期末复习二（第八章、第九章）
一、知识回顾
1、幂的运算
（1）同底数幂乘法法则：底数 ，指数 字母表达形式：
（2）幂的乘方法则： 底数 ，指数 字母表达形式：
（3）积的乘方法则： 底数 ，指数 字母表达形式：
（4）同底数幂的除法法则：底数 ，指数 字母表达形式：
（5）规定：a 0= （a ≠0） a -n =
（6）科学计数法的表达形式是：a ×10n （ a ）
2、整式乘法
（1）单项式乘以单项式的法则是：系数和系数 ，相同字母的 相乘，单独一 个 一起作为积的一个因式。
（2）单项式乘以多项式的法则是：用单项式乘以 ，再把所得的 相加。
（3）多项式乘以多项式的法则是：用多项式的每一项乘以 ，再把所得的 积
（4）乘法公式：
完全平方公式：（a+b ）2= （a-b ）2=
平方差公式：（a+b ）（a-b ）= ④(x+m)(x+n)=
公示变形：（a+b ）2=（a-b ）2 +
3、常用的因式分解的方法是：
（1） （2）
注意：因式分解一定要分解到 为止。
二、典型例题
例一、计算 1、111010
-+?m m 2、5466）（）（-?- 3、52）（）（x y y x -?-
4、n y 24??? ??=
5、3()214()a a a ?=
6、(-3×103)3＝________
7、-(2x 2y 4)3
＝________ 8、221()3ab c -=________； 9、.=-???? ??200200)3(32 ；
10、23222(3)()a a a +? 11、32()3--= 12、=03————
13、22212)()()(++-÷--n n n a b a b b a
14、用科学记数法表示：3560000=__ _ －0.0000425=_
例二、计算1、 (-3xy+
2
3y2-x2)×6x 2y 2、 (x ＋2)(2x －3) 3、 (2m-n)2 4、(2x +7y )2 5、(x-
21)(x 2+41)(x+ 21) 6、a+b=4，ab=2，求a 2+b 2的值
例三 分解因式．
1、（1）5x 3－10x 2 （2）x （a ＋b ）－y （a ＋b ） （3）36－25x 2
（4） 9（a ＋b ）2－4（a －b ）2 （5）x 2＋10x ＋25；
（6）4a 2－36ab ＋81b 2 （7）18a 2－50； （8）a 2（x －y ）－b 2（x －y ）．
2、已知a 2+4a+b 2+2b+5=0，求 a 、b 的值是多少？
例四．我们可以利用（图1）对多项式a 2+5ab+4b 2进行因式分解，a 2+5ab+4b 2=（a+b ）（a+4b ），你能利用（图2）写出一个多项式并且进行因式分解吗？
图1 图2
课后练习： 一、选择1.计算3221??
? ??-y x 的结果正确的是（ ） A. y x 2441 B. y x 3681 C. y x 3581- D. y x 3
681-
2.下列各式中计算正确的是（ ）
A ．（x 4）3=x 7 B.[（-a ）2]5=-a 10
C.（a m ）2=（a 2）m =a m 2
D.（-a 2）3=（-a 3）2=-a 6
3.若m 、n 、p 是正整数，则p n m a a
)(?等于（ ）． A ．np m a a ? B ．np
mp a + C ．nmp a D ．an mp a ? 4. 若20)42(2)4(----x x 有意义，那么x 的取值范围是（ ）
A ．x>4
B ．x<2
C ．x ≠4或x ≠2
D ．x ≠4且x ≠2
5.将(
5
1)－1、(－3)0、(－4)2这三个数按从小到大的顺序排列，正确的结果是( ) A.(51)－1＜(－3)0＜(－4)2 B.(－3)0＜(5
1)－1＜(－4)2 C.(－4)2＜(51)－1＜(－3)0 D.(－3)0＜(－4)2＜(51)－1 二计算、1、若34m a a a =,则m=________; 2、若416a x x x =,则a=__________
3、
62(0,1)x x p p p p p ?=≠≠，求x
4、已知321(0,1)x x a
a a a ++=≠≠，求x
5、若22=?m m x
x ，求m x 9的值 6、若10,8a b x x ==，求a b x +
7.若7,3==n n y x ，则n xy )(、23()n x y 的值为多少？8、若52,32==y x ，求：y x -24
三、1. 若单项式m y x 26-与313
1y x n -是同类项，那么这两个单项式的积是 . 2. 当13==y ,x 时，代数式()()2
y y x y x +-+的值是 ． 3. 已知32-=ab ，则()
=---b ab b a ab 352 . 4. 若212
=++a a ，则()()=+-a a 65 .
