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高等数学(同济第五版)第二章导数与微分 练习题册

高等数学(同济第五版)第二章导数与微分 练习题册
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第二章 导 数 与 微 分

第 一 节 作 业

一、填空题:

1. 假定:,)('0按照导数定义

存在x f

.

)

()(lim

)2(.

)

()(lim

)1(000

000

=

--+=?-?-→→?h

h x f h x f x x f x x f h x

2. 设=?

=

',5

32

2y x

x

x y 则 .

3. 曲线y=e x 在点(0,1)处的切线方程为 .

4. 已知物体的运动规律为 s=t 3

(米),则这物体在t=2(秒)时的速度为 . 二、选择题(单选):

1. 设f(x)=x(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)…(x+100),则f’(1)的值等于: (A )101!; (B )100

!101-

; (C )-100; (D ).99

!100

答:( ) .

1)(;

1)(;

21)

(;

0)(:

)0(',0,00,

1)(.22

-?????=≠-=-D C B A f x x x

e x

f x

为则设

答:( ) 三、试解下列各题:

1. 讨论函数.00

,00,1sin

处的连续性与可导性在=??

???

=≠=x x x x

x y

2. 已知).(',0

,

0,sin )(x f x x x x x f 求???≥<=

3. 设?,,1)(,1

,

1,

)(2应取什么值

处可导在为了使b a x x f x b ax x x x f =??

?>+≤=

四、试证明下列各题:

1. 证明:双曲线xy=a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积等于2a

2.

2. 如果f(x)为偶函数,且f’(0)存在,证明f’(0)=0.

第 二 节 作 业

一、填空题: .

)]sin )(cos cos [(sin .2.

',3ln .12

=

+-=+=x x x x dx

d y x

e y x 则设 二、选择题(单选):

.

)

()()

(;

)()()(;)()()(;)()()(:

,)(,)(00必可导必不可导必不可导必可导处则在不可导可导处设在x g x f D x g x f C x g x f B x g x f A x x g x f x -+ 答:( ) 三、试解下列各题: 1. 设.,cos 2

1sin 4

π

??

ρ???ρ=

+=d d 求

2. 求曲线y=2sinx+x 2上横坐标为x=0的点处的切线方程和法线方程。

第 三 节 作 业

一、填空题: 1. 设==',1arccos

y x

y 则 .

.

)(',1)(',)()(.22

4

=

++===y x x x f x f y y x ??则

且互为反函数与已知

二、选择题(单选) .

23)

(;

21)

(;

2

3)(;

21)(:

)23(',2arcsin cos

.1D C B A y x

y -

-

=的值等于则设

答:( )

.

2sin )(sin

)();

(sin

)(;2sin )()(;

sin )(2)(:

)(sin

),()('.22

2

2

x x g D x g C x x g B x x g A x f dx

d x g x f 等于则设=

答:( ) 三、试解下列各题: ).

0(')2

(

',0

,00,sin

1)(.6.

0162.5.

)()(.0)()(,)(),(.4'.,sin 1sin 1ln

.3'.

,21

12arcsin

2

15.2'.

,1

1arctan

.12

2

2

2

22

f f x x x x

x f e

y y x x g x f y x g x f x g x f y x

x y y x x

x y y x x y x

及试求设相切的直线方程且与曲线求垂直于直线的导数求函数且可导设求设求设求设π??

???=≠===+-+=

≠++-=--

-+-=-+=-

第 四 节 作 业

一、填空题: 1. 设=+

=',21ln 2

y x

ch chx y 则 .

2. 设y=ch(shx),则y’= . 二、试解下列各题:

'.

,.3'.

,ln .2'.

,.11sin

2

y x x x y y x

x y y e

y n

x

求设求设求设++==

=-

三、证明题:

若f(x)为可导的奇函数,则f’(x)为偶函数,并问其逆命题是否成立。

第 五 节 作 业

一、填空题:

1. 设y=(1+x 2)arctanx,则y”= .

2. 若f”(x)存大,y=ln[f(x)],则.2

2

=dx

y d

二、选择题(单选):

.

2

)

(;

2

12

)

(;2

1)

(;

0)

(:)(,2cos 2

sin

)(27

27

27

27

)

27(D C B A f x x x f --

+=的值等于

则若π

答:( )

三、试解下列各题:

1. 求y=xlnx 的n 阶导数的一般公式.

2. 设y=x 2

sin2x,求y (50)

.

第 六 节 作 业

一、填空题:

.

,sin cos )(.2.

)0(',0sin )(.13

3

=?????=====+=dx dy a y a x x y y y ye

y x x y y x

则确定由参数方程设则所确定由方程设?

?

3. 注水入深8米上顶直径8米的正圆锥形容器中,其速率为每分钟4立方米,当水深为5米时,

其液面上升的速率为 . 二、选择题(单选):

.

4ln 1)(;2ln 2

1

)

(;

8)(;

2)()1(',)1(.11

--+=D C B A y x y x 等于

则设

答:( )

:2,)

cos 1(2)sin (.2处的切线方程是上则曲线的参数方程为

已知曲线π

=??

?-=-=t L t y t t w x L

(A )x+y=π; (B )x-y=π-4; (C )x-y=π; (D )x+y=π-4.

