第九编 解析几何 §9.1直线的倾斜角与斜率
1.设直线l 与x 轴的交点是P ，且倾斜角为α,若将此直线绕点P 按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为α+45°，则
（ ）
A .0°≤α＜180°
B .0°≤α＜135°
C .0°＜α≤135°
D .0°＜α＜135°
答案 D
2.（20082全国Ⅰ文，4）曲线y =x 3
-2x +4在点（1，3）处的切线的倾斜角为
（ ）
A .30°
B .45°
C .60°
D .120°
答案 B
3.过点M （-2，m ），N （m ，4）的直线的斜率等于1，则m 的值为
（ ）
A .1
B .4
C .1或3
D .1或4
答案 A
4.已知直线l 的倾斜角为α，且0°≤α＜135°，则直线l 的斜率取值范围是
（ ）
A .［0，+∞）
B .（-∞，+∞）
C .［-1，+∞）
D .（-∞,-1）∪［0，+∞）
答案 D
5.若直线l 经过点（a -2，-1）和（-a -2，1）且与经过点（-2，1），斜率为-3
2
的直线垂直，则实数a 的值为 . 答案 -3
2
例1 若α∈??
?
???2,6ππ，则直线2x cos α+3y +1=0的倾斜角的取值范围是
( )
A .??????26ππ，
B .??
?
???ππ，65 C .??
?
???6,0π
D .??
????65,2ππ 基础自测
答案 B
例2（12分）已知直线l 1:ax +2y +6=0和直线l 2:x +(a -1)y +a 2
-1=0, （1）试判断l 1与l 2是否平行； （2）l 1⊥l 2时，求a 的值.
解 （1）方法一 当a =1时，l 1:x +2y +6=0, l 2:x =0,l 1不平行于l 2; 当a =0时，l 1:y =-3, l 2:x -y -1=0,l 1不平行于l 2;
2分
当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为 l 1:y =-x a 2-3,l 2:y =x a
-11-(a +1), l 1∥l 2???
???+-≠--=
-)1(3112a a a ，解得a =-1,
5分
综上可知，a =-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行. 6分
方法二 由A 1B 2-A 2B 1=0，得a （a -1）-132=0， 由A 1C 2-A 2C 1≠0，得a (a 2
-1)-136≠0, 2分
∴l 1∥l 2???
???≠?--=?--061)1(0
21)1(2a a a a
4分
??????≠-=--6
)1(0
222a a a a ?a =-1,
5分
故当a =-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行. 6分
（2）方法一 当a =1时，l 1:x +2y +6=0,l 2:x =0, l 1与l 2不垂直，故a =1不成立. 8分
当a ≠1时，l 1:y =-2
a
x -3, l 2:y =
x a
-11
-(a +1), 10分
由??
?
??-2a 2a -11=-1?a =32.
12分
方法二 由A 1A 2+B 1B 2=0， 得a +2(a -1)=0?a =
3
2
. 12分
例3 已知实数x ,y 满足y =x 2
-2x +2 (-1≤x ≤1). 试求：2
3
++x y 的最大值与最小值. 解 由
2
3
++x y 的几何意义可知，它表示经过定点P （-2，-3）与曲线段
AB 上任一点（x ,y )的直线的斜率k ,如图可知：k PA ≤k ≤k PB , 由已知可得：A （1，1），B （-1，5）， ∴3
4
≤k ≤8， 故23++x y 的最大值为8，最小值为3
4
.
1.直线x cos α+3y +2=0的倾斜角的取值范围是
（ ）
A .??? ????????65,22,6ππππ
B .????????????πππ,656,0
C .??????65,0π
D .??
????65,6ππ 答案 B
2.已知两条直线l 1:(3+m )x +4y =5-3m ,l 2:2x +(5+m )y =8.当m 分别为何值时，l 1与l 2: （1）相交？（2）平行？（3）垂直？ 解 m=-5时，显然，l 1与l 2相交；
当m ≠-5时，易得两直线l 1和l 2的斜率分别为 k 1=-43m +，k 2=-m
+52
，
它们在y 轴上的截距分别为b 1=435m -，b 2=m
+58
. （1）由k 1≠k 2,得-
43m +≠-m
+52
，
m ≠-7且m ≠-1.
