收稿日期:2010-12-14
基金项目:国家自然科学基金资助项目(61003058;60933001);中央高校基本科研业务费青年教师科研启动基金资助项目
(N100704001)
作者简介:许 嘉(1984-),女,广西南宁人,东北大学博士研究生;于 戈(1962-),男,辽宁大连人,东北大学教授,博士生导师
第32卷第5期2011年5月东北大学学报(自然科学版)Journal of Northeastern U niversity(Natural Science)Vol 32,No.5M ay 2011
基于EMD 的概率数据top-k 相似性连接
许 嘉,于 戈,谷 峪,白秋石
(东北大学信息科学与工程学院,辽宁沈阳 110819)
摘 要:选取EM D(ear th mover s distance)作为度量概率数据相似性的标准 EM D 具有抗噪性好,对概率分布间的微小偏移不敏感等优良特性,但却具有三次方的复杂度 针对此问题,提出EM D-k Jo in 算法,在相似性搜索方面,基于线性规划的对偶理论为概率数据构建索引,避免不必要的EM D 求精计算;在处理流程方面,以复杂度较低的范围查询为主要操作,并逐步缩小搜索阈值 通过使用真实数据集对EM D -k Join 进行测试,证明EM D-k Join 极大提高了基于EM D 的概率数据to p-k 相似性连接操作的执行效率
关 键 词:T op-k 相似性连接;概率数据管理;EM D;对偶理论;B +
树索引
中图分类号:T P 311 文献标志码:A 文章编号:1005 3026(2011)05 0634 04
Top k Similarity Joins on Probabilistic Data Based on Earth Mover s Distance
X U J ia,YU Ge,G U Yu,BAI Qiu shi
(School of Information Science &Engineering,Northeaster n U niv ersity,Shenyang 110819,China.Corresponding author :XU Jia,E mail:x ujia @https://www.doczj.com/doc/197128327.html,)
Abstract :Use the EMD (earth mover s distance )to measure the similarity between tw o probabilistic records.EMD is robust to outliers and minute probability shifting,but has a cubic time com plexity.An algorithm,EMD k Join,is proposed that speeds up the EM D based similarity search by constructing an index for probabilistic data using the primal dual theory in linear prog ramming and thus eliminates unnecessary EMD calculations.M eanw hile,it improves performance of the join process by adopting range query as the main operation and gradually shrinking the search range.Experimental results on real data sets show that EMD k Join dramatically improves efficiency of EM D based top k joins on probabilistic data.
Key words:top k sim ilarity joins;probabilistic data manag ement;EMD (earth mover s distance);primal dual theory ;B +tree index 概率数据在很多应用中广泛存在[1-2] 作为重要的操作原语之一,相似性连接操作返回所有相似度大于某一阈值的记录对作为结果,这为管理概率数据提供了有效支持,因而具有很多应用 例如基于相似性连接的结果可以发现概率数据集中的潜在副本[3];又如在数据集成[4]应用中,需要发现相似的概率记录对,将它们重新整合 本文探讨相似性连接的一个变体 top-k 相似性连接 和传统的相似性连接相比,top-k 相似性连接有许多优点:其一,它返回最相似的k 个记录对,因此不需要用户自行设定相似性阈值,方便
了用户操作;其二,在资源和时间有限的前提下,用户可以选取较小的k 值来控制算法执行时间,得到有意义的连接结果
概率数据top-k 相似性连接操作的一个重要组成因素就是相似性度量函数 本文选用EM D (earth mover s distance)作为衡量概率数据间相似性的标准 EMD 自1997年被Rubner [2]提出以来,已经成为分析多媒体对象特征属性概率分布的首选工具 然而EMD 具有三次方的时间复杂度,为了加快基于EMD 的相似性搜索,研究人员
采用了 过滤 求精 的问题求解框架[5-7]
,提出了
一系列复杂度较低的EMD的下限计算函数 基于这些容易计算的EMD的下限值,一些无望成为结果的概率记录可提前被过滤,因而提高了算法效率 其中,文献[6]基于概率数据的3个敏感维度用R树构建索引,由于忽略了其他维度,降低了索引的过滤性能 文献[7]提出了对高维概率数据的维度约减技术,并通过多遍线性扫描对数据集进行多次过滤,由于缺乏有效的索引,算法的可扩展性受到很大影响 文献[5]所提方法为高维概率数据构建了有效的索引,进一步降低了EMD 的计算次数,是目前最高效,可扩展性最好的基于EM D的相似性搜索框架 本文基于文献[5],提出了基于EM D的高效top-k连接算法EMD-k Join 通过使用真实数据集对算法进行实际测试,证明EMD-k Join具有执行效率高的特点
1 问题定义
本文假设概率数据均用直方图的形式(表示为x={x1,x2, ,x d})进行表示和存储,采用EM D作为度量直方图间相似性的标准 EM D最初源于最优运输问题 在计算两个直方图之间距离时,它把其中一个直方图视为若干堆 泥土 (earth),另一个直方图视为若干个 洞 ,求解EM D就是计算用所有 泥土 去填所有 洞 时所要付出的最小代价 其中单位代价就是将单位 泥土 运输单位 地面距离 (ground distance)[2]所要做的功 由于求解过程兼顾考虑了邻近桶之间的相似性,和传统的L p范式相比,EMD具有抗噪性好,对分布间的微小偏移不敏感等优良特性,因而能更准确地扑捉人们对相似性的观察和认识[2,5-7] 下面给出EMD的正式定义
定义1 EMD给定直方图x={x1,x2, , x d}和y={y1,y2, ,y d},以及桶间的地面距离矩阵C=[c i j],EMD(x,y)是以下线性规划的最优值:
min
i,j
f ij c ij min i x i, j y j,
s.t. i: j f ij=x i,
