2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数学（文科）
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场
号、座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息
点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指
定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一．选择题
1.若集合}{}{
24,3,P x x Q x x =≤<=≥则P Q ?等于 （ ）
}
{
}
{
}
{
}{
.34.34.23.23A x x B x x C x x D x x ≤<<<≤<≤≤
2.复数()32i i +等于 （ ）
.23.23.23.23A i B i C i D i ---+-+
3.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于学科网（ ）
.2..2.1A B C D ππ
4.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为 （ ）
.1.2.3.4A B C D
5.命题“[)3
0,.0x x x ?∈+∞+≥”的否定是 （ ）
()()[)[)333
3
000000.,0.0.,0.0.0,.0
.0,.0
A x x x
B x x x
C x x x
D x x x ?∈-∞+
6.已知直线l 过圆()2
2
34x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是
（ ）
.20.20.30.30A x y B x y C x y D x y +-=-+=+-=-+=
7.将函数sin y x =的图象向左平移2
π
个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是 （ ）
()()()()...2.-02A y f x B y f x C y f x x D y f x ππ
π====
??
= ???
是奇函数的周期为的图象关于直线对称的图象关于点，对称
8.若函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象如右图所示，则下列函数正确的是 （ ）
9.要制作一个容积为3
4m ，高为1m 的无盖长方体容器，已知该溶器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该溶器的最低总造价是学科网 （ ）
.80.120.160.240A B C D 元元元元
10.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++等于 （ ）
..2.3.4AOM B OM
C OM
D OM
11.已知圆()()
2
2
:1C x a y b -+-=，设平面区域70,
30,0x y x y y +-≤??
Ω=-+≥??≥?
，若圆心C ∈Ω,且圆
C 与x 轴相切，则22
a b +的最大值为 （ ）
.5.29.37.49A B C D
12.在平面直角坐标系中，两点()()111222,,,P x y P x y 间的“L-距离”定义为
121212.PP x x y y =-+-则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F
F 的“L-距离”之和等于定值（大于12
F F ）的点的轨迹可以是 （ ）
二、填空题
13、如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为___________
14、在ABC ?中，3,2,60==?=BC AC A ,则AB 等于_________
15、函数()?
??>+-≤-=0,ln 620
,22x x x x x x f 的零点个数是_________
16. 已知集合{}{}2,1,0,,=c b a ，且下列三个关系：①2≠a ②2=b ③0≠c 有且只有一个正确，则10010________a b c ++等于 三．解答题：本大题共6小题，共74分. 17.（本小题满分12分） 在等比数列{}n a 中，253,81a a ==.
（Ⅰ）求n a ；学科网 （Ⅱ）设3log n
n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .
18.（本小题满分12分） 已知函数
()2cos (sin cos )f x x x x =+. （Ⅰ）求
5(
)4
f π
的值； （Ⅱ）求函数
()f x 的最小正周期及单调递增区间.
19.（本小题满分12分）
如图，三棱锥A BCD -中，,AB BCD CD BD ⊥⊥平面. （Ⅰ）求证：CD ⊥平面ABD ；
（Ⅱ）若1AB BD CD ===，M 为AD 中点，求三棱锥A MBC -的体积.
20.（本小题满分12分）
根据世行2013年新标准，人均GDP 低于1035美元为低收入国家；人均GDP 为1035-4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP 为4085-12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12616美元为高收入国家.某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP 如下表：
（Ⅰ）判断该城市人均GDP 是否达到中等偏上收入国家标准；
（Ⅱ）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率. 21.（本小题满分12分）
已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2.
