中小学1对1课外辅导专家
武汉龙文教育学科辅导讲义
授课对象
授课教师 程 老 师 授课时间 年 月 日 授课题目 因式分解 课 型 复 习 课
使用教具
讲义、白纸
教学目标 掌握因式分解的几种方法 教学重点和难点 因式分解方法的应用
参考教材
人教版八年级数学教材、数学重难点手册 教学流程及授课详案
一、提公因式法.
如多项式),(c b a m cm bm am ++=++
其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式． 二、运用公式法. 运用公式法，即用
)
)((,
)(2),
)((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=-
三、分组分解法.
（一）分组后能直接提公因式
例1、分解因式：bn bm an am +++
分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=)()(bn bm an am +++
=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++ 思考：此题还可以怎样分组？
此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。
时间分配及备
注
例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102
解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；
第三、四项为一组。 第二、三项为一组。
解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a -- 练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2
2、1+--y x xy
（二）分组后能直接运用公式
例3、分解因式：ay ax y x ++-2
2
分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：原式=)()(22
ay ax y x ++- =)())((y x a y x y x ++-+ =))((a y x y x +-+ 例4、分解因式：2
222c b ab a -+-
解：原式=2
2
2
)2(c b ab a -+- =2
2
)(c b a -- =))((c b a c b a +--- 注意这两个例题的区别！
练习：分解因式3、y y x x 392
2
--- 4、yz z y x 22
2
2
---
综合练习：（1）3
2
2
3
y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-2
2
（3）1816962
2
2
-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 491262
2-++-
（5）y b x b y a x a 2
2
2
2
44+-- （6）2
2
2y yz xz xy x ++--
（7）12222
2++-+-ab b b a a
四、十字相乘法.
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——))(()(2
q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。 特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。 例5、分解因式：652
++x x
分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 1 2
解：652
++x x =32)32(2
?+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例6、分解因式：672
+-x x
解：原式=)6)(1()]6()1[(2
--+-+-+x x 1 -1
=)6)(1(--x x 1 -6
（-1）+（-6）= -7
练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542
-+x x
练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102
--x x
（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2
条件：（1）21a a a = 1a 1c
（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2
=))((2211c x a c x a ++
例7、分解因式：101132
+-x x 分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11 解：101132
+-x x =)53)(2(--x x
练习7、分解因式：（1）317102
+-x x （2）101162
++-y y
（三）二次项系数为1的齐次多项式
例8、分解因式：2
21288b ab a --
分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b
解：221288b ab a --=)16(8)]16(8[2
b b a b b a -?+-++ =)16)(8(b a b a -+
练习8、分解因式(1)2
2
23y xy x +-(2)2286n mn m +-(3)2
26b ab a --
（四）二次项系数不为1的齐次多项式
例9、2
2
672y xy x +- 例10、232
2
+-xy y x 1 -2y 把xy 看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式=)32)(2(y x y x -- 解：原式=)2)(1(--xy xy 练习9、分解因式：（1）2
2
4715y xy x -+ （2）862
2+-ax x a
综合练习10、（1）17836--x x （2）2
2151112y xy x --
（3）2
2
2
2
65x y x y x -- （4）263442
2++-+-n m n mn m
家长签名：
提公因式法（基础） 【学习目标】 1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系； 2． 能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式. 【要点梳理】 要点一、因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体， 而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式. （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒 等变形，而整式乘法是一种运算. 要点二、公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数 的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 要点三、提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式 ，另一个因式是 ，即，而正好是 除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即 . （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的 第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和 为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 【典型例题】 类型一、因式分解的概念 1、观察下列从左到右的变形： ⑴； ⑵ ⑶； ⑷ 其中是因式分解的有 （填序号） 【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式，从对象和结果两方面去判断． m m ( )()33 2 2 623a b a b ab -=-()ma mb c m a b c -+=-+()2 22 61266x xy y x y ++=+()()22323294a b a b a b +-=-
八年级数学因式分解辅导学案 因式分解的常用方法 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数 学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习 这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能， 发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因 式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上， 对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式， 例如： (1 ) (a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)； (2 ) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2； 例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 选C 练习 (1))(3)(2x y b y x a --- (2)1222-+-b ab a (3)（x －1）（x ＋4）－36 (4)（m 2＋n 2）2－4m 2n 2 (5)－2a 3＋12a 2－18a ； (6)9a 2(x －y )＋4b 2(y －x )； (7) (x ＋y )2＋2(x ＋y )＋1.