∴当m ≠-7且m ≠-1时，l 1与l 2相交.
（2）由???≠=,,2121b b k k ,得???????+≠-+-=+-m m m
m
584355243，m =-7.
∴当m =-7时，l 1与l 2平行. （3）由k 1k 2=-1, 得-43m +2??
? ??
+-m 52=-1，m =-313. ∴当m =-
3
13
时，l 1与l 2垂直. 3.若实数x ,y 满足等式(x -2)2
+y 2
=3，那么
x
y
的最大值为 （ ）
A.2
1 B.
3
3 C.
2
3 D.3
答案 D
一、选择题
1.直线x cos θ+y -1=0 (θ∈R )的倾斜角的范围是
（ ）
A .[)π,0
B .??
????ππ43,4
C .??????-4,4ππ
D .??
??????????πππ,434,0 答案 D
2.已知直线l 过点（a ,1)，（a +1,tan α +1),则 （ ）
A .α一定是直线l 的倾斜角
B .α一定不是直线l 的倾斜角
C .α不一定是直线l 的倾斜角
D .180°-α一定是直线l 的倾斜角
答案 C
3.已知直线l 经过A （2，1），B （1，m 2
）（m ∈R ）两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是
（ ）
A .[)π,0
B .??
?
????????πππ,24,0
C .??
????4,0π
D .??
? ????????ππππ,22,4 答案 B
4.已知直线l 1：y =2x +3，直线l 2与l 1关于直线y =x 对称，直线l 3⊥l 2，则l 3的斜率为
（ ）
A .2
1 B .-
2
1 C .-
2 D .2
答案 C
5.若直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么直线l 的斜率是（ ）
A .3
1
-
B .-3
C .
3
1
D .3
答案 A 二、填空题
6.（20082浙江理，11）已知a ＞0,若平面内三点A （1，-a ），B （2，a 2
），C （3，a 3
）共线，则a = . 答案 1+2
7.已知点A （-2，4）、B （4，2），直线l 过点P （0，-2）与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 . 答案 （-∞，-3］∪［1，+∞）
8.已知两点A （-1，-5），B （3，-2），若直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，则l 的斜率是 . 答案
3
1
三、解答题
9.已知线段PQ 两端点的坐标分别为（-1，1）、（2，2），若直线l ：x +my +m =0与线段PQ 有交点，求m 的取值范围. 解 方法一 直线x +my +m =0恒过A （0，-1）点.
k AP =1011+--=-2，k AQ =2021---=2
3
， 则-m 1≥23或-m 1
≤-2， ∴-32≤m ≤2
1
且m ≠0. 又∵m =0时直线x +my +m =0与线段PQ 有交点， ∴所求m 的取值范围是-32≤m ≤2
1
. 方法二 过P 、Q 两点的直线方程为 y -1=
1212+-(x +1),即y =31x +3
4
, 代入x+my +m =0, 整理，得x =-37+m m
. 由已知-1≤-3
7+m m
≤2,
解得-32≤m ≤2
1. 10.已知直线l 1:x +my +6=0,l 2:(m -2)x +3y +2m =0,求m 的值，使得： （1）l 1与l 2相交；（2）l 1⊥l 2;(3)l 1∥l 2;(4)l 1,l 2重合. 解 （1）由已知133≠m (m -2), 即m 2
-2m -3≠0, 解得m ≠-1且m ≠3.
故当m ≠-1且m ≠3时，l 1与l 2相交. （2）当12（m -2）+m 23=0，即m =2
1
时，l 1⊥l 2. (3)当
21-m =3m ≠m 26
,即m =-1时，l 1∥l 2. （4）当
21-m =3m =m
26
， 即m =3时，l 1与l 2重合.
11.已知A （0，3）、B （-1，0）、C （3，0），求D 点的坐标，使四边形ABCD 为直角梯形（A 、B 、C 、D 按逆时针方向排列）.
