本文在分析了软计算方法和经典数学形态学的基本原理及其性质的基础上提出了Soft多结构元素和基于软计算方法的Soft多结构形态学算子，并详细探讨了它们的基本性质及其与经典形态学算子之间的关系，然后分别对Soft多结构元素和基于软计算方法的形态学变换在图像滤波、边缘检测等图像处理方面的应用作了探讨，并将其与经典的结构元素以及形态学算子作了比较。从仿真结果可知，本文提出的基于软计算方法的Soft 多结构形态学算法具有更强的抗噪声能力，其性能明显优于一些经典数学形态学算法。本文具体工作如下：
1) 基于一些经典的结构元素，改进和提出了新的结构元素即Soft多结构元素，并构建了相应的形态边缘检测算子。实验结果表明，改进的结构元素在处理噪声图像时比经典的结构元素抗噪声能力更强，并且在细节信息保护上更好。
2) 把T-S模糊系统和数学形态学结合起来探讨与研究，在HSI颜色空间基于T-S 模糊系统和Soft多结构元素给出了新的彩色形态滤波和边缘检测方法。并与传统方法进行了分析比较，实验表明基于T-S模糊系统的形态变换算子在处理有噪声的彩色图像时抗噪声能力更强。
3) 在HSV彩色空间提出了一种新的基于模糊融合和Soft多结构元素的彩色形态学滤波器。基于模糊融合系统的评价值来进行彩色图像点的矢量排序，与基于HSV矢量排序的方法比较，结论显示基于模糊融合矢量排序的形态学滤波效果更好。实验表明，基于模糊融合矢量排序的形态学滤波算法比经典形态学滤波算法能更有效地去除图像的噪声，保留图像细节。
4) 在Sugeno模糊积分和Soft多结构元素基础上，提出了新的彩色图像形态学滤波器和边缘检测算法。基于Sugeno模糊积分的评价值来进行彩色图像点的矢量排序，通过对结构元素的实验分析可知Soft多结构元素抗噪声能力更强。与基于HSV矢量排序的方法比较，结论显示基于Sugeno模糊积分矢量排序的形态学变换效果更好。实验表明，基于Sugeno模糊积分矢量排序的形态学算法比经典形态学算法能更有效地去除图像的噪声和获取彩色图像边缘，保持图像原有结构方面效果更好。
关键词：模糊集；T-S模糊系统；模糊融合；Sugeno模糊积分；Soft多结构元素；数学形态学；滤波；边缘检测
The principles and properties of soft computing and mathematical morphology are reviewed. According to this, soft-multi-structural elements and Soft morphological operations based on soft computing are introduced. Based on the investigation of their properties and the links between the mentioned operators with classical morphological operators, some applications for image processing such as the morphological filters, edge detection are presented. Experimental results demonstrate that the ability of color image processing based on the morphological operations based on soft computing is superior to the classical one, and that the algorithm possesses excellent performance on the noise restrained.
The work includes the following subjects:
1) Based on the classical structural elements, a new structural element (Soft-multi-structural elements) is presented.A new filter is constructed based on it.Experimental results show that the new structural element is better than classical structural elements on the color image processing.
2) Based on the T-S fuzzy system and soft-multi-structural elements mathematical morphology, new filter and edge detection are presented on color image processing of HSI.Our experimental results demonstrate that it is possible to improve the results in denoising by using the algorithm.
3) In the space of HSV a new filter is presented on color morphology based on fuzzy combination and soft-multi-structural elements. Color image pixels are sorted by the value of fuzzy combination. Morphological filter based on the ranking of fuzzy combination can get better results than based on the ranking of HSV. Experimental results demonstrate that the ability of color processing based on the new morphology is superior to the classical one, and that the algorithm possesses excellent performance on the noise restrained.
4) Based on Sugeno fuzzy integral and soft-multi-structural elements, new filter and edge detection are presented.Color image pixels are sorted by the value of Sugeno fuzzy integral. Comparing with other structural elements, soft-multi-structural elements are better on the noise restrained. Morphological transform based on the ranking of Sugeno fuzzy integral can get better results than based on the ranking of HSV. Experimental results demonstrate that the ability of color processing based on the new morphology is superior to the classical one, and that the algorithm possesses excellent performance on the noise restrained and obtained better results.
Keywords: fuzzy set; T-S fuzzy system; sugeno fuzzy integral; soft-multi-structural elements; mathematical morphology;filter;edge detection
目 录
第一章绪论 (1)
1.1选题背景 (1)
1.1.1软计算方法 (1)
1.1.2数学形态学 (1)
1.2研究现状 (2)
1.3主要研究内容与研究思路 (3)
1.4论文结构 (3)
第二章结构元素及数学形态学理论 (5)
2.1经典形态学的理论基础 (5)
2.1.1数学形态学的基本原则 (5)
2.1.2二值形态学 (5)
2.1.3灰度形态学 (6)
2.1.4彩色形态学 (6)
2.2 结构元素 (8)
2.2.1单结构元素 (8)
2.2.2 Soft结构元素 (8)
2.2.3多结构元素 (9)
2.3 改进的结构元素 (9)
2.3.1 Soft多结构元素的提出 (9)
2.3.2 文中用到的结构元素 (10)
2.3.3实验及结果 (10)
2.4小结 (12)
第三章 T-S模糊系统应用于形态学彩色图像处理 (13)
3.1 H、S、I值的模糊化 (13)
3.2基于T-S模糊系统矢量排序 (14)
3.2.1 T-S模糊系统 (14)
3.2.2基于T-S模糊系统矢量排序的定义 (15)
3.2.3基于T-S模糊系统的形态学膨胀和腐蚀算子 (16)
3.3基于T-S模糊系统的柔性多结构形态学变换算子 (16)
第四章基于模糊融合系统的矢量排序及形态学图像滤波 (20)
4.1 模糊融合系统的提出 (20)
4.2 基于模糊融合系统的矢量排序 (21)
4.2.1 基于模糊融合系统的矢量排序定义 (21)
4.2.2 基于模糊融合系统的形态学膨胀与腐蚀算子 (21)
4.3 基于模糊融合系统的S OFT多结构形态学变换算子 (22)
4.4 基于模糊融合系统与基于HSV矢量排序的形态学分析比较 (23)
4.5 基于模糊融合系统与基于T-S模糊系统矢量排序的形态学分析比较 (26)
