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台湾交大微积分39

§7-8 Improper Integrals

Homework :5,7,13,21,25,27,28,33,35,49,51,53,55,59,75

What is improper integral () b

a f x dx ∫ ? (1) .

or a b =±∞=±∞(2) ()[] for some ,f c c =±∞∈a b .

以上 (1) or (2) 情況,即可稱 () b

a f x dx ∫為improper integral.

幾何圖來說,improper integral 所圍出來的區域是無界的。

()()() 1 lim b a a b a f x dx f x ∞→∞?=∫∫dx ()()()()()() 0 0111 a a b f x dx f x dx f x dx ∞∞

?∞?∞???=+∫∫∫ ()()() 2 lim lim b d a a d a d b a c a or b

f x dx or f x dx +?→→?=∫∫

()()() 2 lim lim d b a d d c d c b a c b

f x dx f x dx ?+→→?<<+∫∫

註:

(1) 上述的計算過程一個improper integral 的存在稱為收斂

(convergence),反之則稱為發散(divergence)。

(2) 有些improper integral 是(1)和(2)的組合,如此計算時都需分開

個別處理,每部分都需存在,方可說此improper integral 存在。

(3) 若improper integral 存在,即表示其相對應的無界區域的面積是

有限的。

Example 1: 1 111 lim b P

P b dx dx x x ∞→∞=∫∫ Solution :

???

????=≠+?=+?∫1 ||ln 1 111111p x p p x dx x b b

p b p ?

??≤>=?∫∞

1 1 11p Divergence p e Convergenc dx x p Example 2: 1 0 11 1.

p Convergence p dx x Divergence p

i. Example 1.中,p 要大(也即()1p f x x

=

跑到0的速度要夠快,當x →∞時),無窮區域的面積才可能是有限。見下圖:

ii. Example 2.中,p 要小(也即f 跑到∞的速度當要夠慢時),無窮

區域(見上圖非斜線部份)的面積才可能是有限。

0x →

Comparison Theorem :

0f g ≥≥i. ()() : :b b

a a g x dx diverges f x dx diverges ?∫∫..ii. ()() : :

b b

a a f x dx converges f x dx converges ?∫∫

Example 3: 0 x xe dx ?∞∫.

11

00

00

?=?=?=∞?∞?∞?∫x x x e xe dx

xe Solution :

(收斂)

Example 4: 21 1dx x

∞?∞+∫. Solution :

2 0 02201101 111 11tan

tan 2

2

.dx x

dx dx x x x x π

ππ∞?∞∞?∞∞???∞+=+++=+=+=∫∫∫

Example 5: 3 0

1

dx x ?∫. Solution : 3 1 3 00111 1

11dx dx dx x x x divergence =+???∫∫∫. (發散) Example 6: 1 0ln xdx ∫.

Solution :

1

01100 ln ln 1.

xdx

x x x =?=?∫ 另解:ln x ? 比 1

21

x 跑到 ∞ 當 較慢 收斂 .

0x →?Example 7: 2

1 ln dx x

∞∫. Solution :

11ln x x

>∵當x 大時 發散 . ?Example 8:.

2 0x e dx ∞?∫Solution :

2 0x e dx ∞?∫

收斂(和 ?21x 比). Example 9: 11 x e dx x

?∞+∫. Solution : 11 x e dx x ?∞+∫

發散(和 ?1x

比). Example 10:2 2 0.x x e dx ∞?∫

Solution :

2212 x x u x

d v x

e d x d u d x

v e ??====? .2

12

1210000

22222∫∫∫∞?∞?∞?∞?=+

?==dx e dx e xe dx e x x x x

x (和

21x 比可得此瑕積分為收斂)

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