理论力学复习题(计算题)
一、分析力学部分
半经为r 的光滑半球形碗，固定在水平面上，一均质棒斜靠在碗缘，一端在碗内，
一端在碗外，在碗内的长度为c ，试用虚功原理证明棒的全长为：()c
r c l 2224-=
解：建坐标如图示，棒受主动力为重力，作用点在质心c 上，方向竖直向下，即j mg P
-= 由虚功原理得
()()0=-=+?-=∑y mg j y i x j mg A F δδδδ
由图可知
θsin 2??? ?
?
--=l c y
又由几何关系知r c r 24sin 22-=
θ 所以r c r l c y 24222-??? ?
?
--=
对c 求变分得
()
()()()[]
c
l c c c r r
c r c c c r r l c c r c r y δδδδ-----=??
??
????--??? ??
-+--=-24244242121224222
212
1
2
222
代入虚功原理得()()[]
024244222
2=----?
c l c c c r r
c r mg δ 由于0≠c δ 故(
)()02422
2=---l c c c
r
整理得()c
r c l 2224-=
六．五根长度相同的匀质杆，各重为P 用铰连接，与固定边AB 成正六边形，设在水平杆的中点施力F 以维持平衡，用虚功原理求力F 之大小？
解：设六边形边长为a ，建坐标系如图，取角θ为广义坐标
由虚功原理得：
∑=-++=0223321y F y P y P y p A
F
δδδδδ
由几何关系知 θθθθθcos 2,cos 2
3cos 2cos ,cos 2321a y a a a y a y ==+== 变分δθθδ?-=sin 21a y ，δθθδ?-=sin 2
32a
y ，δθθδ?-=sin 22a y
代入虚功原理
()()
()0
sin 26sin 2sin 6sin 2sin 2sin 232sin 22=+-=+-=---+??
?
??-+??? ??-θδθθδθθδθθδθθδθθδθθδθa F P Fa Pa a F a P a P a P 由于θ的任意性，0,0sin ≠≠δθθ
所以 P F 3=
等边六角形连杆铅直放置，各杆间用光滑铰链连接，底边固定不动，C 、D 点用绳拉紧，连杆AB 中点受力Q 作用，已知平衡时∠ACD=α，试用虚功原理求平衡时Q 与绳内张力T 之间的关系？
解：设六边形边长为a ，建坐标系如图，取角α为广义坐标
由虚功原理得：
∑=-+-=01D C F
x T x T y Q A
δδδδ
由几何关系知 αααcos 2
),cos 2(
,sin 21a a
x a a x a y D C +=+-==
变分δααδδααδδααδ?-=?=?=sin ,sin ,cos 21a x a x a y D C 代入虚功原理
2)sin cos (0
sin sin cos 2=?+-=?+?+?-δαααδααδααδααa T Q Ta Ta a Q
由于的α任意性，0≠δα 所以αtan T Q =
如图所示平面机构有五根长度相同的匀质杆与固定杆AB 组成一正六边形，杆AF 中点与杆BC 中点有一刚度系数为k 的水平弹簧相连，已知各杆长度用弹簧原长均为l ，其重量与各铰接处摩擦均不计，若在ED 中点作用一铅垂力F ，则此机构平衡时角φ的大小为多少。
解：以AB 杆中点为原点建立坐标系，ox 轴沿AB 方向，oy 轴竖直向上。解除弹簧约束以力T 1、T 2代替。由由虚功原理得：∑=--=02211F F
Y F x T x T A
δδδδ
由几何关系知
变分得δφφδφφδφφδ?-=?=
?=sin 2
,sin 2,cos 221l
x l x l y F 代入虚功原理()0cos 2sin 2sin 221=?-??
?
???--??
? ???δφφδφφδφφl F l T l
T 又φφcos cos 2
221kl l
k x k T T =?
?=?== ()02sin ,0cos 2sin cos =-=?-??δφφδφφδφφφF kl Fl l kl
由于0≠δφ 故??
?
??=kl F 2arcsin φ P.206例
解： 自由度 2 个，广义坐标βα,
由
对 P1 , P2 , F 分别有：
x 2
322111
=++=?∑y F x P x P r F n i i δδδδ
α
δαδαcos l x sin l x 11112
12
1=?=
由拉格朗日方程求出单摆的运动微分方程
解：以单摆为研究对象，系统为保守系，取摆角θ为广义坐标，设摆长为l ，则摆球速度θ
l v = 系统动能2
222
121θ ml mv T ==，势能为θcos mgl V -= 拉氏函数θθcos 2
12
2mgl ml V T L +=-=
由拉氏方程
0)(=??-??α
αq L q L dt d 得到0sin 2=+θθ
mgl ml 摆角很小时θθ≈sin
故运动微分方程为0=+θθ
l
g
讨论：由于是保守系统，存在首次积分C V T =+ 即
E mgl ml =-θθcos 2
12
2 机械能守恒 由拉格朗日方程求出弹簧振子的运动微分方程
解：以弹簧振子为研究对象，系统为保守系，取振子位移x 为广义坐标，设弹簧劲度系数为
k ，则振子速度x
v = 系统动能222121x
m mv T ==，势能为22
1
kx V = 拉氏函数2
22
121kx x m V T L -=-= 由拉氏方程
0)(=??-??α
αq L
q L dt d 得到0=+kx x
m βδβαδαδβαcos l cos l x sin l sin l x 2122122
1
21+=?+
=βδβ
αδαδβαsin l sin l y cos l cos l y 213213--=?+=代入，并令 δβ
δα,的系数为零，有
.
F
P tan F P P tan sin Fl cos l P sin Fl cos l P cos l P 2;220
21
21
2
2122211211=+=???
????=-=-+βαββααα
故运动微分方程为0=+x m
k
x
讨论：由于是保守系统，存在首次积分C V T =+ 即
E kx x m =+2
22
121 机械能守恒 用哈密顿正则方程建立弹簧振子的运动微分方程
解：以弹簧振子为研究对象，系统为保守系，取振子位移x 为广义坐标，设
弹簧劲度系数为k ，则振子速度x
v = 系统动能
222121x m mv T ==
，势能为2
21
kx V =
拉氏函数
2
22121kx x m V T L -=
-=
广义动量x
m x
L
p x =??=
即m p x x = 哈密顿函数22
222
1
2121)(21kx m p kx m p m m p p L x
p H x x x x x +=+-=-= 哈密顿正则方程为???
????
=??=-=??-=)2()1( m p p H x kx x H p x x x （1） 式微分后代入（1）式得kx x m -= 所以运动微分方程为0=+x m
k
x
用哈密顿正则方程建立单摆的运动微分方程 解：以单摆为研究对象，系统为保守系，取摆角θ为广义坐标，设摆长为l ，则
摆球速度θ
l v =
系统动能
2222121θ ml mv T ==
，势能为θcos mgl V -=
拉氏函数
θθcos 212
2mgl ml V T L +=
-=
广义动量θθ
θ 2ml L p =??=
即2ml p θθ=
哈密顿函数
θθθθθθθθcos 21cos )(2122
2222mgl ml p mgl ml
p ml ml p p L p H -=--=-=
哈密顿正则方程为???????
=??=-=??-=)2()1(sin 2 ml p p H mgl H p θθθθθθ （2） 式微分后代入（1）式得θθ
sin 2mgl ml -= 得到
0sin 2=+θθmgl ml 摆角很小时θθ≈sin
故运动微分方程为
0=+θθ
l
g
第一章质点力学
点沿空间曲线运动，在点M 处其速度为j i v 34+= ，加速度a 与速度v 夹角0
30=β，
且2
/10s m a =。求轨迹在该点密切面内的曲率半径ρ和切向加速度τa 。
答：由已知条件j i v
34+=得
s m v /53422=+= 法向加速度20/530sin s m a a n == 则曲率半径m a v n
52
==ρ 切向加速度 20/66.830cos s m a a ==τ
一点向由静止开始作匀加速圆周运动，试证明点的全加速度和切向加速度的夹角α与其经过的那段圆弧对应的圆心角β之间有如下关系βα2tan =
证明：设点M 沿半径为R 的圆作圆周运动，t 时刻走过的路程为AM=s ，速度为v ，
对应的圆心角为β。由题设条件知
()
()b C ds
dv v dt dv a a Ra v a a n ===
==τττα2
tan
C 为常数 积分(b)式得
??