4.6 实验及结果 (27)
4.6.1实验组一 (27)
4.6.2实验组二 (29)
4.7 小结 (30)
第五章在形态学框架下基于SUGENO模糊积分的图像处理 (32)
5.1 基于S UGENO模糊积分的形态学膨胀与腐蚀算子定义 (32)
5.1.1 Sugeno模糊积分 (32)
5.1.2 基于Sugeno模糊积分的矢量排序定义 (33)
5.1.3 基于Sugeno模糊积分的形态学膨胀与腐蚀算子 (33)
5.2 面向目标颜色形态学处理与应用 (35)
5.3 基于模糊积分的形态学变换算子 (36)
5.4 基于S UGENO模糊积分、HSV矢量排序的形态学分析比较 (37)
5.4.1 对基于Sugeno模糊积分、HSV矢量排序的分析 (37)
5.4.2 实验及结果 (38)
5.5 实验及结果 (39)
5.5.1实验组一 (39)
5.5.2实验组二 (42)
5.6 小结 (43)
第六章总结与展望 (45)
6.1 研究成果 (45)
6.2 展望 (46)
附录：作者在攻读硕士学位期间发表的论文 (51)
第一章绪论
软计算[1]通过不确定性计算解决常规计算难以处理的问题，数学上的不确定性包括模糊性、粗糙性等，它们分别由模糊数学、粗糙集理论等非经典数学加以处理。数学形态学[2-6]是一门建立在集合论基础上的学科，为数字图像分析处理提供了一种有效的工具，在图像处理、计算机视觉、模式识别等领域获得了广泛的应用。基于形态学框架进行的图像处理包括边缘检测[7]、图像滤波、模式识别、特征提取[8]、文本分析等。软计算方法和数学形态学结合起来进行图像处理的研究与应用已引起学者广泛的关注。1.1选题背景
1.1.1软计算方法
软计算方法（Soft Computing）是在90年代由Zadeh教授和其学生将模糊技术与智能技术相结合来解决复杂带有不确定性的问题而提出的。传统的计算为硬计算，是以产生精确结果为主要特征。然而对一些复杂的模糊系统采用硬计算求解代价过大，并且用一些近似解已能满足需要，鉴于此提出了软计算方法。与传统的硬计算不同的是软计算允许存在不确定性和不精确性，允许误差和不确定性是为了获得一种可接受的解决方案。对于一个复杂模糊的系统，软计算具有成本低可实际操作的智能方法。
软计算主要包括模糊推理[9]、神经网络[10]、粗糙集理论[11-12]等，已广泛用于智能系统中。模糊推理是对处理不确定性概念及其推理机制的过程，神经网络和粗糙集理论常被用来分类。模糊逻辑是最早、应用最广泛的软计算方法，模糊逻辑的发展导致了软计算方法的出现，模糊集技术在模糊信息系统中占有越来越重要的地位。
软计算模式提供了开放性、鲁棒性和实时处理的基本特性，具有这些特性的信息处理系统有时被称为实际领域的计算系统（RWCS）,因此软计算能看作是RWCS的关键组成。在20世纪90年代，日本就开始了实际领域的计算计划，以满足实际领域里各种各样模糊的和不确定信息的表达和处理。很容易预计，软计算方法将在未来数十年仍将位于最前沿的研究领域。
1.1.2数学形态学
数学形态学（Mathematical Morphology）起源于岩相学中对岩石结构的定量描述。1964年法国的Matheron[13]和Serra在积分几何的基础上将数学形态学引入图像处理领域，并提出了基于数学形态学的图像处理方法。在迭代运算的基础上，提出了二值细化、极限腐蚀、SKIZ及条件对角切分等。二十世纪70年代，采用数学形态学的学者们开拓了图像分析的一个新领域。二十世纪80年代，G.Mathern和J.Serra等人在研究中认识到，对图像先作开运算再作闭运算，可以产生一种幂等运算，采用递增尺寸的交变开闭序列作用于图像，可以有效的消除图像中的噪声，1982年正式提出了形态学滤波器概念。1982年出版的专著《Image Analysis and Mathematical Morphology》是数学形态学发展史上一个重要里程碑。它被图像处理、模式识别和计算机视觉等领域广泛的应用和关注。
经过几十年的发展，数学形态学无论在理论方面还是在应用方面都取得了举世瞩目的成就。然而，数学形态学在把握自然景物的含义，以及符号描述方面尚显的不够有力，有待于进一步发展。数学形态学基于集合论的基础上，以及作为基本运算的上下确界关系表示，反映了自然界中一类相当普遍的现象。数学形态学方法已成为图像应用领域工程技术人员的必备工具。目前，有关数学形态学的技术和应用正在不断地研究和发展。
1.2研究现状
近年来，软计算和数学形态学相结合的方法已被各国学者广泛应用于图像处理、模式识别和计算机视觉等领域。尤其在图像处理领域应用更为广泛，例如：图像噪声抑制、图像分割、边缘检测和特征提取等方面。进一步提高数学形态学图像处理的抗干扰性是研究的重要方面。将软计算方法和数学形态学结合起来进行拓展研究是一个重要的研究思路。
1991年，Koskinen[14]等人在经典形态学基础上提出了Soft数学形态学上变换，Soft 形态学用加权统计的方法代替最值法，这样进一步增加了图像处理的鲁棒性和抗干扰能力。Koskinen提出了新的结构元素即Soft结构元素，Soft结构元素由核心和软边界两大部分组成。Soft数学形态学具有传统数学形态学相似的代数特性，但具有更强的抗噪声能力和鲁棒性，并对加性噪声及微变型具有更好的鲁棒能力。
1992年，模糊学被Sinha和Dougherty[15]等学者引入到数学形态学中，形成了模糊数学形态学（Fuzzy Mathematical Morphology），在模糊形态学方法中，图像不再被看成二值化集合，而是模糊集合。从而形成模糊腐蚀和膨胀等运算。1999年，Gady Agam[16]和Its’hak Dinstein提出了调控（regulated）数学形态学，提出了可调形态学算子，这类算子定义中引入了调控因子。这种算子具有很好的抗噪声能力，比经典形态学算子更具有广泛意义，在图像处理等领域具有较强的实用价值。
单结构元素不能够兼顾各个方向上的特征信息并且处理单调，就有很多学者提出多结构元素[17]以解决单结构元素的不足。在图像处理领域基于多结构元素数学形态学获得了广泛的应用，研究出大量的科研成果，如多结构滤波器和多结构边缘检测等。
近年来，国内有很多学者把人工神经网络[18]和数学形态学结合起来研究和应用，人工神经网络是由大量神经元相互联接而构成的非线性动态系统，在自学习、自组织、联想和容错方面具有较强的能力，能用于识别和决策。和数学形态学结合起来能够解决很多复杂的问题。例如：车牌识别、指纹识别[19-20]和人脸识别等应用。
1982年，Z.Pawlak发表了经典论文Rough Sets[21]，宣告了粗糙集理论的诞生。目前，粗糙集已成为人工智能领域中一个较新的学术热点，它能有效的分析不精确、不一致、不完善等各种不完备的信息。近年来，很多学者把粗糙集理论和数学形态学结合起来研究各种不精确问题。基于粗糙集理论的数学形态学得到了广泛的应用，如图像分割、图像压缩、图像匹配和形状分析等。
日本学者Sugeno在1974年基于模糊学提出了Sugeno模糊积分[22]，Sugeno模糊积分应用于主观评价过程，取得了较好的结果。学者Aureli Soria-Frisch、Mario Koppen和
Bertram Nickolay把模糊积分和数学形态学结合起来做纺织品图像侦测，获得了较好的效果。近年来，有些国内学者把模糊系统[23]和数学形态学结合起来研究，在对有噪声的图像滤波方面，获得了较好的研究成果。
综上所述，我发现基于软计算方法的数学形态学领域的研究在不断进展的同时，也面临着很多问题有待我们研究。
1.3主要研究内容与研究思路
本文的内容集中在数学形态学框架下基于软计算方法研究与应用。包括结构元素的改进与应用，然后把T-S模糊系统、模糊融合系统和Sugeno模糊积分与数学形态学框架结合起来探讨和研究，同时也尝试了把改进的结构元素结合到形态学算子中来研究。主要研究内容包括：
1) 在一些经典的结构元素基础上改进和提出新的结构元素，并通过实验来说明改进的结构元素比经典结构元素在图像处理方面效果更好。
2) 把T-S模糊系统和数学形态学结合起来探讨与研究，构造相当的算子应用于图像处理的若干领域。并与传统方法进行分析比较。
3) 根据数学形态学中矢量排序特点设计了一个模糊信息融合系统来处理矢量排序问题，并将其应用于实际的图像处理领域。
4) 对Sugeno模糊积分作了一下理论分析，和数学形态学理论结合起来研究，并尽量从不同角度来研究和探讨。
基于以上的内容，我主要遵循了下面的研究思路：
由于本文主要研究的基于软计算方法的数学形态学是基于经典形态学框架下进行的，所以本文整体上遵循了由经典形态学扩展到基于软计算方法的数学形态学。由理论分析到计算机模拟实现的原则。数学形态学图像处理是由形态学变换的定义和结构元素的选择所确定的，所以本文先探讨了结构元素的问题。本文数学形态学变换算子是对彩色图像进行处理，所以就涉及到矢量排序的问题，本文基于此把T-S模糊系统、模糊融合系统和Sugeno模糊积分和形态学中矢量排序问题结合起来研究和探讨，对其与经典的算法进行了分析比较。
1.4论文结构
本文共由6章组成，主要内容安排如下：
第1章为绪论，分为4个小节。第1小节介绍了课题研究的背景；第2小节简要介绍了课题研究的现状；第3小节则介绍课题研究的内容和研究思路；第4小节则介绍了本文的章节安排。
第2章是讲述结构元素及数学形态学理论。这一章主要内容是较全面的总结已有的结构元素和提出本文改进的结构元素，并且简述下经典数学形态学理论基础。第1小节介绍了经典数学形态学理论基础；第2小节主要介绍经典结构元素即单结构元素、Soft 结构元素和多结构元素；第3小节则介绍了改进的结构元素，并且对改进的结构元素与其它结构元素进行了仿真实验比较。
第3章主要讲T-S模糊系统应用于形态学彩色图像处理。在这一章中重点介绍了T-S 模糊系统，并介绍了T-S模糊系统应用于数学形态学。第1小节简介了T-S模糊系统；在第2小节中，则概述了基于T-S模糊系统矢量排序方法；第3小节里，提出了基于T-S 模糊系统的柔性多结构形态学的变换算子；第4小节里，用实验来说明基于T-S模糊系统的柔性多结构形态学变换算子比经典形态学变换算子更好；第5小节里对这一章内容进行了总结。
