2015江苏省南京市高三数学二轮专题复习：解析几何

解析几何二轮复习建议

引入坐标系，使点与坐标，曲线与方程联系起来的坐标方法对于数学发展起了巨大的作用。用坐标法研究曲线（几何图形），实际上要解决两个问题：第一是由曲线（几何图形）求方程；第二是利用方程讨论曲线（几何图形）的性质。由曲线求方程，要解决如何将曲线上的点所满足的条件转化为曲线上点的坐标所适合的方程；在解析几何里，所讨论的曲线的性质通常包括：曲线的范围，曲线的对称性，曲线的截距，以及不同曲线所具有的一些特殊性质，例如过定点，过定线，最值等一些不变（量）性。用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题，问题的大小、深浅差别很大。

坐标法是借助坐标系，以代数中数与式、方程的知识为基础来研究几何问题的一种数学方法。因此，要有一定的代数知识基础，特别是代数式变形和解方程组的能力要求较高。

以下解析几何二轮复习建议，仅供参考。 基本题型一：求基本量

1．直线的几何量主要是斜率、倾斜角、截距；圆的几何量主要是圆心、半径。这些量主要通过两直线的平行与垂直、线性规划、直线与圆的位置关系等进行综合，作为题中的一个点出现．

2．圆锥曲线的几何量主要包括轴、轴长、顶点、焦距、焦点、准线、渐近线、离心率。在已知方程求有关量时，首先是把方程化为标准方程，找准a ，b ，c ，p 的值，二是记准相应量的计算公式．在已知图形中求有关量时，要明确各个量的几何意义和图形中的特征求方程或不等式求几何量．

例1．直线l ：3x －y ＋m ＝0与圆C ：x 2

＋y 2

－2x －2＝0相切，则直线l 在x 轴上的截距_____．

解：因为⊙C 方程可化为(x －1)2

＋y 2

＝(3)2，所以圆心C (1，0)，半径r ＝3，因为直线l 与圆C 相切，直线C 到l 的距离等于r ，即∣3?1－1?0＋m ∣2＝3，解得m ＝－33或3． 当m ＝3时，直线l 方程为3x －y ＋3＝0，在x 轴上的截距为－1； 当m ＝－33，直线l 方程为3x －y ＋－33＝0，在x 轴上的截距为3．

例2．设椭圆x 2

m 2＋y 2

m 2－1＝1(m ＞1)上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 到右准线的

距离为___________

解：根据椭圆定义得2a ＝1＋3，a ＝2，即m ＝2，b ＝m 2

－1＝3，c ＝1，e ＝c a ＝12，根据第二定义得P 到右准线距离为2．

例3．如图，F 1和F 2分别是双曲线x 2

a 2－y

2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为___________．

解法一：不妨设OF 2＝1，因为OF 1＝OF 2＝OA ，

所以△AF 1F 2为直角三角形．所以AF 1＝1．

所以2a ＝AF 2－AF 1＝3－1,又2c ＝2，所以e ＝c

a ＝3＋1． 解法二：连接OA ，由△ABF 2为等边三角形，可得 A 点的坐标为(－12c ，3

2c )．

因为A 在双曲线上，所以(－12c )2a 2－(32c )2b 2＝1，即14e 2－34e 2

e 2－1＝1，去分母整理得e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2

＝

4±23，e ＝3±1．因为e ＞1，所以e ＝3＋1．

例4．已知抛物线C ：y 2

＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK ＝2AF ，则△AFK 的面积为____________．

解：如图，过A 作AH ⊥l ，垂足为H ，由抛物线的定义可知，

AF ＝AH ，又AK ＝2AF ，所以AK ＝2AH ，因为∠AHK ＝90?， 所以∠AKH ＝45?，所以KH ＝AH ＝y A ．所以AF ＝y A ．即AF ⊥x 轴． 所以AF ＝FK ＝4，S △AFK ＝8．

例5．椭圆122

22=+b

y a x )0(>>b a 的右焦点F ，其右准线与x 轴

的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 ．

分析：由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，即F 点到P 点与A 点的距离相等，

FA PF =。如果我们考虑几何的大小，易知PF 不超过c a +，得到一个关于基本量a ，b ，c ，

e 的不等式，从而求出离心率e 的范围；如果我们考虑，通过设椭圆上的点),(y x

P ，注意到椭圆本身的

范围，也可以求出离心率e 的范围。

解法1：由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，所以

FA PF =，

而

c c

a FA -=2

，c a PF +≤，

所以c a c c

a +≤-2

，所以222c ac a +≤。 又a

c e

=

，所以122

≥+e e

，所以0122≥-+e e ，

即0)1)(12(≥+-e e ，又10<

12

1

<≤e *解法2：设点),(y x P 。由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，所以FA PF =，

由椭圆第二定义，

e x c

a PF =-2

，所以

ex a ex e c

a PF -=-=2

，

而，

c c

a FA -=2

，

所以c c a ex a -=-2，解出)(12

c a c a e x -+=， 由于a x a ≤≤-，所以a c

a c a e a ≤-

+≤-)(12，又a c

e =，所以0122

≥-+e e

，

即0)1)(12(≥

+-e e ，又10<

12

1

<≤e 基本题型二：求曲线方程

1．已知曲线的类型求曲线方程的基本方法：直接法与待定系数法。在用直接法求方程时，要注意条件的转化方向和手段，在用待定系数法求方程时，要注意方程形式的选择标准和一些常用的设方程的技巧。 2．求一般轨迹方程常用方法：直接（译）法、参数法和数形结合法。以直接（译）法为主，强化曲线与方程的对应关系，掌握求曲线方程的一般步骤。也是注意，相关点法、参数法和数形结合法，有利于拓展思考问题的思路。

例6．已知直线l 经过点P (－1，1)，它被两平行直线l 1：x ＋2y －1=0及l 2：x ＋2y －3=0所截得的线段M 1M 2的中点M 在直线l 3：x －y －1=0上，试求直线l 的方程．

解法一：（1）当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程是x ＝－1，与直线l 1，l 2的交点分别为M 1(－1，1)，M 2(－

1，2)．线段M 1M 2的中点(－1，3

2)不在直线l 3上，不合．

（2）当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋1)，分别与l 1，l 2联列解得M 1(－1，1)，M 2(

1－2k

1＋2k

，1＋4k 1＋2k ），线段M 1M 2的中点为M (－2k 1＋2k ，1＋3k 1＋2k ），因为M 在直线l 3上，代入得，k ＝－2

7．代入得直线l 的方程为2x ＋7y －5＝0．

解法二：因为被两平行直线l 1，l 2所截线段M 1M 2的中点在与l 1，l 2平行且与l 1，l 2等距离的直线上，而与l 1，l 2平行且与l 1，l 2等距离的直线方程为x ＋2y －2＝0，又由已知线段M 1M 2的中点M 在直线l 3：x －y －1=0上，所以由方程组???x ＋2y －2＝0，x －y －1=0解得线段M 1M 2中点M 的坐标为(43，13)．从而直线l 经过点P (－1，1)和

M (43，1

3)，代入两点式得直线l 的方程为2x ＋7y －5＝0．

例7．已知点A (2，2)，B (3，－1)，C (5，3)，求△ABC 内切圆的方程.

