摘要
倒立摆是一个典型的快速、多变量、非线性、绝对不稳定系统。通过它能有效地反映控制过程中诸如可镇定性、鲁棒性、随动性以及跟踪等多种关键问题，是检验各种控制理论的理想模型。因此，对倒立摆系统的稳定性研究在理论上和方法上具有深远的意义。对倒立摆的研究可以归结对非线性、多变量、不稳定系统的研究。在应用上，倒立摆广泛应用于控制理论研究、航空航天控制、机器人等领域，在自动化领域中具有重要的价值。另外，由于此装置成本低廉，结构简单，便于用模拟、数字等不同方式控制，在控制理论教学和科研中也有很多应用。对其的稳定控制是控制界一个极具挑战性的难题。
本文首先叙述了对倒立摆系统稳定性研究的意义，综述了倒立摆的研究现状，并介绍了当前已有的稳定倒立摆的各种控制方法。
本文建立了一级、二级倒立摆的数学模型，分析了系统的能控性和能观测性，采用经典控制理论和现代控制理论对单级倒立摆的控制进行仿真研究。
关键词：倒立摆；数学模型；仿真
Abstract
Inverted pendulum is a typical lmodel of multi-variable,nonlinear,essentially unsteady system.During the control process,pendulum can effectively reflect many pivotal problems such as equanimity,robust,follow-up and track.Therefore,it is a perfect model used to testing various control theories.and researching stability of inverted Pendulum system has the profound meaning in theory and methodology.The research on inverted pendulum can be diverted to the research on nonlinear,multi-variable and unsteady system.And in application many equipments such as aviation,robots cannot do without it.The inverted pendulum plant is in common use in control theory teaching and research as it is also so cheap and easy to get.So it is amusing valuable for a senior student to do research on this subject.The stabilization control of inverted pendulum system is a primary challenge for the researchers in the controlling field because of the difficulty of the problem.
In this dissertation，first of all，analyze the meaning of researching the inverted pendulum system,give a summary on the research actuality of inverted pendulum,and introduce many control ways on making inverted pendulum system steady.
In this paper,we establish mathematical models of single,double inverted pendulum system,and analyze the controllability and observability of these models.We do research on the stabilization control of a single inverted pendulum system by means of classical control theory and modern control theory.
Key words：Inverted Pendulum; Mathematical models;Simulation
目录
摘要 ......................................................................................................................................... I Abstract ...................................................................................................................................... II 1 绪论 . (1)
1.1课题研究的背景和意义 (1)
1.1.1倒立摆系统研究的工程背景 (1)
1.1.2倒立摆系统研究的意义 (2)
1.2国内外研究现状 (2)
1.2.1稳定问题的研究 (2)
1.2.2起摆问题的研究 (6)
1.2.3倒立摆控制存在的主要问题 (6)
1.3本论文的主要工作 (7)
2倒立摆系统的建模与分析 (9)
2.1倒立摆系统的建模 (10)
2.1.1直线一级倒立摆的数学模型 (10)
2.1.2直线二级倒立摆的物理模型 (18)
2.2倒立摆系统的定性分析 (22)
2.2.1一级倒立摆系统模型分析 (22)
2.2.2二级倒立摆系统模型分析 (23)
2.3本章小结 (23)
3直线一级倒立摆系统的控制 (25)
3.1MATLAB控制系统工具箱简介 (25)
3.2基于根轨迹校正的直线一级倒立摆控制 (26)
3.2.1系统根轨迹分析 (26)
3.2.2根轨迹校正及控制 (27)
3.3直线一级倒立摆PID控制 (33)
3.4直线一级倒立摆频率响应分析与校正 (36)
3.5基于状态空间综合法的直线一级倒立摆控制 (40)
3.5.1反馈控制系统设计 (40)
3.6本章小结 (47)
4总结与展望 (48)
参考文献 (49)
致谢 (50)
附录A：英文文献 (51)
附录B：中文翻译 (65)
附录C：程序 (72)
1 绪论
1.1课题研究的背景和意义
1.1.1倒立摆系统研究的工程背景
在控制理论发展的过程中，某一理论的正确性及实际应用中的可行性需要一个按其理论设计的控制器去控制一个典型对象来验证。倒立摆就是这样一个被控制对象。倒立摆系统是一个多变量、快速、非线性和自然不稳定系统。在控制过程中能有效地反映控制中的许多关键问题，如非线性问题、系统的鲁棒性问题、随动问题、镇定问题及跟踪问题等。倒立摆系统作为一个实验装置，形象直观，结构简单，构件组成参数和形状易于改变，成本低廉。倒立摆系统的控制效果可以通过其稳定性直观地体现，也可以通过摆杆角度、小车位移和稳定时间直接度量。其实验效果直观、显著。当新的控制理论与方法出现后，可以用倒立摆对其正确性和实用性加以物理验证，并对各种方法进行快捷、有效、生动的比较。
早在60年代人们就开始了对倒立摆系统的研究1966年Schaefer和Cannon应用Bang Bang控制理论将一个曲轴稳定于倒置位置。在60年代后期，作为一个典型的不稳定严重非线性证例提出了倒立摆的概念，并用其检验控制方法对不稳定、非线性和快速性系统的控制能力，受到世界各国许多科学家的重视，从而用不同的控制方法控制不同类型的倒立摆，成为具有挑战性的课题之一。
倒立摆的研究具有重要的工程背景：
(1)机器人的站立与行走类似双倒立摆系统，尽管第一台机器人在美国问世至今已有三十年的历史，机器人的关键技术——机器人的行走控制至今仍未能很好解决；
(2)在火箭等飞行器的飞行过程中，为了保持其正确的姿态，要不断进行实时控制；
(3)通信卫星在预先计算好的轨道和确定的位置上运行的同时，要保持其稳定的姿态，使卫星天线一直指向地球，使它的太阳能电池板一直指向太阳；
(4)侦察卫星中摄像机的轻微抖动会对摄像的图像质量产生很大的影响，为了提高摄像的质量，必须能自动地保持伺服云台的稳定消除震动；