第4章讲述了基于模糊融合系统的矢量排序及形态学图像滤波，这一章里提出了模糊融合系统，并且把它和数学形态学结合起来给出滤波器。在第1小节里，主要阐述了模糊融合系统；第2小节中，则介绍了基于模糊融合系统的矢量排序；第3结提出了基于模糊融合系统的Soft多结构形态学的变换算子；在4中对基于模糊融合系统和基于HSV矢量排序的分析比较；在5节中对基于模糊融合系统和基于T-S模糊系统矢量排序的分析比较；第6节里用两组实验来说明基于模糊融合系统的Soft多结构形态学图像处理更好；最后在第7节里对这一章内容进行了总结。
第5章是在形态学框架下基于Sugeno模糊积分的图像处理。这一章里介绍了模糊积分理论，并且提出了基于模糊积分的形态学算子。在第1小节里，主要阐述了Sugeno 模糊积分理论及相应的形态学算子；第2小节中，介绍了面向目标颜色的形态学处理；第3小提出了基于Sugeno模糊积分的多结构Soft形态学的变换算子；在第4小节中对基于Sugeno模糊积分和基于HSV矢量排序的形态学分析比较；第5小节里用两组实验来说明基于Sugeno模糊积分的多结构Soft形态学图像处理效果更优秀；最后在第6小节里对这一章内容进行了总结。
第6章为总结与展望。主要是对本文进行了回顾总结，并对以后的工作和方向进行了展望。
第二章 结构元素及数学形态学理论
本章主要内容是较全面的总结已有的结构元素和提出了改进的结构元素，并且简述下经典数学形态学理论基础。总结的结构元素包括单结构元素，Soft 结构元素[14]和多结构元素。本文提出的改进的结构元素即Soft 多结构元素，并对改进的结构元素与其它结构元素进行了实验分析比较。
2.1经典形态学的理论基础
2.1.1数学形态学的基本原则
数学形态学的从集合的角度来刻画和分析图像，它的基本出发点就是图像的几何形态，由于视觉信息理解都是基于对象的几何特性的，因此它更适合视觉信息的处理和分析。这类相互作用有两种基本运算腐蚀和膨胀及它们的组合运算来完成。这是经典的图像处理所不能及的。这些组合运算由集合运算来定义，如交、并、补等。这一基于集合的观点将使形态学算子主要以几何方式表示，这种显式的几何描述应该更适合视觉信息的处理和分析。数学形态学的主要内容是设计一套变换、概念和算法，来描述图像的基本特征。假设用X 表示图像，()X ω表示对图像进行形态学变换。形态学创始人Serra 给形态学变换规定了以下基本原则：
半连续性
形态学变换具有一定的连续特性。
局部知识性
()X ω变换只用到局部领域信息。
平移不变性
()[()]z z X X ωω= (2.1)
其中z X 表示X 平移矢量Z 的变换
缩放不变性
1()()z X X λωλωλ?= (2.2)
2.1.2二值形态学
二值形态学[24]适用于二值图像。二值图像是指灰度只有两个值，通常取值为1盒0。这类图像的集合表示非常直接，只考虑两个集合，即值为1的集合和值为0的集合。在数学形态学中定义了两个基本的变换，分别称为膨胀和腐蚀。对一个给定的集合X 和另一个集合B ，想象一下将B 在图像上移动。在每一个当前位置x ，x B 只有三种可能状态：
一是x B X ?；二是c x B X ?；三是c x B X ∩和x B X ∩均不空。第一种情形说明x B 和X 相
关最大，第二种情形说明x B 和X 不相关，第三种情形说明x B 和X 只是部分相关。因而
满足第一种情形的点x 的全体构成结构元素与图像的最大相关点集，称这个点集为B ～
对
X 的腐蚀。腐蚀可以看作是将图像X 中每一个结构元素B 全等的子集合x B 收缩为点x ，
那么反过来，也可以将X 中每一个点x 扩大为B ，这就是膨胀运算。
定义2-1 设A ，B 为N 维欧氏空间的子集，记A 被B 膨胀为A B ⊕，则
{|,}N A B x e x a b a A b B ⊕=∈=+∈∈ (2.3)
定义2-2 记A 被B 腐蚀为A B Θ，则
{|}N A B x e x b A b B Θ=∈+∈∈ (2.4)
腐蚀变换A B Θ是把结构元素B 平移z 以后得到z B ，使z B 包含于A ，满足该条件的
所有点z 构成了腐蚀变换的结果集合。腐蚀变换的结果是的A 子集，因此它是一种收缩变换。这种变换使目标肢体收缩，孔洞扩张。膨胀变换A B ⊕把结构元素B 平移z 以后得到z B ，使z B 与A 的交集不为空集的所有点z 构成了膨胀变换的结果集合。膨胀是个
扩张过程，这种变换使目标肢体扩张，孔洞收缩。
2.1.3灰度形态学
在实际应用中，绝大多数遇到的都是灰度图像，如照片，显微图像，医学图像等。灰度图像是指像素点的灰度值多于两个的图像。一般用定义在连续或者数字空间上的一个实值函数来刻画它。例如，可以说一幅二维图像就是一个定义在2R 上的函数()f X 。以往的图像处理理论就是建立在这一表象基础上的，但对形态学而言，这一表象不能直接使用。Serra 在文献[3,25]中利用了阴影集说明了形态学在二值信号和灰度信号的同态性，进而证明了两种情况下形态学特性的一致。
灰度膨胀和灰度腐蚀运算的定义
定义2-3 设1,,:,:N F K e f F e k K e ??→→。把灰度膨胀记为g f k ⊕，灰度腐蚀记为
g f k Θ。则
{[][]}g f k T U f U K ⊕=⊕ (2.5)
{[][]}g f k T U f U K Θ=Θ (2.6)
上述定义形象地描述了灰度膨胀和腐蚀的概念。根据[][]U f U K ⊕的几何刻画，可以得出g f k ⊕是将k 的中心保持在f 的上表面移动时所形成的包络；而根据[][]
U f U K Θ的几何刻画，可以得出g f k Θ是将k 紧贴f 而在f 下移动时所形成的中心点的轨迹。
2.1.4彩色形态学
彩色形态学由于它特有的结构元素的选取特性，在矢量排序技术发展的推动下正大量应用于军事、气象、医学及智能机器开发中。因为二值和灰度图像像素都是标量值，容易进行自然的集合运算和排序统计。但彩色图像的像素是由特定意义的三个分量组成的矢量，而由于并没有一个统一的矢量空间排序方案，因此，不能把最初的形态学理论直接推广到彩色空间。下面列出近年来学者提出的解决方案：
1) 分量法
分量法就是将RGB 空间中的彩色图像分解为三幅独立的灰度图像，每一幅图像代
表原彩色图像中所有像素的R 、G 或B 值。对三幅灰度图像分别作形态学处理，然后将处理后的结果再合并回彩色图像。假设I 是RGB 空间的彩色图像，用结构元素S 定义的腐蚀和膨胀定义如下：
()(,)(()(,),()(,),()(,))c r r g g b b I S x y I S x y I S x y I S x y Θ=ΘΘΘ (2.7)
()(,)(()(,),()(,),()(,))c r r g g b b I S x y I S x y I S x y I S x y ⊕=⊕⊕⊕ (2.8)
这里c ⊕和c Θ分别表示彩色膨胀和彩色腐蚀。这种方法显而易见很容易改变原图像
中的像素颜色，这样会影响到彩色定量分析如颗粒检测等。
2) HLS 法[26-27]
HLS 法是一种色彩保护方法。这种方案并不改变图像中像素的颜色，只是对图像的亮度有所改变。它先将彩色图像转换到HLS 模式下，然后对结构元素涉及到像素点的H 、L 、S 这三个分量中的L 分量做简单的灰度形态处理，保持H 和S 分量不变，最后将处理后的结果变换回RGB 空间。关于腐蚀和膨胀的定义如下：
()(,()(,),)HLS h l l s I S RGB A A S x y A Θ=Θ (2.9)
()(,()(,),)HLS h l l s I S RGB A A S x y A ⊕=⊕ (2.10)
这里,,h l s A A A 表示像素所对应的H ，L ，S 分量值，l l A S Θ表示对图像的亮度分量做
灰度腐蚀，()RGB 表示将结果图像转换回RGB 空间的操作。在这种方案中，只有图像和结构元素的亮度分量对操作的结果产生影响，而表现颜色的S 、H 分量并没有参与处理，这对一种用于处理彩色图像的方法来说，似乎并不科学，假如一幅图像中只有纯红色和绿色像素，转换HLS 空间后，红绿色素对应的亮度却可以是相同的。
3) 矢量法[28]
近年来，提出了一种新的彩色形态学算法，以矢量的排序统计特性为基础，我们称之为“矢量法”。最初的矢量法研究的是用二值结构元素做形态学处理，这种结构元素实际上相当于我们熟悉的滤波窗，起一个像素的选择作用。矢量排序问题的解决是推动矢量法发展的关键。文献中多采用彩色像素所对应的三个分量（RGB ）的线性组合或者离原点的欧氏距离来衡量向量之间的大小。由于从RGB 空间到HLS 的变换是线性的，所以前面提到的HLS 法实际上可以说是一种特殊的矢量法。
矢量法通过将矢量标量化，比较结构元素中对应点像素的标量值确定最小最大矢量来代替中心像素的值，从而实现形态学腐蚀与膨胀。有学者提出投影法[29]，在投影法中，结构元素彩色图像和原图像均视为矢量的组合，通过研究结构元素矢量在原图像像素矢量方向上的投影来确定它们之间的匹配程度，与前两种方法一样，这也是一种色彩保护方法，最大值最小值操作是通过比较原矢量和受到结构元素影响的新矢量对应的幅值大小得到代替中心像素的矢量，操作的结果取决于结构元素像素矢量在原图像矢量方向上的投影。在投影法中，图像I 被S 腐蚀和膨胀的定义如下：
,(,)()(,)min(||(,)((,),(,)||)||(,)||pro i j
I x y I S x y I x i y j P I x i y j S i j I x y Θ=++?++ (2.11) ,(,)()(,)max(||(,)((,),(,)||)||(,)||pro i j
I x y I S x y I x i y j P I x i y j S i j I x y ⊕=
??+?? (2.12)
1122(,)|cos z P z z pro z θ= (2.13)
其中|| ||表示求向量的幅值运算，12(,)P z z 是向量2z 在1z 方向上的投影，θ是两矢量
间的夹角。可见，矢量间的夹角对投影运算有很大的影响。
2.2 结构元素
2.2.1单结构元素
结构元素（Structure Element ）
