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【考点24】直线、平面平行与垂直的判定及其性质
2009年考题
1.（2009福建高考）设m ，n 是平面α 内的两条不同直线，1l ，2l 是平面β 内的两条相交直线， 则α// β的一个充分而不必要条件是（ ） A.m//β且n //α B. m//l 1 且n//l 2 C. m//β且n//β D. m//β且n //l 2
【解析】选B.若1212//,//,,,m l n l m n l l αβ??，，则可得//αβ.若//αβ则不一定存在
1221//,//l l m l n l ?使得.
2.（2009广东高考）给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是 （ ）
A ．①和②
B ．②和③
C ．③和④
D ．②和④ 【解析】选D.①错, ②正确, ③错, ④正确.故选D.
3.（2009浙江高考）设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ）A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β? B ．若//,//l ααβ，则l β? C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥ 【解析】选C.对于A 、B 、D 均可能出现//l β，而对于C 是正确的．
4. (2009山东高考)已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是 “m β⊥”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.由平面与平面垂直的判定定理知如果m 为平面α内的一条直线,m β⊥,则αβ⊥,反过来则不一定.所以“αβ⊥”是“m β⊥”的必要不充分条件.
5.（2009四川高考）如图，已知六棱锥ABCDEF P -的底面是正六边形，
AB PA ABC PA 2,=⊥平面则下列结论正确的是（ ）
A. AD PB ⊥
B. PAB 平面PBC 平面⊥
C. 直线BC ∥PAE 平面
D. 直线ABC PD 与平面所成的角为45°
【解析】选D.∵AD 与PB 在平面的射影AB 不垂直，∴A 不成立；又平面PAB ⊥平面PAE ，∴
PAB 平面PBC 平面⊥也不成立；BC ∥AD ∥平面PAD, ∴直线BC ∥PAE 平面也不成立。在PAD
Rt ?中，PA ＝AD ＝2AB ，∴∠PDA ＝45°. ∴D 正确.
6.（2009江苏高考）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；（4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直。上面命题中，真命题．．．的序号 （写出所有真命题的序号）.【解析】考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。真命题．．．的序号是(1)(2) 答案:(1)(2)
7.（2009山东高考）如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1分别是棱AD 、AA 1的中点.
（1） 设F 是棱AB 的中点,证明：直线EE 1//平面FCC 1； （2） 证明:平面D 1AC ⊥平面BB 1C 1C.
【解析】（1）在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，取A 1B 1的中点F 1， 连接A 1D ，C 1F 1，CF 1，因为AB=4, CD=2,且AB//CD ， 所以CDA 1F 1为平行四边形，所以CF 1//A 1D ，
又因为E 、E 1分别是棱AD 、AA 1的中点，所以EE 1//A 1D ，
E
A
B
C
F
E 1 A 1
B 1
C 1
D 1
D F 1
A 1
B 1
C 1
D 1
所以CF 1//EE 1，又因为1EE ?平面FCC 1，1CF ?平面FCC 1， 所以直线EE 1//平面FCC 1.
（2）连接AC,在直棱柱中，CC 1⊥平面ABCD,AC ?平面ABCD, 所以CC 1⊥AC,因为底面ABCD 为等腰梯形，AB=4, BC=2, F 是棱AB 的中点,所以CF=CB=BF ，△BCF 为正三角形，
60BCF ∠=?,△ACF 为等腰三角形，且30ACF ∠=?
所以AC ⊥BC, 又因为BC 与CC 1都在平面BB 1C 1C 内且交于点C, 所以AC ⊥平面BB 1C 1C,而AC ?平面D 1AC, 所以平面D 1AC ⊥平面BB 1C 1C.
