数学开放题的设计与评价
第一节数学开放题的概述
一、数学开放题的含义
数学开放题是对数学问题自身结构、解题的思维过程进行研究，以及对他们进行外在形式分类的结果，数学开放题是相对数学封闭题而言的。除了和封闭题的对立这样一点外，国际上对于什么是数学开放题这一概念还没有取得完全一致的意见。从查阅的文献资料看，学者们多从问题命题要素的特点来分析数学开放题的涵义，归纳起来主要有以下三类：
（一）答案不确定的数学问题
日本的泽田利夫认为：“有几种正确答案似乎都带有可能条件的问题，称为未完结的问题、开放的问题，……目的在于使之思索集中得出答案的方法和过程，……动机在于培养造就数学的思考方法和处理方法的能力和态度”；有多种正确答案、结果是开放的题，这类问题给予学生以自己喜欢的表达方式解答问题的机会，在解题过程中，学生可以把自己的知识、技能以各种方式结合，去发现新的思想方法；答案不唯一的问题成为开放题；数学开放题是指那些答案不唯一、并在设问方式上要求学生进行多方位、多角度、多层次探索的数学习题1。
（二）条件不完备，结论不确定的数学问题
条件多余需选择，条件不足需补充的或答案不固定的数学问题；问题不必有解、答案不必唯一，条件可以多余；数学开放题是相对于传统中条件完备、结论确定的封闭题而言的，是指那些条件不完备、结论不确定的数学问题2；开放型问题是指题目的条件不完备或结论不明确，从而蕴涵着多种可能性，要求解题者自行推断3。
（三）数学开放题是指条件开放（条件在不断变化）、结论开放（多结论或无结论）、策略开放（可以采用多种方法和途径去解决）的问题
具有多种不同的解法、或有多种可能的解答，……笼统地称之为问题的开放性（郑毓信，1994）。一个数学问题，如果它的答案不唯一或者有多种解法，就
1戴再平主编.开放题——数学教学的新模式[M].上海教育出版社.2002.
2刘萍.数学开放题与学生主体意识的培养[J].中学数学.1998（9）.
3孙耀庭.结合教材编制开放性问题[J].数学通讯.1996（5）.
称这个问题为开放题。
综上所述，和传统意义上的数学习题比较起来，这类题目的最大特点就是条件的开放和答案的不确定，这样的问题对解题者来说没有直接的解决问题的方法，往往需要解题者对问题建立自己的理解之后，联系已有的知识和经验，尝试对问题进行解答。因为问题解决过程的个性化，导致问题解决结果的多样性。所以本文对数学开放题的理解如下：数学开放题是答案不唯一或者有多种解法，需要解题者进行多层次、多角度的理解和探索的题目。
二、 数学开放题的类型和特点
数学开放题常常用开放的语言来描述，这种描述尚未与现成的解题模式相关联，下面表格里是一些一般问题描述和开放题的设问方式的比较： 通常的设问方式 开放的设问方式
下面哪个数是合数？ 7,57, 67,117 小明认为57和67都是合数，因为他们两个都以奇数7结尾，小刚说小明错了。你觉得他们谁对？为什么？
在方框里填上适当的符号< 或 > 74 11
5 你能想出多少种方法比较74和11
5的大小？ 把37.67四舍五入到十分位。 你能找三个不同的数，使它们四舍五入精确到十分
位后都等于37.7吗？
已知一个三角形的底是2厘米，高是3厘米，求它的面积。 设计一个面积是3平方厘米的平面图形，并把它画出来。
从不同的分类角度可以把数学开放题进行不同的分类，常见的分类方式有按命题要素分类、按答案结构分类、按解题目标分类等等，本章从命题要素的角度，在数学开放题定义的基础上，将开放题分为条件开放、策略性开放、结论性开放以及综合性开放四类，借助具体的题例分析数学开放题的特点。
（一）条件性开放题
以下三个题是从不同角度选择的条件性开放题。
①请编一道应用题，使这个应用题的解题算式是（20－4）÷＝8。 ②请写出两个分数，使它们的和等于2/3。
③在58个苹果中，拿去几个后，余下的能平均放在8个盘子中？
如果一个数学开放题，其未知的要素是假设，则称为条件性开放题。这类开放题给出了结论，要求从多种不同角度去寻求这个结论成立的条件。
（二）策略性开放题
把7/19，6/23，7/13，6/19这四个数按从大到小的顺序排列起来。解决这个问题可以采用以下几种不同的策略：
①化成分母相同，再比较大小；
②化成分子相同，再比较大小；
③化成小数，再比较大小；
④根据分数的意义比较大小，因为7/19大于6/19，而7/13 大于7/19，6/19大于6/23，所以这四个数从大到小排列是：7/13，7/19，6/19，6/23。
如果一个数学开放题，其未知的要素是推理，则称为策略性开放题。这类开放题一般都给出了条件和结论，而怎样由条件去推断结论，或怎样根据条件去判断结论是否成立的策略未知。
（三）结论性开放题
①请写出满足从左往右读和从右往左读是一样的三位数（如212 ）。
②小明去商店买钢笔和圆珠笔共用了54元，每支钢笔3元，每支圆珠笔2元，小明买了几支钢笔，几支圆珠笔？
这类题目，我们常常用答案个数的多少，去衡量题目开放度的大小，如第①题，满足条件的数有90个，第②题可以有10种不同的买法（包括只买一种笔的情况）。如果一个数学开放题，其未知的要素是判断，则称为结论性开放题。结论性开放题就是给出了一定的条件，满足条件的答案有多个。对于不同水平的孩子，教学中可以要求有不同的开放度。
（四）综合性开放题
①用10元钱可以买多少千克苹果？
②汽车牌照上的数有什么规律？
③在下面的方格纸中，每个小正方形的边长都是1，请你画出一个多边形，使这个多边形的面积是10。
如果一个数学开放题，只给出一定的情境，其条件、解题策略和结论都要求解题者自行设定和寻找，这类问题称为综合性开放题。
三、数学开放题的教育价值
数学开放题本身蕴涵的广阔时空和思维内容，常常具有丰富的思维材料、多样的思维方向和解题途径，它使学生能更加自然的进行自主探索、亲身实践、合作交流，让学生的数学学习活动真正成为一个感受发现的乐趣、获得丰富的学习体验的过程。中外学者对数学开放题的教育价值从不同角度做出了肯定，笔者从教学层面，选取学生发展和教师成长两个维度将其教育价值概括如下：（一）促进学生发展
1.有助于培养学生的问题意识，促进学生的数学理解和数学思维能力的发
展。
数学开放题的解题过程往往没有固定的模式可以借鉴，具有很大的开放性，需要解题者通过自己的理解，结合已有的知识和技能，探索和构建解决问题的方法。学生可以在自己理解的基础上，在自己选定的方向上用自己的方式努力。在这个过程中，学生常常可以做出多种不同的理解，选择自己喜欢的思维方式或者问题表征方式，采取不同的方式或路径解决问题。而且所有学生都可以在问题解决的过程中做出自己的努力，学生在与人交流的过程中能意识到自己有所发现，有所成就，这就增强了学生学习数学的自信心，并逐渐愿意思考、乐于思考和善于思考。
而善于思考的一个重要表现就是善于提出问题。心理学的研究表明，没有问题的思维往往是被动的、肤浅的思维，思维过程也即是发现问题、推断问题和解决问题的过程。因而强烈的问题意识不仅可以体现个体思维品质的活跃性、深刻性，而且可以作为思维的动力，推动思维的展开和运作。学生在对数学开放题进行理解的同时，常常更能放开思维的视角，教师要注意在与学生互动的过程中引导学生观察、分析、概括、提炼，培养学生的问题意识，引导学生敢问、会问。同时，学生之间对问题做出的理解和想法本身就是一种非常丰富和珍贵的教学资源，孩子们对来自同伴的理解和意见更能对他们造成某种思维上的冲击，更能引起他们的疑问和讨论的热情。
2.更加关注数学交流，培养学生的合作性。
数学交流是指用动作、模象、语言和符号为载体，对数学的认识、情感等进行表达、接受与转换4。学生通过听觉、视觉、触觉（多游戏的方式）来接受他人的数学观念和感受，同时将自己的数学观念和感受用动作的、直观的形式或者数学语言的形式表达出来。美国全国数学教师协会（NTCM）发表的《中小学数学课程与评估标准》中明确指出：把学生培养成为有数学素养的社会成员的一条重要标志就是他们会数学交流。交流可以促进儿童构建知识，学习他人思考的方法，并且澄清自己的思维。
数学开放题的课堂教学尤其重在师生之间、生生之间有效的数学交流。教师提出要探索的问题并要求学生解释他们的想法时，教师就在推进了数学交流的过程。由于学生常常可以从不同的角度或者不同的方式对数学开放题做出自己的理解、形成不同的解题方法和多种不同的答案，因此他们更加需要表达自己的理解和发现，也会经常地要求其他同学解释和被要求做出解释来辩证自己的理解或者
4丁亿.数学交流的价值及其内容与形式[J].数学教学.1998（2）.