，又被形象地称作刷子，是膨胀和腐蚀操作的最基本组成单位，用于测试输入图像，通常比待处理的图像要小得多。结构元素的大小形状任意，一般是二维的。 二维结构元素的数值一般由0和1组成的矩阵。三维结构元素用数值0和1定义x-y 平面，用高度值定义第三维。结构元素的原点指定了图像中需要处理的像素范围，结构元素中数值为1的点决定结构元素的领域像素在进行膨胀或腐蚀操作时是否需要参与计算。
单结构元素是由单个结构元素组成，其形状类型有线形、圆形、菱形和八角形等。菱形和矩阵形如下图2-1所示：
图2-1 单结构元素 Fig.2-1 single structural element
图2-1中的黑圆形表示数值为1的点，白圆形表示数值为0的点。
2.2.2 Soft 结构元素
柔性结构系统{,,}Y X s 中，X ?Y ，X,Y ∈Z 2，s 为自然数，且s<=Card(Y)，集合X 为硬核，集合Y 为常规结构元，Y-X 为柔性边界。还需定义一种重复集，即：s x ={x, x,---x} 其中x 被重复了s 次，s 为x 的重复度。当s=1或者Y=X 时，柔性形态变换与常规形态变换相同。矩形和菱形Soft 结构元素如下图2-2所示：
图2-2 Soft 结构元素
Fig.2-2 Soft structural element
见图2-2，H 、K 结构元素是Soft 结构元素，其黑圆形为硬核，也为结构元素中心点，其余白圆形为Soft 边界，其正中间为结构元素中心点。
(a) A (b) B
2.2.3多结构元素
由于单结构元素往往很难获得理想的图像结果，结构元素较大会造成边缘间严重的相互影响，很难处理好细节信息。结构元素太小虽然可以有效检测出细小细节信息，但对斜坡边缘会产生一个很小的输出结果。为了利用大结构元素和小结构元素的各自优点及多方位结构元素对图像信息的敏感性，有些学者便提出一种基于多尺度多方位的结构元素即多结构元素。下图2-3列出一些多结构元素：
图2-3 多结构元素H ，M ，N
Fig.2-3 multi structural elements H,M,N
2.3 改进的结构元素
2.3.1 Soft 多结构元素的提出
Soft 形态变换是Koskinen 等人在1991年提出来的，在处理图像时具有一定的鲁棒性。在许多形态学应用中，通常只采用一个结构元素对图像进行分析，难以达到满意的效果。因为单个结构元素无法兼顾不同方向上图像特征，多结构元素能够很好地解决这个问题。鉴于此本文在Soft 结构元素[30]和多结构元素基础上提出了Soft 多结构元素，该结构元素在图像处理中既有一定的鲁棒性，又能够兼顾到多方向上图像特征。
对于Soft 多结构元素定义如下：
B={111{,,}Y X s ,222{,,}Y X s ,---,{,,}n n n Y X s },且X i ?Y i ，X i ,Y i ∈Z 2，s i 为自然数，s i <=Card(Y i )，i=1,2,---,n 。其中{,,}x x x Y X s 为Soft 结构元素。
下图2-4是一个Soft 多结构元素的实例：
图2-4 Soft 多结构元素
Fig.2-4 Soft-multi-structural elements
每个Soft 结构元素的黑点既是结构元素的中心，又是Soft 结构元素的硬核。基于Soft 多结构形态学变换时，分别对每一个Soft 结构元素进行运算，然后再叠加求解。
(a) H (b) M (c) N (d) P (a) H (b) M
(c) N
2.3.2 文中用到的结构元素
本文用到的结构元素如图2-5所示:
图2-5 本文用到的结构元素
Fig.2-5 Soft-multi-structural elements
2.3.3实验及结果
实验说明
这个实验的目的是比较四种结构元素(单结构元素、Soft 结构元素、多结构元素和Soft 多结构元素)处理图像时抗噪声和保留细节的能力。鉴于此，本实验设计了四个边缘检测算子即常规单结构元素形态学边缘检测算子（GSED ）、Soft 单结构元素形态学边缘检测算子（SSED ）、常规多结构元素形态学边缘检测算子（GMED ）和Soft 多结构元素形态学边缘检测算子（SMED ）。矢量排序使用经典的HSV 彩色空间形态学。基于HSV 彩色空间的矢量排序算法如下：
首先，约定V 分量的优先级最高，其次为S 分量，最后是H 分量。随后，根据图像中相应像素的V 分量值的大小定义最大值向量。对于那些V 分量值相同的像素，再根据它们的S 分量值的大小排列得到最大值和最小值向量。对于那些V 和S 分量值相同的像素点再根据它们的H 分量来确定最大值和最小值像素点。
实验设计
基于Soft 结构元素的彩色形态膨胀和腐蚀定义如下：
{,,}()()I Y X s x I y ⊕= (2.14)
{,,}()()I Y X s x I y Θ= (2.15)
{()|}{()|()}s x x y I r r X I r r Y X =∈∪∈?,根据矢量排序原则取第s 个最大/最小值所
对应的像素点赋给f(y)。
由公式（2.14）和（2.15）推导出单结构/Soft 单结构元素边缘检测算子如下：
(,,)(({,,}){,,}()){,,}(({,,}){,,}()){,,}
Adge h s i I Y X s Y X s x Y X s I Y X s Y X s x Y X s =Θ⊕⊕?Θ⊕Θ (2.16) 由公式（2.14）和（2.15）推导出基于多结构/Soft 多结构元素形态学开（{,,}c I Y X s ）
如下：
111111222222{,,}[](({,,}){,,}(),
({,,}){,,}(),,({,,}){,,}())
c n n n n n n I Y X s n MAX I Y X s Y X s x I Y X s Y X s x I Y X s Y X s x =Θ⊕Θ⊕Θ⊕ (2.17)
(e) E (f) F (g) G (h) H
由公式（2.17）可推出基于Soft 多结构元素形态学边缘检测：
(,,)({,,}[1]{,,}({,,}[1]{,,}c n n n c n n n Adge h s i I Y X s n Y X s I Y X s n Y X s =?⊕??Θ (2.18)
GSED 和SSED 使用公式（2.16）
，结构元素为图2-5（a ），GSED 结构元素的s=1，而SSED 结构元素的s=2。
GMED 和SMED 使用公式（2.18），结构元素为图2-5（a ）（b ）（e ），GMED 结构元素的s=1，而SMED 结构元素的s 分别为4、2、2。
为了对GSED 、SSED 、GMED 和SMED 这四种算子评价，下面构建了一个曲线图，横坐标表示噪声系数（%），纵坐标表示检测到的边缘点占总边缘点的比率。本实验采用了一个8080×彩色图，其彩色值为RGB(100,180,50），正中间是一个4040×的小方框
图，其彩色值为RGB(140,65,35)。
这样原始边缘就很容易精确定位，所以在各种噪声（椒盐）系数下都很容易计算出被检测到的边缘占原始边缘的比率。
实验结果
图2-6 GSED 、SSED 、GMED 和SMED 对噪声图像边缘检测结果图像
Fig.2-6 GSED 、SSED 、GMED and SMED edge detection for the noise image
(a)原图 (b)噪声图 (c) GSED (d) GMED (e) SSED (f) SMED
图2-7 图2-6中噪声的系数6%时图像边缘检测结果
Fig.2-7 The results of Fig.2-6 for 6% noise coefficient
图2-7（a ）为原图，图2-7（b ）是图2-7（a ）加了6%的椒盐噪声得到的，图2-7（c ）、（d ）、（e ）和（f ）分别为算子GSED 、GMED 、SSED 和SMED 处理图2-7（b ）得到的。
由图2-6和图2-7可知：在矢量排序相同的情况下，Soft 多结构元素在抗噪声和保留图像细节方面明显要优于其它三种结构。
2.4小结
结构元素的选取对形态学算子影响极大，单结构元素的形态算子具有运行速度快，但是图像处理结果比较差。后来学者Koskinen提出了Soft结构元素，解决了单结构元素鲁棒性问题，Soft结构元素可以设置硬结构和软结构，这样就保护了想要的点。近年来，有很多国内外学者从多角度，多方向来研究结构元素，便提出了多结构元素，多结构元素很好的解决了单结构元素不能兼顾多方向图像信息特征的弊端。本文作者尝试提出一种新的结构元素即Soft多结构元素，这种结构元素既能有很强的鲁棒性又能兼顾到多方向特性信息。从上面的实验可以看出，在其它条件相同的情况下，Soft多结构元素在抗噪声能力方面明显优于其它三种结构。
第三章 T-S 模糊系统应用于形态学彩色图像处理
学者Takagi 和Sugeno 在模糊数学基础上提出了T-S 模糊系统[31-33]。T-S 模糊系统能够线性地近似非常广泛的非线性系统。本章形态学算子都是基于HSI 彩色空间的，利用模糊集的If-then 规则，定义了一种新的矢量排序方案，基于此方案，提出了一种鲁棒性强的Soft 多结构元素模糊形态学变换。通过与基于经典HSV 矢量排序的形态学方法相比，实验表明这种新的彩色Soft 多结构元素模糊形态学变换在图像处理的过程中不会产生原图像中不存在的颜色，能更有效的去除图像中的噪声同时较好地保存图像细节信息。
3.1 H 、S 、I 值的模糊化
H 、S 、I 值的范围都是0~1，将色彩H 、饱和度S 和明亮度I 分成三个模糊量：H={红绿，青，蓝红}；S={小，中，大}；I={暗，一般，亮}。它们的隶属度为图3-1、图3-2和图3-3所示。
图3-1 输入变量H 的模糊集
Fig.3-1 The fuzzy set of input variable H
图3-2 输入变量S 的模糊集
Fig.3-2 The fuzzy set of input variable S
0.5
0隶
属度
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.5
0隶
属度
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