三、试解理列各题: 1.设.,)

1()3(25

4

dx

dy x x x y 求

+-+=

.

,)tan()(.3.,23.22

2

22

dx

y d y x y x y y dx y d e

y e x t

t 求

所确定由设求设+==?????==-

一、验证参数方程).(2)(cos sin 2

2

2

y dx

dy x

y x dx

y d y t

e y t

e x t

t

-=+?????==满足关系式

所确定的函数

第 七 节 作 业

一、填空题:

1.已知y=x 2-x,则在x=2处当△x=0.1时的△y= ,dy= .

2.设y=tan 2(1+2x 2),则dy= .

3.=x x d arcsin

( dx.

4.设y=y(x)由xy=e x+y 所确定,则dy = dx.

.

,0)],2([,)()(.53

的线性主部为

关于无穷小量时当又都是可导函数与设x

y x x g f y x g x f ??→?-=

二、选择题(单选):

一切初等函数在其定义区间内:

(A )可微; (B )不可微; (C )连续; (D )有界.

答:( ) 三、试解下列各题: '.

,)(,)()()(.6.

,)(",)()(')('.5.

,1arcsin .4.,11arctan

.3.

,.2.

,)]1[ln(.12

2

2

2

2222

y dy x x f x y xf x f y x y y x y t f t f t tf y t f x dy x y dy x

x y dy e

x y dy x y x

及试求的可微函数

是其中所确定由方程设的微分对求存在且不为零

设已知求求求求=+=?

??-==-=+-==-=

第 八 节 作 业 试解下列各题:

1.利用微计算arcsin0.5002的近似值。

2. 已知测量球的直径D 时有1%的相对误差,问用公式

3

6

D V π=

计算球的体积时,相对误差有多少?

第 二 章 综 合 作 业

一、填空题(每小题4分,共20分):

.

)

()(lim

,,)(.5)1,2(5452.4.

'

),4ln(sin 21.3.

,2.2.,1sin 3cos .12

2

2

3

tan ln =

?-?+?--+-==---=

=

==+=→?=-x

x f x x f x x x f x x x y y x x

x y dy y dt

ds t e

s x x x

t

则有

处的增量是自变量在

是可导函数

设处的法线方程是上点曲线则设则设则

设π

二、选择题(单选)(每小题5分,共20分):

.

0lim )(;

)(;

0)(;

0)(:

,)(.10

0=?=?==?=→?y D dy y C dy B y A x x x f x 则必有处可导在设函数

答:( )

处在则设函数0)(,0,00

,1sin )(.22

=??

???=≠=x x f x x x

x x f : (A )不可导也不连续; (B )连续但不可导; (C )可导但不连续; (D )可导且连续。 答:( ) ).

(')(')();

()(')();(')()()(')();()(')(:,)(),()()(.3a a f D a a f C x a x x x f B x x f A a x x x a x x f φφφφφφφ==-+===-=则必有处连续在其中设函数

答:( )

:0,2

1)(')(.400是处的微分时该函数在

则当有若函数dy x x x x f x f y =→?=

=

(A )与△x 同阶的无穷小,但非等价无穷小; (B )与△x 等价的无穷小;

(C )比△x 低阶的无穷小; (D )比△x 高阶的无穷小。 答:( )

三、试解下列各题(每小题6分,共42分): .

)

()(lim

,)('.7.

,1

32.6.,arctan )1ln(.5".

,1.4'.),0()

(sin .3'.

,)(,)(.2'.

,cos .1)

5(3

452

2

2cos )

(3

a

x x af a xf a f y

x x

x x x y dx y d t

t y t x y xe

y y x x x y y u f e

e f y y x xe y a

x y

x

x f x x

----+-=

???-=+==-<<===

→求存在设求求求求求可导求π

四、设曲线方程e xy -2x-y=3,求此曲线上纵坐标y=0处的切线方程(8分)。

五、设).10(0)(',0

,00,1arctan )(2

分处的连续性在试讨论=??

???

=≠=x x f x x x

x x f

关于导数的29个典型习题

关于导数的29个典型习题 习题1设函数在0=x 的某邻域内1 C 类(有一阶连续导数),且.0)0(,0)0(≠'≠f f 若)0()2()(f h f b h f a -+在 0→h 时是比h 高阶的无穷小,试确定b a ,的值。 解 由题设知 0)0()1()]0()2()([lim 0 =-+=-+→f b a f h f b h f a h . .01,0)0(=-+∴≠b a f 由洛比达法则知 ).0()2(1 ) 2(2)(lim )0()2()(lim 000f b a h f b h f a h f h bf h af h h '+='+'=-+=→→洛,0)0(≠'f 故.02=+b a 联立可 解出.1,2-==b a 习题2 设,0,00,)()(?????=≠-=-x x x e x g x f x 其中)(x g 有二阶连续导数,且1)0(,1)0(-='=g g .(1) 求);(x f '(2) 讨论 )(x f '在),(+∞-∞上的连续性. 解 (1) 当0≠x 时,用公式有 ,)1()()()(])([)(2 2x e x x g x g x x e x g e x g x x f x x x ---++-'=+-+'=' 当0=x 时,用定义求导数,有 .21)0()(lim )0(2 0-''=-='-→g x e x g f x x 二次洛 ???? ?=-''≠++-'='∴-.0,2 1)0(0,)1()()()(2x g x x e x x g x g x x f x (2) 因在0=x 处有 ).0(2 1)0(2)(lim 2)1()()()(lim )(lim 000f g e x g x e x e x g x g x x g x f x x x x x x '=-''=-''=+-+'-''+'='-→--→→洛 而)(x f '在0≠x 处连续,故).,()(+∞-∞∈'C x f 习题3 证明:若022=++++c y b x a y x (圆),其中c b a ,,为定数),04(22>-+c b a 则 =+x d y d dx dy 222 3 2])(1[定数。 证 求导,,022='++'+y b a y y x 即.22b y a x y ++-=' 再导一次,,02222 =''+'+''+y b y y y 即 .2)1(22b y y y +'--='' )(.42 1...1)2(21...)1(22 22 3 2定数c b a y b y y y -+-=='++-=='''+∴

