复变函数论第四版答案钟玉泉
（1）提到复变函数，首先需要了解复数的基本性质和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根，极坐标与
xy 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候基本上都会学过。
（2）复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之类的运算就会很自然的引入到
复平面里面，从而引出解析函数的定义。那么研究解析函数的性质就是关键所在。最关键的地方就是所谓
的Cauchy—Riemann 公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。
（3）明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分的概念引入复分析中，定义几乎
是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理：Cauchy 积分公式。这
个是复分析的第一个重要定理。
（4）既然是解析函数，那么函数的定义域就是一个关键的问题。可以从整个定义域去考虑这个函数，也可
以从局部来研究这个函数。这个时候研究解析函数的奇点就是关键所在，奇点根据性质分成可去奇点，极
点，本性奇点三类，围绕这三类奇点，会有各自奇妙的定理。（5）复变函数中，留数定理是一个重要的定理，反映了曲线积分和
零点极点的性质。与之类似的幅角定理
也展示了类似的关系。
（6）除了积分，导数也是解析函数的一个研究方向。导数加上收敛的概念就可以引出Taylor 级数和
Laurent 级数的概念。除此之外，正规族里面有一个非常重要的定理，那就是Arzela 定理。
（7）以上都是从分析的角度来研究复分析，如果从几何的角度来说，最重要的定理莫过于Riemann 映照
定理。这个时候一般会介绍线性变换，就是Mobius 变换，把各种各样的区域映射成单位圆。研究
Mobius 变换的保角和交比之类的性质。
（8）椭圆函数，经典的双周期函数。这里有Weierstrass 理论，是研究Weierstrass 函数的，有经典的
微分方程，以及该函数的性质。
以上就是复分析或者复变函数的一些课程介绍，如果有遗漏或者疏忽的地方请大家指教。
复变函数论第四版答案钟玉泉 （1）提到复变函数，首先需要了解复数的基本性质和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根，极坐标与 xy 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候基本上都会学过。 （2）复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之类的运算就会很自然的引入到 复平面里面，从而引出解析函数的定义。那么研究解析函数的性质就是关键所在。最关键的地方就是所谓 的Cauchy—Riemann 公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。 （3）明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分的概念引入复分析中，定义几乎 是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理：Cauchy 积分公式。这 个是复分析的第一个重要定理。 （4）既然是解析函数，那么函数的定义域就是一个关键的问题。可以从整个定义域去考虑这个函数，也可 以从局部来研究这个函数。这个时候研究解析函数的奇点就是关键所在，奇点根据性质分成可去奇点，极 点，本性奇点三类，围绕这三类奇点，会有各自奇妙的定理。（5）复变函数中，留数定理是一个重要的定理，反映了曲线积分和
