(高等数学) 偏微分方程

第十四章 偏微分方程

物理、力学、工程技术和其他自然科学经常提出大量的偏微分方程问题.由于实践的需要和一些数学学科（如泛函分析，计算技术）的发展，促进了偏微分方程理论的发展，使它形成一门内容十分丰富的数学学科.

本章主要介绍一阶偏微分方程、线性方程组及二阶线性偏微分方程的理论.在二阶方程中，叙述了极值原理、能量积分及惟一性定理.阐明了一些解的性质和物理意义，介绍典型椭圆型、双曲型、抛物型方程的常用解法：分离变量法，基本解，格林方法,黎曼方法,势位方法及积分变换法.最后，扼要地介绍了有实用意义的数值解法：差分方法和变分方法.

§1 偏微分方程的一般概念与定解问题

[偏微分方程及其阶数] 一个包含未知函数的偏导数的等式称为偏微分方程.如果等式不止一个，就称为偏微分方程组.出现在方程或方程组中的最高阶偏导数的阶数称为方程或方程组的阶数.

[方程的解与积分曲面] 设函数u 在区域D 内具有方程中所出现的各阶的连续偏导数，如果将u 代入方程后，能使它在区域D 内成为恒等式，就称u 为方程在区域D 中的解，或称正规解. ),,,(21n x x x u u = 在n +1维空间),,,,(21n x x x u 中是一曲面，称它为方程的积分曲面. [齐次线性偏微分方程与非齐次线性偏微分方程] 对于未知函数和它的各阶偏导数都是线性的方程称为线性偏微分方程.如

()()()()y x f u y x c y

u

y x b x u y x a ,,,,=+??+??

就是线性方程.在线性方程中，不含未知函数及其偏导数的项称为自由项，如上式的f (x,y ).若自由项不为零，称方程为非齐次的.若自由项为零，则称方程为齐次的.

[拟线性方程与半线性方程] 如果一个方程，对于未知函数的最高阶偏导数是线性的，称它为拟线性方程.如

()()()()()()0,,,,,,,,,,,,22222122211=+??+??+??+???+??u y x c y u

u y x b x u u y x a y

u u y x a y x u u y x a x u u y x a

就是拟线性方程，在拟线性方程中，由最高阶偏导数所组成的部分称为方程的主部.上面方程的主部为

()()()22222122211,,,,,,y

u

u y x a y x u u y x a x u u y x a ??+???+??

如果方程的主部的各项系数不含未知函数，就称它为半线性方程.如

()()()()0,,,,,,2222=??+??+??+??y y

u y x d x y u y x c y

u y x b x u y x a

就是半线性方程.

[非线性方程] 不是线性也不是拟线性的方程称为非线性方程.如

1)()1(222=??+??+y

u

x u u

就是一阶非线性偏微分方程.

[定解条件] 给定一个方程，一般只能描写某种运动的一般规律，还不能确定具体的运动状态，所以把这个方程称为泛定方程.如果附加一些条件（如已知开始运动的情况或在边界上受到外界的约束）后，就能完全确定具体运动状态，称这样的条件为定解条件.表示开始情况的附加条件称为初始条件，表示在边界上受到约束的条件称为边界条件.

[定解问题] 给定了泛定方程（在区域D 内）和相应的定解条件的数学物理问题称为定解问题.根据不同定解条件，定解问题分为三类.

1? 初值问题 只有初始条件而没有边界条件的定解问题称为初值问题或柯西问题. 2? 边值问题 只有边值条件而没有初始条件的定解问题称为边值问题.

3? 混合问题 既有边界条件也有初始条件的定解问题称为混合问题（有时也称为边值问题）.

[定解问题的解] 设函数u 在区域D 内满足泛定方程，当点从区域D 内趋于给出初值的超平面或趋于给出边界条件的边界曲面时，定解条件中所要求的u 及它的导数的极限处处存在而且满足相应的定解条件，就称u 为定解问题的解.

[解的稳定性] 如果定解条件的微小变化只引起定解问题的解在整个定义域中的微小变化，也就是解对定解条件存在着连续依赖关系，那末称定解问题的解是稳定的.

[定解问题的适定性] 如果定解问题的解存在与惟一并且关于定解条件是稳定的，就说定解问题的提法是适定的.

§2 一阶偏微分方程

一、 柯西-柯娃列夫斯卡娅定理

[一阶偏微分方程的通解] 一阶偏微分方程的一般形式 是

0),,,,,,,,(2121=??????n

n x u

x u x u u x x x F

或

()0,,,,,,,211=n n p p p u x x F ，其中()n i x u

p i

i ,,2,1 =??=

如解出p 1，可得：

p 1 = f (x 1 , x 2 ,…, x n , u , p 2 ,…, p n )

当方程的解包含某些“任意元素”(指函数)，如果适当选取“任意元素”时，可得方程的任意解(某些“奇异解”除外)，则称这样的解为通解.

在偏微分方程的研究中，重点在于确定方程在一些附加条件(即定解条件)下的解，而不在于求通解.

[一阶方程的柯西问题]

()()?????==??=n x x n n x x u p p u x x x f x u

,,|,,,,,,,22211

01

1 ? 称为柯西问题，式中),,(2n x x ?为已知函数，对柯西问题有如下的存在惟一性定理.

[柯西－柯娃列夫斯卡娅定理] 设 f ( x 1 , x 2 ,, x n , u , p 2 ,, p n ) 在点 ( x 10 , x 20 ,, x n 0 , u 0 , p 20 ,, p n 0 ) 的某一邻域内解析，而),,(2n x x ?在点( x 20 ,, x n 0 ) 的某邻域内解析，则柯西问题在点 ( x 10 ,, x n 0 ) 的某一邻域内存在着惟一的解析解.

这个定理应用的局限性较大，因它要求f 及初始条件都是解析函数，一般的定解问题未必能满足这种条件.

对高阶方程也有类似定理.

二、 一阶线性方程

1． 一阶齐次线性方程

[特征方程?特征曲线?初积分(首次积分)] 给定一阶齐次线性方程

在有些书中写作

0),,,,

,,,,,(121=??????n

n x u x u t u u x x x t F

()

()0,,,,,,211211=??++??n

n n n x u x x x a x u x x x a (1) 式中a i 为连续可微函数，在所考虑的区域内的每一点不同时为零(下同).方程组

()n i i

x x x a t

x ,,,d d 21 = ( i = 1,2,, n ) 或

()()()

n n n n n x x x a x x x x a x x x x a x ,,,d ,,,d ,,,d 212122

2111 === (2)

称为一阶齐次线性偏微分方程的特征方程.如果曲线l : x i = x i (t ) ( i =1,2,, n )满足特征方程(2)，就称曲线l 为一阶齐次线性方程的特征曲线.

如果函数ψ ( x 1 , x 2 ,, x n )在特征曲线),,2,1()(n i t x x i i ==上等于常数，即

ψ ( x 1(t ) , x 2(t ) ,, x n (t ) ) = c

就称函数ψ ( x 1, x 2,, x n )为特征方程(2)的初积分(首次积分). [齐次方程的通解]

1o 连续可微函数u = ψ ( x 1, x 2,, x n ) 是齐次线性方程(1)的解的充分必要条件是： ψ ( x 1, x 2,, x n )是这个方程的特征方程的初积分.

2o 设ψi ( x 1 , x 2 ,, x n ) ( i = 1,2,, n 1-) 是特征方程(2)在区域D 上连续可微而且相互独立的初积分(因此在D 内的每一点，矩阵

???????????????????

???????????????????---n n n n n n x x x x x x x x x 12111222121211

1

ψψψψψψψψψ 的秩为n 1-) ，则

u = ω ( ψ1 ( x 1 , x 2 ,, x n ) ,, ψn -1 ( x 1 , x 2 ,, x n ) )

是一阶齐次线性方程(1)的通解，其中ω为n 1-个变量的任意连续可微函数. [柯西问题] 考虑方程的柯西问题

()()?????==??==∑n x x n

i i n i x x u x u x x x a ,,|0,,,21

2101

1 ? 式中? ( x

2 ,, x n )为已知的连续可微函数.

设ψi ( x 1 , x 2 ,, x n ) ( i = 1,2,, n 1-) 为特征方程的任意n 1-个相互独立的初积分，引入参变量 i ψ (1,,2,1-=n i )，从方程组

()()(

)

??

????

?===--1

20112

20

1212011,,,,,,,,,n n n n n x x x x x x x x x ψψψψψψ 解出x 2 ,, x n 得

()()???

?

?==--12112122,,,,,,n n n

n x x ψψψωψψψω 则柯西问题的解为

u = ? ( ω2 ( ψ1 , ψ2 ,, ψn -1 ) ,, ωn ( ψ1 , ψ2 ,, ψn -1 ) )

2． 非齐次线性方程

它的求解方法与拟线性方程相同.

三、 一阶拟线性方程

一阶拟线性方程为

()

()∑==??n

i n i n i u x x x R x u

u x x x a 1

2121,,,,,,,, 其中a i 及R 为x 1 , x 2 ,, x n , u 的连续可微函数且不同时为零. [一阶拟线性方程的求解和它的特征方程]

()()??

???===u x x x R t u

n i u x x x a t x n n i i

,,,,d d )

,,2,1(,,,,d d 2121 或

()()()

u x x R u

u x x a x u x x a x n n n n n ,,,d ,,,d ,,,d 11111 ===

为原拟线性方程的特征方程.如果曲线l : x i = x i (t ) ( i =1,2,, n ) , u = u (t ) 满足特征方程，则称它为拟线性方程的特征曲线.

设 ψi ( x 1 ,, x n ,u ) ( i = 1,2,, n ) 为特征方程的n 个相互独立的初积分，那末对于任何连续可微函数ω，

ω ( ψ1 ( x 1,, x n , u ) , ψ2 ( x 1,, x n , u ) ,, ψn ( x 1,, x n , u ) ) = 0

都是拟线性方程的隐式解.

[柯西问题] 考虑方程的柯西问题

()()()?????==??==∑n x x n

i n i n

i x x u u x x x R x u u x x x a ,,|,,,,,,,,21

212101

1 ? ?为已知的连续可微函数.

设 ψ1 ( x 1 , x 2 ,, x n , u ) ,, ψn ( x 1 , x 2 ,, x n , u ) 为特征方程的n 个相互独立的初积分，引入参变量 n ψψψ,,,21 , 从

()()(

)

??????

?===n

n n n n u x x x u x x x u x x x ψψψψψψ,,,,,,,,,,,,2012

20

1212011

解出 x 2 ,, x n , u

()()()

????

??

?===n n n n n u x x ψψψωψψψωψψψω,,,,,,,,,21212122 则由

()()()()

()()()0

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2121221221121=-≡n n n n n n u x x x u x x x u x x x V ψψψωψψψω?ψψω

给出柯西问题的隐式解.

四、 一阶非线性方程

[完全解·通解·奇异解] 一阶非线性方程的一般形式为

()()n i x u

p p p p u x x x F i

i n n ,,2,10

,,,,,,,,2121 =??=

= 若一阶偏微分方程的解包含任意n 个独立的常数，则称这样的解为完全解(全积分). 若V ( x 1, x 2 ,, x n , u , c 1 , c 2,, c n ) = 0为方程的完全解，从

()n i c V

V i

,,2,10

,0 ==??= 消去c i ，若得一个解，则称它为方程的奇异解(奇积分).

