初等几何研究试题答案
一、线段与角的相等 P491
1. ⊙O 1、⊙O 2相交于A 、B,⊙O 1的弦BC 交⊙O 2于E,⊙O2的弦BD 交⊙O 1于F, 求证: （1）若∠DBA=∠CBA,则DF=CE; (2) 若DF=CE,则∠DBA=∠CBA. 证明:(1)连接AC 、AE 、AF 、AD
在⊙O 1中,由∠CBA=∠DBA 得AC=AF 在⊙O 2中,由∠CBA=∠DBA 得AE=AD 由A 、C 、B 、E 四点共圆得∠1=∠2 由A 、D 、B 、E 四点共圆得∠3=∠4 所以△ACE ≌△AF ∴DF=CE
(2)由（1）得∠1=∠2,∠3=∠4 ∵DF=CE ∴△ACE ≌△AFD ∴AD=AE
在⊙O 2中,由AD=AE 可得∠DBA=∠CBA
2.在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90O ,D 是AC 上的一点,AE ⊥BD 的延长线于E,又AE=1
2
BD,求证:BD 平分∠ABC. 证明:延长AE,BC 交于点F
AED BCA 90 ADE BDC CBD CAF
ACF BCA 90 AC BC ACF BCD AF BD 11
AE BD AE AF
22
ABEE BE BE ABF BD ABC
∠=∠=?∠=∠∴∠=∠∠=∠=?=∴???∴==∴=⊥∴∠∠ 又又又平分即平分
3.已知在凸五边形ABCDE 中,∠BAE=3α,BC=CD=DE,且∠BCD=∠CDE=180o－2α, 求证:∠BAC=∠CAD=∠DAE.
证明:连接BD,得ΔCBD 是等腰三角形
且底角是∠CDB=[180o－(180o－2α)]÷2=α.
∴∠BDE=(180°－2α)-α=180o－3α ∴A 、B 、D 、E 共圆
同理A 、C 、D 、E 共圆 ∴∠BAC=∠CAD=∠DAE
4.设H 为锐角△ABC 的垂心,若AH 等于外接圆的半径.求证:∠BAC=60o 证明:过点B 作BD ⊥BC,交圆周于点D,连结CD 、AD ∵∠DBC=90o, ∴CD 是直径,则∠CAD=90o 由题,可得AH ⊥BC, BH ⊥AC ∴BD ∥AH, AD ∥BH ∴四边形ADBH 是□ ∴AH=BD 又∵AH 等于外接圆的半径(R) ∴BD=R,而CD=2R ∴在Rt △BCD 中,CD=2BD,即∠BCD=30o ∴∠BDC=60o 又∵∠BAC=∠BDC ∴∠BAC=∠BDC=60o
5. 在△ABC 中,∠C=90o ,BE 是∠B 的平分线,CD 是斜边上的高,过BE 、CD 之交
点0且平行于AB 的直线分别交AC 、BC 于F 、G,求证AF=CE. 证明:如图∵∠1＝∠3,∠1=∠2. ∴∠2=∠3, ∴GB = GO, ∵ ∠5=∠4=∠6,∴CO =CE, ∵ FG ∥AB, ∴AF ／CF=BG ／CG=GO ／CG, 又∵△FCO ∽△COG,
∴CO ／CF=GO ／CG=AF ／CF, ∴CO=AF, ∵CO=CE, ∴AF=CE.
6. 在△ABC 中,先作角A 、B 的平分线,再从点C 作上二角的平分线值平行
线,并连结它们的交点D 、E,若DE ∥BA,求证:△ABC 等腰.
证明:如图所示 设AC 、ED 的交点为F ∵AD 是∠A 的平分线
∴∠1=∠2 ∵DE ∥AB ∴∠1=∠3 ∵CE ∥AD ∴∠3=∠5, ∠4=∠2 ∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5
则△FAD 和△FCE 是等腰三角形 ∴AF=DF,EF=CF ∴AC=DE 同理可证 BC=DE ∴AC=BC ∴△ABC 是等腰三角形
7. 三条中线把△ABC 分成6个三角形,若这六个三角形的内切圆中有4个相等. 求证:△ABC 是正三角形．
证明:∵△AOF 、△AOE 、△COD 、△COE 、△BOF 、△BOD 面积都相等
∴S △OFB =S △OEC 即:
21BF ×r+2
1
FO ×r+21BO ×r=21CE ×r+21OE ×r+21OC ×r 21 (BF+FO+BO)×r=2
1 (CE+OE+OC)×r ∴r r
O
F E A
H
I
G L
K J
BF+FO+BO=CCE+OE+OC
∴CE+OE+OC-OG-OI=CE+OE+OC-OL-OJ ∴2DH+2BH=2FK+2CK ∴2BF=2CE 又F 、E 分别为AB 、AC 之中点 ∴AB=AC 同理:AB=BC 故△ABC 是正三角形.
8. 平行四边形被对角线分成四个三角形中,若有三个的内切圆相等
证明:该四边形为菱形.
证明:又∵△AO B 、△BOC 、△COD 、△DOA 四个三角形的面积相等
()()1122OD DC OC r OB BC OC r ∴
++?=++?
CD OC OD BC OB OC
∴++=++OD OC DC OE OG OB OC BC OI OG
++--=++--
2222DF CF BH CH ?+=+
22DC BC
DC BC
?=?= ∴四边形为菱形
9. 凸四边形被对角线分成4个三角形,皆有相等的内切圆,求证:该四边形是菱形 . 证明:连结O 1 、O 2,分别作O 1 、O 2到AC 的垂线,垂足分别为P 、M
∵在△ABC 中,BO 是☉O 1 、☉O 2的公切线 ∴BO ⊥O 1 O 2
又∵☉O 1 、☉O 2半径相同,且都与AC 相切 ∴O 1 O 2‖AC ∴BO ⊥AC BD ⊥AC ∵两个相等的内切圆☉O 1 、☉O 3在对顶三角形
△AOB 与△COD 中 ∴周长C △AOB =C △COD ∴AO+BO+AB=CO+DO+CD 又∵OP=OQ=OM=ON ∴（AO+BO+AB)-(OP+OQ)=(CO+DO+CD)-(OM+ON) ∴2AB=2CD ∴AB=CD 同理AD=BC
∴四边形ABCD 是平行四边形又∵AC ⊥BD ∴四边形ABCD 是菱形
10. 在锐角△ABC 中,BD,CE 是两高,并自B 作BF ⊥DE 于F,自
C 作CG ⊥DE 于G ,证明:EF=DG .
证明:设O,M 分别是BC,FG 的中点, 所以OM ∥BF,
因为BF ⊥FG , 所以OM ⊥FG ,
A
B
D
C
E
F
I
H
G
O A
B
D
C
P N
O 1
O 2
O O 3
O 4 M Q M
G
F
E
D
A
又因为∠BEC=∠BDC=
90所以BCDE四点在以BC为直径的圆上, 因为OM⊥DE, 所以OM平分ED, 所以FM-EM=MG-MD 即EF=DG.
11. △ABC中,M是BC的中点,I是内心,BC与内切圆相切与K.
求证:直线IM平分线段AK.