零点极点的性质。与之类似的幅角定理 也展示了类似的关系。 （6）除了积分，导数也是解析函数的一个研究方向。导数加上收敛的概念就可以引出Taylor 级数和 Laurent 级数的概念。除此之外，正规族里面有一个非常重要的定理，那就是Arzela 定理。 （7）以上都是从分析的角度来研究复分析，如果从几何的角度来说，最重要的定理莫过于Riemann 映照 定理。这个时候一般会介绍线性变换，就是Mobius 变换，把各种各样的区域映射成单位圆。研究 Mobius 变换的保角和交比之类的性质。 （8）椭圆函数，经典的双周期函数。这里有Weierstrass 理论，是研究Weierstrass 函数的，有经典的 微分方程，以及该函数的性质。 以上就是复分析或者复变函数的一些课程介绍，如果有遗漏或者疏忽的地方请大家指教。
复变函数论文复变函数与积分变换在自动控制原理中的应用 姓名：何缘鸽学号：092410101 学院(系)：电气与电子工程系 专业：自动化 指导教师：秦志新 评阅人：
复变函数与积分变换在自动控制原理中的 应用 【摘要】： 复变函数与积分变换的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学、电磁学、热学、弹性理论中的平面问题的有力工具。而自然科学和生产技术的发展又极大地推动了复变函数的发展，丰富了它的内容。我们在学习的过程中，要正确理解和掌握复变函数中的数学概念和方法，逐步培养利用这些概念和方法解决实际问题的能力。文中简单地介绍了该门课程在自动控制理论中的应用。 【关键词】：线性系统 Z变换卷积拉普拉斯变换 【正文】： 提出问题： 众所周知，复变函数中的许多概念、理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展，因而它们之间有许多相似之处。但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了taylor级数展开laplace变换和fourier变换后而使其显得更加重要了。 随着教育事业的不断发展与更新，一些新的处理数据的方法越来越多的应用于我们的日常专业学习中。当然复变函数在自动控制原理方面的应用也更大的加快了自动化的发展，自动控制与信号处理也更加离不开一套有效的处理方法。但是常规的Fourier变换的运算的范围还是有限的，如何去解决一些不能展开成Fourier级数的信号成了
我们的首要问题。 分析问题： 虽然常规的Fourier 变换的运算的范围是有限的，，但Laplace 变换、Z 变换等填补了Fourier 变换的不足之处，究竟其有什么好处呢？下面就介绍一些例子，从中就能看出。 例1： 如图1所示电路，原处于稳态，开关S 于t=0时由1端转向 2端，R=10 Ω ，L=1H,C=0.004F,求换路后电流i(t)。 解：因换路前电路已达稳态，故可知 ()=-0i 0, ()V u c 20=- 换路后，电路的微分方程为 ()()()+ ++-0c u dt t di L t Ri ?- t d i C 0)(1ττ=10)(t ε 对上式进行拉普拉斯变换，得
复变函数论 一、复数与复变函数 一、要求 （一）明确复数、区域、复平面、扩充复平面，逐段光滑曲线等概念。 （二）明确复变函数概念和几何意义，掌握一些简单函数的变换性质。 （三）掌握复变函数的极限和连续性的概念和基本性质。 （四）熟练掌握复数的有关计算，会作点集的图形。 二、考试内容 （一）复数概念、复数的表示法及其代数运算、复数的模与幅角、共轭复数及其简单运算。 （二）平面点集基本概念，曲线（连续曲线、约当曲线、逐段光滑曲线）、区域（单连通区域、复连通区域）、 复平面。 （三）复变函数的概念及其几何意义，复变函数的极限与连续性。 （四）无穷远点，扩充复平面。 二、解析函数 一、要求 （一）掌握导数、解析函数的概念。 （二）掌握C——R条件，并能熟练地判断复变函数的可导性和解析性。 （三）掌握复基本初等函数的定义和基本性质。 （四）掌握正整幂函数、根式函数、指数函数、对数函数的变换性质，了解根式函数单值解析分支的取法。 二、考试内容 （一）导数、解析函数、C——R条件。 （二）初等函数：正整幂函数与根式函数，指数函数与对数函数，三解函数与反三角函数，双曲函数，一般 幂函数和一般指数函数。 三、复变函数的积分 一、要求 （一）明确复积分的概念及其基本性质。 （二）会证柯西积分定理和柯西积分公式；理解解析函数的无限可微性和莫勒拉定理。 （三）熟练地掌握复积分的计算方法。 （四）理解刘维尔定理，会证代数基本定理。 （五）掌握解析函数与调和函数的关系。 二、考试内容 （一）复积分的概念、基本性质及其计算方法。