导数与微分练习题答案

高等数学练习题 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 一.填空题 1.若)(0x f '存在,则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在,h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米),则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5(米/秒) 5.曲线x y cos =上点( 3 π ,21)处的切线方程为03 123=- -+π y x ,法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系, 可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠ ? 极限存在。 二、选择题 1.设0)0(=f ,且)0(f '存在,则x x f x ) (lim 0→= [ B ] (A ))(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导,a ,b 为常数,则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] (A ))(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点0x 处连续是在该点0x 处可导的条件 [ B ] (A )充分但不是必要 (B )必要但不是充分 (C )充分必要 (D )即非充分也非必要 4.设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3,则点M 的坐标为 [ B ] (A )(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0) (D) (1,1)

最新同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案8-6

同济大学第六版高等数学上下册课后习题 答案8-6

仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢6 习题8-6 1. 求曲线x =t -sin t , y =1-cos t , 2sin 4t z =在点)22 ,1 ,12 (-π处的切线及法平面方程. 解 x '(t )=1-cos t , y '(t )=sin t , 2 cos 2)(t t z ='. 因为点)22 ,1 ,12 (-π所对应的参数为2 π=t , 故在点)22 ,1 ,12 (-π处的切向量为)2 ,1 ,1(=T . 因此在点)22 ,1 ,12 (-π处, 切线方程为 2 2211121-=-=-+z y x π, 法平面方程为 0)22(2)1(1)12(1=-+-?++-?z y x π, 即42 2+=++πz y x . 2. 求曲线t t x +=1, t t y +=1, z =t 2在对应于t =1的点处的切线及法平面方程. 解 2 )1(1)(t t x +=', 21)(t t y -=', z '(t )=2t . 在t =1所对应的点处, 切向量)2 ,1 ,4 1(-=T , t =1所对应的点为)1 ,2 ,2 1(, 所以在t =1所对应的点处, 切线方程为

仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢6 2 1124 121-=--=-z y x , 即8142121-=--=-z y x ; 法平面方程为 0)1(2)2()2 1(41=-+---z y x , 即2x -8y +16z -1=0. 3. 求曲线y 2=2mx , z 2=m -x 在点(x 0, y 0, z 0)处的切线及法平面方程. 解 设曲线的参数方程的参数为x , 将方程y 2=2mx 和z 2=m -x 的两边对x 求导, 得 m dx dy y 22=, 12-=dx dz z , 所以y m dx dy =, z dx dz 21-=. 曲线在点(x 0, y 0, z 0,)的切向量为)21,,1(0 0z y m -=T , 所求的切线方程为 0000211z z z y m y y x x --=-=-, 法平面方程为 0)(21)()(00 000=---+-z z z y y y m x x . 4. 求曲线???=-+-=-++0 453203222z y x x z y x 在点(1, 1, 1)处的切线及法平面方程. 解 设曲线的参数方程的参数为x , 对x 求导得,

导数与微分测试题及答案(一)

导数与微分测试题(一) 一、选择题(每小题4分,共20分) 1、 设函数10 ()10 2 x x f x x ?≠??=??=?? 在0x =处( ) A 、不连续; B 、连续但不可导; C 、二阶可导; D 、仅一阶可导; 2、若抛物线2y ax =与曲线ln y x =相切,则a 等于( ) A 、1; B 、 12 ; C 、 12e ; D 、2e ; 3、设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导,且0()2f x '=,则0()f x 等于( ) A 、1; B 、 2 e ; C 、 2e ; D 、e ; 4、设函数()f x 在点x a =处可导,则0 ()() lim x f a x f a x x →+--等于( ) A 、0; B 、()f a '; C 、2()f a '; D 、(2)f a '; 5、设函数()f x 可微,则当0x ?→时,y dy ?-与x ?相比是( ) A 、等价无穷小; B 、同阶非等价无穷小; C 、低阶无穷小; D 、高阶无穷小; 二、填空题(每小题4分,共20分) 1、设函数()f x x x =,则(0)f '=______; 2、 设函数()x f x xe =,则(0)f ''=______; 3、 设函数()f x 在0x 处可导,且0()f x =0,0()f x '=1,则 01lim ()n nf x n →∞ + =______; 4、 曲线2 28y x x =-+上点______处的切线平行于x 轴,点______处的 切线与x 轴正向的交角为 4 π 。