证明:作出∠A的旁切圆O,设它与BC边和AB,BC的延长线分别切于D,E,F,
连接AD交内接圆于L,则因内接圆和旁切圆以A为中点成位似,则:
IL⊥BC,即K,I,L共线于是原题借中位线可如下转化MI平分AK, ∴M平分DK ∴BD=KC 后者利用圆I与圆O两条外公切线相等∴EG=FH ∴BD+BK=CD+CK 则反推过去,得到IM平分线段AK.
12．在△ABC中,M是BC的中点,I是内心,A H⊥BC于H,AH交MI于E,求证:AE 与内切圆半径相等.
证明:如图所示作△ABC的内切圆,
∴切点分别交于BC于点K、AB于点F、AC于点G,连接KL与AC
∴KL是直径, 又∵M为BC的中点,I为内心,则A L∥ＭＩ
又∵A H⊥BC ∴A H∥LK 又∵点E点I分别都在AH、LK上∴A E∥LI ∴四边形AEIL为平行四边形∴A E＝LI 命题得证.
13. 在矩形ABCD中,M是AD的中点,N是BC的中点,在CD的延长线取P 点,记Q为PM与AC的交点,求证:∠QNM＝∠MNP
证明:利用矩形的中心设O是矩形ABCD的中心,则O也是MN的中点, 延长QN交OC的延长线于R,如图,则O 又是PR的
中点,故NC平分∠PNR.,而NM⊥NG. ∴NM平分∠PNQ
14. 给定以O为顶点的角,以及与此角两边相切于A、B的圆
周,过A作OB的平行线交圆于C,连结OC交圆于E,直线AE
交OB于K,求证:OK=KB.
证明:如图所示,过C作圆的切线交OB延长线于D.
∵OD,OA,CD都是圆的切线,且A C∥CD
∴四边形ACDO是等腰梯形,∠DOA=∠D
∵∠BOC=∠ACO,∠ACO=∠OAK
I
O
M
L
K
H
G
F
E
D
C
B
A
E
L
K
M H
G
F
I
B C
A
∴∠BOC=∠OAK ∵∠DOA=∠D ∴△AOK ～△ODC ∵21=OD CD ∴2
1
=AO KO
∵OA=OB ∴OB=OA=2KO,即OK=KB
15. 在等腰直角?ABC 的两直角边CA,CB 上取点D 、E 使CD=CE,从C 、
D 引A
E 得垂线,并延长它们分别交AB 于K 、L,求证:KL=KB. 证明:延长AC 至E'使CE'=CE,再连BE'交AE 的延长线于H. ∵?ABC 是等腰直角三角形 ∴AC=BC ,∠ACB=∠BCE'=90° 又∵CE=CE' ∴?BCE'≌?ACE ∴∠CAE=∠CBE'
∵∠AEC=∠BEH ∴?BHE ∽?ACE ∴∠BHE=∠ACB=90° ∵DL ∥CK ∥E'B 及DC=CE' ∴KL=LB.
16. 点M 在四边形ABCD 内,使得ABMD 为平行四边形,试证:若∠CBM= ∠CDM,则∠ACD=∠BCM.
证明:作AN ∥BC 且AN=BC,连接DN 、NC
∵ABMD 为平行四边形,AN ∥BC 且AN=BC
∴ABCN 、DMCN 为平行四边形,AD=BM ∴DN=CM 、AN=BC ∴△ADN ≌△BMC ∴∠1=∠3,∠2=∠4,∠6=∠7
∵∠1=∠2 ∴∠3=∠4 ∴A 、C 、N 、D 共圆（视角相等） ∴∠5=∠7（同弧AD ） ∴∠5=∠6即∠ACD=∠BCM
17. 已知∠ABC=∠ACD=60°,且∠ADB=90°-2
1
∠BDC,求证:△ABC 是等腰的
证明:延长CD 使得BD ＝DE,并连结AE ∵∠ADB ＝90°－
2
1
∠BDC ∴2∠ADB ＋∠BDC ＝180° 又∠BDC ＋∠ADB ＋∠ADE ＝180° ∴∠ADB ＝∠ADE 又∵BD ＝DE,AD ＝AD ∴△ADB ≌△ADE ∴∠ABD ＝∠AED ＝60°,AB ＝AE 又∵∠ACD ＝60°
∴△ACE 为正三角形 ∴AC ＝AE ∴AB ＝AC ∴△ABC 为等腰三角形
18.⊙O
1、⊙O
2
半径皆为r,⊙O
1
平行四边形`过的二顶A、B,⊙O
2
过顶点B、C,M
是⊙O
1、⊙O
2
的另一交点,求证△AMD 的外接圆半径也是r.
证明:设O为MB的终点连接CO并延长⊙O
1
于E 则由对称知O为CE的中点∵O平分MB O平分CE
∴MEBC是平行四边形∴ME∥BC∥AD
∴MEAD亦是平行四边形∴△MAE≌△AMD
∴△AMD的外接圆半径也为r
19. 在凸五边形ABCDE中,有∠ABC=∠ADE,∠AEC=∠ADB,
求证:∠BAC=∠DAE.
证明:连接BD,CE,设它们相交于F,如图,
∵∠AEC=∠ADB. ∴A,E,D,F四点共圆.
∴∠DAE=∠DFE. 又∠ABC=∠ADE=∠AFE.
∴A,B,C,F四点共圆∴∠BAC=∠BFC.
又∠DFE=∠BFC. ∴∠BAC=∠DAE.
20.在锐角△ABC中,过各顶点作其外接圆的切线,A、C
处的两切线分别交B处的切线于M、N,设BD是△ABC的高（D
为垂足）,求证:BD平分∠MDN.
证明:如上图,m、n分别表示过M、N的切线长,再自M作MM’⊥
AC于M’, 作NN’⊥AC于N’,则有∵∠N＝∠B＝∠NCN’
∴△MAM’∽△NCN’∴AM’/’CN’=AM/CN=m/n
又∵MM’∥BD∥NN’∴M’D/DN’=MB/BN=m/n
由等比性质知m/n=(M’D－AM’)/(DN’-CN’)=AD/DC
∴△ADM∽△CDN ∴DM/DN=m/n即DM/m=DN/n
∴BD平分∠MDN
21.已知:AD、BE、CF是△ABC的三条高.求证:DA、EB、FC是△DEF的三条角平分线.
证明:连结DF、FE、DE ∵C F⊥AB AD⊥BC ∴B、D、H、F共圆
∴∠1＝∠3 ∵AD⊥BC BE⊥AC ∴B、D、E、A共圆
∴∠2=∠3 ∴∠2=∠1 ∴AD平分∠EDF 同理,CF平分∠
2 1
O
E
M
D
B O O
C
A
D
C
B E
A
F
EFD BE 平分∠FED
即证:DA 、EB 、FC 是△DEF 的三条角平分线
22.已知AD 是△ABC 的高,P 是AD 上任意一点,连结BP-CP,延长交AC 、AB 于E 、F,证DA 平分∠EDF. 证明:过E 、F 两点分别作EH 、FG ,使EH ⊥BC,FG ⊥BC,且交CF 、BE 于I 、J
∵EH ⊥BC,AD ⊥BC,FG ⊥BC ∴EH ∥AD ∥FG ∴
EI EH =AP AD =FJ FG ∴FJ EI FG EH = 又∵GD
HD
PJ EP = ∴△EIP ∽△JFP ∴
PJ
EP
FJ EI =
∴△EHD ∽FGD
∴∠DFJ =∠DEI ∴∠FDB=∠EDC 即∠ADF=∠AD 即DA 平分∠EDF
23.圆内三条弦PP 1、QQ 1、RR 1、两两相交,PP 1与QQ 1交于B,QQ 1与RR 1交于C,RR 1与PP 1交于A,已知:AP=BQ=CR,AR 1=BP 1=CQ 1,求证:ABC 是正三角形.