第二章数学形态学的基本运算 2.1二值腐蚀和膨胀 二值图象是指那些灰度只取两个可能值的图象，这两个灰度值通常取为0和1。习惯上认为取值1的点对应于景物中的点，取值为0的点构成背景。这类图象的集合表示是直接的。考虑所有1值点的集合(即物体)X，则X与图象是一一对应的。我们感兴趣的也恰恰是X集合的性质。 如何对集合X进行分析呢?数学形态学认为，所谓分析，即是对集合进行变换以突出所需要的信息。其采用的是主观“探针”与客观物体相互作用的方法。“探针”也是一个集合，它由我们根据分析的目的来确定。术语上，这个“探针”称为结构元素。选取的结构元素大小及形状不同都会影响图象处理的结果。剩下的问题就是如何选取适当的结构元素以及如何利用结构元素对物体集合进行变换。为此，数学形态学定义了两个最基本的运算，称为腐蚀和膨胀即1。 2.1 .1二值腐蚀运算 腐蚀是表示用某种“探针”(即某种形状的基元或结构元素)对一个图象进行探测，以便找出图象内部可以放下该基元的区域。它是一种消除边界点，使边界向内部收缩的过程。可以用来消除小且无意义的物体。腐蚀的实现同样是基于填充结构元素的概念。利用结构元素填充的过程，取决于一个基本的欧氏空间概念—平移。我们用记号A二表示一个集合A沿矢量x平移了一段距离。即: 集合A被B腐蚀，表示为AΘB，其定义为: 其中A称为输入图象，B称为结构元素。AΘB由将B平移x仍包含在A内的所有点x组成。如果将B看作模板，那么，AΘB则由在将模板平移的过程中，所有可以填入A内部的模板的原点组成。根据原点与结构元素的位置关系，腐蚀后的图象大概可以分为两类: (1)如果原点在结构元素的内部，则腐蚀后的图象为输入图象的子集，如图2.1所示。 (2)如果原点在结构元素的外部，那么，腐蚀后的图象则可能不在输入图象的内部，如图2.2所示。 图2.1腐蚀类似于收缩
数学建模常用的十大算法 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MATLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分
代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MATLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 十类算法的详细说明 2.1 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同
实验三 数学形态学及其应用 一．实验目的 1.了解二值形态学的基本运算 2.掌握基本形态学运算的实现 3.了解形态操作的应用 二．实验基本原理 腐蚀和膨胀是数学形态学最基本的变换，数学形态学的应用几乎覆盖了图像处理的所有领域，给出利用数学形态学对二值图像处理的一些运算。 膨胀就是把连接成分的边界扩大一层的处理。而收缩则是把连接成分的边界点去掉从而缩小一层的处理。 二值形态学 I(x,y), T(i,j)为 0/1图像Θ 腐蚀：[]),(&),(),)((),(0,j i T j y i x I AND y x T I y x E m j i ++=Θ== 膨胀：[]),(&),(),)((),(0 ,j i T j y i x I OR y x T I y x D m j i ++=⊕== 灰度形态学 T(i,j)可取10以外的值 腐蚀： []),(),(min ),)((),(1 ,0j i T j y i x I y x T I y x E m j i -++=Θ=-≤≤ 膨胀： []),(),(max ),)((),(1 ,0j i T j y i x I y x T I y x D m j i +++=⊕=-≤≤ 1.腐蚀Erosion: {}x B x B X x ?=Θ: 1B 删两边 2B 删右上 图5-1 剥去一层（皮）
2.膨胀Dilation: {}X B x B X x ↑⊕:＝ 1B 补两边 2B 补左下 图5-2 添上一层（漆） 3.开运算open ：B B X ⊕Θ=)(X B 4.闭close ：∨ Θ⊕=B B X X B )( 5.HMT(Hit-Miss Transform:击中——击不中变换) 条件严格的模板匹配 ),(21T T T =模板由两部分组成。1T ：物体，2T ：背景。 {} C x x i X T X T X T X ??=?21, 图5-3 击不中变换示意图 性质： （1）φ=2T 时，1T X T X Θ=? （2）)()()(21T X T X T X C Θ?Θ=? C T X T X )()(21Θ?Θ= )/()(21T X T X ΘΘ= 6.细化/粗化 (1)细化（Thin ） C T X X T X XoT )(/??=?= X 2 1 1 1 2 3 T
小学数学简便算法方法 提取公因式 这个方法实际上是运用了乘法分配律，将相同因数提取出来，考试中往往剩下的项相加减，会出现一个整数。 注意相同因数的提取。 例如： 0.92×1.41+0.92×8.59 =0.92×(1.41+8.59) 借来借去法 看到名字，就知道这个方法的含义。 用此方法时，需要注意观察，发现规律。 还要注意还哦,有借有还，再借不难。 考试中，看到有类似998、999或者1.98等接近一个非常好计算的整数的时候，往往使用借来借去法。 例如： 9999+999+99+9 =9999+1+999+1+99+1+9+1—4
拆分法 顾名思义，拆分法就是为了方便计算把一个数拆成几个数。 这需要掌握一些“好朋友”，如：2和5，4和5，2和2.5，4和2.5，8和1.25等。 分拆还要注意不要改变数的大小哦。 例如： 3.2×12.5×25 =8×0.4×12.5×25 =8×12.5×0.4×25 加法结合律 注意对加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)的运用，通过改变加数的位置来获得更简便的运算。 例如： 5.76+13.67+4.24+ 6.33 =(5.76+4.24)+(13.67+6.33) 拆分法和乘法分配律结 这种方法要灵活掌握拆分法和乘法分配律，在考卷上看到99、101、9.8等接近一个整数的时候，要首先考虑拆分。
例如： 34×9.9 = 34×(10-0.1) 案例再现：57×101= 利用基准数 在一系列数种找出一个比较折中的数字来代表这一系列的数字，当然要记得这个数字的选取不能偏离这一系列数字太远。 例如： 2072+2052+2062+2042+2083 =(2062x5)+10-10-20+21 利用公式法 (1) 加法： 交换律，a+b=b+a, 结合律，(a+b)+c=a+(b+c). (2) 减法运算性质：a-(b+c)=a-b-c, a-(b-c)=a-b+c, a-b-c=a-c-b, (a+b)-c=a-c+b=b-c+a.
100以内加减法快速算算法 方法：两位数加两位数的进位加法： 口诀： 加9要减1，加8要减2， 加7要减3，加6要减4， 加5要减5，加4要减6， 加3要减7，加2要减8， 加1要减9（注：口决中的加几都是说个位上的数）。 例：26+38=64 解：加8要减2，谁减226上的6减2。38里十位上的3要进4。（注：后一个两位数上的十位怎么进位，是1我进2，是2我进3，是3我进4，依次类推。那朝什么地方进位呢，进在第一个两位数上十位上。如本次是3我进4，就是第一个两位数里的2+4=6。）这里的26+38=64就是6-2=4写在个位上，是3。 第一讲加法速算 一、凑整加法 凑整加法就是凑整加差法，先凑成整数后加差数，就能算的快。8+7=15计算时先将8凑成108加2等于107减2等于510＋5=15 如17＋9=26计算程序是17+3=209-3=620+6=26 二、补数加法 补数加法速度快，主要是没有逐位进位的麻烦。补数就是两个数的和为101001000等等。8+2=1078+22=1008是2的补数，2也是8的补数，78是22的补数，22也是78的补数。利用补数进行加法计算的方法是十位加1，个位减补。例如6+8=14计算时在6的十位加上1，变成16，再从16中减去8的补数2就得14 如6+7=13先6+10=16后16-3=13 如27+8=3527+10=3737-2=35 如25+85=11025+100=125125-15=110 如867+898=1765867+1000=18671867-102=1765 三、调换位置的加法 两个十位数互换位置，有速算方法是：十位加个位,和是一位和是双，和是两位相加排中央。例如61＋16＝77，计算程序是6＋1＝7 7是一位数，和是双，就是两个7，61+16=77再如83＋38＝121计算程序是8＋3＝11 11就是两位数，两位数相加1＋1＝2排中央，将2排在11中间，就得121。 第二讲减法速算 一、两位减一位补数减法 两位数减一位数的补数减法是：十位减1，个位加补。如15－8＝7，15减去10等于5，5加个位8的补数2等于7。
实验六： 数学形态学及其应用 实验原理 腐蚀和膨胀是数学形态学最基本的变换，数学形态学的应用几乎覆盖了图像处理的所有领域，给出利用数学形态学对二值图像处理的一些运算。 膨胀就是把连接成分的边界扩大一层的处理。而收缩则是把连接成分的边界点去掉从而缩小一层的处理。 二值形态学 II (xx ,yy ), TT (ii ,jj )为0011?图像 腐蚀： EE (xx ,yy )=(II ⊙TT )(xx ,yy )=?[II (xx +ii ,yy +jj )&TT (ii ,jj )]mm ii ,jj=00 膨胀： DD (xx ,yy )=(II ⊕TT )(xx ,yy )=?[II (xx +ii ,yy +jj )&TT (ii ,jj )]mm ii ,jj=00 灰度形态学 TT (ii ,jj )可取0011?以外的值 腐蚀： EE (xx ,yy )=(II ⊙TT )(xx ,yy )= mmii mm 00≤ii ,jj≤mm?11[II (xx +ii ,yy +jj )?TT (ii ,jj )] 膨胀： DD (xx ,yy )=(II ⊕TT )(xx ,yy )=mmmmxx 00≤ii ,jj≤mm?11[II (xx +ii ,yy +jj )+TT (ii ,jj )] 1.腐蚀Erosion ： XX ⊙BB ={xx :BB xx ?xx } B 1删两边 B 2删右上 2.膨胀Dilation ： XX ⊕BB ={xx :BB xx ↑xx }