解 设所求点D 的坐标为（x ，y ），如图所示，由于k AB =3，k BC =0，
∴k AB 2k BC =0≠-1，
即AB 与BC 不垂直，故AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边. （1）若CD 是直角梯形的直角边，则BC ⊥CD ，AD ⊥CD ， ∵k BC =0，∴CD 的斜率不存在，从而有x =3. 又k AD =k BC ，∴
x
y 3
-=0，即y =3. 此时AB 与CD 不平行. 故所求点D 的坐标为（3，3）. （2）若AD 是直角梯形的直角边， 则AD ⊥AB ，AD ⊥CD ，
k AD =
x y 3-，k CD =3
-x y
. 由于AD ⊥AB ，∴x
y 3
-23=-1. 又AB ∥CD ，∴
3
-x y
=3. 解上述两式可得???????
==,59,5
18y x
此时AD 与BC 不平行.
故所求点D 的坐标为??
?
??59,518,
综上可知，使ABCD 为直角梯形的点D 的坐标可以为（3，3）或???
??59,518.
12.已知两点A （-1，2），B （m ，3）. （1）求直线AB 的方程；
（2）已知实数m ∈???
?????---13,133，求直线AB 的倾斜角α的取值范围.
解 （1）当m =-1时，直线AB 的方程为x =-1, 当m ≠-1时，直线AB 的方程为y -2=1
1
+m (x +1). （2）①当m =-1时，α=
2
π; ②当m ≠-1时，m +1∈(]
3,00,33 ???
?
????-
， ∴k =
11
+m ∈（-∞，-3］∪???
???
??+∞,33， ∴α∈??
?
????????32,22,6ππππ .
综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈??
?
???32,6ππ.
§9.2 直线的方程、两直线的交点坐标与距离公式
基础自测
1.下列四个命题中真命题是
（ ）
A .经过定点P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程y -y 0=k （x -x 0）表示
B .经过任意两个不同点P 1（x 1,y 1）,P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程（y -y 1)(x 2-x 1)=(x -x 1)(y 2-y 1)表示
C .不经过原点的直线都可以用方程
1=+b
y
a x 表示 D .经过定点A （0，
b ）的直线都可以用方程y =kx +b 表示 答案 B
2.A 、B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|PA |=|PB |，若直线PA 的方程为x -y +1=0，则直线PB 的方程为（ ）
A .2x -y -1=0
B .x +y -5=0
C .2x +y -7=0
D .2y -x -4=0
答案 B
3.（20082全国Ⅱ文，3）原点到直线x +2y -5=0的距离为
（ ）
A .1
B .3
C .2
D .5
答案 D
4.过点P （-1，2）且方向向量为a =（-1，2）的直线方程为
( )
A .2x +y =0
B .x -2y +5=0
C .x -2y =0
D .x +2 y -5=0
答案 A
5.一条直线经过点A （-2，2），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为 . 答案 x +2y -2=0或2x +y +2=0
例1 求适合下列条件的直线方程：
（1）经过点P （3，2），且在两坐标轴上的截距相等；
（2）经过点A （-1，-3），倾斜角等于直线y =3x 的倾斜角的2倍. 解 （1）方法一 设直线l 在x ,y 轴上的截距均为a ,
若a =0，即l 过点（0，0）和（3，2）， ∴l 的方程为y =
3
2
x ，即2x -3y =0. 若a ≠0，则设l 的方程为1=+a
y
a x ， ∵l 过点（3，2），∴
12
3=+a
a ， ∴a =5，∴l 的方程为x +y -5=0,
综上可知，直线l 的方程为2x -3y =0或x +y -5=0. 方法二 由题意知，所求直线的斜率k 存在且k ≠0, 设直线方程为y -2=k (x -3), 令y =0，得x =3-k
2
,令x =0,得y =2-3k , 由已知3-k 2=2-3k ，解得k =-1或k =3
2, ∴直线l 的方程为： y -2=-（x -3）或y -2=
3
2
(x -3), 即x +y -5=0或2x -3y =0.
