绝密★启用前 试卷类型：A
2010年深圳市高三年级第二次调研考试
数学（理科） 2010.5
本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：
1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否
正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区
域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错
涂、多涂的答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：
锥体的体积公式13V Sh
=
，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．
圆柱的侧面积2S rl π=，其中r 是圆柱的底面半径，l 是圆柱母线长．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项
中，有且只有一项是符合题目要求的．
1．设i 是虚数单位，则复数2i 1i +-()()在复平面内对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．若命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，则
A ．命题p 不一定是假命题
B ．命题q 一定是真命题
C ．命题q 不一定是真命题
D ．命题p 与命题q 同真同假
3．在△ABC 中，若sin :sin :sin 4A B C =A B C ?是
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．不能确定 4．直线:10l mx y m -+-=与圆C ：2215x y +-=()的位置关系是
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不确定
A B
C
D
5．如图1，是一个空间几何体的三视图，其主(正)视图
是一个边长为2的正三角形，俯视图是一个斜边为2的等腰直角三角形，左(侧)视图是一个两直角边分别
为1的直角三角形，则此几何体的体积为 A
3 B ．1 C
2
D ．2
6．设0a >，0b >，则以下不等式中，不恒成立的是
A ．1
1
4a b a
b ++≥()()
B ．22
b b a a
+>
+
C ．
111a b a b a b
a
b
+<
+
++++
D ．a b b a a b a b ≥
7．已知a 是实数，则函数sin f x ax =()的导函数的图象可能是
8．将长度为1的线段随机折成三段，则三段能构成三角形的概率是
A ．
12
B ．1
3
C ．14
D ．1
5
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）
9．设全集}}{}{{2
3 23 2 3 5U U a a a A A =+-==，，，，，e，则a 的值为 ．
10
．在8x -()的展开式中，62x y 项的系数是 ． 11．已知双曲线
222
2
10x y a b a
b
-
=>>()的两条渐近线的夹角为
3
π，则双曲线的离心率为
．
12．给出以下一个算法的程序框图(图2)，如果sin 2a =， 1.1log 0.9b =，0.91.1c =，则输出的
结果是 ．（注：框图中的的赋值符号“＝”也可以写成“←”或“：＝”） https://www.doczj.com/doc/1a6957889.html,
主(正)视图
左(侧)视图
俯视图
图1
13．设P 是边长为a 的正A B C ?内的一点，P 点到三边的距离分别为1
23
h h h 、、，则1232
h h h a =++；类比
到空间，设P 是棱长为a 的空间正四面体ABC D 内的一点，则P 点到四个面的
距
离之和
12
h h h h
++
+
= ． （二）选做题（14、15题，考生
只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，若圆C 的极坐标方程为24cos 10
3πρρθ--
-=()，若以极
点为原点，以极轴为x 轴的正半轴建立相应的平面直角坐标系xOy 中，则在直角坐标系中，圆心C 的直角坐标是 ． 15．（几何证明选讲选做题）
如图3，在R t A B C ?中，90C ∠=?，以BC 为直径作半圆交AB 于D ，过D 作半圆的切线交A C 于E ，若2AD =，4DB =，则
D E
= ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文
字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知()cos m x x = ，()cos ,cos n x x = ，设()f x m n =?
