圆的训练4
1．（2010?义乌市）如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是的中点，OM交AC于点D，∠BOE=60°，
cosC=，BC=2．
（1）求∠A的度数；
（2）求证：BC是⊙O的切线；
（3）求MD的长度．
2．（2010?宜昌）如图，已知Rt△ABC和Rt△EBC，∠B=90°．以边AC上的点O为圆心、OA为半径的⊙O与EC相切，D为切点，AD∥BC．
（1）用尺规确定并标出圆心O；（不写作法和证明，保留作图痕迹）
（2）求证：∠E=∠ACB；
（3）若AD=1，，求BC的长．
3．（2010?扬州）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：点D是BC的中点；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）如果⊙O的直径为9，cosB=，求DE的长．
4．（2010?烟台）如图以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC边于点E．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若∠ABC=30°，求tan∠BCO的值．
5．（2010?新疆）如图是一个量角器和一个含30°角的直角三角板放置在一起的示意图，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半圆O于点F，且BC=OE．
（1）求证：DE∥CF；
（2）当OE=2时，若以O，B，F为顶点的三角形与△ABC相似，求OB的长；
（3）若OE=2，移动三角板ABC且使AB边始终与半圆O相切，直角顶点B在直径DE的延长线上移动，求出点B移动的最大距离．
6．（2010?新疆）圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD如图所示那样叠放在一起，连接AC、BD．
（1）求证：△AOC≌△BOD；
（2）若OA=3cm，OC=1cm，求阴影部分的面积．
7．（2010?孝感）如图，⊙O是边长为6的等边△ABC的外接圆，点D在弧BC上运动（不与B，C重合），过点D 作DE∥BC，DE交AC的延长线于点E，连接AD，CD．
（1）在图1中，当AD=2，求AE的长；
（2）当点D为的中点时：
①DE与⊙O的位置关系是_________；
②求△ADC的内切圆半径r．
8．（2010?咸宁）如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．
（1）直线FC与⊙O有何位置关系？并说明理由；
（2）若OB=BG=2，求CD的长．
9．（2010?梧州）如图，⊙O的直径AC=13，弦BC=12．过点A作直线MN，使∠BAM=∠AOB．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）延长CB交MN于点D，求AD的长．
10．（2010?芜湖）如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB，M是劣弧上一点，过点M点作⊙O的切线MP交OA的延
长线于P点，MD与OA交于N点．
（1）求证：PM=PN；
（2）若BD=4，PA=AO，过点B作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长．
11．（2010?威海）如图，在?ABCD中，∠DAB=60°，AB=15cm．已知⊙O的半径等于3cm，AB，AD分别与⊙O相切于点E，F．⊙O在?ABCD内沿AB方向滚动，与BC边相切时运动停止．试求⊙O滚过的路程？
12．（2010?铁岭）如图，已知矩形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O直径，将△BCD沿BD所在的直线翻折后，得到点C 的对应点N仍在⊙O上，BN交AD与点M．若∠AMB=60°，⊙O的半径是3cm．
（1）求点O到线段ND的距离；
（2）过点A作BN的平行线EF，判断直线EF与⊙O的位置关系并说明理由．
13．（2010?铁岭）如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°．
（1）尺规作图：在AC上求作一点P，使BP+PC=AB；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在已作的图形中，连接PB，以点P为圆心，PB长为半径画弧交AC的延长线于点E，若BC=2cm，求扇形PBE的面积．