因式分解复习 一、基础知识 1.因式分解概念： 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为 将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。 2．常用的因式分解方法： （1）提公因式法：把ma mb mc ++，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是 各项的公因式m ，另一个因式()a b c ++是ma mb mc ++除以m 所得的商，像这种分解因 式的方法叫做提公因式法。 ①多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 ②公因式的构成：系数：各项系数的最大公约数； 字母：各项都含有的相同字母； 指数：相同字母的最低次幂。 （2）公式法： ①常用公式 平方差：)b a )(b a (b a 22-+=- 完全平方：222)b a (b 2ab a ±=+± ②常见的两个二项式幂的变号规律： 22()()n n a b b a -=-；2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数） （3）十字相乘法 ①二次项系数为1的二次三项式 q px x ++2中，如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成 ()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22 ②二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2 中，如果能把二次项系数a 分解成两 个因数21,a a 的积，把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积，并且1221c a c a +等于一次项系 数b ，那么它就可以分解成：()=+++=++2112212212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++。 （4）分组分解法 ①定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22 a b a b -+-没有公因式， 又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。 例如22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++， 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。 ②原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分 解。 ③有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多 项式正确分解即可。
因式分解讲义 课 题 因式分解 学习目标与分析 1、了解因式分解的意义及其与整式的乘法之间的关系。 2、会用提公因式法、公式法进行因式分解。 学习重点 重点：因式分解的概念与提公因式法。 难点：理解因式分解与整式乘法的相互关系及灵活运用提公因式法分解因式。 关键点：对公式的结构特征应做出具体分析，掌握公式的特点，加深理解，并培养学生在多变的情况运用公式。 学习方法 讲解法 练习法 学习内容与过程 教师分析与批改 一、回顾： 1、整式乘法有几种形式？ （1） 单项式乘以单项式 （2） 单项式乘以多项式：a （m ＋n ）=am ＋an （3） 多项式乘以多项式：（a ＋b ）（m ＋n ）=am ＋an ＋bm ＋bn 2、乘法公式有哪些？ （1） 两数和乘以它们的差公式：()()2b a b a b a -=-+ （2） 两数和的平方公式：()2222b ab a b a +±=± 3、试计算 （1）3a （a －2b ＋c ） （2）（a ＋3）（a －3） （3）()22b a + （4）()23b a - 二、探索新知，找出规律 1、根据上面得到的结果，你会做下面的填空吗？ （1）32a －6ab ＋3ac=（ ）（ ） （2）2a －9=（ ）（ ） （3）2a ＋4ab ＋42b =（ ）（ ） （4）2a －6ab ＋92b =（ ）（ ） 把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这就是因式分解。 想一想：因式分解与整式乘法有什么关系？ 因式分解与整式乘法的关系： 因式分解结合：2a －2b =（a ＋b ）（a －b ） 说明：从左到右都是因式分解其特点是：由和差形（多项式）转化成整式的积的形 式；从右到左是整式乘法特点是：由整式积的形式转化成和差形式(多项式)。 结论：因式分解与整式乘法正好相反。 三、巩固练习
因式分解-讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
因式分解(一)-一般方法 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz； (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7． 2
初二数学因式分解辅导教案 因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1 ) (a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)； (2 ) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ———a2±2ab+b2=(a±b)2； (3 ) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4 ) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充两个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； 例.已知 是 的三边，且