(5)为防止单级火箭在拐弯时断裂而诞生的柔性火箭(多级火箭)，其飞行姿态的控制
也可以用多级倒立摆系统进行研究。
1.1.2倒立摆系统研究的意义
研究倒立摆系统除了较强的理论意义，同时还具有广泛的实践意义。控制理论中许多抽象的概念如稳定性，能控性，快速性和鲁棒性，都可以通过倒立摆系统直观的表现出来，同时其动态过程与人类的行走姿态类似，其平衡与火箭的发射姿态调整类似，因此倒立摆在研究双足机器人直立行走、火箭发射过程的姿态调整和直升机飞行控制领域中有重要的现实意义，相关的科研成果已经应用到航天科技和机器人学等诸多领域。
1.2国内外研究现状
对倒立摆的控制研究主要是稳定问题和起摆问题的研究，目前对稳定问题的关注比较多。
1.2.1稳定问题的研究
倒立摆稳定的研究就是设计控制器使倒立摆系统在稳定点保持稳定，并且在一定限度内的干扰下可以回复到稳定状态。倒立摆系统的最初研究开始于二十世纪50年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。控制目的一般是使摆杆在垂直位置倒立。而后世界各国都将一级倒立摆控制作为验证某种控制理论或方法的典型方案。后来人们参照双足机器人控制问题研制二级倒立摆控制设备。随着倒立摆系统控制研究的不断深入，倒立摆系统的种类也由简单的单级倒立摆发展为多种形式的倒立摆。三级、四级倒立摆应当说由一、二级倒立摆演绎而来，背景相当复杂。另外还有环形的倒立摆、柔性连接直线倒立摆，平面倒立摆和环形并联多级倒立摆等形式。
国外对倒立摆系统的研究可以追朔到六十年代，1966年，Scheafer和Cannon应用Bang-Bang控制理论首先将一个曲轴稳定于倒置位置上。在60年代后期，作为一个典型的不稳定、严重的非线性证例提出了倒立摆的概念，并将其用于对一类不稳定、非线性和快速性系统控制能力的检验。由于倒立摆系统的典型性，对它的控制引起了各国科
学家的普遍重视，从而使得用多种方法对倒立摆的控制成为具有挑战性的世界性课题。当时主要集中在直线倒立摆系统的线性控制上面。到70年代初，各国学者用状态反馈理论对不同类型的倒立摆控制问题进行了广泛的研究，1976年Morietc 发表的研究论文，首先把倒立摆系统在平衡点附近线性化，利用状态空间方法设计比例微分控制器,实现了一级倒立摆的稳定控制。1980年，Furuta 等人基于线性化方法，实现了二级倒立摆的控制。1984年，Furuta 等人首次实现双电机三级倒立摆实物控制。1984年，Wattes 研究了LQR(Linear Quadratic Regulator)法控制倒立摆。LQR 方法主要基于系统的线性化模型和二次性能指标：
()
d t Ru u QX X J T T ?∞
+=0 (1.1) 实际上是寻找一个最优的状态反馈向量K ，从而设计一个最优反馈控制器。Wattes 验证了改变权重矩阵可以得到不同的状态反馈向量，从而产生不同的控制效果。
八十年代后期开始，倒立摆系统中的非线性特性得到较多的研究，并且提出了一系列基于非线性分析的控制策略。1992年，Furuta 等人提出了倒立摆系统的变结构控制。1995年，Fradkov 等人提出的基于无源性的控制。另外Wiklund 等人应用基于李亚普诺夫的方法控制了环形一级倒立摆，Yamakita 等人给出了环形二级倒立摆的实验结果。
近年来随着智能控制方法的研究逐渐受到人们的重视，模糊控制、神经网络、拟人智能控制、遗传算法和专家系统等越来越多的智能算法应用到倒立摆系统的控制上。1997年，T.H.Hung 等设计了类PI 模糊控制器应用于一级倒立摆控制，具有系统结构简单对硬件依赖小的特点。1995年，Li 利用两个并行的模糊滑模来分别控制小车和摆杆偏角。1996年张乃尧等采用模糊双闭环控制方案成功地稳定住了一级倒立摆。Deris 利用神经网络的自学习能力来整定PID 控制器参数。1997年，Gordillo 比较了LQR 方法和基于遗传算法的控制方法，结论是传统控制方法比遗传算法控制效果更好。1993年，Bouslama 利用一个简单的神经网络来学习模糊控制器的输入输出数据，设计了新型控制器。1994年，北京航空航天大学张明廉教授将人工智能与自动控制理论相结合，提出“拟人智能控制理论”，实现了用单电机控制三级倒立摆实物。北京师范大学李洪兴教授采用变论域自适应模糊控制理论研究四级倒立摆控制问题，成功实现了四级倒立摆实物系统控制。
对倒立摆这样的一个典型被控对象进行研究，无论在理论上和方法上都具有重要意
义。不仅由于其级数增加而产生的控制难度是对人类控制能力的有力挑战，更重要的是实现其控制稳定的过程中不断发现新的控制方法、探索新的控制理论，并进而将新的控制方法应用到更广泛的受控对象中。各种控制理论和方法都可以在这里得以充分实践，并且可以促成相互间的有机结合。当前倒立摆的控制方法可分为以下几类：
(1)线性理论控制方法
将倒立摆系统的非线性模型进行近似线性化处理，获得系统在平衡点附近的线性化模型然后，再利用各种线性系统控制器设计方法得到期望的控制器PID控制。状态反馈控制LQ控制算法是其典型代表。这类方法对一二级的倒立摆(线性化后误差较小模型较简单)控制时，可以解决常规倒立摆的稳定控制问题。但对于像非线性较强、模型较复杂的多变量系统(三四级以及多级倒立摆)线性系统设计方法的局限性就十分明显，这就要求采用更有效的方法来进行合理的设计。
(2)预测控制和变结构控制方法
由于线性控制理论与倒立摆系统多变量，非线性之间的矛盾使人们意识到针对多变量、非线性对象，采用具有非线性特性的多变量控制解决多变量非线性系统的必由之路。人们先后开展了预测控制、变结构控制和自适应控制的研究。预测控制是一种优化控制方法，强调的实模型的功能而不是结构。变结构控制是一种非连续控制，可将控制对象从任意位置控制到滑动曲面上仍然保持系统的稳定性和鲁棒性,但是系统存在颤抖。预测控制、变结构控制和自适应控制在理论上有较好的控制效果，但由于控制方法复杂、成本也高，不易在快速变化的系统上实时实现。
(3)智能控制方法
在倒立摆系统中用到的智能控制方法主要有神经网络控制、模糊控制仿人智能控制、拟人智能控制和云模型控制等。
①神经网络控制神经网络能够任意充分地逼近复杂的非线性关系，NN能够学习与适应严重不确定性系统的动态特性，所有定量或定性的信息都等势分布贮存于网络内的各种神经元，故有很强的鲁棒性和容错性；也可将Q学习算法和BP神经网络有效结合，实现状态未离散化的倒立摆的无模型学习控制。但是神经网络控制方法存在的主要问题是缺乏一种专门适合于控制问题的动态神经网络，而且多层网络的层数、隐层神经元的数量、激发函数类型的选择缺乏指导性原则等。
②模糊控制经典的模糊控制器利用模糊集合理论将专家知识或操作人员经验形成的语言规则直接转化为自动控制策略(通常是专家模糊规则查询标)，其设计不依靠对象精确的数学模型，而是利用其语言知识模型进行设计和修正控制算法。常规的模糊控制器的设计方法有很大的局限性，首先，难以建立一组比较完善的多维模糊控制规则，即使能凑成这样一组不完整的粗糙的模糊控制规则，其控制效果也是难以保证的。但是模糊控制结合其他控制方法就可能产生比较理想的效果。例如，北京师范大学已经采用模糊自适应控制理论成功的研制了三级倒立摆装置并对四级倒立摆系统做了仿真结果，还成功研制了四级倒立摆装置且稳定效果良好。
③拟人智能控制模糊控制神经网络控制等智能控制理论的问世促进了当代自动控制理论的发展。然而，基于这些智能控制理论所设计的系统往往需要庞大的知识库和相应的推理机，不利于实现实时控制。这又阻碍了智能控制理论的发展，因此，又有学者提出了一种新的理论——拟人控制理论。拟人智能控制的核心是“广义归约”和“拟人”。“归约”是人工智能中的一种问题求解方法。这种方法是将等求解的复杂问题分解成复杂程度较低的若干问题集合，再将这些集合分解成更简单的集合，依此类推，最终得到一个本原问题集合，即可以直接求解的问题。另一核心概念是“拟人”，其含义是在控制规律形成过程中直接利用人的控制经验直觉以及推理分析。
④仿人智能控制仿人智能控制的基本思想是通过对人运动控制的宏观结构和手动控制行为的综合模仿，把人在控制中的“动觉智能”模型化，提出了仿人智能控制方法。研究结果表明，仿人智能控制方法解决复杂、强非线性系统的控制具有很强的实用性。
⑤云模型控制利用云模型实现对倒立摆的控制，用云模型构成语言值，用语言值构成规则，形成一种定性的推理机制。这种拟人控制不要求给出被控对象精确的数学模型，仅仅依据人的经验、感受和逻辑判断，将人用自然语言表达的控制经验，通过语言原子和云模型转换到语言控制规则器中，就能解决非线性问题和不确定性问题。