以两个独立变量为例说明完全解与通解、奇异解的关系，设方程

()y

z

q x z p q p z y x F ??=??==,,0,,,,

有完全解

V (x ,y ,z ,a ,b )=0 ( a ,b 为任意常数),

则方程等价于从方程组

()????

???

=??+??=??+??=0,00,,,,q z V

y V p z V x V b a z y x V 消去a ,b 所得的方程.

利用常数变易法把a ,b 看作x , y 的函数，将V (x ,y ,z ,a ,b )=0求关于x , y 的偏导数，得

00=?????+?????+??+??=?????+?????+??+??y

b

b V y a a V q z V y V x

b

b V x a a V p z V x V

那末

0,0=?????+?????=?????+?????y

b b V y a a V x b b V x a a V 与V=0联立可确定a ,b .有三种情况：

1? 0≡??≡??b

V

a V ，将其与V (x ,y ,z ,a ,

b )=0联立可确定不含任意常数的奇异解. 2? 如

0=??=??=??=??y

b x b y a x a ，即回到完全解. 3? 当0/,0/≡??≡??b V

a V 时，必有()()

0,,=??y x b a ，这时，如果不属于情形2? ，则a 与b 存在函数关系：b=ω(a )，这里ω为任意可微函数，并从方程V (x ,y ,z ,a ,b )=0和

()????ωV a V

b

a +'=0消去a ,

b ，可确定方程的通解.

定理 偏微分方程的任何解包含在完全解内或通解内或奇异解内. [特征方程·特征带·特征曲线·初积分] 在一阶非线性方程：

()F x x x u p p p n n 12120,,,,,,,, =

中，设F 对所有变量的二阶偏导数存在且连续，称

()

n i u

F

p x F t p p F p t u p F

t x i i i n

i i

i

i i ,,2,1)(d d d d ,1 =??+??-=??=??=??∑=

或

u F p x F p u F p x F p p F

p u

p F x p F x

p F x n n

n

n

i i i n

n ??+??-

==??+??-

=??=??==??=??∑=d d d d d d 111

12211

为非线性方程的特征方程.设特征方程的解为x i =x i (t ), u=u (t ), p i =p i (t ) (i =1,2,…,n )称它为非线性方程的特征带.在x 1,x 2,, x n ,u 空间的曲线x i =x i (t ), u=u (t ) (i=1,2,…,n )称为非线性方程的特征曲线.如果函数()n n p p p u x x x G ,,,,,,,,2121 在特征方程的任一解x i =x i (t ) (i =1,2,, n ), u=u (t ), p i =p i (t ) (i =1,2,, n )上等于常数，即

()()()()()()()()G x t x t x t u t p t p t p t C n n 1212,,,,,,,, =

那末函数()n n p p p u x x x G ,,,,,,,,2121 称为特征方程的初积分.

[求完全解的拉格朗日－恰比方法] 考虑两个变量的情况.

对于方程F (x ,y ,z ,p ,q )=0，选择使雅可比式

()()

0,,≠??q p G F 的一个初积分G (x ,y ,z ,p ,q ).解方程组

()()F x y z p q G x y z p q a

,,,,,,,,==??

???0

(a 为任意常数) 得p (x ,y ,z ,a )及q (x ,y ,z ,a ).则方程

d z=p d x+q d y

的通解V (x ,y ,z ,a ,b )=0(b 是积分d z=p d x+q d y 出现的任意常数)就是方程F (x ,y ,z ,p ,q )=0的完全解.

例 求方程()

z p q x y 22222

+=+的完全解.

解 方程的特征方程为

()()()

q

y x z y q

p q p z x p q p z z q z y p z x 22222222222d 22d 2d 2d 2d +-=+-=+== 这里成立

zp

x

x p z z p d d d =+ 所以特征方程的一个初积分为z 2p 2 －x 2 .

解方程组 ()()

z p q x y z p x a

22222222

+-+=-=????? (a 为任意常数) 得 p a x z

q y a

z

=

+=-2

2, 积分微分方程

dz a x z

dx y a

z

dy =++

-2

2 得完全解

z x x a y y a a x x a y y a

b 2

2

2

22

=++-++++-+ln

(b 为任意常数)

[某些容易求完全解的方程] 1? 仅含p ,q 的方程F (p ,q )=0

G =p 是特征方程的一个初积分.从F (p ,q )=0与p=a (a 为任意常数)得q=ψ(a )，积分

d z=a d x+ψ(a )d y

得完全解

z=ax+ψ(a )y+b (b 为任意常数)

2? 不显含x ,y 的方程F (z ,p ,q )=0 特征方程为

z

F

q

q

z F p p q F q p F p z q F y p F x ??-=??-=??+??=??=??d d d d d 因此q d p-p d q =0，显然G q

p

=为一个初积分，由F (z ,p ,q )=0，q=pa (a 为任意常数)解得

p=ψ(z ,a ).于是由

d z=ψ(z ,a )d x+a ψ(z ,a )d y

得

()?++=b ay x a z z

,d ψ (b 为任意常数)

可确定完全解.

3? 变量分离形式的方程()f x p i i i i n

,=∑=10

特征方程为

n n n n i i i

i

n n n x f p x f p p f p z p f x p f x ??-==??-=??=??==??∑=d d d d d 1111

111 可取初积分G i =f i (x i ,p i ) , (i =1,2,, n ).从f i (x i ,p i )=a i (i =1,2,, n )解出

p i =?i (x i ,a i )

得完全解

()∑?=+=n

i i i i i b x a x z 1d ,?

式中a i ,b 为任意常数，且a i i n

=∑=1

0.

[克莱罗方程] 方程

()z p x f p p p i i n i n

=+=∑121,,,

称为克莱罗方程，其完全解为

()z c x f c c c i i n i n

=+=∑121

,,,

对c i 微分得

x f

c i i

=-

?? (i =1,2,…,n ) 与完全解的表达式联立消去c i 即得奇异解.

例 求方程z －xp －yq －pq =0的完全解和奇异解. 解 这是克莱罗方程，它的完全解是

z=ax+by+ab

对a,b 微分，得x=－b,y=－a ，消去a ,b 得奇异解

z=－xy

[发甫方程] 方程

P (x,y,z )d x+Q (x,y,z )d y+R (x,y,z )d z=0 (1)

称为发甫方程，如果P,Q,R 二次连续可微并满足适当条件，那末方程可积分.如果可积分成一关系式时，则称它为完全可积.

1? 方程完全可积的充分必要条件 当且仅当P,Q,R 满足条件

0)()()(=??-??+??-??+??-??y

P x Q R x R z P Q z Q y R P (2) 时，存在一个积分因子μ(x,y,z )，使

d U 1=μ(P d x+Q d y+R d z )

从而方程的通解为

U 1(x,y,z )=c

特别，当

0,0,0=??-??=??-??=??-??y

P x Q x R z P z Q y R 时，存在一个函数U (x,y,z )满足 z

U R y U Q x U P ??=??=??=,,

从而 d U=P d x+Q d y+R d z 所以方程的通解为

U (x,y,z )=c

所以完全可积的发甫方程的通解是一单参数的曲面族.

定理 设对于发甫方程(1)在某区域D 上的完全可积条件(2)成立，则对D 内任一点M (x,y,z )一定有方程的积分曲面通过，而且只有一个这样的积分曲面通过. 2? 方程积分曲面的求法

设完全可积条件(2)成立.为了构造积分曲面，把z 看成x,y 的函数(设R (x,y,z )≠0)，于是原方程化为

y R

Q x R P z d d d --=

由此得方程组

()()()()

???????≡-=??≡-=??4,,3,,11z y x Q R Q y z z y x P R P x

z

发甫方程(1)与此方程组等价.

把方程(3)中的y 看成参变量，积分后得一个含有常数 c 的通解 ()c

y x z ~;,?= 然后用未知函数()~c

y 代替常数 c ，将()()z x y c y =?,;~代入方程(4)，在完全可积的条件下，可得()~c

y 的一个常微分方程，其通解为 ()()~,c

y y c =ψ c 为任意常数，代回()()z x y c

y =?,;~中即得发甫方程的积分曲面 z=?(x,y,ψ(y,c ))

由于发甫方程关于x,y,z 的对称性，在上面的讨论中，也可把x 或y 看成未知函数，得到同样的结果.

例 求方程yz d x+2xz d y+xy d z=0的积分曲面族.

解 容易验证完全可积条件成立，显然存在一个积分因子μ=1

xyz

，用它乘原方程得 0d d 2d =++z

z y y x x 积分后得积分曲面族

xy 2z=c

也可把方程化为等价的方程组

???????-

=??-=??y z y

z x z x

z 2 把y 看成参变量，积分

x

z

x z -=??得通解 zx c

= 用未知函数()~c

y 代替 c ，将()y c zx ~=代入方程y z y z 2-=??得 ()()y

y c

y y c ~2d ~d -= 积分后有

()~c

y c y =2

所以原方程的积分曲面族是

xy 2z=c

五、 一阶线性微分方程组

[一阶线性偏微分方程组的一般形式] 两个自变量的一阶线性方程组的形式是

()n i F u C x u B t u A i n j j ij n j n j j

ij j ij ,,2,101

11 ==++??+??∑∑∑=== 或

()n i f u b x u a t u i n j j ij n j j ij i

,,2,10

1

1 ==++??+??∑∑== (1) 其中A ij ,B ij ,C ij ,F i ,a ij ,b ij ,f i 是(x,t )的充分光滑函数. [特征方程·特征方向·特征曲线]

?

??=≠==-j i j i t x

a ij ij ij ,1,0,0)d d det(δδ

称为方程组(1)的特征方程.在点(x,t )满足特征方程的方向t

x

d d 称为该点的特征方向.如果一条

曲线l ，它上面的每一点的切线方向都和这点的特征方向一致，那末称曲线l 为特征曲线. [狭义双曲型方程与椭圆型方程] 如果区域D 内的每一点都存在n 个不同的实的特征方向，那末称方程组在D 内为狭义双曲型的.

如果区域D 内的每一点没有一个实的特征方向，那末称方程组在D 内为椭圆型的. [狭义双曲型方程组的柯西问题] 1? 化方程组为标准形式——对角型

因为det(a ij -δij λ)=0有n 个不同的实根λ1(x,t ) ,, λn (x,t )，不妨设

),(),(),(21t x t x t x n λλλ<<<

那末常微分方程

()

()n i t x t

x

i ,,2,1,d d ==λ 的积分曲线l i (i =1,2,…,n )就是方程组(1)的特征曲线. 方程

()

()

a

ij

k ij k i i n

-==∑λδλ1

的非零解(λk (1) ,, λk (n ))称为对应于特征方向λk 的特征矢量. 作变换

()()n i u v n

j j

j i i ,,2,11

==∑=λ

可将方程组化为标准形式——对角型

()()()

()n i t x v t x a x v t x t v i n

j j ij i

i i ,,2,1,,,1

=+=??+??∑=βλ 所以狭义双曲型方程组可化为对角型，而一般的线性微分方程组(1)如在区域D 内通过未知函数的实系数可逆线性变换可化为对角型的话，(此时不一定要求 λi 都不相同)，就称这样的微分方程组在D 内为双曲型的. 2? 对角型方程组的柯西问题 考虑对角型方程组的柯西问题

()()()()()()n i x x v t x v t x a x v t x t

v i i

n

j i j ij i i i

,,2,10,,,,1 =???