（Ⅰ）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A .直线3y
=分别与直线l 及y 轴交于点
,M N 。以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点P 在曲
线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论. 22.（本小题满分12分） 已知函数
()x f x e ax =-（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处
的切线斜率为1-.学科网 （Ⅰ）求a 的值及函数
()f x 的极值；
（Ⅱ）证明：当0x >时，2
x x
e <
（Ⅲ）证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当0(,)x x ∈+∞时，恒有x
x ce <
2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数学（文科）答案
一．选择题 ABABCDDBCDCA 二、填空题 13. 0.18 14. 1 15. 2 16. 201
三．解答题：本大题共6小题，共74分. 17. (1)设{}n a 的公比为q ，依题意得
14
13
81
a q a q =??=?，
解得11
3
a q =??
=?，
因此，13n n a -=.
（2）因为3log 1n n b a n ==-，
所以数列{}n b 的前n 项和21()22
n n n b b n n
S +-==. 18.解法一：（1）5555(
)2cos (sin cos )4444
f ππππ
=+ 2cos (sin
cos )4
44
π
π
π
=--- 2=
（2）因为2()2sin cos 2cos f x x x x =+
sin 2cos 21x x =++
2sin(2)14x π
=++. 所以22
T π
π==. 由222,2
4
2
k x k k Z π
π
π
ππ-≤+
≤+
∈，
得3,88
k x k k Z ππ
ππ-
≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88
k k k Z ππ
ππ-+∈. 解法二：
因为2
()2sin cos 2cos f x x x x =+
sin 2cos 21x x =++
2sin(2)14x π
=++
（1）511()2sin
12sin 12444f πππ
=+=+= （2）22
T π
π== 由222,2
4
2
k x k k Z π
π
π
ππ-≤+
≤+
∈，
得3,88
k x k k Z ππ
ππ-
≤≤+∈，
所以()f x 的单调递增区间为3[,],88
k k k Z ππ
ππ-+∈. 19.
（1）∵AB ⊥平面BCD ，CD ?平面BCD ， ∴AB CD ⊥. 又∵CD BD ⊥，AB
BD B =，
AB ?平面ABD ，BD ?平面ABD ，
∴CD ⊥平面ABD .
（2）由AB ⊥平面BCD ，得AB BD ⊥. ∵1AB BD ==，∴12
ABD S ?=. ∵M 是AD 的中点， ∴1124
ABM ABD S S ??=
=. 由（1）知，CD ⊥平面ABD ， ∴三棱锥C-ABM 的高1h CD ==， 因此三棱锥A MBC -的体积
11
312
A MBC C ABM ABM V V S h --?==?=.
解法二： （1）同解法一.
（2）由AB ⊥平面BCD 知，平面ABD ⊥平面BCD ， 又平面ABD
平面BCD=BD ，
如图，过点M 作MN BD ⊥交BD 于点N.
则MN ⊥平面BCD ，且1122
MN AB ==， 又,1CD BD BD CD ⊥==， ∴1
2
BCD S ?=
. ∴三棱锥A MBC -的体积
1113312
A MBC A BCD M BCD BCD BCD V V V A
B S MN S ---??=-=
?-?=. 20.（1）设该城市人口总数为a ，则该城市人均GDP 为
80000.2540000.3060000.1530000.10100000.206400a a a a a
a
?+?+?+?+?=
因为6400[4085,12616)∈，
所以该城市人均GDP 达到了中等偏上收入国家标准.
（2）“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：
{,},{,},{,},{,},{,},{,},A B A C A D A E B C B D {,},{,},{,},{,}B E C D C E D E 共10个，
设事件“抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准”为M ， 则事件M 包含的基本事件是：{,},{,},{,}A C A E C E ，共3个， 所以所求概率为3
()10
P M =
. 21.（1）设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点，
依题意，点S 到(0,1)F 的距离与它到直线1y =-的距离相等， 所以曲线Γ是以点(0,1)F 为焦点，直线1y =-为准线的抛物线， 所以曲线Γ的方程为2
4x y =.
（2）当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变，证明如下：
由（1）知抛物线Γ的方程为2
14
y x =， 设000(,)(0)P x y x ≠，则2
0014
y x =， 由'
1
2
y x =
，得切线l 的斜率 0'01
2
x x k y x ===，
所以切线l 的方程为0001()2y y x x x -=-，即2
001124
y x x x =-.