结论。他们的想法和观点需要在讨论和交流中相互比较和优化，而且这种来自同伴的新异观点更能引起学生的兴趣和讨论的热情。同时，学生在解决问题的过程中也会遭遇许多困难需要相互帮助和协作。这样，在教学过程中，学生可以充分发表自己的见解，并在聆听别人见解和讨论的同时，不仅学到知识，形成新的认识冲突，而且学会与人合作，学会帮助他人等。
3.有助于学生获得丰富的学习体验，建立和增强他们的自信心。
开放性问题不束缚学生的思路，可以比较充分地把自己的知识和经验用于解决问题之中，通过自己的观察和思考，提出自己的解题思路。不同的人在不同的起点上思考同一个问题，思考的角度，使用的方法和所得的结果可能会有所不同，但他们都能在自己原有的基础上有所得、有所获、根据自己的知识和经验构造自己的数学学习活动。由于数学开放题本身有层次，即使有困难的学生也能做出一种或多种答案，使他们体验到成功的乐趣，提高学习的内在动力，并能在解决问题的过程中感受到数学的美和解决问题的趣味性，增强学习和应用数学的信心。此外，在与同学的合作、讨论、争论等交往过程中，能充分表达自己的思想，发挥自己的特长，体现其在社会交往中的价值，增强了与人交往的自信，尤其当学生的观点或行为得到大家的肯定和赞扬时，更强化了学生的这种对自己的积极认识。
（二）促进教师成长
通过数学开放题，教师可以更准确地把握学生的学习状况，进行有针对性的教学评价和反思。
传统的教学方法是试图教给学生一些特殊的技能，有经验的教师会更多地关注解题的思维过程，但是在传统的评价模式下，教师和学生关注的仍然只是最后的答案是否正确，学生很少能获得有关他们所使用的问题解决策略或思维过程的任何建议或反馈。教师计划每天、每节课的教学任务，目的是为了发展学生的数学理解，而做好这一工作的前提是教师自身必须十分清楚地了解学生目前正在使用和发展着的数学知识、观念以及思维的活动如何。在教学过程中只要教师有意识地去收集这方面的数据，是很容易获得学生这方面信息的，因为教师的每天教学中，尤其是在新知识的传授之后会很自然地提供一些需要学生解决的问题和任务。通过观察学生对这些问题和任务的解决和讨论，教师所获得的数据将会比通
过一次正规的单元测试所获得的数据更丰富和更有用。它不仅能帮助教师看到学生可能在什么地方出错，在哪些地方还不清楚或没有牢固掌握，更重要的它还能帮助教师发现导致错误答案背后的原因，找到解决学生学习困惑的症结所在，在错误被当成一个事实，或发展成一个习惯之前及时地弥补和调整自己的教学。因此可以这样说，要保证有效的教学设计，日常对学生学习状况方面的评价是至关重要的。
第二节数学开放题的开发
一、开放题的开发应注意的问题
开放题的概念虽然还没有确切公认的界定，但应具有以下特征：（1）不确定性；（2）不完备性；（3）发散性；（4）探究性；（5）创新性。根据以上特征，在设计和构思开放题时应注意的问题有：
1.开放题和封闭题在数学教学中应并存，而不是相互排斥。封闭题主要引起同化，开放题则引起顺应，这两种心理过程结合在一起进行多次循环，乃是智慧的适应和解决问题发展的原因。我们不应该为了一味地追求“开放”而完全忽视对学生数学基本知识和技能的培养。
2.开放题应该具有现实背景和灵活性。真实性任务能够激发学时的学习动机，学生在解决这类问题时会获得成人在工作中体会到的成就感。这样他们的兴趣会被调动起来，愿意从许多不同角度思索问题的解决方案。例如我们在设计有关面积计算的开放题时，可以设计这样的现实背景：某企业要对一批产品进行包装，为了降低成本，委托我们怎样用最少的纸张完成产品的包装工作。这样学生会感到自己的“工作”是有价值的，他们投入的心力自然也会大大增加。一般来说开放题具有答案不固定，解法不唯一的特点，这种灵活性能给学生较大的创新空间。对学生的发散性思维的训练也大有益处。
3.开放题应使学生给出各种水平程度的回答。学生在解决一个数学开放题时，应能表现出水平的差异，有些学生比较快的解决了问题，而有些学生则解决问题的速度较慢；有的学生使用的方法能显示出一定的数学思维水平，具有一定的数学概括水平，而有的学生在理解问题时联系前面学的知识稍显困难，不能很快地将问题转化成自己的问题。但他们都应该能够从中得到一些信息以便展示自
己知道了什么，而不是完全无从下手。无论是哪一类学生，最重要的都是让学生自己真正对问题有所体验，在此基础上培养学生思考的独立性。这样学生才能清楚地知道自己处于哪个水平，做出相应的努力。
4.开放题的解答应能导出一般结论或是发展成为一个新的问题。当一种方法解决开放性问题后，不是已经没事可做了。反思我们一般的封闭题，有些学生在课堂上解决了问题后，常常是举手等待教师的评价，而没有认真地检查，更无法自觉地去寻找其他的解决问题的方法以及思考这个问题能否衍生出新的问题或结论。在通过解答一道或几道相关的题而导出一般结论或发展出新问题的体验中，学生的概括能力和迁移能力就会得到提高。
5.开放题要体现学生的主体性。营造一个自主的课堂教学环境，使学生成为学习的主人。尽管在很早以前，我们已经在思想上认同了学生主体这一个学生观，也认同了让学生独立思考，但由于各种不同的社会的或是个人的因素，我们在课堂上往往还是教师问得多，学生跟着老师的问题走，老师问什么，学生答什么，甚至于有的教师提出一些毫无价值的简单问题，学生只有回答“是”或“不是”的权利，很少有真正的独立思考的空间，更谈不上能得到主动学习、大胆质疑的机会。让学生在课堂中互相质疑，包括师生之间，生生之间的质疑，对学生数学思维的发展也是有利的，而其中蕴含的教育价值是多向的，如怎样去倾听别人的意见，怎样组织自己的语言去质疑等。
二、编制开放题的具体方法
我们在编制开放题时，不需要完全平地而起。可以按照上述编题原则对以往的封闭题进行改造。也可以对现实生活中的一些数学现象进行简化，让它适合学生的思维发展水平，在这里要注意它的可行性。下面介绍一些编制开放题的具体方法。
1.弱因法：在传统数学题中减少某些已知条件，或者用较弱的条件替换原来的条件。
例如，某车队要把56吨的货物从A地运往B地，已知大卡车每次可运货10吨，需运费200元：小卡车每次可运货4吨，需运费90元；现有2辆大卡车，还需要几辆小卡车，才能一次把货运完？
这道题目可以改成：设计几种不同的租车方案，选择你认为最优的一种，运
费多少元？条件的隐去，使得问题有多种不同的结果（见下表）一般来说，所有的学生都能设计几种不同的方案，但方案的多少、优劣是否有序则体现不同学生思维水平的高低。从表中可以看出，方案三最优，方案六最劣。
方案大卡车
（辆）
小卡车
（辆）
是否满载
运费总数
（元）
一 6 0 否1200
二 5 2 是1180
三 4 4 是1160
四 3 7 否1230
五 2 9 是1210
六 1 12 否1280
七0 11 是1260
2.隐果法：把传统的数学题的结论隐去，使其结论待定或多样化。
对于教材中的练习题，有意识地将原题目的问题结论弱化或改变，使其答案多样化，是编拟开放题的一种有效方法。
例如这样一道动手题：把一个正方形纸裁成四块面积相等的小正方形。如果我们把“四块面积相等小正方形”改为“四块面积相等的图形”。这样，其结论就丰富多彩了。例如有一个学生说：“我先把正方形平均分成16个小正方形，每四个小正方形为1份，就可以有很多分法。”受此启发，还有部分学生进一步思考得出不论四块面积相等的图形是否要求形状相同，其分法有无数种。可见问题的开放促进了学生的创造。试举几例学生的分法。
3.索因法：先给定预期结论，执果索因，寻求使结论成立的多种充分条件。
例如，在五年级“约数和倍数”这一单元“奇数和偶数”的教学中，有这样的一道题：2、4、6、7、8、10这六个数，哪一个数与众不同？
在这里，学生大多会选择7这个数，这当然没错。但是，如果把这道题在不同的年级中让不同的学生回答，就会出现不同的结果。选择7的同学，显然是潜意识中把奇偶性作为区分的标准。下面是几个年级的学生的不同说法：（1）10与众不同，因为只有10是两位数，其余的数都是一位数。
（2）7与众不同，因为只有它与相邻的两个数相差1。
（3）2与众不同，因为只有它既是质数，又是合数。
（4）4与众不同，因为只有它是前一个数的两倍。
（5）8与众不同，因为只有它是一个立方数。
（6）6与众不同，因为只有它有质因数3。
可见，不同的区分标准，其结果是不同的，上面这样的题目，体现了事物的结果并不总是唯一的道理，有利于培养学生从不同角度分析、解决问题的能力。
4.建模法：将所考虑的实际问题化为数学问题，建立相应的数学模型，通过对数学模型的解答，使实际问题得以解决。
如：选举优秀学生担任班干部，一直是采用无记名投票形式。但由于各候选人的排列顺序不同，排在前面的候选人当选的机会往往较大。特别是在对候选人不太了解的清况下。以此为背景编制下面的开放题。怎样设计选票使各候选人得到的机会均等？学生可以采用圆形（或正多边形）的选票，在各张选票上让每一位候选人按顺序轮流排前等不同的设计方案（甚至用到古典概率知识）。
编制开放题的方法有很多，老师也可以利用自己的教学经验和生活经验自己编制，但要注意符合开放题的特点。
第三节数学开放题的评价
一、数学开放题的评价原则
传统上对学生课堂学习情况的评价，一般都是由教师根据学生的练习、作业或试卷答案的正确与不正确进行评价，这种评价方法具有一定的片面性，不能非常客观地反映一个学生掌握课堂知识的程度，特别是学生思维的深浅度。而且在一定程度上鼓励学生去追求问题的答案，忽略了解决问题的过程，这对锻炼学生的思维和能力是不利的。数学开放题教学作为一种新的教学形式，为学生由课堂
走向社会架起了一座桥梁，从开放题教学实践来看，这种以数学问题解决为特征的课程实施形态与原有的以数学知识构建为特征的课程实施形态构成的互补体系，它对学生的数学学习和能力发展是很有帮助的。
