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数学思想方法-4.1.1 线段的比

数学思想方法-4.1.1  线段的比

数学思想方法

2000年江苏省中学生英语能力竞赛初三年级初赛试卷中有这样一道习题:

“—How can we move just one mach to make a square?”

—________.

图4-3

A.Move A

B.Move B

C.Move C

D.Move D

一个英语老师引用这个习题作为训练题让学生去做时,学生没找到正确答案,连老师也不知咋办,甚至怀疑是否翻译不对或命题有误.

把这道题翻译成汉语的意思是:

“如图,怎样移动一根火柴而得到一个正方形?”“________.”

A.移动A

B.移动B

C.移动C

D.移动D

英语老师只得拿着题去找数学老师帮忙,数学老师看题后,同样把这道题拿到课堂上让学生做,这次倒有不少学生找到了问题的正确答案.

造成这样完全不同的结果,经老师分析,其原因是:

1.同样一道题,出现在英语课堂上时,学生更注意的是其语言的表述或句子的结构,淡化了“如何移动”的要求,当问题找不到答案时,便怀疑是对问题的语言理解有误,而在数学课堂上出现时,学生便更注意对“方法和图形”的认识和理解上,也就是说用数字的思维去寻找问题的结果,这样就可把问题解决了.

2.用数学思维解题时,当问题不能直接找到答案时,学生应知道怎样对待问题进行正确分析,认真观察图形,变换思路寻找答案.

我们再看上面这道题的答案.

对“移动”意思的理解常被认为是:“从一个地方换到另一个地方”,学生在几次尝试后容易知道,把其中一根火柴从一处拿到另一处再拼成正方形是不可能的,按数学的求异思维,学生便会回头重新审视图形,用非常规思维去探寻答案.事实上,本题的突破口就在读图和打破传统思维定势上,只要把A火柴轻轻上移一些,中间便出现了一个正方形.

从上面的分析可以看出,用数学的意识去解题十分重要,也就是说,学好数学必须掌握解数学题的常见思想和常见方法.

所谓数学思想、方法是人们对数学内容的本质认识,是对数学知识和数学问题的进一步抽象和概括,属于对数学规律性的认识范畴.数学思想方法是数学的灵魂,数学思想指导着数学问题的解决,并具体地体现在解决问题的不同方法中.

如何培养学生的数学思想

如何培养学生的数学思想 小学数学教材中渗透的数学思想方法主要有:数形结合、集合、对应、分类、函数、极限、化归、归纳、符号化、数学建模、统计、假设、代换、比较、可逆等思想方法。教学中,要明确渗透数学思想方法的意义,认识数学思想方法是数学的本质之所在、是数学的精髓,只有方法的掌握、思想的形成,才能使学生受益终生。 下面我就如何向学生渗透这些数学思想方法分别举例说明一下。 一、数形结合思想方法 1.先形后数。一年级的小学生刚开始学习数学,是从具体的物体开始认数,从具体形象到抽象。 2.先数后形。如教学排队问题:一年级小同学排队做操,从前往后数,小明排第5,从后往前,小明排第4,这一对共有几人?小同学很容易地将4与5相加,得出错误的结果。如果让学生用画图的方法解答,用“△”代表排队的小朋友,这道题很容易解决。 二、对应思想 例如,求一个数比另一个数多(少)几的应用题的数量关系。对二年级学生来说较为抽象。我是这样设计的:苹果有8个,梨有6个,苹果比梨多几个?学生通过用○、△等学具代替苹果、梨摆一摆,或用画一画的方法得到了解决。 再如,数轴上的点与实数之间的一一对应等把抽象内容的数量关系视觉化、具体化、形象化,化深奥为浅显。同时,鼓励了学生的创新,使学生乐于参与这样的数学活动。 三、分类思想 分类是根据教学对象的本质属性的异同按某种标准,将其划分为不同种类,即根据教学对象的共同性与差异性,把具有相同属性的归入一类,把具有不同属性的归入另一类进行分析研究。分类是数学发现的重要手段,在教学中,如果对学过的知识恰当地进行分类,就可以使大量纷繁的知识具有条理性。一般分类时要求满足互斥,无遗漏、最简便的原则。如整数以能否被2整除为例,可分为奇数和偶数;若以自然数的约数个数来分类,则可分为质数、合数和1。几何图形中的分类更常见,如学习“角的分类”时,涉及到许多概念,而这些概念之间的关系渗透着量变到质变的规律。其中几种角是按照度数的大小,从量变到质变来分类的,由此推理到在三角形中以最大一个角大于、等于和小于90°为分类标准,可分为钝角三角形、直角三角形和锐角三角形。而三角形以边的长短关系为分类标准,又可分为不等边三角形和等边三角形,等边三角形又可分为正三角形和等腰三角形。通过分类,建构了知识网络,不同的分类标准会有不同的分类结果,从而产生新的数学概念和数学知识的结构。 四、化归思想 化归是数学中最普遍使用的一种思想方法。它是通过变形把要解决的问题,化归为某个已经解决的问题,从而求得原问题的解决。其基本思想是:将待解决的问题甲,通过某种转化过程,归结为一个已经解决或者比较容易解决的问题乙,然后通过乙问题的解答返回去求得原问题甲的解答。这种化归思想不同于一般所讲的“转化”、“转换”,它具有不可逆转的单向性。它的基本形式有:化难为易,化生为熟,化繁为简,化整为零,化曲为直等。在小学数学中蕴藏着各种可运用化归的方法进行解答的内容,让学生初步学会化归的思想方法。如:教学圆面积的计算方法,这里要推导出圆面积公式,在推导过程中,采用把圆分成若干等份,然后拼成一个近似长方形,从而推导出圆的面积公式。这里把圆剪拼成近似长方形的过程,就是把曲线形化归为直线形的过程。 再如平行四边形的面积推导,当我通过创设情境使学生产生迫切要求出平行四边形面积的需要时,便将“怎样计算平行四边形的面积”直接抛向学生,让学生独立自由地思考。这个完全陌生的问题,需学生调动所有的相关知识及经验储备,寻找可能的方法,解决问题。当学生