14．（2010?天津）已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点
C．
（1）如图①，若AB=2，∠P=30°，求AP的长（结果保留根号）；
（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．
15．（2010?泰安）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，BE=1，求cosA的值．
16．（2010?随州）如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD2=AB?AE．
求证：DE是⊙O的切线．
17．（2010?苏州）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD边的中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，交BC边于点E．过E作EH⊥AB，垂足为H．已知⊙O与AB边相切，切点为F．
（1）求证：OE∥AB；
（2）求证：EH=AB；
（3）若，求的值．
18．（2010?顺义区）如图，⊙O的直径AB=4，C、D为圆周上两点，且四边形OBCD是菱形，过点D的直线EF∥AC，交BA、BC的延长线于点E、F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求DE的长．
19．（2010?双鸭山）附加题：
已知：如图⊙O是以等腰三角形ABC的底边BC为直径的外接圆，BD平分∠ABC交⊙O于D，且BD与OA、AC分别交于点E、F延长BA、CD交于G．
（1）试证明：BF=CG．
（2）线段CD与BF有什么数量关系？为什么？
（3）试比较线段CD与BE的大小关系，并说明理由．
20．（2010?十堰）如图，已知⊙O1与⊙O2都过点A，AO1是⊙O2的切线，⊙O1交O1O2于点B，连接AB并延长交⊙O2于点C，连接O2C．
（1）求证：O2C⊥O1O2；
（2）证明：AB?BC=2O2B?BO1；
（3）如果AB?BC=12，O2C=4，求AO1的长．
21．（2010?陕西）如图，在Rt△ABC中∠ABC=90°，斜边AC的垂直平分线交BC与D点，交AC与E点，连接BE．（1）若BE是△DEC的外接圆的切线，求∠C的大小；
（2）当AB=1，BC=2时，求△DEC外接圆的半径．
22．（2010?山西）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°．（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为3cm，AE=5cm，求∠ADE的正弦值．
23．（2010?三明）正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点．
（1）如图①，若点E在上，F是DE上的一点，DF=BE．求证：△ADF≌△ABE；
（2）在（1）的条件下，小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE﹣BE=AE．请你说明理由；（3）如图②，若点E在上．写出线段DE、BE、AE之间的等量关系．（不必证明）
（2）△BEC∽△ADC；
（3）BC2=2AB?CE．
25．（2010?攀枝花）如图所示，已知AB是⊙O的直径，直线L与⊙O相切于点C，，CD交AB于E，BF⊥
直线L，垂足为F，BF交⊙O于C．
（1）图中哪条线段与AE相等？试证明你的结论；
（2）若，AE=4，求AB的值．
26．（2010?南宁）如图1，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）连接AE，AE的延长线与BC的延长线交于点G（如图2所示），若AB=2，AD=2，求线段BC和EG的长．
（2）将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H；求证：四边形AFHG 是正方形；
（3）若BD=6，CD=4，求AD的长．
28．（2010?内江）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E在斜边AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于点D．（1）求证：AD平分∠BAC．
（2）若AC=3，AE=4．
①求AD的值；②求图中阴影部分的面积．
