圆面积的典型题和解法
一、半径r 2替代法
题的特点：一般将正方形，三角形和圆放到一起，一般已知条件是正方形或三角形面积，求圆的面积。
解法：一般设法求出r ，或者求出r 2，
★注意：园内直角三角形一般为等腰直角三角形，两腰等长，斜边是斜边上高的2倍。 例1：已知下图阴影部分面积为8平方米，求圆的面积：
解：由已知条件可得r 2 =8，
因此，圆的面积为：814.32?=r π
例2：ABCD 为正方形，已知AC 长6m ，求阴影部分面积：
解：△ACD 为等腰直角三角形，则S △ACD=6*3/2=9㎡
AD=DC=r
AD*DC/2=9
因此，r 2 =18, 扇形DAC 的面积为：4
/1814.34/2?=r π 因此，阴影部分面积为：18-4/1814.34/2?=r π
例3：求圆与圆内最大正方形的面积比值。
解：△ABC 为等腰直角三角形，则S △ABC=22/2r r r =?
正方形的面积是两个三角形面积和，为：22r
圆的面积为：2r π，则圆与圆内最大正方形的比为：2/π
练习题：
1、已知下图阴影部分面积为5平方米，求圆的面积：
2:、在右图扇形中，正方形面积为30平方米，求阴影部分面积：
3：求正方形与正方形内最大圆的面积比值。
题的特点：一般圆内由多个阴影部分面积构成，阴影由弧线和弧线构成，或者由弧线和直线构成。
解法：注意观察面积相同的部分，将相同的部分移动替换，
若遇到轴对称图形可尝试旋转图形，记住常见的面积平移图例。
，
例1：求阴影部分的面积：
解：正方形外三角形底为6，和正方形内三角形底相同，
由于顶角相同，所以两个三角形可以互换。
阴影部分面积则为：正方形面积-1/4圆的面积
例2：求阴影部分的面积：
解：平移得到下图：
则阴影部分面积为扇形面积-三角形面积
2256.82/244/4cm =?-π
例3：求阴影部分的面积：
解：注意观察，：
阴影部分面积为：1*1-1*1/2=1/2
练习题：求阴影部分面积：
题的特点：图有好几个部分组合而成，各部分之间存在着一定的关系。
解法：注意观察图形，将图形分开或者联合起来考虑问题。可以尝试补充图形或者删减图形。例1：甲比乙的面积大6cm2，求阴影部分面积。
解：甲和乙单独考虑难解决问题，将甲、乙和直角梯形放到一起考虑
甲=乙+6，甲+直角梯形面积=乙+直角梯形面积+6。
可得，S长方形ABEF=S三角形BDF+6
S长方形ABEF=4*6=24 所以S△BDF=18
BF*DF/2=18 DF=6
BF=DF 所以S△BDF为直角等腰三角形
S扇形DFG=3.14*6*6/8
阴影部分面积为：S△BDF-S扇形DFG
例2：正方形边长为10cm，求阴影部分面积。
解：直接难以求解，可尝试将图形分解开解决问题，如下图：
可以看小正方形两块空白区域相等。
因此，大正方形外部空白区域和内部空白区域相等
空白区域的面积：（10*10-3.14*5*5）*2
阴影部分面积：10*10-（10*10-3.14*5*5）*2
例3、求阴影部分面积
解：观察，阴影部分面积需要用两个小半圆面积-两个空白圆弧面积。
两个空白圆弧面积=空白半圆的面积-三角形面积。
因此：两个空白圆弧面积=3.14*2.52/2- 3*4/2
阴影部分面积=3.14*22/2+3.14*1.52/2-两个空白圆弧面积
练习题：
1、△ABC为直角三角形，1比2小28cm2，AB长40cm，BC长多少？
的度数。
2、扇形ABC的面积是半圆ADB面积的4/3倍，求CAB
3、求阴影部分面积：
不规则图形面积计算 我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：
实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。 那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。 一、例题与方法指导 例1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分 别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。 思路导航： 阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。 例2 如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF 与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积. 思路导航：
∵△ABE 、△ADF 与四边形AECF 的面积彼此相等， ∴四边形 AECF 的面积与△ABE 、△ADF 的面积都等于正方形 ABCD 的13。 在△ABE 中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2， ∴△ECF 的面积为2×2÷2=2。 所以S △AEF=S 四边形AECF-S △ECF=12-2=10（平方厘米）。 例3 两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米 和6厘米。如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。 思路导航： 在等腰直角三角形ABC 中 ∵AB=10 ∵EF=BF=AB-AF=10-6=4， ∴阴影部分面积=S △ABG-S △BEF=25-8=17（平方厘米）。 例4 如右图，A 为△CDE 的DE 边上中点，BC=CD ，若△ABC （阴影部分）面积为5平方厘米. 求△ABD 及△ACE 的面积. B C