在小学数学教学中如何渗透集合思想的几点做法

在小学数学教学中如何渗透集合思想的几点做法 集合是近代数学中的一个重要概念。集合思想是现代数学思想向小学数学渗透的重要标志,在解决某些数学问题时,若是运用集合思想,可以使问题解决得更简单明了。集合论的创始人是德国的数学家康托(1845——1918),其主要思想方法可归结为三个原则,即概括原则、外延原则、一一对应原则。自集合论创立以来,它的概念、思想和方法已经渗透到现代数学的各个分支中,成为现代数学的基础。瑞士数学家欧拉(1707——1787)最早使用了表示两个非空集之间的关系的图,现称欧拉图。英国数学家维恩最早使用了另一种图即可以用于表示任意的几个集合(不论它们之间的关系如何,都可以画成同一样式),又称“维恩图”,用维恩图表示集合,有助于探索某些数学题的解决思路。 布鲁纳曾说,掌握基本的数学思想方法能使数学更易于理解和记忆,领会基本数学思想方法是通向迁移大道的“光明之路”。数学思想方法不但对学生学习具有普遍的指导意义,而且有利于学生形成科学的思维方式和思维习惯。 集合思想包括概念、子集思想、交集思想、并集思想、差集思想、空集思想、一一对应思想等,作为数学思想方法的一种,在教学中是具有很大的指导意义的。那么,在小学数学教学中我们应该如何应用集合思想进行教学活动呢? 一、集合概念在小学数学教学中的应用

集合思想的概念在教学中是不必向学生作解释的,教师主要指导学生看懂集合图的意思,会根据集合图来解题或者帮助解题。图形本身直观地应用了集合的表示方法——图示法,因此在小学低年级中运用这个方法对于教学是很有帮助的。 在认数教学中,教师要结合各种集合图,可以是选用书本上的,也可以是选用一些生活中常见的事物自己画。同时还可以反过来给学生一个数字,让学生画集合图,这样既可以让学生开动脑筋发挥自己的想象,也可以让学生更了解集合中的元素与基数概念的联系。 在日常教学中,教师还要让学生理解一些用来描述集合的常用术语,如“一些”、“一堆”、“一组”、“一群”等。比如说,在小学数学教材北师大版一年级(上册)的第四单元分类中,就出现了这么一张图,让学生观察,要求把玩具放一堆,文具放一堆,服装鞋帽放一堆,这种把具有同一种属性的东西放在一起,这就是集合的整体概念。 在认识0-10的十一个数字中,每个数字都有一张相应的集合图,也就是告诉学生,一个集合中有几个元素就用“几”来表示。如北师大版一年级(上册)第4页找一找的活动中“1”可以表示图里的一座房子;“2”可以表示图里的两个人。这就很形象的把集合中的元素与基数的概念有机的联系起来。 二、子集、交集、并集、差集、空集思想在小学数学教学中的应用 1、子集思想在小学数学教学中的应用 教学数的大小这一问题时,就可以应用子集思想。如北师大版二

集合运算中蕴涵的数学思想方法

集合运算中蕴涵的数学思想方法 江苏省姜堰中学 张圣官 (225500) 2003年教育部颁布的《普通高中数学课程标准》中,特别提到“强调本质,注意适度形式化”,其中写道“要使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程,体会蕴涵在其中的数学思想方法”。在数学教育的各个环节中渗透数学思想方法,不仅具有提高教学效果的近期功效,而且具有优化学生的认知结构、进而全面提高学生数学素质的远期功效,这已经成了大家的共识。然而,对数学材料本身所蕴涵的数学思想方法进行挖掘和提炼,并在数学解题中加以运用和完善,这一方面还需要我们进行探索与研究。本文拟就集合的交、并、补集运算中所蕴涵的数学思想方法作一点说明。 1.交集思想方法 假设有两个集合A 和B ,A={x|x 具有性质P 1},B={x|x 具有性质P 2},则A ∩ B ={x|x 具有性质P 1和P 2}。在研究同时具有性质P 1和P 2的对象时可以考虑运用交集思想方法。从哲学意义上讲,A 和B 反映的是个性,A ∩ B 反映的是共性,而A ∩ B ?A 和A ∩ B ?B 则表明共性存在于个性之中这一基本原理。 例1设A={(x ,y )|x=m,y=3m+1,m ∈N + },B={(x ,y )|x=n,y=a(n 2-n+1),n ∈N + },问 是否存在非零整数a 使得A ∩ B ≠Φ?证明你的结论。 分析:集合A 、B 可化简为A={(x ,y )|y=3x+1,x ∈N +},B={(x ,y )|y=a(x 2-x+1),x ∈N + }。 本题是探索性问题,先假设a 存在,然后开始研究。 简解:要使A ∩ B ≠Φ,即A 、B 有共同的元素,只要方程组?? ?+-=+=)1(132x x a y x y 至少有一组正整数解,也即是方程ax 2-(a+3)x+a-1=0至少有一个正整数解。 ∵a ≠0且a ∈Z , 由⊿≥0,得3a 2-10a-9≦0,∴313253132 5+-≤≤a , ∴a=1,2,3,4 。 经检验,a=1,4符合题意;a=2,3不符合。 ∴存在a=1或4 ,使得A ∩ B ≠Φ 。 评注:本题如果将A 、B 视为点集,那么问题就化归为求直线与抛物线的交点中是否存在整点的问题令人望而生畏。以上解法利用交集思想方法,从共性入手,从而由A 、B 的共性使问题获得了优解。 例2已知n 是同时满足以下两个条件的最小正整数:①是15的倍数;②各个数位上的数字都是0或8 。试求n 。 解:设A={15的倍数},B={各个数位上数字都是0或8的正整数},则所求的n 即为 A ∩B 中的最小元素。 ∵A={3的倍数}∩{5的倍数}={数字和是3的倍数的整数}∩{个位数是0或5的整数}, ∴A ∩B={个位数字是0,其余各个数位上是0或8,且8的个数是3的倍数的正整数}。 由n 是A ∩B 中最小的数即知,n=8880 。 2.并集思想方法 有些数学问题牵涉若干个体,如果用孤立静止的观点来考虑问题,则或过于繁冗或难以奏效。如果在挖掘各个个体间隐含的某种关系的基础上将各个个体合并(取并集)为一个有机整体进行处理,则往往会出奇制胜,这就是并集思想方法。从哲学意义上讲,这种合并可