解：代入两点式得三边的方程分别是AB ：3x ＋y －8＝0，BC ：2x －y －7＝0，CA ：x －3y ＋4＝0．设△ABC 的内心坐标为I (a ，b )，则由I 到三边的距离相等得∣3a ＋b －8∣

10

＝

∣2a －b －7∣5＝∣a －3b ＋4∣

10

，根据I 的位置和线性规划知识，可以去绝对值得

＋(3a ＋b －8)10＝－(2a －b －7)5＝＋(a －3b ＋4)

10， 化简得???a ＋2b =6，(3＋22)a －(2－1)b =8＋72．

解得a ＝6－22，b ＝2．

半径r ＝－(2a －b －7)5＝－5－52

5

＝10－5．

所以内切圆的方程为(x －6＋22)2

＋(y －2)2

＝(10－5)2

．

例8．已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长与短轴长的比为2，且过点(－2，3)，则该椭圆的方程是_______________． 解：根据条件可知椭圆为标准方程．

（1）当焦点在x 轴上时，设椭圆的方程为x 2

a 2＋y

2

b 2＝1(a ＞b ＞0)． 由条件得?????2a 2b =2，(－2)2a

2＋(3)2

b 2=1．解得???a =2

2，

b =2.

所求的椭圆方程为x 28＋y

2

4＝1．

（2）当焦点在y 轴上时，设椭圆的方程为y 2a 2＋x

2

b 2＝1(a ＞b ＞0) ．

由条件得?????2a 2b =2，(3)2

a 2＋(－2)

2b 2=1．解得???a 2=7，

b 2=72.所求的椭圆方程为 y 2

7＋2x

2

7＝1．

例9．如图，在以点O 为圆心，AB ＝4为直径的半圆ADB 中，OD ⊥AB ，P 是半圆弧上一点，∠POB ＝60?，曲线C 是满足MA ＋MB 为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P ．求曲线C 的方程． 解：如图建立平面直角坐标系， 因为曲线C 过点P ，

所以MA ＋MB 为定值就是PA ＋PB ，根据条件求得 PA ＋PB ＝2(1＋3)，所以MA ＋MB ＝2(1＋3)＞AB ．

根据椭圆定义可知，点M 的轨迹是以A ，B 为焦点，且长轴长为2(1＋3)

的椭圆，在所建的坐标系中，方程形式为x 2

a 2＋y

2

b 2＝1(a ＞b ＞0)． 根据条件得a ＝1＋3，

c ＝2，b 2

＝a 2

－c 2＝12， 所以曲线C 的方程为x 2

4＋23＋y

212＝1．

例10．椭圆E 经过点()2,3A ，对称轴为坐标轴，焦点12

,F F 在x 轴上，离心率12

e

=

。 (Ⅰ)求椭圆E 的方程；

(Ⅱ)求12F AF ∠的角平分线所在直线l 的方程。

解：（Ⅰ）设椭圆E 的方程为12222=+b

y a x ，

由21=

e

，得2

1=a c ，2

2223c c a b =-=， 所以1342

222=+c

y c x ，将A 点代入，得42

=c ， 所以椭圆E

的方程为：

112

162

2=+

y x

（Ⅱ）由（Ⅰ）知)0,2(1-F ，)0,2(2F ，所以直线1AF 方程为)2(4

3

+=

x y ，即0643=+-y x ，直线

2AF 方程为2=x 。

由椭圆E 的图形知，21AF F ∠的角平分线所在直线的斜率为正数。 设),

(y x P 为21AF F ∠的角平分线所在直线上任意一点，则有

2

5

6

43-=+-x y x ，

若105643-=+-x y x ，得082=-+y x ，其斜率为负，不合题意，舍去。 于是1056

43+-=+-x y x ，即012=--y x ，

所以，21AF F ∠的角平分线所在直线方程为012=--

y x 。

例11．在直角坐标系xOy 中，中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 上的点（22，1）到两焦点的距离之和为43．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴下方，且AF →＝3FB →

．求过O ，A ，B 三点的圆的方程．

解：（1）由题意，设椭圆C ：x 2

a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)，则2a ＝43，a ＝23．

因为点(22，1)在椭圆x 2

a 2＋y 2

b 2＝1，所以812＋1

b 2＝1，解得b ＝ 3 所以所求椭圆方程为x 2

12＋y

23＝1．

（2）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1＜0，y 2＞0)．点F 的坐标为F （3，0）． 由AF →＝3FB →，得???3－x 1＝3(x 2－3)，－y 1＝3y 2，

即???x 1＝－3x 2＋12，y 1＝－3y 2， ① 又A ，B 在椭圆C 上，

所以?????(－3x 2＋12)2

12＋(－3y 2)2

3＝1，x 2212＋y 22

3＝1，

解得?????x 2＝103，

y 2＝2

3．

所以B (103，2

3)，代入①得A 点坐标为(2，－2)． 因为OA →·AB →

＝0，所以OA ⊥AB ．

所以过O ，A ，B 三点的圆就是以OB 为直径的圆， 其方程为x 2＋y 2

－103x －23y ＝0． 基本题型三：研究曲线性质

1．定值问题：解决定值问题主要通过两类方法，一是通过特殊位置得出定值，然后通过证明在一般位置也成立．二是通过把所要证明为定值的量表示为另外一个或两个引起变化的量的函数或方程，然后通过化简变形，证明结果与引起变化的量无关．

2．范围问题：主要通过寻找所求量的不等式或不等式组，然后解不等式或不等式组得到范围．或通过构造所求量的函数，然后研究此函数的定义域或值域等求出范围．

例12．设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．

（1）若?→ED ＝6?→

DF ，求k 的值；（2）求四边形AEBF 面积的最大值． 解：（1）依题设得椭圆的方程为x 2

4＋y 2＝1， 直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0)． 如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2． 且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2