． （1）求函数()f x 的最小正周期及其单调递增区间；
（2）若b c 、分别是锐角
A B C ?的内角
B C 、的对边，且b c ?=，()12
f A =
，试求
A B C
?的面积S ．
17．（本小题满分12分）
上海世博会深圳馆1号作品《大芬丽莎》是由大芬村507名画师集体创作的999幅油画组合而成的世界名画《蒙娜丽莎》，因其诞生于大芬村，因此被命名为《大芬丽莎》．某部门从参加创作的507名画师中随机抽出100名画师，测得画师年龄情况如下表所示． （1）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（图4），
E A
B
C
D
图3
岁
图4
再根据频率分布直方图估计这507个画师中年龄在[)
30,35岁的人数（结果取整数）； （2）在抽出的100名画师中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加上海世博会深圳馆
志愿者活动，其中选取2名画师担任解说员工作，记这2名画师中“年龄低于30岁”的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
18．（本小题满分14分）
如图5，四边形ABC D 是圆柱OQ 的轴截面，点P 在圆柱OQ 的底面圆周上，G 是DP 的中点，圆柱OQ 的底面圆的半径2O A =，侧面积为，120AO P ∠=?．
（1）求证：AG BD ⊥；
（2）求二面角P A G B --的平面角的余弦值．[来源:高考资源网]
19．（本小题满分14分）
设函数()()2ln 21f x x a x =-+(1,12x ??
∈-
??
?
，0
a
>)．
（1）若函数()f x 在其定义域内是减函数，求a 的取值范围；
O
Q D
B
C
A
G
P ．
图5
（2）函数()f x 是否有最小值？若有最小值，指出其取得最小值时x 的值，并证明你的结
论．
20．（本小题满分14分）
已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点；椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F
是它的一个顶点，且其离心率2
e =．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）经过A 、B 两点分别作抛物线C 的切线1l 、2l ，切线1l 与2l 相交于点M ．证明：
MF AB ⊥；
（3） 椭圆E 上是否存在一点M '，经过点M '作抛物线C 的两条切线M A ''、M B ''（A '、
B '为切点）
，使得直线A B ''过点F ？若存在，求出抛物线C 与切线M A ''、M B ''所围成图形的面积；若不存在，试说明理由．
[来源:https://www.doczj.com/doc/1a6957889.html,]
21．（本小题满分14分）
设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且n a 是n S 和2的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式；
图6
（2）当1i j n ≤≤≤（,,i j n 均为正整数）时，求i a 和j a 的所有可能的乘积i j a a 之和n T ； （3）设2
1
2
22
2
*n
n
M n N T T T =+++
∈() ，求证：
132
4
M ≤<
．
2010年深圳市高三年级第二次调研考试 数学（理科）参考答案及评分标准
说明：
1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2、对于计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13
题）
9． 2 ． 10．56． 11
3
12． 1.1log 0.9(填b 也算对)．133
．
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．． 15．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演
算步骤．
16．（本小题满分12分）
(本题考查向量的数量积、两角和的正弦公式、三角形的面积公式、三角函数的性质等知识，考查化归转化的数学思想和运算求角能力) 解：由已知可知
()2
cos cos f x m n x x x =?=+
?
1cos 212sin 22
262x
x x π+?
?=
+
=++ ??
? . ……………3分 （1）()x f 的最小正周期是π. …………4分 由 22226
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
( Z k ∈)，
解得 3
6
k x k π
π
ππ-
≤≤+
(Z k ∈).
所以()x f 的单调递增区间是 ,3
6k k π
πππ??
-
+
?
??
?
(Z k ∈). …………7分
（2）∵ ()2
1=
A f ， 即2
1
2162sin =+???
?
?
+
πA ， ∴ 062sin =??
?
?
?
+
πA ，
∵ ABC ?是锐角三角形.
∴02
A π
<<，
∴
726
6
6
A π
π
π<+
<
，
∴ ππ
=+
6
2A ，∴12
5π=A . …………9分
而 4
2
66sin 4cos 6cos 4sin 64
sin 125sin
+=?+?=??? ??+=ππππππ
π
， ………11分
∴
111sin 2
2
4
2
S b c A =
??=?
=
. …………12分
17. (本小题满分12分)
(本题主要考查频率分布表、直方图、分层抽样、分布列、期望等统计概率知识，考查学生运用所学知识解决实际应用问题的能力)
解：（1）①处填20，②处填0.35； 507个画师中年龄在[)35,30的人数为
17750735.0≈?人……………3分
补全频率分布直方图如图所示.