解:设AP=BQ=CR=m,AR 1=BP 1=CQ 1, 则由相交弦定理得｛m(c+n)=n(b+m) m(a+n)=n(c+m) m(b+n)=n(a+m) 即ma=nc mb=na mc=n 三式相加得m=n 所以a=b=c 即△ABC 是正三角形
24.H 为?ABC 的垂心,D 、E 、F 分别为BC 、CA 、 AB 的中点,一个以H 为心的圆交DE 于P 、Q, 交EF 于R 、S,交FD 于T 、V . 求证:CP=CQ=AR=AS=BT=BU 证明:连结AS 、AR 、RH
由相交弦定理知:AH ·HA`=BH ·HB`=CH ·HC`
AS 2=AR 2=AK 2+KR 2
设O H 的半径为r, 在?KR 中,KR 2=r 2-HK 2
∴AS 2=r 2+（AK+KH ）·（AK-HK ）
=r 2+AH ·(AK-HK) 在?ABC 中,F 、E 为AB 、AC 的中点,且AA ⊥`BC
∴AK=KA` ∴AS 2=AR 2=r 2+AH ·HA` 同
B
C H
D
E
F
R S T Q
K C
`
A `
B `
理:BT 2
=BU 2
=r 2
+BH ·HB` CP 2
=CQ 2
=r 2
+CH ·HC`
25、在锐角三角形ABC 中,AD 、BE 、CF 是各边上的高,P 、Q 分别在线段DF 、EF 上,且∠PAQ 与∠DAC 同向相等.求证:AP 平分∠FPQ
证明:作出△APQ 的外接圆,延长PF 交圆于R,分别连结 RA 、RQ 由图可知,AQPR 内接于圆 ∴∠PRQ=∠PAQ=∠DAC=
2
1
∠DFE 由外角定理得,∠PRQ+∠FQR=∠DFE ∴FC ∥RQ ∴AF ⊥RQ FR=FQ ∴AF 垂直平分RQ
∴∠ARQ=∠AQR 又AQPR 内接于圆 ∴∠APQ=∠
ARQ
∠APR=∠AQR ∴∠APQ=∠APR ∴AP 平分∠FPQ
00090)2()1(,45,30,15.26=∠==∠=∠=∠=∠=∠=∠??BAC AB
AC CQP BRP CPQ BPR ARQ AQR PQR C B A PQR 求证：之外，且在、、是任意三角形，
R
F
D E
A
B
C
P
Q
27．已知:凹四边形ABCD 中,?=∠=∠=∠45D B A .求证:AC=BD. 证明: 如图,延长DC 交AB 于点E,延长BC 交AD 于点F.
∵?=∠=∠45D A ,DE AE =∴且?=∠90AED 又?=∠45B ?=∠∴45ECB
DB
AC DEB S AEC S EB
EC =∴???∴=∴
错位相减法求和专项．}{a分别是等差数列和等比数列，在应用过{ab}型数列，其中错位相减法求和适用于nn`nn 程中要注意： 项的对应需正确； 相减后应用等比数列求和部分的项数为（n-1）项； 若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为1 数列的前项已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数，1. 均在函数，点的图象上．和为 ）求数列Ⅰ（的通项公式； 是数列的前项和，求．（Ⅱ）设， [解析]考察专题：，，，；难度：一般 [答案] （Ⅰ）由于二次函数的图象经过坐标原点，
，，则设 ∴，∴， 又点均在函数的图象上， ∴． 时，，当∴ 又，适合上式，∴．．．．．．．．．．．．（7分） ，）知，Ⅰ）由（Ⅱ （． ∴， ∴， 上面两式相减得：
． 整理得．．．．．．．．．．．．．．（14分） 是数列的前n2.项和，且已知数列的各项均为正数， ． ）求数列的通项公式；1 （ ）的值.（2][答案查看解析 时，解出an = 1 = 3,] [解析（1）当12－①34S又= a + 2a nnn = + 2a－4s3 ②当时n-1n1－ 即，, －①② , ∴． （），
是以3为首项，2为公差的等差数列，6分 ． ）2③ （ 又④ ③④－ = 12分 设函数，19,12分）（2013年四川成都市高新区高三4月月考，3. ，数列前数列.项和，满足， ）求数列的通项公式；（Ⅰ
，证明：的前，数列.项和为（Ⅱ）设数列的前项和为 ，得由Ⅰ[答案] () 为公比的等比数列，故.是以 ）由（Ⅱ得， …， …+，记
用错位相减法可求得： （注：此题用到了不等式：进行放大. . ） 与的等比中项．4.已知等差数列是中，； ）求数列的通项公式：（Ⅰ 项和Ⅱ）若的前．求数列 （ 的等比中项．所以，是（[解析]Ⅰ）因为数列与是等差数列，
第1章习题及答案
一、单选题 1、有价证券是（B）的一种形式。 A、真实资本 B、虚拟资本 C、货币资本 D、商品资本 2、按募集方式分类，有价证券可以分为（A）。 A、公募证券和私募证券 B、政府证券、政府机构证券、公司证券 C、上市证券与非上市证券 D、股票、债券和其他证券 3、下列不属于证券市场显著特征的选项是（C）。 A、证券市场是价值直接交换的场所 B、证券市场是财产权利直接交换的场所 C、证券市场是价值实现增值的场所 D、证券市场是风险直接交换的场所 4、在公司证券中，通常将银行及非银行金融机构发行的证券称为（D）。 A、股票 B、公司债券 C、商业票据 D、金融证券 5、按（B）分类，有价证券可分为上
市证券与非上市证券。 A、募集方式 B、是否在证券交易所挂牌交易 C、证券所代表的权利性质 D、证券发行主体的不同 6、我国现行法规规定，银行业金融机构可用自有资金及银监会规定的可用于投资的表内资金买卖（A）。 A、政府债券和金融债券 B、政府债券和政府机构债券 C、政府机构债券和金融债券 D、证券衍生产品 7、对社会公益基金认识不正确的是（B）。 A、将收益用于指定的社会公益事业的基金 B、福利基金、科技发展基金、企业年金等都属于社会公益基金 C、我国的各种社会公益基金可用于证券投资，以求保值增值 D、社会公益基金属于基金性质的机构投资者 8、下面关于我国社保基金的叙述，不正确
的是（B）。 A、其资金来源包括两部分：一部分是社会保障基金，另一部分是社会保险基金 B、全国社会保障基金理事会直接运作的社保基金的投资范围限于银行存款、在二级市场购买国债和政府机构债券 C、其投资范围包括银行存款、国债、证券投资基金、股票、信用等级在投资级以上的企业债、金融债等有价证券 D、社会保障基金委托单个社保基金投资管理人进行管理的资产，不得超过年度社保基金委托资产总值的20% 9、目前，（C）已经超过共同基金成为全球最大的机构投资者，除大量投资于各类政府债券、高等级公司债券外，还广泛涉足基金和股票投资。 A、中央银行 B、商业银行 C、保险公司 D、证券经营机构 10、证券服务机构是指依法设立的从事证券服务业务的法人机构，不包括（D）。 A、证券投资咨询机构和财务顾问机构 B、资信评级机构和资产评估机构
第一章 1.(Q1) What is the difference between a host and an end system List the types of end systems. Is a Web server an end system Answer: There is no difference. Throughout this text, the words “host” and “end system” are used interchangeably. End systems inc lude PCs, workstations, Web servers, mail servers, Internet-connected PDAs, WebTVs, etc. 2.(Q2) The word protocol is often used to describe diplomatic relations. Give an example of a diplomatic protocol. Answer: Suppose Alice, an ambassador of country A wants to invite Bob, an ambassador of country B, over for dinner. Alice doesn’t simply just call Bob on the phone and say, come to our dinner table now”. Instead, she calls Bob and suggests a date and time. Bob may respond by saying he’s not available that particular date, but he is available another date. Alice and Bob continue to send “messages” back and forth until they agree on a date and time. Bob then shows up at the embassy on the agreed date, hopefully not more than 15 minutes before or after the agreed time. Diplomatic protocols also allow for either Alice or Bob to politely cancel the engagement if they have reasonable excuses. 3.(Q3) What is a client program What is a server program Does a server program request and receive services from a client program Answer: A networking program usually has two programs, each running on a different host, communicating with each other. The program that initiates the communication is the client. Typically, the client program requests and receives services from the server program.
