第十章 第一节
一、选择题
1．(2013·潍坊模拟)为调查参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是( )
A ．1000名运动员是总体
B ．每个运动员是个体
C ．抽取的100名运动是样本
D ．样本容量是100 [答案] D
[解析] 本题主要考察对基本概念的理解，考察对象是运动员的年龄，故总体、个体、样本都应是运动员的年龄，因此A 、B 、C 都不对，选D ．
2．(文)为了了解参加一次知识竞赛的3204名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为80的样本，那么总体中应随机剔除的个体数目是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 [答案] C
[解析] 因为3204＝80×40＋4，所以应随机剔除4个个体，故选C ．
(理)(2014·安徽马鞍山第一次质检)高三(1)班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是( )
A ．8
B ．13
C ．15
D ．18 [答案] D
[解析] 因为系统抽样是等距抽样，44－31＝13，所以5＋13＝18.
3．(文)(2014·东营模拟)某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为( )
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12 [答案] B
[解析] 设高二学生中抽取x 人，则306＝40
x
，∴x ＝8.
(理)(2014·潍坊模拟)据报道，某退役卫星由于体积过大，通过大气层后不能完全燃烧，降到地球的概率约为
1
3200
，为了研究学生对这件事情的看法，某中学对此事进行了问卷调查，共收到2000份有效问卷，得到如下结果：
的问卷份数为( )
A ．2
B ．3
C ．5
D ．10
[答案] A
[解析] 由题意x ＝200，依分层抽样定义知，抽取关注且非常担心的问卷份数为200
2000
×20＝2.
4．(2013·哈尔滨模拟)一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{a n }，若a 3＝8，且a 1、a 3、a 7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是( )
A ．13,12
B ．13,13
C ．12,13
D ．13,14
[答案] B
[解析] 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，a 3＝8，a 1a 7＝a 23＝64，(8－2d )(8＋4d )＝64，(4
－d )(2＋d )＝8,2d －d 2＝0，又d ≠0，∴d ＝2，故样本数据为4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，样本的平均数为1
2(4＋22)×1010＝13，中位数为12＋14
2
＝13，故选B ．
5．(2013·新课标Ⅰ理，3)为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )
A ．简单随机抽样
B ．按性别分层抽样
C ．按学段分层抽样
D ．系统抽样
[答案] C
[解析] 因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．
6．(文)问题：①三种不同的容器中分别装有同一型号的零件400个、200个、150个，现在要从这750个零件中抽取一个容量为50的样本；②从20名学生中选出3名参加座谈会．
方法：Ⅰ.随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法． 其中问题与方法能配对的是( )
A ．①Ⅰ，②Ⅱ
B ．①Ⅲ，②Ⅰ
C ．①Ⅱ，②Ⅰ
D ．①Ⅲ，②Ⅱ
[答案] C
[解析] ①容器与抽取的样本无关，且总体数比较大，故可用系统抽样来抽取样本，②总体与样本都较少，可用随机抽样法．故选C ．
(理)(2013·安徽理，5)某班有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机咨询了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( )
A ．这种抽样方法是一种分层抽样
B ．这种抽样方法是一种系统抽样
C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 [答案] C
[解析] 五名男生成绩的平均数为1
5(86＋94＋88＋92＋90)＝90，
五名女生成绩的平均数为1
5(88＋93＋93＋88＋93)＝91，
五名男生成绩的方差为s 21＝
(86－90)2＋(94－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2＋(90－90)2
5＝8，
五名女生成绩的方差为
s 2
2＝2(88－91)2＋3(93－91)25
＝6，
所以s 21>s 2
2，故选C ．
二、填空题
7．(2013·武汉模拟)用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签方法确定的号码是________．
[答案] 6
[解析] 按系统抽样的定义，设第一组抽取号码为x ，则第16组抽取的号码为x ＋(16－1)×160
20
＝126，∴x ＝6.
8．(文)(2013·沈阳质检)沈阳市某高中有高一学生600人，高二学生500人，高三学生550人，现对学生关于消防安全知识了解情况进行分层抽样调查，若抽取了一个容量为n 的样本，其中高三学生有11人，则n 的值等于________．
[答案] 33
[解析] 由于分层抽样各层抽样比相等．
∴
n 600＋500＋550＝11
550
，∴n ＝33.
(理)(2013·福建漳州模拟)某校高三年级的学生共1000人，一次测验成绩的频率分布直方图如图所示，现要按如图所示的4个分数段进行分层抽样，抽取50人了解情况，则80～90分数段应抽取________人．
[答案] 20
[解析] 各分数段人数的比例为0.01∶0.02∶0.03∶0.04＝1∶2∶3∶4，故抽取50人，80～90分数段应抽取41＋2＋3＋4
×50＝20(人)．
9．(文)(2014·烟台模拟)某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为若干户的样本，若高收入家庭抽取了25户，则低收入家庭被抽取的户数为________．
[答案] 19
[解析] 设从低收入家庭中应抽取x 户，按分层抽样的定义知，12525＝95
x ，∴x ＝19.
