第50卷第18期2014年9月
机械工程学报
JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERING
Vol.50 No.18
Sep. 2014
DOI：10.3901/JME.2014.18.134
基于Timoshenko梁模型的
车辆-轨道耦合系统垂向随机振动分析*
孙文静周劲松宫岛
(同济大学铁道与城市轨道交通研究院上海 201804)
摘要：将钢轨视为无限长Timoshenko梁，由两层弹簧阻尼系统连续支撑，在频域建立车辆-轨道垂向耦合动力学模型。提出
采用格林函数法求解钢轨运动偏微分方程，可在较宽频域内得到轨道动力响应避免模态截断频率限制，结合车辆方程求解点
导纳及传递导纳，运用虚拟激励法将真实轨道谱激励作为系统输入，求解车辆-轨道系统随机振动响应，并将该弹性轨道与
传统刚性轨道、简化弹簧轨道模型结果进行对比。研究结果表明，采用格林函数法求解无限长Timoshenko梁弹性轨道模型
可快速实现全频域计算，得到轨道系统频率响应特性。利用虚拟激励法及叠加法，可得到轮轨多点接触工况下的车辆与轨道
结构随机振动响应。采用刚性轨道结构模型会导致过高估计车辆结构在高频的振动，整个耦合系统振动响应均对速度较敏感。
考虑轨道弹性影响的弹性轨道模型更符合实际，采用格林函数法求解轨道模型较为快速精确。
关键词：车辆-轨道垂向耦合模型；Timoshenko梁轨道；格林函数法；随机振动
中图分类号：U270
Random Vibration Analysis on Vertical Vehicle-track
Coupled System with Timoshenko Beam Model
SUN Wenjing ZHOU Jinsong GONG Dao
(Institute of Railway & Urban Mass Transit Research, Tongji University, Shanghai 201804)
Abstract：Considering the rail as an infinite Timoshenko beam supported by two spring-damper layers, the vertical vehicle-track coupled dynamic model is established in frequency-domain. Green’s function method is applied to solve the partial differential equations of the rail. The dynamic response of rail can be calculated in wide frequency band without any limitations due to modal truncation. The point and transfer receptances of vehicle are obtained with its dynamic equations. Real track irregularities spectrum is used as input with pseudo-excitation method to get the random vibration response of both track and vehicle in coupled system. And the results of three different models – flexible track, rigid track and simplified spring track are compared. Results show the frequency response of this Timoshenko beam rail model can be gotten efficiently with Green’s function method. With pseudo-excitation method and superposition method, the response can be calculated on the condition of wheel-rail multi-points contact. Rigid track results in overestimating vibration for vehicle model in high frequency region. The system is sensitive about vehicle speed. The track model including the influence of its flexibility is more realistic. Green’s function method is fast and accurate for solving this problem.
