审题是解题的开端,深入细致的审题是成功解题的必要前提.著名数学教育家波利亚说,“最糟糕的情况就是学生没有弄清问题就进行演算和作图.”为此波利亚总结出一张“怎样解题表”,将解题的过程分为四个阶段.其中第一步弄清问题就是我们常说的审题.审题就是多角度地观察,由表及里,由条件到结论,由数式到图形,洞察问题实质,选择正确的解题方向.事实上,很多考生往往对审题掉以轻心,或不知从何处入手进行审题,致使解题失误而丢分,真是令人痛心不已.本讲结合实例,教你正确的审题方法,给你制订一条“审题路线图”,破解高考不再难. 一审条件挖隐含
任何一个数学问题都是由条件和结论两部分构成的.条件是解题的主要素材,充分利用条件间的内在联系是解题的必经之路.条件有明示的,有隐含的,审视条件更重要的是要充分挖掘每一个条件的内涵和隐含的信息,发挥隐含条件的解题功能.
例1 (2014·重庆)已知函数f (x )=3sin(ωx +φ)(ω>0,-π2≤φ<π2)的图象关于直线x =π
3对称,
且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值;
(2)若f (α2)=34(π6<α<2π3),求cos(α+3π
2)的值.
审题路线图
条件:f (x )图象上相邻两个最高点距离为π ↓挖掘三角函数图象的特征 f (x )的周期为π ↓T =2π
|ω|,ω>0(已知)
ω=2
条件:f (x )图象关于直线x =π
3对称
↓f (π
3)取到最值
2×π3+φ=k π+π
2(k ?Z ) ↓-π2≤φ<π
2(已知)
φ=-π6
↓
条件:f (α2)=3
4
↓代入f (x )
sin(α-π6)=1
4
↓条件π6<α<23π
cos(α-π6)=154
↓欲求cos(α+32π)=sin α=sin[(α-π6)+π
6]
sin α=3+15
8
↓
cos(α+3
2π)=3+158
解 (1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以f (x )的最小正周期为T =π,从而ω=2π
T
=2. 又因为f (x )的图象关于直线x =π
3对称,
所以2×π3+φ=k π+π
2,k ?Z .
由-π2≤φ<π
2,得k =0,
所以φ=π2-2π3=-π6
.
(2)由(1)得f (α2)=3sin(2·α2-π6)=3
4,
所以sin(α-π6)=1
4.
由π6<α<2π3, 得0<α-π6<π2,
所以cos(α-π
6
)=
1-sin 2(α-π
6
)=
1-(14)2=154
.
所以cos(α+3π2)=sin α=sin[(α-π6)+π
6]
=sin(α-π6)cos π6+cos(α-π6)sin π
6
=14×32+154×1
2 =
3+15
8
.
(2014·四川)已知函数f (x )=sin(3x +π
4
).
(1)求f (x )的单调递增区间;
(2)若α是第二象限角,f (α3)=45cos(α+π
4)cos 2α,求cos α-sin α的值.
解 (1)因为函数y =sin x 的单调递增区间为[-π2+2k π,π
2+2k π],k ?Z ,
由-π2+2k π≤3x +π4≤π
2+2k π,k ?Z ,
得-π4+2k π3≤x ≤π12+2k π
3
,k ?Z .
所以函数f (x )的单调递增区间为[-π4+2k π3,π12+2k π
3],k ?Z .
(2)由已知,有sin(α+π4)=45cos(α+π
4)(cos 2α-sin 2α),
所以sin αcos π4+cos αsin π
4
=45(cos αcos π4-sin αsin π
4)(cos 2α-sin 2α), 即sin α+cos α=4
5
(cos α-sin α)2(sin α+cos α).
当sin α+cos α=0时,由α是第二象限角,知α=3π
4+2k π,k ?Z .
此时,cos α-sin α=- 2.
当sin α+cos α≠0时,有(cos α-sin α)2=5
4.
由α是第二象限角,知cos α-sin α<0, 此时cos α-sin α=-
52
. 综上所述,cos α-sin α=-2或-52
. 二审结论会转换
问题解决的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误.因而解决问题时的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的.审视结论,就是在结论的启发下,探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律.善于从结论中捕捉解题信息,善于对结论进行转化,使之逐步靠近条件,从而发现和确定解题方向. 例2 已知函数f (x )=1
2
x 2+a ln x .
(1)若a =-1,求函数f (x )的极值,并指出是极大值还是极小值; (2)若a =1,求函数f (x )在[1,e]上的最大值和最小值;
(3)若a =1,求证:在区间[1,+∞)上,函数f (x )的图象在函数g (x )=2
3x 3的图象的下方.
审题路线图 求f (x )的极值
↓(从结论出发向条件转化,注意隐含条件——定义域) 求f ′(x )=0的解,即f (x )的极值点 ↓(转化为求函数值)
将极值点代入f (x )求对应的极大、极小值 ↓(转化为研究单调性) 求f (x )在[1,e]上的单调性 ↓(转化为求函数值)
比较端点值、极值,确定最大、最小值 ↓(构造函数进行转化) F (x )=f (x )-g (x )
↓(将图象的上、下关系转化为数量关系) 求证F (x )<0在[1,+∞)上恒成立. ↓研究函数F (x )在[1,+∞)上的单调性. (1)解 由于函数f (x )的定义域为(0,+∞), 当a =-1时,f ′(x )=x -1x =(x +1)(x -1)
x ,
令f ′(x )=0得x =1或x =-1(舍去), 当x ?(0,1)时,函数f (x )单调递减, 当x ?(1,+∞)时,函数f (x )单调递增, 所以f (x )在x =1处取得极小值为1
2
.
(2)解 当a =1时,易知函数f (x )在[1,e]上为增函数, 所以f (x )min =f (1)=12,f (x )max =f (e)=1
2e 2+1.
(3)证明 设F (x )=f (x )-g (x )=12x 2+ln x -2
3
x 3,
则F ′(x )=x +1x -2x 2=(1-x )(1+x +2x 2
)x
, 当x >1时,F ′(x )<0,
故f (x )在区间[1,+∞)上是减函数,又F (1)=-1
6<0,
所以在区间[1,+∞)上,F (x )<0恒成立. 即f (x ) 因此,当a =1时,在区间[1,+∞)上,函数f (x )的图象在函数g (x )的图象的下方. (2014·课标全国Ⅰ)设函数f (x )=a ln x +1-a 2 x 2 -bx (a ≠1),曲线y =f (x )在点(1,f (1)) 处的切线斜率为0. (1)求b ; (2)若存在x 0≥1,使得f (x 0) a -1,求a 的取值范围. 解 (1)f ′(x )=a x +(1-a )x -b . 由题设知f ′(1)=0,解得b =1. (2)f (x )的定义域为(0,+∞), 由(1)知,f (x )=a ln x +1-a 2 x 2 -x , f ′(x )=a x +(1-a )x -1=1-a x (x -a 1-a )(x -1). ①若a ≤12,则a 1-a ≤1, 故当x ?(1,+∞)时,f ′(x )>0,f (x )在(1,+∞)单调递增. 所以,存在x 0≥1,使得f (x 0) a -1, 即 1-a 2-1 a -1 , 解得-2-11, 故当x ?(1, a 1-a )时,f ′(x )<0, 当x ?(a 1-a ,+∞)时,f ′(x )>0,f (x )在(1,a 1-a )单调递减,在(a 1-a ,+∞)单调递增. 所以,存在x 0≥1,使得f (x 0) a -1. 而f (a 1-a )=a ln a 1-a +a 22(1-a )+a a -1>a a -1, 所以不合题意. ③若a >1,则f (1)=1-a 2-1=-a -12 . 综上,a 的取值范围是(-2-1,2-1)∪(1,+∞). 三审图形抓特点 在不少数学高考试题中,问题的条件往往是以图形的形式给出,或将条件隐含在图形之中, 因此在审题时,要善于观察图形,洞悉图形所隐含的特殊关系、数值的特点、变化的趋势.抓住图形的特征,运用数形结合的数学思想方法,是破解考题的关键. 例3 已知函数f (x )=A tan(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2),y =f (x )的部分图象如图所示,则f (π 24)= ________. 审题路线图 f (x )图象的周期性 ↓T 2=|38π-π 8| T =π2 ↓T =π |ω|,ω>0 ω=2 ↓f (x )图象过点(3 8π,0) A tan(2×3 8π+φ)=0 ↓ 3 4π+φ=k π,k ?Z ↓|φ|<π2 φ=π4 ↓f (x )图象过点(0,1) A =1 ↓ f (π24)=tan(π24×2+π 4)= 3 答案 3 解析 由题中图象可知,此正切函数的半周期等于3π8-π8=π4,即最小正周期为π 2,所以ω=2. 由题意可知,图象过定点(3π8,0),所以0=A tan(2×3π8+φ),即3π 4 +φ=k π(k ?Z ),所以φ=k π -3π4(k ?Z ),又|φ|<π2,所以φ=π4.又图象过定点(0,1),所以A =1.综上可知,f (x )=tan(2x +π4),故有f (π24)=tan(2×π24+π4)=tan π 3 = 3. 如图,在△ABC 中,AB =3,AC =5,若O 为△ABC 的外心,则AO →·BC → 的值为 ________. 答案 8 解析 方法一 取边BC 的中点D ,由于O 为△ABC 的外心,所以DO →⊥BC →,所以DO →·BC → =0,AO →=AD →+DO →=12(AB →+AC →)+DO →,所以AO →·BC →=12(AB →+AC →)·BC →=12(AB →+AC →)·(AC →-AB →)=12(|AC →|2-|AB → |2)=8. 方法二 取AB 的中点E ,AC 的中点F ,连接OE ,OF ,则OE ⊥AB ,OF ⊥AC . 易知向量AO →在AB → 上的投影为 |AE →|,AO →在AC →上的投影为|AF →|, 所以AO →·BC →=AO →·(AC →-AB →)=AO →·AC →-AO →·AB → =|AC →|·|AF →|-|AB →|·|AE →|=5×52-3×32=8. 四审结构定方案 数学问题中的条件和结论,很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的.在这些问题的数式结构中,往往都隐含着某种特殊关系,认真审视数式的结构特征,对数式结构进行深入分析,加工转化,可以寻找到突破问题的方案. 例4 在锐角△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b a +a b =6cos C ,则tan C tan A + tan C tan B 的值是________. 审题路线图 〈观察方向一〉 观察条件:b a +a b =6cos C ↓(数式中既有边又有角,应统一) b a +a b =6×a 2+b 2- c 22ab ↓(将条件转化为简洁形式) a 2+ b 2=3 2 c 2 ↓观察结论所求:tan C tan A +tan C tan B ↓(考虑到在△ABC 中的正、余弦定理,切化弦是必由之路) tan C tan A +tan C tan B =1cos C ·sin 2C sin A sin B ↓(角化边、用条件) tan C tan A +tan C tan B =1cos C ·sin 2C sin A sin B =2ab a 2+b 2-c 2×c 2 ab =4 〈观察方向二〉 观察条件b a +a b =6cos C ↓(关注数式的特征) 边a 、b 具有轮换性 观察所求结论:tan C tan A +tan C tan B ↓角A 、B 具有轮换性 ↓(从数式的特征考虑) 当A =B 即a =b 时,应满足题意 ↓(特殊化思想,可靠吗?) cos C =1 3 ↓(完全转化成三角函数运算) tan 2C 2=1-cos C 1+cos C =12,即tan C 2=22 ↓tan C =2tan C 2 1-tan 2C 2 =2 2 ↓tan A =tan B =1 tan C 2= 2 tan C tan A +tan C tan B =4 答案 4 解析 由b a +a b =6cos C ,得b 2+a 2=6ab cos C . 根据余弦定理,化简整理得2(a 2+b 2)=3c 2,将tan C tan A +tan C tan B 切化弦, 得sin C cos C ·(cos A sin A +cos B sin B ) =sin C cos C ·sin (A +B ) sin A sin B = sin C cos C ·sin C sin A sin B =sin 2C cos C sin A sin B . 根据正、余弦定理得 sin 2C cos C sin A sin B = c 2 ab · a 2+ b 2- c 22ab =2c 2a 2+b 2-c 2=2c 2 32 c 2-c 2 =4. (1)(2014·课标全国Ⅰ)已知a ,b ,c 分别为△ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,a =2, 且(2+b )·(sin A -sin B )=(c -b )·sin C ,则△ABC 面积的最大值为________. (2)(2014·课标全国Ⅱ)函数f (x )=sin(x +2φ)-2sin φ·cos(x +φ)的最大值为________. 答案 (1)3 (2)1 解析 (1)∵a sin A =b sin B =c sin C =2R ,a =2,又(2+b )·(sin A -sin B )=(c -b )sin C 可化为(a +b )(a -b )=(c -b )·c , ∴a 2-b 2=c 2-bc ,∴b 2+c 2-a 2=bc . ∴b 2+c 2-a 22bc =bc 2bc =12 =cos A ,∴A =60°. ∴△ABC 中,4=a 2=b 2+c 2-2bc ·cos 60°=b 2+c 2-bc ≥2bc -bc =bc (“=”当且仅当b =c 时取得), ∴S △ABC =12·bc ·sin A ≤12×4×32= 3. (2)∵f (x )=sin(x +2φ)-2sin φcos(x +φ) =sin[(x +φ)+φ]-2sin φcos(x +φ) =sin(x +φ)cos φ+cos(x +φ)sin φ-2sin φcos(x +φ) =sin(x +φ)cos φ-cos(x +φ)sin φ =sin[(x +φ)-φ]=sin x , ∴f (x )的最大值为1. 五审图表、数据找规律 题目中的图表、数据包含着问题的基本信息,往往也暗示着解决问题的目标和方向.在审题 时,要认真观察分析图表、数据的特征和规律,常常可以找到解决问题的思路和方法. 例5下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”,其特点是每行每列都成等差数列,记第i行第j 列的数为ai,j(i,j?N*),则 (1)a9,9=________; (2)表中的数82共出现________次. 审题路线图 审视图表数据(a i,j) ↓每行成等差数列 a1,j=j+1 ↓(a1,1=2,d=1) a1,9=10 ↓每列成等差数列 a9,9=a1,9+8×9=10+72=82 ↓一般规律观察 a i,j=(i+1)+(j-1)·i=ij+1 ↓数82在表中位置 a i,j=82=ij+1 ↓82出现的次数 ij+1=82的解 答案(1)82(2)5 解析(1)a9,9表示第9行第9列,第1行的公差为1,第2行的公差为2,……,第9行的公差为9,第9行的首项b1=10,则b9=10+8×9=82;(2)第1行数组成的数列a1,j(j=1,2,…)是以2为首项,公差为1的等差数列,所以a1,j=2+(j-1)·1=j+1;第i行数组成的数列a i, (j=1,2,…)是以i+1为首项,公差为i的等差数列,所以a i,j=(i+1)+(j-1)i=ij+1,由题j 意得a i,j=ij+1=82,即ij=81,且i,j?N*,所以81=81×1=27×3=9×9=1×81=3×27,故表格中82共出现5次. (1)将石子摆成如图所示的梯形形状,称数列5,9,14,20,…为“梯形数”.根据图 形的构成,数列第6项a 6=________;第n 项a n =________. (2)如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图,则由图可估计样本重量的中位数为( ) A .11 B .11.5 C .12 D .12.5 答案 (1)35 (n +1)(n +4) 2 (2)C 解析 (1)由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为 n =1时,a 1=2+3=12×(2+3)×2;n =2时,a 2=2+3+4=1 2×(2+4)×3; 由此我们可以推断:a n =2+3+…+(n +2)=1 2×[2+(n +2)]×(n +1)=(n +1)(n +4)2, ∴a 6=35. (2)中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于纵轴的直线横坐标.设中位数为a ,则x =a 将频率分布直方图分成两个面积相等的部分,则有0.30+(a -10)×0.1=0.5,所以a =12. 六审细节更完善 审题不仅要从宏观上、整体上去分析、去把握,还要更加注意审视一些细节上的问题.例如括号内的标注、数据的范围、图象的特点等.因为标注、范围大多是对数学概念、公式、定理中所涉及的一些量或解析式的限制条件.审视细节能适时地利用相关量的约束条件,调整解决问题的方向.所以说重视审视细节,更能体现审题的深刻性. 例6 各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ,S n =14a 2n +12a n (n ?N * ). (1)求a n ; (2)令b n =????? a n , n 为奇数,b n 2, n 为偶数,c n =b 2n +4 (n ?N *),求{c n }的前n 项和T n . 审题路线图 S n =14a 2n +1 2a n ↓(注意n ?N *,a n >0) a 1=2 ↓(下面的变形是有条件的,条件是n ≥2) a n =S n -S n -1=14a 2n +12a n -14a 2n -1-12a n -1 ↓(不变形怎么办?肯定要进行代数式变形) (a n +a n -1)(a n -a n -1-2)=0 ↓(注意到a n >0了吗?a n +a n -1>0) a n -a n -1=2 ↓(关于等差数列的定义不用重复了吧!) a n =2+(n -1)×2=2n ↓(注意到b n 与a n 的关系了吗?n 是分奇偶的) b 1=a 1=2;b 2=b 1=2;b 3=a 3=6; b 4=b 2=2 ↓(c n 与b n 的关系很特殊!) c 1=b 6=b 3=6 c 2=b 8=b 4=2 ↓(下面变化的条件是n ≥3,这可是细节啊!) c n =b 2n +4=b 2n -1+2=b 2n -2+1=a 2n -2+1=2n - 1+2. T n =c 1+c 2+c 3+…+c n =6+2+(22+2)+(23+2)+…+(2n - 1+2) =2n +2n ↓(不要忘了当n =1,n =2时,对T n 的表达式的验证) T n =? ???? 6, n =1,2n +2n , n ≥2且n ?N * . 解 (1)a 1=S 1=14a 21+12a 1?14a 21-12a 1=0, 因为a 1>0,故a 1=2; 当n ≥2时,a n =S n -S n -1 =14a 2n +12a n -14a 2n -1-12a n -1, 所以14(a 2n -a 2n -1)-12(a n +a n -1)=0, 即(a n +a n -1)(a n -a n -1-2)=0. 因为a n >0,所以a n -a n -1=2,即{a n }为等差数列, 所以a n =2n (n ?N *). (2)c 1=b 6=b 3=a 3=6,c 2=b 8=b 4=b 2=b 1=a 1=2, n ≥3时,c n =b 2n +4=b 2n -1+2 =b 2n -2+1=a 2n -2+1=2n - 1+2, 此时,T n =8+(22+2)+(23+2)+…+(2n - 1+2) =2n +2n ; 当n =2时,T 2=22+2×2=8=c 1+c 2. 所以T n =????? 6, n =1,2n +2n , n ≥2且n ?N * . 点评 从审题路线图可以看出,细节对思维的方向不断地修正着. (2014·浙江)已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n =(2)b n (n ?N *).若{a n }为等比数 列,且a 1=2,b 3=6+b 2. (1)求a n 与b n ; (2)设c n =1a n -1 b n (n ?N *).记数列{ c n }的前n 项和为S n . ①求S n ; ②求正整数k ,使得对任意n ?N *,均有S k ≥S n . 解 (1)由题意知a 1a 2a 3…a n =(2)b n ,b 3-b 2=6, 知a 3=(2)b 3-b 2=8. 又由a 1=2,得公比q =2(q =-2舍去), 所以数列{a n }的通项为a n =2n (n ?N *), 所以,a 1a 2a 3…a n =2n (n +1)2=(2)n (n +1). 故数列{b n }的通项为b n =n (n +1)(n ?N *). (2)①由(1)知c n =1a n -1b n =1 2n -????1n -1n +1(n ?N *), 所以S n =1n +1-1 2n (n ?N *). ②因为c 1=0,c 2>0,c 3>0,c 4>0, 当n ≥5时,c n =1n (n +1)???? n (n +1)2 n -1, 而n(n+1) 2n- (n+1)(n+2) 2n+1 = (n+1)(n-2) 2n+1 >0, 得n(n+1) 2n≤ 5×(5+1) 25<1, 所以,当n≥5时,c n<0. 综上,对任意n?N*恒有S4≥S n,故k=4. 1.解题先审题,养成认真审题,缜密思考的良好习惯. 2.审题要慢要细,要谨慎思考:(1)全部的条件和结论;(2)必要的图形和图表;(3)数学式子和数学符号.要善于捕捉题目中的有效信息,要有较强的洞察力和显化隐含条件的能力.要制订和用好审题路线图. 3.审题路线图:一审条件挖隐含→二审结论会转换 →三审图形抓特点→四审结构定方案 →五审图表、数据找规律→六审细节更完善. 专题七 不等式 1.【2015高考四川,理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥, 在区间122?????? ,上单调递减,则mn 的最大值为( ) (A )16 (B )18 (C )25 (D )812 【答案】B 【解析】 2m ≠时,抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意,当2m >时,8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时,抛物线开口向下,据题意得,81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>,故应舍去.要使得mn 取得最大值,应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=,所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴,结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件,然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查,检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题,这是高考的一个方向,这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京,理2】若x ,y 满足010x y x y x -?? +??? ≤, ≤,≥,则2z x y =+的最大值为( ) A .0 B .1 C . 3 2 D .2 【答案】D 【解析】如图,先画出可行域,由于2z x y = +,则11 22 y x z =- +,令0Z =,作直线1 2 y x =- ,在可行域中作平行线,得最优解(0,1),此时直线的截距最大,Z 取 第1讲 三角函数与平面向量 A 组 基础达标 1.若点? ????sin 5π 6,cos 5π6在角α的终边上,则sin α的值为________. 2.已知α∈? ????0,π2,2sin2α=cos2α+1,那么sin α=________. 3.(2019·榆林模拟)若sin ? ????A +π4=7210,A ∈? ?? ??π4,π,则sin A =________. 4.若函数f (x )=2sin ? ????2x +φ-π6(0<φ<π)是偶函数,则φ=________. 5.已知函数y =A sin (ωx +φ)+B (A >0,ω>0,|φ|<π 2)的部分图象如图所示,那 么φ=________. (第5题) 6.已知sin ? ????α+π3=1213,那么cos ? ?? ??π6-α=________. 7.在距离塔底分别为80m ,160m ,240m 的同一水平面上的A ,B ,C 处,依次测得塔顶的仰角分别为α,β,γ.若α+β+γ=90°,则塔高为________m. 8.(2019·湖北百校联考)设α∈? ????0,π3,且6sin α+2cos α= 3. (1) 求cos ? ????α+π6的值; (2) 求cos ? ????2α+π12的值. B 组 能力提升 1.计算:3cos10°-1 sin170°=________. 2.(2019·衡水模拟改编)设函数f (x )=2cos (ωx +φ)对任意的x ∈R ,都有f ? ????π3-x =f ? ????π3+x ,若函数g (x )=3sin (ωx +φ)+cos (ωx +φ)+2,则g ? ?? ??π3的值是________. 3.已知函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0)的图象的一个对称中心为? ????π2,0,且f ? ?? ? ?π4=1 2 ,那么ω的最小值为________. 4.已知函数f (x )=sin ? ????ωx +π5(ω>0),f (x )在[0,2π]上有且仅有5个零点,给出以下四个结论: ①f (x )在(0,2π)上有且仅有3个极大值点; ②f (x )在(0,2π)上有且仅有2个极小值点; ③f (x )在? ????0,π10上单调递增; ④ω的取值范围是???? ??125,2910. 其中正确的结论是________.(填序号) 5.(2019·浙江卷)已知函数f (x )=sin x ,x ∈R . (1) 当θ∈[0,2π)时,函数f (x +θ)是偶函数,求θ的值; (2) 求函数y =??????f ? ????x +π122+??????f ? ????x +π42 的值域. 6.(2019·临川一中)已知函数f (x )=M sin (ωx +π 6)(M >0,ω>0)的大致图象如图所示, 其中A (0,1),B ,C 为函数f (x )的图象与x 轴的交点,且BC =π. (1) 求M ,ω的值; 空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、(全国 8)正六棱柱 ABCDEF -A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1, 侧棱长为 2 ,则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 ( ) A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质,以及异面直线所成角的求法。 2、(全国 18)如图,正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1,而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直,点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF C 上移动,若 CM=NB=a(0 的底面是边长为a的正方形,PB⊥面ABCD。 (1)若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°, 求这个四棱锥的体积; (2)证明无论四棱锥的高怎样变化,面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念,以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、(02全国文22)(一)给出两块面积相同的正三角形纸片,要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型,使它们的全面积都与原三角形面积相等,请设计一种剪拼法,分别用虚线标示在图(1)(2)中,并作简要说明。 (3) (1)(2) (二)试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。(三)如果给出的是一块任意三角形的纸片,如图(3)要求剪拼成一个直三棱柱模型,使它的全面积与给出的三角形面积相等,请设计一种剪拼方法,用虚线标出在图3中,并作简要说明。高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案
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