)x 2

＝4，故x 2＝－x 1＝

2

1＋4k

2．①

由?→ED ＝6?→DF 知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 0)＝57x 2＝10

71＋4k

2，

由D 在AB 上知x 0＋2kx 0＝2，得x 0＝

21＋2k ．所以21＋2k ＝1071＋4k 2

， 化简得24k 2

－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38．

（2）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E ，F 到AB 的距离分别为 h 1＝|x 1＋2kx 1－25＝2(1＋2k ＋1＋4k 2

)5(1＋4k 2)，h 2＝|x 2＋2kx 2－25＝2(1＋2k －1＋4k 2

)5(1＋4k 2

)． 又AB ＝5，所以四边形AEBF 的面积为S ＝12AB ?(h 1＋h 2)＝1

2?5?4(1＋2k )5(1＋4k

2)＝2(1＋2k )1＋4k

2

＝2

1＋4k 2

＋4k

1＋4k

2≤22． 当2k ＝1，即当k ＝1

2时，上式取等号．所以S 的最大值为22．

解法二：由题设，|BO |＝1，|AO |＝2．设F (2cos θ，sin θ)，θ∈(0，π

2)，则E (－2cos θ，－sin θ)，故四边形AEBF 的面积为S ＝S △BEF ＋S △AEF ＝12BO ?[2cos θ－(－2cos θ)]＋12AO ?[sin θ－(－sin θ)]＝2cos θ＋2sin θ＝22sin(θ＋π

4)，当

θ＝π

4时，S 有最大值22．

例13．已知圆C 的方程为x 2

＋y 2

－6x －2y ＋5＝0，过点P (2，0)的动直线l 与圆C 交于P 1，P 2两点，过点P 1，P 2分别作圆C 的切线l 1，l 2，设l 1与l 2交于为M ，求证：点M 在一条定直线上，并求出这条定直线的方程． 解法一：因为⊙C ：(x －3)2

＋(y －1)2

＝5，所以圆心C 为(3，1)．设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，因为P 1M ⊥CP 1，所以?→MP 1??→CP 1＝0．所以(x 1－x 0)(x 1－3)＋(y 1－y 0)(y 1－1)＝0，即(x 1－3)2＋(3－x 0)(x 1－3)＋(y 1－1)2＋(1－y 0)(y 1－1)＝0，因为(x 1－3)2

＋(y 1－1)2

＝5，所以(x 0－3)(x 1－3)＋(y 0－1)(y 1－1)＝5，

同理(x 0－3)(x 2－3)＋(y 0－1)(y 2－1)＝5．所以过点P 1，P 2的直线方程为(x －3)(x 0－3)＋(y －1)(y 0－1)＝5．因直线P 1P 2过点(2，0)．所以代入得(2－3)(x 0－3)＋(0－1)(y 0－1)＝5，即x 0＋y 0＋1＝0．所以点M 恒在直线x ＋y ＋1＝0上．

解法二：设M (x 0，y 0)，则以MC 为直径的圆C 1的方程为(x －x 0)(x －3)＋(y －y 0)(y －1)＝0，即

x 2

＋y 2

－(x 0＋3)x －(y 0＋1)y ＋3x 0＋y 0＝0，由平面几何知识可得，过M 作⊙C 的两条切线的切点分别为P 1，P 2，直线P 1P 2的方程即为⊙C 与⊙C 1公共弦所在直线方程，从而由⊙C 与⊙C 1方程相减得直线P 1P 2的方程为（x 0－3)x ＋(y 0－1)y ＋5－3x 0－y 0＝0，因为直线P 1P 2过点P (2，0)，代入得x 0＋y 0＋1＝0，即点M 恒在直线x ＋y ＋1＝0上．

例14．在平面直角坐标系xoy 中，已知圆2

21:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=.

（1）若直线l 过点

(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标。解：(1)设直线

l

的方程为：

(4)y k x =-，即

40kx y k --=

由垂径定理，得：圆心

1

C 到直线

l

的距离

1d ==，

1,

=

化简得：2

7

2470,0,,

24

k k k or k

+===-

求直线l的方程为：0

y=或7(4)

24

y x

=--，即0

y=或724280

x y

+-=

(2) 设点P坐标为(,)

m n，直线

1

l、

2

l的方程分别为：

1

(),()

y n k x m y n x m

k

-=--=--，即：

11

0,0

kx y n km x y n m

k k

-+-=--++=

因为直线

1

l被圆

1

C截得的弦长与直线

2

l被圆

2

C截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：：圆

心

1

C到直线

1

l与

2

C直线

2

l的距离相等。

41

|5|

n m

--++

=

化简得：(2)3,(8)5

m n k m n m n k m n

--=---+=+-

或

关于k的方程有无穷多解，有：

20

,

30

m n

m n

--=

??

??

--=

??

m-n+8=0

或

m+n-5=0

解之得：点P坐标为

313

(,)

22

-或51

(,)

22

-。

例15．已知椭圆中心在坐标原点，短轴长为2，一条准线l的方程为x＝2．

（1）求椭圆方程；

（2）设O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，点M是直线l上的动点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值．

解：（1）椭圆方程为，1

2

2

2

=

+y

x

（2）思路一：(最基本的思路)设点M坐标为（2，y0），则以OM为直径的圆方程为(x－1)2＋(y－y0)2＝1＋

y02

4

．直线OM的斜率为

y0

2

，因为F(1，0)，所以FN方程为y＝－

2

y0

(x－1)．由直线方程与圆方程可求得点N的坐标．再由两点之间的距离公式求出ON的长，它与y0无关（定值）．

（2）思路二：设点N坐标为(x0，y0)，点M坐标为（2，y）．因为ON⊥NM，所以

y0

x0

×

y－y0

2－x0

＝－1①．又因为OM⊥FN，且F (1，0)，所以

y

2

×

y0

x0－1

＝－1②．由①、②消去y可得x02＋y02＝2，即ON 2＝2（定值）．

基本题型四：综合

1例16．满足条件AB ＝2，AC ＝2BC 的三角形ABC 的面积的最大值是_________． 解法一：条件化为c ＝2，b ＝2a ．cos C ＝a 2

＋b 2

－42ab ＝3a 2

－422a 2，sin C ＝－a 4

＋24a 2

－16

22a 2

， S △ABC ＝14－a 4＋24a 2－16＝14－(a 2－12)2

＋128≤22．

解法二：以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，设C (x ，y )，因为A (－1，0)，B (1，0)，代入化简得(x －3)2