— 1. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244S S =,122+=n n a a (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式 (Ⅱ)设数列{}n b 满足 *12 12 1 1,2 n n n b b b n N a a a +++ =-∈ ，求{}n b 的前n 项和n T 2. （2012年天津市文13分） 已知{n a }是等差数列，其前n 项和为n S ，{n b }是等比数列,且1a =1=2b ，44+=27a b ，44=10S b -. (Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式； (Ⅱ)记1122=++ +n n n T a b a b a b ，+n N ∈，证明1+18=n n n T a b --+(2)n N n >∈，。 … 【答案】解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 由1a =1=2b ，得3 44423286a d b q s d =+==+，，。
由条件44+=27a b ，44=10S b -得方程组 3 3 23227 86210 d q d q ?++=??+-=??，解得 3 2d q =??=?。 ∴+ 312n n n a n b n N =-=∈，，。 (Ⅱ)证明：由（1）得，()23225282132n n T n =?+?+?+-?+ ①； ∴()234+12225282132n n T n =?+?+?+?+- ②； 由②－①得， ： ()()234+1122232323+2332n n n T n =-?-?+?+?-+??+ ()()()()()()+12341+1+1+1+11=4+323222+2412111=4+323=4+32+1232142 =8+3=+8 n n n n n n n n n n n n a b ----?+++??---? --?----- ∴1+18=n n n T a b --+ (2)n N n >∈，。 3.（2012年天津市理13分）已知{n a }是等差数列，其前n 项和为n S ，{n b }是等比数列,且1a =1=2b ，44+=27a b ，44=10S b -. (Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式； (Ⅱ)记1121=++ +n n n n T a b a b a b -，+n N ∈，证明:+12=2+10n n n T a b -+()n N ∈. 【答案】解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 由1a =1=2b ，得3 44423286a d b q s d =+==+，，。 & 由条件44+=27a b ，44=10S b -得方程组 3 3 23227 86210 d q d q ?++=??+-=??，解得 3 2d q =??=?。 ∴+ 312n n n a n b n N =-=∈，，。 (Ⅱ)证明：由（1）得，231212222n n n n n T a a a a --=+++?+ ①；[
初等几何研究试题答案（II ） 二、关于和、差、倍、分线段（角） 1、 等腰ABC 中，0100,A B ∠=∠的平分线交AC 于D ，证明： BD+AD=BC 。 D ' B C A 43 2 1 证：在BC 上取点D , ,使BD , =BD,连结DD , 0100A ∠=且 BD 平分∠ABC 00120,40C ∴∠=∠= 又BD=BD ,,0380∴∠=,23C ∠+∠=∠ 0240∴∠= 即2C ∠=∠ ,,CD DD ∴= 又03180A ∠+∠= ∴点A 、D 、D ， 、B 四点共圆且14∠=∠ ∴DD , =AD
BC=BD , +CD , =BD+AD 已知，ABCD 是矩形，BC=3AB,P 、Q 位于BC 上，且BP=PQ=QC, 求证：∠DBC +∠DPC=∠DQC 解：作矩形BCEF 与矩形ABCD 相等，在EF 上选取点O 使得 FO=2EO.连结BO 、DO 。 由图可知，由BO=DO ，且有△BF O ≌△OED, ∵∠FBO+∠BOF=90o ∠BOF=∠DOE ∴∠BOF+∠DOE=90o ∴∠BOD=90o △BOD 为等腰直角三角形 有∠DBO=45o ∴∠DBP+∠QBO=45o ∵∠DPC=∠QBO ∴∠DBP+∠DPC=45o ∵△DQC 为等腰直角三角形 ∴有∠DQC=45o 因此，有∠DBP+∠DPC=∠DQC P Q A B C F E O P D
3、圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于X ，由X 向AB 、BC 、CD 和DA 作垂线,垂足分别为A ′、B ′、C ′和D ′. 求证：A ′B ′+C ′D ′=B ′C ′+D ′A ′ 证明：（方法一） ∵X 、A ′、A 、D ′四点共圆(对角和180°) ∴∠XA ′D ′=∠XAD ′ 又∵∠XAD ′=∠XBC(圆周角） 同理∠XA ′B ′=∠XBC,即∠XA ′D ′=∠XA ′B ′ 同理可得∠XB ′A ′=∠XB ′C ′,∠XC ′B ′=∠XC ′D ′, ∠XD ′C ′=∠XD ′A ′ ∴X 是四边形A ′B ′C ′D ′的内心。 ∴A ′B ′+C ′D ′=B ′C ′+A ′D ′ (方法二)利用正弦定理. 设r 是四边形ABCD 的外接圆 C A B A ′ C ′ D B ′ D ′ X
五、补充练习题 （一）单项选择题 3.在公司制企业中，企业的权力机构是（）。 A 监事会 B 股东会 C 董事会 D 管理层 5.我国规定上市公司的年度报告需在次年的前四个月内披露，体现了会计信息的（）质量特征要求。 A 重要性 B 相关性 C 及时性 D 可理解性 6.规范企业对外提供会计信息行为的主要标准是（）。 A 会计确认 B 会计计量 C 会计准则 D 会计报告 7.在美国，企业会计准则的正确称谓是（）。 A 一般公认会计原则 B 国际会计准则 C 国际财务报告准则 D 财务会计准则 8.1494年，卢卡·帕乔利所著的（）一书问世，为复式簿记作为一种科学记账方法的完善及其在整个欧洲及世界范围内的普及与应用奠定了基础。 A 计算与记录详论 B 复式簿记 C 会计思想史 D 算术、几何、比及比例概要 9.下列关于会计信息使用者的说法错误的有（）。 A 企业的利益相关者都是企业会计信息的使用者 B 会计信息使用者包括现实的和潜在的使用者 C 会计信息使用者除关于其自身特殊需求的信息外也关注共同性的会计信息 D 投资者等根据企业提供的会计信息即可作出正确的经济决策 10.下列关于企业会计行为的说法错误的有（）。 A 企业会计行为属于企业的管理行为，因而具有管理特性 B 企业财务会计行为包括控制经济资源的配置和提供会计信息 C 企业财务会计行为的后果影响“社会公共利益”，因而必须接受政府的会计管制 D 企业对外提供会计信息的行为主要包括会计确认、计量、记录和报告 （二）多项选择题 1.企业向投资者、债权人等外部信息使用者提供的会计信息具有以下特征（）。 A 会计信息是以货币进行计量的信息 B 会计信息主要是以货币进行计量的信息 C 会计信息可以连续、综合地揭示企业经济活动情况 D 会计信息可以连续、综合地揭示企业经济活动的全部情况 5.就会计信息提供而言，企业的会计信息处理主要包括（）。 A 以财务报告的方式向信息使用者提供其所需要的会计信息 B 确定或认定企业所发生的经济交易与事项是否进入会计系统进行处理 C 计算和衡量企业经济资源的价值变动结果 D 以会计特有的方式记载各种会计信息及其生成过程 （三）判断题 2.企业提供的会计信息首先用来满足企业内部经营管理者的需要。（） 4.债权人特别关注企业的偿债能力，同时也关注企业的获利能力。（） 5.会计信息质量特征（质量要求）是用来衡量会计信息质量的基本标准。（）
