2017-2018学年山东省临沂市郯城县八年级（下）期中数
学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（）
A．B．C．D．
2．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A．x＜3 B．x≤3 C．x＞3 D．x≥3
3．下列计算错误的是（）
A． B．C．D．
4．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（）
A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定
5．已知a＝+，b＝，则a与b的关系是（）
A．a＝b B．ab＝1 C．a＝﹣b D．ab＝﹣5
6．若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（）A．矩形
B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形
C．对角线互相垂直的四边形
D．对角线相等的四边形
7．如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，AD＝1，则BD的长为（）
A．B．2 C．D．3
9．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）
A．25海里B．30海里C．40海里D．50海里
10．如图，平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于H，FD＝8，则HE等于（）
A．20 B．16 C．12 D．8
12．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，CP＝2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（）
A．2 B．C．D．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
13．已知：x＝，计算x2﹣x+1的值是．
14．若+2+x＝10，则x的值等于．
15．已知a＝+1，b＝﹣1，则a2b+ab2的值是．
16．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有米．
17．将一根长为15cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为hcm，则h的取值范围是．
18．如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，△ABD的周长为16cm，则△DOE 的周长是cm．
19．如图，在?ABCD中，EF经过对角线的交点O，交AB于点E，交CD于点F．若AB＝5，AD＝4，OF＝1.8，那么四边形BCFE的周长为．
20．如图．在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E为垂足，连接CD，若BD＝1，则AC的长是．
三、解答题（共6小题，满分60分）
21．（10分）计算题：
（1）+﹣﹣4；
（2）（﹣）÷；
22．（7分）已知＝0，求的值．
23．（9分）如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距
离相等，则E站应建在距A站多少千米处？
24．（10分）如图，小明在A时测得某树的影长DE为2m，B时又测得该树的影长EF为8m，若两次日照的光线互相垂直，求树的高度CE是多少？
25．（12分）如图，点D，C在BF上，AC∥DE，∠A＝∠E，BD＝CF．
（1）求证：AB＝EF；
（2）连接AF，BE，猜想四边形ABEF的形状，并说明理由．
26．（12分）如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；
2017-2018学年山东省临沂市郯城县八年级（下）期中数学
试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的定义（①被开方数不含有能开得尽方的因式或因数，②被开方数不含有分母，满足以上两个条件的二次根式叫最简二次根式）逐个判断即可．
【解答】解：A、＝2，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、＝，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、＝，不是最简二次根式，故本选项错误；
D、是最简二次根式，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义的应用，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：最简二次根式满足以下两个条件：①被开方数不含有能开得尽方的因式或因数，②被开方数不含有分母．
2．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A．x＜3 B．x≤3 C．x＞3 D．x≥3
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x﹣3≥0，
解得x≥3．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
3．下列计算错误的是（）
A． B．C．D．
【分析】根据二次根式的运算法则分别计算，再作判断．
【解答】解：A、＝＝7，正确；
B、＝＝2，正确；
C、+＝3+5＝8，正确；
D、，故错误．故选D．
【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．
二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．
4．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（）
A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定
【分析】先从实数a在数轴上的位置，得出a的取值范围，然后求出（a﹣4）和（a﹣11）的取值范围，再开方化简．
【解答】解：从实数a在数轴上的位置可得，
5＜a＜10，
所以a﹣4＞0，
a﹣11＜0，
则，
＝a﹣4+11﹣a，
＝7．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解二次根式的算术平方根等概念．
5．已知a＝+，b＝，则a与b的关系是（）
A．a＝b B．ab＝1 C．a＝﹣b D．ab＝﹣5
【分析】根据平方差公式，可分母有理化，根据实数的大小比较，可得答案．
【解答】解：b＝＝＝+，a＝+，
故选：A．
【点评】本题考查了分母有理化，利用平方差公式分母有理化是解题关键．
6．若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（）A．矩形
B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形
C．对角线互相垂直的四边形
D．对角线相等的四边形
【分析】据已知条件可以得出要使四边形EFGH为菱形，应使EH＝EF＝FG＝HG，根据三角形中位线的性质可以求出四边形ABCD应具备的条件；
【解答】解：连接AC，BD，
∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四条边的中点，要使四边形EFGH为菱形，
∴EF＝FG＝GH＝EH，
∵FG＝EH＝DB，HG＝EF＝AC，
∴要使EH＝EF＝FG＝HG，
∴BD＝AC，
∴四边形ABCD应具备的条件是BD＝AC，
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形中位线的性质以及菱形的判定方法，正确运用菱形的判定定理是解决问题的关键．
7．如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出BD的长．