(4) 鲁棒控制方法虽然，目前对倒立摆系统的控制策略有如此之多，而且有许多控制策略都对倒立摆进行了稳定控制，但大多数都没考虑倒立摆系统本身的大量不确定因素和外界干扰，一些学者对不确定倒立摆系统的鲁棒控制问题进行了研究。
1.2.2起摆问题的研究
倒立摆起摆问题是指设计控制器，能够将摆杆从竖直向下的自然状态摆动到竖直向上的位置。对于倒立摆起摆问题的研究主要方法有能量控制、启发式控制、拟人智能控制等。
较早研究起摆问题的文献有：1976年，Mori等人提出包含两个控制器，一个控制器用来自起摆，另一个控制器用来使摆杆稳定在平衡态附近。1996年，K.J.Astrom研究了用能量控制策略，实现了一级倒立摆的起摆。
朱江滨等人提出了一种基于专家系统及变步长预测控制的实时非线性控制方法，仿真实现了二级倒立摆的摆起及稳定控制。李祖枢等人利用拟人智能控制理论研究了二级倒立摆的起摆和控制问题。
目前用于倒立摆起摆的控制方法主要有：能量控制，启发式控制，拟人智能控制等。
社会化的大生产使工业生产规模越来越大，生产装置越来越复杂，工业对象成为高阶次、非线性、多输入多输出的复杂对象，而且控制精度要求越来越高。这就对控制理论提出了新的更高的要求。倒立摆系统是一个典型的多输入多输出、非线性、高阶次的不稳定系统。研究倒立摆的精确控制对复杂工业对象的控制有着不可估量的工程应用价值。
1.2.3倒立摆控制存在的主要问题
倒立摆系统是一个非线形、不稳定、单输入多输出的多变量系统，对它进行稳定控制，其控制方法大致可分为两类:
(1)现代控制理论方法:在非线形模型的平衡点附近对其进行线性化，再根据近似线性模型，设计出控制规律。常见的有状态反馈的极点配置法，二次型性能指标的最优控制和基于非线性观测器的控制方法等。
(2)智能控制方法:其主要特点是不依赖于系统数学模型，通过模拟人的智能或利用专家的经验较为直接地对倒立摆进行控制。有模糊控制、神经网络控制、规则控制和模糊神经网络控制等。
应用现代控制理论方法设计出的倒立摆的控制规律存在以下几个问题:
(1)由于系统本身是一个非线性系统，经过线性化后，所得到的模型与原模型只能在很小的范围内接近，从而限制了系统的稳定范围；
(2)对于二级倒立摆系统来说，线性化后得到一个六阶的状态方程，如果采用状态反馈的方法，则必须测量出系统的六个状态变量，由于其中三个速度变量测量起来很困难，这样就必须设计状态观测器，而状态观测器的引入对系统的稳定性和鲁棒性都有一定的不良影响；
(3)倒立摆系统是一个灵敏度很高、变化很快的系统，要求控制器有很决的响应速度。据计算倒立摆系统的采样周期应在5ms左右，因此，不能进行在线控制规律的适应性调整，也就是说，只能预先根据系统模型求出一个不变的控制规律固定在控制器中，这样就对系统的模型精度要求很高。而模型参数中的一些非线性因素是容易变化的，例如转动摩擦系数，水平摩擦系数及皮带的滞后，使基于模型的控制规律难以严格符合系统实际模型，这会导致系统的鲁棒性和稳定性较差。智能控制可以部分地解决上述问题。首先智能控制不依赖系统数学模型，所以就不存在因简化模型所带来的稳定范围减小的问题。其次智能控制规律的建立并不以预先确定的系统模型为基础的，而是基于专家的经验或人们的常识，只要该经验或常识基本反映系统的特性，那么被控对象的参数变化对控制系统的收敛问题的影响就很小。最后，智能控制规律的修改要方便得多，要修改基于数学模型的控制规律，整个算法结构都得变动，而修改智能控制中的规则只需修改某一或某几个规则，便可达到修改的目的。因此，智能控制系统维护起来较为简单易行，其稳定性和鲁棒性较好。
另外，倒立摆在实现方面还需要解决许多具体控制问题，如传感器的线性度、执行电机的死区、外围电路的零点漂移、信号采集的速度和精度等问题，这些问题的解决是成功地稳定倒立摆的关键。
1.3本论文的主要工作
本论文的工作主要包括以下几个方面：
(1)采用分析力学中的Lagrange方程推导倒立摆系统的数学模型，与采用牛顿力学定律方法相比，大大简化了建模的复杂性，并分别对一、二级倒立摆系统进行了的稳定性、能控性和能观测性分析。
(2)建立一级倒立摆系统和二级倒立摆系统的数学模型，采用经典控制理论和现代控制理
论对单级倒立摆的控制进行仿真研究。
2倒立摆系统的建模与分析
支点在下，重心在上，恒不稳定的一个系统或装置的学术名称叫倒立摆( Inverted Pendulum)。相反，支点在上而重心在下的则称为顺摆。现实生活中，摆无处不在，旋转着的芭蕾舞演员，杂技的顶伞，墙上挂钟的钟摆，工作中的吊车等都可被看作是一个摆。
倒立摆由于其本身是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统而被广泛研究，而利用该系统研究产生的方法和技术在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面都具有广阔的利用开发前景。
图2.1火箭在空中的姿态调整可以利用倒立摆控制方法实现在自动控制领域中，倒立摆仿真或实物控制实验，已成为检验一个新的控制理论是否有效的试金石，同时也是产生一个新的控制方法必须依据的基础实验平台。控制过程中的许多关键问题,如镇定问题、非线性问题、鲁棒性问题、随动问题以及跟踪问题等都可以以倒立摆为例加以研究。
倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等，多级摆的摆杆之间属于自有连接（即无电动机或其他驱动设备）。李洪兴教授领导的“模糊系统与模
糊信息研究中心”暨复杂系统智能控制实验室采用变论域自适应模糊控制在世界上第一个成功地实现了四级倒立摆实物控制。
2.1倒立摆系统的建模
系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系。
对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但是忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。下面我们采用其中的牛顿－欧拉方法和拉格朗日方法分别建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。采用拉格朗日法建立二级倒立摆系统的数学模型。
2.1.1直线一级倒立摆的数学模型
图2.2直线柔性一级倒立摆（深圳固高科技有限公司产品）
1.牛顿力学方法
在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图2.3所示。
图2.3直线一级倒立摆模型
为了建立倒立摆系统的数学模型，做以下假设：
(1)M：小车质量；
(2)m：摆杆质量；
(3)b：小车摩擦系数；
(4)l：摆杆转动轴心到杆质心的长度；
(5)I：摆杆惯量；
(6)F：加在小车上的力；
(7)x：小车位置。
图2.4和2.5是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
图2.4小车受力分析图2.5摆杆受力分析
在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图2.4所示，图示方向为矢量正方向。
分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：
N x b F x
M --= (2.1) 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：
()θsin 2
2l x dt d m N += (2.2) 即：
θθθθs i n c o s 2 ml ml x m N -+= (2.3)
把这个等式代入式(2.1)中，就得到系统的第一个运动方程：
()F θθml θθml x b x m M =-+++sin cos 2
(2.4) 为了推出系统的第二个运动方程，对摆杆垂直方向上的合力进行分析，得到下面方程：
()θc o s 22l dt
d m mg P =- (2.5) 即：
θθθθ
cos sin 2 ml ml mg P --=- (2.6) 力矩平衡方程如下：
θ
θθ I Nl Pl =--cos sin (2.7) 对于此方程中力矩的方向，由于θ=π+φ，cosφ=-cosθ，sinφ=-sinθ，故等式前面有负号。
合并方程(2.6)和(2.7)，约去P 和N ，得到第二个运动方程：
()
θθθc o s s i n 2x ml mgl ml I -=++ (2.8) 设θ=π+φ(φ是摆杆与垂直方向之间的夹角)，由于在平衡点附近φ<<1弧度，所以可
以进行近似处理：cosθ =-1，sinθ=-φ，2
??