小学四年级奥数应用题讲解 应用题（一） 专题简析： 这一周，我们来学习一些较复杂的典型问题，如平均数问题、和倍问题、差倍问题等。这些问题的数量关系比较隐蔽，往往需要通过适当的转化，使数量关系明朗化，从而找到解题思路。 例1：甲、乙、丙三个公司到汽车制造厂订购了18辆汽车，按合同三个公司平均分配，付款时丙没有带钱，甲公司付出10的钱，乙公司付出8辆的钱，丙公司应付款90万元。甲、乙两公司应收回多少万元？分析与解答：根据题意，把18辆汽车平均分给三个公司，每个公司应得18÷3=6辆。丙公司6辆汽车付款90万元，每辆汽车应是90÷6=15万元。因为甲公司多付出10－6=4辆的钱，所以，甲公司应收回15×4=60万元；乙公司多付8－6=2辆的钱，应收回15×2=30万元。 练习一 1，甲、乙、丙三人一起买了12个面包平分着吃，甲拿出7个面包的钱，乙付了5个面包的钱，丙没有带钱。等吃完后一算，丙应该拿出4元钱。甲应收回多少钱？ 2，王叔叔和李叔叔去江边钓钱，王叔叔钓了7条鱼，李叔叔钓了11条鱼。中午来了位游客，王叔叔和李叔叔把钓得的鱼烧熟后平均分成3份。餐后，游客付了6元钱给王叔叔和李叔叔两人。问：王叔叔和
李叔叔各应得多少元？ 3，小华、小明和小强三人合用一些练习本，小华带来8本，小明带来7本，小强没有练习本，他付出了10元。小华应得几元钱？ 例2：两个数的和是94，有人计算时将其中一个加数个位上的0漏掉了，结果算出的和是31。求这两个数。 分析与解答：根据题意，正确算式中的一个加数是错误算式中的一个加数的10倍，即比它多9倍。而两个结果相差94－31=63，因此，误加上的数是63÷9=7，应该加的数是7×10=70，另一个加数为94－70=24，所以，这两个数分别是24和70。 练习二 1，楠楠和锋锋同算两数之和，楠楠得982，计算正确；锋锋得577，计算错误。锋锋算错的原因是将其中一个加数个位的0漏掉了。两个加数各是多少？ 2，小龙和小虎同算两数之和。小龙得2467，计算正确；小虎得388，计算错误。小虎算错的原因是将其中一个加数十位和个位上的两个0漏掉了。两个加数各是多少？ 3，小梅把6×（□＋8）错看成6×□＋8，她得到的结果与正确的答案相差多少？ 例3：学校三个兴趣小组共有学生180人，数学兴趣小组的人数比科技兴趣小组和美术兴趣小组人数的总和还多12人，科技兴趣小组的人数比美术兴趣小组多4人。三个兴趣小组各有多少人？ 分析与解答：根据前两个已知条件，可求数学兴趣小组有（180＋12）
圆和组合图形(1） 姓名 一、填空题 1.算出圆内正方形的面积为 . ２.右图是一个直角等腰三角形,直角边长2厘米,图中影 部分面积是 平方厘米. 3.一个扇形圆心角120,以扇形的半径为边长画一个正方形,这个正方形的面积是１2０平方厘米.这个扇形面积是 . 4．如图所示，以Ｂ、C 为圆心的两个半圆的直径都是2厘米,则阴影部分的周长是 厘米.(保留两位小数) ５．三角形ＡB Ｃ部分②的面积小２8平方厘米． A Ｂ长40厘米, BC 厘米. ６.如右图，阴影部分的面积为2形的面积为 ． 7.扇形的面积是３１.４平方厘米,它所在圆的面积是１５7平方厘米，这个扇形的圆心角是 度. 8.图中扇形的半径ＯA =OB =6厘米.45=∠AOB , AC 垂直OB C ，那么图中阴影部分的面积是 平方厘米.)14. 3(=π 9．右图中正方形周长是2０厘米.图形的总面积
是 平方厘米. １0．在右图中(单位:厘米),平方厘米. 二、解答题 11. ABC 是等腰直角三角形. Ｄ是半圆周的中点BC 是半圆的直径，已知: AB =B Ｃ=10,那么阴影部分的面积是多少?(圆周率14.3=π) １2.如图，半圆S 1的面积是14.13平方厘米，圆Ｓ2的面积是19.6２５平方厘米．那么长方形(阴影部分的面积)是多少平方厘米? 13.如图,已知圆心是O ,半径r ＝9厘米， 1521=∠=∠,那么阴影部分的面积是多少平方厘 米?)14.3(≈π 14.右图中4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心.如果每个圆的半径都是１厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米?
六年级奥数经典题、难题集粹（华杯赛难度）—附详细解答 一、工程问题 1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？ 解： 1/20+1/16＝9/80表示甲乙的工作效率 9/80×5＝45/80表示5小时后进水量 1-45/80＝35/80表示还要的进水量 35/80÷（9/80-1/10）＝35表示还要35小时注满 答：5小时后还要35小时就能将水池注满。 2．修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？ 解：由题意得，甲的工效为1/20，乙的工效为1/30，甲乙的合作工效为1/20*4/5+1/30*9/10＝7/100，可知甲乙合作工效>甲的工效>乙的工效。 又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做，16天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”。 设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）天 1/20*（16-x）+7/100*x＝1 x＝10 答：甲乙最短合作10天 3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？ 解： 由题意知，1/4表示甲乙合作1小时的工作量，1/5表示乙丙合作1小时的工作量 （1/4+1/5）×2＝9/10表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。 根据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做6小时、丙做2小时一共的工作量为1。 所以1－9/10＝1/10表示乙做6-4＝2小时的工作量。 1/10÷2＝1/20表示乙的工作效率。 1÷1/20＝20小时表示乙单独完成需要20小时。 答：乙单独完成需要20小时。 4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？ 解：由题意可知 1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+……+1/甲＝1