【解答】解：∵?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO＝DO，AO＝CO，
∵AB⊥AC，AB＝4，AC＝6，
∴BO＝＝5，
∴BD＝2BO＝10，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单．
8．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，AD＝1，则BD的长为（）
A．B．2 C．D．3
【分析】先根据△ACD是等腰直角三角形，得出CD＝AD＝1，再根据∠B＝30°，在Rt△BCD中，得到BC＝2CD＝2，最后利用勾股定理进行计算．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝45°，CD⊥AB，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD＝AD＝1，
又∵∠B＝30°，
∴Rt△BCD中，BC＝2CD＝2，
∴BD＝＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股定理，解题时注意：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
9．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）
A．25海里B．30海里C．40海里D．50海里
【分析】首先根据路程＝速度×时间可得AC、AB的长，然后连接BC，再利用勾股定理计算出BC 长即可．
【解答】解：连接BC，
由题意得：AC＝16×2＝32（海里），AB＝12×2＝24（海里），
CB＝＝40（海里），
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
10．如图，平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得AB＝BE，根据AD、AB的值，求出EC的值．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE＝∠DAE
∴∠BAE＝∠BEA
∴BE＝AB＝3
∵BC＝AD＝5
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3＝2
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定；在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
11．如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于H，FD＝8，则HE等于（）
A．20 B．16 C．12 D．8
【分析】利用三角形中位线定理知DF＝AC；然后在直角三角形AHC中根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可将所求线段EH与已知线段DF联系起来了．
【解答】解：∵D、F分别是AB、BC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF＝AC（三角形中位线定理）；
又∵E是线段AC的中点，AH⊥BC，
∴EH＝AC，
∴EH＝DF＝8．
故选：D．
【点评】本题综合考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线．三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
12．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，CP＝2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（）
A．2 B．C．D．
【分析】由OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，CP＝2，CP∥OA，易得△OCP是等腰三角形，∠COP＝30°，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得PE的值，继而求得OP的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DM的长．
【解答】解：∵OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，
∴∠AOP＝∠COP＝30°，
∵CP∥OA，
∴∠AOP＝∠CPO，
∴∠COP＝∠CPO，
∴OC＝CP＝2，
∵∠PCE＝∠AOB＝60°，PE⊥OB，
∴∠CPE＝30°，
∴CE＝CP＝1，
∴PE＝＝，
∴OP＝2PE＝2，
∵PD⊥OA，点M是OP的中点，
∴DM＝OP＝．
故选：C．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定、含30°直角三角形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
13．已知：x＝，计算x2﹣x+1的值是+4 ．
【分析】先将x的值分母有理化得出x＝+1，再代入原式，根据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【解答】解：∵x＝＝＝＝+1，
∴x2﹣x+1＝（+1）2﹣（+1）+1
＝4+2﹣﹣1+1
＝+4．
故答案为： +4．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及分母有理化．
14．若+2+x＝10，则x的值等于 2 ．
【分析】先化简、合并等号左边的二次根式，再将系数化为，继而两边平方，进一步求解可得．
【解答】解：3++＝10，
5＝10，
＝2，
则2x＝4，
x＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
15．已知a＝+1，b＝﹣1，则a2b+ab2的值是8．
【分析】先计算出a+b和ab，再把a2b+ab2因式分解，然后利用整体代入的方法计算；
【解答】解：∵a＝+1，b＝﹣1，
∴a+b＝2，ab＝5﹣1＝4，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝4×2＝8；
故答案为：8
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
16．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有24 米．
【分析】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前树的高度是15+9＝24米．
【解答】解：因为AB＝9米，AC＝12米，
根据勾股定理得BC＝＝15米，
于是折断前树的高度是15+9＝24米．
故答案为：24．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，是基础知识，比较简单．17．将一根长为15cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为hcm，则h的取值范围是2cm≤h≤3cm．
【分析】根据杯子内筷子的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案．
【解答】解：∵将一根长为15cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，
∴在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度，
∴当杯子中筷子最短是等于杯子的高时为12cm，
最长时等于杯子斜边长度，即：＝13（cm），
∴h的取值范围是：（15﹣13）≤h≤（15﹣12），
即2cm≤h≤3cm．
故答案为：2cm≤h≤3cm．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键．18．如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，△ABD的周长为16cm，则△DOE 的周长是8 cm．
