高三新课标理科数学一轮复习课时提能演练 5.2 等差数列及其前n
项和
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.(2012·北京模拟)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 4＋a 7)＋3(a 9＋a 11)＝24，则此数列的前13项之和等于( )
(A)13 (B)26 (C)52 (D)156
2.(2012·汕头模拟)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的
题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17
是较小的两份之和，问最小的1份为( )
(A)53 (B)103 (C)56 (D)116
3.如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝( )
(A)14 (B)21 (C)28 (D)35
4.(易错题)已知数列a n ＝????? n －1(n 为奇数)n(n 为偶数)，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 99＋a 100＝( )
(A)4 800 (B)4 900 (C)5 000 (D)5 100
5.已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d<0；S n 是数列{a n }的前n 项和，
则( )
(A)S 5>S 6 (B)S 5
(C)S 6＝0 (D)S 5＝S 6
6.(2012·保定模拟)在递减等差数列{a n }中，若a 1＋a 100＝0，则其前n 项和S n 取最大值时的n 值为( )
(A)49 (B)51 (C)48 (D)50
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.(2012·湛江模拟)在等差数列{a n }中，a 9＋a 11＝10，则数列{a n }的前19项之和是 .
8.(2012·郑州模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 8＝13，则S 8S 16
＝ . 9.(预测题)各项均不为零的等差数列{a n }中，若a n 2－a n －1－a n ＋1＝0(n∈N *
，n≥2)，则S 2 012等于 .
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.在数列{a n }中， a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n ，设b n ＝a n
2
n －1，求证：数列{b n }是等差数列. 11.已知数列{a n }中，a 1＝8， a 4＝2，且满足a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设S n 是数列{|a n |}的前n 项和，求S n .
【探究创新】
(16分)已知分别以d 1，d 2为公差的等差数列{a n }，{b n }满足a 1＝18，b 14＝36.
(1)若d 1＝18，且存在正整数m ，使得a 2
m ＝b m ＋14－45，求证：d 2>108；
(2)若a k ＝b k ＝0，且数列a 1，a 2，…，a k ，b k ＋1，b k ＋2，…，b 14的前n 项和S n 满足S 14＝2S k ，求数列{a n }，{b n }的通项公式；
(3)在(2)的条件下，令c n ＝2an ，f n ＝2bn ，问不等式c n f n ＋1≤c n ＋f n 是否对n∈N *恒成立？请说明理由.
答案解析
1.【解析】选B.∵2(a 1＋a 4＋a 7)＋3(a 9＋a 11)＝6a 4＋6a 10＝24，
∴a 4＋a 10＝4.
∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 4＋a 10)2
＝26. 2.【解题指南】设五个人所分得的面包为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d(d ＞0)；则由五个
人的面包和为100，得a 的值；由较大的三份之和的17
是较小的两份之和，得d 的值；从而得最小的1份a －2d 的值.
【解析】选A.设五个人所分得的面包为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d(其中d ＞0)， 则(a －2d)＋(a －d)＋a ＋(a ＋d)＋(a ＋2d)＝5a ＝100，∴a ＝20.
由17
(a ＋a ＋d ＋a ＋2d)＝a －2d ＋a －d ， 得3a ＋3d ＝7(2a －3d)，∴24d ＝11a ，∴d ＝556
， 所以，最小的1份为a －2d ＝20－1106＝53
.
3.【解析】选C.在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，由等差数列的性质可知a 3＋a 5＝2a 4，所以a 4＝4，根据等差数列的性质可知a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝28，故选C.
4.【解析】选C.由题意得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 99＋a 100
＝0＋2＋2＋4＋4＋…＋98＋98＋100
＝2(2＋4＋6＋…＋98)＋100
＝2×49×(2＋98)2
＋100＝5 000. 5.【解题指南】根据公差d<0和|a 3|＝|a 9|可知a 3＋a 9＝0，从而确定出a 6＝0，然后根据选项即可判断.
【解析】选D.∵d<0，|a 3|＝|a 9|，
∴a 3>0，a 9<0，
且a 3＋a 9＝0，∴a 6＝0，a 5>0，a 7<0；
∴S 5＝S 6.
6.【解析】选D.∵a 1＋a 100＝a 50＋a 51＝0，且d<0，
∴a 50>0，a 51<0，
∴当n ＝50时，S n 取最大值.