8.（2009天津高考）如图，在四棱锥ABCD P -中，
ABCD PD 平面⊥，CD AD ⊥，且DB 平分ADC ∠，
E 为PC 的中点，1==CD AD ,22=DB
（Ⅰ）证明BDE PA 平面// （Ⅱ）证明PBD AC 平面⊥
（Ⅲ）求直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值
【解析】（Ⅰ）设H BD AC =?，连结EH ，在ADC ?中，因为AD=CD ，且DB 平分ADC ∠，所以H 为AC 的中点，又由题设，E 为PC 的中点，故PA EH //,又
BDE PA BDE HE 平面平面??,,所以BDE PA 平面//
（Ⅱ）因为ABCD PD 平面⊥，ABCD AC 平面?，所以AC PD ⊥ 由（Ⅰ）知，AC BD ⊥,,PD
BD D =故PBD AC 平面⊥
(Ⅲ)由PBD AC 平面⊥可知，BH 为BC 在平面PBD 内的射影，所以CBH ∠为直线与平面PBD 所成的角。
由CD AD ⊥,2
2
3,22,22,1=
=====BH CH DH DB CD AD 可得 在BHC Rt ?中，3
1
tan ==
∠BH CH CBH ,所以直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值为31。
9.（2009海南宁夏高考）如图，四棱锥S-ABCD 的底面
P 为侧
棱SD 上的点。 （Ⅰ）求证：AC ⊥SD ； （Ⅱ）若SD ⊥平面PAC ，求二面角P-AC-D 的大小
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ， 使得BE ∥平面PAC 。若存在，求SE ：EC 的值； 若不存在，试说明理由。
【解析】方法一：（Ⅰ）连BD ，设AC 交BD 于O ， 由题意SO AC ⊥。在正方形ABCD 中，AC BD ⊥， 所以AC SBD ⊥平面,得AC SD ⊥.
(Ⅱ)设正方形边长a
，则SD =
。又OD =
， 所以0
60SDO ∠=, 连OP ，由（Ⅰ）知AC SBD ⊥平面,所以AC OP ⊥,且AC OD ⊥,所以POD ∠是
二面角P AC D --的平面角。由SD PAC ⊥平面,知SD OP ⊥,所以0
30POD ∠=,即二面角P AC D --的大小为0
30。
（Ⅲ）在棱SC 上存在一点E ，使//BE PAC 平面。由（Ⅱ
）可得4
PD =
，故可在SP 上取一点N ,使PN PD =,过N 作PC 的平行线与SC 的交点即为E 。连BN 。在BDN 中知//BN PO ，又由于
//NE PC ,故平面//BEN PAC 平面，得//BE PAC 平面,由于21SN NP =：：,故21SE EC =：：.
方法二：（Ⅰ）；连BD ,设AC 交于BD 于O ，由题意知SO ABCD ⊥平面.以O 为坐标原点，OB
OC OS ，，分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如图。设底面边长为a
，则高2
SO a =
。 于是
),(,0,0)2S D -(0,,0)
2
C a
(0,
,0)2OC
=
(,0,)2SD a =- 0O C S D
?=故OC SD ⊥从而AC SD ⊥
(Ⅱ)由题设知，平面PAC
的一个法向量2(
)DS =，平面DAC 的一个法向量O
E
)OS =，设所求二面角为θ，则3cos 2OS DS OS DS
θ=
=,所求二面角的大小为030 （Ⅲ）在棱SC 上存在一点E 使//BE PAC 平面. 由（Ⅱ）知DS 是平面PAC 的一个法向量，
且 26
,0,),(0,
,)22
22
D S a a C S a a ==-（
设=,CE tCS 则 (,(1),)222
BE BC CE BC tCS a t =+=+=-- 而 1
S 03
BE D t =?=
即当:2:1S E E C =时，B E D S ⊥
而BE 不在平面PAC 内，故//BE PAC 平面
10.（2009福建高考）如图，平行四边形ABCD 中，60DAB ?
∠=，2,4AB AD ==将
CBD ?沿BD 折起到EBD ?的位置，使平面EDB ⊥平面ABD
（I ）求证：AB DE ⊥
（Ⅱ）求三棱锥E A B D -的侧面积。 【解析】（I ）在ABD ?中，
2,4,60AB AD DAB ?==∠=
2
2
2
,B BD AB BD AD AB D
∴==∴+=∴⊥ 又
平面EBD ⊥平面ABD
平面EBD
平面,A B D B D A B
=
?平面ABD AB ∴⊥平面EBD
DE ?平面,E B D A B D
E ∴⊥ （Ⅱ）由（I ）知,//,,AB BD CD AB CD BD ⊥∴⊥从而B DE D ⊥ 在R t D B E ?中，2,2
D B D
E D C A B ====
B D E 1
2
S DB DE ?∴=?= 又AB ⊥平面,E B D B E ?平面,E B D A B
B E
∴⊥ 1
4,42
ABE BE BC AD S AB BE ?===∴=
?=
,D E B D ⊥平面EBD ⊥平面ABD ED ∴⊥平面ABD
而AD ?平面1
,,42
A D E A
B D
E D A D S A D D E ?∴⊥∴=
?=
综上，三棱锥E A B D -
的侧面积8S =+
2008年考题
1、（2008海南宁夏高考）已知平面α⊥平面β，α∩β= l ，点A ∈α，A ?l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定．．．
成立的是（ ） A. AB ∥m
B. AC ⊥m
C. AB ∥β
D. AC ⊥β
【解析】选D.容易判断Ａ、Ｂ、Ｃ三个答案都是正确的，对于Ｄ，虽然AC l ⊥，但ＡＣ不一定在平面α内，故它可以与平面β相交，故不一定垂直.