圆面积的典型题和解法 一、半径r 2替代法 题的特点：一般将正方形，三角形和圆放到一起，一般已知条件是正方形或三角形面积，求圆的面积。 解法：一般设法求出r ，或者求出r 2， ★注意：园内直角三角形一般为等腰直角三角形，两腰等长，斜边是斜边上高的2倍。 例1：已知下图阴影部分面积为8平方米，求圆的面积： 解：由已知条件可得r 2 =8， 因此，圆的面积为：814.32?=r π 例2：ABCD 为正方形，已知AC 长6m ，求阴影部分面积： 解：△ACD 为等腰直角三角形，则S △ACD=6*3/2=9㎡ AD=DC=r AD*DC/2=9 因此，r 2 =18, 扇形DAC 的面积为：4/1814.34/2?=r π 因此，阴影部分面积为：18-4/1814.34/2?=r π 例3：求圆与圆内最大正方形的面积比值。 解：△ABC 为等腰直角三角形，则S △ABC=22/2r r r =? 正方形的面积是两个三角形面积和，为：2 2r 圆的面积为：2r π，则圆与圆内最大正方形的比为：2/π 练习题： 1、已知下图阴影部分面积为5平方米，求圆的面积： 2:、在右图扇形中，正方形面积为30平方米，求阴影部分面积： 3：求正方形与正方形内最大圆的面积比值。 二、图像平移填补法 题的特点：一般圆内由多个阴影部分面积构成，阴影由弧线和弧线构成，或者由弧线和直线构成。 解法：注意观察面积相同的部分，将相同的部分移动替换， 若遇到轴对称图形可尝试旋转图形，记住常见的面积平移图例。， 例1：求阴影部分的面积： 解：正方形外三角形底为6，和正方形内三角形底相同， 由于顶角相同，所以两个三角形可以互换。 阴影部分面积则为：正方形面积-1/4圆的面积
圆的面积与扇形面积 例1 求图中阴影部分的面积（单位：厘米） 拓展练习 求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。 例2 求阴影部分的面积（单位：厘米） 拓展练习 计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米） 例3 如图所示，两圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部分的面积相等。求长方形O ABO 1的面积。 拓展练习 1、如图所示，圆的周长为12.56厘米，AC 两点把圆周分成相等的两段弧，阴影部分（1）的面积与阴影部分（2）的面积相等，求平行四边形ABCD 的面积。 2、如图所示，直径BC=8厘米，AB=AC,D 为AC 的中点，求阴影部分的面积。 3、如图所示，AB=BC=8厘米，求阴影部分的面积。
例4 如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米） 拓展练习 1、如图所示，求四边形ABCD 的面积。 2、如图所示，BE 长5厘米，长方形AEFD 面积是38平方厘米。求CD 的长度。 3、如图是两个完全一样的直角三角形重叠在一起，按照图中的已知条件求阴影部分的面积（单位：厘米） A B C D F B 例5 图中圆的直径AB 是4厘米，平行四边形ABCD 的面积是7平方厘米，∠ABC=0 30，求阴影部分的面积（得数保留两位小数）。 D B 拓展练习 1、如图∠1= 15，圆的周长为62.8厘米，平行四边形的面积为100平方厘米。求阴影部分的面积（得数保留两位小数） 2、如图，三角形ABC 的面积是31.2平方厘米，圆的直径AC=6厘米，B D ：DC=3:1。求阴影部分的面积。 3、如图，求阴影部分的面积（单位：厘米。得数保留两位小数）。 1. B
小学奥数圆面积的典型 题和解法 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
圆面积的典型题和解法 一、半径r 2替代法 题的特点：一般将正方形，三角形和圆放到一起，一般已知条件是正方形或三角形面积，求圆的面积。 解法：一般设法求出r ，或者求出r 2， ★注意：园内直角三角形一般为等腰直角三角形，两腰等长，斜边是斜边上高的2倍。 例1：已知下图阴影部分面积为8平方米，求圆的面积： 解：由已知条件可得r 2 =8， 因此，圆的面积为：814.32?=r π 例2：ABCD 为正方形，已知AC 长6m ，求阴影部分面积： 解：△ACD 为等腰直角三角形，则S △ACD=6*3/2=9㎡ AD=DC=r AD*DC/2=9 因此，r 2 =18, 扇形DAC 的面积为：4/1814.34/2?=r π 因此，阴影部分面积为：18-4/1814.34/2?=r π 例3：求圆与圆内最大正方形的面积比值。 解：△ABC 为等腰直角三角形，则S △ABC=22/2r r r =? 正方形的面积是两个三角形面积和，为：22r 圆的面积为：2r π，则圆与圆内最大正方形的比为：2/π 练习题： 1、已知下图阴影部分面积为5平方米，求圆的面积： 2:、在右图扇形中，正方形面积为30平方米，求阴影部分面积：