7.【解析】S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19(a 9＋a 11)2
＝19×102
＝95. 答案：95
8.【解析】∵S 4S 8＝4a 1＋6d 8a 1＋28d ＝13，∴a 1＝52
d ， ∴S 8S 16＝8a 1＋28d 16a 1＋120d ＝48d 160d ＝310
. 答案：310
【方法技巧】巧解前n 项和的比值问题
关于前n 项和的比值问题，一般可采用前n 项和与中间项的关系，尤其是项数为奇数时，S n ＝na 中，也可利用首项与公差的关系求解.另外，熟记以下结论对解题会有很大帮助：若数
列{a n }与{b n }都是等差数列，且前n 项和分别为S n 与T n ，则a m b m ＝S 2m －1T 2m －1
. 【变式备选】等差数列{a n }中，若a 5a 3＝59，则S 9S 5
＝ .
【解析】S 9S 5＝9a 55a 3＝95×59
＝1. 答案：1
9.【解题指南】解答本题的关键是对条件“a n 2－a n －1－a n ＋1＝0”的应用，可根据各项下标的关系得到a n －1＋a n ＋1＝2a n ，从而解方程可求a n .
【解析】∵a n －1＋a n ＋1＝2a n ，
∴a 2n －a n －1－a n ＋1＝a n 2－2a n ＝0，
解得a n ＝2或a n ＝0(舍).
∴S 2 012＝2×2 012＝4 024.
答案：4 024
10.【证明】∵a n ＋1＝2a n ＋2n ，
∴b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n 2
n －1＋1＝b n ＋1， ∴b n ＋1－b n ＝1.
又b 1＝a 1＝1，
∴数列{b n }是首项为1，公差为1的等差数列.
11.【解析】(1)由2a n ＋1＝a n ＋2＋a n 可得{a n }是等差数列，且公差d ＝a 4－a 14－1＝2－83
＝－2. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋10.
(2)令a n ≥0得n ≤5.
即当n ≤5时，a n ≥0；n ≥6时，a n <0.
∴当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |
＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝－n 2＋9n ；
当n ≥6时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |
＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n )
＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＋2(a 1＋a 2＋…＋a 5)
＝－(－n 2＋9n)＋2×(－52＋45)
＝n 2－9n ＋40，
∴S n ＝????? －n 2＋9n (n ≤5)，n 2－9n ＋40 (n ≥6).
【探究创新】
【解析】(1)依题意，[18＋(m －1)×18]2
＝36＋(m ＋14－14)d 2－45，
即(18m)2＝md 2－9，即d 2＝182m ＋9m ≥2182
×9＝108；
等号成立的条件为182m ＝9m ，即m ＝16，
∵m ∈N *，∴等号不成立，∴原命题成立.
(2)由S 14＝2S k 得：S k ＝S 14－S k ， 即：18＋02×k ＝36＋02×(14－k ＋1)，
则9k ＝18×(15－k)，得k ＝10， d 1＝0－189＝－2，d 2＝36－0
14－10＝9， 则a n ＝－2n ＋20，b n ＝9n －90；
(3)不等式恒成立.在(2)的条件下，c n ＝2a n ，f n ＝2b n ， 要使c n f n ＋1≤c n ＋f n ，即要满足(c n －1)(f n －1)≤0， 又c n ＝220－2n
＝410－n ，f n ＝29n －90＝512n －10， ∴数列{c n }单调递减；{f n }单调递增， ①当正整数n ≤9时，c n －1>0，f n －1<0，(c n －1)(f n －1)<0； ②当正整数n ≥11时，c n －1<0，f n －1>0，(c n －1)(f n －1)<0； ③当正整数n ＝10时，c n －1＝0，f n －1＝0，(c n －1)(f n －1)＝0， 综上所述，对n ∈N *，不等式c n f n ＋1≤c n ＋f n 恒成立.