29．（2010?密云县）如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC 于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）求sin∠E的值．
30．（2010?荆州）如图，⊙O的圆心在Rt△ABC的直角边AC上，⊙O经过C、D两点，与斜边AB交于点E，连接BO、ED，有BO∥ED，作弦EF⊥AC于G，连接DF．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，sin∠DFE=，求EF的长．
答案与评分标准
一．解答题（共30小题）
1．（2010?义乌市）如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是的中点，OM交AC于点D，∠BOE=60°，
cosC=，BC=2．
（1）求∠A的度数；
（2）求证：BC是⊙O的切线；
（3）求MD的长度．
考点：圆周角定理；切线的判定与性质；弧长的计算；特殊角的三角函数值。
专题：计算题；证明题。
分析：（1）根据三角函数的知识即可得出∠A的度数．
（2）要证BC是⊙O的切线，只要证明AB⊥BC即可．
（3）根据切线的性质，运用三角函数的知识求出MD的长度．
解答：（1）解：∵∠BOE=60°，
∴∠A=∠BOE=30°．（2分）
（2）证明：在△ABC中，∵cosC=，
∴∠C=60°．（1分）
又∵∠A=30°，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC．（2分）
∴BC是⊙O的切线．（3分）
（3）解：∵点M是的中点，
∴OM⊥AE．（1分）
在Rt△ABC中，∵BC=2，
∴AB=BC?tan60°=2×=6．（2分）
∴OA==3，
∴OD=OA=，
∴MD=．（3分）
点评：本题综合考查了三角函数的知识、切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
（1）用尺规确定并标出圆心O；（不写作法和证明，保留作图痕迹）
（2）求证：∠E=∠ACB；
（3）若AD=1，，求BC的长．
考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质。
专题：作图题。
分析：（1）若⊙O与EC相切，且切点为D，可过D作EC的垂线，此垂线与AC的交点即为所求的O点．
（2）由（1）知OD⊥EC，则∠ODA、∠E同为∠ADE的余角，因此∠E=∠ODA=∠OAD，而AD∥BC，可得∠OAD=∠ACB，等量代换后即可证得∠E=∠ACB．
（3）由（2）证得∠E=∠ACB，即tan∠E=tan∠DAC=，那么BC=AB；由于AD∥BC，易证得△EAD∽△EBC，可用
AB表示出AE、BC的长，根据相似三角形所得比例线段即可求出AB的长，进而可得到BC的值．
解答：（1）解：（提示：O即为AD中垂线与AC的交点或过D点作EC的垂线与AC的交点等）．
能见作图痕迹，作图基本准确即可，漏标O可不扣分（2分）
（2）证明：连接OD．∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠EAD=90°．
∴∠E+∠EDA=90°，即∠E=90°﹣∠EDA．
又圆O与EC相切于D点，∴OD⊥EC．
∴∠EDA+∠ODA=90°，即∠ODA=90°﹣∠EDA．
∴∠E=∠ODA；（3分）
（说明：任得出一个角相等都评1分）
又OD=OA，∴∠DAC=∠ODA，∴∠DAC=∠E．（4分）
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠E=∠ACB．（5分）
（3）解：Rt△DEA中，tan∠E=，又tan∠E=tan∠DAC=，
∵AD=1，∴EA=．（6分）
Rt△ABC中，tan∠ACB=，
又∠DAC=∠ACB，∴tan∠ACB=tan∠DAC．
∴=，∴可设AB=，BC=2x，
∵AD∥BC，∴Rt△EAD∽Rt△EBC．（7分）
∴x=1，
∴BC=2x=2．（8分）
点评：此题主要考查了切线的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判断和性质等重要知识，能够准确的判断出O点的位置，是解答此题的关键．
3．（2010?扬州）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：点D是BC的中点；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）如果⊙O的直径为9，cosB=，求DE的长．