j: i f ij=y j,
i,j:f i j 0
(1)
EM D的计算复杂度是O(d3lg d) 以下给出基于EMD的top-k相似性连接的正式定义 定义2 基于EMD的top-k相似性连接:给定概率数据关系R和S,基于EMD的top-k 相似性连接返回R S中EMD值最小的k对概率数据
2 基于EM D的top-k相似性连接
2.1 EMD-k Join算法流程
本节将详细叙述基于EM D的top-k相似性连接算法EM D-k Join的处理流程 EM D-k Join借鉴经典的索引嵌套循环连接算法[8] (index nested loop join)的设计思想,在内关系上构建高效的索引结构,降低无关记录的访问代价 现设R为循环的外关系,S为循环的内关系, EM D-k Join的流程详见算法1
算法1:EM D-k Join
输入: 概率数据关系R和S,参数k
输出:top-k相似性连接结果集B={ h i,h j |0 i,j |R|-1},且如果EM D(h i,h j) EM D(h k,h l),则R ank (h i,h j) Rank(h k,h l)
1:开辟大小为k的缓冲区B,
2:为关系S构建索引,
3:从关系R中随机挑选概率记录h0,
4:基于S的索引,以h0为查询点在S上做k近邻查询,查询结果集为H k,
5:F or each h i H k,
6:向B中插入相似对 h0,h i ,且保证B中的相似对按它们之间的EM D值升序排列,
7: k=max h
i
H
k
{EM D(h0,h i)},
8:F or each r R(r!=r0),
9:基于S的索引,以r为查询点, k为相似性阈值在S 上做范围查询,结果集为H r,
10: For each h i H r,
11: If EM D(r,h i)< k,
12: 从B中剔除EM D值最大的相似对,向B中插入相似对 r,h i ,且保证B中的相似对按
EM D值升序排列,
13: k=max h
i
,h
j
B{EM D(h i,h j)},
14:返回B
其中, k为当前第k近的相似对之间的EM D 值 算法首先在内关系S上构建有效的索引(行2) 然后从外关系R中随机挑选一条记录,基于它在S关系上做k近邻查询,从而获得第k近的相似对之间的EM D距离的上限值 k(行3~7) 随后取R关系上的其他记录,用 k在S关系上做范围查询,并基于前一轮范围查询的结果逐步缩小搜索范围 k,进一步缩减算法的搜索空间(行8~13)
EM D-k Join算法涉及两个关键技术:其一,如何为概率数据构建索引;其二,如何基于索引结构过滤无关的元组,加速基于EM D相似性搜索(包括范围查询和k近邻查询)
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第5期 许 嘉等:基于EM D的概率数据top-k相似性连接
2.2 构建索引结构
因为EM D具有三次方的时间复杂度,为了加速基于EM D的相似性搜索,一个有效途径就是为概率数据构建高效的索引结构 基于索引进行搜索可以避免访问无关概率记录,从而降低EM D的计算次数 本文构建索引的基本思路来源于线性规划的对偶理论[9],即任何一个求极小化的线性规划问题都有一个求极大化的线性规划问
题与之相对应 EM D的对偶问题为
max i i x i+ j j y j, s.t. i,j: i+ j d ij,
i: i R,
j: j R
(2)
其中, ={ i, j}表示对偶问题的可行解 式(2)揭示出对偶问题的一个优良特性,即对偶问题的约束条件与概率数据x和y无关 基于这个重要观察,就可以为概率数据构建与数据无关的索引 索引构建的具体步骤是:
1)求解一组可行解 ={ i, j};
2)对数据库中的所有概率记录x,按式(3)计算其key值,并以key值为键构建B+树
key(x)= i i x i (3)式(3)将高维概率数据映射至一维空间,从而可用B+树索引数据 由线性规划理论可知,
i
i x i+ j j y j为EM D(x,y)的下界 若y 为相似性阈值为 的范围查询,则可知所有满足查询的概率数据,其key值必落在以下范围内[5]:
m in
i
( i+ i)+ i i y i- ,
- i i y i (4)式(4)为范围查询提供一个基本过滤思路,即不用访问key值在式(4)范围外的记录 为了过滤更多的无关记录,本文将基于L个对偶问题的可行解分别构建L棵B+树,利用不同B+树索引返回的候选集之间的差异性,进一步过滤无关元组 2.3 基于索引结构的相似性搜索技术
基于2 2节的索引结构,给定范围查询(q, ),查询的执行步骤为
1)基于公式(4),在L棵B+树上分别过滤得到查询的候选集B l(l=1, ,L);
2)B=B1 B2 B L;
3)对B中所有候选记录分别用R-EM D过滤器、LB IM过滤器和U B P过滤器进行过滤;
4)对于B中仍未被过滤掉的记录h,求解EM D(q,h)的值,如果该值小于 ,返回记录h 在访问B+树索引结构之后,本文还继续使用了R-EMD过滤器[7]、LB IM过滤器[6]和UB P过滤器[5],进一步缩小查询候选集
给定k近邻查询(q,k),执行步骤为
1)初始化大小为k的缓冲区B;
2) k=+ ;
3)根据key(q)值在L棵B+树上定位,找到key值离key(q)最近的记录h0;
4)构建左向指针和右向指针,它们以h0为初始位置分别从左向和右向选取下一条记录 指针在B+树上的访问边界由 k和式(4)决定;
5)对于每棵B+树,让左向和右向指针在访问边界内交替选去下一条概率记录;
6)如果记录h被L棵B+树同时访问过,将h设置为候选记录;
7)对于所有候选记录h,分别用R-EM D 和LB IM进行过滤;如果h没有被过滤,计算EM D(q,h),同时将h按EM D值的升序插入B 中,并更新 k为max h B{EMD(q,h)};
8) k的变动将使各指针的访问边界向指针所在方向收缩,因此待访问记录集得到缩减;
9)重复步骤5)~8)直到所有指针到达各自的访问边界,并且所有候选元素都处理完毕;
10)返回B中的k个记录作为查询结果
3 实验及评价
本节将EM D-k Join连接算法和Basic-Join 连接算法及SAR-k Join连接算法进行比较 其中,Basic-Join算法用于比较EMD-k Join处理流程的高效性,它的具体做法是:用本文的索引技术为概率数据构建索引,然后以R关系的每条记录为查询点在S关系上做k近邻查询,再将|R| k个相似对按它们之间的EM D距离进行排序,从而得到EM D值最小的k个相似对 SAR-k Join虽然采用和EMD-k Join一样的处理流程,但却使用文献[7]提出的基于线性扫描的相似性搜索技术,用来验证本文索引结构的有效性 实验使用的数据集是RETINA1[7] 它包含3932条概率记录 为了构造R关系和S关系,本文将RET INA1数据集分割成不相交的两份:其中R 关系作为外关系,包含100个直方图,余下的3832个直方图构成内关系S 实验中采用欧式距离(L2范式)计算地面距离矩阵C=[c ij] 所有实验程序均在Win XP环境下的M S VS2005下进
636东北大学学报(自然科学版) 第32卷
行编译和执行,硬件环境为Intel Core 22.33GH z 处理器和2GB 内存 缺省使用4棵B +树构建索引,k 值为80