（2）由已知：设直线y =3x 的倾斜角为α， 则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α=3,∴tan2α=
α
α2tan 1tan 2-=-
4
3. 又直线经过点A （-1，-3）， 因此所求直线方程为y +3=-4
3
(x +1), 即3x +4y +15=0.
例2 过点P （2，1）的直线l 交x 轴、y 轴正半轴于A 、B 两点，求使：
（1）△AOB 面积最小时l 的方程； （2）|PA |2|PB |最小时l 的方程. 解 方法一 设直线的方程为
1=+b
y
a x (a ＞2,
b ＞1),
由已知可得
11
2=+b
a . （1）∵2b
a 1
2?≤b a 12+=1，∴ab ≥8.
∴S △AOB =2
1
ab ≥4. 当且仅当a 2=b 1=2
1
,即a =4,b =2时，S △AOB 取最小值4，此时直线l 的方程为24y x +=1,即x +2y -4=0.
（2）由
a 2+b
1
=1,得ab -a -2b =0, 变形得(a -2)(b -1)=2, |PA |2|PB |
=22)01()2(-+-a 222)1()02(b -+-
=]4)1[(]1)2[(2
2+-+-b a
≥)1(4)2(2--b a . 当且仅当a -2=1,b -1=2,
即a =3,b =3时，|PA |2|PB |取最小值4. 此时直线l 的方程为x +y -3=0.
方法二 设直线l 的方程为y -1=k (x -2) (k ＜0), 则l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于
A ??? ?
?
-0,12k 、B （0，1-2k ）.
（1）S △AOB =21??
?
??-k 12（1-2k ） =
213??????
-+-+)1()4(4k k ≥
2
1
（4+4）=4. 当且仅当-4k =-
k 1,即k =-21时取最小值，此时直线l 的方程为y -1=-2
1
(x -2),即x +2y -4=0. （2）|PA |2|PB |=22441)1
(k k ++
=
84422
++k k
≥4,
当且仅当
2
4k =4k 2
,即k =-1时取得最小值，此时直线l 的方程为y -1=-(x -2),即x +y -3=0.
例3 （12分）已知直线l 过点P （3，1）且被两平行线l 1:x +y +1=0,l 2:x +y +6=0截得的线段长为5，求直线l 的方程. 2 2 2
解 方法一 若直线l 的斜率不存在，
则直线l 的方程为x =3,此时与l 1,l 2的交点分别是 A （3，-4），B （3，-9），
截得的线段长|AB |=|-4+9|=5,符合题意.
4分
若直线l 的斜率存在，
则设直线l 的方程为y =k (x -3)+1, 分别与直线l 1,l 2的方程联立，
由???=+++-=011)3(y x x k y ,
解得A ??
? ??+-+-141,123k k k k .
8分
由???=+++-=061)3(y x x k y ,解得B ??? ??+-+-191173k k ，k k ,
由两点间的距离公式，得
2
1731
23??? ??+--+-k k k k +2
191141???
??+--+-k k k k =25， 解得k =0,即所求直线方程为y =1. 10分 综上可知，直线l 的方程为x =3或y =1.
12分
方法二 设直线l 与l 1,l 2分别相交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+y 1+1=0,x 2+y 2+6=0, 两式相减，得(x 1-x 2)+(y 1-y 2)=5 ① 6分
又(x 1-x 2)2
+(y 1-y 2)2
=25
② 联立①②可得???=-=-052121y y x x 或?
??=-=-50
2121y y x x ,
10分
由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°和90°， 故所求的直线方程为x =3或y =1.
12分
例4 求直线l 1:y =2x +3关于直线l :y =x +1对称的直线l 2的方程.
解 方法一 由?
??+=+=13
2x y x y
知直线l 1与l 的交点坐标为（-2，-1）， ∴设直线l 2的方程为y +1=k (x +2), 即kx -y +2k -1=0.
在直线l 上任取一点（1，2），
由题设知点（1，2）到直线l 1、l 2的距离相等， 由点到直线的距离公式得 2
2
1122k
k k +-+-=
2
2
)
1(2322-++-，
解得k =
2
1
(k =2舍去)， ∴直线l 2的方程为x -2y =0.