＋y 2

＝(22)2，所以C 到AB 的最大距离为 22，S △ABC 的最大面积为22． 例

17．已知半椭圆()222210x y x a b +=≥与半椭圆()22

2210y x x b c

+=≤组成的曲线称为“果圆”，其

中2

22,0,0a

b c a b c =+>>>，012,,F F F 是对应的焦点。

（1）若三角形012F F F 是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程； （2）若11A A B B >，求

b

a

的取值范围；

解：（1）∵F 0（c ，0）F 1（0，22c b --）

，F 2

（0，2

2c b -） ∴| F 0F 1 |＝1)(222==+-b c c b ，| F 1F 2

|＝1222=-c b

于是432

=

c

，4

72

22=+=c b a ，所求“果圆”方程为 17422=+y x （x ≥0），13

422=+x y （x ≤0）． （2）由题意，得a ＋c ＞2b ，即

a b b a ->-222．

∵（2b ）2

＞b 2

＋c 2

，∴a 2

－b 2

＞（2b －a ）2

，得

5

4

又b 2

＞c 2

＝a 2

－b 2

，∴2

1

22>a b ．

图4

∴

)5

4,22(∈a b ． 例

18．设0b >，椭圆方程为22

2212x y b b

+=，抛物线方程为28()x y b =-．如图4所示，过点

(02)F b +，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 的切线经过椭圆

的右焦点1F ．

（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； （2）设

A B ，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABP △为直

角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）． 【解析】（1）由2

8()x

y b =-得21

8

y x b =+，

当2y b =+得4x =±，∴G 点的坐标为(4,2)b +，1

'4

y x =，

4'|1

x y ==，过点G 的切线方程为

(2)4

y b x -+=-即

2y x b =+-，令0y =得2x b =-，1F ∴点的坐标为(2,0)b -，

由椭圆方程得1F 点的坐标为(,0)b ，

2b b ∴-=即1b =，即椭圆和抛物线的方程分别为2

212

x y +=和28(1)x y =-；

（2）

过

A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点P ,∴以PA

B ∠为直角的Rt ABP ?只有一个，

同理∴ 以PBA ∠为直角的Rt ABP ?只有一个。 若以APB ∠为直角，设P 点坐标为2

1(,

1)8

x

x +，A 、B

两点的坐标分别为(和， 014

5641)181(22

4222=-+=++-=?x x x x PB PA

关于2

x 的二次方程有一大于零的解，x ∴有两解， 即以APB ∠为直角的Rt ABP ?有两个，

因此抛物线上存在四个点使得ABP ?为直角三角形。 基本题型五：坐标系与参数方程（附加题）

1．极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化，特别是将极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程；

2．理解记忆几个简单图形的极坐标方程以及直线、圆及椭圆的参数方程，并会简单应用圆、椭圆的参数方程解题．

例1．圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为4cos 4sin ρ

θρθ==-，．

（1）将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求经过圆O 1和圆O 2交点的直线的直角坐标方程． 解（1）圆O 1的直角坐标方程为2

240x y x +-=；圆O 2的直角坐标方程为2240x y y ++=．

（2）

y x =-．

例2．求直线(sin cos )4ρθθ-=被圆4sin ρθ=截得的弦长．

解

例3．在极坐标系中，直线l 的方程为sin 3ρθ=，求点(2)6

π

，到直线l 的距离．

解 2．

例4．已知直线l 的参数方程：12x t y t =??=+?

，，（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：)4sin(22π

θρ+=．

（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）判断直线l 和圆C 的位置关系． 解（1）直线l 的普通方程为

12+=x y ； 圆C 的直角坐标方程为2)1()1(22=-+-x x ．

（2）直线l 和圆C 相交． 例5．已知椭圆C 的极坐标方程为2

2212

3cos 4sin ρ

θθ

=

+，点1F ，2F 为其左，右焦点，直线l 的参

数方程为2,(),x t t y ?=??∈??=??R 为参数,．

（1）求直线l 和曲线C 的普通方程； （2）求点1F ，2F 到直线l 的距离之和.

解（1）直线l 普通方程为2y x =-；曲线C 的普通方程为22

143

x y +=．

（2

）

例6．在平面直角坐标系xOy 中，直线L 的参数方程为??

?

????+=--=t y t x 5545

522（t 为参数），椭圆C 的方程为

14

22

=+y x 。试在椭圆C 上求一点P ,使得P 到直线L 的距离最小。 解：)2

2,

2(

本单元二轮专题和课时建议：

专题 内容说明 第一课时 求基本量 主要解决直线与圆 第二课时 求基本量 主要解决圆锥曲线 第三课时 求曲线方程 主要解决直线与圆 第四课时 求曲线方程 主要解决圆锥曲线 第五课时 研究曲线性质 主要解决直线与圆 第六课时 研究曲线性质

主要解决圆锥曲线 第七课时 综合 解析几何综合问题 第八课时 综合 解析几何综合问题

第九课时 坐标系与参数方程

附加题

高三数学解析几何专题

专题四 解析几何专题 【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系，平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材．解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质．解析几何试题对运算求解能力有较高的要求．解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查．在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法；一道综合解答题，以圆或圆锥曲线为依托，综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用，这道解答题往往是试卷的把关题之一． 【考点透析】解析几何的主要考点是：（1）直线与方程，重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等；（2）圆与方程，重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，以及坐标法思想的初步应用；（3）圆锥曲线与方程，重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，圆锥曲线的简单应用，曲线与方程的关系，以及数形结合的思想方法等． 【例题解析】 题型1 直线与方程 例1 （2008高考安徽理8）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） A ．[ B ．( C ．[33 D ．(33 - 分析：利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式，通过解不等式解决． 解析：C 设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤，得222141,3 k k k ≤+≤，选择C 点评：本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识．高考试卷中一般不单独考查直线与方程，而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查． 例2．(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线

2015年江苏省高考数学试题及答案(理科)【解析版】

2015年江苏省高考数学试卷 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分） 1．（5分）（2015?江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为5． 考点：并集及其运算． 专题：集合． 分析：求出A∪B，再明确元素个数 解答：解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}； 所以A∪B中元素的个数为5； 故答案为：5 点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题 2．（5分）（2015?江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为6． 考点：众数、中位数、平均数． 专题：概率与统计． 分析：直接求解数据的平均数即可． 解答：解：数据4，6，5，8，7，6， 那么这组数据的平均数为：=6． 故答案为：6． 点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查． 3．（5分）（2015?江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为． 考点：复数求模． 专题：数系的扩充和复数． 分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可． 解答：解：复数z满足z2=3+4i， 可得|z||z|=|3+4i|==5， ∴|z|=． 故答案为：． 点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力． 4．（5分）（2015?江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7．

