1.若复数z 满足()()325z i --= (i 为虚数单位),则z 的共轭复数z 为( ) A.2i + B. 2i - C. 5i + D. 5i - 2.设集合{}0,1,2A =,则集合{},B x y x A y A =-
∈∈中元素的个数是
( ) A.1
B. 3
C. 5
D. 9
3.已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时, ()2
1
,f x x x
=+
,则()1f -= ( ) A.2-
B. 0
C. 1
D. 2
4.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直,体积为
4
9
,底面是边长为3的正三角形,若P 为底面111A B C 的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为( ) A.
125π B.3π C.4π D.6
π 5.将函数()sin 2y x ?=+的图象沿轴向左平移8
π
个单位后,得到一个偶函数的图象,则?的一个可能取值为( ) A.
43π B.4π C. 0 D. 4
π- 6.在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组220
210380x y x y x y --≥??
+-≥??+-≤?
,所表示的区域上一动
点,则直线OM 斜率的最小值为( )
A.2
B.1
C.31-
D.2
1- 7.给定两个命题p ,q ,若p ?是q 的必要而不充分条件,则p 是q ?的( )
A.充分不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 8.函数cos sin y x x x =+的图象大致为( )
9.过点()3,1作圆()2
2
11x y -+=的两条切线,切点分别为,A B ,则直线AB 的方程
为( )
A.032=-+y x
B.032=--y x
C.034=--y x
D.034=-+y x
10.用0,1,2,...9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A.243
B.252
C.261
D.279
11.抛物线1C :2
21x p y =(p >0)的焦点与双曲线2C :13
22=-y x 的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M 。若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线。则p =( )
A.
163 B.83334
12.设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=,则当z xy
取得最大值时,z
y x 212-+的最大值为( ) A.0 B. 1 C.4
9
D. 3
13.执行右面的程序框图,若输入的ε的值为0.25,则输入的n 的值_____.
14.在区间[]3,3-上随机取一个数x ,使得121x x +--≥成立的概率为____.
15.已知向量AB 与AC 的夹角为120?
,且3,2,A B A C == ,若,AP AB AC λ=+
,
且AP BC ⊥
,则实数λ的值为_____.
16.定义“正对数”:0,01
ln ln ,1
x x x x +<=?≥?,现有四个命题:
①若0,0a b >>,则()ln ln
b
a b a +
+
=;
②若0,0a b >>,则()ln
ln ln ab a b +
++=+;
③若0,0a b >>,则ln ln ln a a b b +++
??≥- ???
④若0,0a b >>,则()ln ln ln ln 2a b a b +
+++≤++
17.设ABC ?的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且6,2a c b +==,7cos 9
B =。 (Ⅰ)求,a c 的值; (Ⅱ)求()sin A B -的值。
18.如图所示,在三棱锥PAQ ?中,PB ⊥平面ABQ ,BA BQ BP ==,,,,D C E F 分别是,,,AQ BQ AP BP 的中点,2AQ BD =,PD 与EQ 交于G ,PC 与FQ 交于点
H ,连接GH 。
(Ⅰ)求证:AB GH ;
(Ⅱ)求二面角D GH E --的余弦值。
19.甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束。除第五局甲队获胜的概率是21外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是3
2
。假设各局比赛结果相互独立。
(Ⅰ)分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率;
(Ⅱ)若比赛结果为求3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3:2,则胜利方得2分、对方得1分。求乙队得分X 的分布列及数学期望。 20.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且424S S =,221n n a a =+. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设数列{}n b 的前
n 项和为n T ,且1
2
n n n
a T λ++
= (λ为常数),令()*2n n c b n N =∈,求数列{}n c 的前n 项和n R 。
21.已知函数()2x
x
f x c e =+( 2.71828...e =是自然对数的底数,c R ∈). (Ⅰ)求
()
f x 的单调区间、最大值;
(Ⅱ)讨论关于x 的方程()ln x f x =根的个数。
22.椭圆C : ()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是12,F F ,离心率为2
3
,过
1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1。
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接12,PF PF ,设12F PF ∠的角平分线
PM 交C 的长轴于点(),0M m ,求m 的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点P 作斜率为k 的直线l ,使l 与椭圆C 有且只有一个公共点,设直线的12,PF PF 斜率分别为12,k k 。若0k ≠,试证明12
11
kk kk +
为定值,并求出这个定值。
参考答案
1.D 【解析】5
3235,2z i i i
=
+=++=+-所以5.z i =- 【考点定位】复数除法运算中的分母实数化是必考点,而共轭复数既是运算的帮手,又是考查的目标.每年高考都将会对基本概念进行考查. 2.C
【解析】x y -的取值分别为2,1,0,1,2.--
【考点定位】本题考查集合中的元素的确定性和互异性,当,x y 遍取{}0,1,2A =中的元素后可能达到相同的结果,要注意依据互异性只能确定为一个元素. 3.A
【解析】()()11 2.f f -=-=-
【考点定位】本题考查函数的奇偶性的应用,根据()()f x f x -=-直接运算
()()11 2.f f -=-=-而若求()f x 在(),0-∞上的解析式再求()1f -便多余了.
4.B
【解析】2
=
=
44
S 底由194V S AA =?=底得1AA 由正三角形的性质可知
12
1,3PA ==设PA 与平面ABC 所成角的大小为θ,则
1
1
t a n 3,.