2、（2008辽宁高考）在正方体1111ABCD A B C D -中,,E F 分别为棱11,AA CC 的中点,则在空间中与三条直线
11,,A D EF CD 都相交的直线( )
A.不存在
B.有且只有两条
C.有且只有三条
D.有无数条
【解析】选D.在EF 上任意取一点M ,直线11A D 与M 确定一个平面， 这个平面与CD 有且仅有1个交点N , 当M 取不同的位置就确定不
同的平面，从而与CD 有不同的交点N ,而直线MN 与这3条异面直 线都有交点的.如右图.
3、（2008江苏高考）在四面体ABCD 中，CB=CD ，AD BD ⊥，且E ，F 分别是AB ，BD 的中点，求证 （I ）直线EF D 面AC ； （II ）EFC D ⊥面面BC 。
【解析】（I ）E ，F 分别为AB ，BD 的中点EF AD ?
EF AD AD ACD EF ACD EF ACD ?
?
???????
面面面。
A B
1
（II ）EF AD EF BD
AD BD CD CB CF BD BD EFC F BD EF CF F
??
?⊥??⊥?
??=??
?⊥?⊥????
?=???
面为的中点
又BD BCD ?面， 所以面EFC BCD ⊥面
4、（2008山东高考）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==
，2AB DC == （Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积． 【解析】（Ⅰ）在ABD △中，
由于4AD =，8BD =
，AB = 所以2
2
2
AD BD AB +=． 故AD BD ⊥．
又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD
平面ABCD AD =，
BD ?平面ABCD ，
所以BD ⊥平面PAD ， 又BD ?平面MBD ， 故平面MBD ⊥平面PAD ．
（Ⅱ）过P 作PO AD ⊥交AD 于O ，由于平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ． 因此PO 为四棱锥P ABCD -的高，
又PAD △是边长为4
的等边三角形．因此4PO =
= 在底面四边形ABCD 中，AB DC ∥，2AB DC =，
所以四边形ABCD 是梯形，在Rt ADB △中，斜边AB
=， 此即为梯形ABCD 的高，所以四边形ABCD
的面积为24S =
=． A
B
C
M P
D
故1
243
P ABCD V -=??=
2007年考题
1.（2007广东高考）若,,l m n 是互不相同的空间直线，,αβ是不重合的平面，则下列命题中 为真命题的是（ ）
A ．若//,,l n αβαβ??，则//l n
B ．若,l αβα⊥?，则l β⊥ C. 若,l n m n ⊥⊥，则//l m D ．若,//l l αβ⊥，则αβ⊥ 【解析】选D.逐一判除,易得答案D.
2.（2007北京高考）平面α∥平面β的一个充分条件是（ ） Ａ．存在一条直线a a a αβ，∥，∥
Ｂ．存在一条直线a a a αβ?，，∥
Ｃ．存在两条平行直线a b a b a b αββα??，，，，∥，∥ Ｄ．存在两条异面直线a b a a b αβα?，，，∥，∥
【解析】选Ｄ．平面α∥平面β的一个充分条件是存在两条异面直线a b a a b αβα?，，，∥，∥. 3.（2007江苏高考）已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：
①//,m n m n αα⊥?⊥ ②//,,//m n m n αβαβ??? ③//,////m n m n αα? ④//,//,m n m n αβαβ⊥?⊥ 其中正确命题的序号是（ ）
A ．①③
B ．②④
C ．①④
D ．②③
【解析】选C.用线面垂直的性质和面面平行的性质可判断①④正确，②中m,n 可以平行或异面,③中n 可以在α内.
4.（2007天津高考） 设,a b 为两条直线，,αβ为两个平面.下列四个命题中，正确的命题是( ) A.若,a b 与α所成的角相等，则b a ∥ B.若a ∥,b α∥β,α∥β，则b a ∥
C.若,,a b a αβ??∥b,则βα∥
D.若,,,a b αβαβ⊥⊥⊥则a b ⊥
【解析】选D.对于A 当,a b 与α均成0?时就不一定；对于B 只需找个γαβ
∥∥，且,a b γγ??即可满足
题设但,a b 不一定平行；对于C 可参考直三棱柱模型排除，故选D.