5、 d ______ = x e dx - 三、解答题 1、(7分)设函数()()() , ()f x x a x x ??=-在x a =处连续, 求()f a '; 2、(7分)设函数()a a x a x a f x x a a =++,求()f x '; 3、(8分)求曲线 sin cos 2x t y t =?? =? 在 6 t π = 处的切线方程和法线方程; 4、(7分)求由方程 1sin 02 x y y -+=所确定的隐函数y 的二阶导数 2 2 d y dx 5、(7分)设函数1212()()()n a a a n y x a x a x a =--- ,求 y ' 6、(10分)设函数2 12()12 x x f x ax b x ?≤?? =? ?+> ?? ,适当选择,a b 的值,使 得()f x 在12 x = 处可导 7(7分)若2 2 ()()y f x xf y x +=,其中 ()f x 为可微函数,求dy 8、(7分)设函数()f x 在[,]a b 上连续,且满足 ()()0,()()0f a f b f a f b +-''==?>,证明:()f x 在(,)a b 内至少存在一点c ,使得 ()0f c = 导数与微分测试题及答案(一) 一、1-5 CCBCD 二、1. 0; 2. 2; 3. 1; 4.(1,7)、329(, )24 ; 5. x e --; 三、1. 解:()() ()() ()lim lim ()x a x a f x f a x a x f a a x a x a ??→→--'===--;

(完整版)同济大学高等数学上第七版教学大纲(64学时)

福建警察学院 《高等数学一》课程教学大纲 课程名称:高等数学一 课程编号: 学分:4 适用对象: 一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位 高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程,它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性,对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础,也是培养理性思维的重要载体,在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。 (二)教学目标 通过本课程的学习,逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力,尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力,一是为后继课程提供必需的基础数学知识;二是传授数学思想,培养学生的创新意识,逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。 (三)基本要求 1、基本知识、基本理论方面:掌握理解极限和连续的基本概念及其应用;熟悉导数与微分的基本公式与运算法则;掌握中值定理及导数的应用;掌握不定积分的概念和积分方法;掌握定积分的概念与性质;掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面:掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法,培养学生利用微积分解决实际问题的能力。

二、教学内容与要求 第一章函数与极限 【教学目的】 通过本章学习 1、理解函数的概念,了解函数的几种特性(有界性),掌握复合函数的概念及其分 解,掌握基本初等函数的性质及其图形,理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念,掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与 左、右极限之间的关系,了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性, 10、了解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理), 并会应用这些性质。 【教学重点与难点】 本章重点是求函数极限的方法(极限运算法则、两个重要极限、无穷小的比较、初等函数的连续性)。难点是数列、函数极限的证明方法。 【教学内容】 第一节映射与函数 一、映射 1.映射概念

经济数学(导数与微分习题与答案)

第三章 函数的导数与微分 习题 3-1 1. 根据定义求下列函数的导数: (1) x y 1 = (2)x y cos = (3)b ax y +=(a ,b 为常数) (4)x y = 解(1)因为 00()()'lim lim x x y f x x f x y x x ?→?→?+?-==?? =x x x x x ?-?+→?1 1lim 0=01lim ()x x x x ?→-+?=21 x - 所以 21 y x '=- . (2) 因为00cos()cos 'lim lim x x y x x x y x x ?→?→?+?-==?? 02sin()sin 22 lim sin x x x x x x ?→??-+==-? 所以sin y x '=- (3) 因为 00[()][]'lim lim x x y a x x b ax b y x x ?→?→?+?+-+==?? =x x a x ??→?0lim =a 所以y a '= (4) 因为 00'lim lim x x y y x x ?→?→?-==?? = )(lim 0x x x x x x +?+??→? lim x ?→== 所以 y '= . 2. 下列各题中假定)(0' x f 存在, 按照导数的定义观察下列极限, 指出A 表示什么? (1) A x x f x x f x =?-?-→?)()(lim 000 (2) A x x f x =→)(lim 0(其中0)0(=f 且)0(' f )存在) (3) A x f tx f x =-→)0()(lim 0(其中)0(' f 存在)

导数与微分习题(基础题)

导数与微分习题(基础题) 1.设函数()x f y =,当自变量x 由0x 改变到x x ?+0时,相应函数的改变量=?y ( ) A .()x x f ?+0 B .()x x f ?+0 C .()()00x f x x f -?+ D .()x x f ?0 2.设()x f 在0x 处可导,则()()=?-?-→?x x f x x f x 000lim ( ) A .()0x f '- B .()0x f -' C .()0x f ' D .()02x f ' 3.函数()x f 在点0x 连续,是()x f 在点0x 可导的 ( ) A .必要不充分条件 B .充分不必要条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 4.设函数()u f y =是可导的,且2x u =,则=dx dy ( ) A .()2x f ' B .()2x f x ' C .()22x f x ' D .()22x f x 5.若函数()x f 在点a 连续,则()x f 在点a ( ) A .左导数存在; B .右导数存在; C .左右导数都存在 D .有定义 6.()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A .1 B .0 C .-1 D .不存在 7.曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A .8 B .12 C .-6 D .6 8.设()x f e y =且()x f 二阶可导,则=''y ( ) A .()x f e B .()()x f e x f '' C .()()()[]x f x f e x f ''' D .()()[](){} x f x f e x f ''+'2 9.若()???≥+<=0 ,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导,则a ,b 的值应为( ) A .2=a ,1=b B . 1=a ,2=b C .2-=a ,1=b D .2=a ,1-=b