考点：伪代码． 专题：图表型；算法和程序框图． 分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7． 解答：解：模拟执行程序，可得 S=1，I=1 满足条件I＜8，S=3，I=4 满足条件I＜8，S=5，I=7 满足条件I＜8，S=7，I=10 不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7． 故答案为：7． 点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题． 5．（5分）（2015?江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2 只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为． 考点：古典概型及其概率计算公式． 专题：概率与统计． 分析：根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答：解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则 一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种， 其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种； 所以所求的概率是P=． 故答案为：． 点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目． 6．（5分）（2015?江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m， n∈R），则m﹣n的值为﹣3． 考点：平面向量的基本定理及其意义． 专题：平面向量及应用．

最新-解析几何全国卷高考真题

2015-2017解析几何全国卷高考真题 1、（2015年1卷5题）已知M （00,x y ）是双曲线C ：2 212 x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF ?<，则0y 的取值范围是（ ） （A ）（- 3，3） （B ）（-6，6 （C ）（3- ，3） （D ）（） 【答案】A 【解析】由题知12(F F ，2 2 0012 x y -=，所以12MF MF ?= 0000(,),)x y x y -?- =2220 003310x y y +-=-<，解得033 y -<<，故选A. 考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法. 2、（2015年1卷14题）一个圆经过椭圆 22 1164 x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 . 【答案】22325()24 x y -+= 【解析】设圆心为（a ，0），则半径为4a -，则2 2 2 (4)2a a -=+，解得3 2 a =，故圆的方程为22325()24 x y -+= . 考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程 3、（2015年1卷20题）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=2 4 x 与直线y kx a =+（a ＞0） 交与M,N 两点， （Ⅰ）当k=0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程； （Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM=∠OPN ？说明理由. 【答案】0y a --=0y a ++=（Ⅱ）存在 【解析】 试题分析：（Ⅰ）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而

2020高考数学专题复习-解析几何专题

《曲线的方程和性质》专题 一、《考试大纲》要求 ⒈直线和圆的方程 （1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．掌握直线方 程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程． （2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． （3）了解二元一次不等式表示平面区域． （4）了解线性规划的意义，并会简单的应用． （5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法． （6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程． ⒉圆锥曲线方程 （1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程． （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． （4）了解圆锥曲线的初步应用． 二、高考试题回放 1．（福建）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直 的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 （ ） A ． 33 B ．32 C ．2 2 D ．23

2．(福建)直线x +2y=0被曲线x 2+y 2－6x －2y －15=0所截得的弦长等于 . 3．（福建）如图，P 是抛物线C ：y=2 1x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求 | || |||||SQ ST SP ST +的取值范围. 4．（湖北）已知点M （6，2）和M 2（1，7）.直线y=mx —7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段M 1M 2的比为3：2，则m 的值为 （ ） A ．2 3 - B ．3 2- C ．4 1 D ．4 5.（湖北）两个圆0124:0222:222221=+--+=-+++y x y x C y x y x C 与的 公切线有且仅有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．（湖北）直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两 点A 、B. （Ⅰ）求实数k 的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 7．（湖南）如果双曲线112 132 2 =-y x 上一点P 到右焦点的距离为13, 那么 点 P 到右准线 的 距 离 是 （ ）

2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)

2015年全国高中数学联赛江苏赛区 初赛参考答案与评分细则 一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．） 1．已知点P (4，1)在函数f (x )＝log a (x －b ) (b ＞0)的图象上，则ab 的最大值是 ． 解：由题意知，log a (4－b )＝1，即a ＋b ＝4，且a ＞0，a ≠1，b ＞0，从而ab ≤(a ＋b )24＝4， 当a ＝b ＝2时，ab 的最大值是4． 2．函数f (x )＝3sin(2x －π4)在x ＝43π 24 处的值是 ． 解：2x －π4＝43π12－π4＝40π12＝10π3＝2π＋4π3，所以f (43π24)＝3sin 4π3＝－3 2． 3．若不等式|ax ＋1|≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，则实数a 的值是 ． 解：设函数f (x )＝|ax ＋1|，则f (－2)＝ f (1)＝3，故a ＝2． 4．第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是 ． 解：有两类情况：同为白球的概率是3×1025×25＝30625，同为红球的概率是7×625×25＝42 625 ，所求的 概率是72 625 ． 5．在平面直角坐标系xOy 中，设焦距为2c 的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与椭圆x 2b 2＋y 2 c 2＝1有相同 的离心率e ，则e 的值是 ． 解：若c ＞b ，则c 2a 2＝c 2－b 2c 2，得a ＝b ，矛盾，因此c ＜b ，且有c 2a 2＝b 2－c 2 b 2，解得e ＝－1＋52 ． 6．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1交于E 点．记四棱锥E －ABCD 的体积为V 1，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V 2，则V 1 V 2的值是 ． （第6题图） A 1

高中数学椭圆常考题目解题方法及练习2018高三专题复习-解析几何专题

高中数学椭圆常考题目解题方法及练习 2018高三专题复习-解析几何专题（2） 第一部分：复习运用的知识 （一）椭圆几何性质 椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2. 椭圆的几何性质:以()0122 22>>=+b a b y a x 为例 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,122 22≤≤b y a x ，即 b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题. 2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。 3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个： ()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、-- 4. 长轴、短轴： 21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长； 21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长. 5. 离心率 （1）椭圆焦距与长轴的比a c e = ，()10,0<<∴>>e c a （2）22F OB Rt ?,2 22 22 22OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率. （3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -=越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越

高考数学解析几何专题练习及答案解析版

高考数学解析几何专题练习解析版82页 1．一个顶点的坐标()2,0 ，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 14132 2=+y x 2．已知双曲线的方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>，过左焦点F 1的直线交 双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3 B ．32+ C ． 31+ D ． 32 3．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点， 且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 4．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o 5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( ) （Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65, 2(π B ．)6 ,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π 7．曲线的参数方程为???-=+=1 232 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ） A ． 54 B ．4 5 C ． 254 D ．4 25 9． 圆0642 2 =+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ） A.)3,2(-、13 B.)3,2(-、13 C.)3,2(--、13 D.)3,2(-、13 10．椭圆 122 2 2=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( )

2015年江苏省高考数学试卷答案与解析

2015年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分） 1．（5分）（2015?江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为 5 ． 考点：并集及其运算． 专题：集合． 分析：求出A∪B，再明确元素个数 解答：解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}； 所以A∪B中元素的个数为5； 故答案为：5 点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题 2．（5分）（2015?江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 6 ． 考点：众数、中位数、平均数． 专题：概率与统计． 分析：直接求解数据的平均数即可． 解答：解：数据4，6，5，8，7，6， 那么这组数据的平均数为：=6． 故答案为：6． 点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查． 3．（5分）（2015?江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为． 考点：复数求模． 专题：数系的扩充和复数． 分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可． 解答：解：复数z满足z2=3+4i， 可得|z||z|=|3+4i|==5， ∴|z|=． 故答案为：． 点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力． 4．（5分）（2015?江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7 ． 考点：伪代码． 专题：图表型；算法和程序框图． 分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7． 解答：解：模拟执行程序，可得 S=1，I=1 满足条件I＜8，S=3，I=4 满足条件I＜8，S=5，I=7 满足条件I＜8，S=7，I=10 不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7． 故答案为：7． 点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．