5.（2007浙江高考）若P 是两条异面直线l m ，外的任意一点，则（ ） Ａ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都平行 Ｂ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都垂直 Ｃ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都相交 Ｄ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都异面
【解析】选B.设过点P 的直线为n ，若n 与l 、m 都平行， 则l 、m 平行，与已知矛盾，故选项A 错误。 由于l 、m 只有惟一的公垂线，而过点P 与 公垂线平行的直线只有一条，故B 正确。
对于选项C 、D 可参考右图的正方体，设AD 为直线l ，''
A B 为直线m ; 若点P 在P 1点，则显然无法作出直线与两直线都相交，故选项C 错误。 若P 在P 2点，则由图中可知直线''2CC D P 及均与l 、m 异面，故选项D 错误。 6.( 2007安徽高考)设l,m,n 均为直线，其中m,n 在平面α内，“l ⊥
α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的（ ）
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 (C)充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【解析】选A 。设l,m,n 均为直线，其中m,n 在平面α内，“l ⊥α”，则“l ⊥m 且l ⊥n ”，反之若
“l ⊥m 且l ⊥n ”，当m//n 时，推不出“l ⊥
α”，∴ “l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的充分不必要条件.
7.（2007湖南高考）如图1，在正四棱柱 1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是11AB C 、B 的中点，则以下结论中不成立的是（ ）
A ．1EF B
B 与垂直 B. EF BD 与垂直 C. EF 与CD 异面 D. EF 11与A
C 异面
【解析】选D.连B 1C ，则B 1C 交BC 1于F 且F 为BC 1中点，三角形B 1AC 中
EF //AC 2
1
，所以EF ∥平面ABCD ，而B 1B ⊥面ABCD ，所以1EF BB 与垂直；又AC ⊥BD ，所以EF BD 与垂直，EF 与CD 异面。由EF //AC 2
1
，AC ∥A 1C 1
得EF ∥A 1C 1
8.（2007福建高考）已知m 、n 为两条不同的直线，错误！未找到引用源。为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A.m n m ,,α?α?∥β，n ∥β?
α∥β
P 2
1
c
b
a
B.α∥β，,m n αβ??，?m ∥n
C.m ⊥α，m ⊥n ?n ∥α D .n ∥m,n ⊥α?m ⊥α
【解析】选D. A 中m 、n 少相交条件，不正确；B 中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确；C 中n 可以在α内，不正确，选D.
9.（2007重庆高考）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ）
A ．5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分
【解析】选C.可用三线,,a b c 表示三个平面，如图，将空间分成7个部分。
10.（2007辽宁高考）若m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个 不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ） A ．若m βαβ?⊥，，则m α⊥
B ．若m α
γ=n βγ=，m n ∥，则αβ∥
C ．若m β⊥，m α∥，则αβ⊥
D ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥
【解析】选C.由有关性质排除A 、B 、D.
11．（2007山东高考） 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知
122DC DD AD AB ===，AD DC AB DC ⊥，∥．
（1）求证：11DC AC ⊥；
（2）设E 是DC 上一点，试确定E 的位置，
使1D E ∥平面1A BD ，并说明理由．
【解析】（1）证明：在直四棱柱1111ABCD A B C D -中， 连结1C D ， 1DC DD =， ∴四边形11DCC D 是正方形．
11DC D C ∴⊥．
又AD DC ⊥，11AD DD DC
DD D =⊥，，
AD ∴⊥平面11DCC D ，
B
C
D A
1A
1D 1C
1B
1A
1D
1C
1B
1D C ?平面11DCC D ， 1
AD DC ∴⊥． 1AD DC ?，平面1ADC ， 且1AD DC D =， 1D C ∴⊥平面1ADC ，
又1AC ?平面1ADC ，
1DC AC ∴1⊥．
（2）连结1AD ，连结AE ， 设1
1AD A D M =，
BD AE N =，连结MN ，
平面1AD E
平面1A BD MN =，
要使1D E ∥平面1A BD ， 须使1MN D E ∥， 又M 是1AD 的中点．N ∴是AE 的中点． 又易知ABN EDN △≌△，
AB DE ∴=． 即E 是DC 的中点．
综上所述，当E 是DC 的中点时，可使1D E ∥平面1A BD ．
B
C
D
A
1A
1D
1C
1B
M
E
N