§2.1 等差数列（二） 教学目标 1．知识与技能:能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问 题；体会等差数列与一次函数的关系。 2. 过程与方法:进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概 念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。 3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。 教学重点：会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。 教学难点：等差数列与一次函数之间的联系 教学过程： 一、等差数列的通项公式 特征： 1? 等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，n 是自变量,+∈N n n a 是函数 2? 如果通项公式是关于n 的一次函数，则该数列成等差数列； 证明：若A n B A B A n A B An a n )1()()1(-++=++-=+= 它是以B A +为首项，A 为公差的等差数列。 3? 图象是直线)(1d a dx y -+=上一些等间隔的点，公差d 是该直线的斜率. 4? 公式中若 0>d 则数列递增，0 例1:已知(1,1),(3,5)是等差数列{an}图像上的两点. (1)求这个数列的通项公式; (2)画出这个数列的图像; (3)判断这个数列的单调性. 解:(1)略. (2)图像是直线y=2x-1上一些等间隔的点. (3)因为一次函数y=2x-1是增函数, 所以数列{an}是递增数列. 二、等差中项的概念 如果在a 与b 中间插入一个数A, 使a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项 若A 是a 与b 的等差中项，则2 b a A += 或b a A +=2 证明：设公差为d ，则d a A += d a b 2+= ∴A d a d a a b a =+=++=+222 例2:一个木制梯形架的上、下两底边分别为33cm ，75cm ，把梯形的两腰各6等分，用平行 木条连接各对应点，构成梯形架的各级。试计算梯形架中间各级的宽度。 解: 记梯形架自上而下各级宽度所构成的数列为{an},则由梯形中位 线的性质，易知每相邻三项均成等差数列，从而{an}成等差数列。 依题意有cm a 331= cm a 757= 现要求65432,,,a a a a a ,即中间5层的宽度。 )(76 33751717cm a a d =-=--=cm a 407332=+=， cm a 477403=+=,cm a 544=， cm a 615=，cm a 686= 答：梯形架中间各级的宽度自上而下依次是40cm,47cm,54cm,61cm,68cm. 例3：在-1与7之间顺次插入三个数c b a ,,使这五个数成等差数列，求此数列。 解：∵成等差数列7,,,,1c b a - ∴b 是-1与7 的等差中项 ∴ 3271=+-= b a 又是-1与3的等差中项 ∴12 31=+-=a c 又是1与7的等差中项 ∴52 73=+=c 7533 课时作业(四) 等差数列的性质 [练基础] 1．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( ) A ．5 B ．8 C ．10 D ．14 2．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 等于( ) A ．8 B ．4 C ．6 D ．12 3．数列{a n }满足3＋a n ＝a n ＋1且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 6(a 5＋a 7＋a 9)的值是( ) A ．－2 B ．－12 C ．2 D.12 4．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( ) A ．a 1＋a 101>0 B ．a 2＋a 101<0 C ．a 3＋a 99＝0 D ．a 51＝51 5．在通常情况下，从地面到10 km 高空，高度每增加1 km ，气温就下降某一个固定数值．如果1 km 高度的气温是8.5 ℃，5 km 高度的气温是－17.5 ℃，则4 km 高度的气温是________ ℃ 6．若关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0和x 2－x ＋n ＝0(m ，n ∈R 且m ≠n ) 的四个根组成首项为14的等差数列，求m ＋n 的值． [提能力] 7．(多选题)下列说法中不正确的是( ) A ．若a ，b ，c 成等差数列，则a 2，b 2，c 2成等差数列 B ．若a ，b ，c 成等差数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 成等差数列 C ．若a ，b ，c 成等差数列，则a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列 一、等差数列选择题 1．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足() 12n n n S +=，则数列11n n a a +?????? 的前10项的和为（ ） A ． 89 B ． 910 C ．10 11 D ． 1112 2．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161 B ．155 C ．141 D ．139 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 2=8，38522a a a +=+，则a 1等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200 B ．100 C ．90 D ．80 5．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（ ） A ．3斤 B ．6斤 C ．9斤 D ．12斤 6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足 122527 n n a a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（ ） A ．6- B ．2- C ．1- D ．0 7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且62 10S S ，则34a a +=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8．定义 12n n p p p ++ +为n 个正数12,, ,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前 n 项的“均倒数”为 12n ，又2n n a b =，则1223 910 111 b b b b b b +++ =（ ） A ． 