人教A 版 高三文科数学 三角函数专题复习
1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
3. 终边相同的角的表示：
（1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.
例如1、与角
1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是 ，合 弧度。
（答：25-
；5
36
π-
） （2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z .
（6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：,2
k k Z π
απ=+
∈；
α终边在坐标轴上的角可表示为：,2
k k Z π
α=
∈. 例如2、α的终边与
6
π
的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。 （答：Z k k ∈+
,3
2π
π）
4、α与2
α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.
例如3、若α是第二象限角，则
2
α
是第_____象限角。 （答：一、三）
5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：2
11||22
S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈ .
例如4、已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
（答：22
cm ）
6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原
点的距离是0r =
>，那么sin ,cos y x r r αα=
=，()tan ,0y x x α=≠，cot x
y
α=(0)y ≠，
sec r x α=
()0x ≠，()csc 0r
y y
α=≠。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 例如5、（1）已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααcos sin +的值为 。
（答：7
13
-
）； （2）设α是第三、四象限角，m
m --=
43
2sin α，则m 的取值范围是_______。 （答：（－1，)2
3
（3）若
0|
cos |cos sin |sin |=+αα
αα，试判断)tan(cos )cot(sin αα?的符号。 （答：负）
7.三角函数线的特征是：正弦线MP “站在x 轴上(起点在x 轴上)”、 余弦线OM “躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT “站在点(1,0)A 处
(起点是A )”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。 例如6、（1）若08
π
θ-
<<，则sin ,cos ,tan θθθ的大小关系为
(答：tan sin cos θθθ<<)；
（2）若α为锐角，则,sin ,tan ααα的大小关系为
（答：sin tan ααα<<）；
（3）函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域是
（答：2(2,2]()3
3
k k k Z π
π
ππ-
+
∈） 8.特殊角的三角函数值：
9. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：2
22222sin
cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+=
y
T
A x
α B S
O M P
（2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα
αααα
=
= 同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。 例如7、（1）函数sin tan cos cot y αα
αα
+=
+的值的符号为
（答：大于0）；
（2）若π220≤≤x ，则使x x 2cos 2sin 12=-成立的x 的取值范围是
（答：[0,
]4π
],4
3
[ππ）； （3）已知53sin +-=
m m θ，)2
(524cos πθπ
θ<<+-=
m m ，则θtan ＝ （答：12
5
-
）； （4）已知
11tan tan -=-αα，则α
αααcos sin cos 3sin +-＝ ；2cos sin sin 2
++ααα＝
（答：35-
；5
13
）； （5）已知a =
200sin ，则
160tan 等于（ ） （答：B ）
A 、21a a
-- B 、21a
a
- C 、a a 21-- D 、a a 2
1-
（6）已知x x f 3cos )(cos =，则)30(sin
f 的值为______
（答：－1）。
10.三角函数诱导公式（
2
k
πα+）的本质是：奇变偶不变（对k 而言，指k 取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把α看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k π+α,02απ≤<；(2)转化为锐角三角函数。
例如8、（1）97cos
tan()sin 2146πππ+-+的值为________ ； （2）已知5
4
)540sin(-
=+α
，则=-)270c o s ( α______，若α为第二象限角，则=+-+-)
180tan()]360cos()180[sin(2
ααα
________。 （答：54-；1003-）
11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：
()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ
αβαβαβααα=±=±???
→=
()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2
1cos2sin 2
2tan tan 21tan 令 ＝
＝
αβ
αβαβαβααα
αααβα
αβααβα
αα
αα
=±=???→=-↓=-=-±±=
?-↓=
- 例如9、（1）下列各式中，值为1
2
的是（ ） （答：C ）
A 、1515sin cos
B 、2
2
1212cos sin π
π
- C 、22251225tan .tan .- D
（2）命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，则P 是Q 的（ ） （答：C ） A 、充要条件 B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件 D 、既不充分也不必要条件 （3）已知3
5
sin()cos cos()sin αβααβα---=
，那么2cos β的值为 （答：725）；
（4
）
11080
sin sin -
的值是______ （答：4）； (5)已知0
tan110a =，求0
tan 50的值（用a
，乙求得的结果是212a a -，对
甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______
（答：甲、乙都对）
12. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:
（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，
22
αβ
αβ++=?