=s
v
ds a vdv 0
τ 所以()c s a v τ22=
将（c ）式代入（a ），并考虑βR s =，所以βα2tan =
质点M 的运动方程为)(2),(32
m t y m t x == 求t=1秒时，质点速度、切向加速度、法向加速度的大小。
解：由于)(44),(3s
m t y s
m x
=== 所以有()s m y x
v 516922=+=+=
又：222169t y x
v +=+=
则()()
()s m
t
t t t v
a t 2.3169232321692
12
121
21
2=+=?+==-
()
()()
s
m
a a a s
m y
x a s m y x t n 4.22.3164,4,02
2222=-=-==+===
点M 沿半径为R 的圆周运动。如果
K K a a n
(-=τ
为已知常数），以初始位置为原点，原点初速度为0v 。求点的弧坐标形式的运动方程及点的速度减少一半时所经历的时间。
解：设点的初始位置为A 。依题意KR v K a a dt dv n 2
-=-==τ 积分上式??-=v
v t
dt
KR v dv 00
21 KR t v v -=-110 得t v KR RKv v 00+= 则弧坐标形式的运动方程为??
? ??
+=+=
?KR t v KR dt t
k KR KRv s t
00001ln 当2
0v v =
时0v KR t =
一质点沿圆滚线θsin 4a s =的弧线运动，如θ
为常数，则其加速度亦为一常数，试证明之。式中θ为圆滚线某点P 上的切线与水平线（x 轴）所成的角度，s 为P 点与曲线最低点之间
的曲线弧长。
解：因θsin 4a s = 故θωθθcos 4cos 4a a dt
ds v ===
式中ωθ
= =常量（题设） 又θωτsin 42
a dt dv a -== ρ2v a n = 而θθρcos 4a d ds ==
所以θωθ
θ
ωρcos 4cos 4cos 1622222
a a a v a n === 故2222224cos sin 4ωθθωτa a a a a n =+=+=
=常数 结论得证
设质点沿螺旋线t z t y t x 4,4cos 2,4sin 2===运动，试求质点的速度、加速度和轨道的曲率半径。
解：因t z t y t x 4,4cos 2,4sin 2===
故4,44sin 8,44cos 8=-=-===z x t y y t x
所以541422222=++=++=
y x z y x
v
又0,164,164=-=-=-==z
y x y x y x 所以321622222=+=++=y x z
y x a 又01
4441222142222=++-?=+++?==
y x xy
xy y x y y x x dt dv a τ
所以321622=+==y x a a n
而5.232
80
2===n a v ρ
小环的质量为m 。套在一条光滑的钢索上，钢索的方程式为ay x 42
=，试求小环自x=2a 处自由滑至抛物线顶点时的速度及小环在此时所受到的约束反作用力。
解：小环受力如图示，重力g m
竖直向下，约束力R 的方向沿着抛物线的法
线
小环在任意位置P 处的运动微分方程为)
2(cos )1(sin 2 θρ
θmg R v
m mg dt
dv
m
-== 因
ds dv v dt ds ds dv dt dv =?= 而ds
dy
dx dy -=-=≈θθsin tan （s 增大而y 减小故为负值） （1）式变为ds
dy
mg
ds dv mv -= 即)3( gdy vdv -= 积分??-=0
0a v
gdy vdv 得ag v 2=（因a a
x y a x ==
=4,22
）此即小环自x=2a 处自由滑至抛物线顶点时的速度。
又ay x 42
= 则a dx
y d y a x dx dy y 21
,222==''==' 在抛物线顶点处a
y y y x 21
,0,0,0=
''='== 所以在抛物线顶点处()
a y y 212
32='
''+=
ρ
由（2）式知mg mg a
ag
m
mg v m
R 222cos 2
=+=+=θρ
（因在顶点处1cos ,0
==θθ）
小环在顶点处所受到的约束反作用力为mg 2。
质点所受的力如恒通过一定点，则质点必在一平面上运动，试证明之。
证明：取力通过的定点为坐标原点，则质点的位矢r
与力F 共线，则有0=?=F r M 所以质点的动量矩守恒，即C J =
其分量式为()()())
3...(..........)2...(..........)1..(..........321C x y y x m J C z x x
z m j C y z z y m J z y x =-==-==-= 由)3()2()1(?+?+?z y x 得到0321=++z C y C x C
由解析几何知识知上式为一平面方程，故质点只能在这个平面上运动。
一物体质量m=10kg ,在变力N t F )1(10-=作用下运动。设物体初速度s m v /2.00=，开始时力的方向与速度方向相同。问经过多长时间后物体速度为零，此前走了多少路程？
（知识要点）质点运动学微分方程，质点运动学第二类问题 解答：由F dt
dv
m = 得 ??
-=t
v
v dt t dv 0
)1(100
积分得 )/(2.01052s m t t v ++-=
再积分
??++-=t
s
dt t t ds 0
2
0)2.0105( 得 )(2.053
523m t t t S ++-= 由 02.01052
=++-=t t v 解得 s t 02.2= 再代入前式得 S=7.07 m 质点作平面运动，其速率保持为常数，试证明速度矢量v 与加速度矢量a
正交。
证明：采用自然坐标系，由题意知τ
c v = c 为常量
于是有dt
d c
dt d c dt dc c dt d dt v d a ττττ =+===)( 又在自然坐标系中n dt
d
?τ
= 所以n c dt d c dt d c dt dc c dt d dt v d a ?
τ
τττ==+===)( 由于n ⊥τ 故v a
⊥ 得证
动点M 以匀速)/(5s m v =沿轨迹2
3
1x y =运动，求当m x 2=时动点M 的速度沿x 和y 分
量的大小，以及M 的加速度
解：由)1( (252)
22=+=y x
v 根据231x y =
求导数得x x y 32=而m x 2=时)2........(3
4
x y =
（2）代入（1）得.259
162
2=+x x
整理得)/(3s m x
= 代入（2）得)/.(4s m y =
又0==
dt
dv a τ 则2
222n n
a a a a =+=τ即n a a = 又由数学知识知y y '''+=2
32)
1(ρ 而根据231x y =微分得32,32=''='y x y 当 m x 2=时
3
2
,34=''=
'y y 所以有181253
22712532)
925(32)9161()1(23
23
2
3
2===+='''+=y y ρ
故)/(6.318
12525
22
s m v a a n ==
=
=ρ
某力场的力矢为k xz j x i z xy F 2
233)2(+++= 其中k j i ,,分别为x,y,z 轴的单位矢，
试证明该力场是否为保守力场，若为保守力场，求出其势能函数。 解
：
[]]??
???-
?+?+??-??=+??
????=
??x xz z z xy j z x y xz i xz
x z xy z y x k
j i
F )3()2()()3((322322223
+0)22()33()00()2()(2
2
32=-+-+-=??
?????+?-??x x k z z j i y z xy x x k
故力场为保守力场。
由 )
3(3)2()1(2223--------=??-=---------=??-=------+=??-
=xz z
U F x y U
F z xy x U
F z y x
（1） 式积分得：)4(),(3
2
-----+--=z y f x z y x U 对（4）式求偏导数得：
[]22),(x y z y f x y U -=??+-=?? 即[]0),(=??y
z y f 上式得：)(),(z g z y f = 代入（4）式得：)5()(3
2
------+--=z g x z y x U
对（5）式求偏导数得：
[]223)(3xz z z g xz z U -=??+-=??即[]0)(=??z
z g 积分得：c z g =)(
代入（5）式得：c x z y x U +--=3
2
取0,0,0===U y x 则0=c 所以势能函数为 x z y x U 3
2
--=
某力场的力矢为24323318,106,206abxyz F y bx abxz F y bx y abz F z y x =-=-= 试证明该力场是否为保守力场，若为保守力场，求出其势能函数。
解
：
()()0
4064061818)1818(3
3332222=+--+-+-=???? ????-??+??? ????-??+???? ????-??=??
????=
??k y bx abz y bx abz j y abz y abz i abxz abxz k y F x
F j x F z F i z F y F F F F z y x k
j i F x y z x y z Z
y
x
故力场为保守力场。
由 )
3(18)2(106)1(206243233--------=??-=-------=??-=-------=??-
=abxyz z
U F y bx abxz y U
F y bx y abz x U
F z y x
对（1）式积分得：)4(),(562
4
3
-----++-=z y f y bx yx abz U 对（4）式求偏导数得：
[]y bx abxz F y
z y f y bx x abz y U y 4343106),(106+-=-=??++-=?? 即
[]0),(=??y
z y f 上式得：
)(),(z g z y f = 代入（4）式得：
)5()(56243-----++-=z g y bx yx abz U
对（5）式求偏导数得：[]2218)(18abxyz F z
z g xy abz z U z -=-=??+-=?? 即
[]0)(=??z
z g 积分得：c z g =)(代入（5）式得： )6(56243------++-=c y bx yx abz U
取0,0,0,0====U z y x 则0=c
所以势能函数为3
2465abxyz y bx U -=
已知作用于质点上的力为z
a y a x a F z a y a x a F z
a y a x a F z y x 333231232221131211++=++=++=
式上系数)3,2,1,(=j i a ij 都是常数，问这些ij a 满足什么条件，才有势能存在？如这些条件满足，试计算其势能。
解：要满足势能存在须使力场为保守力场，既力场的旋度为零，
所以0=??F
即2112a x
F a y F y x
=??==?? 3113a x F
a z F z x =??==?? 3223a y
F a z
F z
y =??=
=?? 即势能存在ij a 满足条件是：2112a a = 3113a a = 3223a a =
由)
3...(..........)2..(..........)1...(..........333231232221131211z V
z a y a x a F y V
z a y a x a F x V
z a y a x a F z y x ??-=++=??-=++=??-
=++=
（1）式积分得)4)........(,(2
1
1312211z y f zx a yx a x a V +---
= （4）式对y 偏微分=（2）式得
z a y a x a y
z y f x a y V 23221212)
,(---=??+-=?? 即
)5.(..........)