? ??dt d θ=0。用u 来代表被控对象的输入力F ， 线性化后两个运动方程如下：
()
()?????=-++=-+u ml x b x m M x ml mgl ml I φφφ 2 (2.9) 对(2.9)进行拉普拉斯变换，得到
()
()()()()()()()()?????=Φ-++=Φ-Φ+s U s s ml s s bX s s X m M s s mlX s mgl s ml I 22222 (2.10) 假设初始条件为0。
由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可以得到
()()
()s s g ml ml I s X Φ?????
?-+=22 (2.11) 或 ()()()
m g l s ml I mls s X s -+=Φ222
(2.12) 如果令，则有
()()()
mgl s ml I ml s V s -+=Φ22 (2.13) 把上式(2.13)代入方程组(2.10)的第二个方程，得到
()()()()()
()()22222s s ml s s s g ml
ml I b s s s g ml ml I m M s U Φ-Φ??????+++Φ??????-++= (2.14) 整理后得到传递函数 ()()()()s q
b m g l s q m g l m M s q ml I b s s q ml s U s -+-++=Φ232
42 (2.15) 其中,()()()[]22ml ml I m M q -++=。
设系统状态空间方程为
Du CX y Bu AX X
+=+= (2.16) 方程组(2.16)对φ ,x 求解，得到解如下
()()()()
()()()()()???????????+++++++++-==++++++++++-==u Mml m M I ml Mml m M I m M mgl x Mml m M I mlb u Mml m M I ml I Mml m M I gl m x Mml m M I b ml I x x x 2222222222φφφ
φφ (2.17) 整理后得到系统状态空间方程
()()()()()()()
()()u Mml m M I ml Mml m M I ml I x x Mml m M I m M mgl Mml m M I mlb Mml m M I gl m Mml m M I b ml I x x ????????????????++++++????????????????????????????+++++-+++++-=??????????????222222222200001000000010φφφφ (2.18) u x x x y ??????+?????
?????????????=??????=0001000001φφφ (2.19)
对于质量分布均匀的摆杆有
23
1ml I = (2.20) 由式(2.9)的第一个方程可以得到 x l l g 4343+=
φφ (2.21) 设[]x
u x x X ='=,,,,φφ，则有 u l x x l
g x x '??????????????+??????????????????????????=????????????43010043001000000
0001
0φφφφ (2.22)
u x x x y '??????+?????
?????????????=??????=0001000001φφφ (2.23) 2.拉格朗日方法
拉格朗日方程为
()()()q q V q q T q
q L ,,,-= (2.24) 其中，L 为拉格朗日算子,q 为系统的广义坐标，T 为系统的动能，V 为系统的势能。
i i i f q L q
L dt d =??-?? (2.25) 其中，i=1,2,3…….n ， f i 为系统在第i 个广义坐标上的外力，在一级倒立摆系统中，系统的广义坐标有二个广义坐标，分别为x,φ。
m M T T T += (2.26) 其中，T M ，T m 分别为小车和摆杆1的动能。
小车的动能
22
1x M T M =
(2.27) 摆杆的动能 m m
m T T T ''+'= (2.28) 其中，m m
T T ''',分别为摆杆的平动动能和转动动能。 设以下变量：Xpend ——摆杆质心横坐标，Ypend ——摆杆质心纵坐标。则有
φφc o s s i n l y p e n d l x x p e n d =-= (2.29)
摆杆的平动动能和转动动能分别为
()()2222226
12121φθml J T dt ypend d dt xpend d m T p m m ==''???? ????? ??+??? ??=' (2.30)
于是有摆杆的总动能
()()22226
121φml dt ypend d dt xpend d m T T T m m m +???? ????? ??+??? ??=''+'= (2.31) 系统的势能为
φc o s **m g l y p e n d g m V V m =
== (2.32) 由于系统在φ广义坐标下没有外力，所以有
0=??-??φ
φL L dt d (2.33) 对直线一级倒立摆，系统的状态变量为：
[]φφ ,,,x x 。 求解状态方程
u D CX y u B AX X '
+='+= (2.34) 则有：
u l x x l g x x '??????
????????+??????????????????????????=????????????4301004300100000000010φφφφ u x x x y '??????+?????
?????????????=??????=0001000001φφφ (2.35) 可以看出，利用拉格朗日方法和牛顿力学方法得到的状态方程是相同的，不同之处在于，输入u′为小车的加速度x′，而输入u 为外界给小车施加的力，对于不的输入，系统的状态方程不一样，对比较简单的直线一级倒立摆，利用牛顿力学的方法计算比较方便和快捷，但对于多级倒立摆，利用拉格朗日方法编程计算会比较方便。
实际系统的模型参数如下：M―小车质量1.096 Kg ；M —摆杆质量0.109 Kg ；B―小车摩擦系数0.1 N/m/sec ；l―摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25m ；I―摆杆惯量0.0034 kg*m*m 。
一阶直线倒立摆系统 姓名： 班级： 学号：
目录 摘要 (3) 第一部分单阶倒立摆系统建模 (4) （一）对象模型 (4) （二）电动机、驱动器及机械传动装置的模型 (6) 第二部分单阶倒立摆系统分析 (7) 第三部分单阶倒立摆系统控制 (11) （一）内环控制器的设计 (11) （二）外环控制器的设计 (14) 第四部分单阶倒立摆系统仿真结果 (16) 系统的simulink仿真 (16)
摘要： 该问题源自对于娱乐型”独轮自行车机器人”的控制，实验中对该系统进行系统仿真，通过对该实物模型的理论分析与实物仿真实验研究，有助于实现对独轮自行车机器人的有效控制。 控制理论中把此问题归结为“一阶直线倒立摆控制问题”。另外，诸如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制、海上钻井平台的稳定控制、飞机安全着陆控制等均涉及到倒立摆的控制问题。 实验中通过检测小车位置与摆杆的摆动角，来适当控制驱动电动机拖动力的大小，控制器由一台工业控制计算机（IPC）完成。实验将借助于“Simulink封装技术——子系统”，在模型验证的基础上，采用双闭环PID控制方案，实现倒立摆位置伺服控制的数字仿真实验。实验过程涉及对系统的建模、对系统的分析以及对系统的控制等步骤，最终得出实验结果。仿真实验结果不仅证明了PID方案对系统平衡控制的有效性，同时也展示了它们的控制品质和特性。 第一部分单阶倒立摆系统建模
（一） 对象模型 由于此问题为”单一刚性铰链、两自由度动力学问题”，因此，依据经典力学的牛顿定律即可满足要求。 如图1.1所示，设小车的质量为0m ，倒立摆均匀杆的质量为m ，摆长为2l ，摆的偏角为θ，小车的位移为x ，作用在小车上的水平方向上的力为F ，1O 为摆杆的质心。 图1.1 一阶倒立摆的物理模型 根据刚体绕定轴转动的动力学微分方程，转动惯量与角加速度乘积等于作用于刚体主动力对该轴力矩的代数和，则 1）摆杆绕其重心的转动方程为 sin cos y x l F J F l θθθ=-&& （1-1） 2）摆杆重心的水平运动可描述为 2 2(sin )x d F m x l dt θ=+ （1-2） 3）摆杆重心在垂直方向上的运动可描述为 2 2(cos )y d F mg m l dt θ-= （1-3） 4）小车水平方向运动可描述为 202x d x F F m dt -= （1-4）
控制工程与仿真课程设计报告 报告题目直线一级倒立摆建模、分析及控制器的设计 组员1专业、班级14自动化1 班姓名朱永远学号1405031009 组员1专业、班级14自动化1 班姓名王宪孺学号1405031011组员1专业、班级14自动化1 班姓名孙金红学号1405031013 报告评分标准 评分项目权重评价内容评价结果项目得分 内容70设计方案较合 理、正确，内容 较完整 70-50分 设计方案基本合 理、正确，内容 基本完整 50-30分 设计方案基本不 合理、正确，内 容不完整 0-30分 语言组织15语言较流顺，标 点符号较正确 10-15分语言基本通顺， 标点符号基本正 确 5-10分 语言不通顺，有 错别字，标点符 号混乱 5分以下 格式15 报告格式较正 确，排版较规范 美观 10-15分 报告格式基本正 确，排版不规范 5-10分 报告格式不正 确，排版混乱 5分以下总分
直线一级倒立摆建模、分析及控制器的设计 一状态空间模型的建立 1.1直线一级倒立摆的数学模型 图1.1 直线一级倒立摆系统 本文中倒立摆系统描述中涉及的符号、物理意义及相关数值如表1.1所示。