(理)(2014·江西师大附中模拟)某校在科艺节时进行高一数学竞赛，将考生的成绩分成90分以下、90～120分、120～150分三种情况进行统计，发现三个成绩段的人数之比依次为5∶3∶1，现用分层抽样的方法抽出一个容量为m 的样本，其中分数在90～120分的人数是45，则此样本的容量m ＝________.
[答案] 135
[解析] 由题意得，45m ＝35＋3＋1，∴m ＝135.
三、解答题
10．为预防禽流感病毒暴发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过)，公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如下表：
0.33. (1)求x 的值；
(2)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C 组抽取多少个？ (3)已知y ≥465，z ≥30，求不能通过测试的概率．
[解析] (1)∵在全体样本中随机抽取1个，抽取B 组疫苗有效的概率约为其频率，即
x
2000＝0.33，
∴x ＝660.
(2)C 组样本个数为y ＋z ＝2000－(673＋77＋660＋90)＝500，
现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，则应在C 组抽取个数为
360
2000×500＝90.
(3)设测试不能通过的事件为A ，C 组疫苗有效与无效的可能的情况记为(y ，z )，由(2)知y ＋z ＝500，且y ，z ∈N ，所有基本事件有：(465,35)，(466,34)，(467,33)，(468,32)，(469,31)，(470,30)共6个，
若测试不能通过，则77＋90＋z >2000×(1－0.9)，即z >33，
事件A 包含的基本事件有：(465,35)，(466,34)共2个，∴P (A )＝26＝1
3，故不能通过测试的
概率为13
.
一、选择题
11．(2014·德州模拟)某学校从高三全体500名学生中抽取50名学生做学习状况问卷调查，现将500名学生从1到500进行编号，求得间隔数k ＝
500
50
＝10，即每10人抽取一个人，在1～10中随机抽取一个数，如果抽到的是6，则从125～140中应取的数是( )
A ．126
B ．136
C ．126或136
D ．126和136
[答案] D
[解析] 由分层抽样的知识知，抽取的号码为6＋10(k －1)(1≤k ≤10)， 由125≤6＋10(k －1)<140得，13≤k ≤14， 当k ＝13时，抽取号码为126， 当k ＝14时，抽取号码为136，故选D ．
12．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)的同学有30人，若想在这n 个人中抽取50个人，则在[50,60)之间应抽取的人数为( )
A ．10
B ．15
C ．25
D ．30
[答案] B
[解析] 根据频率分布直方图得总人数
n ＝30
1－(0.01＋0.024＋0.036)×10＝100，依题意知，应采取分层抽样，再根据分层抽样的特点，则在[50,60)之间应抽取的人数为50×30
100
＝15.
13．(2014·广东)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
A ．200,20
B ．100,20
C ．200,10
D ．100,10
[答案] A
[解析] 由题意知，该地区中小学生共有10000名，故样本容量为10000×2%＝200.由分层抽样知应抽取高中学生的人数为200×200010000
＝40，其中近视人数为40×50%＝20，故选A ．
14．(2014·广州综合测试一)某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数，并绘制成如图所示的频率分布直方图，样本数据分组为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．若用分层抽样的方法从样本中抽取分数在[80,100]范围内的数据16个，则其中分数在[90,100]范围内的样本数据有( )
A ．5个
B ．6个
C ．8个
D ．10个
[答案] B
[解析] 分数段在[80,100]范围内占所有分数段的百分比为(0.025＋0.015)×10＝0.4，其中
分数在[90,100]范围内的人数占所有分数段的百分比为0.015×10＝0.15，因此分数在[90,100]范围内占分数在[80,100]范围内的百分比为0.150.4＝3
8
，因此分数在[90,100]范围内样本数据有16×3
8
＝6，故选B ．
二、填空题
15．(2013·皖南八校第二次联考)某班有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为______的学生．
[答案] 37
[解析] 组距为50
10
＝5，第八组抽得号码为(8－3)×5＋12＝37.
16．(2014·锦州期中)某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n 个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体；如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，则n ＝________.
[答案] 6
[解析] 总体容量为6＋12＋18＝36.
当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的比例是n
36，抽取的工
程师人数为n 36×6＝n 6，技术员人数为n 36×12＝n 3，技工人数为n 36×18＝n
2，所以n 应是6的倍
数，36的约数，即n ＝6,12,18.
当样本容量为(n ＋1)时，总体需剔除1人，系统抽样的间隔为35n ＋1，因为35
n ＋1必须是整数，
所以n 只能取6.即样本容量n ＝6.