导数与微分习题及答案

第二章 导数与微分 (A) 1.设函数()x f y =,当自变量x 由0x 改变到x x ?+0时,相应函数的改变量=?y ( ) A .()x x f ?+0 B .()x x f ?+0 C .()()00x f x x f -?+ D .()x x f ?0 2.设()x f 在0x 处可,则()()=?-?-→?x x f x x f x 000lim ( ) A .()0x f '- B .()0x f -' C .()0x f ' D .()02x f ' 3.函数()x f 在点0x 连续,是()x f 在点0x 可导的 ( ) A .必要不充分条件 B .充分不必要条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 4.设函数()u f y =是可导的,且2x u =,则=dx dy ( ) A .()2x f ' B .()2x f x ' C .()22x f x ' D .()22x f x 5.若函数()x f 在点a 连续,则()x f 在点a ( ) A .左导数存在; B .右导数存在; C .左右导数都存在 D .有定义 6.()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A .1 B .0 C .-1 D .不存在 7.曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A .8 B .12 C .-6 D .6 8.设()x f e y =且()x f 二阶可导,则=''y ( ) A .()x f e B .()()x f e x f '' C .()()()[]x f x f e x f ''' D .()()[](){} x f x f e x f ''+'2 9.若()???≥+<=0 ,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导,则a ,b 的值应为( ) A .2=a ,1=b B . 1=a ,2=b C .2-=a ,1=b D .2=a ,1-=b

导数与微分练习题

题型 1.由已知导数,求切线的方程 2.对简单的、常见函数进行求导 3.对复合函数、隐函数、对数求导法进行求导 4.参数方程与一些个别函数的应用 5.常见的高阶导数及其求导 内容 一.导数的概念 1.导数的定义 2.导数的几何意义 3.导数的物理意义 4.可导与连续之间的关系 二.导数的计算 1.导数的基本公式 2.导数的四则运算法则 3.反函数的求导法则 4.复函数的求导法则 5.隐函数的求导 6.参数方程所确定的函数的导数 7. 对数求导法 8.高阶导数

三.微分 1.微分的定义 2.可导与可微的关系 3.复合函数的微分法则 4.微分在近似计算中的应用 典型例题 题型I 利用导数定义解题 题型II 导数在几何上的应用 题型III 利用导数公式及其求导法则求导 题型IV 求高阶导数 题型V 可导、连续与极限存在的关系 自测题二 一.填空题 二.选择题 三.解答题 4月9日微分练习题 基础题: (一)选择题 1.若 ? ??≥+<+=1,1,3)(2x b ax x x x f 在1=x 处可导,则( ) A. 2,2==b a B. 2,2=-=b a C. 2,2-==b a D. 2 ,2-=-=b a

2. 设 0'()2f x =,则000 ()() lim x f x h f x h h ?→+--=( ). A 、不存在 B 、 2 C 、 0 D 、 4 3. 设 )0()(32>=x x x f , 则(_))4(='f A.2 B.3 C.4 D.5 4.已知函数)(x f 具有任意阶导数,且2)]([)(x f x f =',则当n 为大于 2的正整数时, )(x f 的n 阶 导数 )()(x f n 是( )。 A 、1)]([+n x f n B 、1)]([!+n x f n C 、n x f 2)]([ D 、n x f n 2)]([! (二)填空题 5. 设 2 sin x e y = ,则=dy _____. 6.已知 x y 2sin =,则) (n y = . 7.设函数 ()y y x =由参数方程(),()x x y y θθ==确定,()x θ与()y θ均可导,且00()x x θ=, '0()2x θ=, 2x x dy dx ==,则'0()y θ= . 8.设 0,sin )(>=a x x f ,则=--→h a f h a f h 2) ()(lim ; 9. 已知设 cos2x y e = ,则=dy ____ _. 10. sin x y x = ,则2 x dy π==_____________ 11. 已知函数()x f x xe =,则(100)()f x = . 12. 设 )]([22x f x f y +=, 其中)(u f 为可导函数, 则 =dx dy 13.2 x x y =,则 dx dy .=______ 14. 已知函数)100()2)(1()(---=x x x x x f ,则)0('f = 15. 设函数,22x x y -+=求.) (n y . 综合题: (三)解答题 16. 求与抛物线2 25y x x =-+上连接两点(1,4)P 与(3,8)Q 的弦平行,且与抛物线相切的

导数及其应用典型例题

第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 【知识点归纳】 1.平均变化率: 2.瞬时速度: 3.导数及导函数的概念: 4.导数的几何意义: 拓展知识: 5.平均变化率的几何意义: 6.导数与切线的关系: 【典型例题】 题型一 求平均变化率: 例 1.已知函数2 ()21y f x x ==-的图像上一点(1,1)及其邻近一点(1,1)x y +?+?,则y x ??=_______. 变式训练: 1.以00(0)v v >速度竖直向上抛出一物体,t 秒时的高度为201()2 s t v t gt =-,求物体在0t 到0t t +?这段时间的平均速度v . 2.求正弦函数sin y x =在0x =和2x π= 附近的平均变化率,并比较他们的大小.