图1.2是系统中小车的受力分析图。其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。 图1.2 系统中小车的受力分析图 图1.3是系统中摆杆的受力分析图。F s 是摆杆受到的水平方向的干扰力, F h 是摆杆受到的垂直方向的干扰力，合力是垂直方向夹角为α的干扰力F g 。
图1.3 摆杆受力分析图 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： ()11- 设摆杆受到与垂直方向夹角为α 的干扰力Fg ，可分解为水平方向、垂直方向的干扰力，所产生的力矩可以等效为在摆杆顶端的水平干扰力FS 、垂直干扰力Fh 产生的力矩。 ()21- 对摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： ()θsin 22 l x dt d m F N S +=- ()31- 即： αθθθθsin sin cos 2f F ml ml x m N +-+= ()41- 对图1.3摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程： ()θcos 22 l l dt d m F mg P h -=++- ()51- 即 θθθθ αcos sin cos 2 ml ml F mg P g +=++- ()61- 力矩平衡方程如下： 0cos sin sin cos cos sin =++++θθθθαθα I Nl Pl l F l F g g ()71- 代入P 和N ，得到方程： () 0cos 2sin sin 2cos sin cos 2cos sin 2222=+-++++θθθθθθθαθαx ml ml mgl ml I l F l F g g ()81- 设φπθ+=，（φ是摆杆杆与垂直向上方向之间的夹角，单位是弧度），代入上式。假设φ<<1，则可进行近似处理： φφφφφφφ===?? ? ??==2sin ,12cos ,0,sin ,1cos 2 dt d N x f F x M --= α sin g S F F =α cos g h F F =
单级倒立摆系统的分析与设计 小组成员：武锦张东瀛杨姣 李邦志胡友辉 一．倒立摆系统简介 倒立摆系统是一个典型的高阶次、多变量、不稳定和强耦合的非线性系统。由于它的行为与火箭飞行以及两足机器人行走有很大的相似性，因而对其研究具有重大的理论和实践意义。由于倒立摆系统本身所具有的上述特点，使它成为人们深入学习、研究和证实各种控制理论有效性的实验系统。 单级倒立摆系统（Simple Inverted Pendulum System）是一种广泛应用的物理模型，其结构和飞机着陆、火箭飞行及机器人的关节运动等有很多相似之处，因而对倒立摆系统平衡的控制方法在航空及机器人等领域有着广泛的用途，倒立摆控制理论产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器入技术、导弹拦截控制系统、航空器对接控制技术等方面具有广阔的开发利用前景。 倒立摆仿真或实物控制实验是控制领域中用来检验某种控制理论或方法的典型方案。最初研究开始于二十世纪50年代，单级倒立摆可以看作是一个火箭模型，相比之下二阶倒立摆就复杂得多。1972年，Sturgen等采用线性模拟电路实现了对二级倒立摆的控制。目前，一级倒立摆控制的仿真或实物系统已广泛用于教学。 二．系统建模 1．单级倒立摆系统的物理模型 图1：单级倒立摆系统的物理模型
单级倒立摆系统是如下的物理模型：在惯性参考系下的光滑水平平面上，放置一个可以在平行于纸面方向左右自由移动的小车（cart ），一根刚性的摆杆（pendulum leg ）通过其末端的一个不计摩擦的固定连接点（flex Joint ）与小车相连构成一个倒立摆。倒立摆和小车共同构成了单级倒立摆系统。倒立摆可以在平行于纸面180°的范围内自由摆动。倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的摄动下摆杆仍然保持竖直向上状态。在小车静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆受到微小的摄动时就会发生不可逆转的破坏而使倒立摆无法复位，这时必须使小车在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。依照惯性参考系下的牛顿力学原理，作用力与物体位移对时间的二阶导数存在线性关系，单级倒立摆系统是一个非线性系统。 各个参数的物理意义为： M — 小车的质量 m — 倒立摆的质量 F — 作用到小车上的水平驱动力 L — 倒立摆的长度 x — 小车的位置 θ— 某一时刻摆角 整个倒立摆系统就受到重力、驱动力和摩擦阻力的三个外力的共同作用。这里，驱动力F 是由连接小车的传动装置提供，控制倒立摆的稳定实际上就是依靠控制驱动力F 使小车在水平面上做与倒立摆运动相关的特定运动。为了简化模型以利于仿真，假设小车与导轨以及摆杆与小车铰链之间的摩擦均为0。 2．单级倒立摆系统的数学模型 令小车的水平位移为x ，运动速度为v ，加速度a 。 小车的动能为212kc E Mx =，选择特定的参考平面使得小车的势能为0。 摆杆的长度为L ，某时刻摆角为θ，在摆杆上与固定连接点距离为q （0 一级倒立摆控制方法比较 摘要：倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的自然不稳定系统。针对一级倒立摆系统，首先利用牛顿力学的知识建立了数学模型，然后利用Simulink 及其封装功能建立倒立摆的仿真模型，使模型更具灵活性，给仿真带来很大方便。根据状态方程判断系统的能控、能观性。通过LQR控制算法和极点配置设计控制器使系统达到稳定状态，分析两种方法的优缺点，并利用Matlab仿真加以证实。 关键词：倒立摆; LQR ;极点配置 ;Matlab DISCUSSION ON CONTROLOF INVERTED PENDULUM Abstract：the inverted pendulum system is a typical multi-variable, nonlinear, strong coupling and rapid movement of the natural unstable system. According to the level of inverted pendulum system, firstI make use of Newtonian mechanics knowledge to establishthe mathematical model, and use the Simulink and packaging function to establish inverted pendulum simulation model.The model is more flexibility, bringing a lot of convenience for simulation. By the equation of state, controllability and observablityof system can be sure. Designing the LQR control algorithm and pole-place makes the system stable state, analyzes the advantages and disadvantages of two methods confirmed through the simulation of MATLAB. Key words：Inverted pendulum ;LQR ;pole-place ;Matlab 0引言 倒立摆系统作为研究控制理论的一种典型的实验装置，具有成本低廉，结构简单，物理参数和结构易于调整的优点。研究倒立摆系统具有很强的理论意义，同时也具有深远的实践意义。许多抽象的控制概念如稳定性、能控性和能观性，都可以通过倒立摆系统直观地表现出来。希望对倒立摆的研究能够加深对控制理论的了解，为后面学习奠定坚实的基础。 倒立摆[1]的稳定控制主要可分为线性控制和智能控制两大类，下面分别对其归纳介绍。 1）线性理论控制方法 应用线性控制方法的基本前提是倒立摆处在平衡点附近，偏移很小时，系统可以用 哈尔滨工业大学 控制科学与工程系 控制系统设计课程设计报告 姓名：院（系）： 专业：自动化班号： 任务起至日期： 2014 年9 月9 日至 2014 年9 月20 日 课程设计题目：直线一级倒立摆控制器设计 已知技术参数和设计要求： 本课程设计的被控对象采用固高公司的直线一级倒立摆系统GIP-100-L。 系统内部各相关参数为: M小车质量0.5kg; m摆杆质量0.2kg; b小车摩擦系数0.1N/m/sec; l摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3m; I摆杆惯量0.006kg*m*m; T采样时间0.005秒。 设计要求： 1.推导出系统的传递函数和状态空间方程。用Matlab进行阶跃输入仿真，验证系统的稳定性。 2.设计PID控制器，使得当在小车上施加0.1N的脉冲信号时，闭环系统的响应指标为： （1）稳定时间小于5秒； （2）稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1弧度。 3.设计状态空间极点配置控制器，使得当在小车上施加0.2m的阶跃信号时，闭环系统的响应指标为： （1）摆杆角度错误！未找到引用源。和小车位移x的稳定时间小于3秒 （2）x的上升时间小于1秒 （3）错误！未找到引用源。的超调量小于20度（0.35弧度） （4）稳态误差小于2%。 工作量： 1.建立直线一级倒立摆的线性化数学模型； 2.倒立摆系统的PID控制器设计、Matlab仿真及实物调试； 3.倒立摆系统的极点配置控制器设计、Matlab仿真及实物调试。 