??=+=??+??∑=?βλ ?i (x )是[a,b ]上的连续可微函数.设αij ,βi ,λi 在区域D 内连续可微，在D 内可得相应的积分方程组

()()()n i t

v x t x v i

l i n j j ij i i i ,,2,1d ,~1 =??

?

???++=?∑=βα? 式中 l i 为第i 条特征曲线l i 上点(x,t )与点(x i ,0)之间的一段，(x i ,0)为l i

与x 轴上[a,b ]的交点.上式可以更确切地写为

()()[]()[]()[]()[]?∑?

??

???+?+==t n j i i i j i ij i i i t x x t x x v t x x a t x x t x v 0

1d ,,,,,,,,,0,,,τττβττττ?

(i =1,2,, n )

式中x i =x i (x ?,t ?,t )为过点(x ?,t ?)的第i 条特征曲线，利用逐次逼近法可解此积分方程.为此令

()()()[]

()()

()()[]()[]()()[]

()[]()

()

()()[]()[]()()[]

()[]()

n i t x x t x x v t x x a t x x t x v n i t x x t x x v t x x a t x x t x v n i t x x t x v i i t

n

j i k j i ij i i k i

i i t

n

j i j i ij i i i

i i i ,,2,1d ,,,,,,,,,0,,,,,2,1d ,,,,,,,,,0,,,,,2,10,,,}{}{01

101

010=+?+==+?+===?∑?∑=-=τ

ττβττττ?τ

ττβττττ??

序列{v i (k )} (k =0,1,2 ,)一致收敛于积分方程的连续可微解v i (x,t ) (i =1,2,, n )，这个v i (x,t )也就是对角型方程组的柯西问题的解.

设在区域D 内对角型方程组的柯西问题的解存在，那末解与初值有下面的关系：

(i) 依赖区间：过D 中任意点M (x,t )作特征曲线l 1,l n ，交x 轴于B,A ，称区间[A,B ]为M 点的依赖区间(图14.1(a ))，解在M 点的值由区间[A,B ]的初值确定而与[A,B ]外的初值无关. (ii) 决定区域：过点A,B 分别作特征曲线l n ,l 1,称l n ,l 1 与区间[A,B ]围成的区域D 1为区间[A,B ]的决定区域(图14.1(b ))，在区域D 1中解的值完全由[A,B ]上的初值决定.

(iii) 影响区域：过点A,B 分别作特征曲线l 1,l n ，称l 1,l n 与[A,B ]围成的区域D 2为区间[A,B ]的影响区域(图14.1(c )).特别当区间[A,B ]缩为一点A 时，A 点的影响区域为D 3(图14.1(d )).在区域D 2中解的值受[A,B ]上的初值影响，而在区域D 2外的解的值则不受[A,B ]上的初值影

响

.

图14.1

[线性双曲型方程组的边值问题] 以下列线性方程组来说明：

()??????

?<++=??+??++=??+??2122221111λλλλc v b u a x v t v c v b u a x

u t u (1) 1? 第一边值问题(广义柯西问题) 设在平面(x,t )上给定曲线段?

AB ，它处处不与特征方向相切.过A,B 分别引最左和最右的特征曲线l 1及l 2.要求函数u (x,t ),v (x,t )在?

AB ，l 1及l 2围成的闭区域D 上满足方程组，且在?

AB 上取给定的函数值(图14.2(a )).

2? 第二边值问题(古沙问题) 设l 1是过P 点的第一族特征线，l 2是第二族特征线，在l 1的一段PA 上给定v (x,t )的数值，在l 2的一段PB 上给定u (x,t )的数值，过A 点作第二族特征线，过B 点作第一族特征线相交于Q .求在闭区域PAQB 上方程组的解(图14.2(b )).

3? 第三边值问题 设AB 为非特征曲线的曲线弧，AC 为一特征线弧，且在AB 与AC 之间不存在过A 点的另外特征曲线,过C 点作第二族特征线与过B 点的第一族特征线交于E 点，在AC 上给定v (x,t )的数值，在AB 上给定u (x,t )的数值，求ACEBA 所围成的闭区域D 上的方程组的解(图14.2(c

)).

图14.2

[边值问题的近似解——特征线法] 以上定解问题，可用逐步逼近法求解，也可用特征线法求解的近似值.以第一边值问题为例说明.

在曲线AB 上取n 个分点A 1,A 2,, A n ，并记A 为A 0，B 为A n +1，过A 0按A 0的第二特征方向作直线与过A 1按A 1的第一特征方向作直线相交于B 0；过A 1按A 1第二特征方向作直线与过A 2按A 2的第一特征方向作直线相

交于B 1 ,最后得到B n (图14.3).用如下的近似公式来

确定方程组(1)的解u (x,t ),v (x,t )在B i (i =0,1,2,…,n )的数值：

()()()()()()(){}()[]

()()()()()()(){}()[]

u B u A B A a A u A b A v A c A A v B v A B A a A u A b A v A c A A i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i -=++?+-=++?+???

?

?+++++++--

11111111112

122212

1212

11λλ

图14.3

于是在一个三角形网格的节点上得到u,v 的数值.再经过适当的插值，当n 相当大，A i 、A i +1的距离相当小时，就得到所提问题的足够近似的解.

[特殊形式的拟线性方程组——可化约系统] 一般的拟线性方程组的问题比较复杂，目前研究的结果不多，下面介绍一类特殊形式的拟线性方程组——可化约系统.如果方程组

??????

?=??+??+??+??=??+??+??+??0022221111x v D t v C x u B t

u A x

v D t v C x u B t u

A 中所有的系数只是u,v 的函数，称它为可化约系统. 考虑满足条件

()()

0,,≠??t x v u 的方程组的解u=u (x,t ),v=v (x,t ).x,t 可以表示成u,v 的函数，且

()()()()()()()

()

v u t x u t x v v u t x u x t v v u t x v t

x u v u t x v x t u ,,,,,,,,,,????=??????-=

??????-

=

??????=?? 原方程化为

??????

?=??+??-??-??=??+??-??-??0022221111u t D u x C v t B v

x A u

t D u x C v t B v x

A 这是关于自变量u,v 的线性方程组.这样就把求拟线性方程组满足

()()

0,,≠??t x v u 的解，化为解线性方程组的问题.而此线性方程组满足条件

()()

0,,≠??v u t x 的解，在(x,t )平面上的象即为原来拟线性方程组的解.

§3 二阶偏微分方程

一、 二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程

考虑二阶偏微分方程

()0),,,,,,(111,2=????+???∑=n

n

n

j i j i ij x u x u u x x F y x u x a (1) 式中a ij (x )=a ij (x 1,x 2,…,x n )为x 1,x 2,…,x n 的已知函数.

[特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征锥面]

代数方程

()01

,=∑=n

j i j

i

ij

a

a x a

称为二阶方程(1)的特征方程；这里a 1,a 2,…,a n 是某些参数，且有01

2≠∑=n

i i a .如果点

x ?=(x 1?,x 2?,…,x n ?)满足特征方程，即

()01

,o =∑=n

j i j

i

ij

a

a x a

则过x ?的平面()

01

o

=-∑=n

k k

k k x x a 的法线方向l :(a 1,a 2,…,a n )称为二阶方程的特征方向；如果一个(n 1-)维曲面，其每点的法线方向都是特征方向，则称此曲面为特征曲面；过一点的

(n 1-)维平面，如其法线方向为特征方向，则称这个平面为特征平面，在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面.

[n 个自变量方程的分类与标准形式] 在点P (x 1?,x 2?,…,x n ?)，根据二次型

()∑=n

j i j

i

n

ij

a

a x x x a 1

,o o 2

o 1

,,, (a i 为参量)

的特征根的符号，可将方程分为四类：

(i) 特征根同号，都不为零，称方程在点P 为椭圆型.

(ii) 特征根都不为零，有n 1-个具有同一种符号 ，余下一个符号相反，称方程在点P 为双曲型.

(iii) 特征根都不为零，有m n -个具有同一种符号(n >m >1)，其余m 个具有另一种符号，称方程在点P 为超双曲型.

(iv) 特征根至少有一个是零，称方程在点P 为抛物型.

若在区域D 内每一点方程为椭圆型，双曲型或抛物型，则分别称方程在区域D 内是椭圆型、双曲型或抛物型.

在点P 作自变量的线性变换可将方程化为标准形式：

椭圆型：∑==+??n

i i

x u

1220Φ

双曲型：∑==+??-??n i i

x u

x u 22120Φ

超双曲型：()10112

222>>=+??-??∑∑=+=m n x u

x u m i n

m i i

i Φ

抛物型：()00

122>=+??∑-=m x u

m

n i i

Φ 式中Φ为不包含二阶导数的项.

[两个自变量方程的分类与标准形式] 方程的一般形式为

0,,,,222222122211=????

?

?????+??+???+??y u x u u y x F y u a y x u a x u a (2) a 11,a 12,a 22为x ,y 的二次连续可微函数，不同时为零. 方程

a 11d y 22-a 12d x d y +a 22d x 2=0

称为方程(2)的特征方程.特征方程的积分曲线称为二阶方程(2)的特征曲线. 在某点P (x 0,y 0)的邻域D 内，根据Δ=a 122－a 11a 12的符号将方程分类： 当Δ>0时，方程为双曲型； 当Δ=0时，方程为抛物型； 当Δ<0时，方程为椭圆型.

在点P 的邻域D 内作变量替换，可将方程化为标准形式：

（i ） 双曲型：因Δ>0，存在两族实特征曲线11),(c y x =?，22),(c y x =?，作变换),(1y x ?ξ=，),(2y x ?η=和,,ηηξ-=+=s t s 方程化为标准形式

),,,,(2222t

u

s u u t s t u s u ????=??-??Φ

或

),,,,(12η

ξηξΦηξ????=???u

u u u （ii ） 抛物型: 因Δ=0，只存在一族实的特征曲线c y x =),(?，取二次连续可微函数

),(y x ψ，使0)

,()

,(≠??y x ψ?，作变换),(y x ?ξ=，),(y x ψη=，方程化为标准形式

),,,,(22

2η

ξηξΦη????=??u

u u u （iii ） 椭圆型：因Δ<0，不存在实特征曲线，设

c y x i y x y x =+=),(),(),(21???