《全日制义务教育数学课程标准》（实验稿）提出数学学习的评价要关注学生学习的结果，更要关注他们学习的过程，要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度。帮助学生认识自我，建立信心，应以定性描述为主，充分关注学生的个性差异，发挥评价的激励作用。根据标准所提倡的理念，我们可以这样定位学生的数学学习过程：学生的数学学习过程是一个自主，主动构建自己对数学知识的理解的过程。学生在学习活动中是主动的参与者，他们带着自己原有的知识背景，活动经验和理解走进学习活动，并通过自己主动的活动，包括独立思考，与他人交流和反思等，去建构知识。因此，数学学习评价应该是以促进学生全面、生动地发展为总体目标，关注学生在数学学习过程的情感体验以及他们在独立思考、与人合作交流和反思等各方面的行为表现信息。
为此这里对数学开放题的评价提出以下几条原则：
（一）发展性原则。发展性原则即是用发展的眼光去评价教师的教和学生的学，教师在评价学生或指导学生评价时，重视学生个性化的反应方式和特点，要让学生看到进步，激发学生积极向上的意愿。面向学生更长期的发展，积累关于学生进步的表现数据。一次评价不仅是对一段活动的总结,更是下一段活动的起点、向导和动力。
（二）全面性原则。对学生的数学评价应包括学生在解决问题过程中的各种行为表现，不仅包括学生数学知识的掌握、数学思维水平等数学方面的评价，还要包括学生在数学交流、与人合作、自我反思等各个方面的表现。每个学生都是一个生动活泼的生命个体，他们每个人的数学学习都是独特的和发展的，所以评价应该在关注数学思维过程和数学交流的过程中，关注学生作为一个全面发展的人的各个方面，促进其兴趣、爱好、意志等个性品质的形成和发展。
（三）开放性原则。淡化确认，加强对话，促进学生的自我反思，即开放性。确认是权威强加的，带给学生更多的是对学习者的控制，这种外部驱动不能从根本上促进学习者的主动发展。对话，是主体之间通过互动进行意义的重构，不仅
是语义上的交流，更是不带有权威性的征服。对话是必要的，它有助于增进彼此的了解，促进学习者的反思，驱动学习者产生新的挑战和新的行为，从而实现自我意义的建构，促进学习者的发展。让学生有机会在课堂上跟教师一起分析自己的优缺点，讨论自己对学习的态度，共同设定学习的目标，确定该如何达到这些目标。
二、数学开放题的评价方法
现代的评价理念强调评价方式的多样化，选择更加多种多样的评价测试方式，为评价提供更可靠的、多元化的学生表现信息，使学生和教师都更多地关注学生多方面的数学发展。国际上许多国家的数学评价方式可以借鉴，如美国的课堂评价、英国的区别对待的考卷、理解性考卷和大型作业评价；挪威的正规评价和非正规评价；丹麦的口试和书面报告；我国有些教师采用的数学日记、课堂观察（观察学生数学讨论、交流中的表现）等。以下是数学开放题的评价可以参照的几种方法：
（一）对问题解决过程中，学生反应的流畅性、灵活性和独创性进行评价5。
流畅性指的是解决问题使用的不同方法和得出不同正确答案的数量。美国心理学家吉尔福特（Guilford）提出，如果一个人能想出很多的解决办法，他就有更多机会做出更有意义的回答。确定流畅水平的一个简单的方法就是数出正确反应的个数。
灵活性指的是学生反应中不同数学特征的数量。较好的问题解决者常常能想出几种不同的解决问题的方法。英国学者布莱克（Blake）报告说，学生变化反应方式，显示出多样性，更能正确的解决问题。测量灵活性的时候要考虑针对问题解决有多少不同的思考方法。灵活性的测量，主要看学生尝试新的方法，而不是固守窠臼或程式。要量化思维灵活性，就需要确定有几种不同的思维方法，可以把这些思维方法进行分类，把具有相同特征的划到一类，每类一分，学生至少用一种得出了正确答案。
独创性指非常规程度或者思维具有统计意义上的少见；也指深刻的、特殊的、聪明的或者非传统的。美国教育心理学家托伦斯（Torrance）指出独创性代表一种“思维跳跃”或者“脱离表面现象”。评分独创性可以用下面的方法：评定学
5徐斌艳.如何理解数学教育中问题的开放性—访德国柏林洪堡大学舒尔茨教授[J].中学数学教与学.2002（2）
生的反应之前，评定者必须确定独创表现反应的所属类别，要做到这一点，检查所有可能的方法，然后判断哪种方式对某类学生是不平常的，深刻的，或者非传统的。咨询一下其他老师的意见进行适当的调整。对于经验不是很丰富的老师来说，评判学生试卷的时候，数出学生每个类别中学生做出的解决方法，被评定为具有数学洞察的方法总数是测量学生独创性的一个例子。
在评估开放题的解决技能时，流畅性、灵活性和独创性是三种不同的组成部分。我们希望学生能想出更多的解决方法，因为想到的方法越多做出重要解答的可能性也就越大。然而光有很多解决方法还不够，在思维类别方面的增加反映了学生能够灵活调整自己的思维方式或者是问题本身和解决方法。这一点很重要，因为越是能成功解决问题的人越能够从多种角度解决问题。最后，要鼓励学生努力寻找非常规的、独创的解决方式，他们如果经常受到这种鼓励和做出努力，常常能形成更创造性的解决问题，更有能力和信心解决更复杂的问题。在具体实施的时候可以采用以下几个方面对学生活动进行评价，首先教师可以与其他同事合作准备一份列举各种可能答案的表格，并按照数学特征将这些可能的答案进行分类。在上课期间，结合学生实际给出的回答，将答案记录到表格相应的空栏中，再按照上面三个评价指标对学生的表现进行评价。
这种方法可以让教师对问题本身达到一定程度的准备状态，但在实际操作的过程容易被表格套住，总想把学生的解答归到表格中的某一个类别，有时候会阻碍教师和学生之间的有效交流，尤其当学生对自己的想法还不是很明确时。
（二）熊菲尔德的多重计分方法
在美国加利福尼亚—伯克利大学数学和教育教授舍恩菲尔德(Alan.H.Schoenfeld)的《数学问题解决》一书中，为了评价学生产生的问题解决途径的频率和数目和他们运用这些途径的成功情况，他设计了一套多重计分方法。具体的计分方法如下：
对于一个问题，首先，列出所有的至少一个学生采用过的解题方法，然后针对所列的每一种解法考虑下面的问题，并根据这些问题打分：
（1）学生有无注意过这种方法？(若有得1分，若无得0分)
（2）学生有无采用这种方法？(若有得1分，若无得0分)
（3）学生在采用了一种方法后，取得的进展情况。进展情况可以分为下面
四种水平：很少或者几乎没有（如计算了几个特例，但没有给出猜想，或者计算有误）；有一些进展，但不足以宣称已经胸有成竹；几乎完成，与结果很相近，但中间有一些计算错误；完整的解答。（注：学生的进展情况属于且仅属于一种水平。属于哪一种情况，在该水平的得分上加1，否则不加分。）例如，假设某个学生解决某个问题的情况如下：正确运用了一种方法；对第二种方法有了一些进展；提到了第三种方法，但没有采用。那么他所得的分数如下表：
表1熊菲尔德的多重计分法举例：
注意到的方法个数使用的方法个数
使用该方法解决问题的进展
很少有一些几乎完成完全
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除此之外，他还给出了学生问题解决表现的自我评价表：
（1）你以前见过这个问题吗？
见过很多次见过一、两次不能确定不认为见过肯定没有见过如果你曾经见过，描述一下为什么你认为它们相似，如果你认为没见过，描述一下这个问题与你以前见过的那些问题有什么不同？
（2）你对你的答案是否正确有把握吗？
非常有把握有把握不太有把握我知道我做错了
为什么你对你自己的答案有把握或者没有把握？
（3）你知道从什么地方着手吗？知道不确定不知道
（4）你拟定解题方案了吗？还是碰巧想到了这个方案？碰巧有所计划首先想到
（5）你认为自己的解题过程组织得如何？有些随意有一定系统性组织得很好
（6）这个问题对你来说有困难吗？非常困难较困难困难不太困难很容易
可以看出，熊菲尔德的多重计分方法既有定量的分析又有定性的评估，既有教师对学生的评价又有学生作为主体的自我评价。它没有把对学生的评价限定在一个既定的框框内，考虑到了每个学生的不同情况，根据学生的不同解题表现进
行评价，能够较为全面地反映学生的思维过程。但其缺点是操作起来比较繁琐，而且最终用一个数字来刻画学生的表现，同样掩盖了解题过程所隐含的丰富信息，因此在教学中难以做到对症下药。
（三）沃特曼的问题解决评分体系
美国学者沃特曼(Kristie Waltrman)把评价问题解决分成五个维度来进行，即根据学生对问题的理解、计划、实施情况、答案、对内容的理解，分成六个等级分别给予0～5分，详见下表：
表2沃特曼(KristieWaltrman)问题解决评分原则
维度水平和得分
理解问题表述了相关的条目：
所有(5分)；大部分(4分)；部分(3分)；较少(2分)；极少(1分)；没有(0分)
计划策略和程序是恰当的：
所有(5分)；大多数(4分)；某些(3分)；少数(2分)；极少(1分)；没有(0分)
实施状况策略或程序的实施:
正确(5分)；基本正确(4分)；部分正确(3分)；基本不正确（2分)；不正确（1分）；没有实施任何策略或程序的意图（0分）
答案情况完美的答案（5分）；较好的答案（4分）；合理的答案（3分）
部分合理的答案（2分）；不合理的答案（1分）；没有给出答案（0分）
内容理解对相关技能、事实和概念的理解：
很好(5分)；较好(4分)；一般(3分)；有限的(2分)；极少的(1分)；没有（0分）
沃特曼的评价体系采用的是定性与定量相结合的方法，既对学生对问题的整体认识进行了评估，又对学生在问题解决过程中的缺陷进行了诊断，既有结果的评定又有过程的评价，便于在教学中因材施教，有针对性地进行教学。但其缺点是阅卷人的主观性较强。
（四）SOLO评价体系的计分方法
SOLO分类理论已在前面的章节有所介绍，这里就不再赘述。下面通过一个
例题来具体说明SOLO评价体系的计分方法。
教师提供了一班、二班、三班的植树情况的情境图：一班植树三行,每行11棵。二班领走的树苗是四捆零三棵，每捆有10棵。三班学生说，他们班栽树的棵数是两位数,十位是4，个位是5。请学生提出数学问题。