Key words：vertical vehicle-track coupled model；Timoshenko beam rail；Green’s function method；random vibration
0 前言
当车辆在轨道上运行时，由于轮轨表面粗糙度、轨道不连续性及车轮缺陷等不平顺导致车辆轨道系统的垂向振动。随着高速列车速度不断提高，轮轨激励频率增加，车辆与轨道两个系统相互耦合
* 国家“十二五”科技支撑计划资助项目(2011BAG10B01)。20130918收到初稿，20140324收到修改稿相互作用的动力学问题显得日益重要。但目前大多数研究[1-2]仅考虑车辆、轨道动力学或者在模型中仅考虑简化的轮对、钢轨结构。
近年来，关于高速铁路动力学研究已有一些采用耦合动力学的方法，而不再是传统的孤立系统动力学[3]。ANDERSSON等[4]采用有限元车辆模型结合轨道元件，在时域中研究车辆轨道特性对系统动力学影响。DIETZ等[5]则采用有限元轨道模型结合车辆多体动力学模型方法分析车辆与柔性轨道相互
2014年9月
孙文静等：基于Timoshenko 梁模型的车辆-轨道耦合系统垂向随机振动分析
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作用。模态叠加法[6]
也是分析弹性轨道模型的常用
方法，翟婉明[3]
选取足够长的轨道模型进行模态截断，采用新型显式积分法求解车辆-轨道耦合系统响应。关于车辆轨道的随机振动分析研究尚少，LEI 等[7-9]采用车辆-轨道动力有限元模型，利用NEWMARK 积分法计算了随机激励下车辆-轨道系统响应，首先将轨道不平顺功率谱反演后在时域内求解，最后转换至频域得到响应功率谱，计算量较大。采用模态叠加法建立弹性轨道模型，在选取轨道长度和模态截断频率时，需要注意其边界条件限制，否则可能出现误差。
以往，将轨道视为Euler-Bernoulli 梁，忽略其剪切变形与转动，该简化模型仅可描述至500 Hz 左右的轨道垂向动力响应。而基于Timoshenko 梁的轨道模型，包含转动与剪切变形，其频率有效范围
可延伸至2 500 Hz 以上[10]
。
本文，将钢轨视为无限长连续支撑Timoshenko 梁，提出基于格林函数法对弹性轨道模型进行求解，避免模态叠加法截断频率及轨道长度的限制，实现全模态的运算，得到任意位置处轨道的频率响应特性。运用随机振动理论，结合高速列车车辆模型，引入轮轨接触线性化刚度，以真实轨道谱为输入，在频域内对车辆-轨道耦合系统垂向随机振动特性进行计算。分析比较传统刚性轨道，弹簧轨道与
Timoshenko 梁轨道模型的耦合系统动态响应，并且计算了不同车速下，车辆结构及轨道垂向振动能量分布。
1 车辆-轨道耦合模型
1.1 车辆系统模型
本文采用国内某型高速列车车辆模型，考虑单轨轨道，因此采用半车车辆模型包含车体，转向架，一系、二系悬挂系统及车轮，如图1所示。该模型考虑了车体浮沉c z ，点头c θ，构架1、2的浮沉1t z 、2t z ，点头1t θ、2t θ及4个车轮的垂向位移1w z 、2w z 、
3w z 、4w z ，共10自由度。c m 、t m 、w m 分别为车体、构架和车轮质量，1122s s s s k c k c 、、、分别为车辆一系、二系悬挂系统刚度、阻尼系数，c t I I 、分别
为车体与构架点头转动惯量，车辆系统运动微分方程为
mZ
+cZ +kZ =F (1) 式中 m ——车辆系统质量矩阵；
c ——车辆系统阻尼矩阵；
k ——车辆系统刚度矩阵； Z ——位移矢量；
F ——作用在车辆系统上的外力。
图1 车辆-轨道耦合系统模型
对式(1)采用分离变量法，求解车轮点及传递 导纳
,1,2,3,4W ij W
ij
j
i j ==Z αF (2) 式中，W
ij Z 表示当轮轨力j F 作用在轮轨接触点j 点
时，车轮在i 点的响应；导纳W
ij α即为单位力作用在j 点时，车轮在i 点的响应。
1.2 连续支撑Timoshenko 梁轨道模型
考虑钢轨垂向位移及转动自由度，将轨道视为
由双层弹簧阻尼系统支撑的无限长Timoshenko 梁，
如图1所示，建立包含钢轨弹性的轨道系统动力学模型，钢轨垂向位移为(,)r z x t ，转动角为(,)r x t φ，r m 为单位长度钢轨质量，r μ为单位长度钢轨的转动惯量，E 为弹性模量，G 为切变模量，ρ为钢轨密度，κ为剪切系数，A 为钢轨横截面积，I 为轨道截面矩，x 、t 分别为轨道纵向位置及时间变量、钢轨振动偏微分方程为
22(,)(,)(,)r r r r z x t z x t x t m GA GA x t x
φκκ????++???