为11

22

112

1212d d a a a a a x y -+=的积分，y x ??,不同时为零，作变量替换),(1y x ?ξ=，),(2y x ?η=,方程化为标准形式

),,,,(32

222η

ξηξΦηξ????=??+??u

u u u u

二、 极值原理·能量积分·定解问题的惟一性定理

椭圆型方程、抛物型方程的极值原理及双曲型方程的能量守恒原理是相应方程的解所具

有的最基本性质之一，在定解问题的研究中起着重要的作用. [椭圆型方程的极值原理与解的惟一性定理]

1? 极值原理 设D 为n 维欧氏空间E n 的有界区域，S 是D 的边界，在D 内考虑椭圆型方程

()()()()x x x x f u c x u

b x x u a Lu n

i i i n j i j i ij =+??+???≡∑∑==11,2

式中a ij (x ),b i (x ),c (x ),f (x )在D 上连续，c (x )≤0且二次型()∑=n

j i j i ij a a a 1,x 正定，即存在常数

μ>0，对任意x D ∈和任意的a i 有

()∑∑==≥n

i i n

j i j

i

ij

a a

a a 1

2

1

,μx

定理1 设u (x )为D 内椭圆型方程的解，它在D 内二次连续可微，在D 上连续，且不是常

数，如f (x )≤0（或f (x )≥0），则u (x )不能在D 的内点取非正最小值（或非负最大值）. 如果过边界S 上的任一点P 都可作一球，使它在P 点与S 相切且完全包含在区域D 内，则有 定理2 设u (x )为椭圆型方程在D 内二次连续可微，在D 上连续可微的解，且不是常数，并设f (x )≤0（或f (x )≥0）.若u (x )在边界S 上某点M 处取非正最小值（或非负最大值），只要外法向导数错误！未定义书签。在点M 存在，则

()0??N

M u ) 2? 定解问题

(i)

第一边值问题（狄利克莱问题） ()()lu u ≡=ξψξ (ξ∈S )

(ii) 第二边值问题（诺伊曼问题）

()ξψ=??≡N

u lu (ξ∈S )

其中 N 为S 的外法线方向.

(iii) 第三边值问题（混合问题）

()()()ξψξξ=+??≡u b N

u

a lu (ξ∈S )

a (ξ),

b (ξ),ψ(ξ)在S 上连续，N 是S 的外法线方向，a (ξ)≥0,b (ξ)≤0，且a 2(ξ)+b 2(ξ)≠0. 3? 解的惟一性问题 设

c (x )及b (ξ)不同时恒等于零，如果定解问题Lu=f ,lu=ψ的解存在，则是惟一的，设c (x )及b (ξ)都恒等于零，如果定解问题Lu=f ,lu=ψ的解存在，则除相差一个常数外，解是惟一的.

[抛物型方程的极值原理与解的惟一性定理] 设Q 为柱体D T ?0,，在柱体内部D T ?(,]0 考虑抛物型方程

()()()()∑∑===??-+??+???≡n j i n

i i i j i ij t f t u

u t c x u t b x x u t a Lu 1,12,,,,x x x x

式中a ij (x ,t ),b i (x ,t ),c (x ,t ),f (x ,t )在Q 上连续，0),(≤t x c 且()∑=n

j i j i ij a a t a 1,,x 正定.

1? 强极值原理 设u (x ,t )为抛物型方程Lu=f (x ,t )在D ×(0,T )内连续可微在Q 上连续的

解.并设f (x )=0，若u (x ,t )在D ×(0,T ]的某点(x 0,t 0)取非负的最大值，即

()()0,max ,00≥==m t u t u x x

则对任意满足下列条件的点P (x ,t )，都有u (x ,t )=m ：点P (x ,t )满足t

如在Q 的侧边界Γ:S ×[0,T ]上（S 是D 的边界）任一点P 都可作一球，使它在P 点与Γ相切且完全在D ×(0,T )内，则有

定理 设u (x ,t )在Q 上连续，在D ×(0,T ]内满足抛物型方程Lu=f ，且不是常数，设 f ≤

0，若u (x ,t )在Γ上某点M 处取非正最小值，只要外法向导数N

u

??在点M 存在，则 ()0

M u 2? 柯西问题与混合问题 柯西问题的初值条件是

()x ?==0t u 混合问题按下列的定解条件分别称为

(i) 第一边值问题：()x ?==0t u ,()t u ,ξψΓ=;

(ii) 线性边值问题：()x ?==0t u ,()()()t u t b N u t a ,,,ξψξξΓ

=???

???+??, 其中N 为Γ的外法线方向()()()()()()T t S t b t a t D ≤≤∈∈0,,,,,,,ξξξξψ?x x 为已知函数，a ≥0，

b ≤0，a 2+b 2≠0

3? 解的惟一性定理 如果抛物型方程Lu=f 的混合问题的解存在,那末它是惟一的.如果柯西问题存在有界的解，那末在有界函数类中，解是惟一的. [波动方程的能量积分与解的惟一性定理]

1? 波动方程的柯西问题与混合问题 设波动方程为

()∑=??==-??n

i i x u u t x f u a t u 1222

22Δ,,Δ 柯西问题的初值条件是

()()x x ψ?=??===0

0,

t t t u

u 如果在有界区域Q :D ×(0,T ]中考虑波动方程，记Q 的侧边界为Γ，则混合问题的定解条件是

(i) 第一边值问题

()()()???

?

??

?==??===t u t u

u t t ,,00

ξμψ?Γx x (ii) 第二边值问题

()()()???

???

?=??=??===t N u t u

u t t ,,00

ξμψ?Γx x (iii) 第三边值问题

()()()????

??

?=+??=??===t u N

u x t u

x u t t ,)(,00

ξμσψ?Γ 式中N 为Γ 的外法线方向，υ(x ),ψ(x )为D 上的已知函数，σ(ξ,t )及μ(ξ,t ) (ξ∈Γ,0≤t ≤T )

为定义在Γ上的已知函数，σ(ξ,t )≠0.

2? 解的惟一性定理 波动方程的混合问题与柯西问题的解如果存在必定惟一. 惟一性定理可用下面能量积分证明. 3? 能量积分 积分

()Ωd )()(122

2?∑??

??????+??==D

n

i i x u a t u t E *

称为波动方程的能量积分.

满足齐次波动方程及u |Γ=0（或

0=??Γ

N u

）的函数u (x ,t )成立： 能量守恒原理 E (t )=E (0). 能量不等式 ()()()?-+≤t t t t E e e E e t E 0

00d 0ττ

式中 ?=D

u a t E Ωd )(220

满足齐次波动方程及

0=??Γ

N

u 的函数，在上面能量不等式E (t )中增加一项?Γ

σs u a d 22，上面

关系仍成立.

对于柯西问题,在特征锥

(

)

()x x a R t i i i n

-≤-=∑0

2

1

22

（R 为大于零的常数）

中考虑齐次波动方程的解u ,记特征锥与t=t 0的截面为Ωt 0，关于能量积分

()ΩΩΩd )()(122

2?∑??

??????+??==t

n

i i t t x u a t u E

成立下面的能量不等式

()()

()()()()

1

111t t

t t

t

t t E e E e E E E ΩΩπΩΩ-+≤≤

式中 ?=t

u a E t ΩΩΩd )(220

*

?D

Ωd ][是n D

x x d d ][1 ??的简写,下同.

πt 是 t=常数的超平面与以Ωt 0为上底所作的柱体（母线平行于Ot 轴）的交截面.

三、 三种典型方程

1. 波动方程

研究下面形式的波动方程

()t z y x f z

u y u x u a t u ,,,)(222222

222=??+??+??-?? 式中f (x ,y ,z ,t )为已知函数.

许多物体的运动规律可用波动方程来描述.如弦振动可用一维波动方程描述；膜的振动可用二维波动方程描述；声波和电磁波的振荡可用三维波动方程描述.

[齐次方程柯西问题的解] 设齐次波动方程的柯西问题满足下面初始条件：

()()z y x t u

z y x u t t ,,,,,0

0ψ?=??===

并设?三次连续可微，ψ二次连续可微，那末解u 的表达式分别为 1? 三维（克希霍夫公式）

()???

?

??????+=????at at S S S t t S t a t z y x u d d 41,,,2?ψπ 式中S at 表示球面：()()()ξηξ-+-+-=x y z a t 2

2

2

22

，d S 表示球面的面积元素. 2? 二维（泊松公式）

()()()()[]()()()[]

????

?

????

?----??+----=????at

at K K y x t a t y x t a a t y x u 212

22

2212222d d ,d d ,21,,ηξη

ξηξ?ηξηξηξψπ 式中K at 表示圆： ()()ξη-+-≤x y a t 2

2

22

. 3? 一维（达兰贝尔公式）

()()()()?+-+++-=at

x at

x a at x at x t x u ξξψ??d 212,

利用降维法可从高维的解推得低维的解.

[非齐次方程柯西问题的解] 非齐次波动方程柯西问题的解等于上面齐次方程柯西问题的解添加一项所谓推迟势1u .

1? 三维

()???≤-=at

r r a r

t f a t z y x u ζηξζηξπd d d )

,,,(41,,,21 式中积分区域是以(x,y,z )为中心，at 为半径的球体,

()()()

[

]

r x y z =-+-+-ξηζ2

2

21

2

2? 二维

()()()()()[]

()τηξτη

ξτηξπτρd d d ,,21,,02122221???????

?

????

?-----=-≤t t a

y x t a f a t y x u 式中 ()()ρξη22

2

=-+-x y .

一维

()()()()

τξτξττd d ,21,01??????

??=

-+--t t a x t a x f a t x u [解的物理意义] 波动方程解的表达式具有明确的物理意义.

1? 波的传播 以弦振动为例，在达兰贝尔公式中，形如?(x-at )的解描写了弦振动以常速度a 向右传播，称?(x-at )为右传播波，?(x +at )为左传播波，a 为波速.

2? 依赖区间 过点P (x,t )作两条特征线x at -=c 1，x +at=c 2交x 轴于x 1，x 2，则区间[x 1,x 2]称为点P 的依赖区间，由达兰贝尔公式可见解在P 点的值只与[x 1,x 2]上初始条件有关，而与区间外?(x )，ψ(x )的值无关.

3? 决定区域 过x 轴上两点x 1，x 2(x 1

x=x 1+at ，x=x 2at -

则三角形区域 x 1+at ≤x ≤x 2at - (t >0)

称为[x 1,x 2]的决定区域(图14.4(a ))，在区域中解的数值由[x 1,x 2]上的初始条件完全决定.任意改变初始条件在[x 1,x 2]外的数值，解在此区域中不会发生任何变化.

图14.4

4? 影响区域 过x 轴上两点)(,2121x x x x <分别作特征线

x=x 1at -，x=x 2+at

称区域 x 1-at ≤x ≤x 2at + (t >0)

为[x 1,x 2]的影响区域(图14.4(b )).在此区域中，解的数值受到[x 1,x 2]上初始条件的影响，而在此区域外，解的值不受[x 1,x 2]上的初始条件影响，当区域[x 1,x 2]缩为一点x 0时，点x 0的影响区域为x 轴上区间(图14.4(c ))

x 0at -≤x ≤x 0+at (t >0)

对二维波动方程，点(x 0,y 0,t 0)的依赖区域为t=0上的圆.

(x －x 0)2+(y －y 0)2≤a 2t 02

在t=0上圆(x －x 0)2+(y －y 0)2≤a 2t 02的决定区域是以(x 0,y 0,t 0)为顶点的圆锥体区域(图14.5(a )).

(x －x 0)2+(y －y 0)2≤a 2(t －t 0)2 (t ≤t 0)

初始平面t=0上一点(x 0,y 0,0)的影响区域为圆锥体(图14.5(b )).

