2015年南安市初中学业质量检查数学试题
（满分：150分；考试时间：120分钟）
一、选择题(每小题3分，共21分）：每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确的．请
在答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得3分，答错或不答一律得0分． 1．－2015的绝对值是（ ）． A ．2015 B ．－2015 C ．20151 D ．2015
1
- 2．下列计算正确的是（ ）．
A ．6428)2(a a =
B ．4
3
a a a =+ C ．a a a =÷2
D ．222)(b a b a -=-
3．如图所示的物体的左视图．．．是（ ）．
4．若一个多边形的内角和等于720，则这个多边形的边数是 （ ）． A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
5．若1x ，2x 是一元二次方程016102
=++x x 的两个实根，则21x x +的值是（ ）． A ． －10 B ． 10 C ．－16 D ． 16
6. 如图, 线段AB 两个端点的坐标分别为A (6, 6), B (8, 2), 以原点O 为
位似中心, 在第一象限内将线段AB 缩小为原来的2
1
后得到线段CD ,
则端点C 的坐标为（ ）．
A. (3, 3)
B. (4, 3)
C. (3, 1)
D. (4, 1)
7．如图是某电信公司提供了A 、B 两种方案的移动通讯费用y （元）与通话时间x （分） 之间的关系，则下列结论中正确的共．有．（ ）． （1）若通话时间少于120分，则A 方案比B 方案便宜 （2）若通话时间超过200分，则B 方案比A 方案便宜
（3）若通讯费用为60元，则B 方案比A 方案的通话时间多 （4）当通话时间为170分钟时，A 方案与B 方案的费用相等 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
二、填空题（每小题4分，共40分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答． 8．因式分解：=-12
x ．
9．钓鱼岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积约6344000平方米， 数据6344000用科学记数法表示为_ _．
D
C B A
10．如图，直线a 、b 相交于点O ，∠1=50°，则∠2= 度．
11．计算：23
_______
2323x x x -=--．
12．某市上周空气质量指数(AQI)分别为：78，80，79，79，81，78，80. 这组数据的中位数是 ．
13．不等式组?
??+><12382x x x 的解集是 ．
14．如图，AD 为△ABC 中线，点G 为重心，若AD=6，则AG= ． 15．在一次函数32-=x y 中，y 随x 的增大而
（填“增大”或“减小”） ．
16．如图，扇形OAB 是一个圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1，则这个圆锥 的底面半径为 ．
17． 如图1，菱形ABCD 的对角线交于点O ，AC=2BD ，点P 是 AO 上一个动点，过点P 作 AC 的垂线交菱形的边于M ，N 两点．设AP ＝x ，△OMN 的面积为y ，表示y 与x 的 函数关系大致如图2所示的抛物线．
（1）图2所示抛物线的顶点坐标为（ , ) ； （2）菱形ABCD 的周长为 .
三、解答题（共89分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答．
18. ( 9分）计算：(
)
1
2015316231--+--??
?
??-.
19. ( 9分）先化简，再求值：()()2
24-++x x x ，其中2=
x .
20.( 9分）如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相
交于点E、F. 求证：OF
21．（9分）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．
（1）一辆正常行使的汽车经过某十字路口，则它向左转的概率为；
（2）现有甲、乙两辆汽车要经过这个十字路口，请用树形图或列表法表示出这两辆汽车行驶方向所有可能的结果，并求这两辆汽车都向左转的概率．
22．（9分）为开展“勤俭节约”教育活动，某校组织了主题为“让勤俭节约成为时尚”的电子作品征集活动，现从中随机抽取部分作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，并根据结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）一共抽取了份作品；
（2）此次抽取的作品中等级为B的作品有份，并补全条形统计图
．．．．．．．．；
（3）若该校共征集到800份作品，请估计等级为A的作品约有多少份．
23.（9分）阅读下面的材料： 某数学学习小组遇到这样一个问题： 如果α，β都为锐角，且1tan 4α=
，3
tan 5
β=，求αβ+的度数． 该数学课外小组最后是这样解决问题的：如图1，把α，β放在正方形网格中，使得
ABD α∠=，CBE β∠=，且BA ，BC 在直线BD 的两侧，连接AC .