由200
11240y x x x y ?
=-???=?
，得01(,0)2A x .
由20011243y x x x y ?
=-???=?
，得0
16(,3)2M x x +. 又(0,3)N ，所以圆心00
1
3
(,3)4
C x x +
， 半径00
113||||24r MN x x =
=+， 2222200000
11313
||||[()]3()6244AB AC r x x x x x =-=-++-+=.
所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变
.
解法二：
（1）设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点， 则22|(3)|(0)(1)2y x y --=
-+-=，
依题意，点(,)S x y 只能在直线3y =-的上方，所以3y >-，
所以22
(0)(1)1x y y -+-=+，
化简得，曲线Γ的方程为24x y =. （2）同解法一.
22.（1）当ln 2x =时，()f x 有极小值(ln 2)2ln 4f =-，()f x 无极大值. （2）见解析.（3）见解析. 解法一：
（1）由()x f x e ax =-，得'()x f x e a =-. 又'(0)11f a =-=-，得2a =. 所以()2x f x e x =-，'()2x f x e =-. 令'()0f x =，得ln 2x =.
当ln 2x <时，'()0f x <，()f x 单调递减； 当ln 2x >时，'()0f x >，()f x 单调递增. 所以当ln 2x =时，()f x 有极小值， 且极小值为ln2
(ln 2)2ln 22ln 4f e
=-=-，
()f x 无极大值.
（2）令2()x g x e x =-，则'()2x
g x e x =-.
由（1）得，'()()(ln 2)2ln 40g x f x f =≥=->，即'
()0g x >. 所以()g x 在R 上单调递增，又(0)10g =>， 所以当0x >时，()(0)0g x g >>，即2x
x e <. （3）对任意给定的正数c ，取01x c
=， 由（2）知，当0x >时，2x
x e <. 所以当0x x >时，2
1
x
e x x c
>>
，即x x ce <. 因此，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0(,)x x ∈+∞时，恒有x
x ce <.
解法二：（1）同解法一. （2）同解法一. （3）令1
(0)k k c
=
>，要使不等式x x ce <成立，只要x e kx >成立. 而要使x
e kx >成立，则只需ln()x kx >，即ln ln x x k >+成立. ①若01k <≤，则ln 0k ≤，易知当0x >时，ln ln ln x x x k >≥+成立. 即对任意[1,)c ∈+∞，取00x =，当0(,)x x ∈+∞时，恒有x
x ce <.
②若1k >，令()ln ln h x x x k =--，则'
11()1x h x x x
-=-
=， 所以当1x >时，'()0h x >，()h x 在(1,)+∞内单调递增. 取04x k =，
0()4ln(4)ln 2(ln )2(ln 2)h x k k k k k k =--=-+-，
易知ln k k >，ln 2k >，所以0()0h x >. 因此对任意(0,1)c ∈，取04x c
=
，当0(,)x x ∈+∞时，恒有x
x ce <. 综上，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0(,)x x ∈+∞时，恒有x
x ce <. 解法三：（1）同解法一. （2）同解法一.
（3）①若1c ≥，取00x =， 由（2）的证明过程知，2x
e x >，
所以当0(,)x x ∈+∞时，有2x
x
ce e x x ≥>>，即x
x ce <. ②若01c <<，
令()x
h x ce x =-，则'
()1x h x ce =-， 令'
()0h x =得1
ln x c
=. 当1ln
x c >时，'
()0h x >，()h x 单调递增. 取02
2ln x c
=，
22ln
0222()2ln
2(ln )c
h x ce
c c c
=-=-， 易知
22
ln 0c c
->，又()h x 在0(,)x +∞内单调递增， 所以当0(,)x x ∈+∞时，恒有0()()0h x h x >>，即x
x ce <.
综上，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0(,)x x ∈+∞时，恒有x
x ce <. 注：对c 的分类可有不同的方式，只要解法正确，均相应给分。