机 械 工 程 学 报 第50卷第18期
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(,)()exp()r sz x t P x i t δω= (3) 22(,)(,)(,)r r r r x t x t z x t EI GA x t x
φφμκ?????+??? (,)0r GA x t κφ=
式中
P ——
轮轨力； ()x δ——Dirac 函数； s ——轨道系统支撑刚度，其大小由轨道垫
及道床刚度决定并与频率有关。 轨枕视为刚性质量块，轨道支撑系统中阻尼采
用阻尼损失因子[11]，以复刚度形式表示，p k 为轨道垫刚度，b
k 为道床刚度。轨道系统支撑刚度[11]
22
()s b p
s p b
m k k s m k k ωω?+=
?++
式中，
s m 为轨枕质量，
ω为系统激励角频率。 设(,)r g x ζ为轨道格林函数，表示当单位力作用在位置ζ时，x 处的位移响应，其通过傅里叶变
换及留数法得到。结合式(3)、(4)，轨道格林函数 满足 4224242
r r r I m Im m s EI GA EI GA EI EI x x ρρωωωκκ??????+++?+?????????? 2
2211(,)()r I g x x EI GA EI GA x ρζωδζκκ???=????????
(6) 依据无限长弹性轨道的连续性条件[12]
，得到钢
轨格林函数表达式为
()()12(,)
exp
exp r d p g x F k x iF ik x ζζζ=??+?? (7) 式中 12
2211
2222()()c t c t k k k k k k ??+???=+??22112222()1()1c d a c p a i k k F k GA EI k k F k GA EI κκ??
+=??
??????+=???
??c t B k k k ===12
11
22121
1
2()
2()
a a k k k k k k k k =
=++ 对于车辆-轨道耦合的轮轨接触模型，需要求解轮轨接触点钢轨点导纳及其4点间的相关位移传递导纳，如图2所示。
,1,2,3,4R
ij R
ij j Z i j F α== (8) 式中，R ij Z 表示当轮轨力j F 作用在j 点时，车轮在i
点的响应。R ij α即为单位力作用在j 点时，在i 点处的钢轨响应。即为第1节所求钢轨格林函数(,)r i j g x x ，i x 、j x 分别为轮轨接触点,i j 所在纵向
位置。
图2 轮轨耦合模型叠加法
2 轮轨耦合模型叠加法
如图2所示，车辆-轨道耦合系统振动由4个轮轨接触点同时激励产生。由于车辆，轨道均视为线
性系统，采用叠加法[13]
，以真实轨道谱作为输入，将各激励点下系统响应叠加得到总振动值。
首先，假设仅轮轨接触点1处存在轨道不平顺，
由其产生一主动力11P ，而在其他接触点2、3、4处
产生被动力21P 、31P 、41P ，ij P 表示当激励存在于点j 时，点i 处产生的力。同样的方法，分别将轮轨接触点2、3、4视为主动激励点，由此得到了各点处总的轮轨作用力
4
1
ti ij j ==∑F P (9)
式中，,1,2,3,4i j =。
2014年9月 孙文静等：基于Timoshenko 梁模型的车辆-轨道耦合系统垂向随机振动分析
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轮轨振动响应分别为 [][]W W
i ij ti
i
ij ti ?=???=??R R Z αF Z αF (10) 式中，W i Z 、R
i Z 分别为车轮与轨道位移，为导纳
与轮轨力的乘积。
轮对与钢轨视为线性弹簧连接，轮轨接触变形δi Z 及轮轨力ti F 分别为
W R δi i i i =??Z Z Z r (11)
ti H i δ=F K Z (12) 式中，i r 为轨道不平顺，H K 为接触弹簧刚度，其
数值大小与车轮半径及踏面外形有关，接触导纳 即为
C δi ti H 1
Z α=
=F K (13)
将式(10)、(11)、(13)代入式(12)得到
()
44++=W
R C ij
ij ti i ×?α
αI αF r (14)
将式(14)写作
=ti αi F K r (15)
式中，(
)
1
44W
R
C ij ij α?×=?++K I ααα
。
根据式(10)，轮轨的振动响应为 ()
()
W W i ij αi
R R i ij αi ?=??