图1中改变参数k ,比较三种算法的CPU 时间 EMD-k Join 比Basic-Join 在执行时间上更胜一筹 这是因为,Basic-Join 的算法流程以k 近邻查询为主要操作,而EM D-k Join 则以更省时的范围查询为主要操作 另外EM D-k Join 还根据上一轮的范围查询结果实时更新搜索阈值,综合二因素,EM D-k Join 的算法流程比Basic-Join 的算法流程更为高效 另一方面,随着k 值的改变,EM D-k Jo in 的执行效率都在SAR-k Join 之上 这说明本文提出的基于B +树的概率数据索引结构,有效地过滤了无关元组,提升了算法总体性能
图1 改变k 值时CPU 时间比较
Fi g.1 CPU time com pari son by varying k
图2改变索引结构中的B +
树数目,观察EM D-k Join 算法和Basic-Join 算法执行时间的变化趋势 由图可见,EMD-k Join 算法比Basic-Join 算法平均快10倍
图2 改变B +树数目时CPU 时间比较
Fig.2 C PU tim e comparison by var ying B +tree number
4 结 论
本文针对基于EM D 的top-k 相似性连接问题提出了高效的EMD-k Jo in 算法 EM D-k Join 算法基于线性规划的对偶理论,将高维概率记录映射至一维空间,用B +树为概率数据构建高效的索引,从而优化了基于EMD 的范围查询和k 近邻查询 在处理流程上,EMD-k Join 以复杂度较低的范围查询为主要操作,并不断缩小搜索阈值,进一步提高算法效率 通过用真实数据集对算法进行验证,证明了EM D-k Join 索引结构的有效性和处理流程的高效性 参考文献:
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第5期 许 嘉等:基于EM D 的概率数据top-k 相似性连接
·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：
0.000.50 1.00 1.50191725334149576573818997105113投掷次数 3.1.3频率与概率 教学目标：在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率 的意义以及频率与概率的区别。 教学重点：在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率 的意义以及频率与概率的区别。 教学过程： 1．案例分析：为了研究这个问题，2003年北 京市某学校高一（5）班的学生做了如下试验： 在相同条件下大量重复掷一枚图钉，观察“钉尖 朝上”出现频率的变化情况。 （1）每人手捏一枚图钉的钉尖、钉帽在下， 从1.2米的高度让图钉自由下落。 （2）重复20次，记录下“钉尖朝上”出现的次数。 下图是汇总这个班上六位同学的数据后画出 来的频率图。 动手实践 从一定高度按相同的方式让一枚图钉自由下落，图钉落地后可能钉尖朝上、也可能钉尖着地。大量重复试验时，观察“钉尖朝上”出现频率的变化情况。 （1）从一定高度让一枚图钉自由下落并观察图钉落地后的情况，每人重复20次，记录下“钉尖朝上”出现的次数。 （2）汇总每个人所得的数据，并将每个人的数据进行编号，分别得出前20次、前40次、前60次、……出现“钉尖朝上”的频率。 （3）在直角坐标系中，横轴表示掷图钉的次数，纵轴表示以上试验得到的频率，将上面算出的结果表示在坐标系中。 （4）从图上观察出现“钉尖朝上”的频率的变化趋势，你会得出什么结论？ 归纳概括 通过上面的试验，我们可以看出：出现“钉尖朝上”的频率是一个变化的量，但是在大量重复试验时，它又具有“稳定性”——在一个“常数”附近摆动。 2．在n 次重复实验中，事件A 发生的频率m/n ，当n 很大时，总是在某个常数值附近摆动，随着n 的增加出现摆动幅度较大的情形越少，此时就把这个常数叫做事件A 的概率 3．实例：计算一个现实世界中复杂事件发生的概率往往是比较困难的，我们可以制造一个较为简单的模型去模拟复杂事件。通过实验确定出简单模型的频率，并以此估计复杂事件的概率。 例如，你用一块面团做6个甜饼，在面团中随意地放入10块巧克力。那么，你拿到一个甜饼上至少有3块巧克力的概率是多少？ 图3—1 钉尖朝上 钉尖着地 频率
随机事件(第一课时) 25.1.2 概率的意义 教学目标: 〈一〉知识与技能 1.知道通过大量重复试验时的频率可以作为事件发生概率的估计值 2.在具体情境中了解概率的意义 〈二〉教学思考 让学生经历猜想试验--收集数据--分析结果的探索过程，丰富对随机现象的体验，体会概率是描述不确定现象规律的数学模型.初步理解频率与概率的关系. 〈三〉解决问题 在分组合作学习过程中积累数学活动经验，发展学生合作交流的意识与能力.锻炼质疑、独立思考的习惯与精神，帮助学生逐步建立正确的随机观念. 〈四〉情感态度与价值观 在合作探究学习过程中，激发学生学习的好奇心与求知欲.体验数学的价值与学习的乐趣.通过概率意义教学，渗透辩证思想教育. 【教学重点】在具体情境中了解概率意义. 【教学难点】对频率与概率关系的初步理解 【教具准备】壹元硬币数枚、图钉数枚、多媒体课件 【教学过程】 一、创设情境，引出问题 教师提出问题：周末市体育场有一场精彩的篮球比赛，老师手中只有一张球票，小强与小明都是班里的篮球迷，两人都想去.我很为难，真不知该把球给谁.请大家帮我想个办法来决定把球票给谁. 二、动手实践，合作探究 1．教师布置试验任务. （1）明确规则. 把全班分成10组，每组中有一名学生投掷硬币，另一名同学作记录，其余同学观察试
验必须在同样条件下进行. （2）明确任务，每组掷币50次，以实事求是的态度，认真统计“正面朝上”的频数及“正面朝上”的频率，整理试验的数据,并记录下来.. 2．教师巡视学生分组试验情况. 注意：（1）．观察学生在探究活动中，是否积极参与试验活动、是否愿意交流等，关注学生是否积极思考、勇于克服困难. （2）．要求真实记录试验情况.对于合作学习中有可能产生的纪律问题予以调控. 3.各组汇报实验结果. 由于试验次数较少，所以有可能有些组试验获得的“正面朝上”的频率与先前的猜想有出入. 提出问题：是不是我们的猜想出了问题？引导学生分析讨论产生差异的原因. 在学生充分讨论的基础上，启发学生分析讨论产生差异的原因.使学生认识到每次随机试验的频率具有不确定性，同时相信随机事件发生的频率也有规律性，引导他们小组合作，进一步探究. 解决的办法是增加试验的次数，鉴于课堂时间有限，引导学生进行全班交流合作. 4．全班交流. 把各组测得数据一一汇报，教师将各组数据记录在黑板上.全班同学对数据进行累计，按照书上P140要求填好25-2.并根据所整理的数据，在25.1-1图上标注出对应的点,完成统计图. 表25-2 想一想1（投影出示）. 观察统计表与统计图，你发现“正面向上”的频率有什么规律？ 注意学生的语言表述情况，意思正确予以肯定与鼓励.“正面朝上”的频率在0.5上下波动. 想一想2（投影出示） 随着抛掷次数增加，“正面向上”的频率变化趋势有何规律？ 在学生讨论的基础上，教师帮助归纳.使学生认识到每次试验中随机事件发生的频率具n 图25.1-1