3
AA PA πθθ=
==
【考点定位】本题考查直线与平面所成的角的概念和运算,难度不大,考查对特殊图形的运
算速度和准确应用,涉及正三角形的面积公式、棱柱的体积公式、解直角三角形等多个知识点. 5.B
【解析】得到的偶函数解析式为sin 2sin 284y x x ππ???????
?
??=+
+=++ ? ??????
??????
?,显然.4
π
?=
【考点定位】本题考查三角函数的图象和性质,要注意三角函数两种变换的区别,
sin 24x π?????++ ???????选择合适的?值通过诱导公式把sin 24x π???
??++ ??????
?转化为余弦函数
是考查的最终目的.
6.C
【解析】画出可行域得该区域为点()()()1,0,2,2,3,1-形成的三角形,因此OM k 的最小值为
101
.303
--=-- 【考点定位】本题考查线性规划下的斜率运算,确定可行域是关键,通过OM 绕O 旋转来确定最小值点. 7.A
【解析】由q p ??且p q ?≠>可得p q ??且q p ?≠>,所以p 是q ?的充分不必要条件。
【考点定位】本题考查充分必要条件的判断,通过等价命题的转化化难为易,本题依据原命题的逆否命题进行判断较为简单,也渗透了转化思想的考查. 8.D
【解析】函数cos sin y x x x =+在x π=时为负,排除A,由奇函数的性质可排除B ,再比较C,D ,不难发现在x 取接近于0的正值时0,y >排除C 。
【考点定位】本题通过函数的奇偶性、函数的单调性、函数的值域等考查了函数图象的识别,难度较大,可通过求导方法来进一步研究该函数的图象和性质. 9.A
【解析】画图可知直线AB 的斜率为负,其中一个切点为()1,1,代入A,D 只有A 满足.
【考点定位】本题考查直线和圆的位置关系,通过研究过切点的直线方程,考查快速反映能力,是对三维目标之一的情感态度价值观的有力考查。 10.B
【解析】先计算能形成三位数的个数111
91010,C C C ??再计算形成没有重复数字的三位数的个数111998,C C C ??所以11111191010998252.C C C C C C ??-??=
【考点定位】本题考查了排列组合问题,通过“重复数字”设置障碍,具有一定的难度,而采取排除法避开了分类讨论,使运算过程更为简洁. 11.D
【解析】画图可知被1C 在点M 处的切线平行的渐近线方程应为y x =,设2,2t M t p ?? ???
,
则利用求导得223t p p ==又点()20,,2,0,,22p t t p ????
? ?????
共
线,即点
(
),2,0,t ?? ????
共线,所以0622200t =--,解得4,3t =
所以p = 【考点定位】本题考查了抛物线和双曲线的概念、性质和导数的意义,进一步考查了运算求
解能力。根据三点共线的斜率性质构造方程,从而确定抛物线方程形式. 12.B
【解析】
22
11,4343xy xy x y z x xy y y x ==≤=-++-当且仅当2x y =时成立,因此22224642,z y y y y =-+=所以2
221221
111 1.x y z y y y ??+-=-=--+≤ ???
【考点定位】本题考查基本不等式的应用,考查运算求解能力、推理论证能力和转化思想、
函数和方程思想。基本不等式的使用价值在于简化最值确定过程,而能否使用基本不等式的
关键是a b +≥中的ab 是否为定值. 13.3.
【解析】考查11,n F ?? ???这个数对的不同取值:11,2,,3.35????
? ?????此时满足1
1F ε≤,因此输出的
值为3.
另解:第一次循环,10123,312,2F F n =+==-==,此时
111
0.253
F =≤不成立。第二次循环,10235,523,3F F n =+==-==,此时
111
0.255
F =≤成立,输出3n =。 【考点定位】本题考查程序框图的运行途径,考查读图能力和运算能力, 针对类似问题可根据框图中的关键“部位”进行数据罗列. 14.
13
【解析】设()12f x x x =+--,则()3,
3121,123,23x f x x x x --≤<-??
=--≤≤??<≤?
,当13x ≤≤时,
()1f x ≥成立,()311
.333
P -=
=--
【考点定位】本题把绝对值不等式和几何概型相结合来考查概率的运算,体现了几何概型“无处不在”的特点,考查了分类讨论思想和运算能力. 15.
712
【解析】,BC AC AB =- 由AP BC ⊥
得()()
0,AB AC AC AB λ+?-=
所以()22
10,AB AC AC AB λλ-?+-= ()17132490,.212λλλ??
-??-+-== ???
【考点定位】本题考查平面向量的加减运算、数量积运算,考查了转化思想和运算能力. 把
BC 转化为AC AB - 的形式,为0AP BC ?=
这一运算提供了熟悉的运算途径.
16.①③④
【解析】对于①可分几种情形加以讨论,显然,1a b >时,ln x +依ln x 运算,
()l n l n b a b a ++
=成立,01b a <<<时亦成立.若01a <<,则()l n
0l n b
a b a +
+
=
=成立.
综合①正确.
对于②可取特殊值1
,a e b e
==
验证排除. 对于③分别研究,a b 在()0,+∞内的不同取值,可以判断正确;
对于④根据,a b 在()0,+∞内的不同取值,进行判断,显然,a b 中至少有一个小于1结论成立,当,a b 均大于1时,
11
2a b
+<,所以2,a b ab +<满足ln x 运算,结论成立. 【考点定位】本题通过新定义考查分析问题解决问题的能力,考查了分类讨论思想,并对推理判断能力和创新意识进行了考查. “正对数”0,01
ln ln ,1
x x x x +<=?