B1补两边B2补左下 3.开运算open： XX BB=(XX⊙BB)⊕BB 4.闭运算close： XX BB=(XX⊕BB)⊙BB 代码1： function[]= fs() I=imread('finger.tif'); subplot(1,2,1),imshow(I); title('原图'); BW=I; BW=rgb2gray(BW); SE=strel('square',2);%结构元素为边长2像素的正方形 BW=imopen(BW,SE);%开运算（先腐蚀再膨胀）可以消除小物体、在纤细点处分离物体、平滑较大物体的边界。 %BW=imerode(BW,SE); %腐蚀 %BW=medfilt2(BW,[3 3]); %中值滤波(腐蚀后中值滤波可能导致本来连接的指纹断开) %BW=imdilate(BW,SE); %膨胀 %BW=imclose(BW,SE); %闭运算（先膨胀再腐蚀）能够排除小型黑洞(黑色区域)。 BW=imdilate(BW,SE);%膨胀 BW=medfilt2(BW,[33]);%中值滤波（膨胀后中值滤波可能导致指纹图像噪声去除不干净） BW=imerode(BW,SE);%腐蚀 subplot(1,2,2),imshow(BW); title('处理后'); %BW=bwmorph(BW,'thin',Inf); %骨架化 %figure,imshow(BW); %title('骨架化'); 代码2： function[]= op() I=imread('rectangel.tif');
简单的数学计算方法 Prepared on 22 November 2020
简单的数学算法 1.十几乘十几： 口诀：头乘头，尾加尾，尾乘尾。例：12×14=？ 解: 1×1=1 ２＋４＝６ ２×４＝８ 12×14=168 注：个位相乘，不够两位数要用0占位 ２.头相同，尾互补(尾相加等于10)： 口诀：一个头加１后，头乘头，尾乘尾。 例：23×27=？ 解：２＋１＝３ ２×３＝６ ３×７＝21 23×27=621 注：个位相乘，不够两位数要用0占位。 ３.第一个乘数互补，另一个乘数数字相同： 口诀：一个头加１后，头乘头，尾乘尾。 例：37×44=？ 解：3+1=4 4×4=16 7×4=28 37×44=1628 注：个位相乘，不够两位数要用0占位。 ４.几十一乘几十一： 口诀：头乘头，头加头，尾乘尾。例：21×41=？ 解：2×4=8 2+4=6 1×1=1 21×41=861 ５.11乘任意数： 口诀：首尾不动下落，中间之和下拉。 例：11×23125=？ 解：2+3=5
3+1=4 1+2=3 2+5=7 2和5分别在首尾 11×23125=254375 注：和满十要进一。 ６.十几乘任意数： 口诀：第二乘数首位不动向下落，第一因数的个位乘以第二因数后面每一个数字，加下一位数，再向下落。例：13×326=？ 解：13个位是3 3×3+2=11 3×2+6=12 3×6=18 13×326=4238 注：和满十要进一。 数学计算方法 一、30以内的两个两位数乘积的心算速算 1、两个因数都在20以内 任意两个20以内的两个两位数的积，都可以将其中一个因数的”尾数”移加到另一个因数上，然后补一个0，再加上两“尾数”的积。例如： 11×11=120+1×1=121 12×13=150+2×3=156 13×13=160+3×3=169 14×16=200+4×6=224 16×18=240+6×8=288 2、两个因数分别在10至20和20至30之间 对于任意这样两个因数的积，都可以将较小的一个因数的“尾数”的2倍移加到另一个因数上，然后补一个0，再加上两“尾数”的积。例如： 22×14=300+2×4=308 23×13=290+3×3=299 26×17=400+6×7=442 28×14=360+8×4=392 29×13=350+9×3=377 3、两个因数都在20至30之间 对于任意这样两个因数的积，都可以将其中一个因数的“尾数”移加到另一个因数上求积，然后再加上两“尾数”的积。例如： 22×21=23×20+2×1=462 24×22=26×20+4×2=528 23×23=26×20+3×3=529 21×28=29×20+1×8=588 29×23=32×20+9×3=667
运算定律与简便计算重点知识归纳 （一）加减法运算定律 1.加法交换律 定义：两个加数交换位置，和不变 字母表示：a b b a +=+ 例如：16+23=23+16 546+78=78+546 2.加法结合律 定义：先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 字母表示：)()(c b a c b a ++=++ 注意：加法结合律有着广泛的应用，如果其中有两个加数的和刚好是整十、整百、整千的话，那么就可以利用加法交换律将原式中的加数进行调换位置，再将这两个加数结合起来先运算。 例1.用简便方法计算下式： （1）63+16+84 （2）76+15+24 （3）140+639+860 举一反三： （1）46+67+54 （2）680+485+120 （3）155+657+245 3.减法的性质 注：这些都是由加法交换律和结合律衍生出来的。 减法性质①：如果一个数连续减去两个数，那么后面两个减数的位置可以互换。 字母表示：b c a c b a --=-- 例2.简便计算：198-75-98 减法性质②：如果一个数连续减去两个数，那么相当于从这个数当中减去后面两个数的和。 字母表示：)(c b a c b a +-=-- 例3.简便计算：（1）369-45-155 （2）896-580-120 4.拆分、凑整法简便计算 拆分法：当一个数比整百、整千稍微大一些的时候，我们可以把这个数拆分成整百、整千与一个较小数的和，然后利用加减法的交换、结合律进行简便计算。例如：103=100+3，1006=1000+6，… 凑整法：当一个数比整百、整千稍微小一些的时候，我们可以把这个数写成一个整百、整千的数减去一个较小的数
乘法速算（提醒：此环节由家长出题，孩子计算，每天疯狂联系5分钟，你做到了，作为父母的义务就尽了） 1.两个20以内数的乘法 两个20以内数相乘,将一数的个位数与另一个数相加乘以10,然后再加两个尾数的积,就是应求的得数。如12×13＝156,计算程序是将12的尾数2,加至13里,13加2等于15,15×10＝150,然后加各个尾数的积得156,就是应求的积数。 再比如：17×18=（17+8）×10+7×8=306 2.首同尾互补的乘法 口诀：头加1乘头作为头，尾乘尾作为尾 两个十位数相乘,首尾数相同,而尾十互补,其计算方法是:头加1,然后头乘为前积,尾乘尾为后积,两积连接起来,就是应求的得数。如26×24＝624。计算程序是:被乘数26的头加1等于3,然后头乘头,就是3×2＝6,尾乘尾6×4＝24,相连为624。 3.头互补尾相同的乘法 口诀：头乘头后加尾作为头，尾乘尾作为尾 两个十位数互补,两个尾数相同,其计算方法是:头乘头后加尾数为前积,尾乘尾为后积。如48×68＝3264。计算程序是4×6＝24 24＋8＝32 32为前积,8×8＝64为后积,两积相连就得3264。 4.几十一乘几十一的乘法（共两种情况） ①十位加十位等于个位数 口诀：头乘头，头加头，尾乘尾 比如：21×61=1281；2×6=12作为头，2+6=8，放中间，尾为1. ②十位加十位等于两位数 口诀：头乘头加1，尾乘尾取个位，尾乘尾 比如：41×91=3731；4×9+1=37作为头，4+9=13个位的3放中间，尾为1. 1.十几乘十几： 口诀：头乘头，尾加尾，尾乘尾。 例：12×14=？ 解: 1×1=1 ２＋４＝６ ２×４＝８ 12×14=168 注：个位相乘，不够两位数要用0占位。 ２.头相同，尾互补(尾相加等于10)： 口诀：一个头加１后，头乘头，尾乘尾。 例：23×27=？ 解：２＋１＝３ ２×３＝６ ３×７＝21 23×27=621 注：个位相乘，不够两位数要用0占位。
小学数学简便计算方法汇总 1、提取公因式 这个方法实际上是运用了乘法分配律，将相同因数提取出来，考试中往往剩下的项相加减，会出现一个整数。 注意相同因数的提取。 例如： 0.92×1.41＋0.92×8.59 =0.92×（1.41+8.59） 2、借来借去法 看到名字，就知道这个方法的含义。用此方法时，需要注意观察，发现规律。还要注意还哦,有借有还，再借不难。 考试中，看到有类似998、999或者1.98等接近一个非常好计算的整数的时候，往往使用借来借去法。 例如： 9999+999+99+9 =9999+1+999+1+99+1+9+1—4 3、拆分法 顾名思义，拆分法就是为了方便计算把一个数拆成几个数。这需要掌握一些“好朋友”，如：2和5，4和5，2和2.5，4和2.5，8和1.25等。分拆还要注意不要改变数的大小哦。 例如： 3.2×12.5×25 =8×0.4×12.5×25 =8×12.5×0.4×25
4、加法结合律 注意对加法结合律 (a＋b)＋c=a＋(b＋c) 的运用，通过改变加数的位置来获得更简便的运算。 例如： 5.76＋13.67＋4.24＋ 6.33 =（5.76＋4.24）＋(13.67＋6.33) 5、拆分法和乘法分配律结 这种方法要灵活掌握拆分法和乘法分配律，在考卷上看到99、101、9.8等接近一个整数的时候，要首先考虑拆分。 例如： 34×9.9 = 34×(10－0.1) 案例再现：57×101=？ 6利用基准数 在一系列数种找出一个比较折中的数字来代表这一系列的数字，当然要记得这个数字的选取不能偏离这一系列数字太远。 例如： 2072+2052+2062+2042+2083 =（2062x5）+10-10-20+21 7利用公式法 (1) 加法： 交换律，a+b=b+a, 结合律，(a+b)+c=a+(b+c).