（1）观察图象可知： αβ+=∠ABC = °；
（2）请参考该数学小组的方法解决问题：如果α，β都为锐角，当tan 3α=，1
tan 2
β=
时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角．．．．．．．．α．，画出∠MON=αβ-，并求∠MON 的度数．
24.（9分）已知：如图，点B （3，3）在双曲线x k y =
（其中x ＞0）上，点D 在双曲线x
y 4
-= （ 其中x ＜0）上，点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，且点A 、B 、C 、D 围成的四边形为正方形．（1）求k 的值；（2）设点A 的坐标为()0,a ，求a 的值．
25.（12分）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA= 4,OC=3．直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，且保持直线m∥AC．设直线m 与矩形OABC的其中两．条．边．分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒），△OMN的面
积为S，且S与t的函数图象如图2（实线部分）所示．
（1）图1中，点B的坐标是_______, 矩形OABC的面积为；
图2中，a= , b= ．
（2）求图2中的图象所对应的函数关系式．
（3）求t 为何值时，直线m把矩形OABC的面积分成1︰3两部分．
26.（14分）已知：如图，点A （3，4）在直线y=kx 上，过A 作AB ⊥x 轴于点B. （1）求k 的值；
（2）设点B 关于直线y=kx 的对称点为C 点，求ΔABC 外接圆的面积； （3） 抛物线2
119
y x =
-与x 轴的交点为Q ，试问在直线y=kx 上是否存在点P ，使得CPQ OAB ∠=∠，如果存在，请求出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由.
2015年南安市初中学业质量检查
数学试题参考答案及评分标准
说明：
（一）考生的正确解法与“参考答案”不同时，可参照“参考答案及评分标准”的精神进行评分．
（二）如解答的某一步出现错误，这一错误没有改变后续部分的考查目的，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的二分之一；如属严重的概念性错误，就不给分．
（三）以下解答各行右端所注分数表示正确做完该步应得的累计分数． 一、选择题（每小题3分，共21分）
1．A ； 2．C ； 3．D ； 4．B ； 5．A ； 6．A ； 7．D ． 二、填空题（每小题4分，共40分）
8．)1)(1(-+x x ； 9．6
10344.6?； 10．050 11．1 ； 12．79 ； 13．41< 14． 4 ；15．增大； 16． 2 2 17．（1） ?? ? ??81,21； （2） 52． 三、解答题（共89分） 18．（本小题9分） 解：原式＝1423-+-………8分（每对一个得2分）＝4……9分 19．（本小题9分）解：原式＝4442 2+-++x x x x ……4分 ＝422 +x …6分 当2= x 时，原式＝4)2(22 +?…7分 ＝8…9分 20．（本小题9分）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BO=DO ，AB ∥CD ．…3分 ∴∠EBO ＝∠FDO ．…4分 ∵∠EBO ＝∠FDO ．BO=DO ，∠BOE ＝∠DOF ． ∴△BOE ≌△DOF ．……7分 ∴OE ＝OF ．………9分 21. （本小题9分）解：（1）P （左转）＝ 3 1 ；……3分 分 （或画树状图：略）∴由上表知：P （两辆汽车都向左转的概率） = ．…9分 22．（本小题9分）解：（1）120，……3分， （2）48，补全统计图，如图所示：……6分 （3）根据题意得：800× =240（份）……8分 答：估计等级为A 的作品约有240份．…9分 23. （本小题9分）解：（1） αβ+=∠ABC = 45°. …4分 （2）如图，∠MON=αβ-……………7分 由网格图象得：△OMN 为等腰直角三角形， ∠OMN=90 °,∠MON= 45°.………………9分 (或说明△OMQ 为等腰直角三角形) 24．