第一章 事件与概率 1．写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数 （设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产 品的总件数。 （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上 “正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品 就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的 结果。 （5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。 （6）实测某种型号灯泡的寿命。 解（1）},100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。 （2）}18,,4,3{ =Ω。 （3）},11,10{ =Ω。 （4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100， 1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中 0表示次品，1表示正品。 （5）=Ω{(x,y)| 0 （2）A 与B 都发生，而C 不发生。 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生。 （4）A ，B ，C 都发生。 （5）A ，B ，C 都不发生。 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生。 （7）A ，B ，C 至少有一个不发生。 （8）A ，B ，C 中至少有两个发生。 解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ， （5）C B A ， （6）C B C A B A ++或 C B A C B A C B A C B A +++， （7）C B A ++， （8）BC AC AB ++或 ABC BC A C B A C AB ??? 3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作 图说明。 （1）B B A B A =（2）AB B A = （3）AB B A B =?则若,（4）若 A B B A ??则, （5）C B A C B A = （6）若Φ=AB 且A C ?， 第四章概率 一教学目标 1．经历猜测、试验、收集与分析试验结果的活动过程． 2．初步了解必然事件、不可能事件和不确定事件发生的可能必大小，了解事件发生的等可能性游戏规则的公平性． 3．了解概率的意义，体会概率是描述不确定现象的数学模型，发展随机观念． 4．能对两类事件（古典概率和几何概率）发生的概率进行简单的计算，并能设计符合要求的简单概率模型． 5．在概率的学习中进一步体会“数学就在我们的身边”发展“用数学”的意识和能力．二教材分析 概率中“随机”观念的培养需要一个长期的过程．在七年级（上）《可能性》一章中学生已经接触过不确定事件的有关事例（如在“一定能摸到红球吗”中已初步体验了有些事件的发生是不确定的，知道事件发生的可能性有大小；在“转盘游戏”中又体验了不确定事件发生的可能性大小；在“谁转出的四位数大”中进一步体会到不确定事件的特点及事件发生的可能性）． 在本单元的学习中，学生将在经历猜测、试验、收集与分析试验结果的活动过程中，进一步了解不确定现象的特点，通过具体情景体会概率的意义，在丰富的实际问题中认识概率是刻画不确定现象的数学模型，同时学习一些简单的计算概率的方法，并通过对概率的进一步认识帮助自己作出合理的决策． 教材首先呈现给学生的是一个转盘游戏，意在通过实验与分析，使学生体会必然事件、不可能事件和不确定事件发生的可能性；然后通过掷硬币游戏，让学生初步了解事件发生的等可能性及游戏规则的公平性，在做大量试验的过程中感悟概率的意义，初步体会可以通过做试验来估计事件发生的可能性． 教材在第二节中，通过对摸到红球的概率展开了讨论，使学生初步学习定量刻划一类事件（古典概型）的方法，进一步体会概率的意义；在第三节中，通过小猫停留在黑砖上的概率问题，使学生直观体验另一类事件（几何概型），了解此类事件发生概率的基本计算方法，并能进行简单计算． 三教学建议 1．引导学生认真阅读“主题图”，帮助他们初步了解本章要学习的内容。 课文给出学生十分感兴趣的两个问题，希望引发学生的学习兴趣。同时简要介绍本章主要内容，并指出概率存在于日常生活之中，与人们的生产、生活密切相关。 2．注重引导学生积极参与试验过程，亲自动手试验收集相关数据，通过对数据的分析处理，培养学生的随机观念． 学生往往存在着一些生活“经验”，这些经验是进一步学习的基础，但其中的一部分是错误的．逐步消除错误的经验，建立正确的随机观念是学习概率的一个重要目标．要实现这一目标，必须让学生经历对随机现象的探索过程，引导学生亲自从事“试验→收集试验数据→分析试验结果”的过程，从而获得事件发生的概率． 3．注意培养学生的随机观念，理解现实世界中不确定事件的现象与特点，树立一定的随机观念是教学中的重点和难点所在． 教学时，教师要引导学生主动参与对事件发生的感受和探索，通过对现实世界中学生熟悉和感兴趣的问题，丰富对概率背景的认识，积累大量的活动经验．在教学中，必须让学生亲自经历对随机现象的探索过程，引导学生亲自尝试试验，以获得事件发生的概率，消除一些错误的经验，体会不确定事件现象的特点． 利用频率估计概率》教案1 第一课时 ★新课标要求知识与技能： 1．当事件的试验结果不是有限个或结果发生的可能性不相等时，要用频率来估计概率． 2．通过试验，理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率，进一步发展概率观念．过程与方法： 通过试验及分析试验结果、收集数据、处理数据、得出结论的试验过程，体会频率与概率的联系 与区别，发展学生根据频率的集中趋势估计概率的能力． 情感态度与价值观： 1．通过具体情境使学生体会到概率是描述不确定事件规律的有效数学模型，在解决问题中学会用数学的思维方式思考生活中的实际问题的习惯． 2．在活动中进一步发展合作交流的意识和能力． 教学重点：理解当试验次数较大时，试验频率稳定于理论概率．教学难点：对概率的理解． 设计教学程序： 一、问题情境： 教师提出问题：周末市体育场有一场精彩的篮球比赛，老师手中只有一张球票，小强与小明都 是班里的篮球迷，两人都想去．我很为难，真不知该把球给谁．请大家帮我想个办法来决定把球票 给谁． 学生：抓阄、抽签、猜拳、投硬币，…… 教师对同学的较好想法予以肯定．（学生肯定有许多较好的想法，在众多方法中推举出大家较认 可的方法．如抓阄、投硬币） 追问，为什么要用抓阄、投硬币的方法呢由学生讨论：这样做公平．能保证小强与小明得到球票 的可能性一样大．在学生讨论发言后，教师评价归纳． 用抛掷硬币的方法分配球票是个随机事件，尽管事先不能确定“正面朝上” 还上“反面朝 上”，但同学们很容易感觉到或猜到这两个随机事件发生的可能性是一样的，各占一半，所以小强、小 明得到球票的可能性一样大． 