哈尔滨工业大学 (1) 控制系统设计课程设计报告 (1) 一．实验设备简介 (3) 二．直线一阶倒立摆数学模型的推导 (6) 2.1概述 (6) 2.2数学模型的建立 (7) 2.3一阶倒立摆的状态空间模型： (9) 2.4实际参数代入： (10) 三．定量、定性分析系统的性能 (11) 3.1 对系统的稳定性进行分析 (11) 3.2 对系统的稳定性进行分析： (12) 四. 实际系统的传递函数与状态方程 (13) 五. 系统阶跃响应分析 (14) 六．一阶倒立摆PID控制器设计 (15) 6.1 PID控制分析 (15) 6.2 PID控制参数设定及MATLAB仿真 (17) 6.3 PID控制实验 (18) 七．状态空间极点配置控制器设计 (19) 7.1 状态空间分析 (20) 7.2 极点配置及MA TLAB仿真 (21) 7.3 利用爱克曼公式计算 (21) 八．课程设计心得与体会 (22) 一．实验设备简介 倒立摆控制系统：Inverted Pendulum System （IPS） 倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。 倒立摆是进行控制理论研究的典型实验平台。倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。最初研究开始于二十世纪50 年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。 研究生《现代控制理论及其应用》课程小论文 一级倒立摆的建模与控制分析 学院：机械工程学院 班级：机研131 姓名：尹润丰 学号： 201321202016 2014年6月2日 目录 1. 问题描述及状态空间表达式建立..............................................................- 1 - 1.1问题描述.......................................................................................................................................- 1 - 1.2状态空间表达式的建立...............................................................................................................- 1 - 1.2.1直线一级倒立摆的数学模型 ..........................................................................................- 1 - 1.2.2 直线一级倒立摆系统的状态方程 .................................................................................- 5 - 2.应用MATLAB分析系统性能 .....................................................................- 6 - 2.1直线一级倒立摆闭环系统稳定性分析 ......................................................................................- 6 - 2.2 系统可控性分析.........................................................................................................................- 7 - 2.3 系统可观测性分析.....................................................................................................................- 8 - 3. 应用matlab进行综合设计.........................................................................- 8 - 3.1状态反馈原理...............................................................................................................................- 8 - 3.2全维状态反馈观测器和simulink仿真 .......................................................................................- 9 - 4.应用Matlab进行系统最优控制设计 ........................................................ - 11 - 5.总结 ............................................................................................................. - 13 - 单级倒立摆经典控制系统 摘要：倒立摆控制系统虽然作为热门研究课题之一，但见于资料上的大多采用现代控制方法，本课题的目的就是要用经典的方法对单级倒立摆设计控制器进行探索。本文以经典控制理论为基础，建立小车倒立摆系统的数学模型，使用PID控制法设计出确定参数(摆长和摆杆质量)下的控制器使系统稳定，并利用MATLAB软件进行仿真。 关键词：单级倒立摆；经典控制；数学模型；PID控制器；MATLAB 1绪论 自动控制理论是研究自动控制共同规律的技术科学。它的发展初期，是以反馈理论为基础的自动调节原理，并主要用于工业控制。 控制理论在几十年中，迅速经历了从经典理论到现代理论再到智能控制理论的阶段，并有众多的分支和研究发展方向。 1.1经典控制理论 控制理论的发展，起于“经典控制理论”。早期最有代表性的自动控制系统是18世纪的蒸汽机调速器。20世纪前，主要集中在温度、压力、液位、转速等控制。20世纪起，应用范围扩大到电压、电流的反馈控制，频率调节，锅炉控制，电机转速控制等。二战期间，为设计和制造飞机及船用自动驾驶仪、火炮定位系统、雷达跟踪系统及其他基于反馈原理的军用装备，促进了自动控制理论的发展。 至二战结束时，经典控制理论形成以传递函数为基础的理论体系，主要研究单输入-单输出、线性定常系统的分析问题。经典控制理论的研究对象是线性单输入单输出系统，用常系数微分方程来描述。它包含利用各种曲线图的频率响应法和利用拉普拉斯变换求解微分方程的时域分析法。这些方法现在仍是人们学习控制理论的入门之道。 1.2倒立摆 1.2.1倒立摆的概念 图1 一级倒立摆装置 倒立摆是处于倒置不稳定状态，人为控制使其处于动态平衡的一种摆。如杂技演员顶杆的物理机制可简化为一级倒立摆系统，是一个复杂、多变量、存在严重非线性、非自治不稳定系统。 基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计 一、设计目的 倒立摆是一个非线性、不稳定系统,经常作为研究比较不同控制方法的典型例子。设计一个倒立摆的控制系统，使倒立摆这样一个不稳定的被控对象通过引入适当的控制策略使之成为一个能够满足各种性能指标的稳定系统。 二、设计要求 倒立摆的设计要求是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。实验参数自己选定，但要合理符合实际情况，控制方式为双PID控制，并利用MATLAB进行仿真，并用simulink对相应的模块进行仿真。 三、设计原理 倒立摆控制系统的工作原理是：由轴角编码器测得小车的位置和摆杆相对垂直方向的角度，作为系统的两个输出量被反馈至控制计算机。计算机根据一定的控制算法，计算出空置量，并转化为相应的电压信号提供给驱动电路，以驱动直流力矩电机的运动，从而通过牵引机构带动小车的移动来控制摆杆和保持平衡。 四、设计步骤 首先画出一阶倒立摆控制系统的原理方框图 一阶倒立摆控制系统示意图如图所示： 分析工作原理，可以得出一阶倒立摆系统原理方框图： 一阶倒立摆控制系统动态结构图 下面的工作是根据结构框图，分析和解决各个环节的传递函数！ 1.一阶倒立摆建模 在忽略了空气流动阻力，以及各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示，其中： M ：小车质量 m ：为摆杆质量 J ：为摆杆惯量 F ：加在小车上的力 x ：小车位置 θ：摆杆与垂直向上方向的夹角 l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度 根据牛顿运动定律以及刚体运动规律，可知： （1） 摆杆绕其重心的转动方程为 （2） 摆杆重心的运动方程为 得 sin cos ..........(1)y x J F l F l θθθ=-2 22 2(sin ) (2) (cos ) (3) x y d F m x l d t d F mg m l d t θθ=+=- 开题报告填表说明 1.开题报告是毕业设计（论文）过程规范管理的重要环节，是培养学生严谨务实工作作风的重要手段，是学生进行毕业设计（论文）的工作方案，是学生进行毕业设计（论文）工作的依据。 2.学生选定毕业设计（论文）题目后，与指导教师进行充分讨论协商，对题意进行较为深入的了解，基本确定工作过程思路，并根据课题要求查阅、收集文献资料，进行毕业实习（社会调查、现场考察、实验室试验等），在此基础上进行开题报告。 3.课题的目的意义，应说明对某一学科发展的意义以及某些理论研究所带来的经济、社会效益等。 4.