，则 的形状是（） A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形 解： 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式： 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式= = 每组之间还有公因式！ = 例2、分解因式：
因式分解 知识点1：因式分解的定义 1．分解因式：把一个多项式化成几个_整式的乘的积，这种变形叫做分解因式，它与整式的乘法互为逆运算。 如：判断下列从左边到右边的变形是否为分解因式： 例如： 1．的公因式是 -aby +_________ abx- 3ab 多项式9 6 2．多项式32232 a b c a b ab c -+-分解因式时，应提取的公因式是（） 81624 A．2 2ab D．33 24a b c -C．3 -B．3 4ab c 8ab
3. 342)()()(n m m n y n m x +++-+的公因式是__________ 知识点3：用提公因式法分解因式 提公因式法分解因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式的乘积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 例如： 用到平方差公式时） 如： 22188y x +- 练习： 1．多项式:aby abx ab 24186++-的一个因式是ab 6-,那么另一个因式是( )
y x A 431..+-- y x B 431..-+ C y x 431--- D..y x 431-- 2.分解因式－5(y －x)3－10y(y －x)3 3. 公因式只相差符号的类型： 公因式相差符号的，要先确定取哪个因式为公因式，然后把另外的只相差符号的因式的负 (1 2A ．))(3(x x y +- B ．))(3(x x y -- C ．)1)(3(x y x +- D ．)1)(3(x y x --3．分解因式： （1）)(()()(y x x y n y x m -=-+-________) （2）－6(x －y)4－3y(y －x)5 知识点4公式法分解因式
因式分解的四种方法（讲义） 课前预习 1．平方差公式：___________________；完全平方公式：_______________________； _______________________． 2．对下列各数分解因数： 210=_________； 315=__________； 91=__________； 102=__________． 3．探索新知： （1）39999-能被100整除吗？ 小明是这样做的： 32299999999991 99(991) 99(991)(991)999800 9998100-=?-?=?-=?+-=?=?? 所以39999-能被100整除． （2）38989-能被90整除吗？你是怎样想的？ （3）3m m -能被哪些整式整除？ 知识点睛 1．__________________________________________叫做把这个多项式因式分解． 2.因式分解的四种方法 （1）提公因式法 需要注意三点： ①公因式要提尽；②首项为负时要提出负号；③提公因式后项数不变． （2）公式法 两项通常考虑_____________，三项通常考虑_____________． 运用公式法时需要注意两点： ①能提公因式先提公因式；②找准公式中的a 和b ． （3）分组分解法 多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找____________，然后再考虑____________或者_____________． （4）十字相乘法 十字相乘法常用于二次三项式的结构，其原理是： 2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 3. 因式分解是有顺序的，记住口诀：“___________________”；因式分解是有范围的，目前我们是在______范围内因式分解．
整式乘除与因式分解 一．知识点 1．幂的运算性质：a m ·a n ＝a m ＋n （m 、n 为正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 例：(－2a )2(－3a 2)3 2．()n m a ＝ a m n （m 、n 为正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘． 例： (－a 5)5 3． ()n n n b a ab = （n 为正整数） 积的乘方等于各因式乘方的积． 例：(－a 2b )3 4．n m a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ） 同底数幂相除，底数不变，指数相减． 例：（1）x 8÷x 2 （2）（a b ）5÷（a b ） 2 5．零指数幂的概念： a 0＝1 （a ≠0） 任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ． 例：若1)32(0 =-b a 成立，则b a ,满足什么条件？ 6．负指数幂的概念： a －p ＝p a 1 （a ≠0，p 是正整数） 任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数． 也可表示为：p p n m m n ??? ??=? ?? ??-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数） 7．单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 例：（1）2231 23abc abc b a ?? （2）4233)2()2 1(n m n m -?- 8．单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 例：（1）)35(222b a ab ab + （2）ab ab ab 21)232 (2? - （3）)32()5(-22n m n n m -+? （4）xyz z xy z y x ?++)(2322 9．多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 例：（1） )6.0(1x x --）（ （2）))(2(y x y x -+ （3）2)2n m +-（ 练习： 1．计算2x 3·(－2xy)(－ 12xy) 3的结果是 2．如果(a n b ·ab m ) 3＝a 9b 15，那么mn 的值是