，
(
)()
2
2
2αβ
β
ααβ+=-
--
等）
例如10、（1）已知2tan()5αβ+=
，1tan()44πβ-=，那么tan()4
π
α+的值是 （答：322）；
（2）已知02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，2
23
sin()αβ-=，求c o s ()αβ+的值；（答：490729）；
（3）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3
cos()5
αβ+=-，则y 与x 的函数关系为______
（答：43
(1)55
y x x =<<） (2)三角函数名互化(切割化弦)，
例如11、（1）
求值sin50(1) （答：1）；
（2）已知
sin cos 2
1,tan()1cos 23
αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值 （答：18）
(3)公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=± 。
例如12、（1）已知A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan 1A B A B =++，则c o s ()A B +＝_____
（答：2
-
）； (2)设ABC ?
中，tan A tan B Atan B +
，sin Acos A =
，则此三角形是____三角形 （答：等边）
(4)三角函数次数的降升(降幂公式：2
1cos 2cos 2αα+=
，2
1cos 2sin 2
αα-=与升幂公式： 21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=)。
例如13、(1)若3
2(,)αππ∈，
为_____ （答：sin 2α）；（2）
函数25f (x )sin xcos x x =
-x R )∈的单调递增区间为____（答：51212
[k ,k ](k Z )ππ
ππ-+∈）
(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。 例如14、（1）tan (cos sin )ααα- sin tan cot csc αα
αα++
+ （答：sin α）；
（2）求证：21tan 1sin 212sin 1tan 22αααα++=--；（3）化简：
42212cos 2cos 22tan()sin ()
44
x x x x ππ-+
-+（答：1cos 22
x ） (6)常值变换主要指“1”的变换（2
2
1sin cos x x =+2
2
sec tan tan cot x x x x =-=?
tan sin 42ππ=== 等），如已知tan 2α=，求22
sin sin cos 3cos αααα+-（答：35
）.
(7)正余弦“三兄妹—sin cos sin cos x x x x ±、”的内存联系――“知一求二”，
例如15、（1）若 sin cos x x t ±=，则sin cos x x = __
（答：21
2
t -±)，特别提醒
：这里[t ∈；
（2）若1(0,),sin cos 2
απαα∈+=，求tan α的值。
（答：； （3）已知
2sin 22sin 1tan k αα
α
+=+()42ππα<<，试用k 表示sin cos αα-的值
。
13、辅助角公式中辅助角的确定：()sin cos a x b x x θ+=+(其中θ角所在的象限由a , b 的符
号确定，θ角的值由tan b
a
θ=
确定)在求最值、化简时起着重要作用。
例如16、（1）若方程sin x x c =有实数解，则c 的取值范围是___________.
（答：[－2,2]）；
（2）当函数23y cos x sin x =-取得最大值时，tan x 的值是______
(答：3
2
-
)； （3）如果()()sin 2cos()f x x x ??=+++是奇函数，则tan ?=
(答：－2)；
（4）求值：
=?+?