文献综述是开题报告的重要组成部分，是在广泛查阅国内外有关文献资料后，对与本人所承担课题研究有关方面已取得的成就及尚存的问题进行简要综述，并提出自己对一些问题的看法。 5.研究的内容，要具体写出在哪些方面开展研究，要突出重点，实事求是，所规定的内容经过努力在规定的时间内可以完成。 6.在开始工作前，学生应在指导教师帮助下确定并熟悉研究方法。 7.在研究过程中如要做社会调查、实验或在计算机上进行工作，应详细说明使用的仪器设备、耗材及使用的时间及数量。 8.课题分阶段进度计划，应按研究内容分阶段落实具体时间、地点、工作内容和阶段成果等，以便于有计划地开展工作。 9.开题报告应在指导教师指导下进行填写，指导教师不能包办代替。 10.开题报告要按学生所在系规定的方式进行报告，经系主任批准后方可进行下一步的研究（或设计）工作。 一、课题的目的意义： 倒立摆系统作为一个实验装置，形象直观，结构简单，构件组成参数和形状易于改变，成本低廉；作为一个被控对象，它又相当复杂，就其本身而言，是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合系统，只有采取行之有效的控制方法方能使之稳定。 理论是工程的先导，倒立摆的研究具有重要的工程背景。机器人行走类似倒立摆系统，尽管第一台机器人在美国问世以来已有几十年的历史，但机器人的关键技术至今仍未很好解决。由于倒立摆系统的稳定与空间飞行器控制和各类伺服云台的稳定有很大相似性，也是日常生活中所见到的任何重心在上、支点在下的控制问题的抽象。因此，倒立摆机理的研究又具有重要的应用价值，成为控制理论中经久不衰的研究课题。 文献综述（分析国内外研究现状、提出问题，找到研究课题的切入点，附主要参考文献，约2000字）： 倒立摆系统的最初分析开始于二十世纪五十年代，是一个比较复杂的不稳定，多变量，带有强耦合特性的高阶机械系统。倒立摆系统存在严重的不确定性，一方面是系统的参数的不确定性，一方面是系统受到不确定因素的干扰。其控制方法和思路在处理一般工业过程中有很广泛的用途，此外，其相关的研究成果也在航天科技和机器人学习方面得到了大量的应用，如机器人行走过程中平衡控制，火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等，因此，倒立摆系统是进行控制理论研究的理想平台。 倒立摆是机器人技术﹑控制理论﹑计算机控制等多个领域﹑多种技术的有机结合，其被控 一级直线倒立摆系统模糊控制器设计 实验指导书 目录 1 实验要求................................................................................. . (3) 1.1 实验准备................................................................................. . (3) 1.2 评分规则................................................................................. . (3) 1.3 实验报告容................................................................................. .. (3) 1.4 安全注意事项................................................................................. .. (3) 2 倒立摆实验平台介绍................................................................................. .. (4) 2.1 硬件组成................................................................................. . (4) 2.2 软件结构................................................................................. . (4) 3 倒立摆数学建模（预习 容） .............................................................................. (6) 4 模糊控制实验................................................................................. (8) 4.1 模糊控制器设计（预习容）............................................................................... (8) 4.2 模糊控制器仿真................................................................................. (12) 4.3 模糊控制器实时控制实验................................................................................. .. (12) 5 附录：控制理论中常用的MATLAB 函 课程设计说明书 课程名称：控制系统课程设计设计题目：一阶倒立摆控制器设计院系：信息与电气工程学院班级： 设计者： 学号： 指导教师： 设计时间：2013年2月25日到2013年3月8号 课程设计（论文）任务书 指导教师签字：系（教研室）主任签字： 2013年3月5日 目录 一、建立一阶倒立摆数学模型 (4) 1. 一阶倒立摆的微分方程模型 (4) 2. 一阶倒立摆的传递函数模型 (6) 3. 一阶倒立摆的状态空间模型 (7) 二、一阶倒立摆matlab仿真 (9) 三、倒立摆系统的PID控制算法设计 (13) 四、倒立摆系统的最优控制算法设计 (23) 五、总结............................................................................................... 错误！未定义书签。 六、参考文献 (29) 一、建立一阶倒立摆数学模型 首先建立一阶倒立摆的物理模型。在忽略空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示。 系统内部各相关参数定义如下： M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数 l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 小车位置 φ摆杆与垂直向上方向的夹角 θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）1.一阶倒立摆的微分方程模型 对一阶倒立摆系统中的小车和摆杆进行受力分析，其中，N和 P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。 图1-2 小车及摆杆受力图 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： （1-1）由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： （1-2）即： （1-3） 把这个等式代入式(1-1)中，就得到系统的第一个运动方程： （1-4） 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程： （1-5） 即： （1-6）力矩平衡方程如下： （1-7） 由于所以等式前面有负号。 内蒙古科技大学课程设计 内蒙古科技大学 控制系统仿真设计说明书 题目：直线一级摆的PID控制与校正 学生姓名：罗鹏飞 学号：0967112208 专业：测控技术与仪器 班级：2009-2班 指导教师：张勇 摘要 倒立摆系统是一个典型的快速、多变量、非线性、不稳定系统，对倒立摆的控制研究无论在理论上和方法上都有深远的意义。 本论文以实验室原有的直线一级倒立摆实验装置为平台，重点研究其PID控制方法，设计出相应的PID控制器，并将控制过程在MATLAB上加以仿真。 本文主要研究内容是：首先概述自动控制的发展和倒立摆系统研究的现状；介绍倒立摆系统硬件组成，对单级倒立摆模型进行建模，并分析其稳定性；研究倒立摆系统的几种控制策略，分别设计了相应的控制器，以MATLAB为基础，做了大量的仿真研究，比较了各种控制方法的效果；借助固高科技MATLAB实时控制软件实验平台；利用设计的控制方法对单级倒立摆系统进行实时控制，通过在线调整参数和突加干扰等，研究其实时性和抗千扰等性能；对本论文进行总结，对下一步研究作一些展望。 关键词：一级倒立摆，PID，MATLAB仿真 目录 摘要...................................................................I 目录..................................................................II 第1章 MATLAB仿真软件的应用.. (1) 1.1 MATLAB的基本介绍 (1) 1.2 MATLAB的仿真 (1) 1.3 控制系统的动态仿真 (2) 1.4 小结 (4) 第2章直线一级倒立摆系统及其数学模型 (5) 2.1 系统组成 (5) 2.1.1 倒立摆的组成 (6) 2.1.2 电控箱 (6) 2.1.4 倒立摆特性 (7) 2.2 模型的建立 (7) 2.2.1 微分方程的推导 (8) 3.2.2 传递函数 (10) 3.2.3 状态空间结构方程 (10) 2.2.4 实际系统模型 (12) 2.2.5 采用MATLAB语句形式进行仿真 (13) 第3章直线一级倒立摆的PID控制器设计与调节 (16) 3.1 PID控制器的设计 (16) 3.2 PID控制器设计MATLAB仿真 (18) 结论 (21) 参考文献 (22) 直线一级倒立摆控制 一、课程设计目的 学习直线一级倒立摆的数学建模方法，运用所学知识设计PID控制器，并应用MATLAB进行仿真。