2018-2019学年1月广东省普通高中学业水平考试
数学试卷
一、选择题（本题共有15小题，每小题4分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，温
馨提示：多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。高考保持心平气和，不要紧张，像对待平时考试一样去做题，做完检查一下题目，不要直接交卷，检查下有没有错的地方，然后耐心等待考试结束。
只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合M={0,2,4}, N={1,2,3}, P={0,3}, 则()M
N P = （ ）
A.{0,1,2,3,4}
B.{0,3}
C.{0,4}
D.{0} 2.函数y=lg (x+1) 的定义域是（ ）
A.(,)-∞+∞
B. (0,)+∞
C. (1,)-+∞
D. [1,)-+∞
3.设i 为虚数单位,则复数1i
i
-= （ ）
A. 1+i
B.1-i
C. -1+i
D. -1-i
4.命题甲：球的半径为1cm;命题乙:球的体积为43
πcm 3,则甲是乙的（ ） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.已知直线l 过点A(1,2),且与直线1
12y x =
+垂直,则直线l 的方程是（ ） A. y =2x B. y =-2x +4 C. 1322y x =+ D. 15
22
y x =+
6.顶点在原点，准线为x =-2的抛物线的标准方程是（ ）
A.2
8y x = B. 2
8y x =- C. 2
8x y = D. 2
8x y =-
7.已知三点A(-3, 3), B(0, 1), C(1,0),
=+（ ）
A. 5
B. 4
C.
D. 8.已知角α的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴,终边过点
P
)
2-,下列等式不正确的
是（ ）
A. 2sin 3α=-
B. 2sin()3απ+=
C. cos α=
D. tan α= 9.下列等式恒成立的是（ ）
A. 2
3
x -= (0x ≠) B. 2
2
(3)3
x x =
C.22333log (1)log 2log (3)x x ++=+
D. 3
1
log 3
x x =- 10.已知数列{a }n 满足1
a 1=,且1a a 2n n +-=,则{a }n 的前n 项之和n S =（ ）
A. 2
1n + B. 2n C. 21n
- D. 1
2
n -
11.已知实数x, y, z 满足
3
2
x y x x y ≤≤+≥,则z =2x +y 的最大值为（ ）
A. 3
B. 5
C. 9
D. 10
12.已知点A(-1, 8)和B(5, 2),则以线段AB 为直径的圆的标准方程是（ ）
A.22(2)(5)x y +++=
B. 2
2
(2)(5)18x y +++= C. 22(2)(5)x y -+-= D. 2
2
(2)(5)18x y -+-= 13.下列不等式一定成立的是（ ）
A.12x x +
≥ (0x ≠) B. 22111
x x +≥+ (x R ∈) C. 212x x +≤ (x R ∈) D. 2
560x x ++≥ (x R ∈)
14.已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且当(,0]x ∈-∞时, 2
()sin f x x x =-,则当[0,]x ∈+∞时, ()f x =（ ）
A. 2sin x x +
B. 2sin x x --
C. 2sin x x -
D. 2
sin x x -+
15.已知样本12345,,,,x x x x x 的平均数为4, 方差为3, 则123456,6,6,6,6
x x x x x +++++
的平均数和方差分别为（ ）
A. 4和3
B. 4和9
C. 10和3
D. 10和9 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）
16.已知x >0, 且5
,,153
x 成等比数列,则x=
17. 函数
()sin cos(1)sin(1)cos f x x x x x =+++的最小正周期是
18.从1,2,3,4这四个数字中任意选取两个不同的数字,将它们组成一个两位数,该两位数小于20的概率是 19.中心在坐标原点的椭圆,其离心率为
1
2
,两个焦点F 1 和F 2在x 轴上,P 为该椭圆上的任意一点,若| PF 1 |+|PF 2|=4,则椭圆的标准方程是
三、 解答题（本题共2小题，每小题12分，满分24分，解答须写出文字说明，证明过程
和验算步骤）
20.ABC ?的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 已知cos cos a b
A B
= （1）证明: ABC ?为等腰三角形； （2）若a =2, c=3,求sin C 的值.