(x －x 0)2+(y －y 0)2≤a 2t 2 (t>0) (1)

初始平面t=0上某一区域的影响区域，就是由此区域上每一点所作的圆锥体(1)的包络面所围成的区域.

图14.5

对三维波动方程，点(x 0,y 0,z 0,t 0)的依赖区域为t=0上的球面

(x －x 0)2+(y －y 0)2+(z －z 0)2=a 2t 02

初始平面t=0上的球体

(x －x 0)2+(y －y 0)2+(z －z 0)2≤a 2t 02

的决定区域是以它为底，以(x 0,y 0,z 0,t 0)为顶点的圆锥体区域

(x －x 0)2+(y －y 0)2+(z －z 0)2≤a 2(t －t 0)2 (t ≤t 0)

在初始平面t=0上点(x 0,y 0,z 0,0)的影响区域为锥面

(x －x 0)2+(y －y 0)2+(z －z 0)2=a 2t 2 (t>0) (2) 初始平面上某一区域的影响区域就是它上面的每一点所作的锥面(2)的包络面围成的区域. 二维与三维波的传播存在着下述本质区别.

5? 惠更斯原理 对三维波动方程，点(x 0,y 0,z 0,0)的影响区域为

(x －x 0)2+(y －y 0)2+(z －z 0)2≤a 2t 2 (t>0)

若在某一有界区域Ω有一个初始扰动，在时刻t 受到此初始扰动的影响区域就是所有以点Ω∈M 为中心，以at 为半径的球面全体，当t 足够大时，这种球面族有内外包络面，称外包络面为传播波的前阵面，内包络面为后阵面.前阵面以外的部分表示扰动尚未传到的区域，后阵面以内的部分是波已传过并恢复了原来状态的区域，前后阵面之间的区域就是受到扰动影响的部分，在三维，波的传播有清晰的前阵面与后阵面，称为惠更斯原理或称无后效现象. 6? 波的弥散 对二维波动方程，点(x 0,y 0)的影响区域为

(x －x 0)2+(y －y 0)2≤a 2t 2

若在有界区域Ω内有一个初始扰动，则波的传播只有前阵面而无后阵面，所以当Ω的初始扰动传到某点后，扰动对此点的影响不会消失，不过随时间的增加而逐渐减弱.这种现象称为波的弥散，或说波具有后效现象. 2. 热传导方程

热传导方程的一般形式为

()t x f u a t

u

,2=-??? 式中f (x,t )为连续有界函数.

热传导方程是描述热的传导过程，分子的扩散过程等物理规律的. 对于n 维热传导方程的柯西问题的初值条件为

()()u x x x x i n t n i ==-∞<<+∞=01212?,,,,,,, 式中?为连续有界函数，方程的解的表达式为

()

()

()()()()()[]

()()()τξξτξξτπτξξξξξξξξ?πd d d t a x x t a f d d t a x x t a t x x u t

n n n n n n n n n n n

n

n ????????

????????? ??--++---+????

??-++--=

∞∞-∞∞-∞

∞-∞

∞-0122

2111122211114exp 2,,,4exp ,,21

,,, 3. 拉普拉斯方程

研究重力场、静力场、磁场以及一些物理现象（如振动、热传导、扩散）的平衡或稳定过程，通常得到椭圆型方程，最典型的方程为拉普拉斯方程

Δu=0

及泊松方程

Δu=ρ

式中ρ为已知函数，Δ为拉普拉斯算子，∑=??=n

i i

x u

u 122?

[圆或球的狄利克莱问题解的泊松积分] 当区域为圆或球时，分别采用极坐标(r,?)或球坐标(r ,θ,?)较为方便. Δu=0的极坐标形式为

02222

2=??+??+???u r u r r

u r Δu=0的球坐标形式为

0sin 1sin sin 12

222=??+

??? ??????+??? ???????θθθθθu

u r u r r 狄利克莱问题解的泊松积分为

1? 区域是圆时，Δu=0, u |r=a =ξ(?)，解为泊松积分

()()()?-+---=ππψ?ψψξπ?d cos 221,222

2r

ar a r a r u 式中ξ(?)为已知连续函数，ξ(?)=ξ(?+2π).

2? 区域是球时，Δu=0, u |r=a =ξ(?θ,)，解为泊松积分

()()

()

??'''+--''=

ππ

?θθγ?θξπ

?θ20

2

322

2

2d d sin cos 2,4,,r

ar a

r a a

r u

式中ξ(?θ,)为已知连续函数，

()??θθθθγ'-'+'=cos sin sin cos cos cos

[调和函数的性质] 二维拉普拉斯方程的连续解称为调和函数，它具有以下重要性质： 1? 设函数u (x,y )在以S 为边界的有界区域D 内调和，在D 上有连续一阶偏导数，则

0d =???S s N u

式中N

u ??为外法向导数.

2? 算术平均值定理 设函数u (x,y )在圆的内部调和，在闭圆上连续，则u (x,y )在圆心的值等于它在圆周上的值的算术平均值.

3? 每一个调和函数u (x,y )对x,y 无穷次可微.

4? 哈拉克第一定理（一致收敛定理） 设{u k (x,y )}, (k =1,2 ,)在有界区域D 内调和，在D 上连续，如果u k (x,y )在D 的边界上一致收敛，则在D 内也一致收敛，并且极限函数在D 内调和.

5? 哈拉克第二定理（单调性定理） 设调和函数列{u k (x,y )}, (k =1,2,…)在D 的某一内点收敛，且对于任意k ，

u k +1(x,y )≥u k (x,y )

则u k (x,y ) 在D 内处处收敛于某调和函数，同时在D 的每一有界闭子区域上一致收敛.

6? 刘维尔定理 如函数u (x,y )在全平面上调和且不是常数，则它不可能有上界和下界. 7? 可去奇点定理 设u (x,y )在A 点的一个邻域（除A 点外）调和且有界，但在A 点没有定义，则可定义函数u (x,y )在A 点的值，使u 在整个A 点的邻域（包括A 点）内是调和函数. [李雅普诺夫闭曲面与内、外边值问题] 设S 为E n 的有限闭曲面，如果满足下列条件，那末S 称为李雅普诺夫闭曲面：

(i)

曲面到处有切面. (ii) 存在常数d>0，对曲面上每一点P ，可作一个以P 为中心、d 为半径的球，使曲面在此球内的部分和任意一条与P 点法线平行的直线相交不多于一点 (iii) 曲面上任意二点P 1及P 2的法线的夹角γ(P 1,P 2)满足

()γδ

P P Ar P P 1212,≤ 式中A ,δ为正常数，0<δ≤1，r P P 12是点P 1与P 2之间的距离.

偏微分方程数值解期末试题及标准答案

偏微分方程数值解试题(０6B ） 参考答案与评分标准 信息与计算科学专业 一(10分）、设矩阵A 对称，定义)(),(),(2 1)(n R x x b x Ax x J ∈-=，)()(0x x J λλ?+=.若0)0('=?，则称称0x 是)(x J 的驻点(或稳定点).矩阵A 对称(不必正定)，求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是:0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点，对于任意的n R x ∈,令 ),(2),()()()(2 000x Ax x b Ax x J x x J λλλλ?+-+=+=, （3分) 0)0('=?,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0，则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ，得到b Ax =0． (3分) 反之,若n R x ∈0满足b Ax =0,则对于任意的x ,)(),(2 1)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+??,因此0x 是)(x J 的最小值点. (４分） 评分标准：)(λ?的展开式3分, 每问3分，推理逻辑性１分 二（10分）、 对于两点边值问题:?????==∈=+-=0 )(,0)(),()('b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈ 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。 解: 设}0)(),,(|{11=∈=a u b a H u u H E 为求解函数空间,检验函数空间．取),(1b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (３分) )().(),(v f fvdx dx quv dx dv dx du p v u a b a b a ==+=??,),(1 b a H v E ∈? 即变分问题的Galerkin 形式. （3分)

(完整版)偏微分方程的MATLAB解法

引言 偏微分方程定解问题有着广泛的应用背景。人们用偏微分方程来描述、解释或者预见各种自然现象，并用于科学和工程技术的各个领域fll。然而，对于广大应用工作者来说，从偏微分方程模型出发，使用有限元法或有限差分法求解都要耗费很大的工作量，才能得到数值解。现在，MATLAB PDEToolbox已实现对于空间二维问题高速、准确的求解过程。 偏微分方程 如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。 常用的方法有变分法和有限差分法。变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。 随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。

一、MATLAB方法简介及应用 1.1 MATLAB简介 MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。 1.2 Matlab主要功能 数值分析 数值和符号计算 工程与科学绘图 控制系统的设计与仿真 数字图像处理 数字信号处理 通讯系统设计与仿真 财务与金融工程 1.3 优势特点 1) 高效的数值计算及符号计算功能，能使用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来； 2) 具有完备的图形处理功能，实现计算结果和编程的可视化； 3) 友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言，使学者易于学习和掌握； 4) 功能丰富的应用工具箱(如信号处理工具箱、通信工具箱等) ，

第十章-偏微分方程数值解法

第十章 偏微分方程数值解法 偏微分方程问题，其求解十分困难。除少数特殊情况外，绝 大多数情况均难以求出精确解。因此，近似解法就显得更为重要。本章仅介绍求解各类典型偏微分方程定解问题的差分方法。 §1 差分方法的基本概念 1.1 几类偏微分方程的定解问题 椭圆型方程：其最典型、最简单的形式是泊松（Poisson ）方程 ),(22 2 2y x f y u x u u =??+??=? 特别地，当0),(≡y x f 时，即为拉普拉斯（Laplace ）方程，又 称 为调和方程 22 22=??+??=?y u x u u Poisson 方程的第一边值问题为 ?? ???Ω ?=Γ=Ω∈=??+??Γ∈),(),(),() ,(),(22 22y x y x u y x y x f y u x u y x ?