教师在评价学生完成类似“你能提出哪些数学问题”这样的任务的优良时，一般考虑两个指标：一是学生是否能正确解决自己提出的问题，二是提出问题数量的多少，而对于问题本身的质量，即问题中所体现的学生思维水平很少问及。对此，如果参考Solo评价体系进行评价，会产生更清晰、高效的评价结果。比如当学生提问“一班植树多少棵”时，学生只考虑到了一个班植树数量一个因素，我们可以把它归为单一结构反应。当学生提问“二班植树多少棵”“三班植树多少棵”“二班植树棵树与一班相差多少”等问题时，学生均需要对题目中的多个元素进行思考，但不需要对整道题目的内容进行整合，我们把它归为多元结构反应。当学生提问“哪个班植树最多”“哪个班植树最少”等问题时，学生需要思考三个班植树的整体情况，我们把它归为关联结构反应。当学生提问“要求二班（或三班）植树棵树用什么方法”“求三个班总植数棵树用什么方法”等问题时，需要在梳理所有信息的基础上，抽象概括出解决问题的一般性方法，我们把它归为扩展抽象结构反应。
由此可以看到，学生在解决问题时，其思路是不同的，不同的思路存在着思维层次上的差异，所以，借鉴SOLO分类评价学生的学习状况是有助于评价结果的可靠性的。那么，怎样遵照SOLO分类评价体系分析开放题的答案呢？以下几点可能值得关注。需要注意的是，一般在“高利害”考试中计分标准的形成需要经过试测、答案分析等严格的研制程序。以下讨论仅限于日常评价中一般性计分标准的制定，旨在帮助一线教师理解SOLO评价的方法。
1.分析题目内容所包含的核心要素及其关系，并用关键词的形式归纳出不同能力的层次。虽然是分析学生的答案，但在制定计分标准时，首先需要教师对要考察的内容有一个清晰、全面的认识。
2.分析预测学生可能的解题思路，并对不同思路中潜在的、一致的数学理解进行归纳。
3.需要时可以尝试分等级描述计分标准，并给出不同等级的分值。
4.关注学生的思维特点。由于儿童在不同的年龄阶段认知发展水平是不同的，所以对于同一内容在不同的年级，可能涉及到不同的能力水平。在具体实施中，可以表现为：对于同一内容同一水平的答案，如果在二年级和三年级的学生身上都出现，那么给三年级的分数就比二年级低。鉴于儿童认知发展水平的限制，一般低年级的题目答案中，很少有扩展抽象等级的反应，因此编制题目时也不必刻意追求。
（五）访谈法
澳大利亚斯里克大学的克拉克（Clarke）博士研究了访谈法在课堂教学评价中的运用。他通过与学生单独的面对面的访谈，了解儿童面对具体问题时的表现，从而了解学生解决问题的思考过程，评价学生不同的思考方法。研究表明，教师和学生对这种方法都很感兴趣，并从中体会到一些数学教学改革的理念和方法。教师感到，通过这样的访谈活动，他们有以下几个方面的提高。“一是教学中更关注学生的成长；二是更多地运用开放题；三是为学生提供更多的时间探索数学概念；四是学生有更多机会分享解决问题的策略；五是给学生更多的富于挑战的问题；六是更强调课堂结束时的总结与概括；七是强调数学概念与概念之间的联系及课堂数学与现实社会生活中数学的联系；八是较少强调正式的记分，允许在课堂上运用不同的评价方式。”
（六）课堂观察表
在数学开放题的课堂教学中，我们更加经常地看到学生更富有个性的、生动活泼的表现，学生有更多机会表达自己和倾听同伴，更经常地在讨论中说服和质疑。教师有更多机会从学生表现出来的多个侧面了解学生的学习、情感等方面的状况，从而做出反馈。教师随时随地以语言或态度对学生学习状况进行的评价，它贯穿于教育教学的始终。教师作为最经常的课堂观察者和反馈者更能体会和课堂教学结合在一起的学生学习评价。比如下面的一个教师课堂观察表：
表3：教师课堂观察
观察维度观察指
标
行为表现
符
合
不符
合
独立思考提出问
题
敢于提出问题和见解；
合理性
用自己的话、文字、符号、图示或表达式解释
问题；
灵活性愿意尝试其他解决问题的方法；
独创性提出的问题和见解具有挑战性和独创性。
合作交流倾听他
人
1.愿意与同伴交流各自的想法；
2.耐心听别人解说，聆听同学发表看法与意见；
3.能理解别人，并尝试用其他方式表述别人的
想法；
4.认识到自己在集体中的作用；
5.常同学被接受等；
表达能
力
1.解题记录清楚流畅；
2.陈述发表时的语简洁达意。
客观程
度
1.能接受别人的纠正；
2.陈述的理由有根据。
批判程
度
1.批判时能掌握重要概念；
2.所提出的问题切入问题的重心等。
反思总结对以上各方面的反思。
另外，在使用课堂观察表时可以引导学生进行自评和互评。学生互评和自评的形式可以课后数学日记的形式实施，学生可以及时记录和反思自己数学学习过程中感触最多的地方，并在记录中不断获得数学学习的充实和自信的情感体验。数学日记上设小组成员互评栏目，可以在一天的学习结束以后，写几句对小组成员最想说的话。在实施过程中提供给学生互评、自评时的评价参考项目可以大致与教师课堂观察用表的项目相同。学生可对自己的表现，做个别化的价值判断，这样的评价比较人性化，它可以适宜的评价学生自己的思考路线、推理分析背景、表现的能力等。教师也可以依据学生自我评价的内容，了解学生所学内容的完整性与正确性，学习的状态，学习的迷失，教师可以据以了解自己达成教学目标的情形等等。具体实施以教师指导和范例展示逐步帮助学生养成经常写点什么的习
惯。
如：a.要学生回想课堂上学到了什么？
b.课后觉得自己还有哪些地方不懂？困难在哪里？
c.在小组的讨论当中，自己想到了什么？发现了什么？
d.在小组讨论中，自己提出哪些解法或意见？同学重视这种说法吗？
e.在讨论发表中，自己从同组的同学到了什么？自己觉得所提出的意见满意吗？好吗？
f.在讨论发表过程中，印象最深刻的是哪些？最喜欢的是哪些？
综上，多样化的评价方式强调不仅关注学生数学学习的结果，更强调关注学生在数学学习中表现出来的思维过程和情感状态。数学开放题评价应该是个别化的、开放的，在关注学生过程的基础上，注意评价学生思维的独特性和思维水平，以及与人合作交流过程中的情感体验。学习评价应该为学生提供自身纵向比较的成长信息，而且数据必须是一致和连贯的。
小学数学个性化作业设计初探 一直以来，作业都是教学的重要组成部分，是学生巩固知识、形成能力的实践过程。而传统的作业方式，仅仅是让学生对所学知识简单机械地重复记忆，不利于发挥他们的主动性和创造性。我发现要想让学生爱上数学作业，先要从激发兴趣、改变作业内容及作业形式着手。 一、设计生活性作业，拓宽学生的学习空间 教师在备课时要尽可能地了解学生的生活实际，寻找知识的生活原型，让学生学习生活中的数学。而来自于生活实践中的数学作业，则是一个很好的让学生感受数学的方法，特别能激起学生完成作业的兴趣。 复习“常见的量”知识后，我给学生留了这样的一道作业：《哼哈的日记》：今天早晨，我从2分米长的床上爬起来，来到卫生间，拿起16毫米长的牙刷刷完牙，急急忙忙地洗脸、吃早饭。学校离我家约有800厘米。上学路上，我看见有一棵高4厘米的树被风刮断了，连忙找来一根长5厘米的绳子把小树绑好。我跑步赶到学校，看到老师已经在教室里讲课了，我赶紧从书包里拿出1分米长的铅笔和7米厚的笔记本，认真地做起笔记。老师在哼哈的日记上写下“真的吗”三个字，你知道这是为什么吗？请改正。这样原本
干巴巴的“在括号中填上合适的单位名称”，摇身一变，成为富有情趣的《哼哈的日记》。包装后的作业形式活泼、趣味十足，极大地调动了学生作业的积极性，学生觉得津津有味。 二、设计层次性作业，满足不同层次学生的需要 分层教学是小学数学教学过程中应当着重加强的一个方面。作业设计要以课堂教学目标为依据，安排要有层次，要由易到难、由浅入深，难易适中，分量适度，留有学生独立思考的时间，满足不同层次学生的需求。既要让后进生吃得了，又要让优等生吃得饱。作业的设计要有利于巩固新知识，诱导思维发展，要形成一个基本练习、综合练习、发展性练习的作业结构。根据学生的自身因素定制个性化作业，分为三个层次：基础类作业、拔高类作业和拓展类作业。分别满足各类学生的学习需求，避免“吃不了”、“吃不饱”的现象。 三、设计趣味性作业，感受做作业的快乐 苏霍姆林斯基说过：学生以一种高涨、激动的情绪从事学习和思考，对面前所显示的真理感到惊奇和震惊，在学习中意识到自己的智慧和力量，体会到创造的快乐、为人的意识和智慧的伟大而感到骄傲，这就是兴趣。以往作业的乏味性、枯燥性，不仅无法让学生得到锻炼，而且产生了勉强应付、敷衍了事、抄袭的现象。所以要使作业的质量有所提
小学数学例题的开放 数学学习过程是一个不断地探索和思考的过程。在数学教学中，是单纯地给学生现成的知识，还是为学生创设一定的问题情景，使学生有更多的机会去探索和思考，以便发挥其潜在能力，这是数学教学改革的核心问题，是要“应试教育”还是要素质教育的大问题。 一般地说，数学教科书中的例题是学习的范例，学生要通过例题的学习，了解例题所代表的一类知识的规律和理解方法。但这并不是说，只要学生学会了书本上的例题就可以自然而然地解决与之相似的问题。要能举一反三，就还需要学生有一个深入思考的过程，甚至要经过若干次错误与不完善的思考，这样才能达到一定的熟练程度。这更需要学生把书本上的知识内化为自己的知识。要达到这样的目的，教师在教学中要结合具体的教学内容，为学生提供独立思考的机会，给学生留有充分的思考余地，让学生根据自己对问题的理解和思维发展水平，提出自己对问题的看法，不同学生的不同方法反映出学生对一个问题的认识水平。学生学习时说出自己的方法，表面上看课堂教学缺乏统一性，但教师从学生的不同回答中可以了解学生是怎样思考的，哪些学生处于较高的理解层面，哪些学生理解得还不够深入或不够准确，并从中调整教学的内容和方法，以恰当地解决学生学习中存在的问题。在这样的教学过程中，学生能够养成一种善于思考、勇于提出自己想法的习惯，这对学生学习新内容、研究新问题是非常重要的。相反地，在教学中，教师如果不给学生提供独立思考的机会，只是让学生跟着教师的思路走，一步一步引导学生说出正确的解题方法，虽然这样可以比较顺利地完成教学任务，但长此以往，学生就会养成惰性。所以，教师在课堂教学中要特别注意为学生创造更多的思考机会，充分激发学生的内在动机，努力发展学生的潜在能力，使学生在认识所学的知识、理解所学知识的同时，智力水平也不断提高。“旧教材”中的部分例题，脱离学生的生活实际，形式单一，激发不起学生的学习兴趣。而教材又是重要的教学资源，我从开发教学资源的效益考虑，开放教材例题，使例题更富有课改气息，更富有挑战性，也激活了教材。 一、例题形式的开放 例题形式单一、陈旧，不利于学生的有效参与。例题形式的开放，特别是让学生用自己喜欢的形式呈现，学生就会兴趣盎然踊跃参与。如教学“解比例”一课后，我设计了一道这样的例题： 判断下面的两个比能否组成比例？你是怎样判断的？ 6∶3和8∶5 学生肯定它们不能够组成比例。我接着说：你们能从6∶3和8∶5这两个比中换掉其中的一个项，使这两个比组成比例吗？学生自由讨论发言，而且说得很好。我又接着说：如果指定把“3”换掉，使这两个比能组成一个比例，可以用怎么样的形式出这道题？提出你们各自的建议。 学生讨论后汇报： 学生甲：我设这个数为X，求解6:X=8:5。