因式分解 知识网络详解： 因式分解的基本方法： 1、提公因式法——如果多项式的各项有公因式，首先把它提出来。 2、运用公式法——把乘法公式反过来用，常用的公式有下列五个： 平方差公式 ()()22a b a b a b -=+-； 完全平方公式 ()2 222a ab b a b ±+=±； 3、分组分解法——适当分组使能提取公因式或运用公式。要灵活运用“补、 凑、拆、分”等技巧。 4、十字相乘法——))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 【课前回顾】 1．下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（ ） （A ）()b a b a 222-=- （B ）()()1112-+=-m m m （C ）()12122+-=+-x x x x （D ）()()()()112+-=+-b ab a b b a a 2．把多项式－8a 2b 3＋16a 2b 2c 2－24a 3bc 3分解因式，应提的公因式是( )， （A ）－8a 2bc （B ） 2a 2b 2c 3 （C ）－4abc （D ） 24a 3b 3c 3 3．下列因式分解中，正确的是（ ） （A ）()63632-=-m m m m （B ）()b ab a a ab b a +=++2 （C ）()2222y x y xy x --=-+- （D ）()222y x y x +=+ 4．下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（ ） （A ）42+a （B ）22-a （C ）42+-a （D ）42--a 5．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是( )． （A ）4x 2－1 （B ）4x 2＋4x －1 （C ）x 2－xy ＋y 2 D ．x 2－x ＋12 6．若942+-mx x 是完全平方式，则m 的值是（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）12 （D ）±12 经典例题讲解：
因式分解(一)-一般方法 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；
(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz； (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7． 例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．
因 式 分 解 专 题 课 题 因 式 分 解 学习目标与分析 1、了解因式分解的意义及其与整式的乘法之间的关系。 2、会用提公因式法、公式法进行因式分解。 学习重点 重点：因式分解的概念与提公因式法。 难点：理解因式分解与整式乘法的相互关系及灵活运用提公因式法分解因式。 关键点：对公式的结构特征应做出具体分析，掌握公式的特点，加深理解，并培养学生在多变的情况运用公式。 学习方法 讲解法 练习法 学习内容与过程 教师分析与批改 一、回顾： 1、整式乘法有几种形式？ （1） 单项式乘以单项式 （2） 单项式乘以多项式：a （m ＋n ）=am ＋an （3） 多项式乘以多项式：（a ＋b ）（m ＋n ）=am ＋an ＋bm ＋bn 2、乘法公式有哪些？ （1） 两数和乘以它们的差公式：()()2b a b a b a -=-+ （2） 两数和的平方公式：()2222b ab a b a +±=± 3、试计算 （1）3a （a －2b ＋c ） （2）（a ＋3）（a －3） （3）()22b a + （4）()23b a - 二、探索新知，找出规律 1、根据上面得到的结果，你会做下面的填空吗？ （1）32a －6ab ＋3ac=（ ）（ ） （2）2a －9=（ ）（ ） （3）2a ＋4ab ＋42b =（ ）（ ） （4）2a －6ab ＋92b =（ ）（ ） 把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这就是因式分解。 想一想：因式分解与整式乘法有什么关系？ 因式分解与整式乘法的关系： 因式分解结合：2a －2b =（a ＋b ）（a －b ） 说明：从左到右都是因式分解其特点是：由和差形（多项式）转化成整式的积的形 式；从右到左是整式乘法特点是：由整式积的形式转化成和差形式(多项式)。 结论：因式分解与整式乘法正好相反。 三、巩固练习
环球雅思学科教师辅导教案
