导数
一、填空题
1.已知m x x x f +-=2362)(（m 为常数）在[-2,2]上有最大值3，那么此函数在[]2,2-上的最小值
为 ．
2.函数2cos y x x =+在区间[0,
]2
π
上的最大值是
3.已知函数32()3(0)f x x a x a a =-+>的极大值为正数，极小值为负数，则
a 的取值范围
是 ． 4.若函数()x x x f -=3
3
1在()
210,a a -上有最小值，实数a 的取值范围为___________ 5.函数2
1()22
f x x ax lnx =
-+在(0,)+∞上不单调,则a 的取值范围是 。 6.函数x x y -+-=51245的最大值是 .
7.已知函数[]2,2,)(23-∈+++=x c bx ax x x f 表示过原点的曲线，且在1±=x 处的切线的倾斜角
均为
π4
3
，有以下命题： ①)(x f 的解析式为[]2,2,4)(3-∈-=x x x x f ； ②)(x f 的极值点有且只有一个； ③)(x f 的最大值与最小值之和等于零； 其中正确命题的序号为_ ．
8.定义在(0,)+∞上的可导函数()f x 满足：()()x f x f x '?<且(1)0f =,则
()
0f x x
<的解集为 。
9.已知x x x f cos sin )(1+=，记'21()()f x f x =,'32()()f x f x =,…,)()('1x f x f n n -=
)2*,(≥∈n N n ,则122009()()()444
f f f πππ
+++= ▲ ．
10.已知函数f (x )是定义在实数集R 上的函数，给出下列结论：
①若存在常数x 0，使f’(x )＝0，则函数f (x )必在x 0处取得极值； ②若函数f (x )在x 0处取得极值，则函数f (x )在x 0处必可导；
③若函数f (x )在R 上处处可导，则它有极小值就是它在R 上的最小值； ④若对于任意x ≠x 0都有f’(x )>f (x )，则f (x 0)是函数f (x )的最小值；
⑤若对于任意x
正确结论的序号是 ．
11.对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则
数列1n a n ??
?
?+??
的前n 项和的公式是 12.点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点, 则点P 到直线2+=x y 的距离的最小值是 13.曲线y =xe x +2x +1在点（0,1）处的切线方程为_________。
二、解答题
14.已知函数??
?>≤+-=1,ln 1,)(23x x x ax x x x f ，在1=x 处连续.
（1）求函数()f x 的单调减区间；
（2）若不等式()f x x c ≤+对一切x R ∈恒成立，求c 的取值范围．
15.已知函数2()ln 1x f x a x x a a =+->，．
（I ）求证：()f x 在(0,)+∞上单调递增； （Ⅱ）函数|()|1y f x t =--有三个零点，求t 值；
（Ⅲ）对1212,[ 1.1].|()()|1x x f x f x e ?∈--≤-恒成立，求a 的取值范围．
16. 已知函数),,,()(23R d c b a d cx bx ax x f ∈+++=，且函数)(x f 的图象关于原点
对称，其图象在x=3处的切线方程为0188=--y x （1）求)(x f 的解析式；
（2）是否存在区间[m ，n]，使得函数)(x g 的定义域和值域均为[m ，n]，且其解析式为)(x f 的解析式？若存在，求出这样一个区间[m ，n]；若不存在，则说明理由.
17.已知函数)0()(>++
=a c x
b
ax x f 的图象在点))1(,1(f 处的切线方程为.1-=x y （I ）用a 表示出b ，c ；
（II ）若[)+∞≥,1ln )(在x x f 上恒成立，求a 的取值范围； （III ）证明：).1()
1(2)1ln(131211≥+++>++++n n n n n
18.已知函数()ln f x e x =，1()()(1)g x e f x x -=?-+．（e=2.718…)
（I ）求函数()g x 的极大值；
（II ）求证：*111
1......ln(1)()23n n N n
++++>+∈ ； （Ⅲ）对于函数()f x 与()h x 定义域上的任意实数x ，若存在常数,k b ，使得()f x kx b ≤+ 和()h x kx b ≥+都成立，则称直线y kx b =+为函数()f x 与()h x 的“分界
线”．设函数21
()2
h x x =，试探究函数()f x 与()h x 是否存在“分界线”？若存在，请加以证明，
并求出,k b 的值；若不存在，请说明理由．
19.设函数2()ln f x x x ax =++.
（Ⅰ）若x ＝1
2
时，()f x 取得极值，求a 的值；
（Ⅱ）若()f x 在其定义域内为增函数，求a 的取值范围；
（Ⅲ）设2
()()1g x f x x =-+，当a =－1时，证明()0g x ￡在其定义域内恒成立，并证明
22222
22ln 2ln 3ln 21
232(1)
n n n n n --+++<+L （2n ,n 纬N ）.