考点：切线的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形。
专题：计算题；证明题；探究型。
分析：（1）连接AD，根据等腰三角形的性质易证；
（2）相切．连接OD，证明OD⊥DE即可．根据三角形中位线定理证明；
（3）由已知可求BD，即CD的长；又∠B=∠C，在△CDE中求DE的长．
解答：（1）证明：连接AD．
∵AB为直径，∴AD⊥BC．
∵AB=AC，
∴D是BC的中点；
（2）DE是⊙O的切线．
证明：连接OD．
∵BD=DC，OB=OA，
∴OD∥AC．
∵AC⊥DE，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
（3）解：∵AB=9，cosB=，
∴BD=3．
∴CD=3．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴在△CDE中，
CE=1，DE==．
点评：此题考查了切线的判定、解直角三角形等知识点，属基础题，难度不大．
4．（2010?烟台）如图以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC边于点E．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若∠ABC=30°，求tan∠BCO的值．
考点：切线的性质；解直角三角形。
专题：计算题；证明题。
分析：（1）连接OD，根据三角形的中位线定理可求出OD∥AC，根据切线的性质可证明DE⊥OD，进而得证．（2）过O作OF⊥BD，根据等腰三角形的性质及三角函数的定义用OB表示出OF、CF的长，根据三角函数的定义求解．
解答：（1）证明：连接OD．
∵O为AB中点，D为BC中点，
∴OD∥AC．
∵DE为⊙O的切线，
∴DE⊥OD．
∴DE⊥AC．
（2）解：过O作OF⊥BD，则BF=FD．
在Rt△BFO中，∠B=30°，
∴OF=OB，BF=OB．
∵BD=DC，BF=FD，
∴FC=3BF=OB．
在Rt△OFC中，
tan∠BCO====．
点评：本题比较复杂，综合考查了三角形中位线定理及切线的性质、三角函数的定义等知识点，有一定的综合性．
5．（2010?新疆）如图是一个量角器和一个含30°角的直角三角板放置在一起的示意图，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半圆O于点F，且BC=OE．
（1）求证：DE∥CF；
（2）当OE=2时，若以O，B，F为顶点的三角形与△ABC相似，求OB的长；
（3）若OE=2，移动三角板ABC且使AB边始终与半圆O相切，直角顶点B在直径DE的延长线上移动，求出点B移动的最大距离．
考点：切线的性质；平行线的判定；相似三角形的判定与性质。
专题：综合题；数形结合。
分析：（1）先作辅助线，连接OF，证明四边形OBCF是平行四边形，得出DE∥CF；
（2）利用相似比求OB的长，
（3）由题意得到点B所在的两个极值位置，求出点B移动的最大距离．
解答：（1）证明：连接OF，
∵AB切半圆O于点F，∴∠OFB=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠OFB=∠ABC，
∴OF∥BC，
∵BC=OE，OE=OF，
∴BC=OF，
∴四边形OBCF是平行四边形，
∴DE∥CF；
（2）解：若△OBF∽△ACB，
∴=，
∴OB=，
∵∠A=30°，∠ABC=90°，BC=OE=2，
∴AC=4，AB=2．
又∵OF=OE=2，
∴OB==；
若△BOF∽△ACB，
∴=，
∴OB=，
∴OB==4；
综上，OB=或4；
由图知：点B移动的最大距离是线段BE的长，
∵∠A=30°，∴∠ABO=30°，∴BO=4，∴BE=2，
∴点B移动的最大距离是线段BE的长为2．
点评：本题利用了平行四边形的判定和性质，切线的性质等知识解决问题．
6．（2010?新疆）圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD如图所示那样叠放在一起，连接AC、BD．
（1）求证：△AOC≌△BOD；
（2）若OA=3cm，OC=1cm，求阴影部分的面积．
考点：扇形面积的计算；全等三角形的判定。
专题：几何综合题。
分析：（1）利用SAS证明全等即可；
（2）根据扇形面面积公式求出阴影部分的面积．
解答：（1）证明：∵∠COD=∠AOB=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