错位相减法求和专项 错位相减法求和适用于{a n'b n}型数列，其中{a n},{b n}分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意： 项的对应需正确； 相减后应用等比数列求和部分的项数为(n-1)项； 若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为1 1.已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数/■］■:I “亠］,数列?的前 项和为，点均在函数：=y：/.：：的图象上? (I)求数列的通项公式; (n)设，,■是数列的前」项和，求?’? ［解析］考察专题：2.1 , 2.2 , 3.1 , 6.1 ;难度：一般 ［答案］(I)由于二次函数-的图象经过坐标原点， 则设, 又点「均在函数的图象上， 二当心时,?、、= J ；：? ；?■■■ L］ 5 T
又忙：=.：「=乜，适合上式,
I ............................................... （7 分） （n）由（i）知 - 2 - :' 2 - ：......................................... |；■：■: 2 ? ? ：' - 'I+（2?+ l）^"kl,上面两式相减得 =3 21 +2 （21 +23十…4『r）-（2打+ 】 卜2* 4屮一才丨, , : ■ . 1=2 整理得：，?................. 2.已知数列’的各项均为正数，是数列’ （14 分）的前n项和，且 （1）求数列’的通项公式； （2）二知二一- ［答案］查看解析 解出a i = 3, ［解 析］ 又4S n = a n? + 2a n —3 ①
初等几何研究试题答案（I） 、线段与角的相等 1. O O、O Q相交于A B, O O的弦BC交O Q于E, O 02的弦BD交O 0于F, 求证：(1)若2 DBA2 CBA贝卩 若DF二CE则 / DBA M CBA. 证明:⑴连接AC AE AF、AD 在O 0 中，由/ CBA W DBA得AC=AF 在O O 中，由/ CBA W DBA得AE=AD 由A C、B、E四点共圆得/仁/2 由A D B、E四点共圆得/ 3二/4 所以△ ACE^A AFD ??? DF=CE (2) 由(1)得/ 仁/ 2, / 3=2 4 v DF=CE ? △ACE^A AFD
??? AD=AE 在O Q 中，由AD=AE^得/ DBA M CBA 2. 在厶ABC中,AC=BC,Z ACB=90,D是AC上的一点,AE丄BD的延长线于E,又AE=1BD, 2 求证:BD平分/ ABC. 证明：延长AE,BC交于点F 7 AED "BCA =90 ADE "BDC ?CBD =/CAF 又7 ACF BCA = 90 AC 二BC ?ACF 三BCD . AF = BD 1 1 又、:AE BD . AE AF 2 2 又ABEE _ BE ■ BE平分ABF 即BD平分.ABC 3. 已知在凸五边形ABCDE中, / BAE=3 ,BC=CD=DE M/ BCD玄CDE=180-
求证：/ BAC 2 CAD h DAE. 证明：过点B 作BDL BC,交圆周于点D,连结CD ?D ???/ DBC=90, ? CD 是直径，则/ CAD=90 证明：连接BD,得△ CBD 是等腰三角形 且底角是/ CDB=[18(0-(180o — 2 - )] -2=. :丄 BDE=(180° — 2G )-O (=180O — 3? ??? A B 、D E 共圆 同理A C D E 共圆 ? h BAC h CAD h DAE 4. 设H 为锐角△ ABC 的垂心，若AH 等于外接圆的半 径
第一章货币与货币制度 1．钱、货币、通货、现金是一回事吗？银行卡是货币吗？ 答：（1）钱、货币、通货、现金不是一回事，虽然其内容有所重叠，但这几个概念之间是有区别的。 钱是人们对货币的俗称。经济学中被称为货币的东西，就是在日常人们生活中被称为钱的东西。 货币是由国家法律规定的，在商品劳务交易中或债务清偿中被社会普遍接受的东西。 通货即流通中的货币，指流通于银行体系外的货币。 现金就是指家庭个人、工商企业、政府部门所拥有的现钞，包括纸币现钞、硬币现钞。现金是货币的一部分，这部分货币的流动性强，使用频率高，对人们日常消费影响大。 （2）银行卡亦称“塑料货币”，包括信用卡、支票卡、记账卡、自动出纳机卡、灵光卡等。各种银行卡是用塑料制作的，可用于存取款和转账支付。现在，特别在西方发达国家，各种银行卡正逐步取代现钞和支票，成为经济生活中广泛运用的支付工具。因此，在现代社会银行卡也属于货币。 2．社会经济生活中为什么离不开货币?为什么自
古至今，人们又往往把金钱看作是万恶之源? 答：（1）社会经济生活离不开货币，货币的产生和发展都有其客观必然性。 市场经济实际上是一种货币经济：货币方便了市场交换，提高了市场效率；货币保证了社会需求的实现，促进了市场对资源的有效配置。 从交易成本上看，节约是经济生活中最基本的规律。经济行为的演化与交易成本有紧密的联系：演化的方向总是从交易成本较高的趋向交易成本较低的。通过货币的交易取代物物交易也同样是如此。 （2）货币原本同斧头、猪、牛一样是商品，但由于固定充当与其他商品相交换的一般等价物，因此成为了社会财富的一般性代表。货币并非财富本身，但有人将其夸大为“唯一的”财富，为了获得它而不择手段，甚至谋财害命，因而货币被看作是万恶之源。其实货币本身是中性的，它只是交换其他商品的媒介，由于人们对其态度不同，而被赋予了感情色彩。 3．货币种种形态的演进有何内在规律?流通了几千年的金属货币被钞票和存款货币所取代，为什么是历史的必然? 答：（1）一般说来，作为货币的商品就要求具有如下四个特征：一是价值比较高，这样可用较少的媒
《初等几何研究》作业 一、填空题 1、对直线a 上任意两点A 、B ，把B 以及a 上与B 在A 同侧的点的集合称作 射线（或半直线），； ，并记作 AB 。 2、在绝对几何中，外角定理的内容是： 三角形的外角大于任一不相邻的内角 。 3、第四组公理由 两 条公理组成，它们的名称分别是 度量公理（或阿基米德公理）和康托儿公理 。 4、欧氏平行公理是：对任意直线a 及其外一点A ，在a 和A 决定的平面上，至多有一条过A 与a 不相交的直线 。 5、罗氏几何公理系统与欧氏几何公理系统的共同之处是 前4组公理（或绝对几何） ，不同之处是 平行公理 。 6、几何证明的基本方法，从推理形式上分为 演绎 法与归纳法；从思维方向上分为 综合 法与分析法；从命题结构上分为 直接 证法与间接证法，其中间接证法包括 反证 法与 同一 法。 7、过反演中心的圆，其反演图形是 不过 （过或不过）反演中心的 直线 。 8、锐角三角形的所有内接三角形中，周长最短的是 垂足三角形。 9、锡瓦定理：设⊿ABC 的三边（所在直线）BC 、CA 、AB 上分别有点X 、Y 、Z ，则AX 、BY 、CZ 三线共点（包括平行）的充要条件是 1=??ZB AZ YA CY XC BX 。 10、解作图问题的常用方法有： 交轨法 、三角奠基法、 代数法 、 变换法 等。 11、数学公理系统的三个基本问题是 相容性、 独立性和 完备 性. 33．①答案不惟一. 34．①（0，+∞），②，（0，π/2），③连续，④单调递减. 35．①平移，②旋转，③轴对称. 36． ①1 =??ZB AZ YA CY XC BX （或－1） 37．①写出已知与求作，②分析，③作法，④证明，⑤讨论.