≥?与“普通对数”ln x 的
差异只在于()0,1内,因此在取值验证时要特别注意这一“差异”,对于“正对数”的四则运算法则才能作出正确判断.
17.(Ⅰ)3a c == 【解析】(Ⅰ)因为2227
cos 29
a c
b B a
c +-=
=, 所以
()2
227,29
a c ac
b a
c +--=
分别代入6,2a c b +==得9,ac =解得 3.a c ==
(Ⅱ)由7cos 9B =
得sin 9
B =,
因为
,sin sin a b A B =
所以sin 3
A =1cos ,3A = 所以(
)71sin sin cos cos sin 393927
A B A B A B -=-=
-?= 【考点定位】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用,考查了方程思想和运算能力. 由
2227
cos 29
a c
b B a
c +-==求3a c ==的过程中体现了整体代换的运算技巧,而求
()sin A B -的过程则体现了“通性通法”的常规考查.
18.(Ⅰ)见解析 (Ⅱ)4
5
-
【解析】解法一 (Ⅰ)在PAQ ?中,,D E 分别是,AP AQ 的中点,则G 是PAQ ?的重心,
2.QG
GE
= 同理, 2.QH HF =所以QG QH
GE HF
=,因此.GH EF 又因为EF 是PAB ?的中位线,所以,AB EF AB GH . (Ⅱ)解法1 因为 2AQ BD =,所以AB BQ ⊥,又PB AB ⊥, 所以AB ⊥平面PBQ ,GH ⊥平面PBQ ,
FHC ∠为二面角D GH E --的平面角,
不妨设2,BA =
由三角形知识可得FC FH HC =
==
由余弦定理得
2
2
2
4
cos .5
FHC +-∠=
=-
解法2分别以,,BA BQ BP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,不妨设2,BA =则
()()()()()()0,2,0,0,0,1,1,0,1,0,0,2,1,1,0,0,1,0.Q F E P D C 设平面QFE 的法向量为(),,m x y z =
,则
00
m QF m QE ??=???=??
,所以()()()(),,0,2,10
,,1,2,10x y z x y z ?-=????-=??,令1y =得()0,1,2m =
同理求得平面PDC 的一个法向量为()0,2,1n =
,
因此4
cos ,,5
m n m n m n ?==
由图形可知二面角D GH E --的余弦值为4.5
-
解法二(Ⅰ)证明:因为,,,D C E F 分别是,,,AQ BQ AP BP 的中点, 所以EF ∥AB ,DC ∥AB ,所以EF ∥DC , 又EF ?平面PCD ,DC ?平面PCD , 所以EF ∥平面PCD ,
又EF ?平面EFQ ,平面EFQ 平面PCD GH =, 所以EF ∥GH , 又EF ∥AB , 所以AB ∥GH .
(Ⅱ)解法一:在△ABQ 中, 2AQ BD =,AD DQ =,
所以=90ABQ ∠
,即AB BQ ⊥,因为PB ⊥平面ABQ ,所以AB PB ⊥, 又BP BQ B = ,所以AB ⊥平面PBQ ,由(Ⅰ)知AB ∥GH ,
所以GH ⊥平面PBQ ,又FH ?平面PBQ ,所以GH FH ⊥,同理可得GH HC ⊥, 所以FHC ∠为二面角D GH E --的平面角,设2BA BQ BP ===,连接PC , 在t R △FBC
中,由勾股定理得,FC = 在t R △PBC
中,由勾股定理得,PC =,
又H 为△PBQ
的重心,所以
13HC PC ==
同理
FH =
,
在△FHC 中,由余弦定理得552
4
99cos 5529FHC +-∠==-
?,
即二面角D GH E --的余弦值为4
5-
.
解法二:在△ABQ 中,2AQ BD =,AD DQ =,
所以90ABQ ∠=,又PB ⊥平面ABQ ,所以,,BA BQ BP 两两垂直,
以B 为坐标原点,分别以,,BA BQ BP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设2BA BQ BP ===,则(1,0,1)E ,(0,0,1)F ,(0,2,0)Q ,(1,1,0)D ,
(0,1,0)C (0,0,2)P ,,所以(1,2,1EQ =-- ,(0,2,1)FQ =- ,(1,1,2)DP =-- ,(0,1,2)CP =-
,
设平面EFQ 的一个法向量为111(,,)m x y z =
,
由0m EQ ?= ,0m FQ ?=
,
得111112020x y z y z -+-=??
-=?
取1
1y =,得(0,1,2)m =
. 设平面PDC 的一个法向量为222(,,)n x y z =
由0n DP ?= ,0n CP ?=
,
得222222020x y z y z --+=??
-+=? 取2
1z =,得(0,2,1)n =
.所以4cos ,5
m n m n m n ?==
因为二面角D GH E --为钝角,所以二面角D GH E --的余弦值为4
5-
.
【考点定位】本题考查了空间直线的位置关系的判定和二面角的求法,考查了空间想象能力、推理论证能力和运算能力。第一问主要涉及平面几何的图形性质,中点形成的平行线是常考
点之一,论证较为简单。第二问有两种方法可以解决,因图形结构的简洁性,推理论证较为简单,而利用空间向量运算求解二面角就相对复杂了. 19.(Ⅰ)
827 827 427 (Ⅱ)7
9
【解析】解法一 (Ⅰ)设甲胜局次分别为,,,,,A B C D E 负局次分别为,,,.A B C D
()()2228
3:0;33327
P P ABC ==
??= ()()()()3:11222212222128;33333333333327P P ABCD P ABCD P ABCD
=++=???+???+???= ()()
()
(
)
3:232112212112122111432.33332333323333227
P P ABCDE P ABCDE P ABCDE
=?+?+=?????+?????+????= (Ⅱ)根据题意乙队得分分别为0,1,2,3.