-?20sin 6420cos 120sin 32
2
2________ (答：32)
14、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，3,,
,22
2
π
π
ππ的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。
15、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质： （1）定义域：都是R 。
（2）值域：都是[]1,1-，对s
i n y x =，当(
)22
x k k Z π
π=+∈时，y 取最大值1；当()
322
x k k Z π
π=+∈时，y 取最小值－1；对cos y x =，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1。
例如17、（1）若函数sin(3)6
y a b x π
=-+
的最大值为
23，最小值为2
1
-，则=a __，=b ＿ （答：1
,12
a b ==或1b =-）；
（2）函数x x x f cos 3sin )(+=（]2
,2[π
π-
∈x ）的值域是____ （答：[－1, 2]）；
（3）若2αβπ+=，则6y cos sin βα=-的最大值和最小值分别是____ 、_____
（答：7；－5）；
（4）函数2()2cos sin()3
f x x x x π
=+
-sin cos x x +的最小值是_____，此时x ＝__________
（答：2；()12
k k Z π
π+
∈）；
（5）己知2
1
cos sin =
βα，求αβcos sin =t 的变化范围
（答：1
[0,]2
）；
（6）若αβαcos 2sin 2sin 22=+，求βα22sin sin +=y 的最大、最小值
（答：1max =y ，222min -=y ）
特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？ （3）周期性：①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2
π；②()sin()f x A x ω?=+和
()cos()f x A x ω?=+的最小正周期都是2||
T πω=
。 例如18、(1)若3
sin
)(x
x f π=，则(1)(2)(3)(2003)f f f f ++++ ＝___
（答：0）；
(2) 函数4
()cos f x x =2sin cos x x -4sin x -的最小正周期为____
（答：π）；
(3) 设函数)5
2
sin(2)(π
π
+
=x x f ，若对任意R x ∈都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则||21x x -的最小
值为____
（答：2）
（4）奇偶性与对称性：正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线
()2
x k k Z π
π=+
∈；余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z π
π??
+
∈ ??
?
，对称轴是直线()x k k Z π=∈（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的
交点）。
例如19、（1）函数522y sin x π??
=-
???
的奇偶性是______、 （答：偶函数）；
（2）已知函数3
1f (x )ax bsin x (a,b =++为常数），且57f ()=，则5f ()-=______
（答：－5）；
（3）函数)cos (sin cos 2x x x y +=的图象的对称中心和对称轴分别是_______、_______
（答：128k (
,)(k Z )ππ-∈、28
k x (k Z )ππ
=+∈）；
（4）已知f (x )sin(x )x )θθ=++为偶函数，求θ的值。
（答：6
k (k Z )π
θπ=+
∈）
（5）单调性：()sin 2,222y x k k k Z π
πππ?
?=-
+∈???
?在上单调递增，在()32,222k k k Z ππππ?
?++∈???
?单
调递减；cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。特别提醒，别忘了k Z ∈！
16、形如sin()y A x ω?=+的函数： （1）几个物理量：A ―振幅；1
f T
=
―频率（周期的倒数）；x ω?+―相位；
（2）函数sin()y A x ω?=+表达式的确定：A 由最值确定；ω由周期确定；?特殊点确定，
例如20、()sin()(0,0f x A x A ω?ω=+>>，||)2
π
?<
的图象如图所示，则()f x ＝_____
（答：15()2sin(
)23f x x π=+）； （3）函数sin()y A x ω?=+图象的画法：①“五点法”――设X x ω?=+，令X ＝0，3,,
,222
ππ
ππ求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。
（4）函数sin()y A x k ω?=++的图象与sin y x =图象间的关系：①函数sin y x =的图象纵坐标不变，横坐标向左（?>0）或向右（?<0）平移||?个单位得()sin y x ?=+的图象；②函数()sin y x ?=+图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的
1
ω
，得到函数()sin y x ω?=+的图象；③函数()sin y x ω?=+图象的横坐标不变，
纵坐标变为原来的A 倍，得到函数sin()y A x ω?=+的图象；④函数sin()y A x ω?=+图象的横坐标不变，纵坐标向上（0k >）或向下（0k <），得到()sin y A x k ω?=++的图象。要特别注意，若由()sin y x ω=得到
()sin y x ω?=+的图象，则向左或向右平移应平移|
|?