,(2322z a y a y
z y f --=??
（5）式积分得)6...().........(21
),(23222z g zy a y a z y f +--= （6）式代入（4）式得)7)........((2
121232
221312211z g zy a y a zx a yx a x a V +--+---=
（7）式对z 偏微分=（3）式得
z a y a x a z z g y a x a z V 3323132313)
(---=??+--=?? 即)8.(..........)(33z a z
z g -=??
（8）式积分得)9..( (2)
1)(2
33c z a z g +-=
（9）式代入（4）式得
)10........(2
1
2121233232221312211c z a zy a y a zx a yx a x a V +---+---=
取0,0,0,0====V z y x 则0=c 得势能为
)
222(21
2
1
21213123122332222112
33232221312211zx a zy a xy a z a y a x a z a zy a y a zx a yx a x a V +++++-=---+---=
某力场的力矢为k z j y i x F
++=
试证明该力场是否为保守力场，若为保守力场，求出其势能函数。
解：由于0=???
? ????-??+??? ????-??+???? ????-??=??????
=
??k y F x F j x F z F i z F y F F F F z y x k
j i r x y z x y z z
y x
故力场为保守力场
由???
??
????=??-==??-==??-=)3....(..........)2...(..........)1...(..........z z V F y y V F x x V F z y x
积分（1）式得()()4,2
2
z y f x V +-= （4）式对y 偏微分=（2）式得
()y y z y f y V -=??=??, 积分得()()52
),(2 z g y z y f +-=
代（5）入（4）得()()62
22
2 z g y x V +--= （6）式对z 偏微分=（3）式得()z z z g z V -=??=?? 积分得()()722 c z z g +-=
代（7）入（6）得c z y x V +---=2
222
22 取0,0,0,0====V z y x 则0=c 得势能函数为2
222
22z y x V ---= 有一质点在xy 平面上运动，质点受到的力为j y x i y x F
)()(-++=，质点在平面上由点
A （1,0）沿直线运动到点
B （1,1）,求力F
所作的功
解法1：由功的定义计算
???
-++=+=?=B
A
B A
y x B
A
dy y x dx y x dy F dx F r d F W )()()(
又0,1==dx x
所以
2
1)21()1()()()(10210
=
-=-=-++=+=?=????y y dy
y dy y x dx y x dy F dx F r d F W B A
B A
y x B A
解法2：由功的定义计算
2
1211)21()21()()()()1,1()0,1(2)
0,1()
0,1(2)0,1()0,1()1,1()0,1(=
-=-+-=-++=+=?=????y xy xy x dy y x dx y x dy F dx F r d F W B A y x B
A 或
2
121)21121()2121()
2
1
21()()()()1,1()
0,1(22)1,1()0,1(22=--+=-+=-+=-++=+=?=????y xy x y xy x d dy y x dx y x dy F dx F r d F W B A B A y x B
A
解法3：由保守力性质计算
)11()00()00(=-+-+-???
? ????-??+??? ????-??+???? ????-
??=??????=??k j i k y F x F j x F z F i z F y F F F F z y x k j i F x y z x y
z z
y x
故力场F
为保守力场
???
?
?
????=??-=-=??-=+=??-=)3....(..........0)2...(..........)1...(..........z V F y x y V F y x x V F z y
x
积分（1）式得()()42
2
y f xy x V +--= （4）式对y 偏微分=（2）式得
()y x y
y f x y V +-=??+-=?? 积分得()52
1)(2
c y y f +=
代（5）入（4）得()62
22
2 c xy y x V +-+-= 取0,0,0,0====V z y x 则0=c 得势能函数为xy y x V -+-=2
22
2 则由保守力与功的关系可知
2
1
)12121(21)2121()2121()()1,1(22)0,1(222112=
-+---=-+---+-=-=--=xy y x xy y x V V V V W 设作用于质点上的力场的力矢为6
25
2-++=++=+++=z y x F z
y x F z y x F z y x
求此质点沿螺旋线θθθ7,sin ,cos ===z y x 运行，自0=θ至πθ2=时力场所作的功 解：由保守力性质计算
)22()11()11(=-+-+-???
? ????-??+??? ????-??+???? ????-??=??????=??k j i k y F x F j x F z F i z
F y F F F F z y x k j i F x y z x y
z z
y x
故力场F
为保守力场
???
?
?????-++=??-=++=??-=+++=??-=)3....(..........6)2...(..........2)1...(..........52z y x z V F z y x y V F z y x x V F z y
x
积分（1）式得()()4,522
2
z y f x xz xy x V +----= （4）式对y 偏微分=（2）式得
()z y x y
y f x y V ---=??+-=??22 积分得()5)(2
1),(2
z g zy y z y f +--
= 代（5）入（4）得()6)(522
22
2 z g yz x xz xy y x V +------= （6）式对z 偏微分=（3）式得
()6+---=??+--=??z y x z
z g y x z V
积分得()()762
2
c z z z g ++-= 代（7）入（6）得()66522
1222
22 c z yz x xz xy z y x V ++-------= 取0,0,0,0====V z y x 则0=c 得势能函数为
()66522
1222
22 z yz x xz xy z y x V +-------=
又由θθθ7,sin ,cos ===z y x 知当0=θ时0,0,1===z y x ；
πθ2=时π14,0,1===z y x
则由保守力与功的关系可知[]π
ππππππππ7098845149821
52184514)14(2121)521()65221
2121()652212121()(222)14,0,1(222)0,0,1(2222
112-=-++++--=+-------=+--------+-------
=-=--=z yz x xz xy z y x z yz x xz xy z y x V V V V W 有一划平面曲线的点，其速度在y 轴上的投影于任何时刻均为常数c ，试证明在此情形下，
加速度的量值可用下式表示ρ
c v a 3
=
证明1：由)1.......(. (2)
2222c x y x
v +=+= （1）式求导得x a x x dt
dv
v
=?= （因0,==y c y ，故a x
= ） 由此得出)2....(. (22v)
c v a v x a dt dv -== 又)3....(. (2)
22
222
2???? ??-=-=??? ??=ρτv a a a dt dv a n （2）=（3）得222
2
222)()(ρv a v c v a -=- 整理得ρ
c v a 3
= 结论得证
证明2：
如图设v 与y 轴夹角为α，则由0,==y
c y ，故有i a a x
= 由图示几何关系知ρ
α2
cos v a a n =
= 即
)1...(..........cos 2
α
ρv a =
又c v v y ==αcos 则有)2.(..........cos v
c
=
α （2）代入（1）得ρ
c v a 3
= 结论得证
33、船得一初速0v
，在运动中受到水的阻力，阻力的大小与船速的平方成正比，而比例系数为km ，其中m 为船的质量。问经历多长时间船速减为其初速的一半。（15分） 解：由题意知 阻力为2
kmv f = 则船的运动方程为2kmv dt dv m
-= 即 kdt v
dv
-=2 而0=t 时0v v = 设船经历时间为t 时，2
0v
v = 积分上式得
?
?-=-20
2
00
v v t
dt k dv v 即
kt v v -=??
?
???--0012
从而得0
1kv t =
质点M 在力t P X ωsin =的作用下沿x 轴作直线运动，在初瞬时0,0v v t ==，0x x =。 求质点的运动方程。
解：由t P X F v m ωs i n === 积分 dt
t P mdv t
v v ??=0
sin 0
ω ，得
)c o s 1()(0t P
v v m ωω
-=
- 即 )c o s 1(0t m P
v v x
ωω
-+== 积分 ????
?