8 17 B ． 1021 C ． 1123 D ． 9 19 9．题目文件丢失！ 10．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划. 课时作业9 等差数列的前n 项和 |基础巩固|(25分钟，60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．等差数列{a n }中，a 4＝7，a 5＋a 6＝20，则前n 项和为( ) A ．n 2 B ．n 2＋n C ．2n 2 D ．2n 2－n 解析：设{a n }的首项为a 1，公差为d ，则有 { a 4＝a 1＋3d ＝7，a 5＋a 6＝2a 1＋9d ＝20，解得{ a 1＝1，d ＝2. 所以S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2，选A. 答案：A 2．(江西九江期末)在等差数列{a n }中，已知a 6＝1，则数列{a n }的前11项和S 11等于( ) A ．7 B ．9 C ．11 D ．13 解析：S 11＝11(a 1＋a 11)2 ＝11×a 6＝11.故选C. 答案：C 3．已知等差数列{a n }中a 1＝1，S n 为其前n 项和，且S 4＝S 9，a 4＋a k ＝0，则实数k 等于( ) A ．3 B ．6 C ．10 D ．11 解析：因为等差数列{a n }中a 1＝1，S n 为其前n 项和， 且S 4＝S 9， 所以S 9－S 4＝a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0， 所以5a 7＝0，即a 7＝0， 由等差数列的性质可得a 4＋a 10＝2a 7＝0， 因为a 4＋a k ＝0，所以k ＝10. 故选C. 答案：C 4．(山东枣庄八中月考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则S 9等于( ) A ．45 B ．81 C ．27 D ．54 解析：因为数列{a n }是等差数列， 所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列． 所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)， 即9＋S 9－36＝2(36－9)， 解得S 9＝81.故选B. 答案：B 2.2等差数列第二课时人教A版必修五 教学目标 1. 知识与技能 在理解等差数列定义及如何判定等差数列，学习等差数列通项公式的基础上，掌握等差中项的定义及应用，明确等差数列的性质，并用其进行一些相关等差数列的计算. 2.过程与方法 以等差数列的通项公式为工具，探究等差数列的性质，同时进一步培养学生归纳，总结的一些数学探究的方法. 3.情感、态度与价值观 在学习的过程中形成主动学习的情感与态度.在运用知识解决问题中体验数学的实际应用价值. 教学重点 （1）明确等差中项的定义及应用. （2）理解并掌握等差数列的性质. 教学难点 理解等差数列的性质的应用. 教辅手段 PPT,多媒体投影幕布 教学过程 一、复习引入——温故知新 【内容设置与处理方式】 借助课件引导学生共同回顾所学的等差数列的相关知识 1. 等差数列的定义 2. 等差数列的通项公式与公差 二、 新知探究 （一） 等差中项 【内容设置与处理方式】 直接给出等差中项的定义：由三个数b A a ,,组成的等差数列是最简单的等差数列，此时A 叫做a 和b 的等差中项.b a A +=2 同样,在等差数列}{n a 中,就有212+++=n n n a a a 成立. 等差中项可应用于判断一个数列是否为等差数列. （二） 等差数列的性质 1. 列举几个数列，观察数列的特点，研究公差与数列单调性的 关系. 问题1： 数列1: 1,3,5,7,9,11，…… 数列2： 30，25,20，15,10,5，…… 数列3： 8,8,8,8,8,8，…… 引导学生观察，得到等差数列的一个性质. 性质1：若数列}{n a 是等差数列，公差为d .若d >0,则是}{n a 递增数列；若d <0,则}{n a 是递减数列；若d =0,则}{n a 是常数列. 2.问题2:在等差数列}{n a 中,探究等差数列中任意两项m n a a ,之间的关系.它们之间的关系可表示为:d m n a a m n )(-+= 参考证明：由等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=得 本节课讲述的是人教版高一数学（上）§3.2等差数列（第一课时）的内容。 一、教材分析 1、教材的地位和作用： 数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。 2、教学目标 根据教学大纲的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标 a在知识上：理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想；初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。 b在能力上：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来 研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。 c在情感上：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。 3、教学重点和难点 根据教学大纲的要求我确定本节课的教学重点为: ①等差数列的概念。 ②等差数列的通项公式的推导过程及应用。 由于学生第一次接触不完全归纳法,对此并不熟悉因此用 不完全归纳法推导等差数列的同项公式是这节课的一个难点。同时，学生对“数学建模”的思想方法较为陌生，因此用数学思想解决实际问题是本节课的另一个难点。 二、学情分析对于三中的高一学生，知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了教强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。 二、教法分析 针对高中生这一思维特点和心理特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生 第五章 第二节 等差数列及其前n 项和 1.设命题甲为“a ，b ，c 成等差数列”，命题乙为“a b ＋c b ＝2”，那么 ( ) A ．甲是乙的充分不必要条件 B ．甲是乙的必要不充分条件 C ．甲是乙的充要条件 D ．甲是乙的既不充分也不必要条件 解析：由a b ＋c b ＝2，可得a ＋c ＝2b ，但a 、b 、c 均为零时，a 、b 、c 成等差数列，但a b ＋c b ≠2. 