质疑：那么，这种直觉是否真的是正确的呢引导学生以投掷壹元硬币为例，不妨动手做投掷硬币 的试验来验证一下．说明：现实中不确定现象是大量存在的，新课标指出：“学生数学学习内容应当 是现实的、有意义、富有挑战的” ，设置实际生活问题情境贴近学生的生活实际，很容易激发学生的 学习热情，教师应对此予以肯定，并鼓励学生积极思考，为课堂教学营造民主和谐的气氛，也为下 一步引导学生开展探索交流活动打下基础． 二、合作游戏： 1．教师布置试验任务． （1）明确规则． 把全班分成10 组，每组中有一名学生投掷硬币，另一名同学作记录，其余同学观察试验必须在 同样条件下进行． （2）明确任务，每组掷币50 次，以实事求是的态度，认真统计“正面朝上”的频数及“正面朝 上”的频率，整理试验的数据,并记录下来． 2．教师巡视学生分组试验情况． （1）观察学生在探究活动中，是否积极参与试验活动、是否愿意交流等，关注学生是否积极思考、勇于克服困难. （2）要求真实记录试验情况?对于合作学习中有可能产生的纪律问题予以调控. 3 ?各组汇报实验结果. 由于试验次数较少，所以有可能有些组试验获得的“正面朝上”的频率与先前的猜想有出入. 习题 1. 写出下列随机试验的样本空间: (1) 掷两颗骰子,观察两颗骰子出现的点数. (2) 从正整数中任取一个数,观察取出数的个位数. (3) 连续抛一枚硬币,直到出现正面时为止. (4) 对某工厂出厂的产品进行检查,如连续检查出两个次品,则停止检查,或 检查四个产品就停止检查,记录检查的结果. (5) 在单位圆内任意取一点,记录它的坐标. 解:(1){(,)|1,2,,6,1,2, ,6}i j i j Ω===; (2){|0,1, ,9}i i Ω==; (3)Ω={(正), (反, 正), (反, 反, 正), (反, 反, 反, 正), … }; (4)Ω={(次, 次), (次, 正, 正, 正), (次, 正, 正, 次), (次, 正, 次, 次), (次, 正, 次,正), (正, 次, 次), (正, 次, 正, 正), (正, 次, 正, 次)}; (5)22{(,)|,,1}x y x R y R x y Ω=∈∈+≤. 2. 在掷两颗骰子的试验中写出下列事件的集合表示: (1) A =”出现的点数之和为偶数”. (2) B =”出现的点数之和为奇数, 但没有骰子出现1点”. (3) C =”至少掷出一个2点”. (4) D =”两颗骰子出现的点数相同”. 解: (1) {(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),A = {(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)}=; (2){(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,3),(6,5)}B =; (3){(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)}C =; (4){(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}D =. 3. 设,,A B C 是三个事件,试用,,A B C 来表示下列事件: 频率与概率 主备人用案人授课时间____年__月__日总第课时课题8.3 频率与概率 (2) 课型新授 教学目标1、认识到在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为概率的估计值； 2、初步体会到出现机会的均等与试验结果是否具有等可能性的关系； 3、通过试验，加深对频率与概率的关系的理解． 重点用频率的稳定值去估计概率．难点1．经历试验过程，培养随机观念；2．画频率的折线统计图，用频率估计概率． 教法教具自主先学当堂检测交流展示检测反馈小结反思教具：多媒体等 教学过 教学内容个案调整教师主导活动 学生主体活 动 一、情境引入 在硬地上掷1枚图钉，通常会出现哪些情况？你认 为这两种情况的机会均等吗？ 二、自主先学 1、自学内容：P47--49 2、自学指导： （1）频率的计算。 （2）随机事件有概率，确定事件也有概率。 （3）概率有大有小，有时具有等可能性。 3、自学检测： （1）一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不 允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数， 小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出 口答。 自学教材内 容 程教 一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复， 共摸球400次，其中88次摸到黑球，估计盒中大 约有白球（） A、28个 B、30个 C、36个 D、42个 （2）下列说法： ①甲同学在玩掷骰子游戏时说：“6，6，6…… 啊！真的是6！你只要一直想要某个数，就会 掷出那个数！”②乙同学在玩掷骰子游戏时说： “我发现我越是想要某个数就越得不到这个 数，倒是不想它反而会掷出那个数。”③丙同学 说：“中奖率为 1 1000 的彩票，买1000张一定 会中将！”其中，正确的说法是 （） A.① B.② C.③ D.都不正 确 （3）质疑问难，提出学习中存在的问题。 三、交流展示 （一）展示一 分组展示自主先学中的问题，归纳所学知识。 1频率的计算。概率有大有小，有时具有等可能性。 2、随机事件有概率，确定事件也有概率。 3、概率有大有小，有时具有等可能性。 （二）展示二（例题） 例1、判断下列说法对不对？请说明理由。 （1）抛一枚质量分布均匀的硬币，是“正”是“反” 无法预测，全凭运气，因此抛1000次的话 也许只有200次“正”，也许有700次“正”， 没有什么规律； （2）抛一枚质量分布均匀的硬币，出现“正面” 完成检测题 交流问难 福州大学概率论与数理统计课后习题答案 高等教育出版社 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数 之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下 事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和： C B A ++，C AB +，AC B -. 《25.2.1概率及其意义》教学设计 一．内容和内容解析 内容：华东师大版九年级上册“25.2随机事件的概率”（第一课时：概率及其意义） 内容解析： 不确定现象大量存在于自然界和人类社会中，概率正是研究这种现象、揭示其统计规律并帮助我们形成决策的数学工具.随着现代科学技术的发展，概率在自然科学、社会科学和工农业生产中得到越来越广泛的应用.掌握概率的基本知识和思想方法已成为现代社会公民的必备素养，因此它是初中数学的一个重要内容，也是数学研究的一个重要分支. 本节内容是“概率及其意义”，是在学生学习了必然事件、随机事件、不可能事件知识的基础上的进一步研究. 本节课将学习从定量的角度去刻画随机事件发生可能性大小的概念——概率.