ω
个单位， 例如21、（（1）函数2sin(2)14
y x π
=--的图象经过怎样的变换才能得到sin y x =的图象？
（答：2sin(2)14y x π=-
-向上平移1个单位得2sin(2)4
y x π=-的图象，再向左平移8π
个单位得2sin 2y x
=的图象，横坐标扩大到原来的2倍得2sin y x =的图象，最后将纵坐标缩小到原来的1
2
即得sin y x =的图象）；
(2) 要得到函数cos()24x y π=-的图象，只需把函数sin 2
x
y =的图象向___平移____个单位
（答：左；
2
π
）； （3）将函数72sin(2)13
y x π
=-+图像，按向量a 平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的向量是否唯
一？若唯一，求出a
；若不唯一，求出模最小的向量
（答：存在但不唯一，模最小的向量(,1)6
a π
=-
-
）；
（4）若函数()[]()
cos sin 0,2f x x x x π=+∈的图象与直线y k =有且仅有四个不同的交点，则k 的取值范围是
（答：）
（5）研究函数sin()y A x ω?=+性质的方法：类比于研究sin y x =的性质，只需将sin()y A x ω?=+中的x ω?+看成sin y x =中的x ，但在求sin()y A x ω?=+的单调区间时，要特别注意A 和ω的符号，通过诱导公式先将ω化正。
例如22、（1）函数23
y sin(x )π
=-+
的递减区间是______
（答：51212
[k ,k ](k Z )π
πππ-
+∈）； （2）12
34
x y log cos(
)π
=+的递减区间是_______ （答：336644
[k ,k ](k Z )π
πππ-
+∈）； （3）设函数)2
2
,0,0)(sin()(π
?π
ω?ω<
<-
>≠+=A x A x f 的图象关于直线3
2π
=
x 对称，它的周期是π，则 A 、)2
1,0()(的图象过点x f B 、()f x 在区间52[
,]123
ππ
上是减函数 C 、)0,12
5()(π是的图象的一个对称中心x f D 、()f x 的最大值是A
（答：C ）；
（4）对于函数()2sin 23f x x π?
?
=+ ??
?
给出下列结论： ①图象关于原点成中心对称； ②图象关于直线12
x π
=
成轴对称；
③图象可由函数2sin 2y x =的图像向左平移3
π
个单位得到；
④图像向左平移
12
π
个单位，即得到函数2cos 2y x =的图像。 其中正确结论是_______
（答：②④）；
（5）已知函数()2sin()f x x ω?=+图象与直线1y =的交点中，距离最近两点间的距离为
3
π
，那么此函数的周期是_______
（答：π）
17、正切函数tan y x =的图象和性质： （1）定义域：{|,}2
x x k k Z π
π≠
+∈。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？
（2）值域是R ，在上面定义域上无最大值也无最小值；
（3）周期性：是周期函数且周期是π，它与直线y a =的两个相邻交点之间的距离是一个周期π。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。 如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =
cos x +的周期为
2π，而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626
y x y x ππ
=-+=-+，|tan |y x =的周期不变； （4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是,02k π??
???
()k Z ∈，特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与x 轴的交点，另一类是渐近线与x 轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。
（5）单调性：正切函数在开区间(),22k k k Z ππππ??
-++∈ ???
内都是增函数。但要注意在整个定义域上不
18. 三角形中的有关公式：
(1)内角和定理：三角形三角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形?三内角都是锐角?三内角的余弦值为正值?任两角和都是钝角?任意两边的平方和大于第三边的平方.
(2)正弦定理：
2sin sin sin a b c R A B C
===(R 为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一些变式：()sin sin sin i a b c A B C ::=::； ()sin ,sin ,sin 22a b
ii A B C R R
==2c R =； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；
②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.
(3)余弦定理：222
2
2
2
2cos ,cos 2b c a a b c bc A A bc
+-=+-=等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.
(4)面积公式：111sin ()222a S ah ab C r a b c ===++（其中r 为三角形内切圆半径）=))()((c p b p a p p ---，
（其中()c b a p ++=2
1
）.