20112017高考全国卷文科数学解析几何汇编

新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编 解 析 几 何 一、选择题 【2017，5】已知F 是双曲线2 2 :13 y C x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则APF ?的面积为（ ） A ． 13 B ．12 C ．23 D ．32 【解法】选D ．由2 2 2 4c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2 2 13 y x -=，得3y =±，所以3PF =，又A 的坐标是(1,3)，故APF 的面积为13 3(21)22 ??-=，选D ． 【2017，12】设A 、B 是椭圆C ：22 13x y m +=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120° ，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1][9,)+∞U B ．(0,3][9,)+∞U C ．(0,1][4,)+∞U D ．(0,3][4,)+∞U 【解法】选A ． 图 1 图 2 解法一：设E F 、是椭圆C 短轴的两个端点，易知当点M 是椭圆C 短轴的端点时AMB ∠最大，依题意只 需使0120AEB ∠≥． 1．当03m <<时，如图1，03 tan tan 6032AEB a b m ∠=≥=，解得1m ≤，故01m <≤； 2． 当3m >时，如图2，0tan tan 60323 AEB a m b ∠==≥9m ≥． 综上可知，m 的取值范围是(0,1][9,)+∞U ，故选A ． 解法二：设E F 、是椭圆C 短轴的两个端点，易知当点M 是椭圆C 短轴的端点时AMB ∠最大，依题意只

需使0120AEB ∠≥． 1．当03m <<时，如图1，01 cos ,cos1202EA EB ≤=-u u u r u u u r ，即12EA EB EA EB ?≤-u u u r u u u r u u u r u u u r ， 带入向量坐标，解得1m ≤，故01m <≤； 2． 当3m >时，如图2，01 cos ,cos1202EA EB ≤=-u u u r u u u r ，即12EA EB EA EB ?≤-u u u r u u u r u u u r u u u r ， 带入向量坐标，解得9m ≥． 综上可知，m 的取值范围是(0,1][9,)+∞U ，故选A ． 【2016，5】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1 4 ，则该椭圆的离心率为（ ） A ．13 B ． 12 C ．23 D ． 3 4 解析：选B ． 由等面积法可得 1112224bc a b ?=???，故1 2 c a =，从而12c e a ==．故选B ． 【2015，5】已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为 1 2 ，E 的右焦点与抛物线C : y 2=8x ，的焦点重合，A ,B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |=( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 解：选B ．抛物线的焦点为(2,0)，准线为x =-2，所以c=2，从而a=4，所以b 2=12，所以椭圆方程为 22 11612 x y +=，将x =-2代入解得y=±3，所以|AB |=6，故选B 【2014，10】10．已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，A (x 0,y 0)是C 上一点，|AF |= 05 4 x ，则x 0=( )A A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 解：根据抛物线的定义可知|AF |=0015 44 x x + =，解之得x 0=1． 故选A 【2014，4】4．已知双曲线)0(13 2 22>=- a y a x 的离心率为2，则a=( ) D A ．2 B ． 26 C ．2 5 D ．1 解：2c e a ====，解得a=1，故选D 【2013，4】已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则C 的渐近线方程为( )．

高三数学解析几何专题复习讲义(含答案解析)

二轮复习——解析几何 一．专题内容分析 解析几何：解析几何综合问题（椭圆或抛物线）及基本解答策略+圆锥曲线的定义和几何性质+直线与圆+极坐标、参数方程+线性规划 二．解答策略与核心方法、核心思想 圆锥曲线综合问题的解答策略： 核心量的选择： 常见的几何关系与几何特征的代数化： ①线段的中点：坐标公式 ②线段的长：弦长公式；解三角形 ③三角形面积： 2 1底×高，正弦定理面积公式 ④夹角：向量夹角；两角差正切；余弦定理；正弦定理面积公式 ⑤面积之比，线段之比：面积比转化为线段比，线段比转化为坐标差之比 ⑥三点共线：利用向量或相似转化为坐标差之比 ⑦垂直平分：两直线垂直的条件及中点坐标公式 ⑧点关于直线的对称，点关于点，直线关于直线对称 ⑨直线与圆的位置关系 ⑩等腰三角形，平行四边形，菱形，矩形，正方形，圆等图形的特征 代数运算：设参、消参 重视基本解题思路的归纳与整理但不要模式化，学会把不同类型的几何问题转化成代数形式．

三．典型例题分析 1.（海淀区2017.4）已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =，离心率为12 . （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设点(4,0)Q , 若点P 在直线4x =上，直线BP 形APQM 为梯形？若存在，求出点P 解法1：（Ⅰ）椭圆C 的方程为22 143 x y +=. （Ⅱ）假设存在点,P 使得四边形APQM 为梯形. 由题可知，显然,AM PQ 不平行，所以AP 与MQ AP MQ k k =. 设点0(4,)P y ，11(,)M x y ，06 AP y k =，114MQ y k x = -, ∴ 01164y y x =-① ∴直线PB 方程为0(2)2 y y x =-， 由点M 在直线PB 上，则0 11(2)2 y y x = -② ①②联立，0 101(2) 264y x y x -=-，显然00y ≠，可解得11x =. 又由点M 在椭圆上，211143y + =，所以132y =±，即3 (1,)2 M ±， 将其代入①，解得03y =±，∴(4,3)P ±. 解法2：（Ⅰ）椭圆C 的方程为22 143 x y +=. （Ⅱ）假设存在点,P 使得四边形APQM 为梯形. 由题可知，显然,AM PQ 不平行，所以AP 与MQ 平行, AP MQ k k =， 显然直线AP 斜率存在，设直线AP 方程为(2)y k x =+. 由(2)4y k x x =+??=? ，所以6y k =，所以(4,6)P k ，又(2,0)B ，所以632PB k k k ==. ∴直线PB 方程为3(2)y k x =-，由22 3(2) 34120 y k x x y =-?? +-=?，消y ， 得2222(121)484840k x k x k +-+-=.

