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高中数学(苏教版)选修1-1 阶段质量检测(二) 圆锥曲线与方程含解析

阶段质量检测(二) 圆锥曲线与方程 [考试时间:120分钟 试卷总分:160分]

高中数学(苏教版)选修1-1 阶段质量检测(二) 圆锥曲线与方程含解析

一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.将答案填在题中的横线上)

1.(江苏高考)双曲线x 2

16-y 2

9=1的两条渐近线的方程为

____________________.

2.(四川高考改编)抛物线y 2=4x 的焦点到双曲线x 2-y 2

3=1的渐近线的距离

是________.

3.(辽宁高考)已知F 为双曲线C :x 29-y 2

16=1的左焦点,P ,Q 为C 上的点.若

PQ 的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ 上,则△PQF 的周长为________. 4.已知动圆P 与定圆C :(x +2)2+y 2=1相外切,又与定直线l :x =1相切,那么动圆的圆心P 的轨迹方程是________________________.

5.两个焦点为(±2,0)且过点P ? ????

?52,-32的椭圆的标准方程为

_____________________.

6.已知过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点,AF =2,则BF =________.

7.已知椭圆C :x 2

a 2+y 2

b

2=1(a>b>0)的左焦点为F ,C 与过原点的直线相交于

A ,

B 两点,连接AF ,BF.若AB =10,BF =8,cos ∠ABF =4

5,则C 的离心率为

________.

8.抛物线y =x 2上到直线2x -y =4距离最近的点的坐标是________.

9.设点P 是双曲线x 2

a 2-y 2

b 2=1(a>0,b>0)与圆x 2+y 2=2a 2的一个交点,F 1,

F 2分别是双曲线的左、右焦点,且PF 1=3PF 2,则双曲线的离心率为________.

10.已知双曲C 1=x 2

a 2-y 2

b 2=1(a>0,b>0)的离心率为2.若抛物线C 2:x 2=

2py(p>0)的焦点到双曲线C 1的渐进线的距离为2,则抛物线C 2的方程为________________________.

11.(新课标全国卷Ⅰ改编)已知椭圆E :x 2

a 2+y 2

b 2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),

过点F 的直线交E 于A ,B 两点.若AB 的中点坐标为(1,-1),则E 的方程为_____________________.

12.若椭圆x 2m +y 2n =1(m>n>0)和双曲线x 2a -y 2

b

=1(a>b>0)有相同的左、右焦

点F 1,F 2,P 是两条曲线的一个交点,则PF 1·PF 2的值是________.

13.若椭圆mx 2+ny 2=1(m >0,n >0)与直线y =1-x 交于A 、B 两点,过

原点与线段AB 的中点的连线斜率为

22

,则n

m

的值为________.

14.(四川高考改编)从椭圆x 2

a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线,垂足

恰为左焦点F 1,A 是椭圆与x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且AB ∥OP(O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是________.

二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分14分)已知双曲线与椭圆

x 2

36+y 2

49

=1有公共的焦点,并且椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为3

7

,求双曲线的方程.

16.(本小题满分14分)已知中心在坐标原点、焦点在x 轴上的椭圆,它的离

心率为32

,且与直线x +y -1=0相交于M 、N 两点,若以MN 为直径的圆经过

坐标原点,求椭圆的方程.

17.(本小题满分14分)如图,F 1,F 2分别是椭圆C :x 2a 2+y 2

b 2=

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1(a>b>0)的左、右焦点,A 是椭圆C 的顶点,B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点,∠F 1AF 2=60°.

(1)求椭圆C的离心率;

(2)已知△AF1B的面积为403,求a,b的值.

18.(本小题满分16分)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线l 与C相交于A,B两点,若|AB|=8,求直线l的方程.

19.(本小题满分16分)(陕西高考)已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.

(1)求动点M的轨迹C的方程;

(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点,若A是PB的中点,求直线m的斜率.

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20.(本小题满分16分)如图,设椭圆的中心为原点O,

长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,线

段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形.