例如23、ABC ?中，若C B A B A 2
2222sin sin cos cos sin =-，判断ABC ?的形状（答：直角三角形）。
（5）内切圆半径：r=c b a S ABC
++?2；外接圆直径：2R=;
sin sin sin
C c B b A a
==
（6）在使用正弦定理时判断一解或二解的方法：⊿ABC 中，sin sin A B A B >?> 已知A b a ,,时三角形解的个数的判定： 其中h=bsinA, ⑴A 为锐角时：
①a
特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意A B C π++=这个特殊性：
,sin()sin ,sin
cos 22
A B C
A B C A B C π++=-+==；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。
例如24、（1）ABC ?中，A 、B 的对边分别是 a b 、
，且A=60 4,a b ==
，那么满足条件的ABC ? A 、 有一个解 B 、有两个解 C 、无解 D 、不能确定
（答：C ）；
（2）在ABC ?中，A ＞B 是sin A sin B >成立的_____条件
（答：充要）；
（3）在ABC ?中， 112(tan A)(tan B )++=，则2log sinC ＝_____
（答：1
2
-
）； (4)在ABC ?中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若(a b c )(sin A sin B +++3sinC )a sin B -=，则C
∠＝____
（答：60
）；
（5）在ABC ?中，若其面积222
S =C ∠=____
（答：30
）；
（6）在ABC ?中，60 1A ,b ==
ABC ?外接圆的直径是_______
；
（7）在△ABC 中，a 、b 、c 是角A 、B 、C 的对边，21,cos 32
B C a A +==则= ，22
b c +的最大
值为
（答：19
32
;
）； （8）在△ABC 中AB=1，BC=2，则角C 的取值范围是
（答：06
C π
<≤
）；
（9）设O 是锐角三角形ABC 的外心，若75C ∠=
，且,,AOB BOC COA ???的面积满足关系式
AOB BOC COA S S ???+，求A ∠
（答：45
）．
19.反三角函数：（1）反三角函数的定义（以反正弦函数为例）：arcsin a 表示一个角，这个角的正弦值为a ,且这个角在,22ππ??
-????
内(11)a -≤≤。(2)反正弦arcsin x 、反余弦arccos x 、反正切arctan x 的取值范围分别是)2
,2(],,0[],2,2[π
πππ
π--
. 在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的倾斜角、1l 到2l 的角、
1l 与2l 的夹角以及两向量的夹角时，你是否注意到了它们的范围？(0,],[0,],[0,]22
ππ
π，[)π,0，
[0,),[0,),[0,]2
π
ππ．
20、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。
例如25、（1）若,(0,)αβπ∈，且tan α、tan β是方程2
560x x -+=的两根，则求αβ+的值______
（答：
34
π
）； （2）ABC ?中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1A B B A +=+=，则C ∠＝_______
（答：
3
π）； （3）若02αβγπ≤<<<且0sin sin sin αβγ++=，0cos cos cos αβγ++=，求βα-的值
（答：
23
π）.
参考答案：
1、25-
；536π-
2、Z k k ∈+,3
2ππ 3、一、三 4、 22cm 5、（1）713-；（2）（－1，)23；（3）负
6、（1）tan sin cos θθθ<<；（2）sin tan ααα<<；（3）2(2,2]()33
k k k Z ππ
ππ-+
∈ 7、（1）大于0（2）[0,]4π ],4
3[ππ；（3）125-（4）35-；513
（5）B （6）-1
8、（12） 54-；1003-
9、（1）C （2）C （3）
7
25
（4）4（5）甲、乙都对
10、（1）
322（2）490729（3）43
(1)55
y x x =<<
11、（1）1（2）
18 12、（1）2
-（2）等边 13、（1）sin 2α（2）51212[k ,k ](k Z )ππππ-+∈
14、（1）sin α（2）略（3）1cos 22x 15、（1）212t -±特别提醒：这里[t ∈；（2）316、（1）[－2,2]（2）32-（3）-2（4）32 17、（1）1,12
a b ==或1b =-；（2）[－1, 2]；（3）7；－5（4）2；()12
k k Z π
π+
∈（5）1[0,]2（6）1max =y ；222min -=y 18、（1）0（2）π（3）2
19、（1）偶函数（2）-5（3）（答：128k (,)(k Z )ππ-∈、28k x (k Z )ππ=+∈）；（4）6
k (k Z )π