题型二 实际问题中的瞬时速度 例 2 已知质点M 按规律223s t =+做直线运动(位移单位:cm ,时间单位:s ) (1)当2,0.01t t =?=时,求s t ??;(2)当2,0.001t t =?=时,求s t ??; (3)求质点M 在t=2时的瞬时速度. 题型三 求函数的导数及导函数的值 例 3求函数1y x x =-在1x =处的导数. 题型四 曲线的切线问题 例 4 (1)已知曲线22y x =上一点A (1,2),求点A 处的切线方程. (2)求过点(-1,-2)且与曲线32y x x =-想切的直线方程. (3)求曲线321()53f x x x = -+在x=1处的切线的倾斜角. (4)曲线3y x =在点P 处的切线斜率为3,求点P 的坐标.

同济第六版《高等数学》教案WORD版-第06章定积分的应用

第六章定积分的应用 教学目的 1、理解元素法的基本思想; 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体 积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积)。 3、掌握用定积分表达和计算一些物理量(变力做功、引力、压力和函数的平均值等)。教学重点: 1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知 的立体体积。 2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 教学难点: 1、截面面积为已知的立体体积。 2、引力。 §6. 1 定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积: 设y=f (x)≥0 (x∈[a,b]).如果说积分, ?=b a dx x f A) (是以[a,b]为底的曲边梯形的面积,则积分上限函数 ?=x a dt t f x A)( ) ( 就是以[a,x]为底的曲边梯形的面积.而微分dA(x)=f (x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值?A≈f (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素. 以[a,b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式,以 [a,b]为积分区间的定积分: ?=b a dx x f A) (. 一般情况下,为求某一量U,先将此量分布在某一区间[a,b]上,分布在[a,x]上的量用函数U(x)表示,再求这一量的元素dU(x),设dU(x)=u(x)dx,然后以u(x)dx为被积表达式,以[a,b]为积分区间求定积分即得 ?=b a dx x f U) (. 用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法). §6. 2 定积分在几何上的应用

导数与微分练习题答案

高等数学练习题 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 一.填空题 1.若)(0x f '存在,则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在,h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米),则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5(米/秒) 5.曲线x y cos =上点( 3 π ,21)处的切线方程为03 123=- -+π y x ,法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系, ; 可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠ ? 极限存在。 二、选择题 1.设0)0(=f ,且)0(f '存在,则x x f x ) (lim 0→= [ B ] (A ))(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导,a ,b 为常数,则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] (A ))(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点 x 处连续是在该点 x 处可导的条件 [ B ] (A )充分但不是必要 (B )必要但不是充分 (C )充分必要 (D )即非充分也非必要 4.设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3,则点M 的坐标为 [ B ]

高等数学同济第五版第6章答案

习题6-2 1. 求图6-21 中各画斜线部分的面积: (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 6 1]2132[)(102310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A , 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1, e ]. 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e . (3)

解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-3, 1]. 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A . (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-1, 3]. 所求的面积为 3 32|)313()32(31323 12=-+=-+=--?x x x dx x x A . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 221x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算); 解: 3 88282)218(22 0220220220221--=--=--=????dx x dx x dx x dx x x A 3 4238cos 16402+=-=?ππ tdt .

346)22(122-=-=ππS A . (2)x y 1=与直线y =x 及x =2; 解: 所求的面积为 ?-=-=2 02ln 2 3)1(dx x x A . (3) y =e x , y =e -x 与直线x =1; 解: 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x . (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解

高等数学(同济大学第五版)第六章_定积分的应用

高等数学(同济大学第五版)第六章_定积分的应用习题 6 2 1, 求图 6 21 中各画斜线部分的面积: (1) 解画斜线部分在 x 轴上的投影区间为[0~ 1], 所求的面积为 3 1 1]2 1( ) [ , 122 , A x x dx x x ,00, .3 2 6 (2) 解法一画斜线部分在 x 轴上的投影区间为[0~ 1], 所求的面积为 1 0 ( ) ( )| 11, , , ,A e e dx ex e ~0 xx 解法二画斜线部分在 y 轴上的投影区间为[1~ e], 所求的面积为 e e ( 1) 1ln ln |, , , ,,A ydy y y dy e e ,e ,111 (3)

解画斜线部分在 x 轴上的投影区间为[ 3~ 1], 所求的面积为 1 32[(3 ) 2 ]3 2, , , A x x dx , 3 (4) 解画斜线部分在 x 轴上的投影区间为[ 1~ 3], 所求的面积为 3 32)|1(2 3 ) ( 3 31321 2, , , ,,A x x dx x x x , , 3 3 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) y , 1 x2 与x2,y2,8(两部分都要计算),