其中 Ω为以Γ为边界的有界区域，Γ为分段光滑曲线，ΓΩY 称为定解区域，),(y x f ，),(y x ?分别为Ω，Γ上的已知连 续函数。 第二类和第三类边界条件可统一表示为 ),(),(y x u u y x ?α=??? ? ??+??Γ∈n 其中n 为边界Γ的外法线方向。当0=α时为第二类边界条件， 0≠α时为第三类边界条件。 抛物型方程：其最简单的形式为一维热传导方程 2 20(0)u u a a t x ??-=>?? 方程可以有两种不同类型的定解问题： 初值问题 ?? ???+∞ <<∞-=+∞<<-∞>=??-??x x x u x t x u a t u )()0,(,00 22? 初边值问题

2 212 00,0(,0)()0(0,)(),(,)()0u u a t T x l t x u x x x l u t g t u l t g t t T ????-=<<<

偏微分方程数值解法

一、 问题 用有限元方法求下面方程的数值解 2 u u u f t ?-?+=? in (]0,T Ω? 0u = on []0,T ?Ω? ()00,u x u = in Ω 二、 问题分析 第一步 利用Green 公式，求出方程的变分形式 变分形式为：求()()21 00,;u L T H ∈Ω，使得 ()())(2 ,,,,u v u v u v f v t ???+??+= ???? ()10v H ?∈Ω （*） 以及 ()00,u x u =. 第二步 对空间进行离散，得出半离散格式 对区域Ω进行剖分，构造节点基函数，得出有限元子空间：()12,,,h NG V span ???=???，则（*）的Galerkin 逼近为： []0,t T ?∈，求()()1 0,h h u t x V H ∈?Ω，使得 ()()()()() () )(2 ,,,,h h h h h h h d u t v u t v u t v f v dt +??+= h h v V ?∈ （**） 以及()0,0h h u u =，0,h u 为初始条件0u 在h V 中的逼近，设0,h u 为0u 在h V 中的插值. 则0t ?≥，有()()1 N G h i i i u t t ξ? == ∑，0,h u =01 N G i i i ξ?=∑，代人（**）即可得到一常微分方程组. 第三步 进一步对时间进行离散，得到全离散的逼近格式 对 du dt 用差分格式.为此把[]0,T 等分为n 个小区间[]1,i i t t -，其长度1i i T t t t n -?=-= ,n t T =. 这样把求i t 时刻的近似记为i h u ，0 h u 是0u 的近似.这里对（**）采用向后的欧拉格式，即 ()()() () )(2 11 11 1 ,,,,i i i i h h h h h h h i h u u v u v u v f v t ++++-+??+ = ? h h v V ?∈ (***) i=0,1,2…,n-1. 0 h u =0,h u 由于向后欧拉格式为隐式格式且含有非线性项，故相邻两时间步之间采用牛顿迭代，即：

偏微分方程理论的归纳与总结

偏微分方程基本理论的归纳与总结 偏微分方程是储存自然信息的载体,自然现象的深层次性质可以通过数学手段从方程中推导出来.最为一种语言,微分方程在表达自然定律方面比文字具有更强的优越性.微分方程是一个庞大的体系,它的基本问题就是解的存在性和唯一性.该学科的主要特征是不存在一种可以统一处理大多数偏微分方程的适定性问题的普适的方法和理论.这是与常微分方程有显著差异的地方.这种特性使得我们将方程分为许多种不同类型,这种分类的依据主要来自数学与自然现象这两个方面.从数学的角度,方程的类型一般总是对应于一些普遍的理论和工具.换句话讲,如果能建立一个普遍性的方法统一处理一大类方程问题,那么这个类型就被划分出来.而从自然现象的角度,我们又可以根据不同的运动类型以及性质将方程进行分类.当然这两种方式常常不能截然区分,通常它们是相互关联的,这就造成方程的概念有许多重叠现象. 根据数学的特征,偏微分方程主要被分为五大类,它们是： （1）线性与拟微分方程,研究这类方程的主要工具是Fourier分析方法； （2）椭圆型方程,它的方法是先验估计+泛函分析手段； （3）抛物型方程,主要是Galerkin方法,算子半群,及正则性估计； （4）双曲型方程,对应于Galerkin方法； （5）一阶偏微分方程,主要工具是数学分析方法. 从自然界的运动类型出发,偏微分方程可分为如下几大类： （1）稳态方程（非时间演化方程）； （2）耗散型演化方程,这类方程描述了时间演化过程中伴有能量损耗与补充的自然运动.相变与混沌是它们的主要内容； （3）保守系统,如具有势能的波方程.该系统控制的运动是与外界隔离的,及无能量输入,也无能量损耗.行波现象与周期运动是它们的主要特征； （4）守恒律系统,这类方程是一阶偏微分方程组,它们与保守系统具有类似的性质,可视为物质流的守恒.激波行为是由守恒律系统来控制. 下面具体来介绍三类经典方程： 三类典型方程：椭圆型方程,抛物型方程,双曲型方程,即偏微分方程模型的建立,解问题的解法以及三类典型方程的基本理论. 关于三类典型方程定解问题的解题方法,它们主要是分离变量法、积分变换法、特征线法、球面平均法、降维法和Green 函数方法. 关于三类典型方程的基本理论——极值原理和能量估计,并由此给出了解的唯一性和稳定性的相关结论. 具体来说,关于二阶线性椭圆形方程,我们研究它的古典解和弱解.前者主要介绍了基本解、调和函数的基本性质、Green 函数、极值原理、最大模估计、能量方法和变分原理；而后者的研究则需要知道Sobolev空间的相关知识再加以研究；关于二阶线性抛物型方程,主要研究它的Fourier 变换、特殊的求解方法、基本解、方程式和方程组的最大值原理以及最大模估计、带有非经典边界条件和非局部项的方程式的最大值原理及能量方法；关于二阶线性双曲型方程,主要研究初值问题的求解方法、初值问题的能量不等式与解的适定性、以及混合问题的能量模估计与解的适定性. 椭圆、抛物和双曲这三类线性偏微分方程解的适定性问题,它们分别以拉普拉斯方程、热传导方程和波动方程作为代表.具体地说,对于某些规则的求解区域试图求出满足特定线性偏微分方程和定解条件的具体解,这就决定了存在性问题；再利用方程本身所具有的特殊性质,将证明所求解是唯一的,也就解决了唯一性问题；关于连续依赖性问题,需要在不同函数空

偏微分方程数值解法试题与答案

一．填空（1553=?分） 1．若步长趋于零时，差分方程的截断误差0→lm R ，则差分方程的解lm U 趋近于微分方 程的解lm u . 此结论_______（错或对）； 2．一阶Sobolev 空间{} )(,,),()(21 Ω∈''=ΩL f f f y x f H y x 关于内积=1),( g f _____________________是Hilbert 空间； 3．对非线性（变系数）差分格式，常用 _______系数法讨论差分格式的_______稳定性； 4．写出3 x y =在区间]2,1[上的两个一阶广义导数：_________________________________， ________________________________________； 5．隐式差分格式关于初值是无条件稳定的. 此结论_______（错或对）。 二．（13分）设有椭圆型方程边值问题 用1.0=h 作正方形网格剖分 。 （1）用五点菱形差分格式将微分方程在内点离散化； （2）用截断误差为)(2 h O 的差分法将第三边界条件离散化； （3）整理后的差分方程组为 三．（12）给定初值问题 x u t u ??=?? ， ()10,+=x x u 取时间步长1.0=τ，空间步长2.0=h 。试合理选用一阶偏心差分格式（最简显格式）, 并以此格式求出解函数),(t x u 在2.0,2.0=-=t x 处的近似值。 1．所选用的差分格式是： 2．计算所求近似值： 四．（12分）试讨论差分方程 ()h a h a r u u r u u k l k l k l k l ττ + - = -+=++++11,111 1 逼近微分方程 0=??+??x u a t u 的截断误差阶R 。 思路一：将r 带入到原式，展开后可得格式是在点（l+1/2,k+1/2）展开的。 思路二：差分格式的用到的四个点刚好是矩形区域的四个顶点，可由此构造中心点的差分格 式。

偏微分方程数值解例题答案

二、改进的Euler 方法 梯形方法的迭代公式(1.10)比Euler 方法精度高,但其计算较复杂,在应用公式(1.10)进行计算时,每迭代一次,都要重新计算函数),(y x f 的值,且还要判断何时可以终止或转下一步计算.为了控制计算量和简化计算法,通常只迭代一次就转入下一步计算.具体地说,我们先用Euler 公式求得一个初步的近似值1+n y ,称之为预测值,然后用公式(1.10)作一次迭代得1+n y ,即将1+n y 校正一次.这样建立的预测－校正方法称为改进的Euler 方法: 预测: ),,(1n n n n y x hf y y +=+ 校正 : )].,(),([2 111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y (1.15) 这个计算公式也可以表示为 11(,), (,), 1(). 2p n n n c n n p n p c y y hf x y y y hf x y y y y ++?=+??=+?? ?=+??? 例1 取步长0.1h =，分别用Euler 方法及改进的Euler 方法求解初值问题 d (1),01, d (0) 1. y y xy x x y ?=-+≤≤???=? 解 这个初值问题的准确解为()1(21)x y x e x =--. 根据题设知 ).1(),(xy y y x f +-= (1) Euler 方法的计算式为 )],1([1.01n n n n n y x y y y +?-=+ 由1)0(0==y y , 得 ,9.0)]101(1[1.011=?+??-=y ,8019.0)]9.01.01(9.0[1.09.02=?+??-=y 这样继续计算下去，其结果列于表9.1. (2) 改进的Euler 方法的计算式为 110.1[(1)],0.1[(1)], 1(), 2p n n n n c n p n p n p c y y y x y y y y x y y y y ++?=-?+?=-?+??? ?=+??? 由1)0(0==y y ，得

偏微分方程与特征线

偏微分方程与特征线 1函数空间的矢量场 给定一个矢量场i x i v ?=)(x v ，就在空间定义了曲线簇。比如，经过0x 点的积分曲线就可以描述为下列常微分方程的初值问题 )(x i i v x = ，n i ,...,1= 0)0(x x = 这些积分曲线就构成了曲线簇。如果形式地写出这个曲线来就是 x vt x t v t v vt t x t x t x x t x )exp(...)! 3!21(...!3!2)(33223 2=++++=++++= 此处x 是0时刻位置，v 是作用于x 的微分算符。 这些曲线，将空间点分成了类，也就是说每条曲线上的点属于一类。曲线集合的维数是n-1维。 矢量场的可积性 那么给定两个矢量场，就会产生两簇曲线，这两簇曲线能否组成面簇呢？我们先 看看从一点出发的曲线是否在一个曲面上的条件：从x 点出发的依此沿两簇直线运动的点若能回到来，就可以认为可以组成面。即 x x vd uc vb ua =)exp()exp()exp()(exp 如果a,b,c,d 都是1级以上的小量，这个表达式有二级以上的精度，就可以找到这样的a,b,c,d,使得方程精确满足。 按照各级展开，有 一级 0a 1111=+=+d b c 二级 v d b u c a vu uv b a )()()(222211+++=- … 由此，得到条件 v u vu uv v u βα+=-=],[

这就是两个矢量能够构成2维子空间（曲面）的条件，著名的Frobenius 定理。 n 个矢量积分形成n 维积分只空间的条件是，任意两个矢量的对易可以写成这n 个矢量组合。 可以按照下图进行直观理解 给定m 个矢量场，他们线性组合能够形成新的矢量场。组成的矢量场空间一般称为分布。 },{是任意函数i i i i a v a ∑=? 这个分布中任意两个矢量场对易仍然在这个分布之内，这样满足Frobenius 定理的分布称为闭分布， ????],[ 他们积分可以给出m 维积分子流形。 单参数李群 一个矢量场可以构造单参数李群，一个闭分布可以构造李群。 我们先看一下单参数李群的表现，它将1维参数空间（物理上经常是时间），映射为群空间。群元素可以形式地写为算符形式 )exp(vt g t = 在表示空间中也可以写为函数变换 ),(t x x g t ?= 这个函数变换是常微分方程的初值问题的解 x x t x v t x t ==?)0,() ,(),(??? 当然这个函数满足如下关系

偏微分方程数值解期末试题及答案(内容参考)