教材这样编排其主要意图有二：1.遵从概率的产生规律，从概率的古典定义开始探究，学生易于接受，同时符合学生的认知规律.2.为后面学习列举法求概率及用频率估计概率奠定基础，起到承上启下的作用. 因此本节课的教学重点是概率的意义以及学会运用分析的方法在较为简单的问题情境下计算概率. 二．目标和目标解析 目标： 1.知识与技能：了解概率的概念，理解随机事件的概率公式，会用分析的方法计算简单随机事件的概率. 2.过程与方法：通过对现实生活中的“抛掷硬币”、“投掷骰子”、“转转盘”等问题的探究, 感知应用数学知识解决数学问题的方法，理解逻辑推理的数学方法，体验数学活动与现实生活的联系. 3.情感、态度与价值观：培养学生的协作能力和探究能力，激发学生的好奇心和求知欲，提升学生的数据分析和数学建模两大核心素养. 目标解析： 1．通过分析实际生活中随机事件发生可能性的大小来认识概率是反映随机事件发生可能性大小的量. 2．经历动手操作、想象、归纳和总结等活动理解等可能事件，并掌握等可能事件概率的一般求法，能够应用到实际生活当中去. 3.在探究概率的过程中，培养学生的动手能力、协作能力和探究能力，发展他们的概率观念和应用意识，同时激发他们的好奇心和求知欲，培养他们勇于探索的精神、交流与合作的精神. 三．教学问题诊断分析 学生已经理解了随机事件发生的可能性有大有小，本节课用一个数值去刻画这个大小，就是概率.概率的意义具有一定的抽象性，从定性到定量的转化，学生需要一个较长时期的认识过程，对概率的认识和理解会随着学生自身年龄的增长以及知识面和生活经验的延伸而发展. 对于抛硬币和掷骰子的试验，计算相关事件的概率对学生来说是比较容易接受的，但学生容易忽略对求概率方法适用范围的判断.目前，求概率时试验要满足以下条件：（1）每一次试验中，可能出现的结果只有有限种；（2）每一次试验中，各种结果出现的可能性相等.例如：从男女学生数量不等的班级里随机的抽取一名学生是男学生的概率，有同学认为所抽取的要么是男同学要么是女同学，抽到男女同学的结果都有可能发生，因而抽到男同学的概率等于抽到女同学的概率为 21. 频率与概率教案 Prepared on 24 November 2020 《频率与概率》教案 教学目标：1。经历试验，统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。 2．通过试验，理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率，并可据此估计一事件发生的概率。 3．能运用树状图和列表法计算简单事件发生的概率。 教学重点：运用树状图和列表法计算事件发生的概率。 教学难点：树状图和列表法的运用方法。 教学过程： 问题引入：对于前面的摸牌游戏，在一次试验中，如果摸得第一张牌面数字为1，那么摸第二张牌的数字为几的可能性大如果摸得第一张牌的牌 面数字为2呢（由此引入课题，然后要求学生做实验来验证他们 的猜想） 做一做： 实验1：对于上面的试验进行30次，分别统计第一张牌的牌面字为1时，第二张牌的牌面数字为1和2的次数。 实验的具体做法：每两个人一个小组，一个负责抽纸张，另一个人负责记录， 如：1 2 2 1---------(上面一行为第一次抽的) 2 1 2 1---------（下面一行为第二次抽的） 议一议： 小明的对自己的试验记录进行了统计，结果如下： 数字为2 让学生去讨论小明的看法是否正确，然后让学生去说说自已的看法。 想一想： 对于前面的游戏，一次试验中会出现哪些可能的结果每种结果出现的可能性相 可能出现的结果（1，1）（1，2）（2，1）（2，2） 1）（1，2） （2，1）（2，2），而且每种结果出现的可能性相同，也就是说，每种结果出现的概率都是1/4。 利用树状图或表格，可以比较方便地求出某些事件发生的概率。 例1：随机掷一枚硬币两次，至少有一次正面朝上的概率是多少 解：随机掷一枚均匀的硬币两次，所有可能出现的结果如下： 正 正 开始反 正 反 正 总共有4种结果，每种结果出现的可能性相同，而至少有一次正面朝上的结果有3种：（正，正）（正，反）（反，正），因此至少有一次正面朝上的概率为3/4。 第二种解法：列表法 随堂练习： 1．从一定高度随机掷一枚硬币，落地后其朝上的一面可能出现正面和反面这样两种等可能的结果。小明正在做掷硬币的试验，他已经掷了3次硬币，不巧的是这3次都是正面朝上。那么你认为小明第4次掷硬币，出现正面的可能 第二十五章概率初步 随机事件教学设计 一、教材分析 本章是在小学了解了随机现象发生的可能性基础上，进一步学习事件的概率。生活中概率大量存在，与我们的生产生活密切相关。本节主要是了解随机事件和有关概念，教科书中设置了三个问题，通过问题1抽签试验和问题2掷骰子试验，主要让学生感受到，在一定条件下重复进行试验时，有些事件是必然发生，有些事件是不可能发生的，有些事件是有可能发生也有可能不发生的，在这两个具体问题探讨的基础上，提出随机事件等有关概念，要求学生能够在具体的情境中判断一个事情是随机事件还是确定性事件。问题3是一个摸球试验，主要探讨随机试验发生的可能性，以及随机事件发生可能性相对大小的定性描述，并要求通过试验验证判断。通过问题3，让学生了解随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性大小很可能不同，并能够判断几个事件发生的可能性的相对大小。通过这三个问题，为下一节概率的学习做好铺垫。 二、教学目标 1、理解必然发生的事件、不可能发生的事件、随机事件的概念。 2、了解随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小不同。 3、学生经历体验、操作、观察、归纳、总结的过程，发展学生从纷繁复杂的表象中，提炼出本质特征并 加以抽象概括的能力。 4、感受数学与现实生活的联系，积极参与对数学问题的探讨，认识动手操作试验是验证得出结论的好方 法。 5、能根据随机事件的特点，辨别哪些事件是随机事件．引领学生感受随机事件就在身边，增强学生珍惜 机会，把握机会的意识。 三、教学重点与难点 重点：掌握随机事件的特点，会判断现实生活中的随机事件。 难点：判断现实生活中哪些事件是随机事件． 《概率的意义》教案 【课题】25.1.2 概率的意义（第一课时） 【教学目标】 〈一〉知识与技能 1.知道通过大量重复试验时的频率可以作为事件发生概率的估计值 2.在具体情境中了解概率的意义 〈二〉教学思考 让学生经历猜想试验--收集数据--分析结果的探索过程，丰富对随机现象的体验，体会概率是描述不确定现象规律的数学模型.初步理解频率与概率的关系. 〈三〉解决问题 在分组合作学习过程中积累数学活动经验，发展学生合作交流的意识与能力.锻炼质疑、独立思考的习惯与精神，帮助学生逐步建立正确的随机观念. 〈四〉情感态度与价值观 在合作探究学习过程中，激发学生学习的好奇心与求知欲.体验数学的价值与学习的乐趣.通过概率意义教学，渗透辩证思想教育. 【教学重点】在具体情境中了解概率意义. 【教学难点】对频率与概率关系的初步理解 【教具准备】壹元硬币数枚、图钉数枚、多媒体课件 【教学过程】 一、创设情境，引出问题 提出问题：周末市体育场有一场精彩的篮球比赛，老师手中只有一张球票，小强与小明都是班里的篮球迷，两人都想去.我很为难，真不知该把球给谁.