(1)求该椭圆的离心率和标准方程;

(2)过B1作直线交椭圆于P,Q两点,使PB2⊥QB2,求△PB2Q的面积.

答 案

阶段质量检测(二) 圆锥曲线与方程 1.解析:令x 2

16-y 29=0,解得y =±3

4x.

答案:y =±3

4

x

2.解析:因为抛物线的焦点坐标为(1,0),而双曲线的渐近线方程为y =±3x ,所以所求距离为|±3×1-0|1+3

=3

2.

答案:32

3.解析:由题意因为PQ 过双曲线的右焦点(5,0),所以P ,Q 都在双曲线的右支上,则有FP -PA =6,FQ -QA =6,两式相加,利用双曲线的定义得FP +FQ =28,所以△PQF 的周长为FP +FQ +PQ =44. 答案:44

4.解析:设P(x ,y),动圆P 在直线x =1的左侧,其半径等于1-x ,则PC =1-x +1,即

(x +2)2+y 2=2-x.

∴y 2=-8x. 答案:y 2=-8x

5.解析:∵两个焦点为(±2,0), ∴椭圆的焦点在x 轴上,且c =2.

设椭圆的标准方程为x 2

a 2+y 2

b

2=1(a>b>0),

∴?????

? ?????522a 2+? ??

?

??-322

b

2=1a 2

-b 2

=4,

,解得a 2=10,b 2=6.

∴椭圆的标准方程为x 2

10+y 2

6=1.

答案:x 2

10+y 2

6

=1

6.解析:设点A ,B 的横坐标分别是x 1,x 2,则依题意有,焦点F(1,0),AF =x 1+1=2,x 1=1,直线AF 的方程是x =1,故BF =AF =2.

答案:2

7.解析:在△ABF 中,AF 2=AB 2+BF 2-2AB ·BF ·cos ∠ABF =102+82-

2×10×8×45=36,则AF =6.由AB 2=AF 2+BF 2可知,△ABF 是直角三角形,OF

为斜边AB 的中线,c =OF =AB

2=5.设椭圆的另一焦点为F 1,因为点O 平分AB ,

且平分FF 1,所以四边形AFBF 1为平行四边形,所以BF =AF 1=8.由椭圆的性质

可知AF +AF 1=14=2a ?a =7,则e =c

a =5

7.

答案:

57

8.解析:设P(x ,y)为抛物线上任意一点,则P 到直线的距离d =

|2x -y -4|

5

=|2x -x 2-4|5=|(x -1)2+3|5

∴当x =1时,d 取最小值35

,此时P 的坐标为(1,1).

答案:(1,1)

9.解析:由???

??

PF 1-PF 2=2a ,PF 1=3PF 2

得PF 1=3a ,PF 2=a ,

设∠F 1OP =α,则∠POF 2=180°-α, 在△PF 1O 中,

PF 21=OF 21+OP 2-2OF 1·OP ·cos α ①, 在△OPF 2中,

PF 22=OF 22+OP 2-2OF 2·OP ·cos(180°-α) ②, 由cos(180°-α)=-cos α与OP =2a ,

①+②得c 2=3a 2,∴e =c a

3a a

3.

答案:

3

10.解析:∵双曲线C 1:x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的率心率为2.∴c

a =

a 2+

b 2

a

=2,∴b =

3a.∴双曲线的渐近线方程为

3 x ±y =0.∴抛物线C 2:x 2=2py(p>0)的焦点?

????

?0,p 2到双曲线的渐近线的距离为

?

???

?

?

??3×0±p 22

=2. ∴p =8.∴所求的抛物线方程为x 2=16y.

答案:x 2=16y

11.解析:因为直线AB 过点F(3,0)和点(1,-1),所以直线AB 的方程为y =1

2(x -3),代入椭圆方程x 2

a 2+y 2

b 2=1消去y ,得? ?????a 24+b 2x 2-32a 2x +94a 2-a 2b 2=0,

所以AB 的中点的横坐标为

3

2

a 22? ??