(1)若各项系数是整系数，取系数的最大公约数； (2 )取相同的字母，字母的指数取较低的； (3 )取相同的多项式，多项式的指数取较低的 (4 )所有这些因式的乘积即为公因式? 4、注意事项： 多项式的公因式应是各项所共有的最高因式，公因式的系数原则上是不定的。但对整系数的多项式，其公因式的系数一般取所有系数的最大公约数；对分数系数的多项式，其公因式的系数一般取所有分母的最小公倍数分之一；公因式的字母取各项共有的字母，各相同字母的指数取其次数最低的。公因式可以是单项式也可以是多项式，有时要进行适当变形才能出现公因式。题型展示： 1、将下列各式分解因式： (1)3a(x y)-2b(x y); (2)12(m n)218(m n)3 4; (3)3(2x y)6( y 2x)3; (4) 1 2 a b(2P 3 2 2 2 q) . ab (q p ) 4 8 2、下列分解因式结果正确的是() A. 6(x 2) x(2 x) (x 2)(6 x) B. x3 2x2 x x(x22x) 2 2 C. a(a b) ab(a b) a(a b) D. 3x n 6xn 3xn(x 2) 提高练习 1、如果b-a=—6, ab=7，那么a2b ab2的值是() A.42 B. —42 C.13 D. —13 3 2 2 2、若4x —6x =2x(2 x+k)，贝U k= ______ . 3.2( a—b)3—4(b—a)2=2(a—b)2( ________ ). 4.36 X 29—12X 33=
5、分解因式 2 2 ⑴(x y)(x y) (x y) ⑵8a(x y) 4b(y x) 6. 计算与求值 29X 20.03+72 X 20.03+13 X 20.03 —14X 20.03. 7、.先化简，再求值 1 1 a(8 —a)+ b(a—8) —c(8 —a)，其中a=1, b= , c=. 2 2 1 8、已知2x y - , xy 2，求2x4y3 x3y4的值. 8 方法二?公式法 【知识精读】 把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。 主要有：平方差公式 完全平方公式 立方和、立方差公式 运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。 用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。 F面我们就来学习用公式法进行因式分解
因式分解（讲义） ? 课前预习 1. 平方差公式：___________________________； 完全平方公式：______________________________________． 2. 探索新知：39999-能被100整除吗？ 小明是这样做的： 3229999 9999991 99(991) 999800 9998100-=?-?=?-=?=?? 所以39999-能被100整除． 类比小明的做法，请说明38989-能被90整除．
? 知识点睛 1. _________________________________________，这种变形叫做因式分解．因式分 解也可称为分解因式． 2. 多项式各项都含有的___________，叫做这个多项式各项的公因式． 3. 提公因式法： 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把_________ 提出来，从而将多项式化为两个因式乘积的形式．这种因式分解的方法叫做提公因式法． 运用提公因式法需要注意三点： ①公因式要提尽； ②首项为负时，先提出负号； ③提公因式后项数不变． 4. 公式法： 利用__________把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法．“两项”通常考虑___________，“三项”通常考虑_____________． 运用公式法时需要注意两点： ①能提公因式先提公因式； ②找准公式中的a 和b ． 5. 因式分解是有顺序的，记住口诀：“___________________”；因式分解是有范围 的，目前我们是在______范围内因式分解． ? 精讲精练 1. 下列由左到右的变形，是因式分解的是________________． ①222233x y x y -=-??； ②2(3)(3)9a a a +-=-； ③22+1()()1a b a b a b -=+-+； ④222()mR mr m R r +=+； ⑤2221x x x x x ??++=++ ???； ⑥24(2)(2)m m m -=+-； ⑦2244(2)y y y -+=-． 2. 因式分解（提公因式法）： （1）33x x -； （2）32520y y +； 解：原式= 解：原式= （3）2212246a b ab ab -+； （4）32a a a --+；
因式分解的四种方法（讲义） 课前预习 1. 平方差公式：___________________________； 完全平方公式：_________________________； _________________________． 2. 对下列各数分解因数： 210=_________； 315=__________； 91=__________； 102=__________． 3. 探索新知： （1）39999-能被100整除吗 小明是这样做的： 32299999999991 99(991)99(991)(991)9998009998100 -=?-?=?-=?+-=?=?? 所以39999-能被100整除． （2）38989-能被90整除吗你是怎样想的 （3）3m m -能被哪些整式整除 知识点睛 1. __________________________________________叫做把这个多项式因式分解． 2. 因式分解的四种方法 （1）提公因式法 需要注意三点： ①___________________________； ②___________________________； ③___________________________． （2）公式法 两项通常考虑_____________，三项通常考虑_____________． 运用公式法的时候需要注意两点： ①___________________________； ②___________________________． （3）分组分解法 多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找____________，然后再考虑____________或者_____________．
因式分解 专 题 讲 义