又∵OA=OB，OC=OD，
∴△AOC≌△BOD；（3分）
（2）解：S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COD=π×32﹣π×12=2π（cm2）．
故答案为：2πcm2．
点评：此题考查两个知识点：全等三角形的判定和如何计算扇形的面积．
7．（2010?孝感）如图，⊙O是边长为6的等边△ABC的外接圆，点D在弧BC上运动（不与B，C重合），过点D 作DE∥BC，DE交AC的延长线于点E，连接AD，CD．
（2）当点D为的中点时：
①DE与⊙O的位置关系是相切；
②求△ADC的内切圆半径r．
考点：切线的判定；等边三角形的性质；三角形的内切圆与内心。
专题：动点型。
分析：（1）由于DE∥BC，那么∠E=∠ACB=60°；由圆周角定理易得∠ADC=∠B=60°，则∠ADC=∠E，即可证得△ADC∽△AED，根据相似三角形得到的比例线段即可求出AE的长；
（2）①当D为弧BC中点时，AD平分∠BAC，根据等边三角形三线合一的性质知AD垂直平分BC，因此AD必过圆心O，且AD⊥DE，由此可证得DE是⊙O的切线；
②作出内切圆，连接内心和三个切点，根据切线长定理将内切圆半径转化为直角三角形ADC三边之间的关系，然后求解．
解答：解：（1）如图，△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠B=60°，
又DE∥BC，
∴∠E=∠ACB；
又∠DAC=∠EAD，
∴△ADC∽△AED，
∴=，又AD=2，
∴AE===（或6）．
（2）①∵D是的中点，
∴AD平分∠BAC；
∵△ABC是等边三角形，
∴AD垂直平分BC，即AD是⊙O的直径；
∵DE∥BC，
∴AD⊥DE，
∴DE与⊙O相切；
②如图2，当D为的中点时，有=，
∴∠BAD=∠DAC=30°，又AB=AC
∴AD垂直平分BC．
AD为⊙O的直径，
∴∠ACD=90°
在Rt△ACD中，∠DAC=30°，AC=6，
作Rt△ADC的内切圆⊙O′，
分别切AD、AC、DC于F、G、H点，易知CG=CH=r，
∴AG=AF=6﹣r，DH=DF=2﹣r；
∵AF+DF=AD，
∴6﹣r+2﹣r=4．
﹣2r=﹣6+2，
∴r=3﹣．
点评：此题主要考查了等边三角形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、切线的判定以及直角三角形内切圆半径的求法等知识．
8．（2010?咸宁）如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．
（1）直线FC与⊙O有何位置关系？并说明理由；
（2）若OB=BG=2，求CD的长．
考点：切线的判定；解直角三角形。
分析：（1）相切．连接OC，证OC⊥FG即可．根据题意AF⊥FG，证∠FAC=∠ACO可得OC∥AF，从而OC⊥FG，得证；（2）根据垂径定理可求CE后求解．在Rt△OCG中，根据三角函数可得∠COG=60°．结合OC=2求CE，从而得解．解答：解：（1）直线FC与⊙O相切．（1分）
理由如下：连接OC．
∵OA=OC，∴∠1=∠2．（2分）
由翻折得，∠1=∠3，∠F=∠AEC=90°．
∴∠2=∠3，∴OC∥AF．
∴∠OCG=∠F=90°．
∴直线FC与⊙O相切．
（2）在Rt△OCG中，，
∴∠COG=60°．（6分）
∵直径AB垂直于弦CD，
∴．（9分）
点评：此题考查了切线的判定、垂径定理、解直角三角形等知识点，难度中等．
9．（2010?梧州）如图，⊙O的直径AC=13，弦BC=12．过点A作直线MN，使∠BAM=∠AOB．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）延长CB交MN于点D，求AD的长．
考点：切线的判定。
专题：计算题；证明题。
分析：（1）证MN⊥AC即可．由AC是直径得∠ABC=90°，从而有∠C+∠BAC=90°；因∠BAM=∠AOB=∠C，所以
∠BAM+∠BAC=90°，得证；
（2）根据勾股定理可求AB的长．由tanC==可求AD．
解答：（1）证明：∵AC是直径，
∴∠ABC=90°，∠C+∠BAC=90°．
∵∠BAM=∠AOB=∠C，
∴∠BAM+∠BAC=90°，即∠CAM=90°．
∴MN是⊙O的切线．
（2）解：∵∠ABC=90°，AC=13，BC=12，
∴AB=5．
∵tanC==，
∴，
∴AD=．
点评：此题考查了切线的判定、解直角三角形等知识点，难度中等．