方法二 设所求直线上一点P （x ,y ）,
则在直线l 1上必存在一点P 1（x 0,y 0）与点P 关于直线l 对称. 由题设：直线PP 1与直线l 垂直，且线段PP 1的中点
P 2???
? ??++2,200y y x x 在直线l 上. ∴???????++=+-=?--1
22110000x x y y x
x y
y ，变形得???+=-=1100x y y x ,
代入直线l 1:y =2x +3，得x +1=23(y -1)+3, 整理得x -2y =0.
所以所求直线方程为x -2y =0.
1.（1）求经过点A （-5，2）且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程； （2）过点A （8，6）引三条直线l 1,l 2,l 3，它们的倾斜角之比为1∶2∶4，若直线l 2的方程是y =
4
3
x ,求直线l 1,l 3的方程. 解 （1）①当直线l 在x 、y 轴上的截距都为零时，
设所求的直线方程为y =kx , 将（-5，2）代入y =kx 中， 得k =-52，此时，直线方程为y =-5
2x , 即2x +5y =0.
②当横截距、纵截距都不是零时， 设所求直线方程为
a
y a x
+2=1， 将（-5，2）代入所设方程， 解得a =-2
1， 此时，直线方程为x +2y +1=0.
综上所述，所求直线方程为x +2y +1=0或2x +5y =0. （2）设直线l 2的倾斜角为α,则tan α=
4
3. 于是tan
2α=α
αsin cos 1-=315
354
1=-
, tan2α=
724)4
3(1432tan 1tan 22
2=-?
=-αα, 所以所求直线l 1的方程为y -6=3
1
(x -8), 即x -3y +10=0,l 3的方程为y -6=
7
24
(x -8), 即24x -7y -150=0.
2.直线l 经过点P （3，2）且与x ，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，△OAB 的面积为12，求直线l 的方程. 解 方法一 设直线l 的方程为
1=+b
y
a x （a ＞0,
b ＞0）, ∴A (a ,0),B (0,b ), ∴??
?
??=+=.123,
24b a ab 解得???==.4,6b a
∴所求的直线方程为
4
6y
x +=1,
即2x +3y -12=0.
方法二 设直线l 的方程为y -2=k (x -3), 令y =0,得直线l 在x 轴上的截距a =3-k
2, 令x =0,得直线l 在y 轴上的截距b =2-3k . ∴??? ?
?
-k 23(2-3k )=24.解得k =-32.
∴所求直线方程为y -2=-
3
2
(x -3). 即2x +3y -12=0.
3.已知三条直线l 1：2x -y +a =0（a ＞0）,直线l 2:4x -2y -1=0和直线l 3:x +y -1=0,且l 1与l 2的距离是
510
7
. (1)求a 的值；
(2)能否找到一点P ,使得P 点同时满足下列三个条件: ①P 是第一象限的点;②P 点到l 1的距离是P 点到l 2的距离的
2
1
;③P 点到l 1的距离与P 点到l 3的距离之比是2∶5.若能,求P 点坐标;若不能,说明理由. 解 (1)l 2即为2x -y -2
1
=0, ∴l 1与l 2的距离d =
10
5
7)1(2)
21(2
2=
-+--a , ∴
5
2
1+
a =
1057,∴21+a =2
7
, ∵a ＞0,∴a =3.
(2)假设存在这样的P 点.
设点P (x 0,y 0),若P 点满足条件②,则P 点在与l 1、l 2平行的直线l ′：2x -y +C =0上，
且
5
3-C =
52
1
2
1+C ，即C =
213或C =6
11， ∴2x 0-y 0+
213=0或2x 0-y 0+6
11
=0； 若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式
5
3
200+-y x =
5
23
2
1
00-+y x ，
即|2x 0-y 0+3|=|x 0+y 0-1|， ∴x 0-2y 0+4=0或3x 0+2=0；
由于P 点在第一象限，∴3x 0+2=0不满足题意. 联立方程?????
=+-=+
-04202
1320000y x y x ， 解得??
???=-=,21,300y x (舍去).