（本小题9分）解：∵点B （3，3）在双曲线x k y =上， ∴ 3 3k = ，∴9=k ………3分 （2）过D 作DE ⊥x 于点E ，过点B 作BF ⊥x 于点F ………4分 则∠DEA=∠AF B=90°， ∵点B （3，3） ∴BF=3,OF=3 ∵A 的坐标为()0,a ∴OA=a ,AF=a -3………………5分 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ，∠DAB=90°， ∠DAE+∠BAF=90°，又∵∠DAE+∠ADE=90°， ∴∠ADE=∠BAF 在△DAE 和△ABF 中，?? ? ??=∠=∠∠=∠AB AD BAF ADE AFB DEA ， ∴△DAE ≌△ABF （AAS ），…6分 ∴DE=AF=a -3，AE=FB=3，∴OE=a -3…7分 又∵点D 在第二象限，∴D （a a --3,3）；点D 在双曲线x y 4 -= ∴343--=-a a ……8分 ∴51==a a 或(不合题意，舍去） ∴1=a ……9分 25．（本小题12分） 解：（1）B （4，3）, 矩形OABC 的面积=12， a= 4 , b= 6 ………………4分 （2）当0＜t≤4时,如图1，∵MN ∥AC ∴ ,43 OM ON t ON OA OC ==即， ON=34t ……5分 ∴ S= 21133 2248 OM ON t t t ?=??=………6分 当4＜t ＜8时，如图2，∵OD=t ，∴AD= t －4， 由△DAM ∽△AOC ，得AM= 3(4)4t -，∴ BM=3 64t -， 由△BMN ∽△BAC ，得BN=4 3 BM =8－t ，∴CN=t －4，…7分 ∴S=S 矩形OABC －S △OAM －S △MBN －S △NCO =12－ 3(4)2t -－13(8)(6)24t t --－3(4)2t -=23 38 t t -+…8分 （另解：S=S △ODN －S △ODM =()t t t t t 38 3 2443 232+-=-?- ） （3）∵矩形OABC 的面积为12被分成1︰3两部分， ∴可得分成三角形和五边形的面积分别为3和9……9分 当0＜t≤4时，S △AOC =3，∴2 3 38t = ，解得t =…10分 当4＜t ＜8时，S △MBN =3, ∴13 (8)(6)24 t t --=3, 解得18t =- 288(t =+>不合，舍去）………11分 综上：当t = 或8t =-OABC 的面积被MN 分成1:3两部分………12分 26.．（本小题12分）∵点A （3，4）在直线y=kx 上， ∴ 3k=4, ∴ k= 4 3 ……3分 (2) 如图1，∵点C 、B 关于直线OA 对称， ∴OA 是CB 的中垂线………………………4分 作AB 的中垂线y=2与OA 交于点E ， ∴E 为△ABC 的外接圆圆心,………………5分 ∵F 为AB 的中点， E F ∥OB ∴E 为OA 的中点,OA 为该圆的直径………6分 ∴△ABC 的外接圆的面积=2 222125()()2 4 4 4 OA OA OB AB π π π π= = += …7分 （注：证A 、C 、O 、B 四点共圆，得OA 是直径，按步骤相应给分） (3) 由2 119 y x = -，当0=y 时，21109x -=，解得123,3x x ==- ， ∴Q 点的坐标为（3，0）或（－3，0） ………8分 ①当Q 为（3，0）时，Q 与B 重合，如图2： 以A 为圆心，AB 为半径作圆交OA 于一点，即为P 点，如图2， ∠CPQ ＝ 1 2 ∠C AB=∠O AB ……………9分 此时 AP=AB=4,作PH ⊥x 轴于H 则AB ∥PH ，△OAB ∽△OPH ∴ ,OA OB AB OP OH PH ==可得2736 ,55 OH PH == ∴点P 的坐标为P 2736 ( ,)55 由对称性可求另一点P `的坐标为 P 81108 (,)2525 -- …………10分 ②当Q 为（－3，0）时,如图3： 设BC 与OA 交于M 点 ∴CM=MB ，QO=OB ∴CQ ∥QA ， ∴∠QCB ＝∠OMB ＝90°， 以O 为圆心，OB 为半径作圆交OA 于两点，即为P 点 点C 在⊙O 上，∠C PQ ＝∠CBQ ，………………11分 ∵∠CBQ+∠POB ＝∠O AB+∠POB ＝90° ∴∠CBQ=∠O AB ∴∠C PQ=∠O AB 满足条件 ∴OP=OB=3 由△OPH ∽△OAB 得,OP OH PH OA OB AB == 可得912,55OH PH == ∴ 点P 的坐标为912(,)55 由中心对称可得另一点P 的坐标为912(,)55 --………13分 综上, 点P 共有四点： 2736(,)55,81108(,)2525--，912(,)55 912(,)55 -- 14分
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