()()()881600:31:3;272727
P X P P ==+=+= ()()4
12:3;27P X P === ()()4
23:2;27P X P ===
()()()12133:03:1.27279
P X P P ==+=
+=
X 0123.27272799EX =?+?+?+?=
解法二(Ⅰ)记“甲队以3:0胜利”为事件1A ,
“甲队以3:1胜利”为事件2A ,
“甲队以3:2胜利”为事件
3A ,由题意,各局比赛结果相互独立,
故
3128
()()327P A ==
, 22232228
()()(1)33327P A C =-?=
, 122342214
()()(1)33227P A C =-?=
所以,甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率分别是827,827,4
27;
(Ⅱ)设“乙队以3:2胜利”为事件
4A ,由题意,各局比赛结果相互独立,所以
122442214
()(1)()(1)33227P A C =-?-=
由题意,随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3,,根据事件的互斥性得
1212(0)()()()
P X P A A P A P A ==+=+1627=
,
34
(1)()27P X P A ===
, 44(2)()27P X P A ===
,
(3)P X ==1-(0)P X =(1)P X -=(2)
P X -=327=
故X 的分布列为
所以
16443012327272727EX =?
+?+?+?79=。
【考点定位】本题考查了独立事件互斥事件的识别与概率运算、离散型随机变量的分布列和
期望,要注意对不同事件的合理表述,便于书写过程。X 服从于二项分布,可用概率公式进行运算,也可以采用罗列方式进行 ,是对运算能力的常规考查. 20.(Ⅰ)*21,n a n n N =-∈ (Ⅱ)*
1431,994
n n n R n N -+=
-∈? 【解析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ,则
()()()1
11143442221211a d a d a n d a n d ??
+=+??
?+-=+-+?????
,解得112a d =??=?, 所以()*
11221,.n a n n n N =+-?=-∈
(Ⅱ)由(Ⅰ)得22n n n T λ=-
,所以22n
n
n
T λ=-. 111,b T λ==-
当2n ≥时,()1112122,222
n n n n n n n n n b T T λλ----?
?-=-=---= ??? 因此2212212211
.224n n n n n n n n c b ------==
== 所以11213111121311
(4444)
n n n R --------=+++
()213111111121
1...44444n n n
n n R --------=++++ 相减得2131131111 (44444)
n n n n R ----=+++-1
1114411414
n n
n -????
-?? ???-????=
--,
111
1114411111,34439434n n n n n n n R ---??????--????????=--?=--??????? ? ? ???????????????????
化简得*
1
431,.994
n n n R n N -+=-∈? 【考点定位】本题从等差数列的基本问题(首项、公差、通项公式)入手,通过新数列的构造考查了n a 与n S 的关系、错位相减法求和等,涉及等比数列的求和公式的应用、代数式的化简等,是对运算能力的有力考查.
21.解法一 (Ⅰ)()f x 的单调递增区间为1,2??-∞ ???,单调递减区间为1,2??+∞
???
, ()1max
22
1
112.22f x f c c e e ???
==+=+ ???
(Ⅱ)当()10f >即
22110,c c e e +>>-时,函数()2ln ,x x y x f x c e
==+的图象有两个交点,即方程()ln x f x =有两个根. 当()10f =即
22110,c c e e +==-时,函数()2ln ,x
x y x f x c e ==+的图象有一个交点,即方程()ln x f x =有一个根.
显然当2
1
c e <-
时,方程()ln x f x =没有根. 【解析】(Ⅰ)()()
22'
2222212,x x x x x x e xe x
f x e e e --=== 当1,2x ?
?∈-∞ ???
时,()'
0,f
x >;当1,2x ??
∈+∞
???
时()'0.f x < 所以()f x 的单调递增区间为1,2?
?-∞ ??
?
,单调递减区间为1,2??
+∞
???
, ()1max
22
1
112.22f x f c c e e ???
==+=+ ???
(Ⅱ)
通过图象可对c 进行讨论: 当()10f >即
22110,c c e e +>>-时,函数()2ln ,x x y x f x c e
==+的图象有两个交点,即方程()ln x f x =有两个根. 当()10f =即
22110,c c e e +==-时,函数()2ln ,x
x y x f x c e ==+的图象有一个交点,即方程()ln x f x =有一个根. 显然当2
1
c e <-
时,方程()ln x f x =没有根. 解法二 (Ⅰ)'2()(12)x f x x e -=-,
由'
()0f x =,解得
1
2x =
,
当
1
2x >
时,'
()0f x <,()f x 单调递减
所以,函数()f x 的单调递增区间是1(,)2-∞,单调递减区间是1(,)
2+∞, 最大值为11
()22f c e =+
(Ⅱ)令
2()ln ()ln x x
g x x f x x c e =-=-
- (0,)x ∈+∞
(1)当(1,)x ∈+∞时,ln 0x >,则
2()ln x x
g x x c e =-
-,
所以,
2'2()(21)x
x
e g x e
x x -=+-
因为210x ->,20x
e x > 所以 '
()0g x >
因此()g x 在(1,)+∞上单调递增.