浅谈初中数学思想方法的教学

浅谈初中数学思想方法的教学 摘要:开展数学思想方法教育应作为新课改中所必须把握的教学要求,它是数学教育教学本身的需要,是以人为本的教育理念下培养学生素养为目标的需要,是提高学生解题能力的需要。初中数学教学中要注意在知识发生过程中渗透数学思想方法,在思维教学活动过程中挖掘数学思想方法,在问题解决过程中强化数学思想方法,并及时总结以逐步内化数学思想方法。 关键词:数学思想方法中学数学渗透挖掘强化内化 一、对数学思想方法的认识。 所谓数学思想,就是对数学知识和方法的本质认识,是对数学规律的理性认识。所谓数学方法,就是解决数学问题的根本程序,是数学思想的具体反映。数学思想是数学的灵魂,数学方法是数学的行为。运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程,当这种量的积累达到一定程序时就产生了质的飞跃,从而上升为数学思想。若把数学知识看作一幅构思巧妙的蓝图而建筑起来的一座宏伟大厦,那么数学方法相当于建筑施工的手段,而这张蓝图就相当于数学思想。 数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓,是将数学知识转化为数学能力的桥梁。初中数学思想方法教育,是培养和提高学生素质的重要内容。新的《课程标准》突出强调:“在教学中,应当引导学生在学好概念的基础上掌握数学的规律(包括法则、性质、公式、公理、定理、数学思想和方法)。”因此,开展数学思想方法教育应作为新课改中所必须把握的教学要求。 中学数学知识结构涵盖了辩证思想的理念,反映出数学基本概念和各知识点所代表的实体同抽象的数学思想方法之间的相互关系。数学实体内部各单元之间相互渗透和维系的关系,升华为具有普遍意义的一般规律,便形成相对的数学思想方法,即对数学知识整体性的理解。数学思想方法确立后,便超越了具体的数学概念和内容,只以抽象的形式而存在,控制及调整具体结论的建立、联系和组织,并以其为指引将数学知识灵活地运用到一切适合的范畴中去解决问题。数学思想方法不仅会对数学思维活动、数学审美活动起着指导作角,而且会对个体的世界观、方法论产生深刻影响,形成数学学习效果的广泛迁移,甚至包括从数学领域向非数学领域的迁移,实现思维能力和思想素质的飞跃。 可见,良好的数学知识结构不完全取决于教材内容和知识点的数量,更应注重数学知识的联系、结合和组织方式,把握结构的层次和程序展开后所表现的内在规律。数学思想方法能够优化这种组织方式,使各部分数学知识融合成有机的整体,发挥其重要的指导作用。因此,新课标明确提出开展数学思想方法的教学要求,旨在引导学生去把握数学知识结构的核心和灵魂,其重要意义显而易见。 那么,初中数学思想方法有哪些呢? 二、认识初中数学思想方法。 初中数学中蕴含多种的数学思想方法,但最基本的数学思想方法是数形结合的思想,分类讨论思想、转化的思想、函数的思想,突出这些基本思想方法,就相当于抓住了中学数学知识的精髓。 1、数形结合的思想数形结合是一种重要的数学思想方法,其应用广泛,灵活巧妙。”数缺形时少直观,形无数时难入微”是我国著名数学家华罗庚教授的名言,是对数形结合的作用进行了高度的概括[1]。在数学教学中,许多定律、定理及公式等常可以用图形来描述。而利用图形的直观,则可以由抽象变具体,模糊变清晰,使数学问题的难度下降,从而可以从图形中找到有创意的解题思路。如代数列方程解应用题中的行程问题,往往借助几何图形,靠图形感知来”支持”抽象的思维过程,从而寻求数量之间的相依关系。例如:小彬和小明每天早晨坚持跑步,小彬每秒跑4米,小明每秒跑6米,如果小明站在百米跑道的起点处,小彬站在他前面10米处,两人同时同向起跑,几 依据线路图,我们可以找出其中的等量关系 S小明=S小彬+10,然后设未知数列方程即可。 2、分类讨论的思想分类讨论思想是根据数学对象的本质属性的相同点和不同点,将数学对象区分为不同种类的数学思想。对数学内容进行分类,可以降低学习难度,增强学习的针对性。因此,在教学中应启发学生按不同的情况去对同一对象进行能够分类,帮助他们掌握好分类的方法原

浅谈数学教育的学科特点及其研究内容的认识

谈谈你对数学教育学学科的特点及其研究内容的认识数学教育学虽是一门年轻学科,但其历史源远流长,其中数学教育学的含义:研究数学教育现象,揭示数学教育规律“教什么、学什么”;“怎样教、怎样学”;“教得怎样,学得怎样”以及相关的理论。 1、有利于提升数学教师的专业素养。高质量的数学教育需要高素质的数学师资队伍,需要数学教师专业化。高师院校数学专业肩负数学教师培养的任务,数学教育学是其中一门非常重要的专业必修课程。 2、有利于促进学生数学的学习发展。怎样让学生学好数学是数学教师的核心任务。通过学习数学教育学,教师可以根据数学教育学的相关理论自觉而有效地指导学生的数学学习。 3、有利于数学课程改革的有效实施。数学课程改革的关键是课程理念的贯彻和课程的有效实施。通过数学教育学的学习可以提高数学教师对数学课程的目的意义、内容结构、实施方法、评价标准及其各环节之间的关系的逻辑判断能力和调和能力。 4、使学生了解数学教育学的研究对象、掌握数学教育学的研究内容及学习该学科的意义。 5、了解数学教育学的研究对象、特点和研究方法,理解学习数学教育学的意义。数学教育学的结构及其相关学科数学教育学研究的对象主要是数学学习论、数学课程论、数学教学论:虽然三论是互相关联的,研究其中的一论必然会影响另外两论。但是,这三论中,学习论是基础,它提供给课程论与教学论必要的心理学根据,教学论是学习论与课程论的直接体现者。 数学教育学及其相关学科大致分为三部分: 1、基础部分其中包括哲学、数学、数学思想史、中学数学近代基础、数学方法论、教育学、心理学、逻辑学、思维科学、计算机科学、计算机辅助教学等。数学,除了包括解析几何、高等代数、数学分析的旧三基外,还要包括拓扑学、抽象代数、泛函分析的新三基,除此之外,还应有概率统计、离散数学、模糊数学、几何基础、集合论以及一些传统的初等数学。总之,数学教育工作者所需要的数学,应该是广而博,并在一个分支上有较深入的了解。数学思想史,着重研究一个数学概念或数学分支如何由孕育、成熟到发展,如何由粗糙到精确,其