如何布置四年级数学作业的设计及评价方案 一、指导思想：结合课程标准和学习内容，充分考虑学生心理特点、生理特 点、认知特点和承受能力，因此作业设计要有梯度，重视基础性，增加选 择性、体现时代性，实行分类推进。精心筛选、难易适度、总量控制，要有创造性、科学性、趣味性，努力提高学生完成作业的兴趣，减轻学生心理负担，达到以点带面、举一反三、触类旁通的目的。要沟通知识间的 内在联系，鼓励学生进行探究，发展学生的思维能力，提高学生动手操作能力。 二、作业设计形式：义务教育课程标准实验教科书四年级数学下册共包括九个 单元。根据各单元内容特点及学习重点，全册的作业设计内容包括：预习作业，课堂作业，家庭作业三个内容。 1、预习作业。主要针对学生不自觉预习的习惯，可布置一些预习性作业； 主要是为了了解学生学习实情、教学期望、发现学生心中疑难。 2、课堂作业。作业的内容一般是本节课的学习的内容，考查学生的基础 知识掌握情况。 3、家庭作业。结合以前学过的知识以当天学习的知识为主布置相关习题， 以了解学生对新知识的掌握情况和对以前学过的知识的熟练程度，进而达到有问题早发现早解决的目的。 三、作业形式与布置安排： 1、时间安排。数学课堂作业不超过20分钟，数学家庭作业控制在40分 钟左右。让学生在轻松、愉快的状态下独立进行书面训练,是作业能达到高效的效果。 2、作业布置要有层次。布置作业不能一刀切,要因材施教、循序渐进,根 据不同层次学生的需求来分层次布置。既有利于中差生的矫正和达标,又照顾了优生的超前发展和能力培养。针对不同的学生，布置不同难度的作业，调动学生作业的积极性,避免作业内容单调、枯燥，充分体现“人人学习有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上有不同的发展。”同时,也让学生在解题的过程中掌握知识的要点、积极思考,以提高灵活运用知识的能力。第一层：（容易）抓住基本概念，夯实双基，第二层：（中等难度）估计大多数，增加一些具有灵活性的练习。第三层：（难）顾及接受能力强的学生，提高其自身能力。采用分层次布置作业的形式，能够确定自己怎样应用适当的思维和学习过程。建构自己对教材的理解。学生能认识到自己在学习活动中所选择或拒绝选择的内容，能正确评价自己的优势和劣势，进而获得在校外生活持续成长所需的技能。四、作业批改评价：作业批改是了解学生的学习历程，评价学生的学习效果， 激励学生学习的重要方式。以新课程理念为指导，从批改视角的多维度、批改尺度的纵向、批改范围的选择、批改主体的多元化等几个方面提高数 学作业批改的效益。 （一）批改视角多维度：（1）关注思维过程。有些练习题，一个学生会出现不同解题方法，因此，给予适当的评价，利用评语，开拓思路，培养自主学习能力。（2）关注情感、态度价值观。一般来说，在完成相同学习任务时，学习困难的学生要比优等生付出的努力大一些，因此，在批改作业的过程中，除了对那些正确表现突出的学生给予激励性评价外，还要给那
连云港市教育科学“十二五”规划课题 批准号：C/2011/09/133 小学数学个性化作业设计研究 课题开题论证报告 连云港市朱曹中心小学娄荣兰 一、课题研究的背景（或目的、意义） 1.社会背景 一些发达国家很早就重视基础教育中的个性化教学及个性化作业设计。例如，美国数学教师协会 1989数学课程标准和2000年标准的基本特点之一都是强调数学应用；日本的数学课程设置了综合课题学习，也体现了对数学知识综合应用的关注；英国提出培养学生应用能力途径，由低年级起就对儿童进行应用能力系统训练。国家教育部也颁布了《关于减轻学生过重课业负担的十项规定》，明确各年级课外作业的时间，严格控制课外作业量。 2.现实情况 随着素质教育的不断深入，带有应试教育味的课内外作业已经远离了学生的生活实际、与社会的发展联系不够紧密，特别是数学背景缺乏儿童化、生活化，致使学生没有了完成作业的动机或愿望。现实情况是：一是全由老师布置、批改、评价，学生处于被动地位；二是为了应付考试，教师不顾学生学习能力的差异，统一作业内容；三是简单重复、机械训练的书面抄写作业多。这样传统的作业，脱离了生活和学生实际，不利于学生个性和能力的发展。 鉴于此，我提出了“小学数学个性化作业设计研究”。此课题于2011年9月已获准市教科所立项为中长期课题。 二、国内外研究现状的文献综述 有关小学数学个性化作业设计的文献，我以“小学数学个性化作业”为关键词进行搜索，百度找到相关结果约2310000个，这其中包括与此相关的文章、课题、培训及活动，这说明小学数学个性化作业设计的确对于小学数学教学非常重
要，才有如此的海量信息。我又在万方数据库、中国知网及龙源期刊网以相同关键词进行论文检索，也找到相关文章数十篇。这说明相关文献资料非常丰富，但又非常零散，不成系统。这两个方面都说明本课题有研究的必要性，只要找到自己独特的视角与侧重点。 文献主要内容与观点提炼： （一）进行作业设计的必要性 1.现状要求：长期以来，作业的功能往往被定位为“知识的巩固”、“技能的强化”，以考试为指挥棒，成为提高学生成绩的工具。数学作业内容拘泥于课堂知识，拘泥于教材，往往以试卷中出现的形式作为作业的模式，完成同步练习。不少教师布置的作业，机械简单的题目多，设计的随意性大；作业形式单一、陈旧，仍停留在以“练”为主的机械操作式的作业模式中；作业内容枯燥乏味；作业要求一刀切缺少个性化，不同层次的学生做着完全相同的作业，有的吃不饱，有的吃不了，因材施教的原则在作业的设计中没有充分体现；作业设计目的不明，针对性不强。这样的作业，虽说也能在短时间内提高学生的成绩，但牺牲的是学生学习的兴趣，扼杀的是学生解决问题的创造性，导致学生的个性得不到发展，数学的创新思维得不到培养，数学潜能也得不到挖掘。 2.课标要求：新课程明确提出“有效的数学学习活动不能单纯依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。重视课程内容与现实生活的联系，增选在现代生活中广泛应用的内容，开发实践应用环节，加强实验和各类实践活动，培养学生乐于动手、勤于实践的意识和习惯，提高实际操作能力。”数学来源于生活，也应用数学知识去解决生活中的各类数学问题，数学教学要体现数学来源于生活又应用于生活的特点，使学生感受数学与现实生活的密切联系，感受数学的趣味和作用，增进对数学的理解，增强学习和应用数学的信心。作业是课堂教学的延伸和继续，是提高课堂教学效率的重要手段和保证，其重要性不言而喻。小学生天性好动、喜变化，如果每天都用口算、笔算，板演的形式进行练习，学生就会产生厌烦情绪，教师应当要学会运用学生感兴趣的图片、游戏、表格、对话等形式，不断地设计新颖的练习，使学生的学习兴趣更浓厚。 （三）个性化作业种类
小学数学教师“基于标准的教学”教学设计 基本格式 附件1为基于标准的教学设计模板； 附件2为行为动词举例； 附件3为目标续写范例； 附件4为学习过程叙写案例。 附件1：惠济区小学数学“基于标准的教学设计”模板 课题：********* 【设计者】郑州市惠济区***小学*** 【教材】新世纪版小学数学*年级*册第*单元，第*页 【课程标准】 （学段目标中与本课相关的具体内容标准） 【内容分析】 主要包括：本课主要内容，知识间的前后联系及地位，本节课教材编写的意图及特色，教材内容的数学核心思想，学习重点的确定等。 【学情分析】 主要包括：学生已有知识基础（含知识技能，过程方法），学生已有生活经验，学生学习该内容可能的困难，学生学习的兴趣、学习方式及教学难点的预设等。 【学习目标】（以学生为主语） 目标表述中要包含：行为主体、学习内容、行为动词、行为条件、行为程度等。 【评价设计】 应包括：评价题目及设计意图。评价手段和工具要能检测学生是否达到预期的学习结果。
【学习过程】 1.主要包括:活动内容\ 活动的组织与实施（指教学活动开展的具体形式，包括学生学习方式—独立学习，还是合作学习等；教师活动的开展—提问或提出任务，组织合作学习，组织交流，讲授等；教学资源的准备等，如学具、教具、课件等。）\活动的设计意图\活动的时间分配预设。 2.提倡以问题链（大步问题与小步问题相结合）的形式构建教学设计的整体框架。 附件2：行为动词举例
附件3： 【学习目标】 1.能用自己的语言描述算术平均数的概念，并能解决与例题难度类似的问题； 2.通过阅读课本具体例题和小组交流，在教师提供的实际问题中求加权平均数，并说出“权”的差异对结果的影响; 3. 在小组交流时，至少能举出三个生活实例，体会平均数在日常生活中的广泛应用。