三年级数学计算公式汇总,孩子抽空一定要背起来 长度单位换算： 1千米=1000米1米=10分米1分米=10厘米 1米=100厘米1厘米=10毫米一支铅笔长20厘米 一个铅笔盒厚10毫米数学书厚6毫米 一个人高100厘米人每分钟走70米 飞机轮船火车汽车每小时行80千米 重量单位换算: 1吨=1000千克1千克=1000克1千克=1公斤 小鸡鸭鹅的重量用克人狗牛猪的重量用千克大象鲨鱼的重量用吨货币单位换算： 人民币单位换算: 1元=10角1角=10分1元=100分
时间单位换算： 1世纪=100年1年=12月大月(31天)有1\3\5\7\8\10\12月 小月(30天)的有4\6\9\11月平年2月28天, 闰年2月29天平年全年365天, 闰年全年366天 1日=24小时1时=60分1分=60秒1时=3600秒 运算方法： 1．每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 2．1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数 3．速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度 4．单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价 5．工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间
工作总量÷工作时间＝工作效率 6．加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数 7．被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数 8．因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数 9．被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数 1. 周长：围成一个封闭图形的所有边长的总和叫做周长 2. 正方形周长：边长＋边长＋边长＋边长＝周长或边长＊4＝周长 3. 正方形的特点：四条边相等，四个直角 4. 长方形周长：长＋长＋宽＋宽＝周长(长＋宽）＊2＝周长 5. 长方形的特点：对边平行且相等四个直角 6. 平行四边形的特点：对边平行且相等容易变形没有直角且对角相等
小学数学简便运算和巧算 一、数的加减乘除有时可以运用运算定律、性质、或数量间的特殊关系进性较快的运算这就是简便运算。 （一）其方法有： 一：利用运算定律、性质或法则。 (1) 加法：交换律，a+b=b+a, 结合律，(a+b)+c=a+(b+c). (2) 减法运算性质：a-(b+c)=a-b-c, a-(b-c)=a-b+c, a-b-c=a-c-b, (a+b)-c=a-c+b=b-c+a. (3):乘法：利用运算定律、性质或法则。 交换律，a×b=b×a, 结合律，（a×b）×c=a×(b×c), 分配率，（a+b）×c=a×c+b×c, (a-b)×c=a×c-b×c. (4)除法运算性质： a÷(b×c)=a÷b÷c, a÷（b÷c)=a÷b×c, a÷b÷c=a÷c÷b, (a+b)÷c=a÷c+b÷c, (a-b)÷c=a÷c-b÷c. 前边的运算定律、性质公式很多是由于去掉或加上括号而发生变化的。其规律是同级运算中，加号或乘号后面加上或去掉括号，。后面数值的运算符号不变。 例1:283+52+117+148=（283+117）+（52+48）=400+200=600（运用加法交换律和结合律）。减号或除号后面加上或去掉括号，后面数值的运算符号要改变。例2：657-263-257=657-257-263=400-263=147.（运用减法性质，相当加法交换律。） 例3：195-（95+24）=195-95-24=100-24=76 （运用减法性质） 例4; 150-(100-42)=150-100+42=50+42=92. (同上) 例5：（0.75+125）×8=0.75×8+125×8=6+1000=1006. (运用乘法分配律)) 例6：（ 125-0.25）×8=125×8-0.25×8=1000-2=998. (同上) 例7：（1.125-0.75）÷0.25=1.125÷0.25-0.75÷0.25=4.5-3=1.5。（运用除法性质） 例8: (450+81)÷9=450÷9+81÷9=50+9=59. (同上，相当乘法分配律) 例9： 375÷（125÷0.5）=375÷125*0.5=3*0.5=1.5. (运用除法性质) 例10：4.2÷（0。6×0.35）=4.2÷0.6÷0.35=7÷0.35=20. (同上) 例11：12×125×0.25×8=(125×8)×(12×0.25)=1000×3=3000(运用乘法交换律和结合律) 例12: (175+45+55+27)-75=175-75+(45+55)+27=100+100+27=227(运用加法性质和结合律） 例13：（48×25×3）÷8=48÷8×25×3=6×25×3=450. (运用除法性质, 相当加法性质) （5）和、差、积、商不变的规律。 1：和不变：如果a+b=c,那么，（a+d）+(b-d)=c, 2: 差不变：如果 a-b=c, 那么，（a+d）-(b+d)=c, (a-d)-(b-d)=c 3: 积不变：如果a*b=c, 那么,(a*d)*(b÷d)=c, 4: 商不变：如果 a÷b=c, 那么，（a*d）÷(b*d)=c, (a÷d)÷(b÷d)=c. 例14：3.48+0.98=（3.48-0.02）+（0.98+0.02）=3.46+1=4.46（和不变） 例15：3576-2997=（3576+3）-（2997+3）=3579-3000=579（差不变）
1、C列分数化小数的记法：分子乘5，小数点向左移动两位。 2、D、E两列分数化小数的记法：分子乘4，小数点向左移动两位 常见分数、小数互化表
常见的分数、小数及百分数的互化
常用平方数 常见立方数 常见特殊数的乘积 错位相加/减 A×9型速算技巧：A×9= A×10-A； 例：743×9=743×10-743=7430-743=6687
A×9.9型速算技巧：A×9.9= A×10+A÷10； 例：743×9.9=743×10-743÷10=7430-74.3=7355.7 A×11型速算技巧：A×11= A×10+A； 例：743×11=743×10+743=7430+743=8173 A×101型速算技巧：A×101= A×100+A； 例：743×101=743×100+743=75043 乘/除以5、25、125的速算技巧： A×5型速算技巧：A×5=10A÷2； 例：8739.45×5=8739.45×10÷2=87394.5÷2=43697.25 A÷5型速算技巧：A÷5=0.1A×2； 例：36.843÷5=36.843×0.1×2=3.6843×2=7.3686 A×25型速算技巧：A×25=100A÷4； 例：7234×25=7234×100÷4=723400÷4=180850 A÷25型速算技巧：A÷25=0.01A×4； 例：3714÷25=3714×0.01×4=37.14×4=148.56 A×125型速算技巧：A×5=1000A÷8；
例：8736×125=8736×1000÷8=8736000÷8=1092000 A÷125型速算技巧：A÷1255=0.001A×8； 例：4115÷125=4115×0.001×8=4.115×8=32.92 减半相加： A×1.5型速算技巧：A×1.5=A+A÷2； 例：3406×1.5=3406+3406÷2=3406+1703=5109 “首数相同尾数互补”型两数乘积速算技巧： 积的头=头×（头+1）；积的尾=尾×尾 例：23×27=首数均为2，尾数3与7的和是10，互补 所以乘积的首数为2×（2+1）=6，尾数为3×7=21，即23×27=621 本方法适合11~99 所有平方的计算。 11X11=121 21X21=4141 31X31=961 41X41=1681 12X12=148 22X22=484 32X32=1024 42X42=1764 52X52=2704从上面的计算我们可以得出公式： 个位=个位×个位所得数的个位，如果满几十就向前进几， 十位=个位×（十位上的数字×2）+进位所得数的末位，如果满几十就向前进几，百位=两个十位上的数字相乘+进位。 例：26×26=
小学计算方法 20以内的退位减法是在孩子已经认识了20以内的数、掌握了10以内的加减法以及20以内的进位加法的基础上来学习的。是小学一年级下学期的一个教学难点，在计算减法时也是最基础的、最重要的。通过本单元的学习，要求学生能够比较熟练的计算20以内的退位减法，体会算法多样化，并会运用加减法解决简单的问题。计算方法主要分为“破十法”、“连续减”、“想加算减法”、“多减加补法”。现举例如下： 13-9= （1）用“破十法” 13是由1个十和3个一组成的，可以先把10减去9，剩下的1和个位上的3合起来，得到13-9=4。这种算法的基础是孩子已经掌握了11～20各数的组成、会计算10以内的加法和减法，包括加减混合运算。 （2）用“连续减法” 把13-9拆成一道以前学过的连减法来算，把9分成3和6，13先减去3，再减去6，得到13-9=4。这种算法的基础是孩子已经掌握了10以内各数的分与合、会计算10以内的减法、十几减几得十的减法、连减的运算。 （3）用“想加算减法” 利用加法和减法之间的关系，只要知道9加几等于13，然后据此推出13减9就等于几。这种算法的基础是孩子会根据加法算式写出相应的减法算式，会求括号里的未知数，会计算20以内的进位加法。如果进位加法非常熟练，这种方法就会计算得很快，而且孩子的逆向思维得到了锻炼，对加减法之间的密切关系有了更深地理解。在教学中，大部分学生掌握了用“想加算减” 的方法计算十几减几，而且在运用这种计算方法的过程中体会到加减法之间的关系，个别孩子由于训练不到位，口算速度没有达到要求，还有一小部分学生由于基础差，以前学习的20以内的进位加法还没过关，因此还停留在” 扳手指“算的阶段，这将对后面进一步学习100以内的加减法有一定的影响。（4）用“多减加补法” 把13减9想成13减10，因为多减了1个，所以得到的数还要再加上1，即13- 9=13-10+1=4。
实验五： 图像分割与边缘检测 一．实验目的 1. 理解图像分割的基本概念； 2. 理解图像边缘提取的基本概念； 3. 掌握进行边缘提取的基本方法； 4. 掌握用阈值法进行图像分割的基本方法。 二．实验基本原理 ●图象边缘检测 图像理解是图像处理的一个重要分支，研究为完成某一任务需要从图像中提取哪些有用的信息，以及如何利用这些信息解释图像。边缘检测技术对于处理数字图像非常重要，因为边缘是所要提取目标和背景的分界线，提取出边缘才能将目标和背景区分开来。在图像中，边界表明一个特征区域的终结和另一个特征区域的开始，边界所分开区域的内部特征或属性是一致的，而不同的区域内部的特征或属性是不同的，边缘检测正是利用物体和背景在某种图像特性上的差异来实现的，这些差异包括灰度，颜色或者纹理特征。边缘检测实际上就是 检测图像特征发生变化的位置。图象边缘检测必须满足两个条件：一能有效地抑制噪声；二必须尽量精确确定边缘的位置。 由于噪声和模糊的存在，检测到的边界可能会变宽或在某些点处发生间断，因此，边界检测包括两个基本内容：首先抽取出反映灰度变化的边缘点，然后剔除某些边界点或填补边界间断点，并将这些边缘连接成完整的线。边缘检测的方法大多数是基于方向导数掩模求卷积的方法。 导数算子具有突出灰度变化的作用，对图像运用导数算子，灰度变化较大的点处算得的值比较高，因此可将这些导数值作为相应点的边界强度，通过设置门限的方法，提取边界点集。一阶导数与是最简单的导数算子，它们分别求出了灰度在x 和y 方向上的变化率，而方向α上的灰度变化率可以用相应公式进行计算;对于数字图像，应该采用差分运算代替求导。一幅数字图像的一阶导数是基于各种二维梯度的近似值。图像f(x,y)在位置(x,y)的梯度定义为下列向量：G[f(x,y)]=[] 在边缘测中，一般用这个向量的大小，f ?用表示 2 /122][Gy Gx f +=? 函数f 在某点的方向导数取得最大值的方向是，方向导数的最大值是称为梯度模。利用梯度模算子来检测边缘是一种很好的方法，它不仅具有位移不变性，还具有各向同性。为了运算简便，实际中采用梯度模的近似形式。