（二）柯西积分定理（在f'（z）连续的条件下，用格林公式证明）。不定积分，复连通区域上的柯西积分 定理。 （三）柯西积分公式，解析函数的无限可微性。 （四）柯西不等式、刘维尔定理、代数基本定理。 （五）莫勒拉定理。 （六）解析函数与调和函数的关系。 四、解析函数的幂级数表示法 一、要求 （一）明确收敛、绝对收敛、一致收敛、内闭一致收敛、幂级数、收敛半径、收敛圆、泰勒级数等概念。 （二）了解一致收敛的函数项极数的分析性质。 （三）掌握解析函数的零点孤立性定理和唯一性定理，了解最大模原理的含义。 （四）会求幂级数的收敛半径，了解幂级数的和函数在收敛圆周上必有奇点。 （五）会求简单初等函数的泰勒展开式。 二、考试内容 （一）复数项极数、收敛、绝对收敛。 （二）复变函数项级数、收敛、一致收敛、内闭一致收敛、一致收敛的函数项级数的分析性质。 （三）幂级数、阿贝尔定理、收敛半径、收敛圆、幂级数和函数的解析性。 （四）泰勒定理。基本初等函数的泰勒展开式。 （五）解析函数零点的孤立性、唯一性定理，最大模原理。 五、罗朗级数、孤立奇点 一、要求 （一）明确罗朗级数、孤立奇点、可去奇点、极点、本性奇点等概念。 （二）会求简单函数的罗朗展式。 （三）会判别孤立奇点的类型。 二、考试内容 （一）解析函数的罗朗展式。 （二）解析函数的孤立奇点的概念、分类以及函数在孤立奇点领域内的性质。 （三）解析函数在无穷远点的性质。 六、残数及其应用 一、要求 （一）掌握残数概念和残数的求法。 （二）掌握残数定理的证法并会用残数定理计算曲线积分。
题目： 拉普拉斯变换法在专业上应用的认识 摘要： 本文主要讨论了拉普拉斯变换法在电气工程及其自动化专业（自动化控制理论）中的应用，本文从三个方面对它进行了集中的阐释，首先是较为深入地讨论了拉普拉斯变换在物理学线性电路及自动控制系统中的典型应用，从而表明该变换不论在理论研究还是在实际应用中都具有非常重要的意义；其次是分析电路的稳态过程常采用经典法来求解，然而对复杂的电路．经典法就显得繁琐．甚至要用计算机才能求解，提出的把拉普拉斯变换应用于电路的稳态过程，即把求解困难的微分方程转化为能方便求解的代数方程；最后是讨论如何利用拉普拉斯变换方法解决复杂电路分析问题，结合一些实例，说明用该方法解题的思路和步骤。由理论结合实际，由点及面分层剖析了拉普拉斯变换法在电气工程及其自动化专业中的应用。 关键词： 拉普拉斯变换，微分方程，电路 目录： 拉普拉斯变换法在电路分析中的应用 正文： 在自动控制专业中，对信号处理时的传递函数理论分析、各类信号处理中的时-频域理论分析等内容要应用拉普拉斯变换进行处理；拉普拉斯变换是由复变函数积分引导出的—个非常重要的结论，
它在物理和应用数学中都占有很重要的地位。 1、运用拉普拉斯变换求解电路的基本方法 在物理教学中，常会碰到具有非零初始条件的电路求解问题。我们通常采用拉普拉斯变换法对电路进行求解。拉氏变换求解电路有两种方法 ；一是先根据电路及物理定律写出相应微分方程 ，再取拉氏变换求解；二是一开始就将电路中的每个元件取拉氏变换再运用 KCL 、KVL 定律建立代数方程求解 。 下面以《电磁学》课程中的RC 稳态过程及RLC 稳态过程为例，用拉氏变换的两种方法对电路进行分析求解。 例：图示电路，设电容器C 两端已充有电压，电压值为ε。求当开关K 闭合后，电路中的电容两端的电压Uc ，电路中的电流i 及电阻两端的电压U R 。 用一般方法进行求解，如上图RC 电路中，开关K 闭合前，电容C 已经充电，其电压ε=C u 。开关闭合后，电容储存的能量将通过电阻以热能形式释放出来。现把开关动作时刻取为计时起点（t=0）。开关闭合后，即t ≥+0时，根据基尔霍夫定律可得： 0 =+C R u u 将dt du C i Ri u R -==,代入上述方程，有