数学开放题及其教学 一、数学开放题的含义和分类 （一）开放题的含义 数学开放题的含义是指它所反映的数学问题所共有的本质属性。弄清它的含义，能使我们更好地理解和研究开放题。数学开放题是相对传统的封闭题而言的。先请看下面两个简单数学问题： 问题１：数列２，４，８,,成等比数列，求公比。 问题２：试写出公比为２的一个等比数列。 明显可以发现问题１的答案是唯一的，一般我们称为封闭题，而问题２的答案不唯一， 我们称它为开放题。一个数学问题，如果它的答案不唯一，或者有多种解法，我们就称这个 问题为数学开放题。 由以上含义可知，能“一题多解”的题也称为开放题。且开放题和封闭题具有相对性。 并且一个题目是否开放，不但与题目本身的结构有关，而且与解题者自身所具备的知识和能 力也有直接的关系。 二、开放题的分类： 为了深入研究开放题，有必要对它进行分类。可以选择不同的标准，进行不同的分类。 本文从思维形式的角度把数学开放题分为以下四类： 1、条件性开放题 如果一个数学开放题，其未知的要素是假设，则称为条件性开放题。这类开放题中往往给出结论，要求从各种不同的角度去寻求这个结论成立的条件。 2、策略性开放题 如果一个数学开放题，其未知的要素是推理，则称为策略性开放题。这类开放题一般都给出了条件和结论，而怎样由条件去推断结论，或怎样根据条件去判断结论是否成立的策略 未知。 3、结论性开放题： 如果一个数学开放题，其未知的要素是判断，则称为结论开放题。结论性开放题就是给出一定的条件，满足条件的结论不止一个。 4、综合性开放题 如果一个开放题只给出一定的情况，其条件、解题策略和结论都要求解题者自己去设定 和寻找，这类问题称为综合性开放题。 把数学开放题分为以上四类，应该说并非严格意义上的逻辑分类。并且对同一个开放题，可能它不仅仅是一个结论性开放题，而且又有多种解题策略。研究开放题的分类是为了“称呼”的方便，以便更好地研究它的教育价值。 二、数学开放题的教育价值 研究数学开放题，弄清它的含义、分类，一个重要的目的就是要利用开放题对学生进行 教育，充分发挥开放题的教育价值。笔者认为开放题具有以下教育价值： 1、开放题的教学有利于倡导民主的教学氛围 教学过程是教师与学生，学生与学生多边活动的过程。教学活动能否顺利进行的前提 条件是教师与学生，学生与学生之间是否相互沟通。如果离开学生的主动参与，整个教学 过程难以畅通。由于开放题答案的不唯一性和解题策略的多样性，就为教师与学生、学生
谈小学数学开放性练习题的设计 通过前一阶段的研究，我发现单从课本习改编开放性习题，显得单薄无力。所以在第十册的教案中，除了用好书上的习题外，我还自己开放性设计作业的形式和内容，目的是使学生的学习走向社会，走向生活，我在作业设计应中紧贴学生的生活，符合学生的实际生活环境，使“数学生活化”。将数学，语文，科技，美术，音乐等学科知识融为一体，并通过丰富多彩的形式表现出来，从而激发学生的学习兴趣，激发他们的创造热情。 1．开放作业的情境，把实际生活场景搬到作业中来。 新课标明确规定数学是人们生活，劳动和进一步学习必不可少的基础和工具，学生的学习应脱离枯燥的纯数学的滑任何情境的学习，因此我在教案中将学习的内容放到具体生活情境中去，让学生在具体的，丰富多彩的生活中去学数学，解决问题，体验数学与日常生活的密切联系。只有这样，才可能激发起学生创新的激情，才可能让学生向更高目标挑战。 在教案第十册数学“简单的统计”中作业设计时，我设计“体检”等许多生活情景，开展让学生当医生给学生体检量身高，当统计员求全班平均身高的活动，让学生对简单扼的统计方法有深入的认识，学会求平均数的方法。 学生在这些开放的情境中，学生全身心地投入，积极地主动地思考。虽然他们所用的方法，得到结果不一定相同，但在实际过程中，学生的实践能力得到提高，创新精神得到一培养。 2．开放作业的内容，让学生离开课桌，走出校园。 泰戈尔说过：“有能把河水限制有一些规定好的河道里。”过去那种由老师包办代替，学生只要一张纸一支笔的作业已不能适应时代的要求，学生再也不能被禁锢在课堂上。我在教案中创造性地设计作业，使学生在作业的过程中自己走进活，走向社会，去收集，去整理各种所需求的数据，通过自己的实践活动去得到数据，然后才能完成作业。 例如，第十册数学学习了“长方体和正方体”知识后，我让学生为教室画一立体图；为老师设计合适的包装方式. (1> 现在4盒磁带,有几种包装方式?哪种方式更省包装纸?(重叠处忽略不计> (2> 若有8盒磁带,哪种方式更省包装纸?(重叠忽略不计> 让学生通过回家亲手实践，分析写一个最佳设计方案并说出理由等。 这样的作业“纸上谈兵”是永远得不到答案的，只有通过自身的实践，通过调查
小学数学开放题教学策略研究 摘要：随着我国素质教育和创新教育的推进，以计算技能和解决常规问题为重点的数学教育已经不能满足时代发展的需要了。开放题教学作为一种新的教学形式，更好的为传统数学教学作补充使其得以发展，使学生的创新意识和“双基”训练得到科学的平衡。本文着重探讨了小学数学开放题的教学策略及教学过程中的注意事项。 关键词：小学数学；开放题教学；教学策略 1 数学开放题的教学策略 所谓教学策略是指当教学目标确定以后，根据己定的教学任务和学生的实际情况，有针对性地选择和组织相关的教学内容、教学组织形式、教学方法和手段，从而形成具有较高效率的特定的教学方案。它既包含解决某一实际问题的教学理论，又包含解决某一实际问题带有规律性的教学方法，具有综合性、可操作性和灵活性的特点。根据数学开放题的教学原则，本文提出如下数学开放题教学策略。 1.1 展示问题，开放有度 教学中展示的开放题要有趣、有新意，开放度要适当，能激发所有学生的学习兴趣。所以，教师要努力研究如何才能让学生产生对数学的学习兴趣是非常必要的，这就需要教
师用心去了解每位学生，不但要了解他们的学习状况，而且要明白他们所处于青春期的叛逆心理，教师要走进他们的内心世界，让学生喜欢上你，和你没有距离感，才能相信你，信任你，这样才会喜欢上你的课。教师必须更高的要求自已，教师必须考虑教材中有关教学内容的可开放性和开放度：分析哪些内容学生可以自主探究获得，哪些内容不适合开放题教学，要考虑学生现有的认知基础和思维能力，很好的去理解所学的教学内容。同时，在开放题课堂教学中，开放题编排能够围绕教学目标，由易到难、由旧知识到新知识逐步过渡，开放题的数量和开放度都要适中。教师要相信每位学生，课堂的主动权要交给学生，保证学生在掌握“双基”的基础上能得到最大限度的发展。教师在课前要做好准备工作，考虑到课堂上学生出现的各种状况都能处理的恰到好处，教师要非常熟练教学内容，要有清晰的思路，一环紧扣一环的引导和启发，使学生学起来水到渠成。 1.2 探究问题，及时反馈 分析所展示的开放性问题，要做好心理暗示，我们通过合作、讨论探究一定能把问题解决的心理，这样你就有一股永不服输的力量支撑着你勇往直前，达不到目的永不罢休的蛮劲。在数学开放题教学中，教师不能简单的只看学生解决问题的答案对与错，而更应注重观察学生的解题方法和过程，教师要及时纠正和指导。解决数学开放题不要受时间的
谈小学数学有效作业设计与评价 合理的数学课外作业有助于学生巩固已学内容，掌握知识和技能，养成良好的学习习惯，提高学生的数学能力，使学生在思维、情感态度与价值观等方面得到发展。采用多种有效的作业评价，能增强师生之间的情感，调动学生学习的积极性。 生动活泼的数学课外作业，能使作业成为学生学习、创新、探究的乐园，真正促进学生的发展，实现数学教育教学目标。平时我们经常能看到很多不和谐的现象：1、作业多且重复； 2、学生忙于按时完成一些机械重复的作业，很少主动去思考，自我检查也无从谈起； 3、教师批改作业常用“√”“×”“?”等简单符号，学生由这些符号只知道哪题错了，但不知道错在哪里……长期下去，就会使学生形成不良的作业习惯。那么，我们应该如何解决这一问题呢？ 一、重视作业设计，激发作业动机 维果茨基在论述教学与智力发展的关系中，提出了“最近发展区”的新概念，他强调：教育对儿童的发展能起到主导作用和促进作用，但需要确定儿童发展的两种水平，即一种是已经达到的发展水平；另一种是儿童可能达到的发展水平。这两种水平之间的距离，就是“最近发展区”。把握“最
近发展区”，能加速学生的发展。所以，要使学生具有积极的作业兴趣，必须以学生的认识为动力。单调、枯燥的作业，开启不了学生的思维，相反，还会形成不良的思维定式，滋生厌倦数学的情绪。因此，在平时的作业设计中，我根据学生的实际情况设计不同要求的作业。 1、作业设计要注重趣味性 《数学课程标准》指出：“从学生熟悉的课程情境与童话世界出发，选择学生身边的、感兴趣的事物，以激发学生学习的兴趣与动机……”只有把非智力因素的培养与智力因素的开发及活动巧妙联系起来，符合小学生以形象思维为主的认知特点，才能使作业变得更生动、有趣。小学生对数学的迷恋往往是以兴趣开始的，由兴趣到探索，由探索到成功，在成功的体验中产生新的兴趣，推动数学学习不断取得成功，但数学的抽象性和严密性往往使他们感到枯燥乏味，要使学生在数学学习活动中体会到数学是那么生动、有趣、富有魅力，强化数学作业的趣味性十分重要。 如：学习了“数的整除”这单元后，我用这单元的知识把某学生的电话号码编成了一个竞猜题让学生猜的作业。 某学生的家庭电话号码为7位数，每个数字依次是： ()8的最小倍数 ()2和3的最小公倍数 ()8的最大约数
特色作业设计—数学医院 苇河镇中心学校李伟娟 在“一切为了学生的发展”理念指导下，为了让作业成为学生学习、创造、游戏的乐园，使作业真正促进学生的发展，在学习了《乘法和加减法的两步式题》及《除法与加减法的两步式题》后我设计了如下的作业： 一、趣味游戏性作业——《数学医院》 《数学医院》 将自己这两天常犯错的数学题送进数学医院诊疗 病程纪录： 名称： 原因： 医治方法： 小学生的行为方式受情绪影响较大，感兴趣的事情干得起劲，反之则消极对待。新课程标准也指出：“从学生熟悉的生活情境与童话世界出发，选择学生身边的，感兴趣的事物，以激发学生学习的兴趣与动机……”为了改变原有计算题枯燥、乏味的现象，针对学生作业中经常犯的的一些错误，我们设计了《数学医院》这样一个带有趣味游戏性的作业，让学生将自己最近两天常犯错的数学题送进数学医院诊疗，并填写病历。把一道道计算中的错题融合在故事情节中，让