???-+=x
x t
dt t m P v dx 000)cos 1(0ωω 得t m P t m P v x x ωωωsin )(200-++=
已知点的运动方程, 求其轨迹方程, 并自起始位置计算弧长, 求出点沿轨迹的运动规律. (1) x=4t-2t 2 , y=3t –1.5t 2 (2) x=5cos5t 2 , y=5sin5t 2 (3) x=4cos2t, y=3sin2t
解（1）由x=4t-2t 2 , y=3t –1.5t 2…….（1） 两式相除得3
4
)2(3)2(436485.1324=--=--=--=
t t t t t t y
x
所以轨迹方程为x y 4
3
=是一直线方程
得)3..(....................3.4)2...().........1(333),1(444-=-=-=-=-=-=y
x t t y t t x 所以速度为)1(5)1(9)1(162222t t t y x
v -=-+-=+= 全加速度为591622=+=+=y
x a 而切线加速度为5-==
dt
dv
a τ，法线加速度022=-=τa a a n 由此说明质点作匀减速直线运动。 （2） 由x=5cos5t 2 , y=5sin5t 2 (1)
得轨迹方程为2522=+y x 是一圆的方程，其半径R=5 由（1）式得
)
2.........(5cos 50,5sin 5022t t y t t x =-=
所以速度为)3(..........50)5cos 5(sin 25002222222t t t t y x v =+=+=
切线加速度为50==
dt
dv
a τ 说明质点作匀加速圆周运动 法线加速度为22
2
5005
2500t t v a n ==
=ρ 全加速度为44221001502500002500t t y
x a +=+=+=
（3） 由x=4cos2t, y=3sin2t (1)
得轨迹方程为19
162
2=+y x 为一椭圆方程
由（1）式得)3......(2sin 12,2cos 16)2.......(2cos 6,2sin 8t y
t x t y t x
-=-==-=
所以速度为
)3(..........2cos 92sin 1622cos 362sin 64222222t t t t y x v +=+=+=
全加速度为
)4.......(2sin 92cos 164)2sin 12()2cos 16(222222t t t t y x a +=-+-=+=
如图6 -1 所示, 半径为R 的车轮在直线轨道上滚动而不滑动, 已知轮心C 的速度是常量u , 求轮缘上一点M 的轨迹, 速度和加速度及轨迹的曲率半径.
一、是非题 1、力有两种作用效果，即力可以使物体的运动状态发生变化，也可以使物体发生变形。 （√） 2、在理论力学中只研究力的外效应。（√） 3、两端用光滑铰链连接的构件是二力构件。（×） 4、作用在一个刚体上的任意两个力成平衡的必要与充分条件是：两个力的作用线相同， 大小相等，方向相反。（√） 5、作用于刚体的力可沿其作用线移动而不改变其对刚体的运动效应。（×） 6、三力平衡定理指出：三力汇交于一点，则这三个力必然互相平衡。（×） 7、平面汇交力系平衡时，力多边形各力应首尾相接，但在作图时力的顺序可以不同。 （√） 8、约束力的方向总是与约束所能阻止的被约束物体的运动方向一致的。（×） 9、在有摩擦的情况下，全约束力与法向约束力之间的夹角称为摩擦角。（×） 10、用解析法求平面汇交力系的平衡问题时，所建立的坐标系x，y轴一定要相互垂直。 （×） 11、一空间任意力系，若各力的作用线均平行于某一固定平面，则其独立的平衡方程最多只有3个。 （×） 12、静摩擦因数等于摩擦角的正切值。（√） 13、一个质点只要运动，就一定受有力的作用，而且运动的方向就是它受力方向。（×） 14、已知质点的质量和作用于质点的力，质点的运动规律就完全确定。（×） 15、质点系中各质点都处于静止时，质点系的动量为零。于是可知如果质点 系的动量为零，则质点系中各质点必都静止。（×） 16、作用在一个物体上有三个力，当这三个力的作用线汇交于一点时，则此力系必然平衡。 （×） 17、力对于一点的矩不因力沿其作用线移动而改变。（√） 18、在自然坐标系中，如果速度υ= 常数，则加速度α= 0。（×） 19、设一质点的质量为m，其速度 与x轴的夹角为α，则其动量在x轴上的投影为mvx =mvcos a。（√） 20、用力的平行四边形法则，将一已知力分解为F1和F2两个分力，要得到唯一解答，必须具备：已知 F1和F2两力的大小；或已知F1和F2两力的方向；或已知F1或F2中任一个力的大小和方向。 ( √) 21、某力在一轴上的投影与该力沿该坐标轴的分力其大小相等，故投影就是分力。 ( ×) 22、图示结构在计算过程中，根据力线可传性原理，将力P由A点传至B点，其作用效果不变。 (×)
一、选择题（每题3分，共15分）。请将答案的序号填入划线内） 1. 三力平衡定理是( ) A 共面不平行的三个力互相平衡必汇交于一点； B 共面三力若平衡，必汇交于一点； C 三力汇交于一点，则这三个力必互相平衡。 2. 空间任意力系向某一定点O 简化，若主矢0≠'R ，主矩00≠M ， 则此力系简化的最后结果--------------------。 A 可能是一个力偶，也可能是一个力； B 一定是一个力； C 可能是一个力，也可能是力螺旋； D 一定是力螺旋。 3. 如图所示，=P 60kM ，T F =20kN ，A , B 间 的静摩擦因数s f =0.5，动摩擦因数f =0.4，则物块A 所受的摩擦力F 的大小为-----------------------。 ① 25 kN ；② 20 kN ；③ 310kN ；④ 0 4. 点作匀变速曲线运动是指------------------。 ① 点的加速度大小a =常量； ② 点的加速度a =常矢量； ③ 点的切向加速度大小τa =常量； ④ 点的法向加速度大小n a =常量。 二、填空题（共24分。请将简要答案填入划线内。） 1. 双直角曲杆可绕O 轴转动，图 示瞬时A 点的加速度2s /cm 30=A a ，方向如图。则B 点加速度的大小为 ------------2s /cm ，方向与直线------------成----------角。（6分） T F P A B 30m 3m 3m 4 3A B A a O
2. 平面机构如图所示。已知AB 平行于21O O ，且AB =21O O =L ，r BO AO ==21，ABCD 是矩形板，AD=BC=b ，1AO 杆以匀角速度ω绕1O 轴转动，则矩形板重心1C 点的速度和加速度的大小分别为v = -----------------, a = --------------。（4分） （应在图上标出它们的方向） 3. 在图示平面机构中，杆AB =40cm ，以1ω=3rad/s 的匀角速度绕A 轴转动，而CD 以2ω=1rand/s 绕B 轴转动，BD =BC =30cm ，图示瞬时AB 垂直于CD 。若取AB 为动坐标系，则此时D 点的牵连速度的大小为 -------------，牵连加速度的大小为 -------------------。（4分） （应在图上标出它们的方向） 4. 质量为m 半径为r 的均质圆盘， 可绕O 轴转动，其偏心距OC =e 。图示瞬时其角速度为ω，角加速度为ε。则该圆盘的动量 p =--------------，动量矩=o L ------------------------------------，动能T = -----------------------，惯性力系向O 点的简化结果为----------------------------------------------------------。 （10分） （若为矢量，则应在图上标出它们的方向） 三、计算题（15分）。刚架由AC 和BC 两部分组成，所受荷载如图所示。已知F =40 kN, M = 20kN ·m, q =10kN/m, a =4m, 试求A , B 和C 处约束力。 O B A ωD C 1O 2 O 1 C A B C D 1 ω2 ωe C ε F