由?????=+-=+-,042,06
1120000y x y x 解得???
????
==18379
100y x ∴假设成立，P ??
?
??1837,91即为同时满足三个条件的点.
4.光线沿直线l 1:x -2y +5=0射入，遇直线l :3x -2y +7=0后反射，求反射光线所在的直线方程.
解 方法一 由???=+-=+-.0723,
052y x y x
得?
??=-=.2,1y x
∴反射点M 的坐标为（-1,2）.
又取直线x -2y +5=0上一点P （-5，0），设P 关于直线l 的对称点'P (x 0,y 0)，由'PP ⊥l 可知,k PP ′=-
32
=5
00+x y . 而'PP 的中点Q 的坐标为????
??-2,2500y x ,
Q 点在l 上，∴32
250-x -222
0y
+7=0. 由???????=+---=+.07)5(23,3250000y x x y 得???????
-=-=.1332,13
1700y x
根据直线的两点式方程可得l 的方程为 29x -2y +33=0.
方法二 设直线x -2y +5=0上任意一点P （x 0,y 0）关于直线l 的对称点为P ′(x ,y ),
则
3
2
00-
=--x
x y y
,
又'PP 的中点Q ???
? ??++2
,20
0y y x x 在l 上， ∴33
2
0x x +-2320
y y ++7=0,
由???????=++-+?-=--0
7)(2332
0000y y x x x x y y 可得P 点的坐标为 x 0=
1342125-+-y x ，y 0=13
28512++y x ，
代入方程x -2y +5=0中， 化简得29x -2y +33=0,
即为所求反射光线所在的直线方程.
一、选择题
1.过点（1，3）作直线l ，若经过点（a ，0）和（0，b ），且a ∈N +，b ∈N +，则可作出的l 的条数为（ ）
A .1
B .2
C .3
D .4
答案 B
2.已知直线l 1的方向向量为a =(1,3),直线l 2的方向向量为b =(-1,k ),若直线l 2过点（0，5），且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程是（ ） A .x +3y -5=0 B .x +3y -15=0 C .x -3y +5=0
D .x -3y +15=0
答案 B
3.若直线l 与两直线y =1,x -y -7=0分别交于M ，N 两点，且MN 的中点是P （1，-1），则直线l 的斜率是（ ）
A .3
2-
B .
3
2 C .-
2
3 D .
2
3 答案 A
4.直线x -2y +1=0关于直线x =1对称的直线方程是
（ ）
A .x +2y -1=0
B .2x +y -1=0
C .2x +y -3=0
D .x+2y -3=0
答案 D
5.经过点P （1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为（ ）
A .x +2y -6=0
B .2x +y -6=0
C . x -2y +7=0
D .x -2y -7=0
答案 B
6.点（1，cos θ）到直线x sin θ+y cos θ-1=0的距离是
4
1
(0°≤θ≤180°)，那么θ等于 （ ）
A .150°
B .30°或150°
C .30°
D .30°或210°
答案 B 二、填空题
7.设l 1的倾斜角为α，α∈???
??2,0π，l 1绕其上一点P 沿逆时针方向旋转α角得直线l 2，l 2的纵截距为-2，l 2绕P 沿逆时针方
向旋转
2
π
-α角得直线l 3：x +2y -1=0，则l 1的方程为 . 答案 2x -y +8=0
8.若直线l :y =kx -1与直线x +y -1=0的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是 . 答案 (1,+∞) 三、解答题
9.已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程： （1）过定点A （-3，4）；（2）斜率为
6
1
. 解 （1）设直线l 的方程是y =k (x +3)+4,它在x 轴，y 轴上的截距分别是-k
4
-3，3k +4， 由已知，得（3k +4）（k
4
+3）=±6， 解得k 1=-32或k 2=-3
8. 直线l 的方程为2x +3y -6=0或8x +3y +12=0.
（2）设直线l 在y 轴上的截距为b ,则直线l 的方程是y =
6
1
x +b ,它在x 轴上的截距是-6b ,
由已知，得|-6b 2b |=6，∴b =±1. ∴直线l 的方程为x -6y +6=0或x -6y -6=0.