小学数学教学中渗透数学思想方法的策略

小学数学“教学中培养学生学习习惯研究”课题实施方案 王凤楼镇中心小学低年级数学教研组 一、问题提出的背景与意义 1、关注数学思想方法教学的重要性 (1)《数学课程标准》的期待。《数学课程标准》(最新稿)不仅把“数学思考”作为总体目标之一提出,同时,还将“双基”扩展为“四基”,即基础知识、基本技能、基本数学思想、基本活动经验。由此可见,数学思想方法教学变得越来越重要(2)数学教育专家的观点。(3)哲学角度的理解。从数学哲学的角度讲,数学科学中最有生命力统摄力的是数学观和数学方法论,即数学思想方法;从数学教育哲学的角度讲,决定一生数学修养的高低,最为重要的标志是看他能否用数学的思想方法去解决数学问题以至日常生活问题。 2、关注小学数学思想方法教学的必需性 一种数学思想的形成绝不是一朝一夕可以做到的,古往今来世人留下的数学思想方法非常丰富,这些数学思想方法有难的但也有容易的,所以,数学思想方法的教学不只是中学、大学教师的事,小学阶段进行数学基础知识的教学时,适时适度渗透数学思想方法,不仅成为一种可能,也成为一种必需。 二、研究的价值: 1、在学生方面: 可以培养学生的数学素养,养成用数学眼光看待和分析周围的事物的习惯和能力。数学思想渗透在数学知识之中,这样就造成教师在教学中只重视讲授表层知识,而不注重渗透数学思想、方法的教学,学生所学的数学知识往往是孤立、零散的东西,不利于学生对所学知识的真正理解和掌握,使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段,难以提高,加重了学生的学习负担;数学思想方法是数学的精髓,在学生学习数学知识的同时渗透数学思想和方法的教学,让学生在掌握表层知识的同时,领悟到深层知识,学习层次实现质的“飞跃”,学生所学的知识成为一个相互联系的,组织得很好的知识结构,这样学生才能摆脱“题海”之苦,焕发其生命力和创造力。 2、在教师方面:

小学数学思想方法的梳理集合思想

小学数学思想方法的梳理(集合思想) 课程教材研究所王永春 十二、集合思想 1. 集合的概念。 把指定的具有某种性质的事物看作一个整体,就是一个集合(简称集),其中每个事物叫做该集合的元素(简称元)。给定的集合,它的元素必须是确定的,即任何一个事物是否属于这个集合,是明确的。如“学习成绩好的同学”不能构成一个集合,因为构成它的元素是不确定的;而“语文和数学的平均成绩在90分及以上的同学”就是一个集合。一个给定集合中的元素是互不相同的,即集合中的元素不重复出现。只要两个集合的元素完全相同,就说这两个集合相等。 集合的表示法一般用列举法和描述法。列举法就是把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法。描述法就是在花括号内写出规定这个集合元素的特定性质来表示集合的方法。列举法的局限性在于当集合的元素过多或者有无限多个时,很难把所有的元素一一列举出来,这时描述法便体现出了优越性。此外,有时也可以用封闭的曲线(文恩图)来直观地表示集合及集合间的关系,曲线的内部表示集合的所有元素。 一一对应是两个集合之间元素(这种元素不一定是数)的一对一的对应,也就是说集合A中的任一元素a,在集合B中都有唯一的元素b与之对应;并且在集合B中的任一元素b,在集合A中也有唯一的元素a与之对应。数集之间可以建立一一对应,如正奇数集合和正偶数集合之间的元素可以建立一一对应。其他集合之间也可以建立一一对应,如五(1)班有25个男生,25个女生,如果把男生和女生各自看成一个集合,那么这两个集合之间可以建立一一对应;再如,中国、美国、俄罗斯、英国、法国、德国作为一个集合,北京、华盛顿、莫斯科、伦敦、巴黎、柏林作为一个集合,这两个集合之间也可以建立一一对应。 2. 集合思想的重要意义。 集合理论是数学的理论基础,从集合论的角度研究数学,便于从整体和部分及二者的关系上研究数学各个领域的知识。如数系的扩展,从小学的自然数到整数,再到中学的有理数、无理数和实数,都可以从集合的角度来描述。有时用集合语言来表述有关概念更为简洁,如全体偶数的集合可表示为{x|x=2k,k∈Z}。集合沟通了代数(数)和几何之间的关系,如y = kx ,既是正比例函数,又可以表示一条直线;也就是说在平面直角坐标系上,这条直线是由满足y = kx 的有序实数对所组成的点的集合。用集合图描述概念的分类及概念之间的关系,往往层次分明、直观清晰,如四边形的分类可以用文恩图表示。 3.集合思想的具体应用。 集合思想在小学数学的很多内容中进行了渗透。在数的概念方面,如自然数可以从对等集合基数(元素的个数)的角度来理解,再如在一年级通过两组数量相等的实物建立一一对应,让学生理解“同样多”的概念,实际上就是两个对等集合的元素之间建立一一对应;数的运算也可以从集合的角度来理解,如加法可以理解为两个交集为空集的集合的并集,再如求两数相差多少,通过把代表两数的实物图或直观图一对一地比较,来帮助学生理解用减法计算的道理;实际上就是把代表两数的实物分别看作集合A、B,通过把A的所有元素与B的部分元素建立一一对应,然后转化为求B与其子集(与A等基)的差集的基数。此外,在小学数学中还经常用集合图表示概念之间的关系,如把所有三角形作为一个整体,看作一个集合,记为A;把锐角三角形、直角三角形和钝角三角形各自看作一个集合,分别记为B、C、D,这三个集合就是集合A的三个互不相交的子集,B、C、D的并集就是A。再如在学习公因数和公倍数时,都是通过把两个数各自的因数和倍数分别用集合图表示,再求两个集合的交集,直观地表示了公因数和公倍数的概念。4.集合思想的教学。 集合思想在小学数学中广泛渗透,在教学中应注意以下几个问题。 第一,应正确理解有关概念。我们知道,两个数之间可以比较大小,但是两个集合之间无法直接比较大小,也就是说一般不说两个集合谁大谁小。如有两个集合A、B,当且仅当它们有完全相同的元素时,称A、B