θπ=+∈ 20、15()2sin(
)23
f x x π
=+ 21、（1）
2sin(2)14y x π=--向上平移1个单位得2sin(2)4
y x π=-的图象，再向左平移8π
个单位得2sin 2y x
=的图象，横坐标扩大到原来的2倍得2sin y x =的图象，最后将纵坐标缩小到原来的1
2
即得sin y x =的图象（2）
左；2π；（3）存在但不唯一，模最小的向量(,1)6
a π=-- ；（4）
22、（1）51212[k ,k ](k Z )ππππ-+
∈（2）336644
[k ,k ](k Z )π
πππ-+∈（3）C （4）②④（5）π 23、直角三角形
24、（1）C （2）充要（3）12-（4）60 （5）30 （67）1932;（8）06C π<≤（9）45
25、（1）34π（2）3π（3）23
π
2012届高三文科数学第二轮专题复习-------三角函数
三角函数的考查有以下一些类型与特点：1.三角函数的性质、图像及其变换，主要是sin()y A x ω?=+的性质、图像及变换.考查三角函数的概念、奇偶性、周期性、单调性、有界性、图像的平移和对称等.高考试题对三角函数单一的性质考查较少，一道题所涉及的三角函数性质在两个或两个以上，考查的知识点来源于教材，且高于教材。 2.三角变换.主要考查公式的灵活运用、变换能力，一般要运用和角、差角与二倍角公式，尤其是对公式的应用与三角函数性质的综合考查.
3.三角函数的应用.以平面向量、解析几何等为载体，或者用解三角形来考查学生对三角恒等变形及三角函数性质的应用的综合能力.特别要注意三角函数在实际问题中的应用和跨知识点的应用，注意三角函数在解答有关函数、向量、平面几何、立体几何、解析几何等问题时的工具性作用.这类题一般以解答题的形式出现，属中档题.
常用解题思想方法：
1．三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是 “1”的代换，如1=cos 2
θ+sin 2
θ=tanx ·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2
x+2cos 2
x=(sin 2
x+cos 2
x)+cos 2
x=1+cos 2
x ；配凑角α=（α+β）－β，β=2βα+－2
βα-等。
（3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。
（4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。
（5）引入辅助角。asin θ+bcos θ=2
2
b a +sin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定，?角的值由tan ?=
a
b
确定。 2．证明三角等式的思路和方法。
（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3．证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。 4．解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。 例题讲解
1.在ABC △中，5cos 13B =-，4
cos 5
C =． （Ⅰ）求sin A 的值；
（Ⅱ）设ABC △的面积33
2
ABC S =
△，求BC 的长 解：（Ⅰ）由5cos 13B =-，得12
sin 13
B =，
由4cos 5C =，得3
sin 5
C =．
所以33
sin sin()sin cos cos sin 65
A B C B C B C =+=+=． ············ 5分 （Ⅱ）由332ABC S =
△得133sin 22AB AC A ???=， 由（Ⅰ）知33
sin 65
A =，
故65AB AC ?=， ····························· 8分
又sin 20
sin 13
AB B AC AB C ?=
=， 故2206513AB =，132
AB =．
所以sin 11
sin 2
AB A BC C ?=
=． ······················· 10分
2.已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω?
?
=+ ??
?
（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03
??????
，上的取值范围．
解：（Ⅰ）1cos 2()222x f x x ωω-=
+112cos 2222
x x ωω=-+
π1sin 262x ω?
?=-+ ??
?．
因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以
2π
π2ω
=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262
f x x ??=-
+ ??
?． 因为2π03
x ≤≤， 所以ππ7π2666
x --≤≤，
所以1πsin 2126x ??-
- ??
?≤≤， 因此π130sin 2622x ?
?-
+ ??
?≤≤，即()f x 的取值范围为302??
????