偏微分方程数值解试题(06B) 参考答案与评分标准 信息与计算科学专业 一（10分）、设矩阵A 对称，定义)(),(),(2 1 )(n R x x b x Ax x J ∈-= ，)()(0x x J λλ?+=.若0)0('=?,则称称0x 是)(x J 的驻点（或稳定点）.矩阵A 对称（不必正定），求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是：0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点,对于任意的n R x ∈,令 ),(2 ),()()()(2 000x Ax x b Ax x J x x J λλλλ?+ -+=+=, (3分) 0)0('=?,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有 0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分) 反之,若 n R x ∈0满足 b Ax =0,则对于任意的 x ,)(),(2 1 )0()1()(00x J x Ax x x J >+ ==+??,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分) 评分标准:)(λ?的展开式3分, 每问3分,推理逻辑性1分 二（10分）、 对于两点边值问题：????? ==∈=+-=0 )(,0)() ,()(' b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ] ,[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈ 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和 Galerkin 形式的变分方程。 解: 设}0)(),,(|{11 =∈=a u b a H u u H E 为求解函数空间,检验函数空间.取),(1 b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分) )().(),(v f fvdx dx quv dx dv dx du p v u a b a b a ==+=??,),(1 b a H v E ∈? 即变分问题的Galerkin 形式. (3分)

有限差分法求解偏微分方程MATLAB

南京理工大学 课程考核论文 课程名称：高等数值分析 论文题目：有限差分法求解偏微分方程姓名：罗晨 学号： 成绩： 有限差分法求解偏微分方程

一、主要内容 1.有限差分法求解偏微分方程，偏微分方程如一般形式的一维抛物线型方程： 22(,)()u u f x t t x αα??-=??其中为常数 具体求解的偏微分方程如下： 22001 (,0)sin()(0,)(1,)00 u u x t x u x x u t u t t π???-=≤≤?????? =??? ==≥??? 2.推导五种差分格式、截断误差并分析其稳定性； 3.编写MATLAB 程序实现五种差分格式对偏微分方程的求解及误差分析； 4.结论及完成本次实验报告的感想。 二、推导几种差分格式的过程： 有限差分法（finite-difference methods ）是一种数值方法通过有限个微分方程近似求导从而寻求微分方程的近似解。有限差分法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。 推导差分方程的过程中需要用到的泰勒展开公式如下： ()2100000000()()()()()()()......()(()) 1!2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n +'''=+-+-++-+- (2-1) 求解区域的网格划分步长参数如下：

偏微分方程数值解法答案

1. 课本2p 有证明 2. 课本812,p p 有说明 3. 课本1520,p p 有说明 4. Rit2法，设n u 是u 的n 维子空间，12,...n ???是n u 的一组基底，n u 中的任一元素n u 可 表为1n n i i i u c ?==∑ ，则,11 11()(,)(,)(,)(,)22j n n n n n n i j i j j i j j J u a u u f u a c c c f ???=== -=-∑∑是12,...n c c c 的二次函数，(,)(,)i j j i a a ????=，令 () 0n j J u c ?=?，从而得到12,...n c c c 满足1 (,)(,),1,2...n i j i j i a c f j n ???===∑，通过解线性方程组，求的i c ，代入1 n n i i i u c ?==∑， 从而得到近似解n u 的过程称为Rit2法 简而言之，Rit2法：为得到偏微分方程的有穷维解，构造了一个近似解，1 n n i i i u c ?== ∑， 利用,11 11()(,)(,)(,)(,)22j n n n n n n i j i j j i j j J u a u u f u a c c c f ???===-=-∑∑确定i c ，求得近似解n u 的过程 Galerkin 法：为求得1 n n i i i u c ? == ∑形式的近似解，在系数i c 使n u 关于n V u ∈，满足(,)(,) n a u V f V =，对任 意 n V u ∈或（取 ,1j V j n ?=≤≤） 1 (,)(,),1,2...n i j i j i a c f j n ???===∑的情况下确定i c ，从而得到近似解1 n n i i i u c ?==∑的过程称 Galerkin 法为 Rit2-Galerkin 法方程： 1 (,)(,)n i j i j i a c f ???==∑ 5. 有限元法：将偏微分方程转化为变分形式，选定单元的形状，对求解域作剖分，进而构 造基函数或单元形状函数，形成有限元空间，将偏微分方程转化成了有限元方程，利用 有效的有限元方程的解法，给出偏微分方程近似解的过程称为有限元法。 6. 解：对求解区间进行网格剖分，节点01......i n a x x x x b =<<<<=得到相邻节点1,i i x x -

偏微分方程式之求解

第六章偏微分方程式之求解 在化工的领域中，有不少程序之动态是由以偏微分方程式(Partial differential equation；PDE)所描述的，例如热与质量在空间中的传递等。这些用以描述实际问题的PDE，除非具有某些特定的方程式型态及条件，否则甚难以手算的方式找出解析解。而在数值求解方面，最常被采用的方法为有限差分法(finite difference)何有限元素法(finite element)。然对于某些不熟悉数值分析及程序编写的化工人而言，欲充分了解以偏微分方程式所描述之系统动态是相当不容易的，更遑论进一步的设计与分析了。 值得庆幸的是，MATLAB 的环境中提供了一个求解PDE 问题的工具箱，让使用者得以利用简单的指令或图形接口工具输入欲解的PDE，并求解。使得PDE 之数值解在弹指之间完成，使用者不在为数值法所苦恼，轻松掌握偏微分方程式系统的动态，并可进一步进行后续之设计工作。 本章将以循渐进的方式，介绍PDE 工具箱及其用法，并以数个典型的化工范例进行示范，期能使初学者很快熟悉PDE工具箱，并使用它来设计与分析以偏微方方程式所描述的程序系统。 6.1 偏微分方程式之分类 偏微分方程式可根据其阶数(order)，线性或非线性型态，以及边界条件进行分类。 6.1.1依阶数的分类 偏微分方程式是以偏微分项中之最高次偏微分来定义其阶数，例如： 一阶偏微分方程式： xy 二阶偏微分方程式： 三阶偏微分方程式： 6.1.2 依非线性程度分类

偏微分方程式亦可以其线性或非线性情况，区分为线性 (linear)，似线性 (quasilinear)，以及非线性三类。 例如，以下之二阶偏微分方程式 (Constantinides and Mostoufi,1999) 可依系数 ( )之情况，进行如下表之归类 类别 情况 线性 似线性 系数 ( )为定值，或仅为 (x,y)函数 系数 ( )为依变数 (dependent variable)u 或其比方程式中之偏微 分低阶之偏微分项的函数，如 ( ) (x,y,u, u x, u y) 非线性 系数 ( )中，具有与原方程式之偏微分同阶数之变数，如 () (x,y,u, 2u x 2 , 2 u y 2, 2u x y) 另外，对于线性二阶偏微分方程式，可进一步将其分类为椭圆型 (elliptic) ，拋 物线型 (parabolic)，以及双曲线型 (hyperbolic) 。具体上来说，此类偏微分方程 式二阶线性之 一般式为 系数a,b,c,d,e 和 f 是定值或为 u 的函数。若 g=0，则上式为其次是偏微分方程 式。式子 ( )之分类及代表性例子，请见下表 (c ~ u) a ~ u f 2 热传导或扩散方程式 u 2 u xt a() 2 u y 2 22 uu b( ) c( ) 2 x y x 2 d() 0 22 uu b c 2 x y y 2 d u e u fu g 0 xy 方程式类别 判断式 椭圆型 b 2 4ac 0 拋物线型 b 2 4ac 0 代表性范例 Laplace 方程式， Poisson 方程式， 22 uu 22 xy 22 uu 22 xy f (x,y) x 2 t (c ~ u) a ~ u f

(高等数学) 偏微分方程

第十四章 偏微分方程 物理、力学、工程技术和其他自然科学经常提出大量的偏微分方程问题.由于实践的需要和一些数学学科（如泛函分析，计算技术）的发展，促进了偏微分方程理论的发展，使它形成一门内容十分丰富的数学学科. 本章主要介绍一阶偏微分方程、线性方程组及二阶线性偏微分方程的理论.在二阶方程中，叙述了极值原理、能量积分及惟一性定理.阐明了一些解的性质和物理意义，介绍典型椭圆型、双曲型、抛物型方程的常用解法：分离变量法，基本解，格林方法,黎曼方法,势位方法及积分变换法.最后，扼要地介绍了有实用意义的数值解法：差分方法和变分方法. §1 偏微分方程的一般概念与定解问题 [偏微分方程及其阶数] 一个包含未知函数的偏导数的等式称为偏微分方程.如果等式不止一个，就称为偏微分方程组.出现在方程或方程组中的最高阶偏导数的阶数称为方程或方程组的阶数. [方程的解与积分曲面] 设函数u 在区域D 内具有方程中所出现的各阶的连续偏导数，如果将u 代入方程后，能使它在区域D 内成为恒等式，就称u 为方程在区域D 中的解，或称正规解. ),,,(21n x x x u u = 在n +1维空间),,,,(21n x x x u 中是一曲面，称它为方程的积分曲面. [齐次线性偏微分方程与非齐次线性偏微分方程] 对于未知函数和它的各阶偏导数都是线性的方程称为线性偏微分方程.如 ()()()()y x f u y x c y u y x b x u y x a ,,,,=+??+?? 就是线性方程.在线性方程中，不含未知函数及其偏导数的项称为自由项，如上式的f (x,y ).若自由项不为零，称方程为非齐次的.若自由项为零，则称方程为齐次的. [拟线性方程与半线性方程] 如果一个方程，对于未知函数的最高阶偏导数是线性的，称它为拟线性方程.如 ()()()()()()0,,,,,,,,,,,,22222122211=+??+??+??+???+??u y x c y u u y x b x u u y x a y u u y x a y x u u y x a x u u y x a 就是拟线性方程，在拟线性方程中，由最高阶偏导数所组成的部分称为方程的主部.上面方程的主部为 ()()()22222122211,,,,,,y u u y x a y x u u y x a x u u y x a ??+???+?? 如果方程的主部的各项系数不含未知函数，就称它为半线性方程.如 ()()()()0,,,,,,2222=??+??+??+??y y u y x d x y u y x c y u y x b x u y x a 就是半线性方程. [非线性方程] 不是线性也不是拟线性的方程称为非线性方程.如 1)()1(222=??+??+y u x u u 就是一阶非线性偏微分方程. [定解条件] 给定一个方程，一般只能描写某种运动的一般规律，还不能确定具体的运动状态，所以把这个方程称为泛定方程.如果附加一些条件（如已知开始运动的情况或在边界上受到外界的约束）后，就能完全确定具体运动状态，称这样的条件为定解条件.表示开始情况的附加条件称为初始条件，表示在边界上受到约束的条件称为边界条件. [定解问题] 给定了泛定方程（在区域D 内）和相应的定解条件的数学物理问题称为定解问题.根据不同定解条件，定解问题分为三类.