第4章 向量代数与空间解析几何练习题

第4章 向量代数与空间解析几何练习题 习题4.1 一、选择题 1．将平行于同一平面的所有单位向量的起点移到同一点, 则这些向量的终点构成的图形是( ) （A ）直线； （B ） 线段； （C ） 圆； （D ） 球． 2．下列叙述中不是两个向量a 与b 平行的充要条件的是( ) （A ）a 与b 的内积等于零； （B ）a 与b 的外积等于零； （C ）对任意向量c 有混合积0)(=abc ； （D ）a 与b 的坐标对应成比例． 3．设向量a 的坐标为 31 3 , 则下列叙述中错误的是( ) （A ）向量a 的终点坐标为),,(z y x ； （B ）若O 为原点,且a =, 则点A 的坐标为),,(z y x ； （C ）向量a 的模长为2 22z y x ++；（D ） 向量)2/,2/,2/(z y x 与a 平行． 4．行列式2 13132 3 21的值为( ) （A ） 0 ； （B ） 1 ； （C ） 18 ； （D ） 18-． 5．对任意向量a 与b , 下列表达式中错误的是( ) （A ）||||a a -=； （B ）||||||b a b a +>+； （C ） ||||||b a b a ?≥?； （D ） ||||||b a b a ?≥?． 二、填空题 1．设在平行四边形ABCD 中，边BC 和CD 的中点分别为M 和N ，且p =，q =，则 BC =_______________，CD =__________________． 2．已知ABC ?三顶点的坐标分别为A(0，0，2)，B(8，0，0)，C(0，8，6)，则边BC 上的中线长为______________________． 3．空间中一动点移动时与点)0,0,2(A 和点)0,0,8(B 的距离相等, 则该点的轨迹方程是_______________________________________． 4．设力k j i F 532++=, 则F 将一个质点从)3,1,0(A 移到)1,6,3(,B 所做的功为____________________________． 5．已知)2,5,3(A , )4,7,1(B , )0,8,2(C , 则=?_____________________; =?____________________;ABC ?的面积为_________________． 三、计算题与证明题 1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ． 计算a c c b b a ?+?+?．

2015年江苏省高考数学试卷及答案 Word版

2015年江苏省高考数学试卷 一、填空题 1.已知集合{}123A =，，，{}245B =，，，则集合A B 中元素的个数为_______. 2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________. 3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______. 4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________. 5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________. 6.已知向量()21a =，，()2a =-1，，若()()98ma nb mn R +=-∈，，则m-n 的值为______. 7.不等式22 4x x -<的解集为________. 8.已知tan 2α=-，()1 tan 7 αβ+= ，则tan β的值为_______. 9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 。 10.在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。 11.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1 {n a 的前10项和为 。 12.在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线12 2 =-y x 右支上的一个动点。若点P 到直线 01=+-y x 的距离对c 恒成立，则是实数c 的最大值为 。 13.已知函数|ln |)(x x f =，? ??>--≤<=1,2|4|1 0,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个 数为 。 14.设向量)12,,2,1,0)(6 cos 6sin ,6(cos =+=k k k k a k π ππ，则 ∑=+?12 1)(k k k a a 的值 为 。

高三数学第二轮复习专题之《解析几何》

高三数学专题复习 《解析几何》 解题思路与方法： 高考试题中的解析几何的分布特点是除在客观题中有1~2个题目外，就是在解答题中有一个压轴题.也就是解析几何没有中档题.且解析几何压轴题所考查的内容是求轨迹问题、直线和圆锥曲线的位置关系、关于圆锥曲线的最值问题等.其中最重要的是直线与圆锥曲线的位置关系.在复习过程中要注意下述几个问题： （1）在解答有关圆锥曲线问题时，首先要考虑圆锥曲线焦点的位置，对于抛物线还应同时注意开口方向，这是减少或避免错误的一个关键。 （2）在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时，可以利用方程组消元后得到二次方程，用判别式进行判断.但对直线与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线的渐近线平行时，不能使用判别式，为避免繁琐运算并准确判断特殊情况，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.画出方程所表示的曲线，通过图形求解. 当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍。 （3）求圆锥曲线方程通常使用待定系数法，若能据条件发现符合圆锥曲线定义时，则用定义求圆锥曲线方程非常简捷.在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题，也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程。 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤。 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置。 定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)。 定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小。 （4）在解与焦点三角形（椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形）有关的命题时，一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义。 （5）要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应用。 （6）求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一，它是各种知识的综合运用，具有较大的灵活性，求动点轨迹方程的实质是将“曲线”化成“方程”，将“形”化成“数”，使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质. 求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、几何法、代入转移法、参数法、交轨法等，解题时，注意求轨迹的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围。 解析几何问题处理时易错易忽视点归纳： 1．用直线的点斜式、斜截式设直线的方程时, 易忽略斜率不存在的情况；题目告诉截距相等时，易忽略截距为0的情况。 2.求含系数的直线方程平行或者垂直的条件时，易忽略直线与x轴或者y轴平行的情况。

人教版高考数学专题复习：解析几何专题

高考数学专题复习：解析几何专题 【命题趋向】 1.注意考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属中、低档题，以选择、填空题的形式出现，每年必考 2.考查直线与二次曲线的普通方程，属低档题，对称问题常以选择题、填空题出现 3.考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现，与求轨迹有关、与向量结合、与求最值结合的往往是一个灵活性、综合性较强的大题，属中、高档题， 4．解析几何的才查，分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题. 【考题解析与考点分析】 考点1.求参数的值 求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之. 例1．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质. 解答过程：椭圆22162 x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D. 考点2. 求线段的长 求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之. 例2．已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于 A.3 B.4 C.32 D.42 考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用. 解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123301y x x x b x x y x b ?=-+?++-=?+=-?=+?，进而可求出AB 的中点1 1(,)22M b --+，又由11(,)22 M b --+在直线0x y +=上可求出1b =， ∴220x x +-=，由弦长公式可求出AB ==． 故选C 例3．如图，把椭圆2212516x y +=的长轴 AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部 分于1234567 ,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点， 则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++= ____________. 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用.

2015年江苏卷高考英语真题与答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 英语 第一部分听力(共两节,满分 20 分) 做题时,先将答案标在试卷上。录音内容结束后,你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。 第一节(共 5 小题;每小题 1 分,满分 5 分) 听下面 5 段对话。每段对话后有一个小题,从题中所给的 A、B、C 三个选项中选出最佳选项,并标在试卷的相应位置。听完每段对话后,你都有 10 秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。每段对话仅读一遍。 例： How much is the shirt? A. ￡ 19.15 B. ￡ 9.18 C. ￡ 9.15 答案是C。 1. 1. What time is it now? A. 9:10 B. 9:50 C. 10:00 2. What does the woman think of the weather? It’s nice. It’s warm It’s cold. 3. What will the man do? A. Attend a meeting. B. Give a lecture C. Leave his office. 4. What is the woman’s opinion about the course? A. Too hard B. Worth taking. C. Very easy. 5. What does the woman want the man to do? A. Speak louder B. Apologize to her. C. Turn off the radio.