?=??Z αK r Z αK r (16) 实际中，车辆在轨道上运行时，多个轮轨接触
点处的随机激励是与车辆轴距、转向架之间定距及
车辆运行速度有关的完全相干的激励。采用虚拟激
励法[15]
，模型中4点轮轨接触可以表达为
()1234()()()()R t t R t t R t t R t t =????r t () (17) 式中，
10t =，22/w t l v =，32/b t l v =，42()/w b t l l v =+，v 为车辆运行速度，w l 、b l 分别车辆轴距和定距之半。设轮轨接触点1处轨道不平顺{()}R t 的自功率谱密度为()rr S w 。轮轨接触4点的相关虚拟激励 则为
()()(
)1exp 2i /()exp 2i /exp 2i ()/w b w b l v R l v l l v ωωωω??
???
=??????
?+??
(18) 将真实轨道谱作为激励输入，据式(16)可得到
系统轮轨力及车辆轨道结构振动响应。
常见的轨道不平顺为()?S ?的空间谱形式，将其转化为与速度相关的轨道不平顺输入的频域功率谱(,)S v ωω，其换算关系为
()(,)S S v S v v v
??ωω?ω????
??== (19)
式中，?为空间角频率，ω为角频率。依据随机振动
理论，车辆-轨道系统响应功率谱可由式(20)[14]得到 *T ()()(,)()z z z S V ωωωωω=S H H (20) 式中，*()z ωH 与T ()z ωH 分别是相应系统频响函数()z ωH 的共轭和简单转置矩阵。
3 数值计算
采用高速低干扰轨道谱作为输入[16]
，定点激励模型，假设车辆与轨道均静止不动，轨道谱在轮轨
间沿轨道向后运动，该方法对于连续支撑轨道模型
更加适用
[17]
，求解车辆-轨道系统垂向随机振动
响应。
3.1 计算参数
车辆及轨道结构计算参数如表1、2所示。
表1 车辆结构参数(1/2车辆)
参数
数值 车体质量c m /kg 16 883 转向架质量t m /kg 1 140 轮对质量w m /kg
1 000 车体点头惯量c I /2(kg m )i
833 转向架点头惯量t I /2(kg m )i
624.5 一系悬挂刚度1s k /(MN/m) 1.18 二系悬挂刚度2s k /(MN/m)
0.24 一系悬挂阻尼1s c /(kN s/m)i
20 二系悬挂阻尼2s c /(N s/m)i 20 车体长度L /m 24.5 车辆定距之半b l /m
8.75 车辆轴距之半w l /m 1.25
表2 轨道结构参数 参数
数值
轨道弹性模量E /2(N/m ) 112.1110× 轨道切变模量G /2(N/m ) 110.7710× 轨道材料密度ρ/3(kg/m ) 7 850 轨道横截面积A /m 2 37.6910?× 剪切系数κ 0.45 轨道截面矩I /m 4
630.610?× 钢轨阻尼损失因子r η 0.01 轨道单位长度质量r m /(kg/m) 60 轨枕单位长度质量s m /(kg/m) 270 轨道垫刚度p k /2(MN/m ) 583 轨道垫阻尼损失因子p η 0.25 道床刚度b k /2(MN/m ) 83 道床阻尼损失因子b η
1.0
3.2 轮轨系统导纳
图3所示为车辆系统中，车轮在接触点处点导纳及相对于另一接触点的传递导纳值及其相位。依
机械工程学报第50卷第18期138
据车辆轴距与定距大小，第一个车轮与其他点距离分别为2.5 m、17.5 m及20 m。由图3可见，在低频时，车轮的点导纳与不同距离的传递导纳值相差较小，而在高频区域，传递导纳值与点导纳相差较大。随着激励频率增加，车轮导纳显著减小，当力作用在一个转向架上的车轮时，传递至另一转向架上车轮的仅有位移而无转角，因此对距离17.5 m及20 m处的同一转向架上的两车轮的传递导纳值完全相同。
图3 车轮导纳及其相位