2 解: 2 2 2 2 2 2 2 82 8) 2 812 ( 8 , , ,0000 2 21 , , ,, x dxx dx x dxx x dxA 2 3 8 216 cos40 2 , ,, , tdt ,4 3 3 42) 612 , S ,(22 ,A 3 (2) y , 1 与直线 y,x 及 x,2, x 解: 所求的面积为 2 3 ,,A , 0 ln 2)1( , dxxx 2 (3) y,ex~ y,e x与直线x,1, 解:

微积分典型例题和重点知识点

微积分典型例题和重点知识点 1. 重点掌握定义域-习题1-2中的2,4(17页) 2. 习题1-3中的1-2-3-6-8(23页) 3. 左右极限法-例6,课后习题1. 4.6 4. 无穷小与无穷大---定义1/定理3习题4 5. 极限运算法则--定理1,例5/习题中1的2-5-610-14-15/2 的3/3 6. 单调有界准则中的准则2/两个重要极限/习题1的3,4/2的4,7/4 7. 无穷小的比较---习题1/2/3/5的2-3-5 8. 函数的连续与间断---定义1/定义2/习题2 的2/4的3/6 9. 连续函数的运算与性质-习题1/2/4/6 10. 总习题1的1-8-26-29-33-34-35 11. 导数的概念-例2/例3 12. 函数的求导法则-定理1/复合函数的求导法则/例9-注意化简/例10/基本求导公式/习题1的2-4-5-9-10/2 的1/4 的3-5-6-8/5的1-2-5-8/6的2 13. 高阶导数==与隐函数求导结合出题---习题1的4-5/4/6的3 14. 隐函数的求导数---例2/例3/习题中1 的2-5,2的2-3,3的3 15. 函数的微分-例3 /例4 16. 总复习题1-2-10-13-14-21-23-25 17. 中值定理---习题1-3-5(重点证明题)-10的1-11========[证明一个中值的等式或根的存在,多用罗尔定理,可用原函数找辅助函函数]=========[注意洛必达法则失败的情况]==习题1 的3-5-6-910-11-12-14-17 18. 函数凹凸性:定理2/例6/例8/习题4 的2-3,6的2 19. 习题3-5中的8 20. 导数在经济学中的应用---例3(应用题)/例4/例5 /例6/习题的5-9-10 21. 总复习题1 的2/13 的1-5/24的1 22. 不定积分----例4(可能与不定积分结合)/性质1性质2(可能出选择题)/基本积分表/例8/例9/习题1 的7-10-12/3/4====有一个会有第一类间断点的函数都没有原函数 23. 换元积分法---例2 /例3/例6/常用凑微分公式/习题2 的7-8-10-11-12/3的1/4 24. 分部积分法----按”反-对-幂-三-指”的顺序,在前的设为U,在后的设为V/例3/例4/例10/习题1的2-5-14/3 25. 注意---------------------微积分重点小节是:1.7-----1.8----2.2-----2.4-----3.2-----3.7------4.2------4.3----- 计算题4题分别是分步积分凑积分法极限隐函数的求导 应用题的是弹性函数和利用函数求最值 以上是其他老师划的一些重点知识和例题,习题,请各位同学根据老师讲的内容并结合自身复习情况,做适当的调整

高中数学导数及微积分练习题

高中数学导数及微积分练 习题 Newly compiled on November 23, 2020

1.求导:(1)函数y= 2cos x x 的导数为-------------------------------------------------------- (2)y =ln(x +2)-------------------------------------;(3)y =(1+sin x )2------------------------ ---------------------- (4)y =3x 2+x cos x ------------------------------------ ;(5)y =x 2 cos(2x -π3)---------------------------------------- . (6)已知y = ln 3x e x ,则y ′|x =1=________. 2.设1ln )(2+=x x f ,则=)2('f ( ). (A).54 (B).5 2 (C).51 (D).5 3 3.已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ,)0,(2x ,且)(x f 在1x =-,2=x 时取得极值,则21x x ?的值为( ) (A).4 (B).5 (C).-6 (D).不确定 5.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ,则其表面积最小时,底面边长为( ). (A).3V (B).32V (C).34V (D).32V 6.由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是( ). (A).18 (B).338 (C).316 (D).16 7.曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1,则=a _________ 。 8.已知抛物线2y x bx c =++在点(12),处的切线与直线20x y ++=垂直,求函数2y x bx c =++的最值. 9.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的 极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线,求此切线方程. 10、已知f (x )=x 3+ax 2+bx+c ,在x =1与x =-2时,都取得极值。 ⑴求a ,b 的值;⑵若x ∈[-3,2]都有f (x )>112 c -恒成立,求c 的取值范围。 11.设a 为实数,函数()a x x x x f +--=23。(1)求()x f 的极值;(2)当a 在什么范围内取值时,曲线()x f y =与x 轴仅有一个交点