3：求正方形与正方形内最大圆的面积比值。 二、图像平移填补法 题的特点：一般圆内由多个阴影部分面积构成，阴影由弧线和弧线构成，或者由弧线和直线构成。 解法：注意观察面积相同的部分，将相同的部分移动替换， 若遇到轴对称图形可尝试旋转图形，记住常见的面积平移图例。， 例1：求阴影部分的面积： 解：正方形外三角形底为6，和正方形内三角形底相同， 由于顶角相同，所以两个三角形可以互换。 阴影部分面积则为：正方形面积-1/4圆的面积 例2：求阴影部分的面积： 解：平移得到下图： 则阴影部分面积为扇形面积-三角形面积 例3：求阴影部分的面积： 解：注意观察，： 阴影部分面积为：1*1-1*1/2=1/2 练习题：求阴影部分面积： 三、图像关联扩张法 题的特点：图有好几个部分组合而成，各部分之间存在着一定的关系。 解法：注意观察图形，将图形分开或者联合起来考虑问题。可以尝试补充图形或者删减图形。 例1：甲比乙的面积大6cm2，求阴影部分面积。
行程问题 一【知识点导航】 行程问题从运动形式上分可以分为五大类： 二【典例解析】 1. 直线上的相遇与追及 只要涉及到速度和、路程和的问题就应该用第一个公式，即使题目的背景是追及； 而只要涉及到速度差、路程差的问题就应该用第二个公式，即使题目的背景是相遇。 【例1】甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲每小时行56千米，乙每小时行48千米，两车在离两地中点32千米处相遇。问：东西两地间的距离是多少千米（某重点中学2007年小升初考题） 【解析】本题表面上看是一个典型的相遇问题，其实里面暗藏了路程差的关系，就在条件"两车在离两地中点32千米处相遇"这句话中。 【变式】大客车和小轿车同地、同方向开出，大客车每小时行60千米，小轿车每小时行84千米，大客车出发2小时后小轿车才出发，几小时后小轿车追上大客车? 【例2】两名游泳运动员在长为30米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游1米，乙的速度是每秒游0.6米，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了5分钟。如果不计转向的时间，那么在这段时间内两人共相遇多少次（某重点中学2006年小升初考题）
【解析】相遇次数与两人的路程和有关．如下图所示 【变式】甲、乙两车同时从A、B两站相对开出，第一次相遇离A站有90千米，然后各自按原速继续行驶，分别到达对方出发站后立即沿原路返回。第二次相遇时离A站的距离占AB两站全长的65%。求AB两站的距离。 2.火车过人、过桥与错车问题 在火车问题中，速度和时间并没有什么需要特殊处理的地方，特殊的地方是路程。因为此时的路程不仅与火车前进的距离有关，还与火车长、隧道长、桥长这些物体长度相关。就拿火车过桥来说，如果题目考察的是火车过桥的整个过程，那么就应该从"车头上桥"开始到"车尾下桥"结束，对应的路程就等于"车长桥长"；如果题目考察的是火车停留在桥上的过程，那就应该从"车尾上桥"到"车头下桥"结束。对应的路程就应该是"火车车长桥长".具体如下所示： 【例3】一列客车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒。已知在客车的前方有一列行驶方向与它相同的货车，车身长为320米，速度每秒17米。求列车与货车从相遇到离开所用的时间。（仁华学校2005年五年级上学期期末考试试题） 【解析】本题包含了两个基本类型的火车问题，一是火车过隧道问题，二是火车错车问题。而这两者之间最关键的是第一个过程的分析，分析方法就是前面所说的四大方法中的第三点——"利用和差倍分关系进行对比分析"：250米的隧道比210米的隧道多40米，从而使得客车通过前者的时间比后者多了秒，由此即可得出客车的速度。有了客车速度，再求客车长度以及错车时间就非常容易了。 【变式】列车通过一座长2700米的大桥，从车头上桥到车尾离桥共用了3分钟。已知列车的速度是每分钟1000米，列车车身长多少米? 3.多个对象间的行程问题 虽然这类问题涉及的对象至少有三个，但在实际分析时不会同时分析三、四个对象，而是把这些对象两两进行对比。因此，求解这类行程问题的关键，就在于能否将某两个对象之间的关系，转化为与其它对象有关的结论。 【例4】有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米。现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇。那么，东、西两村之间的距离是多少米（2008"港澳数学奥林匹克公开赛"试题） 【解析】本题最关键的一段路程，就是甲、乙相遇之后6分钟内，甲、乙两人的路程和。这
奥数圆的面积文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
1、如图，大正方形边长是10厘米，小正方形的边长是6厘米，阴影部分的面积是多少 2、下图，五个相同的圆的圆心连线构成一个边长为10厘米的正五边形。求五边形内阴影部分的面积。 3、如下图，OA、OB分别是小半圆的直径，且OA=OB=6厘米，角BOA=90度，求阴影部分的面积。 4、如下图，两个1/4圆扇形AOB与A’O’B’叠放在一起，POQO’是面积为5平方厘米的正方形，那么叠合后的图形中阴影部分的面积为多少平方厘米 5、如下图，四边形ABCD是平行四边形，AD=8厘米，AB=10厘米，角 DAB=30度，高CH=4厘米，弧BE、DF分别以AB、CD为半径，弧DM、BN 分别以AD、CB为半径，阴影部分的面积为 6、一个半径为1厘米的圆盘沿着一个半径为4厘米的圆盘未测做无滑动的滚动，当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动九十度后，小圆盘运动过程中扫出的面积是多少 7、如下图，一只羊被7米长的绳子拴在正五边形建筑物的一个顶点上，建筑物边长3米，周围都是草地，这只羊能吃到草的草地面积为多少 8、下图是三个同心圆，圆心为P，且PQ=QR=RS。S1是中间圆与外圆之间的圆环面积，S2是中间圆与小圆之间的面积，求S2：S1。 9、下图中阴影部分的面积是厘米2，求扇形的半径。 10、左下图中阴影部分的面积是200cm2，求两个圆之 间的圆环面积。 11、10、求下图阴影部分的面积，r=3cm.