《偏微分方程概述及运用matlab求解偏微分方程常见问题》要点

北京航空航天大学 偏微分方程概述及运用matlab求解微分方 程求解常见问题 姓名徐敏 学号57000211 班级380911班 2011年6月

偏微分方程概述及运用matlab求解偏微分 方程常见问题 徐敏 摘要偏微分方程简介，matlab偏微分方程工具箱应用简介，用这个工具箱解方程的过程是：确定待解的偏微分方程；确定边界条件；确定方程所在域的几何形状；划分有限元；解方程 关键词MATLAB 偏微分方程程序 如果一个微分方程中出现的未知函数只含有一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程：如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。 一，偏微分方程概述 偏微分方程是反映有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间制约关系的等式。许多领域中的数学模型都可以用偏微分方程来描述，很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是偏微分方程。早在微积分理论刚形成后不久，人们就开始用偏微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，并将所得到的研究方法和研究成果运用于各门科学和工程技术中，不断地取得了显著的成效，显示了偏微分方程对于人类认识自然界基本规律的重要性。逐渐地，以物

理、力学等各门科学中的实际问题为背景的偏微分方程的研究成为传统应用数学中的一个最主要的内容，它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出和产生出需要解决的新课题和新方法，不断地促进着许多相关数学分支(如泛函分析、微分几何、计算数学等)的发展，并从它们之中引进许多有力的解决问题的工具。偏微分方程已经成为当代数学中的一个重要的组成部分，是纯粹数学的许多分支和自然科学及工程技术等领域之间的一座重要的桥梁。 在国外，对偏微分方程的应用发展是相当重视的。很多大学和研究单位都有应用偏微分方程的研究集体，并得到国家工业、科学部门及军方、航空航天等方面的大力资助。比如在国际上有重大影响的美国的Courant研究所、法国的信息与自动化国立研究所等都集中了相当多的偏微分方程的研究人员，并把数学模型、数学方法、应用软件及实际应用融为一体，在解决实际课题、推动学科发展及加速培养人才等方面都起了很大的作用。 在我国，偏微分方程的研究起步较晚。但解放后，在党和国家的大力号召和积极支持下，我国偏微分方程的研究工作发展比较迅速，涌现出一批在这一领域中做出杰出工作的数学家，如谷超豪院士、李大潜院士等，并在一些研究方向上达到了国际先进水平。但总体来说，偏微分方程的研究队伍的组织和水平、研究工作的广度和深度与世界先进水平相比还有很大的差距。因此，我们必须继续努力，大力加强应用偏微分方程的研究，逐步缩小与世界先进水平的差距 二，偏微分方程的内容

求解偏微分方程三种数值方法

数值模拟偏微分方程的三种方法介绍 （有限差分方法、有限元方法、有限体积方法） I．三者简介 有限差分方法（Finite Difference Methods）是数值模拟偏微分方程最早采用的方法，至今仍被广泛使用。该方法包括区域剖分和差商代替导数两个步骤。首先将求解区域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解区域。其次，利用Taylor级数展开等方法将偏微分方程中的导数项在网格节点上用函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知量的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且十分成熟的数值方法。 差商代替导数后的格式称为有限差分格式，从格式的精度来考虑，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间离散形式来考虑，有中心格式和迎风格式。对于瞬态方程，考虑时间方向的离散，有显格式、隐格式、交替显隐格式等。目前常见的差分格式，主要是以上几种格式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于结构网格，网格的大小一般根据问题模型和Courant 稳定条件来决定。 有限元方法（Finite Element Methods）的基础是虚位移原理和分片多项式插值。该方法的构造过程包括以下三个步骤。首先，利用虚位移原理得到偏微分方程的弱形式，将计算区域划分为有限个互不重叠的单元（三角形、四边形、四面体、六面体等），在每个单元上选择合适的节点作为求解函数的插值点，将偏微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的分片插值基函数组成的线性表达式，得到微分方程的离散形式。利用插值函数的局部支集性质及数值积分可以得到未知量的代数方程组。 有限元方法有较完善的理论基础，具有求解区域灵活（复杂区域）、单元类型灵活（适于结构网格和非结构网格）、程序代码通用（数值模拟软件多数基于有限元方法）等特点。有限元方法最早应用于结构力学，随着计算机的发展已经渗透到计算物理、流体力学与电磁学等各个数值模拟领域。

偏微分方程课程大纲

《偏微分方程》课程大纲 一、课程简介 教学目标： “偏微分方程”是重要的数学基础课程，它在数学的其它分支和自然科学与工程技术中的广泛应用是众所周知的。本课程将尽可能地结合物理背景，系统地对几类典型方程数学结构、求解方法、解的性质以及物理意义进行详细阐述，为学生日后的学习和工作打下坚实的基础，提供强有力的工具，并为进一步了解和应用现代偏微分方程的有关内容提供重要帮助。 主要内容： 1. 了解几类典型方程及其定解条件的物理背景 2．掌握方程的分类及其化简方法 3. 熟练掌握各类方程的求解方法（包括具有普适性的方法，如分离变量法,Fourier变换法和 Green函数法等，以及针对某类方程的特定方法，如特征线法） 4. 会用一些基本方法（如能量积分法、极值原理等）讨论解的性质并掌握解的重要性质 二、教学内容(其中带*的部分可能随堂调整) 第一章引论 主要内容： 1、偏微分方程简介 a)偏微分方程的历史、现状和用途 b)什么是偏微分方程？介绍有关偏微分方程基本概念和研究内容 c)例子：简单而多样的例子帮助学生初步了解偏微分方程 2、二阶线性偏微分方程的分类和特征理论 a)两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类与化简，椭圆型、双曲型和抛物型的 标准形式与典型例子，混合型方程 b)多个自变量的二阶线性偏微分方程方程的分类及其例子 c)二阶线性方程的特征理论* 3、四类典型方程的数学模型：包括波动方程、热传导方程、调和方程、和一阶方程 4、其他预备知识：线性方程的叠加原理、Sturm-Liouville原理* 重点与难点：通过化标准型将二阶方程进行分类、特征的概念（这是偏微分方程中最基本也是最重要的概念）、各类方程及其定解条件的物理意义 第二章波动方程 主要内容： 1、弦振动方程Cauchy问题的存在性：D’Alembert求解公式，传播波，依赖区域、决 定区域和影响区域，特征线法（行波法）的其他应用和例子，Duhamel齐次化原理 及其物理解释 2、弦振动方程初边值问题的存在性：分离变量法求解齐次问题及解的存在性讨论，分 离变量法求解的物理意义，多种边界条件的例子，非齐次方程的情形，非齐次边界 条件的情形，高维波动方程分离变量法的例子 3、高维波动方程Cauchy问题的求解：三维波动方程的球平均法，二维波动方程的降 维法

几种常见的偏微分方程数值求解问题

一．椭圆型问题 1.1单位圆盘的泊松方程 泊松方程是最简单的椭圆型PDE问题。 该问题的公式为，边界上U=0。 该问题的精确解为 1使用命令行函数 首先必须创建MATLAB函数，使二维几何模型参数化。 M文件circle.m返回单位圆边界点的坐标。该文件内容为：nbs=4; if nargin==0, x=nbs; %边界线段个数 return end d=[ 00 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 00 0 0 ]; bs1=bs(:)’; if find(bs1<1 | bs1>nbs), error(‘Non existent boundary sement number’) end x=zeros(size(s)); y=zeros(size(s)); [m,n]=size(bs); if m==1 & n==1, bs=bs*ones(size(s)); %扩展bs elseif m~=size(s,1) | n~=size(s,1), error(‘bs must be scalar or of same size as s’); end if ~isempty(s), %边界线段1 ii=find(bs==1); x(ii)=1*cos((pi/2)*s(ii)-pi);

y(ii)=1*sin((pi/2)*s(ii)-pi); %边界线段2 ii=find(bs==2); x(ii)=1*cos((pi/2)*s(ii)-(pi/2)); y(ii)=1*sin((pi/2)*s(ii)- (pi/2)); %边界线段3 ii=find(bs==3); x(ii)=1*cos((pi/2)*s(ii)); y(ii)=1*sin((pi/2)*s(ii)); %边界线段4 ii=find(bs==4); x(ii)=1*cos((pi/2)*s(ii)-(3*pi/2); y(ii)=1*sin((pi/2)*s(ii)- (3*pi/2); end 然后用另一函数circleb1.m描述边界条件。 function[q,g,h,r]=circleb1(p,e,u,time) b1=[ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 48 48 48 48 48 48 48 48 49 49 49 49 48 48 48 48 ]; if any(size(u)) [q,g,h,r]=pdeexpd(p,e,u,time,b1); else [q,g,h,r]=pdeexpd(p,e,time,b1); end 现在可以用命令行进行工作： [p,e,t]=initmesh(‘circleg’,’Hmax’,1); error=[];err=1; while err>0.001, *p,e,t+=refinemesh(‘circleg’,p,e,t); u=assempde(‘circleb1’,p,e,t,1,0,1);

偏微分方程数值解法试题与答案

x 1 ?若步长趋于零时，差分方程的截断误差 R m 0,则差分方程的解 U i m 趋近于微分方 程的解U m ?此结论 ________ (错或对)； 1 2.一 阶 Sobolev 空间 H ( ) f (x,y) f , f x , f y L ?() 关于内积(f,g )1 _____________________________________ 是Hilbert 空间； 3 ?对非线性(变系数)差分格式，常用 ____________ 系数法讨论差分格式的 ________ 稳定性； 4?写出y x 3在区间［1,2］上的两个一阶广义导数： ______________________________________ _____ ____ ______________ _ ____ ________ ; 5 ?隐式差分格式关于初值是无条件稳定的 ?此结论 ________ (错或对)。 (13分)设有椭圆型方程边值问题 0.1作正方形网格剖分 。 (1) 用五点菱形差分格式将微分方程在内点离散化； (2) 用截断误差为 O (h 2)的差分法将第三边界条件离散化; (3) 整理后的差分方程组为 U C 三.(12)给定初值问题 u x,0 x 1 取时间步长 0.1，空间步长h 0.2。试合理选用一阶偏心差分格式(最简显格式) 2 u ~2 x 2 u ~2 y 0 x 0.3 0.2 x 0.3 2y 1, — u n 2x y 0.2

并以此格式求出解函数u(x,t)在x 0.2,t 0.2处的近似值。 x

1.所选用的差分格式是： 2 .计算所求近似值： 1 a k 1 四.（12分）试讨论差分方程 u l 1 k k k 1 u | r u | 1 u | , r h a 1 h 逼近微分方程 u a u 0 t x 的截断误差阶R 。 思路一：将r 带入到原式，展开后可得格式是在点（ l+1/2,k+1/2 ）展开的。 思路二：差分格式的用到的四个点刚好是矩形区域的四个顶点，可由此构造中心点的差分格 式。 2 —2 ,考虑 Du Fort-Frankel 格式 X 试论证该格式是否总满足稳定性的 Von-Neumann 条件？ 六. （12分）（1 ）由Green 第一公式推导 Green 第二公式: （2） 对双调和方程边值问题 n 2 选择函数集合（空间）为： 推导相应的双线性泛函和线性泛函: A （u,v ） F （v ） 相应的虚功问题为： 极小位能问题为 七. （ 12分）设有常微分方程边值问题 y y f （x ） , a x b y a 1, y b 1 五.（12分） 对抛物型方程 U |k1 U |k 2 |k 1 (U |k1 U |k1) U |k 1 ) 2 (u)vdxdy G (u) u vdxdy :[v v u ]ds n f (x,y) (x,y) g 1(x , y), g 2(x, y) (x,y),