5、 用简便方法计算：（1）101×99 （2）9982
6、把下列各式分解因式
（1）3 a （x －y ）－2b （x －y ） （2）16a 2－9b 2 （3）16a 4＋8a 2＋1；
（4）（m ＋n ）2－4（m ＋n ）＋4． （5）a 4－16 （6）2x 2y －8xy ＋8y
7. 观察下列等式：()1212112?+=+?，()2222222?+=+?，()3232332?+=+?，…… ，则第n 个等式可以表示为 ．
8.规定 表示c ab -， 表示bc ad -，试计算 ? 的结果.
9．（1）两个边长分别为a,b,c 的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成一个新的
图形。试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？
（2）由四个边长分别为a,b,c 的直角三角形拼成一个新的图形。试用两种不同的方法计算
这个图形的面积，并说说你发现了什么。
a b c c a
b a
数学周考试卷 一、选择题（每小题3分，共27分） 1．下列因式分解中，正确的是（ ） A ． ) (2a ax x ax ax -=- B ． ) 1(222222++=++ac a b b c ab b a C ．222)(y x y x -=- D ．)3)(2(652--=--x x x x 2 ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 3．若关于x 的分式方程 m 的取值范围是（ ） A 、1m >- B 、1m ≥ C 、1m >-且1m ≠ D 、1m ≥-且1m ≠ 4．设mn n m =-，则 ） A 、0 C 、1 D 、1- 5x 的取值范围是（ ） A 、1x ≥ B 、1x ≤且2x ≠ C 、1x ＞ D 、1x ≥且2x ≠且. 6．已知x+ ，那么 的值是（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．±1 D ．4 7．下列各式变形正确的是（ ） A C 8．“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设原来参加游览的同学共x 人，则所列方程为（ ） A 9．A 、 B 两地相距80千米，一辆大汽车从A 地开出2小时后，又从A 地开出一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的3倍，结果小汽车比大汽车早40分钟到达B 地，求两种汽车每小时各走多少千米．设大汽车的速度为xkm/h ，则下面所列方程正确的是（ ） A ． ﹣ =40 B ． ﹣ =2.4 C ． ﹣2= + D ． +2= ﹣ 二、填空题（每小题3分，共18分） 10．因式分解：2221a b b ---= ． 11．当x =______0；
因式分解的16种方法 因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又 有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。 注意三原则 1分解要彻底2最后结果只有小括号 3最后结果中多项式首项系数为正(例如：—3x2? x=-x3x —1) 分解因式技巧 1?分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2. 分解因式技巧掌握： ①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示； ③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。基本方法 ⑴提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“ ”号时，多项式的各项都要变号。 提公因式法基本步骤： (1)找出公因式； (2)提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的 一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。 口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。 例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。 1 1 注意：把2a2+ —变成2(a2+-)不叫提公因式 2 4 ⑵公式法 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。 平方差公式：a2「b2 =(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2± 2ab+ b2= a-b2 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的
因式分解习题(二)公式法分解因式 专题训练一：利用平方差公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1、24x - 2、29y - 3、21a - 4、224x y - 5、2125b - 6、222x y z - 7、2240.019m b - 8、2219 a x - 9、2236m n - 10、2249x y - 11、220.8116a b - 12、222549p q - 13、2422a x b y - 14、41x - 15、4416a b - 16、 44411681a b m - 题型(二)：把下列各式分解因式 1、22()()x p x q +-+ 2、 22(32)()m n m n +-- 3、2216()9()a b a b --+ 4、229()4()x y x y --+ 5、22()()a b c a b c ++-+- 6、224()a b c -+
题型(三)：把下列各式分解因式 1、53x x - 2、224ax ay - 3、322ab ab - 4、316x x - 5、2433ax ay - 6、2(25)4(52)x x x -+- 7、324x xy - 8、343322x y x - 9、4416ma mb - 10、238(1)2a a a -++ 11、416ax a -+ 12、 2216()9()mx a b mx a b --+ 题型(四)：利用因式分解解答下列各题 1、证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。 2、计算 ⑴22758258- ⑵22429171- ⑶223.59 2.54?-? ⑷2222211111(1)(1)(1)(1)(1)234910 - --???--