12、如图，有两个半圆，已知大半圆的直径是4厘米，小半圆的直径是2厘米。求红色部分的面积。 13、计算铺色部分的面积。 14、计算铺色部分的面积。 15、计算铺色部分的面积。 16、用2条长公尺的绳子，分别围成正方形和圆形，哪个面积大大多少 17、已知右图中阴影部分的面积是40平方厘米，求圆环的面积。 18、如图所示，正方形ABCD，等腰三角形ADE，及半圆CAE，若AB＝2厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米 19、如图，阴影部分的面积是多少 20、一块草地的形状如下图的阴影部分，它的周长和面积各是多少
第三节圆的面积 【第一课时】圆的面积 一、教学目标 1．知识与技能 理解圆的面积的概念，理解和掌握圆面积的计算公式，并能正确计算圆的面积，解答有关的实际问题。 2．过程与方法 引导学生利用已有的知识，通过猜想、操作、验证、归纳等活动，经历圆面积计算公式的推导过程，培养学生观察、操作、分析、概括的能力，发展空间观念，渗透转化、极限等数学思想方法。 3．情感态度与价值观 通过自主探究圆面积转化的过程，培养学生大胆创新，勇于尝试，克服困难的精神，使学生体验成功的乐趣。 二、教学重点 正确计算圆的面积。 三、教学难点 圆面积公式的推导。 四、教学具准备 课件、学具。 五、教学过程 （一）情境导入 1．叙述：俗话说的好：“民以食为天”。餐桌是家家户户必不可少的。这不，小明家就新购置了一张圆形的餐桌。为了起到保护作用，妈妈给了他一个任务，让他去配一个与桌面相同大小的玻璃桌面。这可把小明难住了，这玻璃桌面该多大呢？【可使用圆的图片2】同学们，要想帮助小明解决他的问题我们需要用到什么知识呢？ 今天这节课我们就来学习圆面积的求法。（板书题目：圆的面积） 2．看到今天的课题，你都想知道什么？ 3．什么是圆的面积？在哪？摸摸看。 （学生摸手中圆形纸片，并用手指出圆的面积） 过渡语：圆的面积怎样求呢？在这里，我们不妨先回忆一下其它图形面积的推导过程。（二）复习旧知识 1．你还记得我们已经学过了哪些图形的面积求法吗？ （生：长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形）
2．回忆一下，平行四边形面积计算公式我们是怎样推导出来的？（课件演示） 3．问：其它图形呢？（学生简要叙述其他面积推导过程） 4．小结：这样看来，当我们遇到新问题时，往往可以借助已有的知识进行解决。 （三）学习新课 1．请你猜猜看，圆的面积公式应该怎么推导出来？ （生：转化成已知的图形进行推导） 2．怎么转化？想想办法。任意的分成几份行吗？ （生：沿圆的直径将圆平均分成若干份） 3．下面请大家动手实际拼摆一下，看看自己的想法能否实现。请看活动要求： （1）以组为单位，先摆图形。 （2）看看拼出的图形的底和高与圆的关系，并推导圆的面积公式。 （3）有问题及时记录，以便讨论。 （学生动手拼摆并贴在白纸上） 4．你们遇到什么问题了吗？ （生：边不是直的，是弯的）。 5．谁能帮助他解决这个问题？ （学生谈自己的想法） 6．是的，边不是直的这可怎么办呢？我们已拼成长方形为例，当我们把圆平均分成四份，拼成的图形是这样的；把圆平均分成8份，拼成的图形是这样的；把圆平均分成16份，拼成的图形是这样的；把圆平均分成32份；拼成的图形是这样的。（课件展示） 【可使用圆的图片27】 7．同学们请你对比大屏幕上拼得的这几幅图，你有什么想法吗？ （学生谈自己的想法） 8．看来，把圆平均分的份数越多，曲线越接近于线段，拼得的图形越接近我们所学过的图形。当分成无数份时，曲线也就变成了直线。这个问题解决了么？下面继续小组合作，推导圆面积计算公式。 （学生谈自己的想法） 9．汇报不同推导方法： 转化成长方形的： 长方形的面积＝a × b 圆的面积＝2 c ×r ＝π r × r ＝π r 2
（一）行程问题三大类 1、倍数类（以“行”定比） 例：甲、乙两车同时从A 地去B 地。甲行全程的一半时，乙离B 地还有54km 。当甲到达B 地时，乙已经行了全程的80%。求A 、B 两地的路程是（ ）km 。 解析：首先可以列出一个关系： 甲行一半（ 2 1 ）， 乙行 ？ 甲行全程（1 ）， 乙行 80% 由上、下来看，甲行全程是行一半的2倍，同理在相同时间内，乙行的路程也应该是2倍关系，可得？＝80%÷2＝40%，则剩1－40%＝60%，全程为54÷60%＝90km 。 2、行程问题正反比类（往返、相遇、追及） 例：王师傅用3.2 小时在家和工厂之间往返了一次，去时每小时25 千米，返回时减速5 2 ，求他家到工厂相距多少千米？ 解析：往返类问题属于路程不变，首先能确定时间与速度的反比关系，并且依据题目能得出：去和回的速度比为5：（5－2）＝5：3，依据反比得出去和回的时间比为3份：5份。 路程 ＝速度×时间 去： 不变 5 3份 回： 不变 3 5份 1份＝3.2÷（3＋5）＝0.4（时） 去的时间为：3×0.4＝1.2（时） 路程：25×1.2＝30（千米） 3、行程问题份数类（一个到，一个未到） 例：甲、乙两人从A 、B 两地相向而行，5小时相遇，相遇后，两人继续前行，甲又用了3小时到达B 地，此时乙离A 地还有18千米。问：A 、B 两地相距多少千米？ 解析：
甲5时乙5时 A B 乙3时甲3时 ①从后段路程来看，甲3时走的路程与乙5时走的路程一样，依据反比关系得甲速与乙速之比为5：3， ②再从整体考虑，当甲走完全程5份的路程时，乙走完3份的路程。则B离A地距离为5－3＝2份，1份＝18÷2＝9km，全程为5×9＝45km。 注：此类未变速问题可用一个小公式解决问题→路程＝剩余路÷（大数－小数）×大数，如上题可直接列式为18÷（5－3）×5＝45km，特别提醒，这种解法只限于未变速情况。 （二）盈亏问题三大类 盈亏问题有三类，分别是盈亏问题，假设法问题，牛吃草问题。三类问题本属独立问题，但解法大同小异，下面就三类问题的解题方式来区分异同，方便大家更好掌握三类问题。 首先确定一个关系→找差量：说法相同用“－”，说法不同用“＋” 1、盈亏问题 例：四年级二班少先队员参加学校搬砖劳动。如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖。这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？ 解析：①找2个差量：盈亏差＝7＋2＝9块，分配差＝5－4＝1块 ②盈亏差÷分配差＝每后面的字 9 ÷ 1 ＝9（人） ③以两句话算总量：一句：4×9＋7＝43块