高等数学(同济第五版)第二章导数与微分-练习题册

第二章 导 数 与 微 分 第 一 节 作 业 一、填空题: 1. 假定:,)('0按照导数定义存在x f . ) ()(lim )2(. ) ()(lim )1(000000=--+= ?-?-→→?h h x f h x f x x f x x f h x 2. 设=?= ',5 32 2y x x x y 则 . 3. 曲线y=e x 在点(0,1)处的切线方程为 . 4. 已知物体的运动规律为 s=t 3(米),则这物体在t=2(秒)时的速度为 . 二、选择题(单选): 1. 设f(x)=x(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)…(x+100),则f’(1)的值等于: (A )101!; (B )100!101- ; (C )-100; (D ).99 ! 100 答:( ) . 1)(; 1)(;2 1 ) (; 0)(: )0(',0,00 ,1)(.22 -?????=≠-=-D C B A f x x x e x f x 为则设 答:( ) 三、试解下列各题: 1. 讨论函数.00, 00 ,1sin 处的连续性与可导性在=????? =≠=x x x x x y

2. 已知).(',0, ,sin )(x f x x x x x f 求???≥<= 3. 设?,,1)(,1 ,1 ,)(2应取什么值处可导在为了使b a x x f x b ax x x x f =???>+≤= 四、试证明下列各题: 1. 证明:双曲线xy=a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积等于2a 2. 2. 如果f(x)为偶函数,且f’(0)存在,证明f’(0)=0.

同济大学(高等数学)-第三篇-常微分方程

第三篇 常微分方程 第六章 常微分方程 函数是研究客观事物运动规律的重要工具,找出函数关系,在实践中有重要意义.但是在许多问题中,常常不能直接找出这种函数关系,但却能根据问题所处的环境,建立起这些变量和它们的导数(或微分)之间的方程,这样的方程称为微分方程. 在本章中,主要介绍常微分方程的基本概念和几种常用的常微分方程的解法. 第一节 微分方程的概念 下面我们通过两个例子来说明常微分方程的基本概念. 1.1 引例 引例1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点),(y x P 处的切线斜率为x 2,求这条曲线方程. 解 设所求曲线方程为()y f x =,且曲线上任意一点的坐标为),(y x .根据题意以及导数的几何意义得 x dx dy 2=. 两边同时积分得 2y x c =+ (c 为任意常数). 又因为曲线通过(1,2)点,把1x =,2y =代入上式,得1=c .故所求曲线方程为 21y x =+. 引例2 将温度为C ο100的物体放入温度为C ο0的介质中冷却,依照冷却定律,冷却的速度与温度T 成正比,求物体的温度T 与时间t 之间的函数关系. 解 依照冷却定律,冷却方程为 kt dt dT -= (k 为比例常数), 所求函数关系满足0t =,100T =. 以上我们仅以几何、物理上引出关于变量之间微分方程的关系. 下面我们介绍有关微分方程基本概念. 1.2 微分方程的基本概念

定义1 含有未知函数以及未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程.在微分方程中,若未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程.若未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程. 例如 下列微分方程中, (1) 13=-'x y ; (2)sin 0dy y xdx +=; (3)21 ()20y y x '''+ += (4)22221u u x y ??+=??; (5)cos 3dy y x dx +=. 都是微分方程,其中(1)、(2)、(3)、(5)是常微分方程,(4)是偏微分方程. 本课程只讨论常微分方程. 定义2 微分方程中含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶. 在上例中,(1)、(2)、(5)是一阶常微分方程,(3)是二阶常微分方程. 一般地,n 阶微分方程记为: 0) , , , ,()(='n y y y x F . 定义3 若将()y f x =代入微分方程中使之恒成立,则称()y f x =是微分方程的解(也称显式解);若将0),(=y x ?代入微分方程中使之恒成立,则称关系式0),(=y x ?是微分方程的隐式解. 定义4 微分方程的解中含有任意常数,并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解称为微分方程的通解. 引例1中,积分后得到C x y +=2为微分方程的通解,由于通解中含有任意常数,所以它不能完全确定地反映客观事物的规律性,必须确定这些常数,为此,要根据实际问题,提出确定通解中的常数的条件. 设微分方程中未知函数)(x y y =,如果微分方程是一阶的,确定任意常数的条件是 00 y y x x ==;如果微分方程是二阶的确定任意常数的条件是00 y y x x ==,10 y y x x ='=,上述 这些条件叫做初始条件. 定义 5 求解微分方程),(y x f y ='满足初始条件00 y y x x ==的特解问题称为一阶微分 方程的初值问题.记作 ?????=='=00 ) ,(y y y x f y x x . 例1 验证at c at c x sin cos 21+=是微分方程 02=+''x a x 的解.

高考数学 导数及其应用的典型例题

第二部分 导数、微分及其导数的应用 知识汇总 一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则 若)(u f y =与)(x u φ=均可导,则[])(x f y φ=也可导,且dx du du dy dx dy ?= 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则 若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数,且)(y φ单调、可导,则 ) (1 )(y x f φ'= ',即dy dx dx dy 1= 5.隐函数求导法 求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导(注意其中变量y 是x 的函数),然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法 对数求导法是先取对数,然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题: (1)幂指数函数y=)()(x v x u ;(2)由若干个因子的乘积或商的显函数,如 y= 34 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则 设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x),其中)(),(t t ?φ

可导,且)(t φ'≠0,则y=f(x)可导,且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法 二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = ', (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αααααα)1()2()1()()( (2) x n x e e =)()( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln() (1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax

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