一、综合选择 1．马克思主义政治经济学的研究对象是： A.社会生产关系及其发展规律（） B.社会生产方式（） C.社会生产力及其发展规律（） D.物质资料生产（） 2．反映社会生产力发展水平的主要标志是： A.生产工具（） B.劳动对象（） C.生活资料（） D.科学技术（） 3．政治经济学如何研究生产关系及其发展规律： A.联系生产力和上层建筑来研究（） B.联系一定的社会经济基础来研究（） C.从生产资料所有制方面来研究（） D.从生产、分配、交换和消费环节研究（） 4．生产关系一定要适合生产力性质的规律是： A.一切私有制社会共有的经济规律（） B.资本主义社会特有的经济规律（） C.一切社会形态共有的经济规律（） C.几种社会形态共有的经济规律（） 5．物质资料的生产是： A.人类社会存在和发展的基础（） B.政治经济学的研究对象（） C.研究资本主义生产关系的起点（） D.政治经济学研究的出发点（） 6．生产力和生产关系的辨证统一关系包括： A.生产力决定生产关系的产生和变革（） B.社会生产方式（） C.生产关系对生产力具有反作用（） D.生产关系自身发展规律（） 7．从社会再生产过程看，生产关系包括下列环节： A.生产（） B.分配（） C.交换（） D.消费（） 8．人类社会要进行物质资料生产，必须具备以下简单要素： A.人的劳动（） B.劳动对象（） C.劳动资料（） D.劳动态度（） 二、名词解释 1. 劳动对象 2．劳动资料 3. 生产关系 4. 生产方式 5 经济规律 三、分析判断 1．生产资料与劳动资料都是物质资料，因此，二者没有什么区别。 2.生产要素与生产力要素二者没有什么区别。 3.既然生产关系对生产力的发展有促进作用，所以，只要不断变革生产关系，就可以促进 4.承认经济规律的客观性，就必然要否定人们的主观能动性。 四、问题解答 1．马克思主义政治经济学的研究对象有什么特点？ 2、如何把握生产力与生产关系的矛盾运动和演变规律？ 答案（第一章） 一、综合选择 1.A 2.A 3.A 4.C 5.AD 6.AC 7.ABCD 8.ABC 二、名词解释
数列练习题 一、单选题 1．设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为（ ） A ．15 B ．16 C ．49 D ．64 二、填空题 2．已知公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，首项12a =，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则7S 的值为___________. 三、解答题 3．正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12461,4a S S S =+=． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a n +的前n 项和n T ． 4．已知公差不为零的等差数列{}n a 满足132a a =，是1a 与7a 的等比中项． （1）求{}n a 的通项公式； （2）是否存在n 值，使得{}n a 的前n 项和27n S =？
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 5．已知在递增等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3是a 1和a 9的等比中项． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）若112 n a n n n b a a +=+?，求数列{b n }的前n 项和S n ． 6．已知n S 为{}n a 的前n 项和，{}n b 是等比数列且各项均为正数，且23122n S n n =+，12b =，2332 b b +=. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）记()41n n n a c b += ，求数列{}n c 的前n 项和n T .