…………6分
（2）用分层抽样的方法，从中选 取20人,则其中“年龄低于30岁”
岁
的有5人，“年龄不低于30岁”
的有15人。 ……7分 故ξ的可能取值为0， 1，2；
76
42)0(220
2
15=
=
=C C P ξ
76
30)1(2
201
5115=
=
=C C C P ξ
76
4)1(220
25=
=
=C
C P ξ …………………10分
所以ξ的分布列为
…………11分 所以： 2
176
4276
30176
420
=
?
+?
+?=ξE
…………12分
18. (本小题满分14分)
(本题考查空间的线面关系、二面角、空间向量及坐标运算、圆柱的侧面积、余弦定理等知识，考查数形结合、化归转化的数学思想和方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运
算求解能力)
解:
（1）(解法一)：由题意可知 22AD π=?? ，
解得 AD =， …………1分 在AOP ?中，AP ==， …………2分
∴ AP AD =， 又 ∵G 是DP 的中点，
∴ DP AG ⊥. ①
∵AB 为圆O 的直径，
∴ BP AP ⊥.
由已知知 ABP DA 底面⊥， ∴ BP DA ⊥，
∴ DAP BP 平面⊥ . …………5分 ∴ AG BP ⊥. ②
∴ 由①②可知：DPB AG 平面⊥，
x
∴ BD AG ⊥. …………7分 （2） 由（1）知：DPB AG 平面⊥ ， ∴BG AG ⊥，PG AG ⊥，
∴PGB ∠是二面角B AG P --的平面角 . …………10分
622
121=
?=
=
AP PD PG , 2==OP BP , 90B P G ∠=?.
∴ 102
2
=
+=BP
PG BG .
5
1510
6cos =
=
=
∠BG
PG PGB . ………14分
(解法二)：建立如图所示的直角坐标系，
由题意可知22AD π=??.
解得AD = 则()0,0,0A ，()0,4,0B ，()32,0,0D ，(
)
0,3,3P ，
∵G 是DP 的中点，
∴ 可求得???
? ??3,23,23G . …………4分 （1）(
)0,1,3-=
BP ，()
32,4,0-=BD ，
∴ ???
?
??=3,23,23AG . ∵ ()
032,4,03,23,23=-????
?
??=?BD AG ， ∴ BD AG ⊥. …………8分 （2）由（1）知,(
)
0,1,3-=
BP ， ???
?
??=3,23,23AG ， ???? ??--=3,23,23PG ， ???
? ??-=3,25
,23BG .
∵0=?PG AG ，0=?BP AG .
∴BP
是平面APG 的法向量. …………10分
设()1,,y x n =是平面ABG 的法向量，
由0=?AG n ，0=?AB n ，
解得()1,0,2-=n …………12分
c o s 5
B P n B P n
θ?==
=-? .
所以二面角B AG P --
的平面角的余弦值5
. …………14分
19．（本小题满分14分）
(考查函数和方程、函数与导数、不等式的求解等知识，考查化归与转化、分类与整合、函数与方程的数学思想和方法、推理论证能力和运算求解能力) 解: （1）∵()(
)1
2221
2222
+-+=
+-
='x a
x x x a x x f ，
∵()x f 在???
?
?
-
∈1,21
x 上是减函数， ∴ ()0≤'x f 在??
?
?
?-
∈1,21
x 恒成立. …………2分 又∵ 当??
?
?
?-
∈1,21
x 时，012>+x ，[来源:高考资源网] ∴不等式 022
≤-+a x x 在??
?
?
?-
∈1,21
x 时恒成立， 即 x x a +≥2
2 在???
?
?-
∈1,21
x 时恒成立， …………4分 设 ()x x x g +=2
2，??
?
?