，． 3.已知函数()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x π
ππ
=-
+-+
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122
ππ
-上的值域 解：（1）()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x π
ππ
=-
+-+
1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x =+-+221cos 22sin cos 2x x x x =+-
1cos 22cos 22x x x =- sin(2)6x π=-2T 2
ππ==周期∴
由2(),()6
2
23
k x k k Z x k Z π
π
ππ
π-
=+
∈=
+∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3
x k k Z π
π=+
∈ （2）5[,],2[,
]122636
x x πππππ
∈-∴-∈- 因为()sin(2)6
f x x π
=-在区间[,]123
ππ-
上单调递增，在区间[,]32ππ
上单调递减，
所以 当3
x π
=
时，()f x 取最大值 1
又
1
()()12
22
f f π
π-
=<= ，当12x π=-时，()f x
取最小值所以 函数 ()f x 在区间[,]122ππ
-
上的值域为[ 4.已知函数f (x )＝)0,0)(cos()sin(3><<+-+ω??ω?ωπx x 为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为.2
π
（Ⅰ）求f （
8
π
）的值； （Ⅱ）将函数y ＝f (x )的图象向右平移
6
π
个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间. 解：（Ⅰ）f (x )＝)cos()sin(3?ω?ω+-+x x
＝??
????+-+)cos(21
)sin(232?ω?ωx x ＝2sin(?ω+x -
6
π
) 因为 f (x )为偶函数，
所以 对x ∈R ,f (-x )=f (x )恒成立，
因此 sin （-?ω+x -
6π）＝sin(?ω+x -6π). 即-sin x ωcos(?-6π)+cos x ωsin(?-6π)=sin x ωcos(?-6π)+cos x ωsin(?-6
π
),
整理得 sin x ωcos(?-6π)=0.因为 ω＞0，且x ∈R ,所以 cos （?-6
π
）＝0.
又因为 0＜?＜π，故 ?-6π＝2π.所以 f (x )＝2sin(x ω+2
π
)=2cos x ω.
由题意得 .
2,2
22 ＝ 所以 ωπ
ω
π
?
=
故 f (x )=2cos2x . 因为 .24
cos
2)8
(==π
πf
（Ⅱ）将f (x )的图象向右平移个6
π
个单位后，得到)6
(π
-
x f 的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，
纵坐标不变，得到)6
4
(
π
π
-
f 的图象.
).32(cos 2)64(2cos 2)64()(ππππππ-=??
?
???-=-=f f x g 所以 当2k π≤
3
2
π
π
-
≤2 k π+ π (k ∈Z),
即4k π＋≤32π≤x ≤4k π+3
8π
(k ∈Z)时，g (x )单调递减.
因此g (x )的单调递减区间为 ???
???
++384,324ππππk k (k ∈Z)
高考热点： 1.已知0,14
13
)cos(,71cos 且=β-α=
α<β<α<2π,
(Ⅰ)求α2tan 的值.（Ⅱ）求β.
2.在ABC ?中，A B C ∠∠∠、、的对边的边长分别为a c 、b 、且a c 、b 、成等比数列.
(1) 求角B 的取值范围;
(2) 若关于B 的不等式0)2
4cos()24
sin(42cos >+++
-m B
B B ππ
恒成立，求m 的取值范围.
3．已知函数()223sin cos 5cos f x x x x x =++． （Ⅰ）求函数()f x 的周期和最大值； （Ⅱ）已知()5f α=，求tan α的值．
4.设ABC ?的内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、，且1cos 2
b C a
c =-. （1）求角B 的大小；
（2）若1b =，求ABC ?的周长l 的取值范围.
5.若3
sin 23cos 3sin
32)(2x x x x f -= (1)],0[π∈x ，求)(x f 的值域和对称中心坐标；
(2)在ABC ?中，A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若1)(=C f ，且ac b =2
，求A sin .
6.在ABC ?中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且满足274cos cos2()22
A B C -+= （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若3b c +=，求a 的最小值．
7．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足（2a －c ）cosB=bcosC. （Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）设k k A A ?>==且),1)(1,4(),2cos ,(sin 的最大值是5，求k 的值.
8．已知：,cos ),(cos ,cos )a x x b x x == ，122)(-+?=m b a x f
（R m x ∈,）. (Ⅰ) 求()f x 关于x 的表达式，并求()f x 的最小正周期；
(Ⅱ) 若]2
,0[π
∈x 时，()f x 的最小值为5，求m 的值.