图4所示为连续支撑的UIC60轨道，在轮轨接触点处的位移点导纳及钢轨传递导纳。由图4可见，在150 Hz、550 Hz附近存在峰值，在300 Hz处存在一个反共振峰。这是由于轨道系统为两层质量弹簧阻尼单元组成，150 Hz、550 Hz为系统两个共振频率点，而在300 Hz处出现的反共振峰是由于轨枕充当了动力吸振器的原因。比较点导纳与传递导纳两条曲线可知，4个不同位置处导纳随频率变化趋势一致，传递导纳值与点导纳值在低频时差距较大，但其数值均保持不变，而在150 Hz附近，点与传递导纳差值逐渐减小，这是由于在该频率区域沿钢轨的振动衰减率较小[6]导致的，如图5所示。而在350 Hz附近，轨道衰减率增加至最大，传递导纳值依据距离不同相差较大，在高于1 000 Hz后的高频，轨道衰减率小于1 dB/m，点导纳与传递导纳值几乎相同。
图4 轨道导纳及其相位
由图5可见，在80 Hz以内的低频区域，轨道的衰减率一直稳定在10 dB/m；在100 Hz后，开始显著降低；在200 Hz后，开始增加；在350 Hz附近，出现峰值后在高频处显著降低。该结果与文献[11]结论一致。
图5 轨道振动衰减率
3.3不同轨道模型系统响应比较
车速为250 km/h时，对刚性轨道模型、将钢轨视为恒定刚度的弹簧模型与Timoshenko梁轨道模型这三个模型各结构振动加速度及轮轨力功率谱响应进行比较，如图6所示。其中弹簧轨道模型是将轨道视为一个由轨道垫及道床刚度串联组成的具有恒定刚度值的弹簧系统。
由图6可见，在10 Hz以下的低频区域，车轮、车体及构架振动响应在三种轨道模型中完全相同，但在10～60 Hz的中频区域，弹簧与Timoshenko
2014年9月孙文静等：基于Timoshenko梁模型的车辆-轨道耦合系统垂向随机振动分析139
梁轨道模型中轮轨力及振动加速度响应值均高于刚性轨道模型，而在大于60 Hz的高频区域，刚性轨道模型系统响应显著大于其他模型，且差值较大，其中轮轨力及车轮振动加速度功率谱尤甚，该计算结果与文献[18]结论一致。对于轨道振动响应，弹簧模型与Timoshenko梁模型差别不大。
图6 轮轨振动响应比较
由于一系、二系悬挂的减振作用，使得轮轨力及车轮振动在传递至构架及车体的过程中一定程度上被衰减。在中频区域，车体振动在弹性轨道模型中略大于在刚性轨道模型中。在高频区域其在弹性模型相对于刚性模型较小，但与轮轨力及车轮振动相比差值略小。如图7所示，车体在低频及中高频
图7 车体中心振动加速度功率谱密度处均有多个峰值和谷值，这些峰值点与车体的固有频率及激励频率有关，而这些谷值点则与车辆的几何滤波现象有关[19]。
3.4车辆速度对车辆轨道耦合系统影响
由图8中可见，随着速度增加，轮轨力、车轮及轨道振动响应在整个频段上均呈现线性增加，此时轮轨响应值的增加与随速度轨道谱的输入增大有关。
图8 车速对轮轨振动响应影响
而从图9中可见，车体的振动加速度功率谱随着车辆的速度增加变化趋势较为复杂，并不是单纯的速度增加就使得车体响应峰值增大，而是某些频率点处振动峰值在速度较大时降低，如在20～30 Hz之间车体的振动响应在350 km/h为最小，但其振动响应曲线在频率上有向后推移的趋势。
车体的振动响应峰值一般出现在其自振频率点处，但往往激励频率对系统响应也有很大的影响，由于轨道谱的激励随着车速的变化而变化，且整车为轮轨接触4点同时激励，在振动传递过程中，在车体及构架上会存在不同相位振动的叠加及消减情况。而这些多点激励不同相位的振动传递又与轮对之间的轴距与转向架之间的定距大小有关，因而车体振动并不是单纯的随着速度线性增加，并且与车辆的定距与轴距有关[19]。对小于1 Hz的低频振动响应，速度几乎无影响，在中频段影响较大，从而
机械工程学报第50卷第18期140
会影响到乘坐舒适性及车辆运行平稳性。
图9 车速对车体中心振动影响
4 结论