高三总复习解析几何专题(师

解析几何专题二 1、已知点P (3，－4)是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)渐近线上的一点，E ，F 是左、右两个焦点，若EP →·FP → ＝0， 则双曲线方程为( ) A.x 23－y 24＝1 B.x 24－y 23＝1 C.x 29－y 216＝1 D.x 216－y 2 9 ＝1 2、已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是x y 4±=，则该双曲线的离心率为（ 17 ）． 【解析】因为焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是x y 4±=，所以17,17,42 2===e a c a b 3、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲 线的离心率为 2 5 1+ . 【解析】因为直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，所以 2 1 5,1)(+=-=-?e c b a b 4、若双曲线)0(12222>>=-b a b y a x 的左右焦点分别为1F 、2F ，线段21F F 被抛物线2 2y bx = 的焦点分成5 :7的两段，则此双曲线的离心率为（ C ） A ． 9 8 B ． 637 C ． 32 4 D ． 31010 【解析】因为线段21F F 被抛物线2 2y bx = 的焦点分成5:7的两段，所以 4 23,4036,436,622222====e c a c b c b 5、 已知F 是椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆22 214 x y b +=相切 于点Q ，且→ → =QF PQ ，则椭圆C 的离心率为 3 5 ． 提示：设左焦点E ，连接PE ，由圆的切线可得OQ ⊥PF ，而OQ ∥PF ，故PF PE ⊥,2 2 2 4)2(c b a b =-+∴，

高考数学专题训练解析几何

解析几何(4) 23.（本大题满分18分，第1小题满分4分，第二小题满分6分，第3小题满分8分） 已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段 l 的距离，记作(,)d P l （1）求点(1,1)P 到线段:30(35)l x y x --=≤≤的距离(,)d P l ； （2）设l 是长为2的线段，求点的集合{(,)1}D P d P l =≤所表示的图形面积； （3）写出到两条线段12,l l 距离相等的点的集合12{(,)(,)}P d P l d P l Ω==，其中 12,l AB l CD ==，,,,A B C D 是下列三组点中的一组. 对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答计分. ①(1,3),(1,0),(1,3),(1,0)A B C D --. ②(1,3),(1,0),(1,3),(1,2)A B C D ---. ③(0,1),(0,0),(0,0),(2,0)A B C D . 23、解：⑴ 设(,3)Q x x -是线段:30(35)l x y x --=≤≤上一点，则 ||5) PQ x ==≤≤，当 3 x =时 ， min (,)||d P l PQ == ⑵ 设线段l 的端点分别为,A B ，以直线AB 为x 轴，AB 的中点为原点建立直角坐标系， 则(1,0),(1,0)A B -，点集D 由如下曲线围成 12:1(||1),:1(||1) l y x l y x =≤=-≤， 222212:(1)1(1),:(1)1(1)C x y x C x y x ++=≤--+=≥ 其面积为4S π=+。 ⑶① 选择(1,3),(1,0),(1,3),(1,0)A B C D --，{(,)|0}x y x Ω== ② 选择(1,3),(1,0),(1,3),(1,2)A B C D ---。 2{(,)|0,0}{(,)|4,20}{(,)|10,1}x y x y x y y x y x y x y x Ω==≥=-≤<++=> ③ 选择(0,1),(0,0),(0,0),(2,0)A B C D 。

全国卷真题汇总之解析几何小题

全国卷真题汇总：解析几何小题姓名________班级____ 1.(2018·全国卷I文)已知椭圆C:+=1的一个焦点为,则C的离心率为() A.B.C.D. 2.(2018·全国卷II高考理科·T12)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,A是C 的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为() A.B.C.D. 3.(2018·全国卷II高考文科·T11)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为() A.1- B.2- C.- D.-1 4.(2018·全国卷II高考理科·T5) 同(2018·全国卷II高考文科·T6)双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为() A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 5.(2018全国Ⅲ理科T11)设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左,右焦点,O是坐标原点. 过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若=,则C的离心率为() A.B.2 C.D. 6.(2018·全国Ⅲ高考文科·T10)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则点到C的渐近线的距离为() A.B.2 C.D.2 7.(2018全国卷I理科T11)已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则= () A.B.3 C.2D.4 8.(2018·全国卷I高考理科·T8)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点-且斜率为的直线与C交于M,N两点,则·= () A.5 B.6 C.7 D.8 9.(2018·全国Ⅲ高考理科·T16)已知点M-和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k=.

2019-2020年高考备考：2018年高考数学试题分类汇编----解析几何

见微知著，闻弦歌而知雅意 2019-2020届备考 青霄有路终须到，金榜无名誓不还！ 2019-2020年备考 2018试题分类汇编---------解析几何 一、填空题 (1)直线与圆 1.（天津文12）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________． 1.2220x y x +-= 2.（全国卷I 文15）直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则 AB =________． 2.22 3.（全国卷III 理6改）．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上， 则ABP △面积的取值范围是__________． 3.[]26， 4.(天津理12)已知圆2220x y x +-=的圆心为 C ，直线2 1, 2232 x t y t ? =-+ ??? ?=-?? (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 . 4.1 2 5.（北京理7改）在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变 化时，d 的最大值为__________． 5.3 6.（北京文7改）在平面坐标系中，,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如 图），点P 在其中一 段上，角α以OA 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是__________．

6.EF 7.（江苏12）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点， (5,0)B ，以AB 为直径的 圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ?=，则点A 的横坐标为__________． 7.3 8.（上海12）已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212 x x y y +=，则 11221 1 2 2 x y x y +-+-+ 的最大值为_________. 8.32+ （2）椭圆抛物线双曲线基本量 9.（浙江2 改）双曲线2 21 3 =x y -的焦点坐标是__________． 9.(?2，0)，(2，0) 10.（上海2）双曲线2 214 x y -=的渐近线方程为_________. 10.12 y x =± 11.（上海13）设P 是椭圆22 153 x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离 之和为__________． 11.25 12.（北京文12）若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为5 2 ，则a =_________. 12．4 13.（北京文10）已知直线l 过点（1,0）且垂直于ε，若l 被抛物线24y ax =截 得的线段长为4，则抛物线 的焦点坐标为_________. 13．(1,0) 14.(全国卷II 理5 改)双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为3，则其渐近线方程 为_________. 14．2y x =± （3）圆锥曲线离心率