答案：B 2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n . (1)设b n ＝a n 2 n －1，证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解：(1)证明：由已知a n ＋1＝2a n ＋2n 得 b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n 2 n －1＋1＝b n ＋1. 又b 1＝a 1＝1， 因此{b n }是首项为1，公差为1的等差数列． (2)由(1)知a n 2 n －1＝n ，即a n ＝n ·2n －1. S n ＝1＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1， 两边乘以2得，2S n ＝2＋2×22＋…＋n ×2n . 两式相减得 S n ＝－1－21－22－…－2n －1＋n ·2n ＝－(2n －1)＋n ·2n ＝(n －1)2n ＋1. 3.(2009·福建高考)n n 334，则公差d 等于 ( ) A ．1 B.53 C ．2 D ．3 解析：∵S 3＝ (a 1＋a 3)×32＝6，而a 3＝4，∴a 1＝0， ∴d ＝a 3－a 12 ＝2. 答案：C 4．(2010·广州模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k 等于 ( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 解析：a n ＝????? S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2) ＝????? －8 (n ＝1) －10＋2n (n ≥2)＝2n －10， ∵5＜a k ＜8，∴5＜2k －10＜8， ∴152 无为二中公开课 教 学 设 计 课题《2.2等差数列》 执教人：汪桂霞 班级：高一（10）班 时间：2017.3.28（星期二）下午第一节 高一数学必修5 等差数列 第一课时 一、教学目标 （一）知识与技能目标 1.理解等差数列的定义及等差中项的定义 2. 掌握等差数列的通项公式及推广后的通项公式 3.灵活运用等差数列，熟练掌握知三求一的解题技巧 （2）过程与方法目标 1.培养学生观察能力 2.进一步提高学生推理、归纳能力 3.培养学生合作探究的能力，灵活应用知识的能力 （三）情感态度与价值观目标 1.体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神； 2.渗透函数、方程、化归的数学思想； 3.培养学生数学的应用意识，参与意识和创新意识。 二、教学重难点 （一）重点 1、等差数列概念的理解与掌握； 2、等差数列通项公式的推导与应用。 （二）难点 1、等差数列的应用及其证明 三、教学过程 （1）背景问题，创设情景 上节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式。这两个公式从不同的角度反映了数列的特点。下面请同学们观察两个表格的数据并进行填空。 思考问题（一）：在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星，请问你能预测出下次人类观测哈雷彗星的时间吗？ 1682，1758，1834，1910，1986，（ 2062 ） 特点：后一次观测时间比前一次观测时间增加了76年 我们把这些数据写成数列的形式：1682，1758，1834，1910，1986，2062...... 思考问题（二）：通常情况下，从地面到10公里的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据下表填写处空格处的信息吗？ 1234567 (9) 高度 h(km) 温度t(°)2821.5158.52(-4.5)(-11)......(-24)特点：高度每增加一千米，温度就降低6.5度。 我们把表格中的数据写成数列的形式：28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24....... [A 组 学业达标] 1．已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝4π，则cos a 5的值为( ) A ．－1 2 B ．－3 2 C.32 D.12 解析：因为{a n }为等差数列，a 1＋a 5＋a 9＝4π， 所以3a 5＝4π，解得a 5＝4π 3. 所以cos a 5＝cos 4π3＝－1 2. 答案：A 2．在等差数列{a n }中，a 3＋3a 8＋a 13＝120，则a 3＋a 13－a 8＝( ) A ．24 B ．22 C ．20 D ．－8 解析：因为数列{a n }为等差数列， 所以a 3＋3a 8＋a 13＝5a 8＝120，所以a 8＝24， 所以a 3＋a 13－a 8＝a 8＝24. 答案：A 3．设e ，f ，g ，h 四个数成递增的等差数列，且公差为d ，若eh ＝13，f ＋g ＝14，则d 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：e ，f ，g ，h 四个数成递增的等差数列，且eh ＝13，e ＋h ＝f ＋g ＝14， 解得e ＝1，h ＝13或e ＝13，h ＝1(不合题意，舍去)； 所以公差d ＝13(h －e )＝1 3×(13－1)＝4. 答案：D 4．已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若a m＝8，则m为() A．12 B．8 C．6 D．4 解析：由等差数列性质得， a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10) ＝2a8＋2a8＝4a8＝32， ∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8. 答案：B 5．若等差数列{a n}和{b n}的公差均为d(d≠0)，则下列数列中不为等差数列的是 () A．{λa n}(λ为常数) B．{a n＋b n} C．{a2n－b2n} D．{a n·b n} 解析：等差数列{a n}和{b n}的公差均为d(d≠0)，对于A，由λa n＋1－λa n＝λ(a n＋1－a n)＝λd为常数，则该数列为等差数列； 对于B，由a n＋1＋b n＋1－a n－b n＝(a n＋1－a n)＋(b n＋1－b n)＝2d为常数，则该数列为等差数列； 对于C，由a2n＋1－b2n＋1－(a2n－b2n)＝(a n＋1－a n)(a n＋1＋a n)－(b n＋1－b n)(b n＋1＋b n) ＝d(2a1＋(2n－1)d)－d(2b1＋(2n－1)d)＝2d(a1－b1)为常数，则该数列为等差数列； 对于D，由a n＋1b n＋1－a n b n＝(a n＋d)(b n＋d)－a n b n＝d2＋d(a n＋b n)不为常数，则该数列不为等差数列． 答案：D 6．在等差数列{a n}中，若a5＝a，a10＝b，则a15＝________. 