?-
∈1,21
x ，则 ()()31max ==g x g ，
∴ 3≥a . …………6分 （2）∵()(
)1
2222
+-+=
'x a
x x x f ，
令 ()0='x f ，解得
: 114
x --=
, 214
x -+=
,
由于0a >，
∴11()02
4x -
-=>
，21()02
4
x --
=
>，
∴2
11- 12- >x ， …………8分 ① 当214 x =<即03a << 时,在?? ? ??-2,21x 上()0<'x f ；在()1,2x 上 ()0>'x f ， ∴当4 x = ()x f 在?? ? ? ?- 1,21 上取最小值. ……11分 ② 当2114 x -+= ≥即3a ≥ 时,在? ?? ??-1,21上()0≤'x f ， ∴当1=x 时，函数()x f 在?? ? ? ?- 1,21 上取最小值. 由①②可知，当03a << 时,函数()x f 在14 x -+ = 时取最小值;当3a ≥ 时, 函数()x f 在1=x 时取最小值. …………14分 20．（本小题满分14分） (考查椭圆、抛物线、直线、定积分等知识，考查数形结合、化归转化等数学思想、以及推理论证能力和运算求解能力) 解：（1）设椭圆E 的方程为 222 2 1(0)x y a b a b + =>>，半焦距为c . 由已知条件，得)1,0(F ， ∴?? ? ?? ??+===222231c b a a c b 解得 1,2==b a . 所以椭圆E 的方程为： 14 2 2 =+y x . …………4分 （2）显然直线l 的斜率存在，否则直线l 与抛物线C 只有一个交点，不合题意， 故可设直线l 的方程为 1+=kx y ，112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠， 由???=+=y x kx y 412 消去y 并整理得 2440x kx --=， ∴ 421-=x x . …………5分 ∵抛物线C 的方程为2 4 1x y = ，求导得12 y x '= ， ∴过抛物线C 上A 、B 两点的切线方程分别是 )(2 1111x x x y y -=-， )(2 1222x x x y y -= -， 即 2 114121x x x y - = ， 2 224 121x x x y - =， 解得两条切线1l 、2l 的交点M 的坐标为)4 , 2 (212 1x x x x +，即)1,2 ( 2 1-+x x M ，……7分 ∴ 122121(,2)(,)2x x F M A B x x y y +?=-?-- 0)4 141(2)(2121222122=---=x x x x ∴MF AB ⊥. …………9分 （3）假设存在点M '满足题意，由（2）知点M '必在直线1-=y 上，又直线1-=y 与椭圆E 有 唯一交点，故M '的坐标为)1,0(-'M ， 设过点M '且与抛物线C 相切的切线方程为：)(2 1000x x x y y -=-，其中点),(00y x 为切点. 令1,0-==y x 得，)0(2 1411002 0x x x -= - -， 解得20=x 或20-=x ， …………11分 故不妨取)1,2(),1,2(B A '-'，即直线B A ''过点F . 综上所述，椭圆E 上存在一点)1,0(-'M ，经过点M '作抛物线C 的两条切线A M ''、B M ''（A '、B '为切点），能使直线B A ''过点F . 此时，两切线的方程分别为1y x =--和1-=x y . …………12分 抛物线C 与切线A M ''、B M ''所围成图形的面积为 2 22320 011142(1)2() 41223 S x x dx x x x ?? =--=-+= ???? ? . ……14分 21．（本小题满分14分） (考查等差数列、等比数列、不等式的证明、数列的求和等知识，考查推理论证能力和运算求解能力和化归转化数学思想) 解: （1）∵n a 是n S 和2的等差中项， ∴22n n S a +=， ① ………1分 当1=n 时，1122S a +=，解得21=a . 当*,2n N n ∈≥时， 1122n n S a --+= () 2,* ≥∈n N n . ② ①－② 得 1122---=-n n n n a a S S ()2,*≥∈n N n ， ∴ 122--=n n n a a a ， ∴ 12-=n n a a ， ∴ 21 =-n n a a ()2,* ≥∈n N n . ∴ 数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列， ∴ n n a 2= ()* N n ∈ . …………5分 （2）由i a 和j a 的所有可能乘积2 i j i j a a +?