(2)当(0,1)x ∈时,当时,ln 0x <,则
2()ln x x
g x x c e =--
-,
所以,
2'2()(21)
x
x
e g x e
x x -=-+-
因为
22
(1,)x e e ∈,210x e x >>>,又211x -< 所以2210x e x x -+-< 所以 '
()0g x <
因此()g x 在(0,1)上单调递减.
综合(1)(2)可知 当(0,)x ∈+∞时,2
()(1)g x g e c -≥=--, 当2
(1)0g e c -=-->,即2
c e -<-时,()g x 没有零点,
故关于x 的方程
ln ()
x f x =根的个数为0;
当
2
(1)0g e c -=--=,即2c e -=-时,()g x 只有一个零点,
故关于x 的方程
ln ()
x f x =根的个数为1;
当
2
(1)0g e c -=--<,即2c e ->-时, ①当(1,)x ∈+∞时,由(Ⅰ)知
1
21()ln ln ()ln 12x x g x x c x e c x c e -=-
-≥-+>--
要使()0g x >,只需使ln 10x c -->,即
1(,)c
x e +∈+∞; ②当(0,1)x ∈时,由(Ⅰ)知
1
21()ln ln ()ln 12x x g x x c x e c x c e -=--
-≥--+>---;
要使()0g x >,只需使ln 10x c --->,即
1(0,)c
x e --∈; 所以当2
c e ->-时,()g x 有两个零点,故关于x 的方程
ln ()
x f x =根的个数为2;
综上所述:
当2
c e -<-时,关于x 的方程ln ()x f x =根的个数为0; 当2c e -=-时,关于x 的方程ln ()x f x =根的个数为1; 当2c e ->-时,关于x 的方程
ln ()
x f x =根的个数为2.
【考点定位】本题考查了函数的单调性、函数的最值等主干知识,考查了数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想的综合应用.第一问的研究为第二问进行数形结合铺平了“道路”,使()2ln ,x x
y x f x c e
==
+的相对位置关系更明晰. 22.(Ⅰ)
2214
x y += (Ⅱ)33
22m -<< (Ⅲ)8- 【解析】(Ⅰ)设()1,0F c -,过1F
且垂直于x 轴的直线与椭圆相交,则其中的一个交点坐标为1,2Q c ??- ???
,由题意可得2
222121c a b ???? ????+=?=解得21a b =??=?,
所以椭圆C 的方程为2
2 1.4
x y +=
(Ⅱ)由(Ⅰ)知(
))
12
,,F F
则12,,MF m MF m ==
由椭圆定义得1214,22PF PF PF +=<< 因为PM 平分12F PF ∠,
所以1
1
22,
PF MF PF MF
=1
1221
PF PF PF PF PF ==+
124m PF =
=
所以
2
22m
-<+
33.22m -
<< 另解:由题意可知:11||||PF PM PF PM ? =22||||PF PM PF PM ? ,11||PF PM PF ? =22||PF PM PF ?
,
设
00(,)P x y 其中2
04x ≠,将向量坐标代入并化简得 23000(416)312m x x x -=-,因为2
4x ≠, 所以
034m x =
,而0(2,2)x ∈-,所以33
(,)22m ∈-.
(Ⅲ)因为l 与椭圆C 有且只有一个公共点,则点P 为切点,设()00,P
x y
12k k =
=
120
211x k k y +=
. 设:,l y kx t =+与2
214
x y +=联立得()222148440k x ktx t +++-=, 由()(
)2
2
2
8414440kt k
t
?=-+-=得2214t k =+,
所以()
2000
28441
,.214kt k k x y kx t t t t t k -==-=+=-+=+ 0120
422118,
1k x t k k k y t
??
- ?
??
+===-12118.kk kk +=-
另解:由题意可知,l 为椭圆的在P 点处的切线,由导数法可求得,切线方程0014x x
y y +=,
所以
004x k y =-
,而12k k ==
,代入1211kk kk +中得
001200
114(8x x kk kk x x +=-+=-为定值.
【考点定位】本题通过椭圆的离心率、焦点、弦长、定义等基本知识来考查运算能力、推理
论证能力。第一问较为简单,通过,,a b c 三者的固有关系确定椭圆方程为2
214
x y +=.第二问处理方式很多,可利用角平分线性质定理寻找线段间的比例关系、可利用点(),0M m 到直线12,PF PF 的距离相等来确定m 的取值范围,但要注意直线斜率不存在的情形的说明.第三问中的直线l 的方程设法很多,也是决定运算量大小的关键,如果设为()00y y k x x -=-,则会出现()2
00k x x y -+????,其运算强度较大,而设为,y kx t =+可通过0?=得到关系式
2214t k =+,大大简化了运算.