解析：法一：d＝a10－a5 10－5 ＝ b－a 5， 一、等差数列选择题 1．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（ ）尺 A ． 47 B ． 1629 C ． 815 D ． 45 2．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3518a S +=，633a a =+，则n a =（ ） A ．1n - B ．n C ．21n - D ．2n 3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（ ） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列 D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列 4．等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若231 n n a n b n =+，则2121S T 的值为（ ） A ． 13 15 B ． 2335 C ． 1117 D ． 49 5．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且351024a a a ++=，则13S 的值为（ ） A ．8 B ．13 C ．26 D ．162 6．已知数列{}n a 为等差数列，2628a a +=，5943a a +=，则10a =（ ） A ．29 B ．38 C ．40 D ．58 7．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（ ） A ．11 B ．12 C ．23 D ．24 8．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则12 15 a b =（ ） A ． 3 2 B ． 7059 C ． 7159 D ．85 9．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161 B ．155 C ．141 D ．139 10．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21< 2021年高中数学 第二章 2.2等差数列（二）课时作业 新人教A 版必修5 课时目标 1．进一步熟练掌握等差数列的通项公式． 2．熟练运用等差数列的常用性质． 1．等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，当d ＝0时，a n 是关于n 的常函数；当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；点(n ，a n )分布在以d 为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点． 2．已知在公差为d 的等差数列{a n }中的第m 项a m 和第n 项a n (m ≠n )，则a m －a n m －n ＝d . 3．对于任意的正整数m 、n 、p 、q ，若m ＋n ＝p ＋q .则在等差数列{a n }中，a m ＋a n 与 a p ＋a q 之间的关系为a m ＋a n ＝a p ＋a q . 一、选择题 1．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12 a 8的值为( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 答案 C 解析 由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80， ∴a 6＝16，∴a 7－12a 8＝12 (2a 7－a 8) ＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12 a 6＝8. 2．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( ) A. 3 B ．± 3 C ．－33 D ．－ 3 答案 D 解析 由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π， ∴a 7＝4π3 . ∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3 ＝tan 2π3 ＝－ 3. 3．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( ) A ．12 B ．8 C ．6 D ．4 答案 B 解析 由等差数列性质a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32， 等差数列 教学目的： 1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式； 2．会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题 教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式 教学难点：等差数列的性质 教学过程： 引入：① 5，15，25，35，… 和 ② 3000，2995，2990，2985，… 请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？ 共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等-----应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列 二、讲解新课： 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的 差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） ⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N + ，则此数列是等差数列，d 为公差 2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可 得：d a a =-12即：d a a +=12 d a a =-23即：d a d a a 2123+=+= d a a =-34即：d a d a a 3134+=+= …… 由此归纳等差数列的通项公式可得：d n a a n )1(1-+= ∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项a 如数列①1，2，3，4，5，6； n n a n =?-+=1)1(1（1≤n ≤6） 数列②10，8，6，4，2，…； n n a n 212)2()1(10-=-?