初等数学研究论文

姓名:苏章燕学号:201102024002 班级:师范1班 分类思想 摘要:分类讨论的问题在这学期做高考题和中考题过程中,很多题上面都有体现。是在问题的解答出现多种情况且综合考虑无法深入时,我们往往把可能出现的所有情况分别进行讨论,得出每种情况下相应的结论,这种思想方法就是分类的思想。 关键词:分类讨论、函数、例题、集合分类 一、分类要素 分类的思想运用到每个具体数学问题中都有三个基本内容,即分类三要素,在分类的合定义中,三要素就是全集,子集和子集的分类根据。分类的逻辑定义中,三要素是母项,子项和分类标准。 二、分类的规则 在问题讨论前,首先应弄清楚我们所研究对象的范围,即全集。分类就要在这个特定范围内进行,要防止在全集不明确的情况下或全集外进行讨论。 每次分类都必须以同一本质属性为标准,被分概念或集合有若干本质属性,确定某一个作为分类标准。那么在分类过程中就要始终使用这个标准。同一次讨论中标准只能是一个。如实数在讨论绝对值时,可分为整数、负数和零;在讨论其他性质和运算时可分为有理数与无理数。又如函数按自变量个数可分为一元函数、二元函数乃至多元函数;按单调性可分为增函数、减函数和非单调函数(在某一区间内);按定义域可分为在R上都有意义的函数与定义域不是R的函数;按奇偶性可分为奇函数、偶函数和非奇非偶函数(在定义域内);按属性可分为代数函数和超级函数。诸如此类,按不同标准就有不同的分类。 分类的完整性,把集合A分为A1、A2、···An等n个子集的分类,集合A应是这n 个子集的并集,集合的每一个元素都属于且仅属于其中的一个子集,分类时必须防止遗漏,如把角分为第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角,就不是一个完整的分类,因为终边落在坐标轴上的角就不在其中。 分类的互斥性,分类中分成的各部分必须是互相排斥的,即分类中各个子集的交集是空集,如平面几何中把三角形分为锐角三角形、等腰三角形······的分类就是不正确的分类,因为存在着等腰锐角三角形,这是由于破坏了分类的互斥性。 分类的逐级性,被分概念必须分成与它最邻近的概念。有些问题必须要连续分类,这就要求严格按层次逐级进行划分、讨论。 分类的种类,人们对事物的认识有一个由现象到本质逐步深化的无线过程,因此分类也有一个从现象分类到本质这样一个逐步深化的过程。 现象分类就是根据事物的外部标志或外部联系所进行的分类,这种分类往往会把本质上相同的事物分为不同的类别,而把本质上不相同的事物归为同一类别。如平面几何中多边形按边数分类就是一个现象分类,因为凸多变形和凹多边形即使边数相同其性质也大相径庭,而正多边形(不管它边数多少)都具有很多共性,它们本质上是相同的。 本质分类就是根据事物的本质特征或内部联系所进行的分类,本质分类能够揭示数学对象之间的规律,如含角的三角函数的绝对值,用零点分段法对角进行的分类就属于本质分类。 分类方法的解题步骤,确定分类标准,这就是要运用辩证的逻辑思维,对具体事物作具体分析,从表面上极为相似的事物之间看出它们本质的相同点,发现事物的本质特征,只有这样才能揭示数学对象之间的规律,对数学对象进行有意义的分类。 恰当地进行分类,在确定分类标准的基础上,遵守分类的五条规则,对所讨论的问题恰当地分类,问题能否顺利讨论的关键是对所讨论对象进行正确的分类。 逐类讨论,根据分好的各类情况,逐类地加以研究,深入进行讨论,分门别类逐一把

《数学思想与方法》综合作业答案1

谈谈我对我国小学数学教育的看法 九年义务教育改革的核心是实施素质教育,数学作为一门基础自然学科,如何实施素质教育这正是当前广大数学教师非常关注的新课题。实施素质教育是我国社会主义现代化建设和迎接国际竞争的迫切需要。我们要在21世纪激烈的国际竞争中处于战略主动地位,就必须优先发展教育,必须实施素质教育,唯有如此才能实现发展教育的根本任务,提高全民整体索质,从而实现社会的快速发展。素质教育关系着一个国家和民族的未来。小学是义务教育的奠基工程,而小学数学则是基础教育的一门重要学科。如何在小学数学教学中全面贯彻落实素质教育,发挥整体育人功能,这是每位教育工作者都应认真思考的问题。本文就小学数学素质教育谈几点认识。 一、学习素质理论,统一思想认识 由于我国的基础教育在“应试教育”的轨道上运行多年,人们在思想观念、政策导向、管理体制乃至教育的内容与方法等诸多方面,都形成了一整套固定的模式,因此,要实现从应试教育向素质教育的转轨,决非轻而易举的事。随着社会的进步和发展,以及教育体制持续不断的改进,大家认识到素质教育是一种旨在谋求学生身心发展的教育,是一种承认差异,重视个性的教育,是确认学生主体,从学生个体实际出发的教育,是一种根据社会需要,给学生的素质发展以价值导向与限定的教育,同时又是一种重知识,又不唯知识,以提高民族素质为最终目的的教育。 二、素质教育是数学教学改革的主旋律 围绕素质教育的实施这一主题,数学教学改革应重视如下几个方面: 1.重视非智力因素,培养学生的个性品质。 一般来说,非智力因素可以转化学习动机,成为学生学习的内驱力;还可以对学生的学习起到调节、强化作用。智力和非智力因素是学生统一的心理活动过程和

小学数学中常见的数学思想方法有哪些.