学生在轻松愉悦的氛围中，掌握运算的方法和技能，提高学生的计算能力和学习兴趣。 二、探究开放性作业——《智力比拼》 《智力比拼》 下图中标有6个条件，请分别选取其中3个条件并提出一个问题，列出先乘除后加减的综合算式，比比谁列出的算式最多 有挑战性和探索性的问题，不仅会激发学生进一步学习的动机，还能使学生在解决这些问题之后增强自信心，将有助于发展学生的创新精神。新课程标准也指出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，有效的数学学习活动不是单纯地依赖模仿与记忆，而是学生的动手实践、自主探索与合作交流……” 为了让学生学会多角度思考问题、分析问题，引导学生会思考，善思考，巧思考，我们设计了《智力比拼》这样一个带有探究开放性的作业，让学生从图中自主选择3个条件并提出一个问题，列出先乘除后加减的综
小学数学优秀教案评价标准 评估指标 A 级 B 级 等级C 级 评分 1. 教学目的思路清晰，目的明确，要求恰思路较清晰，目的较明思路不清晰，目的不明确，及要求当，具体清晰。确，要求较适当。要求不准确。 10 分8 分—10 分 5 分—7 分 4 分≤ 教学内容紧扣课程标准，并以未能紧扣课程标准，因材2.紧扣课程 标准，明确学生实际水平和教材为依据， 较前者略有不足 施教做得欠缺，重点、难突出重点，明确难点，知识点点不够明确，知识点安排 重点、难点 安排有系统性。较凌乱。 10 分8 分—10 分 5 分—7 分 4 分≤ 授课内容设计完整，教学环节设计较完整，教学环节安授课内容设计不完整，教3.教学过程安排得当，时间分配合理、科排较得当，时间分配较合学环节安排不得当，时间 学。理、科学。分配不合理。 15 分12 分—15 分8 分—11 分7 分≤ 使用教具恰当，恰当应用现代使用教具较恰当，较恰当尚能恰当使用教具，现代 4.教学手段化教学手段，教学方法能体现应用现代化教学手段，教化教学手段使用不熟练，启发式、研讨式。学方法较能体现启发式、启发式研讨式教学方法做 研讨式。的不够。 15 分12 分—15 分8 分—11 分7 分≤ 5. 教学内容内容准确完整，充分反映课程内容较准确完整，能参阅内容欠准确，未参阅中外基本内容，参阅中外文资料，中、外文资料，引入新进文资料。 及扩充新进 引入新进展拓宽内容，注重理展拓宽内容。 展内容 论联系实际。 20 分17 分—20 分9 分—16 分8 分≤ 6.作业或按教学内容布置作业或思考布置了作业或思考题未布置作业或思考题 思考题题，形式和数量适当。 5 分 5 分 3 分 1 分 7.课后分课后自我总结分析全面、客观、课后总结分析欠全面课后总结分析不全面 析正确。 10 分8 分—10 分 5 分—7 分 4 分≤ 备课完整，教案要素齐全，教备课要素较完整，教案书备课要素有缺陷，教案书8.教案的案书写文字通顺，格式规范，写文字较通顺，格式有个写文字欠通顺，格式错误规范性标点符号正确，条理清楚。别错误，标点符号有用不较多，标点符号使用有错， 恰之处，条理欠清楚。条理不清楚。 15 分12 分—15 分8 分—11 分7 分≤ 特色（ 10在符合教学规律和教案基本规范的前提下，有创新、有特色、有个性，能体现教师的教 分）学特点和学生的学习特点。 总评分等级：得分评语
浅析小学数学开放题设计策略 数学开放题是在开放时代背景中生成的一种教育改革产物，开放题是一种答案不唯一的数学问题，开放题因其趣味性、发散性、探索性与创造性的特点被视为创新的壤土，开放题教学成为发展学生数学综合素养的有效载体，越来越多的受到广大数学教师的青睐。 标签：数学开放题;内容形式;设计角色;思考角度 数学开放题是一种教育改革产物，是一种答案不唯一的数学问题。开放题教学因其趣味性、发散性、探索性与创造性的特点被视为一种教学创新。开放题教学成为发展学生数学综合素养的有效载体，越来越多地受到廣大数学教师的青睐，笔者在多年的小学数学教学工作中，致力于开放题教学研究，现将开放题教学的具体做法阐述如下。 一、变幻内容形式，激发学生学习兴趣 趣味性是开放题的重要特征，开放题以有趣的数学内容、特别的表述形式和轻松的解题氛围营造了宽松有趣的学习环境，有利于调动学生的好奇心，激发学生的学习兴趣，点燃学生的学习热情。 我在数学教学中，经常变换设计开放题的内容，精心编制数学问题，通过生活化、跨学科的新颖有趣的内容，以生动的情境和形式呈现，给学生大脑以神奇的冲击，让他们的思维细胞兴奋不已。例如，在教学苏教版五年级下册《球的反弹高度》一课时，我在组织学生谈论拍皮球的话题后，给学生出示了一道开放题：“森林趣味运动会上，小动物们开展了各式各样有趣的运动项目，其中有一个项目是球类反弹高度竞赛，在篓子里摆放着皮球、篮球、乒乓球、足球、铅球等球类，任意选择一个球，想办法使球落地后反弹，球的反弹高度大的获胜。你有什么好办法帮助小白兔赢得比赛？”开放题以趣味宽松的内容情境和神秘的未知结论，激发了学生好奇心，他们纷纷展开猜想和讨论，有的说：“选择比较轻的乒乓球。”有的说：“用力往地下拍。”有的说：“尽可能让球的下落高度大一些。”饶有趣味的开放性话题激起了学生浓厚的学习兴趣，趁着学生的热乎劲儿，我逐步将问题引入正题：“正常情况下，球的反弹高度大约是下落高度的几分之几？”学生又围绕这一稍微开放的问题展开猜想，对实验要求和方法展开设计，在充分讨论设计实验方案后，我给学生提供了结构性材料，孩子们带着强烈的兴趣投入实验探究中，在积极合作中搜集数据，分析数据，探寻结论。 开放题思维角度的多端变幻，以其超乎寻常的开放性吸引了学生的眼球与大脑，激发了学生的思考兴趣和积极的探究欲望。 二、变更设计角色，激活主体探究动力 在开放题教学中，主体性是最为关键的因素，我们要驱动学生内力，激活主
小学数学开放题的设计及其教学 数学开放题是本世纪70年代由日本学者首推而受世人关注的，目前数学上普遍把答案不唯一及具有开放性的题称为开放题。 数学开放题在现在的小学数学教育中所占比例其实很少，平时只有在兴趣活动中学生才会有所接触，但它其实是代表了一种新的教学理念，因为它要求以它为载体的教学本身也必须开放。这对我国目前以学科中心理念为指导，以学科体系为主导的单一化教学模式的改革是一个很大的促进。对于学生来说，因为开放题的解题契入点一般较低，解题思路有个逐渐深入的过程，几乎人人能入手，因此更能激起学生的热情和兴趣，有利于全面培养学生的综合能力。 基于开放题的重要性及目前教材中开放题量较少且多居于思考题之中（难度偏大）这一事实，作为数学教师，有必要在教学中依据实际情况设计一些较为简单的开放题供学生在学习过程中练习。 其实，对于中国文化来说，开放题古已有之，只是大多以益知游戏的形式而存在。例如：有一财主留下11头驴，要求将其中的分给大儿子，其中的分给二儿子，再将其中的分给三个儿子。在三个儿子一筹莫展的时候，一位骑驴而来的智者为他们“加进一头驴”而解决问题。它就是一道开放题，它的条件处于非完整的开放状态，在补进另一条件后方能解决问题。 在目前的数学教学中，也不乏开放题，比如简便运算125×16，既可以用125×8×2进行简便运算，也可以用125×8＋125×8进行简便运算。还有应用题的一题多解，也属于开放题的范畴。只是教师们没有意识到开放题的作用并加以运用，而是出于减少差错的愿望只要求学生运用最简单的一种方法，用封闭的教学方法使开放题失去了应有的意义。 因此，我们有必要加深对开放题的认识，依据其本身的特征充分发挥其作用，实现其教育意义。 一、以情境为特征的数学开放题 情境是产生数学关系的活动背景。学生在熟悉的情境中比较容易抽象出其中的数学关系。同一种数学关系在不同情境中则有不同的表现形式。
二年级数学作业设计 【教材分析】 一．教学内容本学期教材内容包括下面一些内容： 100以内的加、减法的笔算，表内乘法（一），表内乘法（二），认识长度单位厘米和米，初步认识角，从不同的位置观察物体和简单的对称现象，简单的数据整理方法和以一当二的条形统计图，数学广角和数学实践活动等。 二．教学重难点 教学重点：100以内的加、减法笔算，表内乘法。 教学难点：100以内的加、减笔算，以及数学实践、数学思维的训练。 【学情分析】 本班共有36个学生，其中男生21人，女生15人。二年级的孩子经过了一年的数学学习活动，对数学知识与技能的掌握以及学习习惯等相对来说已有了较大的转变；完成作业情况也较好，大部分同学作业清楚，态度端正，对数学表现出了较大的兴趣。不过还有的同学由于学习习惯、学习方法以及其自身的种种原因，尚不能主动地参与数学学习活动，学起数学来感觉还是有点累。学生乐于计算，但解决实际问题的时候就有点麻木，不注意审清题目意思，急于动手，以至于粗心大意，没有很好的解决问题。需要更加的严格要求，多动手，多思考。加强培养学生的学习兴趣，使学生更好的投入到学习当中来。 【教学目标】 知识和技能方面 1、掌握100以内笔算加、减法的计算方法，能够正确地进行计算。初步掌 握100以内笔算加、减法的估算方法，体会估算方法的多样性。 2、知道乘法的含义和乘法算式中各部分的名称，熟记全部乘法口诀，熟练地口算两个一位数相乘。 3、初步认识长度单位厘米和米，初步建立1米、1厘米的长度观念，知道1米=100厘米；初步学会用刻度尺量物体的长度（限整厘米）；初步形成估计物体长度的意识。 4、初步认识线段，会量整厘米线段的长度；初步认识角和直角，知道角的各部分名称，会用三角板判断一个角是不是直角；初步学会画线段、角和直角。