10．（2010?芜湖）如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB，M是劣弧上一点，过点M点作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于N点．
（2）若BD=4，PA=AO，过点B作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长．
考点：切线的性质；垂径定理；相似三角形的判定与性质。
专题：几何综合题。
分析：（1）连接OM，MP是圆的切线，OM⊥PM，由角的等量关系可证∠DMP=∠MNP，由此得证．
（2）设BC交OM于E，已知直径BD的长，即可得到半径OA、OM的长，根据PA、OA的比例关系，可求出PA、PO的长，通过证△POM∽△OBE，根据相似三角形所得比例线段即可求出BE的长，从而根据垂径定理求出BC的值．解答：（1）证明：连接OM，
∵MP是圆的切线，∴OM⊥PM，
∴∠OMD+∠DMP=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠OND+∠ODM=90°，
∵∠MNP=∠OND，∠ODM=∠OMD，
∴∠DMP=∠MNP，
∴PM=PN．
（2）解：设BC交OM于E，
∵BD=4，OA=OB=BD=2，
∴PA=3，
∴PO=5；
∵BC∥MP，OM⊥MP，
∴OM⊥BC，∴BE=BC；
∵∠BOM+∠MOP=90°，
在直角三角形OMP中，
∠MPO+∠MOP=90°，
∴∠BOM=∠MPO；
∵∠BEO=∠OMP=90°，
∴△OMP∽△BEO，
∴，
∴BC=．
11．（2010?威海）如图，在?ABCD中，∠DAB=60°，AB=15cm．已知⊙O的半径等于3cm，AB，AD分别与⊙O相切于点E，F．⊙O在?ABCD内沿AB方向滚动，与BC边相切时运动停止．试求⊙O滚过的路程？
考点：切线的性质；平行四边形的性质；解直角三角形。
专题：动点型。
分析：⊙O滚过的路程即线段EN的长度．EN=AB﹣AE﹣BN，所以只需求AE、BN的长度即可．分别解所在的直角三角形．
解答：解：连接OE，OA．（1分）
∵AB，AD分别与⊙O相切于点E，F，
∴OE⊥AB，OE=3cm．（2分）
∵∠DAB=60°，
∴∠OAE=30°．（3分）
在Rt△AOE中，
AE=cm．（5分）
∵AD∥BC，∠DAB=60°，
∴∠ABC=120°．（6分）
设当运动停止时，⊙O与BC，AB分别相切于点M，N，连接ON，OB．（7分）
同理可得BN=cm．EN=AB﹣AE﹣BN=15﹣3﹣=15﹣
4cm．（9分）
∴⊙O滚过的路程为（15﹣4）cm．（10分）
点评：此题考查了切线的性质、平行四边形的性质及解直角三角形等知识点，难度中等．
12．（2010?铁岭）如图，已知矩形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O直径，将△BCD沿BD所在的直线翻折后，得到点C 的对应点N仍在⊙O上，BN交AD与点M．若∠AMB=60°，⊙O的半径是3cm．
（1）求点O到线段ND的距离；
（2）过点A作BN的平行线EF，判断直线EF与⊙O的位置关系并说明理由．
考点：切线的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）。
分析：（1）过点O作OG⊥ND于点G，OG∥BN，由矩形ABCD，可知∠N=∠C=90°=∠OGD，再解直角三角形OGD，求出OG．
（2）先判断是相切然后再证明，连接OA交BN与H，由翻折得∠DBC=∠DBN，求出∠GOD，再证明△ABO是正三角形，最后证明OA⊥EF．
解答：解：（1）过点O作OG⊥ND于点G
∴∠OGD=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，
由翻折得
∠N=∠C=90°=∠OGD，
∴OG∥BN，
∵∠AMB=60°，
∴∠BMD=120°，
易证：△ABM≌△NDM，
∴MB=MD，
∴∠NBD=30°，
∴∠GOD=30°，
在Rt△OGD中，cos30°=，OD=3，
∴OG=（cm）
（2）相切．
证明：连接OA交BN与H，
∵∠DBN=30°，
由翻折得∠DBC=∠DBN=30°．
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO=60°，
∵OA=OB，
∴△ABO是等边三角形．
∴∠AOB=60°，
∴∠BHO=90°，
又∵EF∥BN，
∴∠FAH=90°，
∴OA⊥EF．
∴EF与⊙O相切．
点评：本题考查到切线的判定、折叠问题和矩形的性质，正确的添加辅助线是关键，只有作好辅助线才能使解题更加轻便．