???a 24+b 2=1,

即a 2=2b 2,又a 2=b 2+c 2,所以b =c =3. 所以E 的方程为x 2

18+y 2

9=1.

答案:x 2

18+y 2

9

=1

12.解析:取P 在双曲线的右支上,

则?????

PF 1+PF 2=2 m ,PF 1-PF 2=2

a ,

∴?????

PF 1=

m +a ,PF 2=

m -

a.

∴PF 1·PF 2=(m +a)(m -a)=m -a.

答案:m -a

13.解析:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 中点(x 0,y 0). 由?????

mx 2+ny 2=1,

y =1-x ,

得(m +n)x 2-2nx +n -1=0

∴x 1+x 2=2n m +n ,∴x 0=n m +n .∴y 0=m

m +n

.

又y 0x 0=22,∴m n =22,∴n m = 2.

答案:

2

14.解析:由已知,点P(-c ,y)在椭圆上,代入椭圆方程,得P ?

?????-c ,b 2a .

∵AB ∥OP ,∴k AB =k OP ,即-b a =-b 2ac ,则b =c ,∴a 2=b 2+c 2=2c 2,则c

a =2

2

即该椭圆的离心率是22

.

答案:

22

15.解:在椭圆x 2

36+y 2

49

=1中,焦点坐标为(0,±13),

离心率e ′=137

设双曲线的方程为y 2a 2-x 2

b

2=1(a >0,b >0),

∴????

?

a 2+

b 2=13,137

∶a 2+b 2a =3

7,解得???

??

a 2=9,

b 2=4.

∴双曲线的方程为y 29-x 2

4

=1.

16.解:设椭圆方程为x 2

a 2+y 2

b

2=1(a >b >0),

∵e =3

2

,∴a 2=4b 2,即a =2b.

∴椭圆方程为

x 2

4b 2

+y 2

b

2=1. 把直线方程代入并化简,得5x 2-8x +4-4b 2=0. 设M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2),则

x 1+x 2=8

5,x 1x 2=1

5(4-4b 2).

∴y 1y 2=(1-x 1)(1-x 2)

=1-(x 1+x 2)+x 1x 2=1

5(1-4b 2).

由于OM ⊥ON ,∴x 1x 2+y 1y 2=0.

解得

b 2=

58

,a 2=52.

∴椭圆方程为25

x 2+

8

5

y 2=1. 17.解:(1)由题意可知,△AF 1F 2为等边三角形,a =2c ,所以e =1

2.

(2)法一:a 2=4c 2,b 2=3c 2, 直线AB 的方程为y =-

3(x -c).

代入椭圆方程3x 2+4y 2=12c 2,得B ? ????

?85c ,-335c .

所以|AB|=

1+3·|85c -0|=16

5

c.

由S △AF 1B =12|AF 1|·|AB|sin ∠F 1AB =12a ·165c ·32=23

5a 2=40

3,解得a =10,

b =5

3.

法二:设AB =t.因为|AF 2|=a ,所以|BF 2|=t -a. 由椭圆定义BF 1+BF 2=2a 可知,BF 1=3a -t.

由余弦定理得(3a -t)2=a 2+t 2-2atcos 60°可得, t =8

5

a. 由S △AF 1B =12a ·85a ·32=23

5

a 2=40

3知,

a =10,

b =5

3.

18.解:抛物线y 2=4x 的焦点为F(1,0),当直线l 斜率不存在时,|AB|=4,不合题意.设直线l 的方程为y =k(x -1),代入y 2=4x ,整理得k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0.

设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由题意知k ≠0, 则x 1+x 2=2k 2+4

k 2.

由抛物线定义知,

|AB|=|AF|+|BF|=x 1+1+x 2+1=x 1+x 2+2, ∴x 1+x 2+2=8,即2k 2+4

k 2+2=8.

解得k =±1.

所以直线l 的方程为y =±(x -1), 即x -y -1=0,x +y -1=0.