7．已知数列{}n a 的前n 项和243n S n n =-+，求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值. 8．已知等差数列{}n a 满足23a =，4822a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1 1n n n b a a += ，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 9．已知数列{}n a 的前n 项的和235n S n n =+． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设1 3n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和．
《初等几何研究》作业参考答案 一.填空题 1.①射线(或半直线),②。 2、 ①两,②度量公理(或阿基米德公理)与康托儿公理。 3.①前4组公理(或绝对几何),②平行公理。 4.①平移,②旋转,③轴对称、 5. 1=??ZB AZ YA CY XC BX 。 6.①交轨法,②三角奠基法,③代数法,④变换法。 7.①反身性、②对称性、③传递性、④可加性、 8.外角、 9.答案不惟一、 10.①演绎,②综合,③直接,④反证,⑤同一; 11. 1=??ZB AZ YA CY XC BX 、(答－1也对) 12. ①过两点可作一条直线(或其部分),②已知圆心与半径可作一圆(或其部分)、 13.①不共线的三点A 、B 、C 及(AB)、(BC)、(CA)构成的点的集合。 14.连续、 15.答案不惟一、 16.①不过,②圆、 17.1 =??ZB AZ YA CY XC BX (或－1)、 18.①写出已知与求作,②分析,③作法,④证明,⑤讨论、 19.①相容,②独立,③完备、 20.合同变换、相似变换、射影变换、反演变换等 21.对任意直线a 及其外一点A,在a 与A 决定的平面上,至少有两条过A 与a 不相交的直线、 22.①代数,②解析,③三角,④面积,⑤复数,⑥向量、 23.相等。 24.所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的无理式表出. 二.问答题 1.对于公理系统∑,若有一组具体事物M,其性质就是已知的,在规定∑中每一个基本概念指M 中某一具体事物后,可验证∑中每个公理在M 中都成立,则称M 为公理系统∑的一个模型; 2.①若AB ≡B A '',则d(AB)=d(B A ''); ②当C B A ?时,有d(AB)+d(BC)=d(AC)、
第一章总论 一、单项选择题 、下列关于法的本质与特征的表述中，不正确的是（）。 .法是统治阶级意志的体现 .法是明确而普遍适用的规范 .法是全社会成员共同意志的体现 .法是确定人们在社会关系中的权利和义务的行为规范 、甲、乙双方签订一份房屋装修合同，由此形成的法律关系客体是（）。 .被装修的房屋 .甲乙双方应当收付的款项 .乙方承揽的装修劳务行为 .甲乙双方承担的权利和义务 、下列各项客观事实中，属于法律行为的有（）。 .某服装厂与供货商订立了一份合同 .某沙漠三天没下雨 .战争爆发 .海底火山爆发 、根据法的内容可以分为实体法和程序法，下列属于程序法的有（）。 .《中华人民共和国民法通则》 .《中华人民共和国民事诉讼法》 .《中华人民共和国合同法》 .《中华人民共和国刑法》 、根据不同的标准，可以对法作不同的分类。根据法的创制方式和发布形式，可以将法分为（）。.国际法和国内法 .根本法和普通法 .实体法和程序法 .成文法和不成文法 、根据《仲裁法》的规定，下列有关仲裁协议效力的描述中正确的是（）。 .仲裁协议一经依法成立，即具有法律约束力 .合同无效，仲裁协议也无效 .仲裁庭无权确认合同的效力 .当事人对仲裁协议的效力有异议的，只能请求法院作出决定 、下列各项中，符合《仲裁法》规定的有（）。 .仲裁实行自愿原则 .仲裁一律公开进行 .仲裁实行级别管辖和地域管辖 .当事人不服仲裁裁决可以向人民法院起诉
、根据《仲裁法》的规定，下列关于仲裁委员会的表述中，不正确的有（）。 .仲裁委员会是行政机关 .仲裁委员会不按行政区划层层设立 .仲裁委员会独立于行政机关 .仲裁委员会与行政机关之间没有隶属关系 、下列不属于民事诉讼审判制度的是（）。 .合议制度 .公开审判制度 .两审终审制度 .一审终局制度 、根据我国《民事诉讼法》的规定，因票据纠纷引起的诉讼，有管辖权的人民法院是（）。 .原告住所地 .背书人所在地 .票据收款人所在地 .票据支付所在地 、因不动产纠纷提起的诉讼，有权管辖的人民法院是（）。 .合同签订地人民法院 .原告住所地人民法院 .被告住所地人民法院 .不动产所在地人民法院 、对下列哪些情形，公民、法人和其他组织不能申请行政复议（）。 .对行政机关限制人身自由的决定不服的 .对行政机关做出的关于吊销营业执照的决定不服的 .对行政机关对民事纠纷作出的调解决定不服的 .申请行政机关依法发放抚恤金，行政机关没有依法办理的 、根据《中华人民共和国民法通则》的有关规定，下列选项中，不适用于特别诉讼时效期间的情形有（）。 .借款利息未支付 .出售质量不合格商品而未声明的 .身体受到伤害要求赔偿的 .寄存财物被丢失的 、下列各项中，不属于行政复议参加人的是（）。 .申请人 .被申请人 .第三人 .复议机关 、下列各项中，属于经济法主体违反经济法可能承担的民事责任形式有（）。
初等几何研究试题答案()(李长明版)
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初等几何研究试题答案（I） 一、线段与角的相等 1. ⊙O1、⊙O2相交于A、B,⊙O1的弦BC交⊙O2于E,⊙O2的弦BD交⊙O1于F, 求证: （1）若∠DBA=∠CBA,则DF=CE; (2) 若DF=CE,则∠DBA=∠CBA. 证明:(1)连接AC、AE、AF、AD 在⊙O1中,由∠CBA=∠DBA得AC=AF 在⊙O2中,由∠CBA=∠DBA得AE=AD 由A、C、B、E四点共圆得∠1=∠2 由A、D、B、E四点共圆得∠3=∠4 所以△ACE≌△AFD ∴DF=CE (2)由（1）得∠1=∠2,∠3=∠4 ∵DF=CE ∴△ACE≌△AFD
∴AD=AE 在⊙O 2中,由AD=AE 可得∠DBA=∠CBA 2. 在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90O ,D 是AC 上的一点,AE ⊥BD 的延长线于E,又AE=1 2 BD, 求证:BD 平分∠ABC. 证明:延长AE,BC 交于点F AED BCA 90 ADE BDC CBD CAF ACF BCA 90 AC BC ACF BCD AF BD 11 AE BD AE AF 22 ABEE BE BE ABF BD ABC ∠=∠=?∠=∠∴∠=∠∠=∠=?=∴???∴==∴=⊥∴∠∠Q Q Q Q 又又又平分即平分 3. 已知在凸五边形ABCDE 中,∠BAE=3α,BC=CD=DE,且∠BCD=∠CDE=180o－2α,
特定数列求和法—错位相减法 在高中所学的数列求合的方法有很多，比如倒序相加法、公式法、数学归纳法、裂项相消法、错位相减法等等，在此处我们就只着重讲解一种特定数列求和的方法——错位相减法。那到底什么是错位相减法呢？现在咱们来回忆当初学习等比数列时老师是怎么一步步推导出等比数列的求和公式的，下面是推导过程： 数列{}n a 是由第一项为1a ，且公比为q 的等比数列，它的前n 项和是 111121...n n a a q a q a q s -=++++ ，求 n s 的通项公式。 解 由已知有 111121...n n a a q a q a q s -=++++， ○ 1 两端同乘以q ，有 ○ 1-○2得 当1q =时，由○ 1可得 当1q ≠时，由○ 3可得 于是 1(1)n s na q == 或者 11(1)1n n a a q s q q -=≠- 通过上述推导过程老师运用了一种特殊的推导方法将本来很复杂的运算简化了，从而得到等比数列的求和公式，这种方法叫错位相减法，那我们是不是遇到复杂的运算就都可以用这种方法呢？答案当然不是，我们仔细观察这推导过程，就会发现其实错位相减法是用来计算一个等比数列乘以一个等差数列而成的复杂数列的。可以归纳数学模型如下： 已知数列{}n a 是以1a 为首项，d 为公差的等差数列，数列{}n b 是以1b 为首项，(1)q q ≠为公比的等比数列，数列n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和. 解 由已知可知 两端同乘以q 可得 = 11223311...n n n n n qc a b q a b q a b q a b q a b q --=+++++