《工程力学Ⅰ》复习题 1. 在图所示连续梁中，已知M、a、 θ，不计梁的自重，求各连续梁在A、B、C三处的约束力。 = 45 2. 图示的水平横梁AB，A端为固定铰链支座，B端为一滚动支座。横梁的长度为2l，梁重P，作用在梁的中点C。在梁的AC段上受均布裁荷q作用，在梁的BC段上受力偶作用，力偶矩M。试求A和B处的支座约束力。 3. 无重水平粱的支承和载荷如题图所示。已知力F、力偶矩为M的力偶和强度为q的均布载荷。求支座A 和B处的约束力。 4. 图示组合梁（不计自重）由AC和CD铰接而成。已知：F = 20 kN，均布裁荷q＝10 kN/m，M＝20 kN·m，l＝1 m。试求插入端A及滚动支座B的约束反力。 5. 在图示两连续梁中，已知q、Ｍ、ａ及θ，不计梁的自重，求各连续梁在A、B、C三处的约束力。 6. 已知各杆均铰接，B端插入地内，P=1 kN，AE=0.6 m，CE=DE=0.8 m，BE=1m，杆重不计。求B点的约束反力和AC杆内力。
7. 图示的机架上挂一重Q=5 kN的物体，各构件的尺寸如图示，不计杆重与摩擦，求支座C的约束力和杆DE、杆FG的内力。 8. 一支架如图示，AC=CD=1 m，滑轮半径r=0.3 m，重物P重100 kN，A、B处为固定铰链支座，C处为铰链连接，不计绳、杆、滑轮质量和摩擦，求A、B支座的约束力。 9. 起重机放于连续梁ABCD上，已知起重机重Q=70kN，重心在铅垂线EC上，起重载荷P=20kN。如不计梁重，求支座A、,B和D三处的约束力。 10. 图示结构，已知P=100N，AC=1.6m、BC=0.9m、CD=EC=1.2m、AD=2m且AB水平，ED铅垂，BD 垂直于斜面，求BD杆内力和支座A处的约束力。 11. 如图所示三铰拱，已知每半拱重P，长为l，高为h。求支座A、B的约束力。
理论力学试题及答案 (一) 单项选择题（每题2分，共4分） 1. 物块重P ，与水面的摩擦角o 20m ?=，其上作用一力Q ，且已知P =Q ，方向如图，则物块的状态为( )。 A 静止(非临界平衡)状态 B 临界平衡状态 C 滑动状态 第1题图 第2题图 2. 图(a)、(b)为两种结构，则( )。 A 图(a)为静不定的，图(b)为为静定的 B 图(a)、(b)均为静不定的 C 图(a)、(b)均为静定的 D 图(a)为静不定的，图(b)为为静定的 (二) 填空题(每题3分，共12分) 1. 沿边长为m a 2=的正方形各边分别作用有1F ，2F ，3F ，4F ，且1F =2F =3F =4F =4kN ，该力系向B 点简化的结果为： 主矢大小为R F '=____________，主矩大小为B M =____________ 向D 点简化的结果是什么？ ____________。 第1题图 第2题图 2. 图示滚轮，已知2m R =，1m r =，ο30=θ，作用于B 点的力4kN F =，求力F 对A 点之矩A M =____________。 3. 平面力系向O 点简化，主矢R F '与主矩M 10kN F '=，20kN m O M =g ，求合力大小及作用线位置，并画在图上。 D C A B F 1 F 2 F 3 F 4
第3题图 第4题图 4. 机构如图，A O 1与B O 2均位于铅直位置，已知13m O A =，25m O B =，2 3rad s O B ω=，则 杆A O 1的角速度A O 1ω=____________，C 点的速度C υ=____________。 (三) 简单计算题(每小题8分，共24分) 1. 梁的尺寸及荷载如图，求A 、B 2. 丁字杆ABC 的A 端固定，尺寸及荷载如图。求A 端支座反力。 3. 在图示机构中，已知m r B O A O 4.021===，AB O O =21，A O 1杆的角速度4rad ω=，角加速度22rad α=，求三角板C 点的加速度，并画出其方向。 F O R ' O M
理论力学复习题 一、判断题。（10分） 1. 若作用在刚体上的三个力汇交于同一个点，则该刚体必处于平衡状态。 ( × ) 2. 力对于一点的矩不因力沿其作用线移动而改变。 ( √ ) 3. 凡是受到二个力作用的刚体都是二力构件。 ( × ) 4. 平面汇交力系用几何法合成时，所得合矢量与几何相加时所取分矢量的次序有关。 ( × ) 5. 如果一个平面力系是平衡的，那么力系中各力矢的矢量和不等于零。 ( × ) 6. 选择不同的基点，平面图形随同基点平移的速度和加速度相同。 ( × ) 7. 势力的功仅与质点起点与终点位置有关，而与质点运动的路径无关。 ( √ ) 8. 对于整个质点系来说，只有外力才有冲量。 ( √ ) 9. 当质系对固定点的外力矩为零时，质系对该点的动量矩守恒。 ( √ ) 10. 动能定理适用于保守系统也适用于非保守系统，机械能守恒定律只适用于保守系。( √ ) 11. 速度投影定理只适用于作平面运动的刚体，不适用于作一般运动的刚体。（×） 12. 应用力多边形法则求合力时，所得合矢量与几何相加时所取分矢量的次序有关。（×） 13. 如果一个平面力系是平衡的，那么力系中各力矢构成的力多边形自行封闭。 ( √ ) 14. 用自然法求速度，则将弧坐标对时间取一阶导数，就得到速度的大小和方向。（√） 15. 速度瞬心等于加速度瞬心。（×） 16. 质点系动量的变化只决定于外力的主矢量而与内力无关。 ( √ ) 17. 质系动量矩的变化率与外力矩有关。 ( √ ) 18. 在复合运动问题中，相对加速度是相对速度对时间的绝对导数。（×） 19. 质点系动量的方向，就是外力主矢的方向。（×） 20. 力对于一点的矩不因力沿其作用线移动而改变。（√） 21. 若一平面力系对某点之主矩为零，且主矢亦为零，则该力系为一平衡力系。（√） 22. 牵连运动是指动系上在该瞬时与动点重合的点相对于动系的运动。（×） 23. 在复合运动问题中，相对加速度是相对速度对时间的绝对导数。（×） 24. 动能定理既适用于保守系统也适用于非保守系统，而机械能守恒定律只适用于保守系。（√） 25. 质点系动量的方向，就是外力主矢的方向。（×） 26. 一个刚体若动量为零，该刚体就一定处于静止状态。（×） 27. 内力不改变质点系的动量，但可以改变质点系内质点的动量。（√） 28. 刚体在3个力的作用下平衡，这3个力不一定在同一个平面内。（×） 29. 刚体的平移一定不是刚体的平面运动。（×） 30. 两自由运动质点，其微分方程完全相同，但其运动规律不一定相同。（√） 31. 在自然坐标系中，如果速度v= 常数，则加速度a = 0。（×） 32. 在平面力系中，只要主矩不为零，力系一定能够进一步简化。（×） 33. 点在运动过程中，若速度大小等于常量，则加速度必然等于零。（×） 34. 弹簧从原长拉长10cm再拉长10cm，这两个过程中弹力做功相等。（×） 35. 外力偶不能改变质心的运动。（√） 36. 变力的冲量等于零时，变力F必为零。（×） 二、填空题（20分） 1. 若平面汇交力系的力矢所构成的力多边形自行封闭，则表示该力系的合力等于零。 2. 多轴钻床在水平工件上钻孔时，工件水平面上受到的是平面力偶__系的作用。 3. 作用于物体上并在同一平面内的许多力偶平衡的必要和充分条件是，各力偶的_力偶矩 __代数和为 零。 a n a 4. 切向加速度只反映速度大小随时间的变化，法向加速度只反映速度方向随时间的变化。 τ
习题1-1 图中设AB=l ，在A 点受四个大小均等于F 的力1F r 、2F r 、3F r 和4F r 作用。试分别计算每个力对 B 点之矩。 【解答】： 112()sin 452 B M F F l F l =-???=-?r 22()B M F F l F l =-?=-?r 332()sin 452 B M F F l F l =-???=-?r 4()0B M F =r 。 习题1-2 如图所示正平行六面体ABCD ，重为P F =100N ，边长AB=60cm ，AD=80cm 。 今将其斜放使它的底面与水平面成30?=?角，试求其重力对棱A 的力矩。又问当?等于多大时，该力矩等于零。 【解法1——直接计算法】： 设AC 与BD 的交点为O ，∠BAO=α，则： cos()cos cos sin sin 3341 0.11965252 α?α?α? +=-=?-?= 221 806050cm=0.5m 2AO =+= ()cos() 1000.50.1196 5.98N m A P P P M F F d F AO α?=?=??+=??=?r 当()0A P M F =r 时，重力P F r 的作用线必通过A 点，即90αβ+=?，所以： 令cos()cos cos sin sin 0α?α?α?+=-=→34 cos sin 055 ???- ?=，得： 3 tan 4 ?= →3652?'=?。 【解法2——利用合力矩定理】： 将重力P F r 分解为两个正交分力1P F r 和2P F r ， 其中：1P F AD r P ，2P F AB r P ，则： 1cos P P F F ?=?，2sin P P F F ?=?