因式分解、分式和分式方程综合测评 一、选择题（共30分，每题3分) 1、(2０14安徽)下列四个多项式中，能因式分解的是（ ） A 、a 2+1 B 、a 2—6ａ+９ C 、x ２+5ｙ D 、ｘ2—５ｙ 2、（2014海南)下列式子从左到右变形是因式分解的是( ) A 、ａ２＋4a-21=a （a+4)-21 B 、a 2+4a －21=（a-3)(a ＋7) Ｃ、（a-3)（a+7)=a 2+4a-21 Ｄ、a 2+4ａ-21=(a ＋2）2-２5 3、（2０１4浙江金华）把代数式1822-x 分解因式,结果正确的是（ ) A 、)9(22-x Ｂ、 2)3(2-x C 、 )3)(3(2-+x x Ｄ、)9)(9(2-+x x ４、下列各式的约分运算中,正确的是（ ）. A 、 ＼F(x ６,x ２) =x ３ B 、 a+c b+ｃ ＝ ＼Ｆ(ａ,ｂ) C 、＼F （a+b,a ＋b) = 0 D 、 ａ+b ａ+ｂ ＝1 ５、（湖南衡阳２01４）下列因式分解中正确的个数为（ ) ①()3222x xy x x x y ++=+； ②()2 2442x x x ++=+; ③()()22x y x y x y -+=+- A 、3个 B 、2个 C 、1个 D 、0个 6、若把分式2x y x y +-中的x 和y 都扩大３倍，那么分式的值（ ) A 、扩大3倍 B 、不变 C 、缩小３倍 D 、缩小6倍 7、分式方程3 13-=+-x m x x 有增根，则m 为( ） A 、０ Ｂ、1 C 、3 Ｄ、6 ８、已知多项式c bx x ++2 2分解因式为)1)(3(2+-x x ，则c b ,的值为（? ）
因式分解常用的六种方法详解 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式： (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz； (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab； (4)a7-a5b2+a2b5-b7． 解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4)
2、运用公式法进行因式分解 【知识精读】 把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。 主要有：平方差公式 a b a b a b 22-=+-()() 完全平方公式 a ab b a b 2222±+=±() 立方和、立方差公式 a b a b a ab b 3322±=±?+()()μ 补充：欧拉公式： 特别地：（1）当a b c ++=0时，有a b c abc 3333++= （2）当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。 运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。 用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。 下面我们就来学习用公式法进行因式分解 【分类解析】 1. 把a a b b 2222+--分解因式的结果是（ ） A. ()()()a b a b -++22 B. ()()a b a b -++2 C. ()()a b a b -++2 D. ()()a b b a 2222-- 分析：a a b b a a b b a b 22222222212111+--=++---=+-+()()。 再利用平方差公式进行分解，最后得到()()a b a b -++2，故选择B 。 说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底。 2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用 例：已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。 分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m 的值。 解：根据已知条件，设221322x x m x x ax b -+=+++()() 则222123232x x m x a x a b x b -+=+++++()() 由此可得211120 23a a b m b +=-+==???????()()()
第一讲：因式分解一提公因式法 【知识要点】 1、分解因式的概念 把一个多项式公成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式。 2、分解因式与整式乘法的关系 分解因式与整式乘法是的恒等变形。 3．分解因式的一些注意点 （1）结果应该是的形式；（2）必须分解到每个因式都不能为止； （3）如果结果有相同的因式，必须写成的形式。 4．公因式 多项式中各项都含有的公共的因式，我们把这个因式叫做这个多项式的. 5.提公因式法 如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种 分解因式的方示叫做提公因式法. 6.确定公因式的方法 (1)系数公因式:应取多项式中各项系数为; (2)字母公因式:应取多项式中各项字母为. 【学堂练习】 1.下列各式从左边到右边的变形,哪些是分解因式,哪些不是? (1))11(22x x x x +=+;(2)1)5)(5(22--+=-a a b a (3)22))((n m n m n m -=-+(4)22)2(44+=++x x x (5))23(232y x x x xy x -=+-(6)32)1)(3(2--=+-x x x x 2．把下列各式分解因式 （1）a ab a 3692+- （2）4324264xy y x y x +-- 例1、把下列各式分解因式 （1）)2(3)2(2y x b y x a --- （2）)2(4)2(3)2(2y x c x y b y x a ----- （3）32)2()2(2x y b y x a -+- （4）32)3(25)3(15a b b a b -+- （5）432)(2)(3)(x y x y y x -+--- （6）n m n m x b x a x b x a )()()()(11++-++-+ 例2．利用分解因式计算 （1）5.12346.45.12347.115.12349.2?-?+?（2）99 10098 992222--