=()n j i ≤≤≤1可构成下表： 112+，122+，132+，…，() 112n +-，12n + 222+，232+，…，() 212n +-，22n + 332+，…，() 312 n +-，32n + ……………… 2n n + ……7分 构造如下n 行n 列的数表： 11 2+，122+，132+，…，()112n +-，12n + 21 2+，222+，232+，…，() 212n +-，22n + 31 2 +，322+，332+，…，() 312 n +-，32n + ……………… 1 2 n +，22n +，32n +，… ，() 12 n n +-，2n n + 设上表第一行的和为T ，则 () ()41242112 n n T -= =--. 于是 ()()2124221222222n n n T T -=++++++++ ()()() 2 2 4 142121 41 n n n -=-?- +- ()()2 4 2 12 23 n n +=-?-. ∴ ()()1 4 21213 n n n T += -?- . …………10分 (3)∵()()1 4 212 13 n n n T +=-?-， ∴ ()() 1 1 2 32 3114212142121n n n n n n n T ++??? = = - ?---?-?? ， …………12分 ∴2 1 2 22 2 n n M T T T = +++ 1223341 31111111142121212121212121n n +?? ????????= -+-+-++- ? ? ? ???--------?????????? 1311421n +??= - ?-?? . ∵1 213n +-≥， ∴ 11313 1244 21n +??≤ -< ?-??. 即132 4 M ≤<. …………14分 高二数学期末考试试卷 出题人：冯亚如 一．选择题（40分） 1.由数列1,10,100,1000，……猜测该数列的第n 项是（ ） A.10n+1 B.10n C.10n-1 D. 10n 2.空间中垂直于同一条直线的两条直线（ ） A.互相平行 B.互相垂直 C.异面或相交 D.平行或相交或异面 3.在正方体1111D C B A ABCD 中与直线1AC 异面的棱有（ ） A.4条 B.6条 C.8条 D.10条 4.某中职学校一年级二年级各有12名女排运动员，要从中选出6人调查学习负担情况，调查应采取的抽样方法是（ ） A.随机抽样 B.分层抽样 C.系统抽样 D.无法确定 5.已知点A(-3，-2)，B(2，3)则直线AB 的倾斜角为（ ） A.450 B.600 C.900 D.1350 6.已知12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽取3件的必然事件是 ( ) A ．3件都是正品 B.至少有一件是正品 C.3件都是次品 D.至少有一件是次品 7.判断直线L 1:x+3y-4=0与L 2:3x-y+1=0的位置关系（ ） A.平行 B.相交但不垂直 C.重合 D.垂直 8.在100张奖券中，有4张中奖卷，从中任取1张，中奖的概率是 （ ） A. 201 B. 101 C. 251 D. 30 1 9.侧棱长时2的正三棱锥，其底面边长是1，则棱锥的高是 （ ） A. 311 B. 313 C. 339 D. 333 10.直线5x+12y-8=0与圆（x-1）2+（y+3）2=9的位置关系是（ ） A.相离 B.相交 C.相切 D.直线过圆心 二．填空题（20分） 11.直线x-3y+6=0在X 、Y 轴截距分别为_______、________； 12.圆x 2+y 2+4x-2y+1=0的圆心为_______________； 13.一条直线l 与平面α平行，直线m 在面α内，则l 与m 的位置关系是_______________； 14.正三棱锥的底面边长是4cm ，高是33cm ，则此棱锥的体积为________________； 15.已知球的半径r=3，则球的表面积和体积分别为_________、___ __。 三．解答题（60分） 16.光线从点M(-2, 3)出发，射到P(1, 0)，求反射直线的方程并判断点N(4，3)是否在反射光线上。（10分）职业高中高二期末考试数学试卷
(完整版)高二数学期末试卷(理科)及答案