重点小学奥数圆的面积 附图 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】
奥数 下图中的圆是以O 为圆心、半径是10厘米的圆，求阴影部分的面积。（答案100） 2、下图中阴影部分的面积是2.28厘米2，求扇形的半径。（答案：4） 3、在左下图中，阴影部分的面积是5cm 2，以OA 为直径的半圆的面积是多少？ πR 2—π（R ）2=5 4、右上图中有半径分别为5cm ，4cm ，3cm 的三个圆，图中A 部分（即两小圆重叠部分）的面积与阴影部分的面积相比，哪个大？ 5、左下图中阴影部分的面积是200cm 2，求两个圆之间的圆环面积。 6、左下图中，圆的半径是4cm ，阴影部分的面积是14πcm 2，求图中三角形的面积。 7、左下图中，扇形ABC 的面积是半圆ADB 面积的1倍，求∠CAB 的度数。 8、已知小圆的面积均为4 π平方厘米，则图中阴影部分的面积是多少平方厘米（ π取3.14） 解：由小圆的面积： πr 2=4 π得：小圆的半径r=12 正方形的边长：2 阴影面积为：22420.434π ?÷（-）=
9、如图所示，图中平行四边形的一个角为600，两条边的长分别为6厘米和8厘米，高为5.2厘米。求图中阴影部分的面积。 10、求下图阴影部分的面积，r=3cm. 解：直解三角形，R2=r2+r2=32+32=18 πr2-r2÷2=π-=（9π-18）/4 πR2-（9π-18）/4=π×18-（9π-18）/4=（9π-9π+18）/4=4.5cm2 11、如图，有两个半圆，已知大半圆的直径是4厘米，小半圆的直径是2厘米。求红色部分的面积。 分析：从图中我们可以看出两个半圆都包含中间的红色部分，如果我们把两个半圆的面积相加，中间的红色部分就算了两次，减去三角形的面积就是所有红色部分的面积了。 4÷2=2（厘米）2÷2=1（厘米）3.14×2×2÷2=6.28（平方厘米） 3.14×1×1÷2=1.57（平方厘米）6.28+1.57=7.85（平方厘米）4×2÷2=4（平方厘米）7.85-4=3.85（平方厘米） 12、两个半圆放在一起，大半圆直径是4厘米，求阴影部分的面积。 13、如右上图，S△=12cm2，求阴影部分的面积。
圆的面积 欧阳光明（2021.03.07） 圆是一种平面图形，再日常生活中到处可见．如圆桌，圆盘，车辆的轱辘，以及游戏用的棋子，飞盘，呼啦圈等，由于圆有着本身独特的性质，在某些地方是其它形状所不能代替的，车轱辘就是一个很好的例子．这一讲我们着重研究圆以及和圆有关的组合图形的求面积方法．圆的面积计算公式，扇形面积计算公式，同学们在课本上已经都
*欧阳光明*创编 2021.03.07 有初步的理解和掌握，我们主要讨论组合图形的面积的计算方法与技巧． 请注意常用的扇形：四分之一圆对应圆心角是90度，八分之一圆对应的圆心角是45度． 经典题再现 如下图所示，O是圆心，圆的周长等于75.36分米，点A、B、C都在圆周上，OABC是梯形，梯形的面积是98.28平方分米．AB = 20.76分米，那么阴影部分的面积是多少平方分米?（π取3.14） 解：由圆的周长可求圆的半径： *欧阳光明*创编 2021.03.07
75.36 = 2 × 3.14 × r，r = 12． 即OC = 12． 由梯形的面积及它的上底，下底已知，可求梯形的高． 98.28 = (12 + 20.76) ×高 ÷ 2，高 = 6． 阴影的面积 = 12 × 6 ÷ 2 = 12 × 3 = 36（平方分米）． 典型例题 【例1】长方形长6分米，宽4分米，分别以长、宽为半径画弧，如图．那么阴影部分的面积是多少平方分米？
*欧阳光明*创编 2021.03.07 *欧阳光明*创编 2021.03.07 解：226 3.144 3.146444????-?- ??? = 16.82（平方厘米） 答：影阴部分的面积是16.82平方厘米． 【例2】 如图，半圆S1的面积是14.13平方厘米，圆S2的面积是19.625平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米? 解：因为s1的面积为14.13平方厘米，所以半径的平方为14.13?2÷3.14 = 9，故半径为3厘米，直径为6厘米． 又因为s2的面积为19.625平方厘米，所以S2的半径的平方为
六年级奥数专题圆的面 积 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-
平面图形面积————圆的面积 在正方形里的最大圆的面积占所在正方形的面积的错误!,而在圆内的最大正方形占所在圆的面积的错误! 例题1。 求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。 练习1 1.求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。 2.求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。 练习2 1、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方形边长4）。 2、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方形边长4）。 1 2 练习4 1、如图所示，三角形ABC是直角三角形，AC长4厘米，BC长2厘米。以 AC、BC为直径画半圆，两个半圆的交点在AB边上。求图中阴影部分的面积。 例题5。 在图中，正方形的边长是10厘米，求图中阴影部分的 面积。