19.解:(1)设M 到直线l 的距离为d ,根据题意d =2|MN|.

由此得|4-x|=2

(x -1)2+y 2,

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化简得x 24+y 2

3

=1,

所以,动点M 的轨迹方程为x 24+y 2

3

=1.

(2)法一:由题意,设直线m 的方程为y =kx +3, A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). 将y =kx +3代入x 24+y 2

3=1中,

有(3+4k 2)x 2+24kx +24=0,

其中Δ=(24k)2-4×24(3+4k 2)=96(2k 2-3)>0, 故k 2>3

2

.

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由根与系数的关系得,

x 1+x 2=-

24k

3+4k 2

,① x 1x 2=

24

3+4k 2

.② 又因为A 是PB 的中点,故x 2=2x 1,③ 将③代入①,②,得

x 1=-8k

3+4k 2,x 21=12

3+4k 2

可得? ??

???-8k 3+4k 22=123+4k 2,且k 2>32,

解得k =-32或k =3

2

所以直线m 的斜率为-3

2或3

2

.

法二:由题意,设直线m 的方程为y =kx +3,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). ∵A 是PB 的中点, ∴x 1=x 2

2,①

y 1=3+y 22.②

又x 214+y 21

3=1,③ x 224+y 22

3

=1,④ 联立①,②,③,④解得???

??

x 2=2,

y 2=0,或?????

x 2=-2,

y 2=0.

即点B 的坐标为(2,0)或(-2,0),

所以直线m 的斜率为-3

2或3

2

.

20.解:(1)设所求椭圆的标准方程为x 2

a 2+y 2

b 2=1(a>b>0),右焦点为F 2(c,0).

因△AB 1B 2是直角三角形且|AB 1|=|AB 2|,

故∠B 1AB 2为直角,从而|OA|=|OB 2|,即b =c

2

.

结合c 2=a 2-b 2得4b 2=a 2-b 2,

故a 2=5b 2,c 2=4b 2,所以离心率

e =c

a =2

5

5

.

在Rt △AB 1B 2中,OA ⊥B 1B 2,故 S △AB 1B 2=1

2·|B 1B 2|·|OA|=|OB 2|·|OA|

=c

2

·b =b 2, 由题设条件S △AB 1B 2=4得b 2=4,从而a 2=5b 2=20. 因此所求椭圆的标准方程为x 2

20+y 2

4

=1.

(2)由(1)知B 1(-2,0),B 2(2,0).由题意,直线PQ 的倾斜角不为0, 故可设直线PQ 的方程为x =my -2,代入椭圆方程得 (m 2+5)y 2-4my -16=0.(*)

设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),则y 1,y 2是方程(*)的两根,

因此y 1+y 2=4m m 2+5

,y 1·y 2=-16m 2+5.

又2B P =(x 1-2,y 1),2B Q =(x 2-2,y 2),所以

2B P ·2B Q =(x 1-2)(x 2-2)+y 1y 2 =(my 1-4)(my 2-4)+y 1y 2 =(m 2+1)y 1y 2-4m(y 1+y 2)+16 =-16(m 2+1)m 2+5-16m 2

m 2+5

+16

=-16m 2-64m 2+5

由PB 2⊥QB 2,知2B P ·2B Q =0, 即16m 2-64=0,解得m =±2. 当m =2时,方程(*)化为9y 2-8y -16=0.

故y 1=

4+4

109,y 2=

4-4

109

,|y 1-y 2|=

8

109

, △PB 2Q 的面积S =12|B 1B 2|·|y 1-y 2|=1610

9

.

当m =-2时,同理可得(或由对称性可得)△PB 2Q 的面积S =

16

10

9

.

综上所述,△PB 2Q 的面积为1610

9

.

模块综合测试(一)

(时间120分钟满分150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)

1.若命题p:?x∈R,2x2+1>0,则?p是( )

A.?x∈R,2x2+1≤0 B.?x∈R,2x2+1>0 C.?x∈R,2x2+1<0 D.?x∈R,2x2+1≤0

解析:?p:?x∈R,2x2+1≤0.