小学数学个性化作业设计 发表时间：2016-06-21T10:43:40.670Z 来源：《教育学文摘》2016年6月总第196期作者：梁明生 [导读] 所谓个性化作业设计是指针对小学生发展特点专门设计一套符合学生发展规律、有利于提高学生素质的个性化作业。 ◆梁明生四川省阿坝县民族寄宿制小学624600 所谓个性化作业设计是指针对小学生发展特点专门设计一套符合学生发展规律、有利于提高学生素质的个性化作业。小学生本来就是一个特殊的群体，而且每一个学生都有各自不同的特点、性格和兴趣爱好，所以设计个性化作业对于小学生来说是非常必要的。 如何设计个性化的小学数学作业，已成为广大小学数学教师面临的一个重要课题。 一、小学数学个性化作业面临的困难 个性化作业设计的实践面临的最大困难是：为什么许多教师能够接受个性化作业的理念却不能付诸实践呢？原因是多方面的。 1.社会氛围影响教师。 虽然素质教育和新课标的改革已深入开展，但应试教育的阴影还没有完全消失。许多重点学校在录取新生时还是以分数论高低，不少学校在考核老师时仍把学生的成绩看得很重，这就必然导致老师在教学中两眼只盯着分数。为走捷径，在短期内取得高分，只有让学生机械地做作业，也就是实行“题海战术”。 2.个性化作业实施的困难制约老师。 学生进行个性化作业，作业内容不同，作业形式各异，作业完成的时间也不一致，这就给老师的作业批改带来了困难。学生在作业中难免会遇到难题，老师只能一一指导，这又加重了老师的负担。 3.教师心中的顾虑左右教师的行动。 许多老师认为每个人都会有惰性，学生当然也不例外，如果让学生自主设计作业，学生就有可能投机取巧，少做甚至不做作业;还有老师担心让学生自主选择作业，学生肯定会选择自己擅长的作业，薄弱环节始终得不到弥补，影响了学生的全面发展。 4.作业的效果影响教师。 在未有系统性的练习册之前，题目都是老师挑选，势必带有教师个人色彩，不可能适合每一个学生，作业效果不显著，最后老师只好放弃这种所谓的好作业形式。 二、小学数学个性化作业设计策略 1.层次型作业，满足不同层次学生的需要。 分层教学是小学数学教学过程中应当着重加强的一个方面。作业设计要以课堂教学目标为依据，安排要有层次，要由易到难、由浅入深，难易适中，份量适度，留有学生独立思考的时间，满足不同层次学生的需求；既要让后进生吃得了，又要让优等生吃得饱。作业的设计要有利于巩固新知识，诱导思维发展，要形成一个基本练习、综合练习、发展性练习的作业结构。 层次性要求最能体现以学生为本的理念的要求，因为它能满足不同程度学生的要求，根据学生的自身因素定制个性化作业，分为三个层次，即基础类作业、提高类作业和发展类作业，分别满足各类学生的学习需求，避免“吃不了”、“吃不饱”的现象。 2.创造型作业，培养学生的创造性思维。 科教兴国是国家制定的一个重要方针，而科教兴国一个重要方面就是创造性人才的培养。创造能力的培养，不仅仅体现在课堂上的启发教学，还应把它延伸至课下，延伸至作业的设计上。 泰戈尔曾说:“不能把河水限制在一些规定好的河道里。”当前，已经有相当一部分人注意到创造性的重要性，也提出将其运用到小学数学作业的设计中。虽然这一类题目有启发学生全方位思考、培养创造性思维的作用，但是学生对于这一类题目的反应却不尽如人意。学生往往觉得这些问题太过简单，问题又很多，做起来麻烦，这样不仅不会达到启发创造性的目的，还会影响学生的学习热情。所以，“教师在布置作业的时候一个最大的宗旨是，尽一切可能用一切形式和手段围绕知识点进行作业的设计和布置。精心设问，引导思考，在知识的关键处设问，可以引导学生积极思考，正确掌握知识”。 3.趣味型作业，体验做作业的快乐。 苏霍姆林斯基说过，学生代以一种高涨、激动的情绪从事学习和思考，对面前所显示的真理感到惊奇和震惊，在学习中意识到自己的智慧和力量，体会到创造的快乐，为人的意识和智慧的伟大而感到骄傲，这就是兴趣。以往作业的乏味性、枯燥性，不仅无法让学生得到锻炼，而且产生了勉强应付、敷衍了事、抄袭的现象。所以要使作业的质量有所提高，必须让作业具有趣味性，让学生喜欢做作业、喜欢学数学，乐在其中，从而取得良好的效果。 4.实践型作业，体验数学与生活的密切结合。 陶行知曾说:“行动是老子，知识是儿子，创造是孙子。”数学来源于实践，服务于实践。好的作业就应该让数学与实际生活相联系，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。 鲁迅说过:一碗酸辣汤，耳闻口讲的，总不如亲自呷一口的明白。所以作业的实践性是相当重要的一个方面，将其运用到小学数学作业中，让数学接近生活，不仅可以让学生利用生活常识帮助解题，而且有利于学生理解数学的具体含义与意义，脱离抽象的数学表达。 引导学生在观察、思考、讨论后，给出尽可能多的方法，这样的作业既锻炼了学生解决生活实际问题的能力，而且锻炼了其知识的运用，加强了数学与生活的联系。实践性作业应与正规性作业一起布置，而且应该设为开放题。美国著名教育心理家奥苏贝尔认为:“数学学习的实质是:数学的语言或符号所代表的新知识与学习者认知结构中已有的适当知识建立非人为的实质性关系。”
构建动态生成课堂，凸显课堂生命活力 概念教学中如何了解、把握学生的学习起点体验----数学课堂的风景线 大胆解构教材重构真实课堂 让学困生的思维灵动起来 落地生根才是真发展 拿什么评价你，孩子 小学生估算意识的培养 在情境中体验在体验中建构 在动感、美感、情感的课堂中培养数感 浅谈小学数学教学中对错误资源的有效利用例谈“归因理论”在小学数学教学中的运用 新课标下小学数学课堂有效性的冷思考 数学课堂教学有效探究策略 设计有效问题，引领数学教学 创造性设计小学数学复习课 从“问”中培养学生的数学思维能力 让新课标下的计算教学亦显魅力 农村小学数学活动课的探思 提高小学低段数学课堂教学有效性的三点策略创设和谐课堂环境促进学生数学发展 培养学生良好情感促使身心全面发展 在新理念下如何培养学生“新”能力 浅议小学数学课堂中学生反思习惯的培养 提高小学数学课堂参与度的方法之我见 浅议小学数学课堂教学中学生操作能力的培养数学家庭作业的设计 浅谈小学课堂合作学习的问题与对策 浅谈小学数学课堂教学中有效情境的创设
小学问题解决策略的培养 教师，请勿“惜墨如金” 开辟数学课堂自主学习新天地 信息技术与小学数学课程整合实践谈 关注学生体验营造快乐课堂 浅谈小学数学教学中对学生实践能力的培养 小学数学教学活动有效性探微 循序渐进，从低年级渗透应用题教学 浅谈角色扮演在低段数学教学中的应用 如何在“解决问题”的教学中培养学生“读中悟，悟中解”的能力谈数学课中多样化与优化的算法，促进学生的个性发展 新课程下小学数学计算教学的思考 让理性的数学课堂充满趣味 新课程理念下小学数学练习课之我见 谈促进学习的后续发展 如何让学生在快乐中学数学 让学生的数学探究“丰满”起来 数学课堂上应造就学生成为主人的认识 趣味性---数学课堂教学不懈的追求 课堂情境的有效创造 谈小学数学课的导入和课末的小结 浅谈网络背景下的数学教学 深入研究教材促成学生课堂学习软着陆 提高审美能力感悟数学魅力 情境创设，爱你还需有商量 也谈让低年级学生喜欢数学 浅析小学数学自学能力的培养 小学数学课堂教学情境创设初探 兴趣，开启智慧的大门
小学数学作业的设计与评价 朱定华作业的设计和评价占据着教学质量的半壁河山，在教学实践活动中举足轻重。从设计到完成、评价都是每位教师非常重视的。在实践活动中作业设计、评价是教师一人独立完成，这种单一的内容和方法能集中反映学生的学习情况，作业的优、良、差等情况教师能有全面掌握和了解，而作为学习主体的学生只是被动的完成教师的任务，其主观能动性没有调动起来。长期以来导致学生对作业产生一种应付心态、作业巩固、检测教学效果地效率低下 学生学习数学、学好数学,离不开作业。作业是学生学习的重要环节,是教师掌握学习情况的重要途径,处理好作业是提高效率、提升质量的关键。在素质教育实施的今天，学生“减负”与“提高教学质量”呼声高涨的情况下，小学数学教师如何布置作业,布置怎样的作业,对作业怎样进行反馈既能量少质量高，显得尤为重要。 一、作业多元化、避免单一性 学生常常把作业视为沉重的负担,这与作业脱离学生实际生活,忽视活学活用有关。数学课作业设计若能切合学生的见闻、理解、情感、思维,采用生动活泼的形式,学生就会以更主动的姿态投入到作业中。 1、游戏类作业。游戏是激发兴趣的最好载体。游戏作业带有“玩”的色彩,设计游戏类作业要考虑与所学习的数学内容有关系,此类作业主要用于低年级以及实践强的内容，如一年级的确定位置，让学生说一说自己在第几组第几排，猜一猜第几组第排是谁等。
2、开放性作业:数学创作可以拓展学生想象的空间,增强和丰富他们的想象力,可以是数学设计、数学小论文、数学故事等不同形式。如《分数的认识》时，让学生收集一些故事，如妈妈再见猜名词-分母等知识，有效激发学生的兴趣。 3、实践性作业:数学教材中,许多内容与社会生活密切相关,让学生通过观察、考察、尝试等活动加强社会认知,提升社会参与意识,促进个体社会化进程。如一年级的《人名币的认识》、六年级的打折问题与生活实际密切相关，课后让学生在生活中去实际调查和了解，运用所学知识解决问题。 4、探究性作业。探究性作业,可以培养学习者自己发现问题、解决问题的能力。如六年级长正方体的认识，让学生剪一个盒子、做一个，再如一年级的从不同位置观察物体等放手让学生去做、实际做一做，既培养学生的习惯同时发展学生的空间观念，有效突破教学难点。 5、作业设计要有层次性。学生的学习能力的差异性决定了作业的效率，在一个班的学生中有每个人在学习上都存在着较大的差异，而我们以往的作业、各类教辅资料都是大一统，忽视了学生学习能力的差异性，但相当一部分学生只能是应付老师而完成作业。 作业设计具有较大的地区差异性，如城镇学生的理解、家庭辅导能力和情况等，都是在作业设计时需要考虑的，作业设计一定要针对性和实效性。提高教学质量只有作业的精心设计是远远不够的，学生的反馈是教师检查、调整教学方式进度的重要依据，再次说说对学生的作业的评价的多样性。