课时作业75 离散型随机变量的均值与方差、正态分布
一、选择题
1．已知随机变量X 的分布列为
则E (6X ＋8)的值为A ．13.2 B ．21.2 C ．20.2
D ．22.2
解析：由随机变量的期望公式可得E (X )＝1×0.2＋2×0.4＋3×0.4＝2.2，E (6X ＋8)＝6E (X )＋8＝6×2.2＋8＝21.2.
答案：B
2．已知随机变量X ＋η＝8，若X ～B (10，0.6)，则E (η)和D (η)分别是( )
A ．6和2.4
B ．2和2.4
C ．2和5.6
D ．6和5.6
解析：由已知随机变量X ＋η＝8，所以η＝8－X .因此，E (η)＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，D (η)＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.
答案：B
3．若X ～B (n ，p )，且E (X )＝6，D (X )＝3，则P (X ＝1)的值为( ) A ．3·2－2 B ．2－4 C ．3·2－10
D ．2－8
解析：∵E (X )＝np ＝6，D (X )＝np (1－p )＝3，∴p ＝1
2，n ＝12，则
P (X ＝1)＝C 1
12·12
·? ??
?
?1211
＝3·2－10.
答案：C
4．现有三个小球全部随机放入三个盒子中，设随机变量ξ为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，则ξ的数学期望E (ξ)为( )
A.17
9 B.199 C ．2
D.73
解析：由题意知ξ的所有可能取值为1，2，3，P (ξ＝1)＝A 33
33＝627，
P (ξ＝2)＝C 23·A 22·C 2333＝1827，P (ξ＝3)＝C 13
33＝327，∴E (ξ)＝1×627＋2×1827
＋3×327＝17
9，故答案为A.
答案：A
5．(2016·江西省八校联考)在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布N (100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80，120)内的概率为0.8，则落在(0，80)内的概率为( )
A ．0.05
B ．0.1
C ．0.15
D ．0.2
解析：由题意得，P (80<ξ<100)＝P (100<ξ<120)＝0.4，P (0<ξ<100)＝0.5，∴P (0<ξ<80)＝0.1.
答案：B
6．一个射箭运动员在练习时只记射中9环和10环的成绩，未击中9环或10环就以0环记．该运动员在练习时击中10环的概率为a ，击中9环的概率为b ，既未击中9环也未击中10环的概率为c (a ，b ，c ∈[0，1))，如果已知该运动员一次射箭击中环数的期望为9环，则
当10a ＋1
9b 取最小值时，c 的值为( )
A.111
B.211
C.511
D ．0
解析：因为运动员射击一次击中环数的期望为9，所以有10a ＋
9b ＝9，所以10a ＋19b ＝19?
??
??10a ＋19b (9b ＋10a )＝19?
??
??90b a ＋10a
9b ＋101≥1219.
当且仅当90b a ＝10a
9b 时取等号，即a ＝9b .将其和10a ＋9b ＝9联立可解得a ＝911，b ＝111.又因为a ＋b ＋c ＝11，所以c ＝111.
答案：A 二、填空题
7．育才学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为残疾人志愿者，若用随机变量X 表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E (X )＝________(结果用最简分数表示)．
解析：首先X ∈{0，1，2}．
∴P (X ＝0)＝C 25C 27＝1021，P (X ＝1)＝C 12C 1
5
C 27＝1021，
P (X ＝2)＝C 22C 27
＝1
21.
∴E (X )＝0×1021＋1×1021＋2×121＝1221＝4
7. 答案：47
8．(2015·湖南卷改编)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为________．
解析：由正态分布得，μ＝0，σ2＝1，σ＝1，阴影部分的面积为P (0≤X ≤1)＝12P (－1 2×0.682 6＝0.341 3，由几何概型得，点落入阴影部分的概率为0.341 31×1＝0.341 3，落入阴影部分的点的个数 约为10 000×0.341 3＝3 413. 答案：3 413 9．某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题，每道题答对给10分，答错倒扣5分(每道题都必须回答，但相互不影响)．设某学生对每道题答对的概率为3 4，则该学生在面试时得分的期望为________． 解析：由题得，该学生有可能答对0，1，2，3道，所以得分可能为－15，0，15，30.根据独立试验同时发生的概率计算公式可得，得分可能为－15，0，15，30对应的概率分别为 C 33? ?? ? ?1－343·? ?? ??340，C 2 3 ? ????1－342? ????341，C 13? ????1－341? ????342，C 03? ????1－340? ????343，即为164，964，2764，2764.所以期望为(－15)×164＋0×964＋15×2764＋30×2764＝754. 答案：754 三、解答题 10．(2015·山东卷)若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137，359，567等)． 在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分． (1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”； (2)若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望E (X )． 解：(1)个位数是5的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345； (2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C 39＝84， 随机变量X 的取值为：0，－1，1，因此 P (X ＝0)＝C 3 8C 39＝23，P (X ＝－1)＝C 24 C 39 ＝114， P (X ＝1)＝1－114－23＝11 42. 所以X 的分布列为 则E (X )＝0×23＋(－1)×114＋1×1142＝4 21. 11．小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个． (1)若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率； (2)若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个．