先提后套完全平方 1. （2011山东东营）分解因式：22x y xy y -+=________________________________. 2. （2011安徽芜湖）因式分解 3222x x y xy -+= ． 3. （2011安徽）因式分解：a 2b+2ab+b = 4 （2011安徽芜湖）因式分解 3222x x y xy -+= ． 5. （2011江苏扬州，11,3分）因式分解：x x x 4423+-= 6. （2011山东菏泽）因式分解：2a 2－4a ＋2= ______________ ． 7 （2011四川凉山州）分解因式：32214 a a b ab -+- = 。 把代数式作为一个整体 1. （2011山东莱芜）分解因式(a+b)3－4(a+b)=______________. 2. （2011山东威海）分解因式： =+---16)(8)(2y x y x . 3. （2011江苏南通）分解因式：3m (2x －y )2－3mn 2＝ 分组分解法（分组再套公式） 二二分法:（一般是先分组再用两次提公因式法解决，注意有时要提负号） 1．（2011山东潍坊）分解因式：321a a a +--=_________________ 2、因式分解：bc ac ab a -+-2=_________________. 3. （2011广东中山）因式分解：22a b ac bc -++ ． 4、因式分解：y y x x ---22=__ ______. 先整式运算化简再因式分解 1. （2011广东广州市）分解因式8(x 2－2y 2)－x (7x ＋y )＋xy ．
因式分解的多种方法——--知识延伸，向竞赛过度 1. 提取公因式：这种方法比较常规、简单，必须掌握.常用的公式:完全平方公式、平方差公式 例一：0322 =-x x 解：x(2x-3）=0， x1=0，x2=3/2这是一类利用因式分解的方程. 总结：要发现一个规律：当一个方程有一个解x=a 时，该式分解后必有一个(x —a ）因式,这对我们后面的学习有帮助。 2. 公式法 常用的公式:完全平方公式、平方差公式。注意:使用公式法前,部分题目先提取公因式。 例二：42-x 分解因式 分析:此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =（a+b)(a —b) 2解:原式=（x+2）(x —2） 3. 十字相乘法 是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意:它不难。 这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数a1，a2的积a1?a2，把常数项c 分解成两个因数c1,c2的积c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b ，那么可以直接写成结果 例三： 把3722+-x x 分解因式. 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。 分解二次项系数（只取正因数）： 2＝1×2＝2×1; 分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1）=（-1）×（—3）. 用画十字交叉线方法表示下列四种情况: 经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数－7. 解 原式=（x —3)(2x —1). 总结：对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0）,如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c 可以分解成两个因数之积,即c=c1c2，把a1，a2,c1,c2,排列如下： a1 c1 ╳ a2 c2 a1c2+a2c1 按斜线交叉相乘,再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c 的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即
因式分解和分式方程章节测试卷
数学周考试卷 一、选择题（每小题3分，共27分） 1．下列因式分解中，正确的是（ ） A ． ) (2a ax x ax ax -=- B ． ) 1(222222++=++ac a b b c ab b a C ． D ． 2．下列各式2 a ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 3．若关于m 的取值范围是（ ） A 、 B 、 C 、且 D 、且 4．设mn n m =- ，则 n m 1 1-的值是（ ） A 、mn 1 B 、0 C 、1 D 、1- 5x 的取值范围是（ ） A 、 B 、且 C 、 D 、且. 6 ．已知x+，那么的值是（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．±1 D ．4 7．下列各式变形正确的是（ ） A 、 y x y x y x y x -+= - -+- B 、d c b a d c b a +-=+-2 C 8．“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设原来参加游览的同学共人，则所列方程为（ ） 222)(y x y x -=-) 3)(2(652 --=--x x x x x 1m >-1m ≥1m >-1m ≠1m ≥-1 m ≠1x ≥1x ≤2x ≠1x ＞ 1x ≥2x ≠且x