【分析】根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，BC＝AD，DC＝AB，DO＝BO，E点是CD
的中点，可得OE是△DCB的中位线，可得OE＝BC．从而得到结果是8cm．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是BD中点，△ABD≌△CDB，
又∵E是CD中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE＝BC，
即△DOE的周长＝△BCD的周长，
∴△DOE的周长＝△DAB的周长．
∴△DOE的周长＝×16＝8cm．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质及三角形中位线的性质的应用．
19．如图，在?ABCD中，EF经过对角线的交点O，交AB于点E，交CD于点F．若AB＝5，AD＝4，OF＝1.8，那么四边形BCFE的周长为12.6 ．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，易求得BC＝AD＝4，易证得△AOE≌△COF，则可求得CF＝AE，EF＝3.6，然后由四边形BCFE的周长为：AB+BC+EF，继而求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝4，OA＝OC，AB∥CD，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴CF＝AE，OE＝OE＝1.8，
∴EF＝OE+OF＝3.6，
∴四边形BCFE的周长为：EF+BE+BC+CF＝EF+BC+BE+AE＝EF+BC+AB＝3.6+4+5＝12.6．
故答案为：12.6．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
20．如图．在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E为垂足，连接CD，若
BD＝1，则AC的长是2．
【分析】求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD＝CD，求出∠ACD、∠DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可．
【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∵DE垂直平分斜边AC，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD＝30°，
∴∠DCB＝60°﹣30°＝30°，
∵BD＝1，
∴CD＝AD＝2，
∴AB＝1+2＝3，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：CB＝，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了线段垂直平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度适中．
三、解答题（共6小题，满分60分）
21．（10分）计算题：
（1）+﹣﹣4；
（2）（﹣）÷；
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算．
【解答】解：（1）原式＝2+3﹣﹣2
＝2；
（2）原式＝（4﹣2）÷3
＝2÷3
＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
22．（7分）已知＝0，求的值．
【分析】直接利用算术平方根的性质以及绝对值的性质结合分式有意义的条件得出x，y的值，进而代入求出答案．
【解答】解：∵＝0，
∴x﹣3y＝0，x2﹣9＝0，x+3≠0，
解得：x＝3，y＝1，
则＝＝．
【点评】此题主要考查了算术平方根的性质以及绝对值的性质，正确得出x，y的值是解题关键．23．（9分）如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？
【分析】关键描述语：产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，在Rt△DAE和Rt△CBE 中，设出AE的长，可将DE和CE的长表示出来，列出等式进行求解即可．
【解答】解：设AE＝xkm，
∵C、D两村到E站的距离相等，∴DE＝CE，即DE2＝CE2，
由勾股定理，得152+x2＝102+（25﹣x）2，x＝10．
故：E点应建在距A站10千米处．
【点评】本题主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解即可．24．（10分）如图，小明在A时测得某树的影长DE为2m，B时又测得该树的影长EF为8m，若两次日照的光线互相垂直，求树的高度CE是多少？
【分析】根据题意，Rt△EDC∽Rt△EFC，即EC2＝ED?FE，代入数据可得答案．
【解答】解：在Rt△CDF中，树高为CE，且∠DCF＝90°，ED＝2m，FE＝8，
易得：Rt△EDC∽Rt△EFC，
∴＝；
即EC2＝ED?FE，
则EC2＝2×8
解得：EC＝4，
∴树的高度CE是4m．
【点评】本题考查相似三角形的应用，关键是通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小；
是平行投影性质在实际生活中的应用．
25．（12分）如图，点D，C在BF上，AC∥DE，∠A＝∠E，BD＝CF．
（1）求证：AB＝EF；
（2）连接AF，BE，猜想四边形ABEF的形状，并说明理由．
【分析】（1）利用AAS证明△ABC≌△EFD，再根据全等三角形的性质可得AB＝EF；
（2）首先根据全等三角形的性质可得∠B＝∠F，再根据内错角相等两直线平行可得到AB∥EF，又AB＝EF，可证出四边形ABEF为平行四边形．
【解答】（1）证明：∵AC∥DE，
∴∠ACD＝∠EDF，
∵BD＝CF，
∴BD+DC＝CF+DC，
即BC＝DF，
在△ABC与△EFD中
，
∴△ABC≌△EFD（AAS），
∴AB＝EF；
（2）猜想：四边形ABEF为平行四边形，
理由如下：由（1）知△ABC≌△EFD，
∴∠B＝∠F，
∴AB∥EF，
又∵AB＝EF，
∴四边形ABEF为平行四边形．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，解决问题的关键是证明△ABC≌△EFD．
26．（12分）如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；
【分析】（1）利用平行线的性质得：∠OEC＝∠ECB，根据角平分线的定义可知：∠ACE＝∠ECB，由等量代换和等角对等边得：OE＝OC，同理：OC＝OF，可得结论；
（2）先根据对角线互相平分证明四边形AECF是平行四边形，再由角平分线可得：∠ECF＝90°，利用有一个角是直角的平行四边形可得结论；
【解答】解：（1）OE＝OF，理由如下：
∵MN∥BC，
∴∠OEC＝∠ECB，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ECB，
∴∠OEC＝∠ACE，
∴OE＝OC，
同理可得：OC＝OF，
∴OE＝OF；
（2）当O为AC中点时，四边形AECF是矩形；
理由如下：
∵OA＝OC，OE＝OF（已证），
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EC平分∠ACB，CF平分∠ACG，
∴∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACG，
∴∠ACE+∠ACF＝（∠ACB+∠ACG）＝×180°＝90°，
即∠ECF＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定、矩形的判定以及正方形的判定、平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握并区分平行四边形、矩形、正方形的判定是解题关键．