记乙所得红包的总钱数为X ，求X 的分布列和期望． 解：(1)设“甲恰得一个红包”为事件A ，则P (A )＝C 1 2×13×23＝49 . (2)X 的所有可能值为0，5，10，15，20. P (X ＝0)＝? ?? ??232×23＝8 27， P (X ＝5)＝C 1 2×13 ×? ?? ? ?232＝827， P (X ＝10)＝? ????132×23＋? ????232×13＝6 27， P (X ＝15)＝C 1 2×? ?? ? ?132×23＝4 27， P (X ＝20)＝? ?? ??133＝1 27. X 的分布列： E (X )＝0×827＋5×827＋10×627＋15×427＋20×127＝20 3. 1．(2016·石家庄市第一次模拟)集成电路E 由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，3个电子元件能正常工作的概率分别降为12，12，2 3，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若3个电子元件中至少有2个正常工作，则E 能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E 所需费用为100元． (1)求集成电路E 需要维修的概率； (2)若某电子设备共由2个集成电路E 组成，设X 为该电子设备需要维修集成电路所需的费用．求X 的分布列和期望． 解：(1)3个电子元件能正常工作分别记为事件A ，B ，C ，则P (A ) ＝12，P (B )＝12，P (C )＝23. 依题意，集成电路E 需要维修有2种情形： ①3个元件都不能正常工作，概率为 P 1＝P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝12×12×13＝1 12； ②3个元件中的2个不能正常工作，概率为 P 2＝P (A B C ＋A B C ＋A B C )＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝12×12×13＋12×12×13＋12×12×23＝412＝13，故集成电路E 需要维修的概率为P 1＋P 2＝112＋13＝512. (2)设ξ为维修集成电路的个数，则ξ～B (2，5 12)，而X ＝100ξ， P (X ＝100k )＝P (ξ＝k )＝C k 2? ??? ? 512k ? ?? ??7122－k ，k ＝0，1，2. X 的分布列为： ∴E (X )＝0×49144＋100×3572＋200×25144＝250 3或E (X )＝100E (ξ)＝100×2×512＝250 3. 2．某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N (168，16)．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160 cm 和184 cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160，164)，第2组[164，168)，…，第6组[180，184]，如图是按上述分组方法 得到的频率分布直方图． (1)试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况； (2)求这50名男生身高在172 cm 以上(含172 cm)的人数； (3)在这50名男生身高在172 cm 以上(含172 cm)的人中任意抽取2人，将该2人中身高排名(从高到低)在全市前130名的人数记为X ，求X 的数学期望． 参考数据： 若X ～N (μ，σ2)，则 P (μ－σ 解：(1)由频率分布直方图，经过计算得该校高三年级男生平均身高为162×5100＋166×7100＋170×8100＋174×2100＋178×2 100＋182×1 100×4＝168.72，高于全市的平均值168. (2)由频率分布直方图知，后3组频率为(0.02＋0.02＋0.01)×4＝0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名男生身高在172 cm 以上(含172 cm)的人数为10. (3)∵P (168－3×4 2＝0.001 3， 0．001 3×100 000＝130. ∴全市前130名的身高在180 cm 以上，这50人中180 cm 以上的有2人． 随机变量X 可取0，1，2，于是 P (X ＝0)＝C 28C 210＝2845，P (X ＝1)＝C 18C 12 C 210＝1645， P (X ＝2)＝C 22C 210 ＝1 45， ∴E (X )＝0×2845＋1×1645＋2×145＝2 5. 3．(2016·郑州市第一次质量预测)某商场每天(开始营业时)以每件150元的价格购入A 商品若干件(A 商品在商场的保鲜时间为10小时，该商场的营业时间也恰好为10小时)，并开始以每件300元的价格出售，若前6小时内所购进的商品没有售完，则商场对没卖出的A 商品将以每件100元的价格低价处理完毕(根据经验，4小时内完全能够把A 商品低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再购进A 商品)．该商场统计了100天A 商品在每天的前6小时内的销售量，制成如下表格(注：视频率为概率)．(其中x ＋y ＝70) (1)4件．若这些商品被6名不同的顾客购买，现从这6名顾客中随机选2人进行服务回访，则恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个是以100元价格购买的顾客的概率是多少？ (2)若商场每天在购进5件A 商品时所获得的平均利润最大，求x 的取值范围． 解：(1)设“恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个是以 100元价格购买的顾客”为事件A ，则P (A )＝C 14C 12 C 26 ＝815. (2)设销售A 商品获得的利润为ξ(单位：元)，依题意，将频率视为概率，为追求更多的利润， 则商场每天购进的A 商品的件数取值可能为4件，5件，6件． 当购进A 商品4件时，E (ξ)＝150×4＝600， 当购进A 商品5件时，E (ξ)＝(150×4－50)×0.3＋150×5×0.7＝690， 当购进A 商品6件时，E (ξ)＝(150×4－2×50)×0.3＋(150×5－50)×x 100＋150×6×70－x 100＝780－2x ， 由题意780－2x ≤690，解得x ≥45，又知x ≤100－30＝70，所以x 的取值范围为[45，70]，x ∈N *.
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