E D C B A 练习5 1、求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。 2、求右面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。 3、求右面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。 例题6。 在图的扇形中，正方形的面积是30平方厘米。求阴影部分的面积。 练习6 1、 如图所示，平行四边形的面积是100平方厘米，求阴影部分的面积。 圆的面积与组合圆积专题训练 一、填空题 1.算出下面圆内正方形的面积为 . 2.右下图是一个直角等腰三角形,直角边长2厘米,图中阴影部分面积是 . 3.一个扇形圆心角120,以扇形的半径为边长画一个正方形,这个正方形 120平方厘米.这个扇形面积是 . 4.如图所示,以B 、C 为圆心的两个半 圆的直径都是2厘米,则米.(保留两位小数) 阴影部分的周长是 厘 5.左下图三角形ABC 是 直角三角形,阴 6厘米 2
本讲主要学习归一问题．通过本节课的学习，学生应了解归一问题的类型，以及解决归一问题的一般方法，掌握归一问题的基本关系式，并会将这种方法应用到一些实际问题中. 归一问题 归一问题是一类典型应用题，这类问题是用等分除法求出一个单位的数值(单一量)之后，再求出题目所要求解的问题，解答归一问题的方法叫做归一法。 归一问题可以分为两种：一种是求总量的，求出一个单位量之后，然后利用乘法求出结果，这种问题叫做正归一问题（也称正归一）；如：一辆汽车3小时行150千米，照这样，7小时行驶多少千米？解决此类问题的关键是先求出单位数量，再求几个单位数量是多少；另一种是求份数的，求出一个单位量后，再用包含除法求出所求的结果，这类问题叫做反归一问题（也称反归一）。如：修路队6小时修路180千米，照这样，修路240千米需几小时？解决此类问题的关键是先求出单位数量，再求一共包含多少个单位数量？ 正、反归一问题的相同点是：一般情况下第一步先求出单一量；不同点在第二步，正归一问题是求几个单一量是多少，反归一是求包含多少个单一量． 解答归一问题的关键是求出单位量的数值，再根据题 中“照这样计算”、“用同样的速度”等句子的含义，抓准题中数量的对应关系，列出算式，求得问题的解决。有的问题一次归一不能解决，需要两次归一或与倍比相结合才能解决。 归一问题的基本关系式： 总工作量=每份的工作量(单一量)?份数 (正归一) 份数=总工作量÷每份的工作量(单一量) (反归一) 每份的工作量(单一量) =总工作量÷份数 模块一、简单的归一问题 【例 1】 某人步行，3小时行15千米，7小时行多少千米？ 【考点】简单的归一问题 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 153735÷?=（千米） 。 答：7小时行35千米。 【答案】35 【巩固】 一艘轮船4小时航行108千米，照这样的速度，继续航行270千米，共需多少小时？ 例题精讲 知识点拨 教学目标 归一问题
第11讲圆的周长与面积（一） 例1：右图中大圆的周长与大圆中四个小圆周长的和相比，谁大？ 思路分析：设大圆的直径为D，四个小圆的直径为d1，d2，d3， d4，则有D= d1＋d2＋d3＋d4。大圆的周长=πD，四个小圆周长的和 =πd1＋πd2＋πd3＋πd4=π（d1＋d2＋d3＋d4），显然两周长相等。 解：两圆周长相等。 例2：求右图中阴影部分的周长。 思路分析：阴影部分周长包括三个部分：半圆的直径（扇形的 一条半径）；二是半圆的弧长；三是圆心角为30°的扇形的弧长。 解：半圆的弧长：3.14×30÷2=47.1（厘米） 扇形的弧长：2×3.14×30÷12=15.7（厘米） 阴影部分周长：47.1＋15.7＋30=92.8（厘米） 例3：如右图，已知正方形的面积是60平方厘米，求圆的面积。 思路分析：圆的面积公式是S=πr2，但这里不能求出半径。我们 可以将r2看作一个整体，就可以求出圆的面积。 解：3.14×（60÷4）=47.1（平方厘米） 例4：右图中，三个圆的面积都是200平方分米，求阴影部分面积。 思路分析：首先三个圆的半径相等，而阴影部分拼起来正好是 一个半圆。（三角形内角和为180°） 解：200÷2=100（平方分米） 例5：下图中，圆的半径为6厘米，求阴影部分面积。 思路分析：将左图沿水平直径折叠，使阴影部分拼合成两个三角形，如图（a）。再将图（a）带阴影的三角形绕长方形AB边中点O逆时针方向旋转90°，于是两个带阴影的三角形就拼合成了一个正方形，如图（b）。 解：S=6×6=36（平方厘米） 例6：求右图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 思路分析：连结点A与圆心O。阴影部分的面积可用扇形 ABO的面积减去△ABO的面积求得。阴影部分的面积还可以 用半圆的面积先减去扇形AOC的面积，再减去△ABO的面积 求得。 解法一：12÷2=6（厘米） 3.14×62×（180－30×2）÷360－6×5.2÷2 =22.08（平方厘米） 解法二：3.14×62÷2－3.14×62×60÷360－6×5.2÷2=22.08（平方厘米） 例7：如图是由正方形和半圆形组成的图形。其中P点为半圆周的中点，Q点为正方形一边的中点。已知正方形的边长为10，那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）思路分析：过P做AD平行线，交AB于O点，P为半圆周的中点，所以O为AB中点。