10.一条光线经过P （2，3）点，射在直线l :x +y +1=0上，反射后穿过Q （1，1）. （1）求光线的入射方程； （2）求这条光线从P 到Q 的长度.
解 （1）设点Q ′(x ′,y ′)为Q 关于直线l 的对称点且QQ ′交l 于M 点，∵k l =-1，∴k QQ ′=1. ∴QQ ′所在直线方程为y -1=12（x -1） 即x -y =0.
由?
??=-=++,0,01y x y x
解得l 与QQ ′的交点M 的坐标为??? ??--21,21.
又∵M 为QQ ′的中点，
由此得??????
?-='+-='+212
12121y x .
解之得???-='-='.2,
2y x ∴'Q （-2，-2）.
设入射线与l 交点N ，且P ，N ，Q ′共线. 则P （2，3），Q ′（-2，-2），得入射方程为 2
22
232++=++x y ，即5x -4y +2=0. (2)∵l 是'QQ 的垂直平分线，因而NQ ='NQ . ∴|PN |+|NQ |=|PN |+'NQ ='PQ =22)22()23(+++=41, 即这条光线从P 到Q 的长度是41.
11.已知正方形的中心为直线2x -y +2=0,x +y +1=0的交点，正方形一边所在的直线方程为x +3y -5=0,求正方形其他三边的方程. 解 设与直线l :x +3y -5=0平行的边的直线方程为l 1:x +3y +c
=0.
由???=++=+-01022y x y x 得正方形的中心坐标P （-1，0）， 由点P 到两直线l ,l 1的距离相等，
则2
2
2
2
3
113
151++-=
+--c ,
得c =7或c =-5（舍去）.∴l 1：x +3y +7=0. 又∵正方形另两边所在直线与l 垂直， ∴设另两边方程为3x -y +a =0,3x -y +b =0. ∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴
2
2
1
33++-a =
2
2
3
151+--，得a =9或-3,
∴另两条边所在的直线方程为3x -y +9=0,3x -y -3=0. ∴另三边所在的直线方程为3x -y +9=0,x +3y +7=0,3x -y -3=0.
12.过点P （3，0）作一直线，使它夹在两直线l 1：2x -y -2=0与l 2:x +y +3=0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程. 解 方法一 设点A （x ，y ）在l 1上，
由题意知???????=+=+02
32
B B
y y x x ，∴点B （6-x ，-y ），
解方程组???=+-+-=--03)()6(0
22y x y x ，
得???
????==316311y x ，∴k =833
110316
=--. ∴所求的直线方程为y =8(x -3), 即8x -y -24=0.
方法二 设所求的直线方程为y =k (x -3),
则???=---=022)3(y x x k y ,解得???
????
-=--=242
23k k y k k x A A ,
由???=++-=03)3(y x x k y ,解得???????
+-=+-=161
33k k y k k x B B .
∵P (3,0)是线段AB 的中点， ∴y A +y B =0，即
24-k k +1
6+-k k =0， ∴k 2
-8k =0，解得k =0或k =8. 又∵当k =0时，x A =1,x B =-3, 此时
32
3
12≠-=+B A x x ,∴k =0舍去， ∴所求的直线方程为y =8(x -3), 即8x -y -24=0.
§9.3 圆的方程
1.方程x 2
+y 2
+ax +2ay +2a 2
+a -1=0表示圆，则a 的取值范围是
（ ） A .a ＜-2或a ＞3
2
B .-
3
2
＜a ＜0 C .-2＜a ＜0
D .-2＜a ＜
3
2 答案 D
2.圆x 2
+y 2
+2x -4y +1=0关于直线2ax -by +2=0（a 、b ∈R ）对称，则ab 的取值范围是
（ ）
A .??? ??
∞-41,
B .??? ??41,0
C .???
??-,041
D .)4
1
,(-∞
答案 A
3.过点A （1，-1），B （-1，1），且圆心在直线x +y -2=0上的圆的方程是 （ ）
A .(x -3)2
+(y +1)2
=4
B .(x +3)2+(y -1)2
=4
基础自测