-+=（n ≥1） 数列③ ;,1,54 ;53,52;51Λ 5 51)1(51n n a n =?-+=（n ≥1） 由上述关系还可得：d m a a m )1(1-+= 即：d m a a m )1(1--= 则：=n a d n a )1(1-+=d m n a d n d m a m m )()1()1(-+=-+-- 即的第二通项公式 =n a d m n a m )(-+ ∴ d=n m a a n m -- 如：d a d a d a d a a 43212345+=+=+=+= 三、例题讲解 例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项 ⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？ §等差数列(一) 编者： 1.掌握等差数列的定义，通项公式 2.会求等差数列的通项公式；会证明一个数列是等差数列 3.探索通项公式推导过程中体现出的数学思想；利用直观图形表示数学概念的方法，体会数形结合思想； { 重点：对等差数列概念的理解及通项公式的运用；等差数列与一次函数之间的联系 使用说明： （1）预习教材，用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成下列问题，总结规律方法； （2）用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容； （3）不做标记的为C 级，标记★为B 级，标记★★为A 级。 预习案（20分钟） | 一．知识链接 1．数列有哪些表示方法 2．什么是数列的通项公式 探究案（30分钟） 二．新知探究 问题1：什么是等差数列什么是公差1,1,2,3,4…是等差数列吗 ( 归纳总结： 问题2：如何用数学语言来描述等差数列(定义式) 问题3：等差数列的单调性：数列为递增数列d ? ；数列为递减数列d ? ； 数列为常数列d ? . 问题4：你能用两种方法推导等差数列的通项公式吗 ) 组长评价： 教师评价： 问题5：等差数列通项公式：+=1a a n ，+=m n a a .(* ∈n n m ,) d= = 问题5：什么是等差中项两个数的等差中项一定存在吗唯一吗 ! 归纳总结： 问题6：数列{}n a 的通项公式为23+=n a n ，你能用定义证明它是等差数列吗 问题7：通项公式为q pn a n +=的数列{}n a 一定是等差数列吗如果是，首项与公差分别是多少 [ 问题8：你能发现等差数列q pn a n +=的图像与函数q px y +=的关系吗 归纳总结：判断数列为等差数列的方法： 三．新知应用 【知识点一】等差数列的概念 【 例1：在等差数列中 （1）已知,10,3,21===n d a 求n a （2）已知2,21,31===d a a n 求n （3）已知,27,1261==a a 求d （4）已知,8,3 17=-=a d 求1a 二、题型选析： 题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用） 1、.等差数列{a n }的前三项依次为 a-6 ，2a -5 ， -3a +2 ，则 a A . -1 B . 1 C .-2 D. 2 2．在数列 {a n } 中， a 1=2，2a n+1=2a n +1，则 a 101的值为 （ ） A ．49 B ．50 C ． 51 D ．52 3．等差数列 1，－ 1，－ 3，?，－ 89的项数是（ ） 等差数列 一．等差数列知识点： 知识点 1、等差数列的定义 : ①如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列 就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示 知识点 2、等差数列的判定方法 : ②定义法：对于数列 a n ，若a n 1 a n d （常数） ，则数列 a n 是等差数列 ③等差中项：对于数列 a n ，若2a n 1 a n a n 2，则数列 a n 是等差数列 知识点 3、等差数列的通项公式 : 的首项是 a 1 ，公差是 d ，则等差数列的通项为 该公式整理后是关于 n 的一次函数 n 项和 : n （n 1） ⑥ S n na 1 d 2 ④如果等差数列 a n a n a 1 （n 1）d 知识点 4、等差数列的前 ⑤ Sn n （a 1 a n ） 2 对于公式 2整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数 知识点 5、等差中项 : ⑥如果 a ， A ， b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与b 的等差中项即： A a b 或2A a b 在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项 与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项 知识点 6、等差数列的性质 : ⑦等差数列任意两项间的关系：如果 且 m n ，公差为 d ，则有 a n a m （n ⑧ 对于等差数列 a n ，若 n m p a n 是等差数列的第 n 项， a m 是等差数列的第 m 项， m ）d q ，则 a n a m a p a q 也就是： a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 ⑨若数列 a n 是等差数列， 等差数列如下图所示： S n 是其前 n 项的和， k N ，那么 S k ， S 2k S k ， S 3k S 2k 成 S 3k a 1 a 2 a 3 S k a k a k 1 S 2k a 2k S k a 2k 1 S 3k S 2k a 3k ①若项数为 2n n * ， 则 S 2n n a n a n 1 ， 且 S 偶 S 奇 S 奇 nd ， 奇 an ． ②若项数为 2n 1 n S 偶 a n 1 S 奇 n （其中 S 奇 na n ， S 偶 n 1 a n ）． S 偶 n 1 奇 等差数列的前 n 项和的性质： 10、 ，则 S 2n 1 2n 1 a n ，且 S 奇 S 偶 a n ， 等于（ ） 《等差数列》第一课时教案 一、教材分析 1、教材的地位和作用： 数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。 2、教学目标 根据教学大纲的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标 a在知识上：理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想；初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。 b在能力上：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。 c在情感上：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。 