请大家帮我想个办法来决定把球票给谁. （抓阄、抽签、猜拳、投硬币，……） 学生肯定有许多较好的想法，在众多方法中推举出大家较认可的方法.如抓阄、投硬币 追问，为什么要用抓阄、投硬币的方法呢？ （这样做公平.能保证小强与小明得到球票的可能性一样大） 在学生讨论发言后，教师评价归纳. 用抛掷硬币的方法分配球票是个随机事件，尽管事先不能确定“正面朝上”还上“反面朝上”，但同学们很容易感觉到或猜到这两个随机事件发生的可能性是一样的，各占一半，所以小强、小明得到球票的可能性一样大. 质疑：那么，这种直觉是否真的是正确的呢？ 初中数学公开课概率的意义优秀教学 设计及反思 教材分析 1．从稳定性的角度，了解概率的意义 2．怎样从数量上刻画一个随机事件发生的可能性大小 学情分析 1．学生从试验，整理，分析，归纳等数学活动，感受数学的探索性和创造性 2．学生的基础差，对频率估计概率上理解有点难度 3．学生可能对量变与质变的对立统一规律的理解有点难度 教学目标 1．从稳定性的角度，了解概率的意义 2．怎样从数量上刻画一个随机事件发生的可能 性大小 教学重点和难点 重点：对概率意义的正确理解 难点：对随机事件的统计规律怀的深刻认识 教学过程 学生经历试验，统计，整理，分析，归纳，总结，进而了解概率的定义过程，引导学生从数学视角，用数学的思维，观察客观世界，数学的语言，描述客观世界。 教材分析 1．从稳定性的角度，了解概率的意义 2．怎样从数量上刻画一个随机事件发生的可能性大小 学情分析 1．学生从试验，整理，分析，归纳等数学活动，感受数学的探索性和创造性 2．学生的基础差，对频率估计概率上理解有点难度 3．学生可能对量变与质变的对立统一规律的理解有点难度 教学目标 1．从稳定性的角度，了解概率的意义 2．怎样从数量上刻画一个随机事件发生的可能性大小 教学重点和难点 重点：对概率意义的正确理解 难点：对随机事件的统计规律怀的深刻认识 教学过程 学生经历试验，统计，整理，分析，归纳，总结，进而了解概率的定义过程，引导学生从数学视角，用数学的思维，观察客观世界，数学的语言，描述客观世界。 教材分析 1．从稳定性的角度，了解概率的意义 2．怎样从数量上刻画一个随机事件发生的可能性大小 学情分析 1．学生从试验，整理，分析，归纳等数学活动，感受数学的探索性和创造性 2．学生的基础差，对频率估计概率上理解有点难度 3．学生可能对量变与质变的对立统一规律的理解有点难度 教学目标 1．从稳定性的角度，了解概率的意义 2．怎样从数量上刻画一个随机事件发生的可能性大小 教学重点和难点 25.3用频率估计概率教学设计 【教材分析】 《利用频率估计概率》是人教版九年级上册第二十五章《概率初步》的第三节。它是学习了前两节概率和用列举法求概率的基础上，即学习了理论概率后，进一步从试验的角度来估计概率，让学生再次体会频率与概率间的关系，通过这部分内容的学习可以帮助学生进一步理解试验频率和理论概率的关系。概率与人们的日常生活密切相关，应用十分广泛。纵观近几年的中考题，概率已是考查的热点，同时，对此内容的学习，也是为高中深入研究概率的相关知识打下坚实基础。 【教学目标】 根据新课程标准的要求，课改应体现学生身心发展特点；应有利于引导学生主动探索和发现；有利于进行创造性的教学。因此，我把本节课的教学目标确定为以下三个方面： 知识目标： 1.理解当事件的试验结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，要用频率来估计概率，进一步发展概率观念。 2.进一步理解概率与频率之间的联系与区别，培养学生根据频率集中趋势估计概率的能力。方法与过程目标： 1.选择生活中的实例进行教学，使学生在解决实际问题过程中加强对概率的认识，突出用频率的集中趋势估计概率的思想，体现数学与生活的紧密联系. 2.通过对问题的分析,理解用频率来估计概率的方法,渗透转化和估算的思想方法. 情感态度与价值观目标: 1.利用生活实例，介绍数学史，激发学生学习数学的热情和兴趣。 2.结合试验的随机性和规律性，让学生理解试验频率和理论概率的关系。 【重点与难点】 重点：1.体会用频率估计概率的必要性和合理性。 2.学会依据问题特点，用频率来估计事件发生的概率。 难点：1.理解频率与概率的关系，2.用频率估计概率解决实际问题。 【学生分析】 学习统计概率的学生并不是难在用频率估计概率，而是难在多大程度上感受用频率估计概率的必要性以及体会用频率估计概率所蕴含的基本思想，然后自觉地运用到实际生活中。所以，要发动学生积极参与，动手实验，在实践中感悟。 【教学方法】 树立以学生为本的思想，通过创设问题情境，利用《问题生成评价单》，以多媒体为教学平台，通过精心设计的问题串和活动系列，采取精讲多练、讲练结合的方法来落实知识点并不断地制造思维兴奋点，让学生脑、嘴、手动起来，充分调动了学生的学习积极性，达到事半功倍的教学效果。而学生在教师的鼓励引导下小结方法，克服思维定势，并通过小组讨论、组际竞赛等多种方式增强学习的成就感及自信心，从而培养浓厚的学习兴趣。 【设计理念】 激发学生的学习兴趣，发展学生的数学才能，在教学过程中充分运用启发和讨论方式，发扬教学民主，关注知识的形成和发展过程，创设情境，培养学生用数学的眼光看世界的意识，发展搜集和处理信息的能力，运用所学的数学知识解释生活中发生的某些现象，从中建立起数学模型，抽象为数学问题，探究和发展其中的变化规律。 【教师准备】 《问题导读---评价单》、《问题生成---评价单》、《问题训练---评价单》 第二十五章概率初步 问题一：五名同学参加演讲比赛，以抽签的方式决定每个人的出场顺序，签筒中有5个形状，大小相同的纸签，上面分别标有出场的序号1，2，3，4，5，小军首先抽签。他在看不到纸签上的数字的情况下从签筒中随机（任意）地抽取一根纸签，请考虑以下问题： ①抽到的序号有几种可能的结果？ ②抽到的序号小于6吗？ ③抽到的序号会是0吗？ ④抽到的序号会是1吗？ 为了回答上面的问题，我们可以在同样的条件下重复进行抽签试 验，从试验结果中我们可以发现： ①每次抽签的结果不一定相同，序号1，2，3，4，5都有可能抽到，共有五种可能的结果，但是事先不能预料一次抽签会出现那一种结果。 ②抽到的序号一定小于6。 ③抽到的序号绝对不会是０。 ⑤抽到的序号可能是１，也可能不是１，事先无法确定。 问题二：小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分 别刻有1到6 的点数，每掷一次骰子，骰子向上面的数字怎样，请考虑以下几个问题： ①可能出现那些点数？ ②出现的点数大于0吗？ ③出现的点数会是7吗？ ④出现的点数会是4吗？ 为回答上面的问题，我们可以在同样的条件下重复进行掷骰子试验，从试验结果可以发现： ①每次掷骰子的结果不一定相同，从1到6 的每一个点数都有可能出现，所有可能的点数共有6种，但是事先不能预料掷一次骰子会出现那一种结果。 ②出现的点数肯定大于0。 ③出现的点数绝对不会是7。 ④出现的点数可能是4 ，也可能不是4，事先无法确定。 在一定条件下，有些事件必然（肯定）会发生，这样的事件称为必然事件。相反地，有些事件必然（肯定）不会发生，这样的事件称为不可能事件。必然事件与不可能事件统称为确定性事件。 在一定条件下，有些事件可能发生，也有可能不发生，事先无法确定，这样的事件称为随机事件。在现实世界中存在着大量的随机事件。 练习：指出下面事件中，那些是必然事件，那些是不可能事件，那些是随机事件。 ①通常加热到100℃，水沸腾。 ②篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中。 ③掷一次骰子，向上的一面是6点。 ④度量三角形的内角和，结果是360°。 ⑤经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯。 ⑥某射击运动员身击一次，命中靶心。 问题三：袋子中装有4个黑球2个白球，这些球的形壮、大小、质地完全相同，在看不到球的情况下，随机地从袋中摸出一个球。 ①这个球是白球不是黑球？ ②如果两种球都有可能摸出，那么摸出黑球和摸出白球的可能性一样大吗？ 为了验证你的想法，动手摸一下吧。在上面的摸球活动中，摸出黑球和摸出白球是两个随机事件。一次摸球可能发生摸出黑球，也可能发生摸出白球，事先不可能确定那个事件发生，但是，由于两种球的数量不等，所以事实上摸出黑球与摸出白球的可能性的大小是不一样的，摸出黑球的可能性大于摸出白球的可能性，你们的试验结果能说明这种规律吗？ 一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。 能否通过改变袋子中某种颜色的球的数量，使摸出黑球和摸出白球的可能性大小相同呢？ 练习：1、已知地球表面陆地面积与海洋面积的比为3：7如果宇宙中飞来一 概率论与数理统计作业及解答 概率论与数理统计作业及解答 第一次作业 ★1. 甲, 乙, 丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹, 设事件A , B , C 分别表示甲, 乙, 丙击中目标, 则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示. 事件E ={事件,,A B C 最多有一个发生},则E 的表示为 ;E ABC ABC ABC ABC =+++或;AB AC BC =U U 或;AB AC BC =U U 或;AB ACBC =或().ABC ABC ABC ABC =-++ (和A B +即并A B U ,当,A B 互斥即AB φ=时,A B U 常记为A B +.) 2. 设M 件产品中含m 件次品, 计算从中任取两件至少有一件次品的概率. 22 1M m M C C --或1122 (21)(1)m M m m M C C C m M m M M C -+--=- ★3. 从8双不同尺码鞋子中随机取6只, 计算以下事件的概率. A ={8只鞋子均不成双}, B ={恰有2只鞋子成双}, C ={恰有4只鞋子成双}. 61682616()32()0.2238,143C C P A C ===1414 8726 16()80 ()0.5594,143C C C P B C === 22128626 16()30 ()0.2098.143 C C C P C C === ★4. 设某批产品共50件, 其中有5件次品, 现从中任取3件, 求: (1)其中无次品的概率; (2)其中恰有一件次品的概率. (1)34535014190.724.1960C C == (2)21455350990.2526.392 C C C == 5. 从1～9九个数字中, 任取3个排成一个三位数, 求: (1)所得三位数为偶数的概率; (2)所得三位数为奇数的概率. (1){P 三位数为偶数}{P =尾数为偶数4 },9= (2){P 三位数为奇数}{P =尾数为奇数5 },9 = 或{P 三位数为奇数}1{P =-三位数为偶数45 }1.99 =-= 6. 某办公室10名员工编号从1到10,任选3人记录其号码,求:(1)最小号码为5的概率;(2)最大号码为5的概率. 记事件A ={最小号码为5}, B ={最大号码为5}. (1) 253101();12C P A C ==(2) 2 43101 ().20 C P B C == 7. 袋中有红、黄、白色球各一个,每次从袋中任取一球,记下颜色后放回,共取球三次, 求下列事件的概率:A ={全红},B ={颜色全同},C ={颜色全不同},D ={颜色不全同},E ={无黄色球},F ={无红色且无黄色球},G ={全红或全黄}. 311(),327P A ==1()3(),9P B P A ==33333!2(),339A P C ===8 ()1(),9 P D P B =-= 25.3用频率估计概率 教学目标 【知识与技能】 理解每次试验可能的结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，利用统计频率的方法估计概率. 【过程与方法】 经历利用频率估计概率的学习，使学生明白在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率? 【情感态度】 通过研究如何用统计频率求一些现实生活中的概率问题，培养使用数学的良好意识，激发学习兴趣，体验数学的应用价值. 【教学重点】 对利用频率估计概率的理解和应用. 【教学难点】 利用频率估计概率的理解. 教学过程 一、情境导入，初步认识 问题1400个同学中，一定有2个同学的生日相同（可以不同年）吗？那么300个同学中一定有2个同学的生日相同吗？ 有人说：“50个同学中，就很可能有2个同学的生日相同这话正确吗？调查全班同学，看看有无2个同学的生日相同. 问题2要想知道一个鱼缸里有12条鱼，只要数一数就可以了.但要估计一个鱼塘里有多少条鱼，该怎么办呢？ 【教学说明】在前面我们学习了能列举所有可能的结果，并且每种结果的可能性相等的随机事件的概率的求法?那么这里的两个问题情境中，很容易让学生想到这些事件的结果不容易完全列举出来，而且每种结果出现的可能性也不一定是相同的.从而引发学生的求知欲，对于这类事件的概率该怎样求解呢，引入课题. 二、思考探究，获取新知 1.利用频率估计概率 试验：把全班同学分成10组，每组同学掷一枚硬币50次，整理同学们获得的试验数据，并记录在下表中： 填表方法：第1组的数据填在第1行；第1,2组的数据之和填在第2行，…, 10个组的数据之和填在第10行. 如果在抛掷n次硬币时，出现m次“正面向上”，则随机事件“正面向上” 出现的频率为m/n. 【教学说明】分组是为了减少劳动强度加快试验速度，当然如果条件允许， 组数分得越多，获得的数据就会越多，就更容易观察出规律.让学生再次经历数据的收集，整理描述与分析的过程，进一步发展学生的统计意识，发现数据中隐藏的规律. 请同学们根据试验所得数据想一想：“正面向上”的频率有什么规律？历史 上，有些人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验，试验结果如下：第四章概率教案
用频率估计概率教案
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频率与概率教案
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25.3用频率估计概率教学设计
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25.3用频率估计概率(教案)
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