1因式分解预备篇 因式分解的基础是整式乘法,要想学好因式分解，首先整式乘法要过关！ 完成下列整式乘法，并对适当的题目，给出必要的计算过程。 ()31y a b ++ ()22231ab a b a --+ ()()2332x y x y ++ ()()2332x y x y +- ()()2332x y x y -+ ()()2332x y x y -- ()2a b + ()2a b - ()2a b -+ ()2 a b -- ()2 32a b - 2 122m n ??- ??? 2 21132x y ?? - ? ?? ()2a b c ++ ()2a b c -+ ()2 23a b c +- ()()a b a b +- ()()b a a b --- ()()3232p q p q +- 110.70.755x y x y ????+- ??????? ()()22 m n m n -+-- ()()a b c a b c +++- ()()22a b c a b c -+-- ()()()()()24811111x x x x x -++++
2因式分解概念篇 在小学我们学过把一个整数分解成几个整数的积，如 12=3×4，我们说3和4是12的因数 30=2×3×5，我们说2、3、5是30的因数， 上面的过程叫整数的分解因数，类似的，在代数中，有时我们需要把一个多项式分解成几个整式积的形式，于是我们定义： 概念：把一个多项式分解成几个整式乘积形式的过程称为因式分解， 分解出的几个整式统称为这个多项式的因式 实质：因式分解实际上就是（有多项式参与的）整式乘法的逆变形 ()????→←????整式乘法因式分解 整式积多项式和 1、下列6个从左边到右边的恒等变形 （1）29)3)(3(x x x -=+- （2）8a 2b 3=2a 2·4b 3 （3）)1)(3()3)(1(+--=-+y y y y （4）))((2233n mn m n m n m ++-=- （5）z yz z y z z y yz +-=+-)2(2242 （6）211x x x x ? ?+=+ ?? ? 属于因式分解的有 。(只填序号) 2、下列因式分解：其中正确的是_______.(只填序号) ①324(4)x x x x -=-； ②232(2)(1)a a a a -+=--； ③222(2)2a a a a --=--；
1因式分解概念篇 在小学我们学过把一个整数分解成几个整数的积，如 12=3×4，我们说3和4是12的因数 30=2×3×5，我们说2、3、5是30的因数， 上面的过程叫整数的分解因数，类似的，在代数中，有时我们需要把一个多项式分解成几个整式积的形式，于是我们定义： 概念：把一个多项式分解成几个整式乘积形式的过程称为因式分解， 分解出的几个整式统称为这个多项式的因式 实质：因式分解实际上就是（含多项式的）整式乘法的逆变形 ()????→←????整式乘法因式分解 整式积多项式和 1、下列5个从左边到右边的恒等变形 （1）29)3)(3(x x x -=+- （2）8a 2b 3=2a 2·4b 3 （3）)1)(3()3)(1(+--=-+y y y y （4）))((2233n mn m n m n m ++-=- （5）z yz z y z z y yz +-=+-)2(2242 （6）211x x x x ? ?+=+ ?? ? 属于因式分解的有 。(只填序号) 2、下列因式分解：其中正确的是_______.(只填序号) ①324(4)x x x x -=-； ②232(2)(1)a a a a -+=--； ③222(2)2a a a a --=--； ④2211()42 x x x ++=+ ⑤()()2632m m m m +-=-+
3、下列分解因式正确的是 （A ）()321x x x x -=- （B ）()()2632m m m m +-=-+ (C) ()()221211a ab b a b a b -+-=-++- (D) ()()22x y x y x y +=+- 4、下列因式分解中错误的是（ ） A.()()()444 1 164144122-+=-=-x x x x B. 2 223319291?? ? ??+=++y x y xy x C.()2 224244-=+-a a a D.()4 44b a b a -=- 5、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____。 6、若22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 7、若22(2)()x mx x x n ++=++，则m = ，n = 。 8、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 9、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6， B 、m=2，k=12， C 、m=—4，k=—12、 D m=4，k=12、 10、若(3)x -和(5)x +是q px x ++2的两个因式，则p 为（ ） （A ）－15 （B ）－2 （C ）8 （D ）2
因式分解的四种方法（讲义） ? 课前预习 1. 平方差公式：___________________________； 完全平方公式：_________________________； _________________________． 2. 对下列各数分解因数： 210=_________； 315=__________； 91=__________； 102=__________． 3. 探索新知： （1）39999-能被100整除吗？ 小明是这样做的： 32299999999991 99(991) 99(991)(991)999800 9998100 -=?-?=?-=?+-=?=?? 所以39999-能被100整除． （2）38989-能被90整除吗？你是怎样想的？ （3）3m m -能被哪些整式整除？