(1) 本文将钢轨视为双层弹簧阻尼连续支撑无限长Timoshenko梁，结合高速车辆模型，在频域中建立车辆-轨道垂向耦合模型，采用格林函数法计算钢轨位移点导纳与传递导纳，采用虚拟激励法及叠加法，以真实轨道谱为输入，可快速精确地对整车车辆-轨道耦合系统进行随机振动响应分析。
(2) 轨道弹性对车辆结构高频振动有较大影响，刚性轨道模型会导致过高的估计车辆结构在高频时的振动响应。
(3) 采用格林函数法，选取无限长轨道，避免了模态截断频率限制，实现全模态无限长弹性梁轨道模型计算。随着列车速度提高，轮轨激振频率增加，包含弹性轨道的模型更加符合实际情况且为今后车辆结构高频振动研究及耦合系统减振降噪提供依据。
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作者简介：孙文静，女，1989年出生，博士研究生。主要研究方向为机车车辆及轨道动力学与控制。
E-mail ：sunwenjing19@https://www.doczj.com/doc/1e8148542.html,
周劲松(通信作者)，男，1969年出生，博士，教授，博士研究生导师。主要研究方向为机车车辆动力学与控制。
E-mail ：jinsong.zhou@https://www.doczj.com/doc/1e8148542.html,
国家自然科学基金委员会机械工程学科2012/2013年度结题项目简介
飞行模拟机六自由度运动系统解耦控制研究*
项目负责人：姜洪洲(E-mail ：jianghz@https://www.doczj.com/doc/1e8148542.html,) 依托单位：哈尔滨工业大学 项目批准号：50975055 1．项目简介
本项目从设计与控制两方面入手，就六自由度并联机构耦合特性分析、动态各向同性设计、模态空间控制等基础理论及关键技术展开研究。在设计方面，提出了基于频率特性的动态各向同性设计方法，使设计者在设计阶段就能够充分考虑结构参数、质量特性、阻尼特性对系统动态特性的影响，从而为解耦控制的设计留下了充足的发挥空间。在控制方面，提出了基于动压反馈的模态空间控制方法，使得自由度频宽可以独立调整达到或接近各阶模态液压固有频率。该项目成果为提高液压驱动六自由度运动系统频宽、减小自由度间动力学耦合，开发高逼真度动感模拟系统具有重要的指导意义。 2．主要创新点及主要研究进展
针对广义Gough-Stewart 六自由度并联机构，假设其为黏性比例阻尼系统，提出了动态耦合特性和基于频率特性的动态各向同性的评价指标，针对旋转、平移、完全、组合等动态各向同性条件，提出了动态各向同性的设计方法；发现了用圆柱单叶双曲面描述标准六自由度并联机构的新定义，该定义对标准并联机构的系统分类、量纲一设计提供了理论支持；针对多环旋转对称并联机构，提出了基于复合圆柱单叶双曲面的新定义；基于该定义，系统地发现了满足完全动态各向同性的并联机构。提出了基于动压反馈的模态空间控制方法，使得自由度频宽可以独立调整达到或接近各阶模态液压固有频率；发现了标准六自由度并联机构中位时模态变换阵的解析表达式，并提出了一种基于中位的模态空间控制的解析设计方法；考虑被动关节黏性阻尼的影响，提出了一种通过调整并联机构结构参数使得非黏性比例系统转化为近似黏性比例阻尼系统的设计方法，从而大幅提高了模态空间控制的适用范围。
* 此项目在“第十一届设计与制造前沿国际会议(ICFDM2014)”上作为候选项目推荐参加“国家自然科学基金委员会机械工程学科2012/2013年度优秀结题项目”的评选。
基于Timoshenko梁模型的车辆-轨道耦合系统垂向随机振动分析
作者：孙文静， 周劲松， 宫岛， SUN Wenjing， ZHOU Jinsong， GONG Dao 作者单位：同济大学铁道与城市轨道交通研究院 上海 201804
刊名：
机械工程学报
英文刊名：Journal of Mechanical Engineering
年，卷(期)：2014(18)
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