福建省罗源第一中学2021届高三数学10月月考试题 一、单选题(每小题5分) 1.复数 1 1i i -+(i 为虚数单位)的虚部是( ) A. -1 B. 1 C. i - D. i 2.αβ≠是cos cos αβ≠的( )条件. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知sin(π+θ)=-3cos(2π-θ),|θ|<π 2 ,则θ等于( ) A .-π6 B .-π3 C.π6 D.π3 4.函数1ln sin 1x y x x +=?-的图象大致为( ) 5.已知a >0且a ≠1,函数f (x )=? ????a x ,x ≥1 ax +a -2,x <1在R 上单调递增,那么实数a 的取值范围是( ) A .(1,+∞) B .(0,1) C .(1,2) D .(1,2] 6.已知△ABC 中,AB =2,B =π4,C =π6 ,点P 是边BC 的中点,则AP →·BC → 等于( ) A .1 B .2 C .3 D .4 7.若函数f (x )=sin ? ????ωx -π6(ω>0)在[0,π]上的值域为???? ??-12,1,则ω的最小值为( ) A.23 B .34 C.43 D .3 2 8.在ABC ?中,已知点P 在线段BC 上,点Q 是AC 的中点, AQ y AB x AP +=,0,0>>y x ,则 y x 11+的最小值为( )
A .2 3 B .4 C. 22 3 + D. 223+ 二、多选题(每小题5分,部分选对得3分) 9.在ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,则下列结论中正确的是( ) A .若a b >,则sin sin A B > B .若sin 2sin 2A B =,则AB C 是等腰三角形 C .若cos cos a B b A c -=,则ABC 是直角三角形 D .若2220a b c +->,则ABC 是锐角三角形 10.设点M 是ABC 所在平面内一点,则下列说法正确的是( ) A .若11 22 AM AB AC = +,则点M 是边BC 的中点 B .2AM AB AC =-若,则点M 在边BC 的延长线上 C .若AM BM CM =--,则点M 是ABC 的重心 D .若AM x AB y AC =+,且1 2x y +=,则MBC △的面积是的ABC 面积的12 11.要得到函数x y cos =的图像,只需将函数)3 2sin(π +=x y 的图像上所有的点( ) A .先向右平移 6π个单位长度,再将横坐标伸长到原来的2 1 (纵坐标不变) B .先向左平移个 12 π 单位长度,再将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变) C .横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移 6 π 个单位长度 D .横坐标伸长到原来的 21(纵坐标不变),再向右平移3 π 个单位长度 12.设函数f (x )=sin ? ????ωx +π5(ω>0),已知f (x )在[0,2π]有且仅有5个零点.下述四个结论: A .f (x )在(0,2π)上有且仅有3个极大值点 B .f (x )在(0,2π)上有且仅有2个极小值点 C .f (x )在? ????0,π10上单调递增 D .ω的取值范围是???? ??125,2910 其中所有正确结论是( ) 三、填空题(每小题5分)
广东省华南师范大学附中 2013届高三5月综合测试 数学(理)试题 第Ⅰ卷(共40分) 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的 1. 已知i 是虚数单位,则复数3 2 32i i i z ++=所对应的点落在 A. 第一象限; B. 第二象限; C. 第三象限; D. 第四象限 2. 已知全集R U =,}21|{<<-=x x A ,}0|{≥=x x B ,则=)(B A C U A. }20|{<≤x x ; B. }0|{≥x x ; C. 1|{->x x ; D. }1|{-≤x x 3. 公比为2的等比数列}{n a 的各项都是正数,且16122=a a ,则=92log a A. 4; B. 5; C. 6; D. 7 4. 若y x 、满足约束条件?? ?≤+≥+1 02 2 y x y x ,则y x +2的取值范围是 A. ??? ? ??5,22 ; B. ?? ? ???-22,22; C. [ ] 5,5-; D. ?? ????-5, 2 2 5. N M 、分别是正方体1AC 的棱1111D A B A 、的中点,如图是过A N M 、、和1C N D 、、的两个截面截去两个角后所得的几何体,则该几何体的主视图为 6. 若将函数5 2)(x x f =表示为5 52 210)1()1()1()(x a x a x a a x f +++++++= ,其中0a ,1a ,2a , ,5a 为实数,则=3a A. 10; B. 20; C. 20-; D. 10- 7. 在ABC ?中,已知向量)72cos ,18(cos ??=,)27cos 2,63cos 2(??=,则ABC ?的面积为 A. 22; B. 42; C. 2 3 ; D. 2 A C B D A C D B N M 1 B 1 C
2012年第一次月考试题 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分) 1. (2010·银川一中第三次月考)已知M ={x |x 2>4},21,1N x x ? ? =≥??-?? 则C R M∩N = ( ) A .{x |1<x ≤2} B .{x |-2≤x ≤1} C .{x |-2≤x <1} D .{x |x <2} 2. (2010··重庆四月模拟试卷) 函数1 lg(2) y x = -的定义域是 ( ) A. ()12, B. []14, C. [)12, D. (]12, 3. (理)(2010·全国卷I )记cos(80)k ? -=,那么tan100?= ( ) A.k B. k - D. (文)(2010··全国卷I )cos300? = ( ) A 12- C 12 D 4(理)(2010·宣武一模)若{}n a 为等差数列,n S 是其前n 项和,且1122π 3 S =,则6tan a 的值为( ) A B .C . D . 4.(文)(2010·茂名二模)在等差数列{}n a 中,已知1241,10,39,n a a a a =+==则n = ( ) A .19 B .20 C .21 D .22 5. (2010·太原五中5月月考)在等比数列}{n a 中,前n 项和为n S ,若63,763==S S 则公比q 等于( ) A .-2 B .2 C .-3 D .3 6. (2010·曲靖一中冲刺卷数学)函数f(x)是以2为周期的偶函数,且当x ∈(0,1)时,f(x)= x +1,则函数f(x)在(1,2)上的解析式为 ( ) A .f(x)= 3-x B .f(x)= x -3 C .f(x)= 1-x D .f(x)= x +1