小学数学中常见的数学思想方法有哪些? 1、对应思想方法 对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法,小学数学一般是一一对应的直观图表,并以此孕伏函数思想。如直线上的点(数轴)与表示具体的数是一一对应。 2、假设思想方法 假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设,然后按照题中的已知条件进行推算,根据数量出现的矛盾,加以适当调整,最后找到正确答案的一种思想方法。假设思想是一种有意义的想象思维,掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体,从而丰富解题思路。 3、比较思想方法 比较思想是数学中常见的思想方法之一,也是促进学生思维发展的手段。在教学分数应用题中,教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况,可以帮助学生较快地找到解题途径。 4、符号化思想方法 用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学内容,这就是符号思想。如数学中各种数量关系,量的变化

及量与量之间进行推导和演算,都是用小小的字母表示数,以符号的浓缩形式表达大量的信息。如定律、公式、等。 5、类比思想方法 类比思想是指依据两类数学对象的相似性,有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。类比思想不仅使数学知识容易理解,而且使公式的记忆变得顺水推舟的自然和简洁。 6、转化思想方法 转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法,而其本身的大小是不变的。如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等,在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。 7、分类思想方法 分类思想方法不是数学独有的方法,数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。如自然数的分类,若按能否被2整除分奇数和偶数;按约数的个数分质数和合数。又如三角形可以按边分,也可以按角分。不同的分类标准就会有不同的分类结果,从而产生新的概念。对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性,数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。

初中思想方法初中数学教学

《初中思想方法与初中数学教学》的作业: 1试述思想方法在初中数学中的作用,在教学中你是如何渗透转化、分类讨论思想和数形结合思想的,请各举一教学片段说明。 在初中数学教学中,渗透转化思想,可以提高学生分析解决问题的能力; 所谓“转化思想”是指把待解决或未解决的问题,通过转化,归结到已经解决或比较容易解决的问题中去,最终使问题得到解决的一种思想方法。转化思想是初中数学中常见的一种数学思想,它的应用十分广泛,我们在数学学习过程中,常常把复杂的问题转化为简单的问题,把生疏的问题转化为熟悉的问题。数学问题的解决过程就是一系列转化的过程,转化是化繁为简,化难为易,化未知为已知的有力手段,是解决问题的一种最基本的思想,对提高学生分析解决问题的能力有积极的促进作用。 我们对转化思想并不陌生,中学数学中常用的化高次为低次、化多元为一元,都是转化思想的体现。在具体内容上,有加减法的转化、乘除法的转化、乘方与开方的转化、数形转化等等。例如:初中数学“有理数的减法”和“有理数的除法”这两节教学内容中,教材是通过“议一议”的形式,使学生在自主探究和合作交流的过程中,经历把有理数的减法转化为加法、把有理数的除法转化为乘法的过程,“减去一个数等于加上这个数的相反数”,“除以一个数等于乘以这个数的倒数”,这个地方虽然很简单,但却充分体现了把“没有学过的知识”转化为“已经学过的知识”来加以解决,学生一旦掌握了这种解决问题的策略,今后无论遇到多么难、多么复杂的问题,都会自然而然地想到把“不会的”转化为“会的”、“已经掌握的”知识来加以解决,这符合学生原有认知规律,作为教师,我们不能因为简单而忽视它的教学,实践告诉我们,往往是越简单、越浅显的例

浅谈初等数学与高等数学的关系

浅谈初等数学与高等数学的关系 【摘要】初等数学是高等数学不可或缺的基础,高等数学是初等数学的继续和提高.高等数学解释了许多初等数学未能说清楚的问题,这对用现代数学的观点、原理和方法指导数学教学是十分有用的。 【关键词】初等数学;高等数学;关系 从数学这门学科的建立直至十七世纪这整个阶段,数学只能解释一些静止的现象和计算一些定量(例如,它只能用于计算直边所围成的面积,以及固定的高度和距离等)这个阶段被称为初等数学阶段。初等数学远远不能满足社会发展的需要,因此人们寻求新方法,解释那些运动现象(例如,变速运动的瞬时速度、任意曲边所围成的面积等)于是建立了高等数学。高等数学的出现,显示出了巨大威力,许多初等数学束手无策的问题,至此迎刃而解了。 本文介绍了初等数学与高等数学的一些相关内容及它们之间的关系。 1.初等数学简介及其研究内容 代数的最早起源可追溯到公元前1800年左右。那时代的巴比伦数学文献里已经含有二次方程和某些很特殊的三次方程。从那时直到15世纪的三千多年里,中国﹑印度﹑阿拉伯和欧洲都在不同的方面对代数学的发展作出了不同贡献。特别是中国的代数获得了比较系统的﹑高水平的发展。例如,约在公元前1世纪前后成书的《九章算术》,其中记载了“方程术”和“正负术”等重要成就。到了13世纪后,中国数学在高次方程的数值解法﹑同余式理论以及高阶等差数列等方面又再放异彩,取得令人惊异的成就。 纵观数学发展的整个历史过程,大体上经历了初等代数的形成﹑高等代数的创建以及抽象代数的产生和发展三个阶段。随着这门学科的不断发展,人们对于代数学的研究对象问题的认识也不断深化,逐步形成下面几个观点。 (1)代数学是研究方程解法和字母运算的科学 (2)代数学是研究多项式和线性代数的科学 (3)代数学是研究各种代数结构的科学 (4)代数是推动数学发展、解决科学问题的有利工具 初等数学中主要包含两部分:初等几何与初等代数。初等几何是研究空间形式的学科,而初等代数则是研究数量关系的学科。初等数学基本上是常量的数学。 1.1数的概念及其运算1.2解析式及其恒等变换1.3方程1.4不等式1.5函