导数答案解析
一、填空题 1.-37
2.36
+π
3.2
2
>
a
4.12<≤-a ;
5.1a >
6.13
7.①③
8.(1,)+∞
10.⑤ 11.1
2
2n +- ()()
/
11
2
22,:222(2)
n n
n x y n y n x --==-++
=-
+-切线方程为， 令0x =，求出切线与y 轴交点的纵坐标为()012n
y n =+，所以
21n n a n =+，则数列1n a n ??
??+??
的前n 项和()12122212
n n n S +-=
=--
12.
21
; 13.31y x =+
【解析】2'++=x x xe e y ，斜率k ＝200
++e ＝3，所以，y －1＝3x ，即31y x =+
二、解答题
14.解：（1）由)(x f 在1=x 处连续，可得1ln 11=+-a ，故0=a ………………1分
∴??
?>≤-=1,ln ,
1,)(23x x x x x x f …………………………2分 当1 -='，令0)(<'x f ，可得 32 0< 当1>x 时， x x f 1 )(= '，故0)(>'x f ………………5分 所以函数)(x f 的单调减区间为（0，32 ）………………6分 （2）设 ?? ?>-≤--=-=)1(ln ) 1()()(23x x x x x x x x x f x g 当1 123)(2 --='x x x g ， 令0)(>'x g ，可得 31- - 令0)(<'x g ，可得131 <<- x 可得)31,(--∞为函数)(x g 的单调增区间，) 1,31 (-为函数)(x g 的单调减区间. 当1>x 时， 11 )(-= 'x x g ， 故当1>x 时，0)(<'x g . 可得),1(∞+为函数)(x g 的单调减区间. 又函数)(x g 在1=x 处连续， 于是函数)(x g 的单调增区间为)31,(--∞，单调减区间为) ,31 (∞+-………………10分 所以函数)(x g 的最大值为275 3191271)31(= +--=-g ，要使不等式c x x f +≤)(对一切R x ∈恒成立， 即c x g ≤)(对一切R x ∈恒成立， 又 275 )(≤ x g ， 故c 的取值范围为275 ≥ c …………………………12分 15.解：（I ）'()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a =+-=+-， 由于1a >，故尝(0,)x ∈+∞时，ln 010x a a >->，，所以'()0f x >， 故函数()f x 在(0,)+∞上单调递增。， （Ⅱ）令0ln )1(2)('=-+=a a x x f x ，得到0x =， 因为函数|()|1f x t -- 有三个零点，所以()1f x t =±有三个根， 因为当x →∞时，()f x →+∞，所以min 1(0)1t f f -===，故2t = （Ⅲ）由（Ⅱ）可知()f x 在区间[1,0]-上单调递减，在区间[0,1]上单调递增。 所以min max (0)1,max{(1),(1)}f f f f f ===--， 1(1)1ln ,(1)1ln f a f a a a -= ++=+- 1 (1)(1)2l n f f a a a --=-- 记x x x x g ln 21 )(--= 则0)11(2)1(1)('2 2≥-=-+=x x x x g （仅在1x =时取到等号）， 所以1()2ln g x x x x =--递增，故1 (1)(1)2ln 0f f a a a --=-->， 所以(1)(1)f f >- ， 于是max (1)1ln .f f a a ==+- 故对1212max ,[1,1],|()()||(1)(0)|ln .x x f x f x f f a a ?∈--=-=- ln 1a a e -≤-，所以1a e <≤。 16.解：（1）)(x f 的图象关于原点对称， 0)()(=+-∴x f x f 恒成立， 即0,0222==∴=+d b d bx 又)(x f 的图象在x=3处的切线方程为0188=--y x ， 即),3(86-=-x y …………2分 c ax x f cx ax x f f f +=∴+===∴233)(',)(.6)3(,8)3('而且…………3分 .1 31,6327)3(,827)3('????? -==???=+==+=∴c a c a f c a f 解得 故所求的解析式为.3 1)(3 x x x f -= …………6分 （2）解60, , 3 13±==????? =-=x x x y x x y 或得 又10)(',1)('2±==-=x x f x x f 得由， 且当[)(] 6,11,6=--=x x 或时，;0)('>x f …………8分 当.0)(')1,1(<-∈x f x 时 ]6,1[]1,6[)(和在--∴x f 递增；在[-1，1]上递减…………9分 ]6,6[)(-∴在x f 上的极大值和极小值分别为.3 2 )1(32)1(-== -f f 而.63 2 326<<- <- 故存在这样的区间[m ，n]，其中一个区间为].6,6[-…………12分 17.本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证 的能力和分类讨论的思想. 解：（I ）? ??-=-=???=-==++=- =.21,1,1)1(',0)1(,)('2 a c a b b a f c b a f x b a x f 解得则有 （II ）由（I ）知，.211 )(a x a ax x f -+-+= 令[),,1,ln 211 ln )()(2+∞∈--+-+ =-=x x a x a ax x x f x g 则,)1)(1() 1(11)(',0)1(2 22 2x a a x x a x a x ax x x a a x g g -- -=---=--- == （i ）当.11,