21.如图,在四棱锥P -ABCD 中,PA AB ⊥, PA AD ⊥,AC CD ⊥,60o ABC ∠=,
PA=AB=BC =2. E 是PC 的中点. （1）证明: PA CD ⊥； （2）求三棱锥P -ABC 的体积； （3）证明: AE PCD ⊥平面.
2017年1月广东省普通高中学业水平考试
数学试卷（答案解析）
1、B 解析：{}4,3,2,1,0=N M {}3,0)(=∴P N M .
2、C 解析： 对数函数要求真数大于0 101->?>+∴x x .
3、D 解析:
i i i i i i i i i --=--=-+=?-=-111
1
)1(1. 4、C 解析：充分性：若cm R 1=，则2
33
434cm R V ==π；同样利用此公式可证必要性.
5、B 解析：121-=?k k 两直线垂直 2-=∴k l 的斜率为
直线. 根据点斜式方程)(00x x k y y -=-可得)1(22--=-x y ，整理得42+-=x y . 6、A 解析：由准线方程2-=x 可知焦点在x 轴上 422
=?-=-∴p p
由px y 22=可得x y 82=.
7、A 解析：)1,1(),2,3(-=-= )3,4(-=+∴
5)3(422=-+=+.
8、D 解析：x
y r x r y y x r ===
=-+=+=
αααtan ,cos ,sin ,3)2()5(2222 C B A ,,∴正确，D 错误5525
2tan -
=-==
x y α. 9、D 解析：A.
)0(1
3
1
3
≠=-
x x x
；
B.x x 223)3(=；
C.)1(2log 2log )1(log 22222+=++x x . 10、B 解析：由已知可得{}n a 为首项为1，公差为2的等差数列
2122
)
1(2)1(n n n n d n n na S n =?-+=-+
=∴. 11、C 解析：如图，画出可行域，当直线z x y +-=2平移经过点A 时在y 轴上的截距z 取
得最大值，由)3,3(33
3A y x x y x ??
??==???==得 9332max =+?=∴z .
12、D 解析：圆的标准方程为2
2
2
)()r b y a x =-+-（，
其中圆心为)5,2()228,251(
=++-C ，半径为23)28()51(2
1
22=-+--=r ∴所求圆的标准方程为
18)5()222=-+-y x （. 13、B 解析：A 选项：错在x 可以小于0； B 选项：111
1)1(21111112
2
2222
=-+?+≥-+++=++
x x x x x x （当且仅当1
1
12
2
+=
+x x ，即0=x 时等号成立） C 选项：0)1(2122≥-=-+x x x x x 212≥+∴
D 选项：设652++=x x y 可知二次函数与x 轴有两个交点，其值可以小于0.
14、A 解析：)(x f 是定义在R 上的偶函数，且当(,0]x ∈-∞时, 2()sin f x x x =- 当[)+∞∈,0x 时，(]0,∞-∈-x )(s i n )s i n ()()(22x f x x x x x f =+=---=-∴
∴当[)+∞∈,0x 时，x x x f sin )(2+=.
15、C 解析：平均数加6，方差不变.
16、5 解析：15,,35x 成等比数列 25153
5
2=?=
∴x 又0>x 5=∴x . 17、π 解析：)12s i n ()1s i n ()1s i n (c o s )1c o s (s i n )(+=++=+++=x x x x x x x x f
∴函数)(x f 的最小正周期为ππ
ω
π
==
=
2
22T . 18、
4
1
解析：所有可能的基本事件有12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43共12个，其中小于20的两位数有12，13，14共3个，由古典概型计算公式可得该两位数小于20的概率为4
1123==
P . 19、13422=+y x 解析：根据焦点在x 轴上可设椭圆标准方程为122
22=+b
y a x 离心率2
1
==
a c e ，长轴长4221=+=PF PF a 312,1,22222=-=-===∴c a
b
c a
∴所求椭圆的标准方程为13
42
2=+y x .