?知识点睛 1.__________________________________________叫做把这个多项式因式分解． 2.因式分解的四种方法 （1）提公因式法 需要注意三点： ①公因式要提尽； ②首项为负时要提出负号； ③提公因式后项数不变． （2）公式法 两项通常考虑_____________，三项通常考虑_____________． 运用公式法时需要注意两点： ①能提公因式先提公因式； ②找准公式中的a和b． （3）分组分解法 多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找____________，然后再考虑____________或者_____________． （4）十字相乘法 十字相乘法常用于二次三项式的结构，其原理是： 2()()() +++=++ x p q x pq x p x q 3.因式分解是有顺序的，记住口诀：“___________________”；因式分解是有范围 的，目前我们是在______范围内因式分解． ?精讲精练
一、基础知识 1.因式分解概念： 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为 将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。 2．常用的因式分解方法： （1）提公因式法：把ma mb mc ++，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是 各项的公因式m ，另一个因式()a b c ++是ma mb mc ++除以m 所得的商，像这种分解因 式的方法叫做提公因式法。 ①多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 ②公因式的构成：系数：各项系数的最大公约数； 字母：各项都含有的相同字母； 指数：相同字母的最低次幂。 （2）公式法： ①常用公式 平方差：)b a )(b a (b a 22-+=- 完全平方：222)b a (b 2ab a ±=+± ②常见的两个二项式幂的变号规律： 22()()n n a b b a -=-；2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数） （3）十字相乘法 ①二次项系数为1的二次三项式q px x ++2中，如果能把常数项q 分解成两个因式 b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成 ()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22 ②二次项系数不为1的二次三项式 c bx ax ++2中，如果能把二次项系数a 分解成两个因数21,a a 的积，把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积，并且1221c a c a +等于一次项系 数b ，那么它就可以分解成： ()=+++=++2112212212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++。 （4）分组分解法 ①定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如 22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。 再提公因式，即可达到分解因式的目的。 例如22a b a b -+-= 22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++， 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。 ②原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分 解。 ③有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多 项式正确分解即可。 二、经典例题 【例】将下列各式分解因式： （1）332636a a a +-=_______； （2）4 1_______a -=；
例：x 2 y xy 2 p(x y) q(y x) x(a b) y(a b) 知识网络详解: 因式分解的基本方法: 1 2 因式分 解 、提公因式法一一如果多项式的各项有公因式，首先把它提出来。 、运用公式法一一把乘法公式反过来用，常用的公式有下列五个: 平方差公式 a 2 b 2 a b a b ； 完全平方公式 a 2 2ab b 2 、分组分解法一一适当分组使能提取公因式或运用公式。要灵活运用“补、凑、拆、分”等技巧。 、十字相乘法 【课前回顾】 1.下列从左到右的变形，其中是因式分解的是( (A ) 2 a b 2a 2b (B ) (C ) x 2 2x 1 x x 2 1 b b 1 2.把多项式—8a 2b 3 + 16a 2b 2 c 2— 24a 3bc 3分解因式，应提的公因式是 (D ) (D ) (A ) — 8a 2bc (B ) 2a 2b 2c 3 3?下列因式分解中，正确的是( (A ) 3m 2 6m m 3m 6 (C ) x 2 2xy y 2 x (C )— 4abc 2 (B ) a b (D ) x 2 4?下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是( (A ) a 2 4 (B ) a 2 2 (C ) 5.下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是 ( ab 2 y ) 4 2 (A ) 4x — 1 2 (B ) 4x + 4x — 1 2 (C ) x —xy + y 2 6.若 4x 2 mx (A ) 3 9是完全平方式，则 m 的值是( (B ) 4 ( C ) 12 经典例题讲解: 提公因式法: m 2 a ( 24a ab b 1 ), 3b 3c 3 a a b 2 y (D ) a 2 4 x 2 — x + - (D )± 12 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律