理论力学---1 1-1.两个力，它们的大小相等、方向相反和作用线沿同一直线。这是 (A)它们作用在物体系统上，使之处于平衡的必要和充分条件； (B)它们作用在刚体系统上，使之处于平衡的必要和充分条件； (C)它们作用在刚体上，使之处于平衡的必要条件，但不是充分条件； (D)它们作用在变形体上，使之处于平衡的必要条件，但不是充分条件； 1-2. 作用在同一刚体上的两个力F1和F2，若F1 = - F2，则表明这两个力 (A)必处于平衡； (B)大小相等，方向相同； (C)大小相等，方向相反，但不一定平衡； (D)必不平衡。 1-3. 若要在已知力系上加上或减去一组平衡力系，而不改变原力系的作用效果，则它们所作用的对象必需是 (A)同一个刚体系统； (B)同一个变形体； (C)同一个刚体，原力系为任何力系； (D)同一个刚体，且原力系是一个平衡力系。 1-4. 力的平行四边形公理中的两个分力和它们的合力的作用范围 (A)必须在同一个物体的同一点上； (B)可以在同一物体的不同点上； (C)可以在物体系统的不同物体上； (D)可以在两个刚体的不同点上。 1-5. 若要将作用力沿其作用线移动到其它点而不改变它的作用，则其移动范围 (A)必须在同一刚体内； (B)可以在不同刚体上； (C)可以在同一刚体系统上； (D)可以在同一个变形体内。 1-6. 作用与反作用公理的适用范围是 (A)只适用于刚体的内部； (B)只适用于平衡刚体的内部； (C)对任何宏观物体和物体系统都适用； (D)只适用于刚体和刚体系统。 1-7. 作用在刚体的同平面上的三个互不平行的力，它们的作用线汇交于一点，这是刚体平衡的 (A)必要条件，但不是充分条件； (B)充分条件，但不是必要条件； (C)必要条件和充分条件； (D)非必要条件，也不是充分条件。 1-8. 刚化公理适用于 (A)任何受力情况下的变形体； (B)只适用于处于平衡状态下的变形体； (C)任何受力情况下的物体系统； (D)处于平衡状态下的物体和物体系统都适用。 1-9. 图示A、B两物体，自重不计，分别以光滑面相靠或用铰链C相联接，受两等值、反向且共线的力F1、F2的作用。以下四种由A、B所组成的系统中，哪些是平衡的？
1.图示结构中的各构件自重不计。已知P =5 kN ，M=5 kN. m，q = 2.5kN/m 。 试求固定端A及滚动支座B处的约束反力。 2、一重W的物体置于倾角为α的斜面上，若摩擦系数为f， 且tgα 工程力学（Ⅱ）期终考试卷（A ） 专业 姓名 学号 题号 一 二 三 四 五 六 总分 题分 25 15 15 20 10 15 100 得分 一、填空题（每题5分，共25分） 1. 杆AB 绕A 轴以=5t （ 以rad 计，t 以s 计） 的规律转动，其上一小环M 将杆AB 和半径为 R （以m 计）的固定大圆环连在一起，若以O 1 为原点，逆时针为正向，则用自然法 表示的点M 的运动方程为_Rt R s 102 π+= 。 2. 平面机构如图所示。已知AB //O 1O 2，且 AB =O 1O 2=L ，AO 1=BO 2=r ，ABCD 是矩形板， AD =BC =b ，AO 1杆以匀角速度绕O 1轴转动， 则矩形板重心C '点的速度和加速度的大小分别 为v ＝_ r _，a ＝_ r 。 并在图上标出它们的方向。 3. 两全同的三棱柱，倾角为，静止地置于 光滑的水平地面上，将质量相等的圆盘与滑块分 别置于两三棱柱斜面上的A 处，皆从静止释放， 且圆盘为纯滚动，都由三棱柱的A 处运动到B 处， 则此两种情况下两个三棱柱的水平位移 ___相等；_____（填写相等或不相等）， 因为_两个系统在水平方向质心位置守恒 。 4. 已知偏心轮为均质圆盘，质心在C 点，质量 为m ，半径为R ，偏心距2 R OC =。转动的角速度为， 角加速度为 ，若将惯性力系向O 点简化，则惯性 力系的主矢为_____ me ，me 2 ；____； 惯性力系的主矩为__2 )2(22α e R m +__。各矢量应在图中标出。 5.质量为m 的物块，用二根刚性系数分别为k 1和k 2 的弹簧连接，不计阻尼，则系统的固有频率 为_______________，若物体受到干扰力F =H sin （ωt ） 的作用，则系统受迫振动的频率为______________ 在____________条件下，系统将发生共振。 二、计算题（本题15分） 理论力学基础期末复习题 一、填空题 1. 在介质中上抛一质量为m 的小球，已知小球所受阻力v k R -=，若选择坐标轴x 铅直向上，则小球的运动微分方程为_____________________。 2. 质点在运动过程中，在下列条件下，各作何种运动？①0=t a ，0=n a （答）： ；②0≠t a ，0=n a （答）： ；③0=t a ，0≠n a （答）： ；④0≠t a ，0≠n a （答）： 。 3. 质量为kg 10的质点，受水平力F 的作用，在光滑水平面上运动，设t F 43+=（t 以s 计，F 以N 计），初瞬间（0=t ）质点位于坐标原点，且其初速度为零。则s t 3=时，质点的位移等于_______________，速度等于_______________。 4. 在平面极坐标系中，质点的径向加速度为__________；横向加速度为_______。 5. 哈密顿正则方程用泊松括号表示为 ， 。 6. 质量kg m 2=的重物M ，挂在长m l 5.0=的细绳下端，重物受到水平冲击后获得了速度105-?=s m v ，则此时绳子的拉力等于 。 7. 平面自然坐标系中的切向加速度为 ，法向加速度为 。 8. 如果V F -?= ，则力所作的功与 无关，只与 的位置有关。 9. 在南半球地面附近自南向北的气流有朝 的偏向；而北半球的河流 岸冲刷较为严重。 10. 已知力的表达式为axy F x =，2az F y -=，2ax F z -=。则该力做功与路径_ （填“有关”或“无关”），该力_ 保守力（填“是”或“不是”）。 11. 一质量组由质量分别为0m 、20m 、30m 的三个质点组成，某时刻它们的位矢和速 度分别为j i r +=1、i v 21=、k j r +=2、i v =2、k r =3、 k j i v ++=3。则该时刻质点组相对于坐标原点的动量等 于 ，相对于坐标原点的动量矩等于_ 。 12. 一光滑水平直管中有一质量为m 的小球，直管以恒定角速度ω绕通过管子一端的竖直轴转动，若某一时刻，小球到达距O 点的距离为a 的P 点，取x 轴沿管，y 轴竖直向上， 并垂直于管，z 轴水平向前，并于管面垂直，如图所示，此时小球相对于管子的速度为 v 理论力学复习题1答案 三、计算题 1、两根铅直杆AB 、CD 与梁BC 铰接，B 、C 、D 均为光滑铰链，A 为固定端约束，各梁的长度均为L=2m ，受力情况如图。已知：P=6kN ，M=4kN ·m ，qO=3kN/m,试求固定端A 及铰链C 的约束反力。 2、求指定杆1、2、3的内力。 3、一均质杆AB 重为400N ，长为l ，其两端悬挂在两条平行等长的绳上处于水平位置，如图所示。今其中一根绳子突然被剪断，求另一根 绳AE 此时的张力。 解：运动分析 绳子突然被剪断，杆AB 绕A 作定轴转动。 假设角加速度为α，AB 杆的质心为C ，由于A 点的 绝对速度为零，以瞬心A 为基点，因此有： e C C a a α??= l a C α21= 方向如图所示 受力分析： AB 杆承受重力、绳子拉力、惯性力和惯性力矩 利用动静法，对质心C 建立力矩方程： 由 =∑C M 有 0 21=?-* l T M C 即 0 21 1212=-Tl ml α （1） 由 0=∑Y 有 =-+*mg F T C 即 0 21 =-+mg lm T α （2） 联立（1）（2）两式，解得： l g 23= α N T 100= 【注】本题利用质心运动定理和绕质心转动的动量矩定理也可求解 4、边长b =100mm 的正方形均质板重400N ，由三根绳拉住，如图所示。求：1、当FG 绳被剪断的瞬时，AD 和BE 两绳的张力；2、当AD 和BE 两绳运动到铅垂位置时，两绳的张力。 5、图中，均质梁BC 质量为4m 、长4R ，均质圆盘质量为2m 、半径为R ，其上作用转矩M ，通过柔绳提升质量为m 的重物A 。已知重物上升的加速度为a=0.4g ，求固定端B 处约束反力。 6、均质杆AB 长为L=2.5m ，质量为50kg ，位于铅直平面内，A 端与光滑水平面接触，B 端由不计质量的细绳系于距地面h 高的O 点，如图所示。当绳处于水平位置时，杆由静止开始下落，试用动静法求解此瞬时A 点的约束反力和绳子的拉力。 