小学四年级奥数题目和及答案解析3 “奥数”是奥林匹克数学竞赛的简称。学习奥数可以锻炼思维，是大有好处的。学习奥数的年龄根据学生自身特点而定。21世纪小学频道在这里精选了一些典型的四年级奥数试题，并附有答案解析，大家来做做看吧！ 题1： 把分为甲、乙、丙、丁四个数，如果甲数加上2 ，乙数减去2 ，丙数乘以2 ，丁数除以2 ，则四个数相等．求这四个数各是多少？ 【答案解析】 解答：⑴方程解法：假设进行运算后四个数都变成x ，那么甲数是x-2 ，乙数是x+2 ，丙数是0.5x ，丁数是2x ．可以根据题目条件列出方程：(x-2)+(x+2）+0.5x+2x=1296 整理得到4.5x=1296 ，解得x=288 ．所以甲数是288-2=286 ，乙数是288+2=290，丙数是288÷2=144 ，丁数是288×2=576 ． ⑵算术解法：四个数相等时，每个数均可看成是"1"份，那么可知：甲数原来是1份少2；乙数原来是1份多2；丙数原来是0.5份；丁数原来是2份．从而可得出每份：（1296+2-2）÷（1+1+0.5+2）=1296÷4.5 =288 ，由此可知：甲数是286，乙数是290，丙数是144，丁数是576． 题2: 数字和 个位、十位、百位上的3个数字之和等于12的三位数共有多少个？ 【答案解析】 解答：66 解答：分类枚举。含0有3+9=4+8=5+7=6+6共有3×4+2=14个。不含0有重复数字有： 2+5+5=2+2+8=3+3+6=4+4+4，共有3×3+1=10个。不含0无重复数字有： 1+2+9=1+3+8=1+4+7=1+5+6=2+3+7=2+4+6=3+4+5，共有7×6=42个。所以共有：
奥数 下图中的圆是以O 为圆心、半径是10厘米的圆，求阴影部分的面积。（答案100） 2、下图中阴影部分的面积是2.28厘米2，求扇形的半径。（答案：4） 3、在左下图中，阴影部分的面积是5cm 2，以OA 为直径的半圆的面积是多少 14 πR 2—12 π（12 R ）2 =5 4、右上图中有半径分别为5cm ，4cm ，3cm 的三个圆，图中A 部分（即两小圆重叠部分）的面积与阴影部分的面积相比，哪个大 5、左下图中阴影部分的面积是200cm 2，求两个圆之间的圆环面积。 6、左下图中，圆的半径是4cm ，阴影部分的面积是14πcm 2，求图中三角形的面积。 7、左下图中，扇形ABC 的面积是半圆ADB 面积的113 倍，求∠CAB 的度数。 8、已知小圆的面积均为4 π平方厘米，则图中阴影部分的面积是多少平方厘米（π取3.14） 解：由小圆的面积： πr 2 =4 π 得：小圆的半径r=12 正方形的边长：2 阴影面积为：22420.434 π ?÷（-）= 9、如图所示，图中平行四边形的一个角为600，两条边的长分别为6厘米和8厘米，高为5.2厘米。求图中阴影部分的面积。 答 10、求下图阴影部分的面积，r=3cm.
解：直解三角形，R2= r2+r2=32+32=18 1 4πr2- r2÷2= 9 4π - 9 2= （9π-18）/4 45 360πR2-（9π-18）/4= 1 8π×18-（9π-18）/4=（9π-9π+18）/4=4.5cm 2 11、如图，有两个半圆，已知大半圆的直径是4厘米，小半圆的直径是2厘米。求红色部分的面积。 分析：从图中我们可以看出两个半圆都包含中间的红色部分，如果我们把两个半圆的面积相加，中间的红色部分就算了两次，减去三角形的面积就是所有红色部分的面积了。 4÷2=2（厘米）2÷2=1（厘米）3.14×2×2÷2=6.28（平方厘米）3.14×1×1÷2=1.57（平方厘米）6.28+1.57=7.85（平方厘米）4×2÷2=4（平方厘米）7.85-4=3.85（平方厘米） 12、两个半圆放在一起，大半圆直径是4厘米，求阴影部分的面积。 13、如右上图，S△=12cm2，求阴影部分的面积。
专题简析： 在进行组合图形的面积计算时，要仔细观察，认真思考，看清组合图形是由几个基本单 位组成的，还要找出图中的隐蔽条件与已知条件和要求的问题间的关系。并且同学们应该牢 记几个常见的圆与正方形的关系量：在正方形里的最大圆的面积占所在正方形的面积的 2 而在圆内的最大正方形占所在圆的面积的 ,这些知识点都应该常记于心，并牢牢 掌握！ 例题1。 求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。 分析】阴影部分通过翻折移动位置后，构成了一个新的图形（如图所示）。 平面图形面积 圆的面积 3.14 4 分析】如图所示的特点，阴影部分的面积可以拼成 1/4圆的面积。 62×3.14×1/4 ＝28.26（平方厘米） 练习1 1. 求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘 2.求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米） 例题 2。 求图中阴影部分的面积（单位：厘 米）。
从图中可以看出阴影部分的面积等于大扇形的面积减去大三角形面积的一半。 3.14×42 ×1/4－4×4÷2÷2＝8.56（平方厘米） 练习2 1、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方形边长 4）。答 2、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方形边长 4）。 如图 19－10所示，两圆半径都是 1厘米，且图中两个阴影部分的面积相等。求长方形 ABO 1O 的面积。 分析】因为两圆的半径相等，所以两个扇形中的空白部分相等。又因为图中两个阴影部分 的面积相等，所以扇形的面积等于长方形面积的一半（如图 19－10右图所示）。所以 3.14×12 ×1/4×2＝1.57（平方厘米） 练习3 1、 如图所示，圆的周长为12.56厘米，AC 两点把圆 分成相等的两段弧，阴影部分（1）的面积与阴影部分 （2）的面积相等，求平行四边形 ABCD 的面积。答 2、 如图所示，AB ＝BC ＝8 厘米，求阴影部分的面积。 例题3。 1 2