§7-8 Improper Integrals
Homework :5,7,13,21,25,27,28,33,35,49,51,53,55,59,75
What is improper integral () b
a f x dx ∫ ? (1) .
or a b =±∞=±∞(2) ()[] for some ,f c c =±∞∈a b .
以上 (1) or (2) 情況,即可稱 () b
a f x dx ∫為improper integral.
幾何圖來說,improper integral 所圍出來的區域是無界的。
()()() 1 lim b a a b a f x dx f x ∞→∞?=∫∫dx ()()()()()() 0 0111 a a b f x dx f x dx f x dx ∞∞
?∞?∞???=+∫∫∫ ()()() 2 lim lim b d a a d a d b a c a or b
f x dx or f x dx +?→→?=∫∫
()()() 2 lim lim d b a d d c d c b a c b
f x dx f x dx ?+→→?<<+∫∫
註:
(1) 上述的計算過程一個improper integral 的存在稱為收斂
(convergence),反之則稱為發散(divergence)。
(2) 有些improper integral 是(1)和(2)的組合,如此計算時都需分開
個別處理,每部分都需存在,方可說此improper integral 存在。
(3) 若improper integral 存在,即表示其相對應的無界區域的面積是
有限的。
Example 1: 1 111 lim b P
P b dx dx x x ∞→∞=∫∫ Solution :
???
????=≠+?=+?∫1 ||ln 1 111111p x p p x dx x b b
p b p ?
??≤>=?∫∞
1 1 11p Divergence p e Convergenc dx x p Example 2: 1 0 11 1.
p Convergence p dx x Divergence p ?=?≥??∫ Summary :
i. Example 1.中,p 要大(也即()1p f x x
=
跑到0的速度要夠快,當x →∞時),無窮區域的面積才可能是有限。見下圖:
ii. Example 2.中,p 要小(也即f 跑到∞的速度當要夠慢時),無窮
區域(見上圖非斜線部份)的面積才可能是有限。
0x →
Comparison Theorem :
0f g ≥≥i. ()() : :b b
a a g x dx diverges f x dx diverges ?∫∫..ii. ()() : :
b b
a a f x dx converges f x dx converges ?∫∫
Example 3: 0 x xe dx ?∞∫.
11
00
00
?=?=?=∞?∞?∞?∫x x x e xe dx
xe Solution :
(收斂)
Example 4: 21 1dx x
∞?∞+∫. Solution :
2 0 02201101 111 11tan
tan 2
2
.dx x
dx dx x x x x π
ππ∞?∞∞?∞∞???∞+=+++=+=+=∫∫∫
Example 5: 3 0
1
dx x ?∫. Solution : 3 1 3 00111 1
11dx dx dx x x x divergence =+???∫∫∫. (發散) Example 6: 1 0ln xdx ∫.
Solution :
1
01100 ln ln 1.
xdx
x x x =?=?∫ 另解:ln x ? 比 1
21
x 跑到 ∞ 當 較慢 收斂 .
0x →?Example 7: 2
1 ln dx x
∞∫. Solution :
11ln x x
>∵當x 大時 發散 . ?Example 8:.
2 0x e dx ∞?∫Solution :
2 0x e dx ∞?∫
收斂(和 ?21x 比). Example 9: 11 x e dx x
?∞+∫. Solution : 11 x e dx x ?∞+∫
發散(和 ?1x
比). Example 10:2 2 0.x x e dx ∞?∫
Solution :
2212 x x u x
d v x
e d x d u d x
v e ??====? .2
12
1210000
22222∫∫∫∞?∞?∞?∞?=+
?==dx e dx e xe dx e x x x x
x (和
21x 比可得此瑕積分為收斂)