小学数学思想方法的梳理分析法和综合法

小学数学思想方法的梳理(分析法和综合法) 课程教材研究所王永春 十、分析法和综合法 分析与综合都是思维的基本方法,无论是研究和解决一般问题,还是数学问题,分析和综合都是最基本的具有逻辑性的方法。分析与综合本是两种思想方法,但因二者具有十分密切的联系,因此把二者结合起来阐述。 1. 分析法和综合法的概念。 分析是把研究对象的整体分解为若干部分、方面和因素,分别加以考察,找出各自的本质属性及彼此之间的联系。综合是把研究对象的各个部分、方面和因素的认识结合起来,形成一个整体性认识的思维方法。分析是综合的基础,综合是分析的整合,综合是与分析相反的思维过程。在研究数学概念和性质时,往往先把研究对象分解成几个部分、方面和要素进行考察,再进行整合从整体上认识研究对象,形成理性认识。实际上教师和学生都在经常有意识和无意识地运用了分析和综合的思维方法。如认识等腰梯形时,可以从它的边和角等几个要素进行分析:它有几条边?几个角?四条边有什么关系?四个角有什么关系?再从整体上概括等腰梯形的性质。数学中的分析法一般被理解为:在证明和解决问题时,从结论出发,一步一步地追溯到产生这一结论的条件是已知的为止,是一种“执果索因”的分析法。综合法一般被理解为:在证明和解决问题时,从已知条件和某些定义、定理等出发,经过一系列的运算或推理,最终证明结论或解决问题,是一种“由因导果”的综合法。如小学数学中的问题解决,可以由问题出发逐步逆推到已知条件,这是分析法;从已知条件出发,逐步求出所需答案,这是综合法。再如分析法和综合法在中学数学作为直接证明的基本方法,应用比较普遍。因此,分析法和综合法是数学学习中应用较为普遍的相互依赖、相互渗透的思想方法。 2. 分析法和综合法的重要意义。 大纲时代的小学数学教育,比较重视逻辑思维能力的培养,在教学过程中重视培养学生的分析、综合、抽象、概括、判断和推理能力,其中培养学生分析和综合的能力、推理能力是很重要的方面,如在解答应用题时重视分析法和综合法的运用,也就是说可以先从应用题的问题出发,找出解决问题需要的条件中哪些是已知的、哪些是未知的,未知的条件又需要什么条件解决,这样一步一步倒推,直到利用最原始的已知条件解决。这样分析了数量关系和解题思路后,再利用综合法根据已知条件列式解答。再如在学习概率统计时对各种统计数据需要经过整理和描述,并进行分析和综合,做出合理的判断和预测。虽然新课标并没有明确提出逻辑思维能力的培养,但在推理能力方面仍然提出了“能清晰、有条理地表达自己的思考过程,做到言之有理、落笔有据;在与他人交流的过程中,能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质疑。”这其中就包含了对学生逻辑思维、分析和综合能力的要求。分析能力不仅是逻辑思维能力的重要方面之一,也是其他一些思维能力的基础。分析法和综合法是培养学生分析问题、解决问题和推理等能力的重要的思想方法。因此,分析法和综合法在课标时代仍然是培养逻辑思维能力和解决问题能力的重要的思想方法。 3. 分析法和综合法的具体应用。 如上所述,分析法和综合法作为数学的思想方法,在小学数学的各个方面都有重要的应用。首先,在四大领域的内容中,无论是低年级的数和计算、图形的认识,还是中高年级的方程和比例、统计与概率,分析法和综合法都有较多应用。如数的计算法则的学习,就是一个先分析再综合概括的过程,先一步一步地学习法则的不同方面,再综合概括成一个完整的法则。其次,在贯穿整个数学学习过程中的问题解决、判断和推理证明等方面,分析法和综合法也是无所不在。如在进行一个概念或者性质的判断时,必须先进行分析,然后才能做出判断。 4.分析法和综合法的教学。 分析能力和综合能力作为培养逻辑思维能力和解决问题能力的重要方面,在课标时代仍然要给予足够的重视,在教学中应注意以下几点。

浅谈初中数学思想方法教学

浅谈初中数学思想方法教学 初中数学教学大纲中明确指出:初中数学的基础知识主要是初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理及其内容所反映出来的数学思想和方法。数学思想和方法在初中数学教学中具有不容忽视的重要地位。数学思想和方法纳入基础知识范畴,足见我国数学教育工作者已对数学思想方法的教学的重要性达成了共识。这不仅是加强数学素养培养的一项举措,也是数学基础教育现代化进程的必然与要求。这是因为数学的现代化教学,是要把数学基础教育建立在现代数学的思想基础上,并使用现代数学的方法和语言。因此,探讨数学思想方法教学的一系列问题,已成为数学现代教育研究中的一项重要课题。 一、初中数学思想方法教学的必要性 数学思想是具有总结性的奠基性的数学思维成果,初中数学教程蕴含着丰富的数学思想,例如数形结合、化归、函数、方程、分类讨论、符号与变元等等。数学方法是人们采用一定的途径、手段、行为方式表现数学思想的可操作性模式,例如初中数学中的一般性方法有消元法、代入法、图象法、归纳法;特殊性方法有配方法、拆项补项法、平行移动法等等。如果说数学思想是对数学逻辑严密性的高度概括,那么数学方法则是简洁而精确的形式化语言,讲究可操

作性。初中数学将数学思想与数学方法的结合统称为数学思想方法。长期以来,初中数学课堂的数学知识传授多于数学思想方法,数学知识是对数学内容的精华提炼,但如果没有相应的加工改造只是机械似的囫囵吞枣,数学知识便不能被顺利地转化为学生的数学能力。数学思想方法的功能在于涵盖了数学知识结构的辩证理念,是将抽象事物上升为具体的思维过程,不仅是数学知识转化为数学能力的桥梁,还能促成学生思想素质的飞跃,推动数学认知向非数学领域迁移。 二、数学思想方法在初中数学中的应用 1.从初中数学大纲中入手 教师数学知识的传递是从教学大纲中着手的,从这个角度出发,数学思想方法在初中数学教学中的应用就要从这个方面进行。首先,教师需要对教材有个充分的研究和分析,理清教材的体系和脉络;其次,建立好各知识点、知识单元和各类概念中的关系,并对其关系中存在的一般规律和内在规律进行归纳。例如在初中数学因式分解这一问题上,提公因式法、分组分解法等都是重要的教学方法。因此,从掌握这些方法出发,按照知识――方法――思想的顺序,从中提炼出数学思想方法,学生就可以从这个过程中运用这一方法来解决更多的多项式因式方面的问题,并从中形成一套完整的教学范例和模型。 2.以初中数学知识为载体