通过本次课程设计，建立理论知识与实体对象之间的联系，加深和巩固所学的控制理论知识，增加工程实践能力。 二、课程设计要求 1. 应用动力学知识建立直线一级倒立摆的数学模型（微分方程形式），并建立系统的开环传递函数模型。 2. 运用经典控制理论知识，按设计要求设计控制器。 3. 应用MATLAB的Simulink建立控制系统的仿真模型，得出仿真结果。 4. 控制要求： ※小车的位置x和摆杆角度的稳定时间小于10秒； ※阶跃响应摆杆角度的摆幅小于2°； ※θ有≤8°扰动时，摆杆的稳定时间小于三秒。 对比仿真结果与控制要求，修正设计值，使之满足设计要求。 三、控制系统建模过程 1、控制对象示意图 / 10 1 图1.控制对象示意图 图中对象参数： M 小车质量 1.32kg l 摆杆转动中心到杆质心的距离 0.27m m 摆杆质量 0.132kg F 作用在系统上的外力 / 10 2 X 小车位移 θ 摆杆与竖直方向的夹角，以垂直向上为起始位置,取逆时针方向为正方向。 b 小车摩擦阻尼系数 0.1N/m/sec 2. 控制系统模拟结构图： 图2.系统的模拟结构图 其中G1（s ）表示关于摆角θ的开环传递函数，D(S) 表示PID 控制器的传递函数，G2（s ）表示小车位移x 的传递函数。由于摆角与垂直向上方向夹角为0时为平衡状态，故摆角的理想输出值应为R （S ）=0。 3. 建模过程： T 图3.小车及摆杆的受力分析图 如图3所示，对小车及摆杆进行受力分析，得到以下平衡方程： 对小车有： 22..................................(1)dx d x F F b N M dt dt =--=∑小车 对摆杆有： 本科生毕业设计（论文） 论文题目：基于PID控制的一级倒立摆系统的研究 姓名： 学院： 专业： 班级、学号： 指导教师： 摘要 本文的研究对象为一级倒立摆系统，主要是基于PID控制的一级倒立摆控制系统的设计。利用PID参数整定的多种方法对PID的三个参数进行调节，并对其优化，然后用利用Matlab对其进行仿真，并对最后仿真图的结果进行分析与比较。 倒立摆是一种典型的非线性、多变量、强耦合、快速的、自然不稳定的系统。在实际生产生活中有很多类似的系统，故研究一级倒立摆系统的PID控制具有很大的实际意义。本文介绍了多种PID参数整定算法，主要采用了的是Z-N整定法，并详细介绍了PID参数整定算法的相关理论和具体操作方法。在本文中还建立了一级倒立摆的数学模型和物理模型。本文着重讲述了Z-N整定法和试凑法对PID三个参数的进行优化的具体方法。用Matlab对一级倒立摆系统进行了仿真，并且比较这些方法的优缺点，对最后的仿真图结果研究和分析。得出PID参数整定方法的优缺点。 关键词： PID控制器参数整定一级倒立摆 Matlab仿真 Abstract Object of this paper is an inverted pendulum system is mainly based on PID control an inverted pendulum control system design. Use a variety of PID parameter tuning method to adjust the three parameters of PID, and its optimization, and then use them using matlab simulation, and the results of the last simulation diagram analysis and comparison. Inverted pendulum is a typical non-linear, multi-variable, strong coupling, fast, naturally unstable system. In real life there are a lot of similar production systems, it is of an inverted pendulum system PID control has great practical significance. This article describes a variety of PID parameter tuning algorithm, the main use of the Z-N entire titration, and details of the PID parameter tuning algorithms related theory and specific methods of operation. In this article, also established a mathematical model of the inverted pendulum and physical models. This paper focuses on the ZN Tuning Method for PID and genetic algorithms to optimize the three parameters of specific methods. Using Matlab on an inverted pendulum system is simulated, and compare the advantages and disadvantages of these methods, drawing on the final results of the simulation study and 倒立摆控制 Johnny Lam 摘要: 倒立摆沿着水平轨道车移动时的平衡问题是控制领域中的经典问题。本文将介绍两种方法，使系在小车上的倒立摆从初始向下位置摆到直立位置， 并保持该状态。通过非线性启发式控制器和能量控制器，可以使倒立摆摆向直 立位置。倒立摆摆动起来后，通过线性二次型调节器的状态反馈最优控制器维 持其平衡状态。在合适的时间，启发式控制器输出一个重复信号，然后通过微 调使摆锤到达最合适的位置。通过能量控制器增加合适的能量到倒立摆系统， 来达到所期望的能量状态。最优状态反馈控制器是基于各地的直立位置线性模 型一个稳定的控制器，它在车摆系统接近平衡状态时能产生效果。这两种方法 都在倒立摆摆在向下位置时记录实验结果。 1.简介 倒立摆系统是在控制系统领域中的一个标准问题。在证明线性控制的思想 上它经常常是很有效的，例如使不稳定的系统的稳定化等。由于该系统本质上 是非线性的，它也一直在说明一些结论在非线性控制方面也是有效的。在这个 系统中，倒立摆附着到配备有马达驱动的沿水平轨道行驶的小车上。用户能够 通过电机来控制小车的位置和速度还能通过轨道来控制小车在水平方向上运动。传感器被连接到小车和小车的中心上来测量小车的位置和钟摆关节的角度。测 量采用连接到MultiQ - 3通用数据采集和控制电路板上的正交编码器。Matlab / Simulink用于实现控制和分析数据。 倒立摆系统本身有两个平衡点，其中之一是稳定的，而另一个是不稳定的。稳定平衡对应于一个状态，其中摆锤向下。在没有任何外力的情况下，该系统 会自然返回到这个状态。稳定平衡不需控制输入来实现，因此，从控制的角度 来看是没有意义的。不稳定的平衡对应于另一个状态，其中摆点完全向上，因此，需要控制输入力的大小，来保持在这个位置。倒立摆系统的基本控制目标 是使倒立摆在不稳定平衡位置上平衡。该项目的控制目标将侧重于从稳定的平 直线一级倒立摆的自动起摆与稳摆控制（Simulink仿真）通过对倒立摆系统的力学及运动学分析，建立系统的非线性数学模型为 可见，直线一级倒立摆为单输入双输出系统，利用Simulink可建立上式的框图模型，如图1所示。 图1 直线一级倒立摆系统的非线性Simulink模型 倒立摆的起摆问题，是控制理论中的一个经典实验，其实质是倒立摆系统从一个稳定的平衡状态（垂直向下）在外力的作用下自动转移到另一个平衡状态（垂直向上）。在这个过程中，要求起摆快速，但又不能过于超调。由于输入、输出之间的非线性，许多常用的线性控制理论都不适用。基于非线性理论，目前常用的几种起摆方法为：Bang-Bang控制、能量控制、仿人智能控制等。这里采用Bang-Bang控制作为起摆方法，LQR控制作为稳摆方法，Simulink框图如图2所示。 图2 倒立摆自动起摆控制Simulink框图（Bang-Bang + LQR） 图2中，子系统“Inverted Pendulum”是直线一级倒立摆的非线性模型，如图1所示；S函数“ang_proc”模块用于摆杆角度的处理，即将任意角度信号转换为“ -π ~ π”之间的对应值；子系统“Bang-Bang Controller”为Bang-Bang控制器；子系统“LQR Controller”为LQR 控制器。 双击“Bang-Bang Controller”模块可打开Bang-Bang控制器框图如下： 图3 Bang-Bang控制器框图 图3中，bang_controller是为实现Bang-Bang控制算法而编写的S函数，信号Ang_s是Bang-Bang控制切换角，F_bang是Bang-Bang控制作用力。 双击“LQR Controller”子系统，打开LQR控制器框图如下： 图4 LQR控制器框图 运行图2中的仿真框图，则基于Bang-Bang控制和LQR控制算法的直线一级倒立摆自动起摆控制效果如图5所示。 （a）小车位置设定值x=0 （b）小车位置设定值x=1 图5 倒立摆自动起摆控制效果（Bang-Bang + LQR）一级倒立摆控制方法比较
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