人大附中2021届高三第一学期10月月考 数学试卷 一、选择题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项。 01.已知集合 {} {1,0,1},1 A B x N x =-=∈< ,则A B= A. {-1,0} B. {0,1} C. {0} D. Φ 02.已知命题 :(0,),ln0 P x x x ?∈+∞+<,则P?为 A. (0,),ln0 x x x ?∈+∞+< B. (0,),ln0 x x x ??+∞+≥ C. (0,),ln0 x x x ?∈+∞+≥ D. (0,),ln0 x x x ??+∞+≥ 03.已知点 5 (2cos1) 6 P π , 是角α终边上一点,则sinα= A.1 2 B. 2 C. 1 2 - D. 2 2 - 04.已知向量a=(1,1),b(2,-1),若(λa+2b)∥(a-b),则实数λ= A. 8 B. -8 C. 2 D. -2 05.以下选项中,满足log2log2 a b > 的是 A. a=2,b=4 B. a=8,b=4
C.1 ,8 4a b == D. 11 ,24a b == 06.下列函数中,既是奇函数又在区间(-1,1)内是增函数的是 A. ()33f x x x =- B. f (x )=sin x C. 1()ln 1x f x x -=+ D. ()x x f x e e -=+ 07.已知方程2 10x ax +-=在区间[0,1]上有解,则实数a 的取值范围是 A. [0,+∞) B.(-∞,0] C. (-∞,-2] D. [-2,0] 08.已知a 是非零向量,m 为实数,则“ a m =”是“22 a m =”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 09.已知a >0,若函数 31 ,1()1,1x ax x x f x a x -?-≤?=?->??有最小值,则实数a 的取值范围是 A. (1,+∞) B. [1,+∞) C. (1 2,+∞) D. [1 2,+∞) 10.定义在[1,+∞)上的函数f (x )满足,当0≤x ≤π时,f (x )=sin x ;当x ≥π时,f (x )=2f (x -π)若方程f (x )-x +m =0在区间[0,5π]上恰有3个不同的实根,则m 的所有可能取值集合是 A. 4[0, 3π B. 4(0, 3π C. 4[0, [343π ππ,) D. 4[0, (343π ππ,) 二、填空题共5小题每小题5分,共25分。请将答案全部填写在答题卡上。
启恩中学2013届高三数学(理)综合训练题(四) 一.选择题:(本大题共8小题,每小题5分,共40分) 1.若集合}1 |{2x y y M = =,{|1}P y y x ==-, 那么=P M A .[0, )+∞ B . (0, )+∞ C .(1, )+∞ D .[1, )+∞ 2.在等比数列{}n a 中,已知 13118a a a =,那么28a a = A .4 B .6 C .12 D .16 3.在△ABC 中,90, (, 1), (2, 3)C AB k AC ∠=?== ,则k 的值是 A . 2 3 B .-5 C .5 D .2 3 - 4.某班50名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与19秒之间,将测试结果按如下方式分成六组:第 一组,成绩大于等于13秒且小于14秒;第二组,成绩大于等于14秒且小于15秒;…;第六组,成绩大于等于18秒且小于等于19秒.右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. 设成绩小于17秒的学生人数占全班人数的百分比为 x ,成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为 y ,则从频率分布直方图中可分析出 x 和y 分别为 A .0.935, B .0.945, C .0.135, D .0.145, 5.设βα,为互不重合的平面,n m ,为互不重合的直线,给出下列四个命题: ① 若αα?⊥n m ,, 则n m ⊥;② 若, , //, //m n m n ααββ??,则 βα//; ③ 若, , , m n n m αβαβα⊥=?⊥ ,则β⊥n ;④ 若, , //m m n ααβ⊥⊥,则β//n . 其中所有正确命题的序号是 : A .①③ B .②④ C .①④ D .③④ 6.已知α∈( 2π,π),sin α=53 , 则)4 2tan(πα+等于:
高三数学第一次月考试卷(集合、函数) 班级: 学号: 姓名: . 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1、如果C 、R 和I 分别表示复数集、实数集和纯虚数集,其中C 是全集。则有( ) A. C=R ∪I B. R ∩I={0} C. R ∩I=φ D. CcR=C ∩I 2、已知{1,3,5,7,9}I A B == ,{3,7}A B = ,{9}A B = ,则A B = ( ) A 、{1,3,7} B 、{1,5} C 、{3,7,9} D 、{3,7} 3、满足{a ,b }UM={a ,b ,c ,d }的所有集合M 的个数是( ) A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 4、若命题P :x ∈A B ,则 P 是( ) A. x ?A B B. x ?A 或x ?B C. x ?A 且x ?B D. x ∈A B 5、用反证法证明:“若m ∈Z 且m 为奇数,则()1122 m m --± 均为奇数”,其假设正确的( ) A. 都是偶数 B. 都不是奇数 C. 不都是奇数 D. 都不是偶数 6、命题P:若 a.b ∈R ,则a b +>1是a b +>1的充分而不必要条件:命题q: 函数 y = (][),13,-∞-+∞ .则 ( ) A.“ p 或q ”为假 B. “p 且q ”为真 C. p 真q 假 D. p 假q 真 7、 已知01a <<,则方程|| |log |x a a x =的实根个数是( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、1个或2个或3个 8、已知0log 2log 2a b <<,则a ,b 的关系是 ( ) 9、 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x <时,1()()3 x f x =,那么1 (9)f --的 值为( ) A 、2 B 、-2 C 、3 D 、-3 10、设0.3log 4a =,4log 3b =,2 0.3c -=,则a ,b ,c 的大小关系是( )