三、解答题
17．(文)郑州市某学校为了促进教师业务能力的提升，决定组织部分学科教师参加市达标课活动，规定用分层抽样的方法，先从语文、英语、政治、历史、地理学科中抽取部分教师参加，各学科教师人数分布表如下：
(1)求a、b
(2)若要在历史和地理学科已抽取的教师中，随机选取两名教师参加市教学技能竞赛，求抽取的两位教师全是历史教师的概率．
[解析](1)因为语文、英语、政治、历史、地理这5个学科的总人数之比为8∶8∶5∶4∶3，所以按照分层抽样各学科抽取的教师人数分别为8人、8人、5人、4人、3人．故a＝5，b＝4，c＝3.
(2)将历史教师分别记为x1、x2、x3、x4，地理教师分别记为y1、y2、y3，
则抽取两位教师可以是(x1，y1)，(x1，y2)，(x1，y3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x2，y3)，(x3，y1)，(x3，y2)，(x3，y3)，(x4，y1)，(x4，y2)，(x4，y3)，(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，x4)，(x2，x3)，(x2，x4)，(x3，x4)，(y1，y2)，(y1，y3)，(y2，y3)，共21种情况；
抽取的两位教师全是历史教师有(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，x4)，(x2，x3)，(x2，x4)，(x3，x4)，共6种情况．
所以抽取的两位教师全是历史教师的概率为6
21＝
2
7.
(理)(2013·长安一中模拟)某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下表所示.
(1)求出频率分布表中x 、y 的值，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；
(2)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；
(3)在(2)的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试，求第4组至少有一名学生被A 考官面试的概率．
[解析] (1)由题可知，第2组的频数x ＝0.35×100＝35人， 第3组的频率为y ＝30
100＝0.30，
频率分布直方图如下：
(2)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：
第3组：30
60×6＝3人，
第4组：20
60×6＝2人，
第5组：10
60
×6＝1人，
所以第3、4、5组分别抽取3人，2人，1人．
(3)设第3组的3位同学为A 1、A 2、A 3，第4组的2位同学为B 1、B 2，第5组的1位同学为C 1，则从这六位同学中抽取两位同学有15种可能如下：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C 1)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C 1)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，C 1)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)．
第4组至少有一位同学入选的有：
(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(B 1，B 2)，(A 3，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)，9种可能，所以其中第4组的2名同学中至少有一名学生被A 考官面试的概率为915＝3
5
.
[点评] 编制频率分布直方图的步骤如下：
①求极差：极差是一组数据的最大值与最小值的差．
②决定组距和组数：当样本容量不超过100时，常分成5～12组．组距＝极差
组数
.
③将数据分组：通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间，也可以将样本数据多取一位小数分组；
④列频率分布表：登记频数，计算频率，列出频率分布表．
将样本数据分成若干小组，每个小组内的样本个数称为频数，频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率．频率反映数据在每组所占比例的大小．
⑤绘制频率分布直方图：把横轴分成若干段，每一段对应一个组距，然后以线段为底作一矩形，它的高等于该组的
频率
组距
，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率．这些矩形就构成了频率分布直方图．
18．(文)(2014·哈三中一模)某高中毕业学年，在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出前n 名学生，并对这n 名学生按成绩分组，第一组[75,80)，第二组[80,85)，第三组[85,90)，第四组[90,95)，第五组[95,100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60.
(1)请在图中补全频率分布直方图；
(2)若B 大学决定在成绩高的第4,5组中用分层抽样的方法抽取6名学生，并且分成2组，每组3人进行面试，求95分(包括95分)以上的同学在同一个小组的概率．
[解析] (1)因为第四组的人数为60，所以总人数为：5×60＝300，由直方图可知，第五组人数为：0.02×5×300＝30人，又60－302＝15为公差，所以第一组人数为：45人，第二组
人数为：75人，第三组人数为：90人．
(2)第四组中抽取人数：6
90×60＝4人，第五组中抽取人数：
6
90×30＝2人，所以95分以
上的共2人．设第四组抽取的四人为A1，A2，A3，A4，第五组抽取的2人为B1，B2，这六人分成两组有两种情况，情况一：B1，B2在同一小组有4种可能结果，情况二：B1，B2不在同
一小组有6种可能结果，总共10种可能结果，所以两人在一组的概率为P＝4
10＝2 5.
(理)(2014·广东)随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.
根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组频数频率
[25,30]30.12
(30,35]50.20
(35,40]80.32
(40,45]n1f1
(45,50]n2f2
(1)确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；
(2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
(3)根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率．
[解析](1)由题中数据可知n1＝7，n2＝2，f1＝7
25＝0.28，f2＝2
25＝0.08.
(2)
(3)根据样本频率分布表可知，每人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率0.2. 设所取的4人中，日加工零件数据在区间(30,35]的人数为ξ，则ξ～B(4,0.2)．所以P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－0.2)4
＝1－0.4096＝0.5904，
所以4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率为0.5904.