3、教学重点和难点 根据教学大纲的要求我确定本节课的教学重点为: ①等差数列的概念。 ②等差数列的通项公式的推导过程及应用。 由于学生第一次接触不完全归纳法,对此并不熟悉因此用不完全归纳法推导等差数列的同项公式是这节课的一个难点。同时，学生对“数学建模”的思想方法较为陌生，因此用数学思想解决实际问题是本节课的另一个难点。 二、学情分析对于三中的高一学生，知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了教强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。 二、教法分析 针对高中生这一思维特点和心理特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。 三、学法指导在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。 四、教学程序 本节课的教学过程由（一）复习引入（二）新课探究（三）应用例解（四）反馈练习（五）归纳小结（六）布置作业， 【高考调研】2015年高中数学课时作业11 等差数列（第3课时) 新人教版必修5 1、在等差数列{a n｝中,已知a1＝2,a2＋a3＝13,则a4＋a5＋a6等于（) A、40 B、42 C、43 D、45 答案 B 解析∵a2＋a3＝13，∴2a1＋3d＝13、∵a1＝2，∴d＝3、 而a4＋a5＋a6＝3a5＝3（a1＋4d）＝42、 2、在等差数列－5，－3错误!,－2，－错误!,…中，每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列,则新数列的通项公式为（） A、an＝错误!n－错误! B、an＝－5－错误!（n－1） C、an＝－5－错误!（n－1) D、an＝错误!n2－3n 答案 A 解析首项为－5,公差为错误!＝错误!, ∴an＝－5＋(n－1）·错误!＝错误!n－错误!、 3、若a,b，c成等差数列,则二次函数y＝ax2＋2bx＋c的图像与x轴交点的个数就是（） A、0 B、1 C、2 D、1或2 答案 D 解析∵a、b、c成等差，∴2b＝a＋c、 ∴Δ＝（2b）2－4ac＝(a＋c）2－4ac＝(a－c)2≥0、 4、数列｛an｝中,a1＝15,3an＋1＝3an－2，那么该数列中相邻两项的乘积为负数的就是( ） A、a21与a22 B、a22与a23 C、a23与a24 D、a24与a25 答案 C 解析由3an＋1＝3an－2可知｛an｝为等差数列，又a1＝15， ∴an＝15＋（n－1）·（－2 3 ）＝－错误!n＋错误!＝错误!、 令an·an＋1〈0，即错误!·错误!<0、 可得错误! 2. 3《等差数列的前n 项和》作业（第二课时） 1.已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（ ） A.5 B.4 C. 3 D.2 2.在等差数列{}n a 中，若1264=+a a ,S n 是数列{}n a 的前n 项和，则9S 的值为 ( ) （A ）48 (B)54 (C)60 (D)66 3.设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若 3163=S S ,则=126S S ( ) （A ）103 （B ） 31 （C ）8 （D ）9 1 4.已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于（ ） A ．55 B ．70 C ．85 D ．100 5.设{}n a 是公差为正数的等差数列，若80,15321321==++a a a a a a ，， 则111213a a a ++= （ ） A ． 120 B ． 105 C ． 90 D ．75 6. {}n a 是首项1a =1，公差为d =3的等差数列，如果n a =2005，则序号n 等于( ) （A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670 7. 若等差数列{}n a 的前三项和93=S 且11=a ，则2a 等于（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S 若＝则432,3,1S a a ==（ ） A ．12 B ．10 C ．8 D ．6 9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ） A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 10. 等差数列{}n a 的公差是正数,且4,126473-=+-=a a a a ,求它的前20项的和. 2.2.1《等差数列》教学设计 难点理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义 环节1 创设情境，提出问题 在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星： （1）1682，1758，1834，1910，1986，（）你能预测出下一次的大致时间吗？ 主持人问: 最近的时间什么时候可以看到哈雷慧星？ 天文学家陈丹说: 2062年左右。 通常情况下，从地面到10公里的高空，气温随高度的变学生活动通过情景引出数列，观察发现其规律，通过规律填写内容。 ,3,5,7,9,x x x x x 环节二 化而变化符合一定的规律，请你根据下表估计一下珠穆朗玛峰峰顶的温度。 (2) 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24. 教师活动：提出问题，组织学生解决 问题1、你能根据规律在（ ）内填上合适的数吗？ (1)、1682，1758，1834，1910，1986，（2062）. (2)、28,21.5,15,8.5,2, …,（-24）. (3)、1，4，7，10，（ 13 ），16. (4)、2， 0， -2， -4， -6，（ 8 ）. 问题2、它们有何共同的规律？ (1)d=76 (2)d=-6.5 (3)d=3 (4)d=-2 环节2 等差数列的定义 等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。 教师活动：回归问题，组织学生解决 问题3、它们是等差数列吗？ (1)1, 3, 5, 7, 9,2, 4, 6, 8, 10 不是 (2)5，5，5，5，5，5，… 是，公差d=0，常数列 (3) 是，公差d=2x 环节3 等差数列等差中项公式 学生活动通过多个数列观察发现其共 同规律，讨出等差 数列定义，引出所学内容。 学生活动总结出结 论后对结论的简单 应用，步的熟悉等差数列 的定义。 {}是等差数列数列是常数n n 1n a )d (d a a ?=-+必修第二册课时作业：4.2.1.2 等差数列的性质 Word版含解析
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