A 、31802 180=--x x B 、31802 180=-+x x C 、32 180180=--x x D 、32 180180=+-x x 9．A 、B 两地相距80千米，一辆大汽车从A 地开出2小时后，又从A 地开出一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的3倍，结果小汽车比大汽车早40分钟到达B 地，求两种汽车每小时各走多少千米．设大汽车的速度为xkm/h ，则下面所列方程正确的是（ ） A ． ﹣=40 B ． ﹣ =2.4 C ．﹣2= + D ． +2= ﹣ 二、填空题（每小题3分，共18分） 10．因式分解： ． 11．当______时，分式 3 92--x x 的值为0； 12 _______个； 13．若方程 ()( )11 116=---+x m x x 有增根，则它的增根是 ， m= ； 14．已知m=2n≠0，则+﹣= ． 15．一项工程甲单独做要20小时，乙单独做要12小时。现在先由甲单独做5小时，然后乙加入进来合做。完成整个工程一共需要多少小时？若设一共需要x 小时，则所列的方程为 。 三、解答题（55分） 16．解方程(8分) （1） （2） 2 221a b b ---= x =
几种常见的因式分解方法 1． 提取公因式法 2． 分组分解法 3． 应用公式法，常用的公式有： （1）222)(2b a b ab a ±=+± （2）))((22b a b a b a -+=- （3）))((2233b ab a b a b a +±=± （4）33223)(33b a b ab b a a ±=±+± （5）2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++ （6）))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++ 公式（5）证明如下： ac bc ab c b a 222222+++++ 222)22()2(c bc ac b ab a +++++= 22)(2)(c c b a b a ++++= 2)(c b a ++= 公式（6）证明如下： abc c b a 3333-++ abc ab b a c b ab b a a 333332233223---++++= )333(])[(2233abc ab b a c b a ++-++= )(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++= ]3)())[((22ab c c b a b a c b a -++-+++= ))((222ca bc ab c b a c b a ---++++= 在特殊情况下，当c b a ++＝0时，就有abc c b a 3333-++＝0，
于是， （7）abc c b a 3333=++ 这就是说，如果三个整式的和为零，那么这三个整式的立方和等于这三个整式乘积的三倍． 4．十字相乘法 （1）有二次三项式q px x ++2，如果常数q 能分解成两个因数a 、b 的积，并使a ＋b ＝p ，则有 ))(()(22b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++ （2）有二次三项式c bx ax ++2，如果二次项系数a 分解成两个因数a 1和a 2，常数项c 分解成两个因数b 1和b 2，并且使b b a b a =+2211，则有 c bx ax ++2211221221)(b b x b a b a x a a +++= ))((2211b x a b x a ++= （3）二元二次多项式f ey dx cy bxy ax +++++22的因式分解． 设f ey dx cy bxy ax F +++++=22 ))((222111c y b x a c y b x a ++++= 则])][()[(222111c y b x a c y b x a F ++++= 211122212211)()())([(c c y b x a c y b x a c y b x a y b x a +++++++= 可以看出，a 1、a 2、b 1、b 2是由22cy bxy ax ++确定的，这样可对22cy bxy ax ++先进行因式分解，再把f 分解成因数c 1和c 2．如果 ey dx y b x a c y b x a c +=+++)()(112221 则F 就可分解成两个一次因式111c y b x a ++和222c y b x a ++的积．这种分解方法可视为双十字相乘法． 对一个较复杂的多项式进行因式分解时，经常要综合运用以上方法，有时需要拆项和增减项，但在拆项和增减项时，要注意和原来的多项式保持相等．
《公式法因式分解》教学设计 永年县第八中学——胡平亮 一、教学内容：冀教版七年级数学第十一章公式法分解因式 二、教学目标： 知识与技能 1、经历逆用平方差公式的过程． 2、会运用平方差公式，并能运用公式进行简单的分解因式． 过程与方法 1、在逆用平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力． 2、培养学生观察、归纳、概括的能力． 情感与价值观要求： 在分解过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美；让学生在合作探究的学习过程中体验成功的喜悦；培养学生敢于挑战；勇于探索的精神和善于观察、大胆创新的思维品质。 三、教学重点： 利用平方差公式进行分解因式 四、教学难点： 领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性。 五、教学准备： 深研课标和教材，分析学情，制作课件 六、教学过程； 一、知识回顾 1、根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？ （1）、(2x-1)2=4x2-4x+1 否 （2）、 3x2＋9xy－3x＝3x(x＋3y－1) 是 （3）、4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y) 否 2、把下列各式进行因式分解