浅谈数学思想方法教学

浅谈数学思想方法教学 发表时间:2015-06-17T17:13:25.433Z 来源:《少年智力开发报》2014-2015学年第13期供稿作者:黄娜 [导读] 数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法,是对数学规律的理性认识. 山东郯城县郯城街道办事处初级中学黄娜 一、数学思想方法教学的心理学意义 “不论我们选教什么学科,务必使学生理解该学科的基本结构.”所谓基本结构就是指“基本的、统一的观点,或者是一般的、基本的原理.”“学习结构就是学习事物是怎样相互关联的.”数学思想与方法为数学学科的一般原理的重要组成部分.下面从基本结构学说中来看数学思想、方法教学所具有的重要意义. 第一.“懂得基本原理使得学科更容易理解”.心理学认为“由于认知结构中原有的有关观念在包摄和概括水平上高于新学习的知识,因而新知识与旧知识所构成的这种类属关系又可称为下位关系,这种学习便称为下位学习.”当学生掌握了一些数学思想、方法,再去学习相关的数学知识,就属于下位学习了.下位学习所学知识“具有足够的稳定性,有利于牢固地固定新学习的意义,”即使新知识能够较顺利地纳入到学生已有的认知结构中去.学生学习了数学思想、方法就能够更好地理解和掌握数学内容. 第二.有利于记忆.除非把一件件事情放进构造得好的模型里面,否则很快就会忘记.学习基本原理的目的,就在于保证记忆的丧失不是全部丧失,而遗留下来的东西将使我们在需要的时候得以把一件件事情重新构思起来.高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具,而且也是明天用以回忆那个现象的工具. 由此可见,数学思想、方法作为数学学科的“一般原理”,在数学学习中是至关重要的.无怪乎有人认为,对于中学生“不管他们将来从事什么业务工作,唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法,却随时随地发生作用,使他们受益终生.” 第三.学习基本原理有利于“原理和态度的迁移”.这种类型的迁移应该是教育过程的核心——用基本的和一般的观念来不断扩大和加深知识.曹才翰教授也认为,“如果学生认知结构中具有较高抽象、概括水平的观念,对于新学习是有利的,”“只有概括的、巩固的和清晰的知识才能实现迁移.”美国心理学家贾德通过实验证明,“学习迁移的发生应有一个先决条件,就是学生需先掌握原理,形成类比,才能迁移到具体的类似学习中.”学生学习数学思想、方法有利于实现学习迁移,特别是原理和态度的迁移,从而可以较快地提高学习质量和数学能力. 第四.强调结构和原理的学习,“能够缩短‘高级’知识和‘初级’知识之间的间隙.”一般地讲,初等数学与高等数学的界限还是比较清楚的,特别是中学数学的许多具体内容在高等数学中不再出现了,有些术语如方程、函数等在高等数学中要赋予它们以新的涵义.而在高等数学中几乎全部保留下来的只有中学数学思想和方法以及与其关系密切的内容,如集合、对应等.因此,数学思想、方法是联结中学数学与高等数学的一条红线. 二、中学数学教学内容的层次 中学数学教学内容从总体上可以分为两个层次:一个称为表层知识,另一个称为深层知识.表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能,深层知识主要指数学思想和数学方法. 表层知识是深层知识的基础,是教学大纲中明确规定的,教材中明确给出的,以及具有较强操作性的知识.学生只有通过对教材的学习,在掌握和理解了一定的表层知识后,才能进一步的学习和领悟相关的深层知识. 深层知识蕴含于表层知识之中,是数学的精髓,它支撑和统帅着表层知识.教师必须在讲授表层知识的过程中不断地渗透相关的深层知识,让学生在掌握表层知识的同时,领悟到深层知识,才能使学生的表层知识达到一个质的“飞跃”,从而使数学教学超脱“题海”之苦,使其更富有朝气和创造性.那种只重视讲授表层知识,而不注重渗透数学思想、方法的教学,是不完备的教学,它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握,使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段,难以提高;反之,如果单纯强调数学思想和方法,而忽略表层知识的教学,就会使教学流于形式,成为无源之水,无本之木,学生也难以领略到深层知识的真谛.因此,数学思想、方法的教学应与整个表层知识的讲授融为一体,使学生逐步掌握有关的深层知识,提高数学能力,形成良好的数学素质. 三、中学数学中的主要数学思想和方法 数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法,是对数学规律的理性认识.由于中学生认知能力和中学数学教学内容的限制,只能将部分重要的数学思想落实到数学教学过程中,而对有些数学思想不宜要求过高.我们认为,在中学数学中应予以重视的数学思想主要有三个:集合思想、化归思想和对应思想.其理由是: (1)这三个思想几乎包摄了全部中学数学内容; (2)符合中学生的思维能力及他们的实际生活经验,易于被他们理解和掌握; (3)在中学数学教学中,运用这些思想分析、处理和解决数学问题的机会比较多; (4)掌握这些思想可以为进一步学习高等数学打下较好的基础. 此外,符号化思想、公理化思想以及极限思想等在中学数学中也不同程度地有所体现,应依据具体情况在教学中予以渗透. 数学方法是分析、处理和解决数学问题的策略,这些策略与人们的数学知识,经验以及数学思想掌握情况密切相关.从有利于中学数学教学出发,本着数量不宜过多原则,我们认为目前应予以重视的数学方法有:数学模型法、数形结合法、变换法、函数法和类分法等.一般讲,中学数学中分析、处理和解决数学问题的活动是在数学思想指导下,运用数学方法,通过一系列数学技能操作来完成的. 四、数学思想方法的教学模式 数学表层知识与深层知识具有相辅相成的关系,这就决定了他们在教学中的辩证统一性.基于上述认识,我们给出数学思想方法教学的一个教学模式: 操作——掌握——领悟 对此模式作如下说明: (1)数学思想、方法教学要求教师较好地掌握有关的深层知识,以保证在教学过程中有明确的教学目的; (2)“操作”是指表层知识教学,即基本知识与技能的教学.“操作”是数学思想、方法教学的基础; (3)“掌握”是指在表层知识教学过程中,学生对表层知识的掌握.学生掌握了一定量的数学表层知识,是学生能够接受相关深层知识

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