思考与练习 1．名词解释 萨伊定律宏观经济学通货膨胀总量分析规范分析实证分析静态分析动态分析存量分析流量分析存量流量产品市场要素市场金融市场 2．试述“外生变量”与“内生变量”的区别于联系？ 3．宏观经济学研究的主要对象是什么？ 4．简述宏观经济学形成和发展的三个时期？ 5．宏观经济学与微观经济学的区别与联系是什么？ 6．宏观经济学的研究方法有哪些？ 7．宏观经济学研究的基本问题主要体现在那些方面？ 8．试比较新凯恩斯主义和新古典宏观经济学家的观点。 9．试述宏观经济学的四次重大变革。 10．简述中国不同宏观经济学流派的观点。 11．从两部门经济循环模型（见图1-2）中，可以分析出那些结论？ 12．分析说明三部门经济循环模型。 13．产出水平和产出水平的变化是否是宏观经济学要研究的问题？说明理由。 14．当我们测度一个特定时期所发生的事件时，我们涉及的是一个流量还是存量？说明理由。15．收入只能在某一时点上进行度量，而财富只能在某一时期上进行度量，这种说法是否正确？说明理由。 1．名词解释 （1）萨伊定律: 供给会创造出对它自身的需求。 （2）宏观经济学：指研究整个国民经济的活动，分析不同经济活动总量之间的相互关系及其对总体经济表现的影响，分析国民经济中商品与劳务的总产量和资源的总利用量的决定机制，探讨总量波动的原因等，即宏观经济学是研究总量运行的理论体系。 （3）通货膨胀：即表现为价格水平的普遍、持续、显著上升。 （4）总量分析：指对宏观经济运行总量指标及其影响因素、变动规律等进行的分析。（5）规范分析：即关注价值判断，研究经济应该是怎样的，或者为了达到既定的经济目标，应该采取何种政策行为。 （6）实证分析：即关注事实，并避免价值判断，试图建立对经济行为的科学描述。 （7）静态分析：指研究经济变量在同一时期内的相互关系，是对经济运行的一种初步的从而比较简单的分析方法。 （8）动态分析：指研究经济变量在不同时期的变动规律，是对经济运行的一种长期分析，说明长期经济情况并能解释经济运行过程及变化动因。
专项训练:错位相减法 目录 1.(2003北京理16) (2) 2.(2005全国卷Ⅰ) (2) 4.(2005湖北卷) (2) 5.(2006安徽卷) (2) 6.(2007山东理17) (2) 7.2007全国1文21) (2) 8.(2007江西文21) (2) 9.(2007福建文21) (2) 10.(2007安徽理21) (3) 11.(2008全国Ⅰ19) (3) 12.(2008陕西20) (3) 13.(2009全国卷Ⅰ理) (3) 14.(2009山东卷文) (3) 15.(2009江西卷文) (3) 16.(2010年全国宁夏卷17) (3) 17.(2011辽宁理17) (4) 18.(2012天津理) (4) 19.2012年江西省理 (4) 20.2012年江西省文 (4) 21.2012年浙江省文 (4) 22.(2013山东数学理) (4) 23.(2014四川) (4) 24.(2014江西理17) (5) 25.(2014安徽卷文18) (5) 26.(2014全国1文17) (5) 27.(2014四川文19) (5) 28.(2015山东理18) (5) 29.(2015天津理18) (5) 30.(2015湖北,理18) (5) 31.(2015山东文19) (5) 32.(2015天津文18) (6) 33.(2015浙江文17) (6) 专项训练错位相减法答案 (7)
已知数列{}n a 是等差数列且12a =,12312a a a ++= (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)令()n b a x x R =?∈ 数列{}b 的前n 项和的公式 在等差数列{}n a 中,11a =,前n 项和n S 满足条件 242 ,1,2,1 n n S n n S n +==+L , (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)记(0)n a n n b a p p =>,求数列 b 的前n 项和n T ? 设{}n a 为等比数列,11a =,23a =. (1)求最小的自然数n ,使2007n a ≥; (2)求和:212321232n n n T a a a a = -+--L . 9.(2007福建文21) 数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,* 12()n n a S n +=∈N . (1)求数列{}n a 的通项n a ; (2)求数列{}n na 的前n 项和n T .
第一章 一、单项选择题(每小题1分) 1．一维势箱解的量子化由来( d ) a. 人为假定 b. 求解微分方程的结果 c. 由势能函数决定的 d. 由微分方程的边界条件决定的。 2．指出下列哪个是合格的波函数(粒子的运动空间为 0→+ ∞)( b ) a. sinx b. e -x c. 1/(x-1) d. f(x) = e x ( 0≤ x ≤ 1); f(x) = 1 ( x > 1) 3.首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是( c. ) a.薛定谔 b. 狄拉克 c. 海森堡 c.波恩 4．立方势箱中2 2 810ma h E < 时有多少种状态( c ) a. 11 b. 3 c. 7 d. 2 5.立方势箱在2 2 812ma h E ≤ 的能量范围内，能级数和状态数为( c ) a.5，20 b. 6，6 c. 5，11 d. 6，17 6．立方势箱中2 2 87ma h E < 时有多少种状态( c ) a. 11 b. 3 c. 4 d. 2 7．立方势箱中2 2 89ma h E < 时有多少种状态( c ) a. 11 b. 3 c. 4 d. 2 8.已知x e 2是算符x P ?的本征函数，相应的本征值为( d ) a. i h 2 b. i h 4 c. 4ih d. π i h 9．已知2e 2x 是算符x i ?? -η 的本征函数，相应的本征值为( d ) a. -2 b. -4i η c. -4ih d. -ih/π 10.下列条件不是品优函数必备条件的是( c ) a. 连续 b. 单值 c. 归一 d. 有限或平方可积 11．一维谐振子的势能表达式为2 2 1kx V =，则该体系的定态 Schrodinger 方程中的哈密顿算符为( d ) a. 2 2 1kx b. 222212kx m +?η c. 222212kx m -?- η d.2 22 2 12kx m +?-η 二、多项选择题(每小题2分) 1. 下列哪些条件并非品优波函数的必备条件( a c ) a. 归一化 b. 连续 c.正交性 d. 单值 e. 平方可积 三、 填空题(每小题1分) 1.德布罗意关系式为___________。答案：p=h/λ 2.由于电子是全同粒子，同时电子波函数是_______(对称，反对称)的，因此多电子的波函数需用Slater 行列式波函数来描述。答案：反对称 3.一维势箱解的量子化由来是根据___________ 自然得到的。答案：微分方程的边界条件 4．合格波函数需满足的三个条件是：连续的、单值的和___________。答案：平方可积 5．德布罗意假设揭示了微观粒子具有_____________，因此微观 粒子具有测不准关系。 答案：波粒二象性 6.任何一个微观体系的运动状态都可用一个波函数来描述，体系中的粒子出现在空间某点(x ，y ，z)附近的几率与_________成正 比。 答案： 2 ψ 7.一维势箱的零点能为_______ 2 2 8ml h _______。8．德布罗意波长 为0.15nm 的电子动量为___________,答案：4.42×10-24 9．三个导致“量子化”概念引入的著名实验：黑体辐射、_____________和氢原子光谱。 答案：光电效应 10.品优波函数三个条件是_________、单值、平方可积。答案：连续 11.立方势箱的零点能为 2 2 83ml h __。 12.立方势箱中2 2 814ma h E = 时有___6___种状态。 四、判断对错并说明理由(每小题2分) 1．立方势箱中能量最低的状态是E 100。 答案：错，立方势箱中能量最低的状态是E 111。 2. 一维势箱的能级越高，能级间隔越大。 答案：对，能级间隔为2n+1 3. 定态是指电子固定的状态。 答案：错，定态是指电子的几率密度不随时间而变的状态。 五、简答题(每小题5分) 1.合格波函数的条件是什么？ 答案：连续(2分)、单值(2分)、有限(平方可积)(1 2.下列函数，哪些是 2 2 dx d 的本征函数？并求出相应的本征值。 a. e mx b. sinx c. x 2 +y 2 d.(a-x)e -x