2010 ～2011 学年度第 二 学期 《 理论力学 》试卷（A 卷） 一、填空题（每小题 4 分，共 28 分） 1、如图1.1所示结构,已知力F ，AC ＝BC ＝AD ＝a ，则CD 杆所受的力F CD ＝（ ），A 点约束反力F Ax =（ ）。 2、如图1.2 所示结构，,不计各构件自重，已知力偶矩M ，AC=CE=a ，A B ∥CD 。则B 处的约束反力F B =（ ）；CD 杆所受的力F CD =（ ）。 E 1.1 1.2 3、如图1.3所示，已知杆OA L ，以匀角速度ω绕O 轴转动，如以滑块A 为动点，动系建立在BC 杆上，当BO 铅垂、BC 杆处于水平位置时，滑块A 的相对速度v r =（ ）；科氏加速度a C =（ ）。 4、平面机构在图1.4位置时， AB 杆水平而OA 杆铅直，轮B 在水平面上作 纯滚动，已知速度v B ，OA 杆、AB 杆、轮B 的质量均为m 。则杆AB 的动能T AB =（ ），轮B 的动能T B =（ ）。 1.3 1.4 5、如图1.5所示均质杆AB 长为L ,质量为m,其A 端用铰链支承,B 端用细绳悬挂。当B 端细绳突然剪断瞬时, 杆AB 的角加速度 =（ ），当杆AB 转到与水平线成300角时，AB 杆的角速度的平方ω2=（ ）。 6、图1.6所示机构中,当曲柄OA 铅直向上时,BC 杆也铅直向上,且点B 和点O 在同一水平线上；已知OA=0.3m,BC=1m ，AB=1.2m,当曲柄OA 具有角速度ω=10rad/s 时,则AB 杆的角速度ωAB =（ ）rad/s,BC 杆的角速度ωBC =（ ）rad/s 。 A B 1.5 7、图1.7所示结构由平板1、平板2及CD 杆、EF 杆在C 、D 、E 、F 处铰接而成，在力偶M 的作用下，在图上画出固定铰支座A 、B 的约束反力F A 、F B 的作用线方位和箭头指向为（ ）（要求保留作图过程）。 理论力学 期末考试试题 1-1、自重为P=100kN 的T 字形钢架ABD,置于铅垂面内，载荷如图所示。其中转矩M=20kN.m ，拉力F=400kN,分布力q=20kN/m,长度l=1m 。试求固定端A 的约束力。 解：取T 型刚架为受力对象，画受力图. 1-2 如图所示，飞机机翼上安装一台发动机，作用在机翼OA 上的气动力按梯形分布： 1q =60kN/m ，2q =40kN/m ，机翼重1p =45kN ，发动机重2p =20kN ，发动机螺旋桨的反作用 力偶矩M=18kN.m 。求机翼处于平衡状态时，机翼根部固定端O 所受的力。 解： 1-3图示构件由直角弯杆EBD以及直杆AB组成，不计各杆自重，已知q=10kN/m，F=50kN，M=6kN.m，各尺寸如图。求固定端A处及支座C的约束力。 1-4 已知：如图所示结构，a, M=Fa, 12F F F ==, 求：A ，D 处约束力. 解： 1-5、平面桁架受力如图所示。ABC 为等边三角形，且AD=DB 。求杆CD 的内力。 1-6、如图所示的平面桁架，A 端采用铰链约束，B 端采用滚动支座约束，各杆件长度为1m 。在节点E 和G 上分别作用载荷E F =10kN ，G F =7 kN 。试计算杆1、2和3的内力。 解： 2-1 图示空间力系由6根桁架构成。在节点A上作用力F，此力在矩形ABDC平面内，且与铅直线成45o角。ΔEAK=ΔFBM。等腰三角形EAK，FBM和NDB在顶点A，B和D处均为直角，又EC=CK=FD=DM。若F=10kN，求各杆的内力。 第一章 静力学公理和物体的受力分析 一、选择题 1、三力平衡定理是﹍﹍﹍﹍。 ①共面不平行的三个力互相平衡必汇交于一点； ②共面三力若平衡，必汇交于一点； ③三力汇交于一点，则这三个力必互相平衡。 2、三力平衡汇交定理所给的条件是﹍﹍﹍﹍。 ①汇交力系平衡的充要条件； ②平面汇交力系平衡的充要条件； ③不平行的三个力平衡的必要条件； ④不平行的三个力平衡的充分条件； 3、图示系统只受F 作用而平衡。欲使Ａ支座约束力的作用线 与ＡＢ成30°角，则斜面的倾角应为﹍﹍﹍﹍。 ①0° ②30° ③45° ④60° 4、作用在一个刚体上的两个力A F 、B F ，满足A F =－B F 的 条件，则该二力可能是﹍﹍﹍﹍。 ①作用力和反作用或是一对平衡的力； ②一对平衡的力或一个力偶； ③一对平衡的力或一个力和一个力偶； ④作用力和反作用力或一个力偶。 二、填空题 1、已知力F 沿直线ＡＢ作用，其中一个分力的作用线与Ａ Ｂ成30°角，若欲使另一个分力的大小在所有分力中为最小，则此二分力间的夹角为﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍度。 2、作用在刚体上的两个力等效的条件是﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍。 3、将力F 沿Ｘ、Ｙ方向分解，已知Ｆ＝100Ｎ，F 在Ｘ轴 上的投影为86.6Ｎ，而沿Ｘ方向的分力的大小为115.47Ｎ，则F 的Ｙ的方向分量与Ｘ轴的夹角 为﹍﹍﹍﹍，F 在Ｙ轴上的投影 为﹍﹍﹍﹍。 4、若不计各物体重量，试分别画出各构杆和结构整体的受力图。 B A C D E F 第二章 平面汇交力系和平面力偶系 一、选择题 1、已知1F 、2F 、3F 、4F 为作用于刚体上的平面共点力系，其力矢关系如图所示为平行四边形，由此可知﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍。 （1）力系可合成为一个力偶； （2）力系可合成为一个力； （3）力系简化为一个力和一个力偶； （4）力系的合力为零，力系平衡。 2、汇交于Ｏ点的平面汇交力系，其平衡方程式可表示为二力 矩形式。即 A m （1F ）＝0， B m （1F ）＝0，但必须﹍﹍ ﹍﹍﹍﹍﹍。 ①Ａ、Ｂ两点中有一点与Ｏ点重合； ②点Ｏ不在Ａ、Ｂ两点的连线上； ③点Ｏ应在Ａ、Ｂ两点的连线上； 3、由n 个力组成的空间平衡力系，若其中（n －1）个力相交于Ａ点，则另一个力﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍。 ①也一定通过Ａ点； ②不一定通过Ａ点； ③一定不通过Ａ点。 4、图示三铰刚架受力F 作用，则Ａ支座反力的大小为﹍﹍ 理论力学复习题1 一、是非题 1、力有两种作用效果，即力可以使物体的运动状态发生变化，也可以使物体发生变形。 （√） 2、在理论力学中只研究力的外效应。（√） 3、两端用光滑铰链连接的构件是二力构件。（×） 4、作用在一个刚体上的任意两个力成平衡的必要与充分条件是：两个力的作用线相同， 大小相等，方向相反。（√） 5、作用于刚体的力可沿其作用线移动而不改变其对刚体的运动效应。（×） 6、三力平衡定理指出：三力汇交于一点，则这三个力必然互相平衡。（×） 7、平面汇交力系平衡时，力多边形各力应首尾相接，但在作图时力的顺序可以不同。（√） 8、约束力的方向总是与约束所能阻止的被约束物体的运动方向一致的。（×） 9、在有摩擦的情况下，全约束力与法向约束力之间的夹角称为摩擦角。（×） 10、用解析法求平面汇交力系的平衡问题时，所建立的坐标系x，y轴一定要相互垂直。（×） 11、一空间任意力系，若各力的作用线均平行于某一固定平面，则其独立的平衡方程最多只有3 个。（×） 12、静摩擦因数等于摩擦角的正切值。（√） 13、一个质点只要运动，就一定受有力的作用，而且运动的方向就是它受力方向。（×） 14、已知质点的质量和作用于质点的力，质点的运动规律就完全确定。（×） 15、质点系中各质点都处于静止时，质点系的动量为零。于是可知如果质点系的动量为零，则质点 系中各质点必都静止。（×） 16、作用在一个物体上有三个力，当这三个力的作用线汇交于一点时，则此力系必然平衡。（×） 17、力对于一点的矩不因力沿其作用线移动而改变。（√） 18、在自然坐标系中，如果速度υ = 常数，则加速度α = 0。（×） 19、设一质点的质量为m，其速度 与x轴的夹角为α，则其动量在x轴上的投影为mvx =mvcos a。 （√） 20、用力的平行四边形法则，将一已知力分解为F1和F2两个分力，要得到唯一解答，必须具备： 已知F1和F2两力的大小；或已知F1和F2两力的方向；或已知F1或F2中任一个力的大小和方向。 ( √ ) 21、某力在一轴上的投影与该力沿该坐标轴的分力其大小相等，故投影就是分力。 ( ×) 理论力学复习题1 一、 是非题 1、 力有两种作用效果，即力可以使物体的运动状态发生变化，也可以使物体发生变形。 （ √） 2、 在理论力学中只研究力的外效应。 （ √） 3、 两端用光滑铰链连接的构件是二力构件。 （ × ） 4、 作用在一个刚体上的任意两个力成平衡的必要与充分条件是：两个力的作用线相同， 大小相等，方向相反。 （ √ ） 5、 作用于刚体的力可沿其作用线移动而不改变其对刚体的运动效应。 （× ） 6、 三力平衡定理指出：三力汇交于一点，则这三个力必然互相平衡。 （ × ） 7、 平面汇交力系平衡时，力多边形各力应首尾相接，但在作图时力的顺序可以不同。 （√ ） 8、 约束力的方向总是与约束所能阻止的被约束物体的运动方向一致的。 （ × ） 9、 在有摩擦的情况下，全约束力与法向约束力之间的夹角称为摩擦角。（× ） 10、 用解析法求平面汇交力系的平衡问题时，所建立的坐标系x ，y 轴一定要相互垂直。 （ × ） 11、 一空间任意力系，若各力的作用线均平行于某一固定平面，则其独立的平衡方程最多只有3个。 （ × ） 12、 静摩擦因数等于摩擦角的正切值。 （ √ ） 13、 一个质点只要运动，就一定受有力的作用，而且运动的方向就是它受力方向。（ × ） 14、 已知质点的质量和作用于质点的力，质点的运动规律就完全确定。 （× ） 15、 质点系中各质点都处于静止时，质点系的动量为零。于是可知如果质点系的动量为零，则质点系中各 质点必都静止。 （ × ） 16、 作用在一个物体上有三个力，当这三个力的作用线汇交于一点时，则此力系必然平衡。（ × ） 17、 力对于一点的矩不因力沿其作用线移动而改变。 （ √ ） 18、 在自然坐标系中，如果速度υ = 常数，则加速度α = 0。 （ × ） 19、 设一质点的质量为m ，其速度 与x 轴的夹角为α，则其动量在x 轴上的投影为mvx =mvcos a 。 （√） 20、 用力的平行四边形法则，将一已知力分解为F1和F2两个分力，要得到唯一解答，必须具备：已知F1 和F2两力的大小；或已知F1和F2两力的方向；或已知F1或F2中任一个力的大小和方向。 ( √ ) 21、 某力在一轴上的投影与该力沿该坐标轴的分力其大小相等，故投影就是分力。 ( × ) 22、 图示结构在计算过程中，根据力线可传性原理，将力P 由A 点传至B 点，其作用效果不变。( × ) 23、 作用在任何物体上的两个力，只要大小相等，方向相反，作用线相同，就一定平衡。( × )。 24、 在有摩擦的情况下，全约束力与法向约束力之间的夹角称为摩擦角。（× ） 25、 加速度dt v d 的大小为dt dv 。 （×） 三、计算题（计6小题，共70分） 1、图示的水平横梁AB，4端为固定铰 链支座，B端为一滚动支座。梁的长 为4L，梁重P，作用在梁的中点C。在 梁的AC段上受均布裁荷q作用，在梁 的BC段上受力偶作用，力偶矩M＝ Pa。试求A和B处的支座约束力。 2、在图示两连续梁中，已知q, Ｍ,ａ及θ，不计梁的自重，求 各连续梁在A，B，C三处的约 束力。 3、试求Z形截面重心的位置，其尺寸如图所示。 4、剪切金属板的“飞剪机”机构如图所 示。工作台AB的移动规律是s=0.2sin(π /6)t m，滑块C带动上刀片E沿导柱运动 以切断工件D，下刀片F固定在工作台上。设曲柄OC=0.6m，t=1 s 时，φ=60 o。求该瞬时刀片E相对于工作台运动的速度和加速度，并求曲柄OC转动的角速度及角加速度。 5、如图所示，在筛动机构中，筛子的摆动是 由曲柄连杆机构所带动。已知曲柄OA的转速 n OA=40 r/min，OA=0.3 m。当筛子BC运动 到与点O在同一水平线上时，∠BAO=90 o。 求此瞬时筛子BC的速度。 6、在图示曲柄滑杆机构中，曲柄以 等角速度ω绕O 轴转动。开始时， 曲柄OA水平向右。已知：曲柄的质 量为m1，沿块4的质量为m2，滑杆的 质量为m3，曲柄的质心在OA的中 点，OA＝l；滑杆的质心在点C。 求：(1)机构质量中心的运动方 程；(2)作用在轴O的最大水平约 束力。 7、无重水平粱的支承和载荷如题图所示。已知力F、力偶矩为M的 力偶和强度为q的均布载荷。求支座A和B 处的约束力。 8、在图所示两连续梁中，已知Ｍ 及 ａ，不计梁的自重，求各连续梁在 A ， B ， C 三处的约束力。 9、工宇钢截面尺寸如图所示。求此截面 的几何中心。 10、如图所示，半径为R 的半圆形凸 轮D 以等速v 0沿水平线向右运动，带 动从动杆AB 沿铅直方向上升，求φ =30o时杆AB 相对于凸轮的速度和加 速度。 11、图示机构中，已知： ，OA=BD=DE=0.1m ，曲柄OA 的角速度ω =4rad/s 。在图示位置时，曲柄OA 与水平 m 30.1EF 理论力学试题及答案 一、是非题（每题2分。正确用√，错误用×，填入括号内。） 1、作用在一个物体上有三个力，当这三个力的作用线汇交于一点时，则此力系必然平衡。 2、力对于一点的矩不因力沿其作用线移动而改变。（） 3、在自然坐标系中，如果速度υ= 常数，则加速度α= 0。（） 4、虚位移是偶想的，极微小的位移，它与时间，主动力以及运动的初始条件无关。 5、设一质点的质量为m，其速度 与x轴的夹角为α，则其动量在x轴上的投影为mv x =mvcos a。 二、选择题（每题3分。请将答案的序号填入划线内。） 1、正立方体的顶角上作用着六个大小相等的力，此力系向任一点简化的结果 是。 ①主矢等于零，主矩不等于零； ②主矢不等于零，主矩也不等于零； ③主矢不等于零，主矩等于零； ④主矢等于零，主矩也等于零。 2、重P的均质圆柱放在V型槽里，考虑摩擦柱上作用一力偶，其矩为M时（如图），圆柱处于极限平衡状态。此时按触点处的法向反力N A与N B的关系 为。 ①N A = N B；②N A > N B；③N A < N B。 3、边长为L的均质正方形平板，位于铅垂平面内并置于光滑水平面上，如图示，若给平板一微小扰动，使其从图示位置开始倾倒，平板在倾倒过程中，其质心C点的运动轨迹是。 ①半径为L/2的圆弧；②抛物线；③椭圆曲线；④铅垂直线。 4、在图示机构中，杆O1 A//O2 B，杆O2 C//O3 D，且O1 A = 20cm，O2 C = 40cm，CM = MD = 30cm，若杆AO1 以角速度ω= 3 rad / s 匀速转动，则D点的速度的大小为cm/s，M点的加速度的大小为cm/s2。 ①60；②120；③150；④360。 理论力学自测复习题 静力学部分 一、填空题：（每题2分） 1、作用于物体上的力的三要素是指力的 大小 、 方向 和 作用点 。 2、当物体处于平衡状态时，作用于物体上的力系所满足的条件称为 平衡条件 ，此力系称为 平衡 力系，并且力系中的任一力称为其余力的 平衡力 。 3、力的可传性原理适用于 刚体 ，加减平衡力系公理适用于 刚体 。 4、将一平面力系向其作用面内任意两点简化，所得的主矢相等，主矩也相等，且主矩不为零，则此力系简化的最后结果为 一个合力偶 5、下列各图为平面汇交力系所作的力多边形，试写出各力多边形中几个力之间的关系。 A 、 0321=++F F F 、 B 、 2341F F F F =++ C 、 14320F F F F +++= D 、 123F F F =+ 。 6、某物体只受三个力的作用而处于平衡状态，已知此三力不互相平行，则此三力必 并且 汇交于一点、共面 7、一平面力系的汇交点为A ，B 为力系作用面内的另一点，且满足方程∑m B ＝0。若此力系不平衡，则其可简化为 作用线过A 、B 两点的一个合力 。 8、长方形平板如右图所示。荷载集度分别为q 1、q 2、q 3、q 4的均匀分布荷载（亦称剪流）作用在板上，欲使板保持平衡，则荷载集度间必有如下关系： q 3＝q 1= q 4＝q 2 。 9、平面一般力系平衡方程的二力矩式为 ∑F x = 0、∑M A = 0、∑M B = 0 ，其适用条件是 A 、B 两 点的连线不垂直于x 轴 10、平面一般力系平衡方程的三力矩式为 ∑M A ＝0、∑M B ＝0、∑M C ＝0 ，其适用条件是 A 、B 、C 三点不共线 。 11、正方形平板受任意平面力系作用，其约束情况如下图所示，则其中 a b c f h 属于静定问题； d e g 属于超静定问题。 12、已知平面平行力系的五个力（下左图示）分别为F 1 = 10 N ， F 2 = 4 N ，F 3 = 8 N ，F 4 = 8 N 和F 5 = 10 N ，则该力系简化的最后结果为 大小0.4 N·m、顺时针转的力偶 。 13、平面力系如右图，已知F 1 =F 2 = F 3 = F 4 =F ，则：⑴力系合力的大小为 F F R 2= ； ⑵力系合力作用线距O 点的距离为 a d 2 12-= （合力的方向和作用位置应在图中画出）。 14、二力构件是指 只受两个力作用且处于平衡状态的轻质刚性构理论力学期末考试试卷(含答案)B
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