（1）. a3b3-a2b-ab （2）(3x+y)(3x-y) （3）、（x+5)(x-5) 利用一组整式的乘法运算复习平方差公式，为探究运用平方差公式进行分解因式打下基础。 二、导入新课： 你能把多项式：x2 -25、9x2 -y2分解因式吗？ 利用一组运用平方差公式分解因式的习题，引导学生利用逆向思维去探究如何分解 a2- b2类的二次二项式。学生从对比整式的乘法去探索分解因式方法，可以感受到这种互逆变形以及它们之间的联系。 三、探究与交流 a2- b2=(a+b)(a-b) （1）用语言怎样叙述公式？ （2）公式有什么结构特征？ （3）公式中的字母a、b可以表示什么？引导学生观察平方差公式的结构特征， 学生在互动交流中，既形成了对知识的全面认识，又培养了观察、分析能力以及合作交流的能力。 判断：下列多项式能不能运用平方差公式分解因式？ (1) m2－1 (2)4m2－9 （3）(3)4m2+9 （4）(4)x2－25y + (5) －x2－25y2 (6) －x2－25y2 通过这一组判断，使学生加深理解和掌握平方差公式的结构特征，既突出了重点，也培养了学生的应用意识。 四、体验新知： （A）通过自学例1: 分解因式(1)25-16x2 (2)9a2 -1/4b2 引导学生得出分解因式的一般步骤，向学生渗透“化归”思想。 要让学生明确： （1）要先确定公式中的a和b； （2）学习规范的步骤书写。 （B）例2、分解因式9(m+n)2-(m-n)2
第二讲：分解因式 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法． 1．十字相乘法 例1 分解因式： （1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-． 2．提取公因式法与分组分解法 例2 分解因式： （1）32933x x x +++； （2）222456x xy y x y +--+-． 3．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解． 若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式 2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --. 例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式： （1）221x x +-； （2）2244x xy y +-． 练 习 1．选择题： 多项式2 2 215x xy y --的一个因式为 （ ） （A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y -
2．分解因式： （1）x 2＋6x ＋8； （2）8a 3－b 3； （3）x 2－2x －1； 4(1)(2)x y y y x -++-． 习题1．2 1．分解因式： （1） 3 1a +； （2）424139x x -+； （3）22 222b c ab ac bc ++++； （4）2235294x xy y x y +-++-． 2．在实数范围内因式分解： （1）2 53x x -+ ； （2）2 223x x --； （3）2234x xy y +-； （4）222 (2)7(2)12x x x x ---+． 3．ABC ?三边a ，b ，c 满足2 2 2 a b c ab bc ca ++=++，试判定ABC ?的形状． 4．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．
因式分解分式和分式方 程综合测评 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-
因式分解、分式和分式方程综合测评 一、选择题（共30分，每题3分） 1、（2014安徽）下列四个多项式中，能因式分解的是（ ） A 、a 2+1 B 、a 2—6a+9 C 、x 2+5y D 、x 2—5y 2、（2014海南）下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ） A 、a 2+4a-21=a （a+4）-21 B 、a 2+4a-21=（a-3）（a+7） C 、（a-3）（a+7）=a 2+4a-21 D 、a 2+4a-21=（a+2）2-25 3、(2014浙江金华）把代数式1822-x 分解因式，结果正确的是（ ） A 、)9(22-x B 、 2)3(2-x C 、 )3)(3(2-+x x D 、)9)(9(2-+x x 4、下列各式的约分运算中，正确的是（ ）. A 、 x 6x 2 =x 3 B 、 a+c b+c = a b C 、a+b a+b = 0 D 、 a+b a+b =1 5、（湖南衡阳2014）下列因式分解中正确的个数为（ ） ①()3222x xy x x x y ++=+； ②()2 2442x x x ++=+； ③()()22x y x y x y -+=+- A 、3个 B 、2个 C 、1个 D 、0个 6、若把分式2x y x y +-中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ） A 、扩大3倍 B 、不变 C 、缩小3倍 D 、缩小6倍 7、分式方程3 13-=+-x m x x 有增根，则m 为（ ） A 、0 B 、1 C 、3 D 、6
因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主 要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等 因式分解的一般步骤是： （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。 即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤 都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解； （2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数 法、试除法、拆项（添项）等方法；。 注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。 一、提公因式法.:ma+mb+mc=m（a+b+c） 二、运用公式法? 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因
F 面再补充两个常用的公式: ⑸a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2; (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca); 例.已知a, b, c 是 ABC 的三边，且a 2 b 2 c 2 则ABC 的形状是() A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 2 2 2 2 2 2 解：a b c ab bc ca 2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca (a b)2 (b c)2 (c a)2 0 a b c 三、分组分解法. (一)分组后能直接提公因式 例1、分解因式：am an bm bn 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用 公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a ，后两项都含有 b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考 虑两组之间的联系。 式分解中常用的公式，例如： (1) (a+b)(a-b) = a 2-b 2 ------------ a (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ---------------- a ⑶(a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3 ⑷(a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 2-b 2=(a+b)(a-b) ； 2 ±2ab+b 2=(a ±b)2； a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)； a 3_b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2). ab bc ca ,
第二讲 因式分解 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能． 因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等． 一、公式法(立方和、立方差公式) 在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式： 2233()()a b a ab b a b +-+=+ (立方和公式) 2233()()a b a ab b a b -++=- (立方差公式) 由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到： 3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++ 这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)． 运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解． 【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式： (1) 3 8x + (2) 3 0.12527b - 分析： (1)中，3 82=，(2)中3 3 3 0.1250.5,27(3)b b ==． 解：(1) 3 3 3 2 82(2)(42)x x x x x +=+=+-+ (2) 3 3 3 2 2 0.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+?+ 2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++ 说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如 3338(2)a b ab =，这里逆用了法则()n n n ab a b =；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时， 一定要看准因式中各项的符号． 【例2】分解因式： (1) 3 4 381a b b - (2) 76 a a b - 分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现6 6 a b -， 可看着是32 32 ()()a b -或23 23 ()()a b -． 解：(1) 3 4 3 3 2 2 3813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++．
数学周考试卷 一、选择题（每小题3分，共27分） 1．下列因式分解中，正确的是（） A C ． D． 2） A．2个 B．3．4个 D．5个 3．若关于m的取值范围是（） A、 B、 C、且 D、且 4） A、0 C、1 D 5x的取值范围是（） A、 B、且 C、 D、且. 6．已知x+，那么的值是（） A．1 B．﹣1 C．±1 D．4 7．下列各式变形正确的是（） A C 8．“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设原来参加游览的同学共人，则所列方程为（） A 9．A、B两地相距80千米，一辆大汽车从A地开出2小时后，又从A地开出一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的3倍，结果小汽车比大汽车早40分钟到达B地，求两种汽车每小时各走多少千米．设大汽车的速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是（） A．﹣=40 B．﹣=2.4 C．﹣2=+ D．+2=﹣ 10 x 2 x≠ 且 1 x≥ 1 x＞ 2 x≠ 1 x≤ 1 x≥ 1 m≠ 1 m≥- 1 m≠ 1 m>- 1 m≥ 1 m>- x )3 )( 2 ( 6 5 2- - = - -x x x x 2 2 2) (y x y x- = -
11．当______ 0； 12 _______个； 13有增根，则它的增根是 ，m= ； 14．已知m=2n≠0，则 +﹣= ． 15．一项工程甲单独做要20小时，乙单独做要12小时。现在先由甲单独做5小时，然后乙加入进来合做。完成整个工程一共需要多少小时？若设一共需要x 小时，则所列的方程为 。 三、解答题（55分） 16．解方程(8分) （1） （2） 17．先化简，其中x 的整数解．（6分） x =
【例1】 下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是( ) A ．223()33ab a b a b ab +=+ B ．222 2421x x x x ?? +=+ ??? C ．224(2)(2)a b a b a b -=+- D ．23633(2)x xy x x x y -+=- 因式分解概念及基本方法
【例2】 把下列各式分解因式 ⑴8x3y2＋12xy3z ＝4xy2·( )＋4xy2·( ) ＝4xy2·( ＋) ⑵2a(b＋c)－3(b＋c) ＝( )·(b＋c)－( )·(b＋c) ＝( －)·(b＋c) ⑶12abc－9a2b2＝__________； ⑷(x＋3)2－(x＋3)＝__________。 【例3】 因式分解： ⑴(x＋y)2－3(x＋y)＝________。 ⑵x(a－b)2n＋y(b－a)2n＋1＝_________。 ⑶x(m－x)(m－y)－m(m－x)(m－y)＝_________。 ⑷m(x＋y)＋n(x＋y)－x－y＝_________。 【例4】 把下列各式因式分解 ⑴4a2－9 ＝( )2－( )2 ＝( ＋)( －)
⑵(x＋m)2－(x＋n)2 ＝[( )＋( )][( )－( )] ＝( )( ) ⑶4x2＋12x＋9 ＝( )2＋2·( )·( )＋( )2 ＝( )2 ⑷-a2＋4ab－4b2 ＝-( ) ＝- [( )2－2·( )·( )＋( )2] ＝-( )2 ⑸把x3－2x2y＋xy2分解因式，结果正确的是( ) A．x(x＋y)(x－y) B．x(x2－2xy＋y2) C．x(x＋y)2 D．x(x－y)2 ⑹因式分解：x3－xy2＝___________； ⑺分解因式：27x2＋18x＋3＝___________。 【例5】 因式分解： ⑴16m4－72m2＋81； ⑵-(a＋1)2－2(a2－1)－(a－1)2； ⑶4b2c2－(b2＋c2－a2)2。 知识框架重现 因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做因式分解，又叫分解因式。方法：1．提公因式法2．公式法3．囧4．囧
第二讲 因式分解 【学习目标】在初中基础上，进一步理解和掌握高中常用公式及多种因式分解方法。 【重点与难点】 1、 公式法 2、 分组分解法 3、 十字相乘法 4、 配方法等 【回顾与引入】 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能． 因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等． 1．公式法 常用的乘法公式： [1]平方差公式： ； [2]完全平方和公式： ； [3]完全平方差公式： ． [4]2()a b c ++= [5]33a b += (立方和公式) [6] 33a b -= (立方差公式) 由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式可以进行因式分解． 2．分组分解法 从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb +++既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组． 常见题型：（1）分组后能提取公因式 （2）分组后能直接运用公式 3．十字相乘法 （1）2()x p q x pq +++型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③ 一次项系数是常数项的两个因数之和． 运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． （2）一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解 由2 121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ?，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，
因式分解——公式法（一） 一、教学目标： （一）知识与技能： 1.使学生了解运用公式法分解因式的意义； 2.会用平方差公式进行因式分解； 3.使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式． （二）过程与方法： 1.发展学生的观察能力和逆向思维能力； 2.培养学生对平方差公式的运用能力。 （三）情感与态度： 在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识。 二、教学重点和难点： 1.教学重点：利用平方差公式分解因式． 2.教学难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性．应用逆向思维的方向，演绎出平方差公式，?对公式的应用首先要注意其特征，其次要做好式的变形，把问题转化成能够应用公式的方面上来． 三、教学方法：采用“问题解决”的教学方法，让学生在问题的牵引下，推进自己的思维． 四、教学用具：多媒体 五、教学过程： 一知识回顾： 1 什么叫多项式的分解因式？ 2 分解因式和整式乘法有何关系? 3 我们学了什么方法进行因式分解？
练习1：根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？ 1．(2x-1)2=4x2-4x+1 2. 3x2＋9xy－3x＝3x(x＋3y－1) 3．4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y) 练习2把下列各式进行因式分解 （1）. a3b3-a2b-ab （2）. -9x2y+3xy2-6xy 二观察探讨，体验新知 在横线内填上适当的式子，使等式成立： （1）（x+5)(x-5)= - (2)(a+b)(a-b) = （） （3） x2-25 = （4） a2-b2= 知识探索 平方差公式：a2－b2=（a+b）（a－b）． 评析：平方差公式中的字母a、b，教学中还要强调一下，可以表示数、含字母的代数式（单项式、多项式）． 公式的结构特征：什么形式的多项式能用平方差公式进行分解 下列多项式能转化成（）２－（）２的形式吗？如果能，请将其转化成（）２－（）２的形式。 (1) m2－1 (2)4m2－9 (3)4m2+9 (4)x2－25y 2