答案:D

2.不等式x-1

x

>0成立的一个充分不必要条件是( )

A.-11 B.x<-1或0

C.x>-1 D.x>1

解析:本题主要考查充要条件的概念、简单的不等式的解法.画出直线y=x

与双曲线y=1

x

的图像,两图像的交点为(1,1)、(-1,-1),依图知x-

1

x

>0?-

11 (*),显然x>1?(*);但(*)x>1,故选D.

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答案:D

3.[2014·西安模拟]命题“若a>b,则a+1>b”的逆否命题是( )

A.若a+1≤b,则a>b B.若a+1b

C.若a+1≤b,则a≤b D.若a+1

解析:“若a>b,则a+1>b”的逆否命题为“若a+1≤b,则a≤b”,故选C.

答案:C

4.[2014·山东省日照一中模考]下列命题中,为真命题的是( ) A.?x∈R,x2-x-1>0

B.?α,β∈R,sin(α+β)

C.函数y=2sin(x+π

5

)的图像的一条对称轴是x=

4

5

π

D.若“?x0∈R,x20-ax0+1≤0”为假命题,则a的取值范围为(-2,2)

解析:本题主要考查命题的判定及其相关知识的理解.因为x2-x-1=(x-

1 2)2-

5

4

,所以A错误;当α=β=0时,有sin(α+β)=sinα+sinβ,所以B错误;

当x=4π

5

时,y=0,故C错误;因为“?x0∈R,x20-ax0+1≤0”为假命题,所以

“?x∈R,x2-ax+1>0”为真命题,即Δ<0,即a2-4<0,解得-2

答案:D

5.已知△ABC的顶点B、C在椭圆x2

3

+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,

且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是( )

A.2 3 B.6

C.4 3 D.12

解析:设椭圆的另一焦点为F,由椭圆的定义知|BA|+|BF|=23,且|CF|+|AC|=23,

所以△ABC的周长=|BA|+|BC|+|AC|

=|BA|+|BF|+|CF|+|AC|=4

3.

答案:C

6.过点(2,-2)与双曲线x 2-2y 2=2有公共渐近线的双曲线方程为( )

A .x 22-y 2

4=1

B .x 24-y 2

2=1

C .y 24-x 2

2

=1

D .y 22-x 2

4

=1

解析:与双曲线x 22-y 2=1有公共渐近线方程的双曲线方程可设为x 2

2-y 2=

λ(λ≠0),

由过点(2,-2),可解得λ=-2. 所以所求的双曲线方程为y 22-x 2

4

=1.

答案:D

7.若双曲线x 2

a 2-y 2

b 2=1(a>0,b>0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有

两个,则双曲线离心率的取值范围是( )

A .e>

2

B .1

C .e>2

D .1

解析:由题意,以原点及右焦点为端点的线段的垂直平分线必与右支交于两

个点,故c

2>a ,∴c

a

>2.

答案:C

8.[2013·课标全国卷Ⅱ]一个四面体的顶点在空间直角坐标系O -xyz 中的坐

标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为( )

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解析:本题主要考查空间直角坐标以及三视图的有关知识.利用正方体模型,建立空间直角坐标系,根据点的坐标确定几何体形状,注意画三视图中的正视图时,是以zOx 平面为投影面,故选A. 答案:A

9.设双曲线x 2a 2-y 2

b 2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y =x 2+1相切,则该双

曲线的离心率等于( )

A . 3

B .2

C .

5

D .

6

解析:双曲线x 2

a 2-y 2

b 2=1的渐近线方程为y =±b

a x ,因为y =x 2+1与渐近线相

切,故x 2+1±b a x =0只有一个实根,∴b 2a 2-4=0,∴c 2-a 2

a

2=4,

∴c 2

a 2=5,∴e =

5.

答案:C

10.已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,E 为AA 1的中点,则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( )