一、乘法： 1.因数含有25和125的算式： 例如①：25×42×4 我们牢记25×4=100，所以交换因数位置，使算式变为25×4×42. 同样含有因数125的算式要先用125×8=1000。 例如②：25×32 此时我们要根据25×4=100将32拆成4×8，原式变成25×4×8。 例如③：72×125 我们根据125×8=1000将72拆成8×9，原式变成8×125×9。 重点例题：125×32×25 =（125×8）×（4×25） 2.因数含有5或15、35、45等的算式： 例如：35×16 我们根据需要将16拆分成2×8，这样原式变为 35×2×8。因为这样就可以先得出整十的数，运算起来比较简便。 3.乘法分配率的应用： 例如：56×32+56×68 我们注意加号两边的算式中都含有56，意思是32个56加上68个56的和是多少，于是可以提出56将算式变成56×（32+68） 如果是56×132—56×32 一样提出56，算是变成56×（132-32） 注意：56×99+56 应想99个56加上1个56应为100个56，所以原式变为56×(99+1) 或者56×101-56 =56×（101-1） 另外注意综合运用，例如： 36×58+36×41+36 =36×（58+41+1）47×65+47×36-47 =47×(65+36-1) 4.乘法分配率的另外一种应用： 例如：102×47 我们先将102拆分成100+2 算式变成（100+2）×47 然后注意将括号里的每一项都要与括号外的47相乘，算式变为： 100×47+2×47 例如：99×69 我们将99变成100-1 算式变成（100-1）×69 然后将括号里的数分别乘上69，注意中间为减号，算式变成： 100×69-1×69 二、除法： 1.连续除以两个数等于除以这两个数的乘积： 例如：32000÷125÷8 我们可以将算式变为32000÷（125×8） =32000÷1000 2.例如：630÷18 我们可以将18拆分成9×2 这时原式变为630÷（9×2） 注意要加括号，然后打开括号，原式变成 630÷9÷2=70÷2 三、乘除综合： 例如6300÷（63×5） 我们需要打开括号，此时要将括号里的乘号变为除号，原式变为 6300÷63÷5 小结：简便运算一定要在做题时仔细观察，不可盲目照抄，要多动脑筋哦~
一、数学计算公式大全： 1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 2、 1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数 3、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度 4、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价 5、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率 6、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数 7、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数 8、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数 9、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数 小学数学图形计算公式 1 、正方形 C周长 S面积 a边长周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长 S=a×a 2 、正方体 V:体积 a:棱长表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3 、长方形： C周长 S面积 a边长 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=ab 4 、长方体 V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高 (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高 V=abh 5 三角形 s面积 a底 h高 面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底 三角形底=面积×2÷高 6 平行四边形 s面积 a底 h高 面积=底×高 s=ah 7 梯形 s面积 a上底 b下底 h高 面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2
S面积 C周长∏ d=直径 r=半径 (1)周长=直径×∏=2×∏×半径 C=∏d=2∏r (2)面积=半径×半径×∏ 9 圆柱体 v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 c:底面周长 (1)侧面积=底面周长×高 (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高 （4）体积＝侧面积÷2×半径 10 圆锥体 v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 体积=底面积×高÷3 总数÷总份数＝平均数 和差问题的公式 (和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数 和倍问题 和÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或者和－小数＝大数) 差倍问题 差÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或小数＋差＝大数) 植树问题 1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: ⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么: 株数＝段数＋1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数－1) 株距＝全长÷(株数－1) ⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数 ⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么: 株数＝段数－1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数＋1) 株距＝全长÷(株数＋1) 2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数
数字图像处理中的形态学 一引言 数学形态学是一门建立在集论基础上的学科，是几何形态学分析和描述的有力工具。数学形态学的历史可回溯到19世纪。1964年法国的Matheron和Serra在积分几何的研究成果上，将数学形态学引入图像处理领域，并研制了基于数学形态学的图像处理系统。1982年出版的专著《Image Analysis and Mathematical Morphology》是数学形态学发展的重要里程碑，表明数学形态学在理论上趋于完备及应用上不断深入。数学形态学蓬勃发展，由于其并行快速，易于硬件实现，已引起了人们的广泛关注。目前，数学形态学已在计算机视觉、信号处理与图像分析、模式识别、计算方法与数据处理等方面得到了极为广泛的应用。 数学形态学可以用来解决抑制噪声、特征提取、边缘检测、图像分割、形状识别、纹理分析、图像恢复与重建、图像压缩等图像处理问题。该文将主要对数学形态学的基本理论及其在图像处理中的应用进行综述。 二数学形态学的定义和分类 数学形态学是以形态结构元素为基础对图像进行分析的数学工具。它的基本思想是用具有一定形态的结构元素去度量和提取图像中的对应形状以达到对图像分析和识别的目的。数学形态学的应用可以简化图像数据，保持它们基本的形状特征，并除去不相干的结构。数学形态学的基本运算有4个：膨胀、腐蚀、开启和闭合。它们在二值图像中和灰度图像中各有特点。基于这些基本运算还可以推导和组合成各种数学形态学实用算法。 （1）二值形态学 数学形态学中二值图像的形态变换是一种针对集合的处理过程。其形态算子的实质是表达物体或形状的集合与结构元素间的相互作用，结构元素的形状就决定了这种运算所提取的信号的形状信息。形态学图像处理是在图像中移动一个结构元素，然后将结构元素与下面的二值图像进行交、并等集合运算。 基本的形态运算是腐蚀和膨胀。 在形态学中，结构元素是最重要最基本的概念。结构元素在形态变换中的作用相当于信号处理中的“滤波窗口”。用B（x）代表结构元素，对工作空间E 中的每一点x，腐蚀和膨胀的定义为：
小学数学简便运算方法归类 一、带符号搬家法（根据：加法交换律和乘法交换率） 当一个计算题只有同一级运算（只有乘除或只有加减运算）又没有括号时，我们可以“带 符号搬家”。 (a+b+c=a+c+b,a+b-c=a-c+b,a-b+c=a+c-b,a-b-c=a-c-b;a ×b ×c=a ×c ×b, a ÷ b ÷c=a ÷ c ÷b,a ×b ÷c=a ÷c ×b,a ÷b ×c=a ×c ÷b) 二、结合律法 （一）加括号法 1.当一个计算题只有加减运算又没有括号时，我们可以在加号后面直接添括号，括到括 号里的运算原来是加还是加，是减还是减。但是在减号后面添括号时，括到括号里的运算， 原来是加，现在就要变为减；原来是减，现在就要变为加。（即在加减运算中添括号时，括号 前是加号，括号里不变号，括号前是减号，括号里要变号。） a+b+c=a+(b+c), a+b-c=a +(b-c), a-b+c=a －(b-c), a-b-c= a-( b +c); 2.当一个计算题只有乘除运算又没有括号时，我们可以在乘号后面直接添括号，括到括 号里的运算，原来是乘还是乘，是除还是除。但是在除号后面添括号时，括到括号里的运算， 原来是乘，现在就要变为除；原来是除，现在就要变为乘。（即在乘除运算中添括号时，括 号前是乘号，括号里不变号，括号前是除号，括号里要变号。） a × b ×c=a ×(b ×c), a ×b ÷c=a ×(b ÷c), a ÷b ÷c=a ÷(b ×c), a ÷b ×c=a ÷(b ÷c) （二）去括号法 1.当一个计算题只有加减运算又有括号时，我们可以将加号后面的括号直接去掉，原来 是加现在还是加，是减还是减。但是将减号后面的括号去掉时，原来括号里的加，现在要变 为减；原来是减，现在就要变为加。（现在没有括号了，可以带符号搬家了哈) （注：去掉 括号是添加括号的逆运算） a+(b+c)= a+b+c a +(b-c)= a+b-c a- (b-c)= a-b+c a-( b +c)= a-b-c 2.当一个计算题只有乘除运算又有括号时，我们可以将乘号后面的括号直接去掉，原来 是乘还是乘，是除还是除。但是将除号后面的括号去掉时，原来括号里的乘，现在就要变为 除；原来是除，现在就要变为乘。（现在没有括号了，可以带符号搬家了哈) （注：去掉 括号是添加括号的逆运算） a ×( b ×c) = a ×b ×c, a ×(b ÷c) = a ×b ÷c, a ÷(b ×c) = a ÷b ÷ c , a ÷(b ÷c) = a ÷b ×c 三、乘法分配律法 1.分配法 括号里是加或减运算，与另一个数相乘，注意分配 24×(1211-83-61-3 1) 2.提取公因式 注意相同因数的提取。 0.92×1.41＋0.92×8.59 516×137-53×13 7 3.注意构造，让算式满足乘法分配律的条件。 257×103-257×2-25 7 2.6×9.9 四、借来还去法 看到名字，就知道这个方法的含义。用此方法时，需要注意观察，发现规律。还要注意 还哦 ,有借有还，再借不难嘛。 9999+999+99+9 4821-998 五、拆分法 顾名思义，拆分法就是为了方便计算把一个数拆成几个数。这需要掌握一些“好朋友”， 如：2和5，4和5，2和2.5，4和2.5，8和1.25等。分拆还要注意不要改变数的大小哦。