；阻滞增长模型
马尔萨斯的人口理论 王恩涌 马尔萨斯（Thomas Robert Malthus，1766～1834年），出生于英国工业革命开始的年代，他1784年进入剑桥大学学习历史、英语、拉丁语和希腊语，并专攻数学。1788年毕业，并获得神职。1805年担任伦敦附近的东印度学院（East India College）的历史与经济学教授。1798年出版的他的著作《人口论及其对未来社会的进步的影响》。1799年他到瑞典、挪威、芬兰和俄国调查土地、粮食与人口的关系。1802年，他访问了法国和瑞士。次年，对其著作作了修改补充，出了第二版。 马尔萨斯的人口论，有三个主要的观点，就是“两个公理”“两个级数”和“两种抑制”。 “两个公理”：第一是“食物是人类生活所必需的”；第二是“两性间的情欲是必然的，在将来也是如此”。 “两个级数”：“人口在没有阻碍的条件下是以几何级数增加，而生活资料只能以算术级数增加。稍微熟悉数量的人就会知道，前一量比后一量要大得多”；“根据自然规律，食物是生活所必需，这两个不相等的量就必须保持平衡”。 “两种抑制”：当人口增长超过生活资料增长，二者出现不平衡时，自然规律就强使二者恢复平衡。恢复平衡的手段，一种是战争、
灾荒、瘟疫等，对此，马尔萨斯称其为“积极抑制”；另一种是要那些无力赡养子女的人不要结婚，马氏称其为“道德抑制”。 马尔萨斯人口论是根据农业社会与工业社会初期的人口现象提 出来的，当时，对他的理论存在着不同看法，在马尔萨斯的两个公理中，把人与自然界的动物等同起来，当作超社会的自然规律，从而忽视了人口问题的社会性，至于“两个级数”，虽然他说是在“没有限制的条件下”的增长规律，但是，从整个人类历史看，没有限制的条件是不存在的，所以从总的情况来说，“几何级数”增长也是不存在的。最后“两种抑制”的办法中，“积极抑制”的战争、灾荒和瘟疫其实质都是社会原因为主而引起的；“道德抑制”更是不切实际的。 虽然马尔萨斯的人口论存在一些问题，但是，它是第一部较为系统的人口学著作。所以，长期以来吸引各方面学者的注意。有些西方学者根据历史发展，认为该学说尽管反映了18世纪及其以前历史上人口发展的若干现象，但不能反映当时人口现象的社会原因，更没有预见到现代科学技术在提高工农业生产与科学避孕的作用。因此，也有学者认为马尔萨斯的人口学说在反映农业社会人口增长的规律基本上是正确的。总之人口问题是个社会问题，随着生产的发展而有不同的表现。 萨特说，人是生而要受自由之苦。自由是选择的自由，这种自由实质上是一种不“自由”，因为人无法逃避选择的宿命。人是社会的动物，因而人无可逃避地会去选择了解，选择去爱周围的人，这是生而为人
l e s l i e人口增长模型 模型 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
人口增长预测模型 摘要 本文建立了我国人口增长的预测模型，对各年份全国人口总量增长的中短期和长期趋势作出了预测，并对人口老龄化、人口抚养比等一系列评价指标进行了预测。最后提出了有关人口控制与管理的措施。 模型Ⅰ：建立了Logistic人口阻滞增长模型，利用附件2中数据，结合网上查找补充的数据，分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测，把预测结果与附件1《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。得出运用1980年到2005年的总人口数建立模型预测效果好，拟合的曲线的可决系数为。运用1980年到2005年总人口数据预测得到2010年、2020年、2033年我国的总人口数分别为亿、亿、亿。 模型Ⅱ：考虑到人口年龄结构对人口增长的影响，建立了按年龄分布的女性模型（Leslie模型）：以附件2中提供的2001年的有关数据，构造Leslie矩阵，建立相应 Leslie模型；然后，根据中外专家给出的人口更替率，构造Leslie矩阵，建立相应的 Leslie模型。 首先，分别预测2002年到2050年我国总人口数、劳动年龄人口数、老年人口数（见附录8），然后再用预测求得的数据分别对全国总人口数、劳动年龄人口数的发展情况进行分析，得出：我国总人口在2010年达到亿人，在2020年达到亿人，在2023年达到峰值亿人；预测我国在短期内劳动力不缺，但须加强劳动力结构方面的调整。 其次，对人口老龄化问题、人口抚养比进行分析。得到我国老龄化在加速，预计本世纪40年代中后期形成老龄人口高峰平台，60岁以上老年人口达亿人，比重达%；65岁以上老年人口达亿人，比重达%；人口抚养呈现增加的趋势。 再次，讨论我国人口的控制，预测出将来我国育龄妇女人数与生育旺盛期育龄妇女人数，得到育龄妇女人数在短期内将达到高峰，随后又下降的趋势的结论。 最后，分别对模型Ⅰ与模型Ⅱ进行残差分析、优缺点评价与推广。 关键词 Logistic人口模型 Leslie人口模型人口增长预测 MATLAB软件
《数学模型》实验报告 实验名称：如何预报人口的增长成绩：___________ 实验日期： 2009 年 4 月 22 日 实验报告日期： 2009 年 4 月 26 日 一、实验目的 预报人口的增长变化规律,作出较准确的预报，为以后有效的控制人口增长提供依据，为设计型实验。 二、实验内容 根据统计资料得出的人口增长率不变的假设，建立人口指数增长模型。利用微积分数学工具视x(t)为连续可微函数，记t=0时人口为x0,人口增长率为常数r, 变有dx/dt=rx,x(0)=x0,解出x(t)=x0*exp(rt)。 三、实验环境 MATLAB6.5 四、实验步骤 为了用数据进行线形最小二乘法的计算，故将x(t)=x0*exp(rt)两边取对数可得lnx(t)=lnx0*exp(rt), lnx(t)=lnx0+rt,另y=lnx(t),a= lnx0,所以可得y= rt+a。 根据所提供的数据用MATLAB函数p=polyfit（t,x,1）拟合一次多项式，然后用画图函数plot(t,x,’+’,t,x0*exp(rt),’-’),画出实际数据与计算结果 之间的图形，看结果如何。 利用1790-1900年的数据进行试验，程序如下： t=linspace(0,11,12); x=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0]; p=polyfit(t,log(x),1); r=p(1) x0=exp(p(2))
plot(t,x,'+',t,x0*exp(r*t),'-') 利用1790-2000年的数据进行试验，程序如下： t=linspace(0,21,22); x=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,92.0,106 .5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4]; p=polyfit(t,log(x),1); r=p(1) x0=exp(p(2)) plot(t,x,'+',t,x0*exp(r*t),'-') 五、实验结果 以1790年至1900年的数据拟合y= rt+a，用软件计算可得r=0.2743/10年,x0=4.1884，下图为拟合的图象: 以1790年至2000年的数据拟合y= rt+a，用软件计算可得r=0.2022/10年，x0=6.0450,下图为拟合的图象: