第一章 绪论
1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*
x 的相对误差为*
****
r e x x e x x δ-=
== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **
e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈
2．设x 的相对误差为2%，求n
x 的相对误差。 解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()
|
|()
p xf x C f x = 又1
'()n f x nx
-= , 1
||n p x nx C n n
-?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2
((*))0.02n r x n ε∴≈
3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指
出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *
456.430x =,*57 1.0.x =? 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) *
*
*
124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234
,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解：
*4
1*
3
2*
13*
3
4*
1
51()1021()1021()1021()1021()102
x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=?
***
124***1244333
(1)()()()()
1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? ***
123*********123231132143
(2)()
()()()
111
1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222
0.215
x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈
**
24****
24422
*4
33
5
(3)(/)
()()
11
0.0311056.430102256.43056.430
10x x x x x x x
εεε---+≈
??+??=
?=
5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为34
3
V R π=
则何种函数的条件数为
2
3'4343
p R V R R C V R ππ===
(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=
又(*)1r V ε=
故度量半径R 时允许的相对误差限为1
(*)10.333
r R ε=?≈
6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）
计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？
解：1n n Y Y -=-
10099Y Y ∴=-
9998Y Y =
9897Y Y =-……
10Y Y =-
依次代入后，有1000100Y Y =-
即1000Y Y =
27.982, 100027.982Y Y ∴=-
*
310001()()(27.982)102
Y Y εεε-∴=+=?
100Y ∴的误差限为31
102
-?。
7．求方程2
5610x x -+=的两个根，使它至少具有427.982=）。 解：2
5610x x -+=，
故方程的根应为1,228x =
故 1282827.98255.982x =≈+=
1x ∴具有5位有效数字
211
280.0178632827.98255.982
x =-=
≈
=≈+
2x 具有5位有效数字
8．当N 充分大时，怎样求
1
2
1
1N N
dx x
++?
？
解
1
2
1
arctan(1)arctan 1N N
dx N N x +=+-+?
设arctan(1),arctan N N αβ=+=。 则tan 1,tan .N N αβ=+=
1
22
11arctan(tan())
tan tan arctan
1tan tan 1arctan
1(1)1
arctan 1
N N dx x N N
N N
N N αβ
αβαβ
αβ++=-=--=++-=++=++? 9．正方形的边长大约为了100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过2
1cm ？ 解：正方形的面积函数为2()A x x =
(*)2*(*)A A x εε∴= .
当*100x =时，若(*)1A ε≤, 则21
(*)102
x ε-≤
? 故测量中边长误差限不超过0.005cm 时，才能使其面积误差不超过2
1cm 10．设2
12S gt =
，假定g 是准确的，而对t 的测量有0.1±秒的误差，证明当t 增加时S 的绝对误差增加，而相对误差却减少。 解：2
1,02
S gt t =
> 2
(*)(*)S g t t εε∴= 当*t 增加时，*S 的绝对误差增加
2*2*
(*)
(*)*
(*)1()2(*)2r S S S gt t g t t t
εεεε=
=
=
当*t 增加时，(*)t ε保持不变，则*S 的相对误差减少。 11．序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=- (n=1,2,…),
若0 1.41y =≈（三位有效数字），计算到10y 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？
解：0 1.41y =≈
201
(*)102
y ε-∴=?
又1101n n y y -=- 10101y y ∴=- 10(*)10(*)y y εε∴= 又21101y y =- 21(*)10(*)y y εε∴=
220(*)10(*)......
y y εε∴=
10
10010
28(*)10(*)
1
10102
1
102
y y εε-∴==?
?=?
计算到10y 时误差为
81
102
?，这个计算过程不稳定。 12
．计算61)f =
≈1.4，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？
,
3
(3-,
，
99- 解：设6
(1)y x =-，
若x =
* 1.4x =，则*11
102
x -ε()=?。
计算y 值，则
***7
**
*7
**1
(1)
6(1)
y x x y x x y x ε()=--6?ε()+ =
ε()+ =2.53ε()
若通过3(3-计算y 值，则
**2****
**(32)6
32y x x y x x
y x ε()=-3?2?-ε() =
ε()- =30ε()
计算y 值，则 ***4
***7
**1
(32)
1
(32)
y x x y x x y x ε()=--3?ε()+ =6?
ε()+ =1.0345ε()
计算后得到的结果最好。 13
．()ln(f x x =,求(30)f 的值。若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多
大？若改用另一等价公式。ln(ln(x x =-
计算，求对数时误差有多大？ 解
()ln(f x x =
, (30)ln(30f ∴=
设(30)u y f == 则*
u =29.9833
*41
2
u -∴ε()=?10
故
**
*
*3
1
0.0167
y u u
u -1ε()≈-ε()30- =
ε() ≈3?10
若改用等价公式
ln(ln(x x =-
则(30)ln(30f =- 此时，
**
*
*7
1
59.9833y u u
u -1ε()=∣-∣ε()30+ =
?ε()
≈8?10
第二章 插值法
1．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解：
0120121200102021101201220211,1,2,
()0,()3,()4;()()1
()(1)(2)()()2()()1
()(1)(2)
()()6
()()1
()(1)(1)
()()3
x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------=
=-+--
则二次拉格朗日插值多项式为
2
20
()()k k k L x y l x ==∑
0223()4()
14
(1)(2)(1)(1)23
537623
l x l x x x x x x x =-+=---+
-+=
+- 是-3l1 2．给出()ln f x x =的数值表
用线性插值及二次插值计算的近似值。 解：由表格知，
01234012340.4,0.5,0.6,0.7,0.8;()0.916291,()0.693147()0.510826,()0.356675()0.223144
x x x x x f x f x f x f x f x ======-=-=-=-=-
若采用线性插值法计算ln 0.54即(0.54)f ， 则0.50.540.6<<
2
112
1
221
11122()10(0.6)()10(0.5)()()()()()
x x l x x x x x x l x x x x L x f x l x f x l x -==----=
=---=+
6.9314
7(0.6)
5.10826(
x x =--- 1(0.54)0.62021860.620219L ∴=-≈-
若采用二次插值法计算ln 0.54时，
1200102021101201220212001122()()
()50(0.5)(0.6)
()()
()()
()100(0.4)(0.6)
()()()()
()50(0.4)(0.5)
()()
()()()()()()()
x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x L x f x l x f x l x f x l x --==------==-------=
=----=++
500.916291(0.5)(0.6)69.3147(0.4)(0.6)0.51082650(0.4)(0.5
x x x x x x =-?--+---?--2(0.54)0.61531984
0.
615320L ∴=-≈- 3．给全cos ,090x x ≤≤
的函数表，步长1(1/60),h '==
若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界。
解：求解cos x 近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x 是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数cos x 的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。
当090x ≤≤
时， 令()cos f x x = 取0110,(
)606018010800
x h ππ===?= 令0,0,1,...,5400i x x ih i =+= 则5400902
x π
=
=
当[]1,k k x x x -∈时，线性插值多项式为
11111()()
()
k k
k k k k k k
x x x x L x f x f x x x x x ++++--=+-- 插值余项为
111
()cos ()()()()2
k k R x x L x f x x x x ξ+''=-=
-- 又 在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且[]cos 0,1x ∈，故计算中有误差传播过程。
*5
**11
2111*11
11*1*1
(())102
()(())(())
(())(
)
1
(())()
(())
k k k k k k k k k k k k k k k k
k k k k f x x x x x R x f x f x x x x x x x x x f x x x x x f x x x x x h
f x εεεεεε-++++++++++∴=?--=+----≤+--=-+-=
∴总误差界为
12*1*12*85
5()()
1
(cos )()()(())21
()()(())211
()(())22
1
1.0610102
0.5010610k k k k k k k R R x R x x x x x f x x x x x f x h f x ξεεε++---=+=
---+≤?--+≤?+=?+?=? 4．设为互异节点，求证： （1）
0()n
k k
j j j x l x x =≡∑ (0,1,,)k n = （2）0
()()0n k j
j j x
x l x =-≡∑ (0,1,
,)k n = 证明
（1） 令()k f x x =
若插值节点为,0,1,,j x j n = ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0
()()n
k
n j j j L x x l x ==
∑。
插值余项为(1)1()
()()()()(1)!
n n n n f R x f x L x x n ξω++=-=+
又,k n ≤
(1)()0()0
n n f R x ξ+∴=∴=
0()n
k k
j j
j x l x x =∴=∑ (0,1,,)k n = 0
000
(2)()()
(())()()(())
n
k j j j n n
j i k i k j j j i n
n
i
k i
i k
j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑
0i n ≤≤ 又 由上题结论可知
()n
k i
j j
j x l x x ==∑
()()0
n
i k i i
k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式
∴得证。
5设[]2(),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证：
21
max ()()max ().8
a x
b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为
10
101010()()
()
x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =()
()x b x a
f a f b a b x a
--=+-- 1()()0
()0
f a f b L x ==∴= 又
插值余项为1011
()()()()()()2
R x f x L x f x x x x x ''=-=
-- 011
()()()()2
f x f x x x x x ''∴=
-- []012
012102()()
1()()21()41
()4
x x x x x x x x x x b a --??≤-+-????
=-=- 又
∴21
max ()()max ().8
a x
b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 6．在44x -≤≤上给出()x
f x e =的等距节点函数表，若用二次插值求x e 的近似值，要使
截断误差不超过6
10-，问使用函数表的步长h 应取多少？
解：若插值节点为1,i i x x -和1i x +，则分段二次插值多项式的插值余项为
2111
()()()()()3!i i i R x f x x x x x x ξ-+'''=
--- 211441
()()()()max ()6i i i x R x x x x x x x f x -+-≤≤'''∴≤---
设步长为h ，即11,i i i i x x h x x h -+=-=+
4343
21().627R x e h ∴≤=
若截断误差不超过6
10-，则
6243
6()10100.0065.R x h h --≤≤∴≤ 7．若442,.n n n n y y y δ=?求及，
解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。
2n n y =
44(1)n n y E y ?=-
4
404
4044044(1)4(1)4(1)2(21)2j j
n
j j n j
j j j
n
j n n n
E y j y j y j y y -=+-=-=??=- ?????=- ?????=-? ???
=-==∑∑∑ 114
4
2
2()n n y E E y δ-=-
14
422
422
()(1)2n
n
n n E E y E y y ----=-=?==
8．如果()f x 是m 次多项式，记()()()f x f x h f x ?=+-，证明()f x 的k 阶差分
()(0)k f x k m ?≤≤是m k -次多项式，并且1()0m f x +?=（l 为正整数）。 解：函数()f x 的Taylor 展式为
2()(1)1111
()()()()()()2!(1)!
m m m m f x h f x f x h f x h f x h f h m m ξ++'''+=++
++++ 其中(,)x x h ξ∈+
又()f x 是次数为m 的多项式
(1)()0
()()()
m f f x f x h f x ξ+∴=∴?=+-
2()
11()()()2!
m m f x h f x h f x h m '''=+
++ ()f x ∴?为1m -阶多项式
2()(())f x f x ?=?? 2()f x ∴?为2m -阶多项式
依此过程递推，得()k f x ?是m k -次多项式
()m f x ∴?是常数
∴当l 为正整数时， 1()0m f x +?=
9．证明1()k k k k k k f g f g g f +?=?+? 证明
11()k k k k k k f g f g f g ++?=-
111111111()()k k k k k k k k
k k k k k k k k k k k k k k
f g f g f g f g g f f f g g g f f g f g g f +++++++++=-+-=-+-=?+?=?+?
∴得证
10．证明
1
1
0010
n n k k
n n k k k k f g
f g f g g f --+==?=--?∑∑
证明：由上题结论可知
1()k k k k k k f g f g g f +?=?-? 1
01101
1
10
(())()n k k
k n k k k k k n n k k k k
k k f g f g g f f g g f -=-+=--+==∴?=?-?=?-?∑∑∑∑
111
0110022111100
()()
()()()k k k k k k n k k k n n n n n n f g f g f g f g f g f g f g f g f g f g f g f g ++-=--?=-∴?=-+-++-=-∑
11
0010
n n k k n n k k k k f g f g f g g f --+==∴?=--?∑∑
得证。 11．证明
1
2
00n j n j y y y -=?
=?-?∑
证明
1
1
2
1
()n n j
j j j j y y
y --+==?=?-?∑∑
102110
()()()n n n y y y y y y y y -=?-?+?-?++?-?=?-?
得证。
12．若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++ 有n 个不同实根12,,,n x x x ， 证明：
1
1
00,02;(),1
k n
j
j j k n x f x n k n -=≤≤-?=?'=-?∑
证明： ()f x 有个不同实根12,,,n x x x 且1
011()n n n n f x a a x a x
a x --=++++
12()()()()n n f x a x x x x x x ∴=---
令12()()()()n n x x x x x x x ω=--- 则
1
1()()k k n
n j j
j j j n n
j x x f x a x ω===''∑
∑
而2313()()()()()()()n
n n x x x x x x x x x x x x x ω'=---+--- 121()()()n x x x x x x -++---
1211()()()()()()n
j j j j j j j j n x x x x x x x x x x x ω-+'∴=----- 令(),k g x x =
[]121,,,()
k n
j n j n j x g x x x x ω=='∑
则[]121,,,()k n
j
n j n j
x g x x x x ω=='∑
又[]121
1,,,()k n
j
n j j n
x g x x x f x a =∴
='∑
1
1
00,02;(),1
k n
j
j j k n x f x n k n -=≤≤-?∴=?'=-?∑
∴得证。
13．证明n 阶均差有下列性质：
（1）若()()F x cf x =，则[][]0101,,,,,,;n n F x x x cf x x x =
（2）若()()()F x f x g x =+，则[][][]010101,,,,,,,,,.n n n F x x x f x x x g x x x =+ 证明：
（1）[]120011()
,,,()()()()
j n
n j j j j j j j n f x f x x x x x x x x x x x =-+=----∑
[]120011()
,,,()()()()j n
n j j j j j j j n
F x F x x x x x x x x x x x =-+=----∑
0011()
()()()()
j n
j j j j j j j n cf x x x x x x x x x =-+=----∑
0011()
()()()()()j n
j j j j j j j n
f x c x x x x x x x x =-+=----∑
[]01,,,n cf x x x =
∴得证。
(2)()()()F x f x g x =+
[]00011()
,,()()()()
j n
n j j j j j j j n F x F x x x x x x x x x x =-+∴=----∑
0011()()
()()()()j j n
j j j j j j j n
f x
g x x x x x x x x x =-++=----∑
0011()
)()()()()
j n
j j j j j j j n f x x x x x x x x x =-+=----∑
+0011()
)()()()()
j n
j j j j j j j n g x x x x x x x x x =-+----∑
[][]00,,,,n n f x x g x x =+
∴得证。
14．74
()31,f x x x x =+++求0172,2,,2F ???? 及0182,2,,2F ???? 。
解： 74()31f x x x x =+++ 若2,0,1,,8i i x i ==
则[]()01()
,,,!n n f f x x x n ξ=
[](7)017()7!
,,,17!7!f f x x x ξ∴===
[](8)018()
,,,08!
f f x x x ξ==
15．证明两点三次埃尔米特插值余项是
(4)
22
31
1()()()()/4!,
(,)
k
k k
k R x f x
x x
x
x x
ξξ++=--∈ 解：
若1[,]k k x x x +∈，且插值多项式满足条件
33
()(),()()k k k k H x f x H x f x ''== 3113
11()(),()()k k k k H x f x H x f x ++++''== 插值余项为3()()()R x f x H x =- 由插值条件可知1()()0k k R x R x +==
且1()()0k k R x R x +''==
()R x ∴可写成221()()()()k k R x g x x x x x +=--
其中()g x 是关于x 的待定函数，
现把x 看成1[,]k k x x +上的一个固定点，作函数
2231()()()()()()k k t f t H t g x t x t x ?+=----
根据余项性质，有
1()0,()0k k x x ??+==
22
313()()()()()()()()()0
k k x f x H x g x x x x x f x H x R x ?+=----=--=
22311()()()()[2()()2()()]k k k k t f t H t g x t x t x t x t x ?++'''=----+-- ()0k x ?'∴=
1()0k x ?+'=
由罗尔定理可知，存在(,)k x x ξ∈和1(,)k x x ξ+∈，使
12()0,()0?ξ?ξ''==
即()x ?'在1[,]k k x x +上有四个互异零点。
根据罗尔定理，()t ?''在()t ?'的两个零点间至少有一个零点， 故()t ?''在1(,)k k x x +内至少有三个互异零点， 依此类推，(4)
()t ?
在1(,)k k x x +内至少有一个零点。
记为1(,)k k x x ξ+∈使
(4)(4)(4)3()()()4!()0f H g x ?ξξξ=--=
又(4)3()0H t =
(4)1()
(),(,)4!
k k f g x x x ξξ+∴=∈
其中ξ依赖于x
(4)221()
()()()4!
k k f R x x x x x ξ+∴=--
分段三次埃尔米特插值时，若节点为(0,1,,)k x k n = ，设步长为h ，即
0,0,1,,k x x kh k n =+= 在小区间1[,]k k x x +上
(4)22
1(4)
22
1()
()()()4!1()()()()4!
k k k k f R x x x x x R x f x x x x ξξ++=--∴=-- 22(4)122(4)14
(4)44(4)1
()()max ()
4!
1[()]max ()
4!2
11max ()
4!2
max ()384k k a x b k k a x b a x b a x b
x x x x f x x x x x f x h f x h f x +≤≤+≤≤≤≤≤≤≤
---+-≤=?=
16．求一个次数不高于
4
次的多项式
P （x ），使它满足
(0)(0)0,(1)(1)0,(2)0P P P P P ''=====
解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式
0101010,10,10,1
x x y y m m ====== 1
1
30
2
0100101
2
()()()
()(12
)()(12)(1)j j j j j j H x y x m x x x x x x x x x x x x αβα===+--=---=+-∑∑
2
10110102
()(12
)()(32)x x x x x x x x x x x α--=---=-
202
1()(1)()(1)x x x x x x
ββ=-=-
22323()(32)(1)2H x x x x x x x ∴=-+-=-+
设22301()()()()P x H x A x x x x =+-- 其中，A 为待定常数
3222
(2)1
()2(1)P P x x x Ax x =∴=-++-
14
A ∴=
从而2
21()(3)4
P x x x =
- 17．设2
()1/(1)f x x =+，在55x -≤≤上取10n =，按等距节点求分段线性插值函数()h I x ，
计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 值，并估计误差。 解：
若0105,5x x =-= 则步长1,h =
0,0,1,,10i x x ih i =+=
2
1
()1f x x
=
+ 在小区间1[,]i i x x +上，分段线性插值函数为
1111()()()i i
h i i i i i i
x x x x I x f x f x x x x x ++++--=
+--
122
111
()
()11i i
i i x x x x x x ++=-+-++ 各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值为 当 4.5x =±时，()0.0471,()0.0486h f x I x == 当 3.5x =±时，()0.0755,()0.0794h f x I x == 当 2.5x =±时，()0.1379,()0.1500h f x I x == 当 1.5x =±时，()0.3077,()0.3500h f x I x == 当0.5x =±时，()0.8000,()0.7500h f x I x ==
误差
12
55max ()()max ()8i i h x x x x h f x I x f ξ+≤≤-≤≤''-≤ 又21
()1f x x =
+ 22
2233
24
2(),(1)
62
()(1)2424()(1)x
f x x x f x x x x f x x -'∴=+-''=
+-'''=
+
令()0f x '''=
得()f x ''的驻点为1,21x =±和30x =
1,23551
(),()2
2
1
max ()()4
h x f x f x f x I x -≤≤''''==-∴-≤ 18．求2
()f x x =在[,]a b 上分段线性插值函数()h I x ，并估计误差。 解：
在区间[,]a b 上，01,,,0,1,,1,n i i i x a x b h x x i n +===-=-
01
2
max ()i
i n h h f x x
≤≤-==
∴函数()f x 在小区间1[,]i i x x +上分段线性插值函数为 11112
211()()()
1[()()]i i
h i i i i i i
i i i i i
x x x x I x f x f x x x x x x x x x x x h ++++++--=+--=
-+-
误差为
数值分析 第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证： （1） 0()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2）0 ()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 （1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0 ()()n k n j j j L x x l x == ∑。 插值余项为(1)1() ()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-= + 又,k n ≤Q
(1)()0 ()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0 000 (2)()() (())()()(()) n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 ()n k i j j j x l x x ==∑ ()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10 101010 ()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =() () x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0()0 f a f b L x ==∴=Q 又 插值余项为1011 ()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-= -- 011 ()()()()2 f x f x x x x x ''∴= --
数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若
（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位 有效数字: ***** 123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: * * * * * * * * 12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中* * * * 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 11783 100 n n Y Y -=- ( n=1,2,…) 计算到100Y .若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加, 而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101 n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 (21)f =-,取 2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 6 3 11,(322), ,9970 2. (21) (322) --++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =- -,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等 价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x - -=-+ + 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组{ 10 10 12121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin , 2 s ab c = 其中c 为弧度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证 明面积的误差s ?满足 . s a b c s a b c ????≤ ++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令
1、解：将)(x V n 按最后一行展开，即知)(x V n 是n 次多项式。 由于 n i i i n n n n n i n x x x x x x x x x x V ...1...1... ......... ...... 1 )(21110 20 0---= ，.1,...,1,0-=n i 故知0)(=i n x V ，即110,...,,-n x x x 是)(x V n 的根。又)(x V n 的最高 次幂 n x 的系数为 )(...1...1... ...... .........1),...,,(101 1 21 11 2 2221 02001101j n i j i n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x V -== ∏-≤<≤-----------。 故知).)...()()(,...,,()(1101101------=n n n n x x x x x x x x x V x V 6、解：（1）设 .)(k x x f =当n k ,...,1,0=时，有.0)()1(=+x f n 对 )(x f 构造Lagrange 插值多项式， ),()(0 x l x x L j n j k j n ∑== 其 0)()! 1() ()()()(1)1(=+=-=++x w n f x L x F x R n n n n ξ， ξ介于j x 之间，.,...,1,0n j = 故 ),()(x L x f n =即 .,...,1,0,)(0 n k x x l x k j n j k j ==∑= 特别地，当0=k 时， 10) (=∑=n j x j l 。 （2） 0)()1(1) ()1()()(0000=-=??? ? ??-??? ? ??-=--=-===∑∑∑∑k j j i j i k j k i i j i i k j n j k i i j k n j j x x x x i k x l x x i k x l x x ）利用（。 7、证明：以b a ,为节点进行线性插值，得 )()()(1 b f a b a x a f b a b x x P --+--= 因 0)()(==b f a f ，故0)(1=x P 。而 ))()(("2 1 )()(1b x a x f x P x f --= -ξ，b a <<ξ。 故)("max )(8 122)("max )(max 2 2 x f a b a b x f x f b x a b x a b x a ≤≤≤≤≤≤-=??? ??-≤。 14、解：设 ))...()(()(21n n x x x x x x a x f ---=， k x x g =)(，记)() (1 ∏=-=n j j n x x x w ，则 ),()(x w a x f n n =).()(' j n n j x w a x f = 由差商的性质知 [])! 1()(1,..,,1) (' 1 )(')('1 211 11 -== ==-===∑∑∑ n g a x x x g a x w x a x w a x x f x n n n n n j j n k j n n j j n n k j n j j k j ξ， ξ介于n x x ,...,1之间。 当20-≤≤ n k 时，0)()1(=-ξn g ， 当 1-=n k 时，)!1()(1-=-n g n ξ， 故 ???-=-≤≤=-= --=∑1,,20,0)!1()(1) ('1 11 n k a n k n g a x f x n n n n j j k j ξ 16、解：根据差商与微商的关系，有 [] 1! 7! 7!7)(2,...,2,2)7(7 10===ξf f ， [ ] 0! 80 !8)(2,...,2,2)8(8 1 ===ξf f 。 （ 13)(47+++=x x x x f 是7次多项式， 故 ,!7)()7(=x f 0)()8(=x f ）。 25、解：（1） 右边= [][]dx x S x f x S dx x S x f b a b a ??-+-)(")(")("2)(")("2 = [] d x x S x f x S x S x S x f x f b a ?-++-)("2)(")("2)(")(")("2)(" 222 = [] d x x S x f b a ?-)(")(" 22 = [][]dx x S dx x f b a b a 2 2 )(")("??- =左边。 （2）左边= ? -b a dx x S x f x S ))(")(")(("
第一章 绪论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。 解：近似值* x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-= = = 而ln x 的误差为()1 ln *ln *ln ** e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 解：设()n f x x =，则函数的条件数为'() | |() p xf x C f x = 又1 '()n f x nx -=Q , 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈?Q 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,* 57 1.0.x =? 解：* 1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中**** 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解：
*4 1* 3 2* 13* 3 4* 1 51()1021()1021()1021()1021()102 x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? *** 124***1244333 (1)()()()() 1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? *** 123*********123231132143 (2)() ()()() 111 1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ ** 24**** 24422 *4 33 5 (3)(/) ()() 11 0.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈ ??+??= ?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ===g g (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=g 又(*)1r V ε=Q
数值分析 2?当x=1,—1,2时，f(x)=O, 一3,4,求f(x)的二次插值多项式。解： X 0 =1,x j = — 1,x 2 = 2, f(X。)= 0, f (xj = -3, f (x2)= 4; l o(x)=(x-xi^~x2\=-1(x 1)(x-2) (x o -X/X o _x2) 2 (x -x0)(x -x2) 1 l i(x) 0 2(x-1)(x-2) (x i ~x0)(x i ~x2) 6 (x—x0)(x—x,) 1 l2(x) 0 1(x-1)(x 1) (X2 -X°)(X2 - X i) 3 则二次拉格朗日插值多项式为 2 L 2(X)= ' y k 1 k ( x) kz0 = -3l°(x) 4l2(x) 1 4 =(x_1)(x—2) 4 (x-1)(x 1) 2 3 5 2 3 7 x x - 6 2 3 6?设Xj, j =0,1,||(,n 为互异节点，求证： n (1 )7 x：l j(x) =x k(k =0,1川,n); j=0 n (2 )7 (X j -x)k l j(x)三0 (k =0,1川,n); j ￡ 证明 (1)令f(x)=x k
n 若插值节点为X j, j =0,1,|l(, n，则函数f (x)的n次插值多项式为L n(x)八x k l j(x)。 j=0 f (n 十)(?) 插值余项为R n(X)二f(X)-L n(X) n1(X) (n +1)!
.f(n1)( ^0 R n(X)=O n 二瓦x k l j(x) =x k(k =0,1川,n); j ：o n ⑵、(X j -x)k l j(x) j卫 n n =為(' C?x j(—x)k_L)l j(x) j =0 i =0 n n i k i i =為C k( -x) (、X j l j(x)) i =0 j=0 又70 _i _n 由上题结论可知 n .原式二''C k(-x)k_L x' i=0 =(X -X)k =0 -得证。 7设f (x) c2 la,b 1且f (a) =f (b)二0,求证: max f(x)兰一(b-a) max a $至小一*丘f (x). 解：令x^a,x^b，以此为插值节点，则线性插值多项式为 L i(x^ f(x o) x x f (xj X o —人x -X o X —X o x-b x-a ==f(a) f(b)- a - b x -a 又T f (a) = f (b)二0 L i(x) = 0 1 插值余项为R(x)二f (x) - L,(x) f (x)(x - X Q)(X - xj 1 f(x) = 2 f (x)(x -X g)(X -xj
第四版 数值分析习题 第一章绪论 1.设x>0,x得相对误差为δ,求得误差、 2.设x得相对误差为2％,求得相对误差、 3.下列各数都就是经过四舍五入得到得近似数,即误差限不超过最后一位得半个单位,试指 出它们就是几位有效数字: 4.利用公式(3、3)求下列各近似值得误差限: 其中均为第3题所给得数、 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许得相对误差限就是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到、若取≈27、982(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程得两个根,使它至少具有四位有效数字(≈27、982)、 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形得边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g就是准确得,而对t得测量有±0、1秒得误差,证明当t增加时S得绝对误差增 加,而相对误差却减小、 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到得结果最好? 13.,求f(30)得值、若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果就是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c得误差分别为证明面积得误差满足 第二章插值法 1.根据(2、2)定义得范德蒙行列式,令 证明就是n次多项式,它得根就是,且 、 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)得二次插值多项式、 3. 4., 研究用线性插值求cos x 近似值时得总误差界、
第7章复习与思考题
求f (X )= 0的零点就等价于求(x )的不动点，选择一个初始近似值X 0，将它代入X =「(X ) 的右端，可求得 X 1 h%X °)，如此反复迭代有 X k 1 二(X k ), k =0,1,2,..., (X)称为迭代函数，如果对任何 X 。? [a,b]，由x k 卜h%x k ),k =0,1,2,...得到的序列 〈X k 1有极限 则称迭代方程收敛，且X* =?(x*)为?(X )的不动点 故称 X k q 二(X k ), k =0,1,2,...为不动点迭代法。 5?什么是迭代法的收敛阶？如何衡量迭代法收敛的快慢？如何确定 X k 1 二「(X k )(k =0,1,2,...)的收敛阶 P219 设迭代过程X k 1'h%X k )收敛于 (X)的根X*，如果当k > 时，迭代误差 e k = x k - x *满足渐近关系式 —t C,C =const 式 0 e/ 则称该迭代过程是 p 阶收敛的，特别点，当 p=1时称为线性收敛，P>1时称为超线性收敛， p=2时称为平方收敛。 以收敛阶的大小衡量收敛速度的快慢。 6?什么是求解f(x)=0的牛顿法？它是否总是收敛的？若 f(X*) =0，X*是单根，f 是光 滑，证明牛顿法是局部二阶收敛的。 牛顿法: 当| f (X k )卜J 时收敛。 7?什么是弦截法？试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。 在牛顿法的基础上使用 2点的的斜率代替一点的倒数求法。就是弦截法。 收敛阶弦截法1.618小于牛顿法2 计算量弦截法 <牛顿法(减少了倒数的计算量) 8?什么是解方程的抛物线法？在求多项式全部零点中是否优于牛顿法？ P229 X - m X k 1 =X k f (X k ) f (X k )
第一章 绪论（12） 1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。 [解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=* ****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为* * ** ln ln ) (ln )(ln x x x x r δ εε= = 。 2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 [解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为n n x x n x n x x n x x x ** 1 *** %2%2) ()()()(ln * ?=='=-=εε， 相对误差为%2) () (ln )(ln *** n x x x n r == εε。 3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： 1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5 ?=x 。 [解]1021.1*1 =x 有5位有效数字；0031.0* 2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56* 4 =x 有5位有效数字；0.17*5?=x 有2位有效数字。 4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中* 4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给 的数。 （1）* 4*2*1x x x ++； [解]3 334* 4*2*11** *4*2*1*1005.1102 1 10211021)()()()()(----=?=?+?+?=++=? ??? ????=++∑x x x x x f x x x e n k k k εεεε； （2）* 3*2 *1x x x ；
第一章 题12 给定节点01x =-，11x =，23x =，34x =，试分别对下列函数导出拉格朗日插值余项： （1） （1） 3 ()432f x x x =-+ （2） （2） 4 3 ()2f x x x =- 解 （1）(4) ()0f x =， 由拉格朗日插值余项得(4)0123() ()()()()()()0 4!f f x p x x x x x x x x x ξ-=----=； （2）(4) ()4!f x = 由拉格朗日插值余项得 01234! ()()()()()() 4! f x p x x x x x x x x x -= ----(1)(1)(3)(4)x x x x =+---. 题15 证明：对于()f x 以0x ，1x 为节点的一次插值多项式()p x ，插值误差 012 10()()()max () 8x x x x x f x p x f x ≤≤-''-≤. 证 由拉格朗日插值余项得 01() ()()()()2!f f x p x x x x x ξ''-= --，其中01x x ξ≤≤， 01 0101max ()()()()()()()() 2!2!x x x f x f f x p x x x x x x x x x ξ≤≤''''-=--≤-- 01210()max () 8x x x x x f x ≤≤-''≤. 题22 采用下列方法构造满足条件(0)(0)0p p '==，(1)(1)1p p '==的插值多项式 ()p x ： （1） （1） 用待定系数法； （2） （2） 利用承袭性，先考察插值条件(0)(0)0p p '==，(1)1p =的插值多项式 ()p x . 解 （1）有四个插值条件，故设230123()p x a a x a x a x =+++，2 123()23p x a a x a x '=++， 代入得方程组001231123010231 a a a a a a a a a =? ?+++=?? =? ?++=? 解之，得01230 021 a a a a =??=?? =??=-?
数值分析 第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4; ()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--= =-+-----= =------==-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 1 4(1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证： （1）0 ()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2） 0()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 （1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0()()n k n j j j L x x l x ==∑。 插值余项为(1)1()()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-=+ 又,k n ≤Q
(1)()0()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0 ()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 000(2)()() (())()()(())n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 0()n k i j j j x l x x ==∑ 0()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10101010()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =()()x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0 ()0 f a f b L x ==∴=Q 又 插值余项为1011()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-=-- 011()()()()2 f x f x x x x x ''∴=--
数值分析复习题 一、填空 Chapter1 绪论 近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有 3 位有效数字. 用1000.1近似真值1000时，其有效数字有 4 位， 已知准确值x*与其有t 位有效数字的近似值12 10.10(0)s n x a a a a =?≠的绝对误差为 1 x*-x 102s t -≤ ?。 设 2.40315x * =是真值 2.40194x =的近似值，则x * 有 3 位有效数字。 设一近似数x*=2.5231具有5位有效数字，则其相对误差限是44 11 1010224--?=?? ，其绝对误差限是4 1 102-?。 当x 很大时，为防止损失有效数字，应该使 = 。 Chapter2 插值方法 设642 ()3651f x x x x =+-+，则[3,2,1,0,1,2,3]f ---= 3 。 若 42 f(x)=2x +x -3, 则f[1,2,3,4,5,6]= 0 。 对 32f(x)=x +3x -x+5,差商f[0,1,2,3,4]= 0 。 设 643()35f x x x x =-+-，则差商[0,1,2,3,4,5,6]f = 1 。 已知y=f(x)的均差 021[,,]5f x x x =, 402[,,]9f x x x =, f[x4, x3, x2]=14， f[x0, x3, x2]=8 ,.那么 均差f[x4, x2, x0]= 9 。（交换不变性） 设有数据112 032 x y -则其 2 次 Larange 插值多项式为 32 (1)(2)(1)(1)23x x x x -+-++-，2次拟合多项式为 （最佳平方逼近可求）。？？？ 以n + 1个 整 数 点k ( k =0,1,2,…,n) 为 节 点 的 Lagrange 插 值 基 函 数 为 ()k l x ( k =0,1,2,…,n)，则 n k k=0 kl (x)= ∑ x 。？？（注： k y k =，则有拉格朗日插值公式：
解: X 0 1,X 1 1,X 2 2, f(x 。) 0,f(X 1) 3,f(X 2) 4; 1 -(X 1)(x 2) 2 1 -(x 1)(x 2) 6 1 3(x 1)(x 1) 6?设X j , j 0,1,L ,n 为互异节点，求证： n (1) x ：l j (x) x k (k 0,1,L ,n); j 0 n (2) (X j x)k l j (x) 0 (k 0,1,L ,n); j 0 证明 (1)令 f (x) x k n 若插值节点为X j ,j 0,1,L , n ，则函数f (x)的n 次插值多项式为 x k l j (x)。 j 0 f (n 1}() 插值余项为 R n (x) f (x) L n (x) n 1(x) (n 1)! 又Q k n, 第二章 2?当 x 1, 1,2 时，f(x) 数值分析 0, 3,4,求f (x)的二次插值多项 式。 X 2 (X 4 一 3 2) (X X /V 1 - 2(X X 1)(x X 2) (X 。 X 1)(X ° X 2) (X X 0)(X X 2) (X 1 沧)任 X 2) (X X °)(X X 1) (X 2 X °)(X 2 X 1) l °(x ) h(x) 则二次拉格朗日插值多项式为 2 L 2(X ) y k l k (x) k 0
f (n 1)( ) 0 FUx) 0 n x ：l j (x) x k (k 0,1,L ,n); j 0 n ⑵(X j x)k l j (x) j 0 n n (C?x j ( x)ki )l j (x) j 0 i 0 n n i k i i C k ( x) ( X j l j (x)) i 0 j 0 又Q 0 i n 由上题结论可知 n x ：l j (x) x i j 0 n 原式 C k ( x)k i x i i 0 (x x)k 又 Q f (a) f(b) 0 L i (x) 0 插值余项为R(x) 1 f (x) J(x) - f (x)(x x °)(x x i ) 7 设 f (x) 2 C 2 a,b 且 f (a) f(b) max f (x) a x b 1(b a) 2 max a x b f (x). 解：令X 。 a, x i b ， 以此为插值节点 x X X X 0 L i (x) f(x 。) f (X i ) X 0 X i X X 0 X b X a = f(a) f(b)- 得证。 a b x a 0,求证: 则线性插值多项式为 f(x) 2f (x)(x x))(x X i )
1第一章 习题解答 1 设x >0，x 的相对误差限为δ，求 ln x 的误差。 解：设 x 的准确值为x *，则有 ( | x – x * | /|x *| ) ≤ δ 所以 e (ln x )=| ln x – ln x * | =| x – x * | ×| (ln x )’|x=ξ·≈ ( | x – x * | / | x *| ) ≤ δ 另解： e (ln x )=| ln x – ln x * | =| ln (x / x *) | = | ln (( x – x * + x *)/ x *) | = | ln (( x – x * )/ x * + 1) |≤( | x – x * | /|x *| ) ≤ δ 2 设 x = – 2.18 和 y = 2.1200 都是由准确值经四舍五入而得到的近似值。求绝对误差限ε( x ) 和 ε( y ) 。 解：| e (x ) | = |e (– 2.18)|≤ 0.005，| e (y ) | = |e ( 2.1200)|≤ 0.00005，所以 ε( x )=0.005， ε( y ) = 0.00005。 3 下近似值的绝对误差限都是 0.005，问各近似值有几位有效数字 x 1=1.38，x 2= –0.0312，x 3= 0.00086 解：根据有效数字定义，绝对误差限不超过末位数半个单位。由题设知，x 1，x 2， x 3有效数末位数均为小数点后第二位。故x 1具有三位有效数字，x 2具有一位有效数字，x 3具有零位有效数字。 4 已知近似数x 有两位有效数字，试求其相对误差限。 解：| e r (x ) | ≤ 5 × 10– 2 。 5 设 y 0 = 28，按递推公式 y n = y n-1 – 783/ 100 ( n = 1，2，…) 计算到y 100。若取≈78327.982 （五位有效数字），试问，计算 y 100 将有多大的误差？ 解：由于初值 y 0 = 28 没有误差，误差是由≈78327.982所引起。记 x = 27.982，783?=x δ。则利用理论准确成立的递推式 y n = y n-1 – 783/ 100 和实际计算中递推式 Y n = Y n-1 – x / 100 (Y 0 = y 0) 两式相减，得 e ( Y n ) = Y n – y n = Y n-1 – y n-1 – ( x – 783)/ 100 所以，有 e ( Y n ) = e ( Y n-1) – δ / 100 利用上式求和 δ?=∑∑=?=100111001)()(n n n n Y e Y e 化简，得 e ( Y 100) = e ( Y 0) – δ = δ 所以，计算y 100 的误差界为 4100105001.05.0)(?×=×=≤δεY 6 求方程 x 2 – 56x + 1 = 0的两个根，问要使它们具有四位有效数字，D=ac b 42 ?至少要取几位有效数字？ 如果利用韦达定理，D 又应该取几位有效数字？ 解：在方程中，a = 1，b = – 56，c = 1，故D=4562?≈55.96427，取七位有效数字。
第一章绪论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。 解：近似值* x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-= == 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln ** e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 解：设()n f x x =，则函数的条件数为'() | |() p xf x C f x = 又1 '()n f x nx -= , 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, * 456.430x =,*57 1.0.x =? 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) * * * 124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解：
*4 1* 3 2* 13* 3 4* 1 51()1021()1021()1021()1021()102 x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? *** 124***1244333 (1)()()()() 1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? *** 123*********123231132143 (2)() ()()() 111 1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ ** 24**** 24422 *4 33 5 (3)(/) ()() 11 0.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈ ??+??= ?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为34 3 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε=
数值分析课后习题部分参考答案
数值分析课后习题部分参考答案 Chapter 1 （P10）5. 求2的近似值* x ，使其相对误差不超 过%1.0。 解： 4.12=。 设* x 有n 位有效数字，则n x e -??≤10105.0|)(|* 。 从而， 1 105.0|)(|1* n r x e -?≤ 。 故，若% 1.0105.01≤?-n ，则满足要求。 解之得，4≥n 。414 .1* =x 。 （P10）7. 正方形的边长约cm 100，问测量边长时误差应多大，才能保证面积的误差不超过12 cm 。 解：设边长为a ，则cm a 100≈。 设测量边长时的绝对误差为e ，由误差在数值计算的传播，这时得到的面积的绝对误差有如下估计:e ??≈1002。按测量要求，1|1002|≤??e 解得，2 105.0||-?≤e 。 Chapter 2
（P47）5. 用三角分解法求下列矩阵的逆矩阵： ?? ?? ? ??--=011012111A 。 解：设() γβα =-1 A 。分别求如下线性方程组： ?? ?? ? ??=001αA ， ?? ?? ? ??=010βA ， ?? ?? ? ??=100γA 。 先求A 的LU 分解（利用分解的紧凑格式）， ???? ? ??-----3)0(2)1(1)1(2)0(1)1(2)2(1)1(1)1(1)1(。 即， ?? ?? ? ??=121012001L ，?? ?? ? ??---=300210111U 。 经直接三角分解法的回代程，分别求解方程组， ?? ??? ??=001Ly 和y U =α，得， ?? ?? ? ??-=100α； ?? ?? ? ??=010Ly 和y U =β，得， ???? ??? ? ??=323131β； ?? ?? ? ??=100Ly 和y U =γ，得，； ???? ??? ? ??--=313231γ。
习 题 五 解 答 1、用矩形公式、梯形公式、抛物线公式计算下列积分，并比较结果。 (1)120(8)4x dx n x =+?，(2)20sin (8)x xdx n π=? (3)1 (4)n =? ，(4)1 (4)x e dx n -=? 1*、用矩形公式、梯形公式、抛物线公式计算下列积分，并比较结果。 (1)12 0(4)4x dx n x =+? 解：解：将区间［0，1］4等分，5个分点上的被积函数值列表如下（取2位小数） (1)矩形法。 用矩形法公式计算（取 2位小数） 或者 (2)梯形法 用梯形法公式计算（取2位小数）： (3)抛物线法 用抛物线法公式计算（取2位小数）： 2、用复化梯形公式计算积分841dx x ?，由此计算ln2（注：841 ln 2dx x =?），精度要求为410-。 解：8418 ln8ln 4ln ln 24 dx x =-==?， 要求精度为410-，即误差不超过41 102 ε-=?。 将积分区间［4，8］n 等份，则步长844 h n n -== 在本题中，复化梯形公式的余项为2228484416 ()()()()12123r h f f f n n ηηη--''''''=-=-=- 注意到 231 (),(),()2f x f x x f x x x --'''==-=， 所以在［4，8］区间上3()24f x -''≤?， 则3 2232 161621283346r n n n -?≤ ??==?， 要使4211 1062n -≤? ，需有42421110310577.36757862n n n n n -≤??≥?≥ ?≥?=。 3、用复合梯形公式计算积分()b a f x dx ?，问将积分区间[a,b]分成多少等份，才能保证误差不超过 ε（不计舍入误差）？ 解：对于复合梯形公式来说，如果()f x ''在积分区间上连续，则其余项为 2 (),[,]12 b a r h f a b ηη-''=-∈， 设max ()a x b M f x ≤≤''=，