南京市2021届高三年级学情调研 数 学 2020.09 一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的,请把答案填涂在答题卡相应位置上. 1.已知集合A ={x |x 2-x -2<0},B ={x |1<x <3 },则A ∩B = A .{x |-1<x <3} B .{x |-1<x <1} C .{x |1<x <2} D .{x |2<x <3} 2.已知(3-4i)z =1+i ,其中i 为虚数单位,则在复平面内z 对应的点位于 A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 3.已知向量a ,b 满足|a |=1,|b |=2,且|a +b |=3,则a 与b 的夹角为 A .π6 B .π3 C .5π6 D .2π3 4.在平面直角坐标系xOy 中,若点P (43,0)到双曲线C :x 2a 2-y 2 9=1的一条渐近线的距离 为6,则双曲线C 的离心率为 A .2 B .4 C . 2 D . 3 5.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若2b cos C ≤2a -c ,则角B 的取值范围是 A .(0,π3] B .(0,2π3] C .[π3,π) D .[2π 3,π) 6.设a =log 4 9,b =2 -1.2 ,c =(827 )-1 3,则 A .a >b >c B .b >a >c C .a >c >b D .c >a >b 7.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆A :(x -1)2+y 2=1,点B (3,0),过动点P 引圆A 的切线,切点为T .若PT =2PB ,则动点P 的轨迹方程为 A .x 2+y 2-14x +18=0 B .x 2+y 2+14x +18=0 C .x 2+y 2-10x +18=0 D .x 2+y 2+10x +18=0 8.已知奇函数f (x )的定义域为R ,且f (1+x )=f (1-x ).若当x ∈(0,1]时,f (x )=log 2(2x +3),则f (93 2 )的值是 A .-3 B .-2 C .2 D .3 二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,
2021届101中学高三第一学期10月月考 数学试卷 一、选择题共10小题。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 01.已知集合}{{} 22(,)1,(,)2x y x y B x y y x +==,则A B 中元素的个数是 A.3 B.2 C.1 D.0 02.已知数列{}n a 为等差数列,若26102 a a a π ++= 则()39tan a a +的值为 A.0 B. 3 C.1 03.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边为a ,b ,c ,若22 cos sin sin cos a A B b A B =,则△ABC 的形状为 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形或直角三角形 04.函数4 2 2y x x =-++的图象大致为 A. B. C. D.
05.已知定义在R 上的奇函数f (x )在(-∞,0)上单调递减且f (-1)=0,若 ()()32log 8log 4a f b f =-=-,, 2 3 (2)c f =,则a ,b ,c 的大小关系是 A. c B. ()10ln y x -+< C. 0ln xy > D. 0ln xy < 09已知函数f (x )(x ∈R)满足f (-x )=2-f (x )若函数1 x y x += 与y =f (x )图象的交点为1122()()x y x y ,,,,···,()m m x y ,则1 ()m i i i x y =+=∑ A.0 B. m C.2m D.4m 10.数学家也有许多美丽的错误,如法国数学家费马于1640年提出了猜想: 2()21n Fn n N =+∈是素数。直到1732年才被善于计算的数学家欧拉算出 56416700471F =?,不是素数。()*21()n n n a log F n N S =-∈,,表示数列{}n a 的前 n 项和,则使不等式21223122222020 n n n n S S S S S S +++???+< 成立的最小整数n 的值是
广东省13大市2013届高三上期末考数学文试题分类汇编 复数 1、(潮州市2013届高三上学期期末)12i i += A .i --2 B .i +-2 C .i -2 D .i +2 答案:C 2、(东莞市2013届高三上学期期末)若复数z 满足(12)2i z i +=+,则z = . 答案:i 5 354- 3、(佛山市2013届高三上学期期末)设i 为虚数单位,则复数i 2i +等于 A .12i 55+ B . 12i 55-+ C .12i 55- D .12i 55 -- 答案:A 4、(广州市2013届高三上学期期末)复数1+i (i 为虚数单位)的模等于 A .2 B .1 C . 22 D .12 答案:A 5、(惠州市2013届高三上学期期末)i 是虚数单位,若(i 1)i z +=,则z 等于( ) A .1 B .32 C. 22 D. 12 答案:C 6、(江门市2013届高三上学期期末)若) )( 2(i b i ++是实数(i 是虚数单位,b 是实数), 则=b A .1 B .1- C .2 D .2- 答案:D 7、(茂名市2013届高三上学期期末)计算:2 (1)i i +=( ) A .-2 B .2 C .2i D .-2i 答案:A 8、(汕头市2013届高三上学期期末)如图在复平面内,复数21,z z 对应的向量分别是OB OA ,,则复数21z z -的值是( ). A .i 21+- B .i 22-- C .i 21+ D .i 21- 答案:B
9、(增城市2013届高三上学期期末)复数5-2+i = A . 2+i B . 2i -+ C . 2i -- D . 2i - 答案:C 10、(湛江市2013届高三上学期期末)复数z 满足z +1=2+i (i 为虚数单位),则z (1-i )= A 、2 B 、0 C 、1+i D 、i 答案:A 11、(肇庆市2013届高三上学期期末)设i 为虚数单位,则复数11i i +=-( ) A . i B .i - C .1i + D .1i - 答案:A 12、(珠海市2013届高三上学期期末)已知是虚数单位,复数i i +3= A .i 103101+ B .i 103101+- C .i 8 381+- D .i 8381-- 答案:A