1
图2.4
习题解答
第二章
2.1计算：(1)pi iq qj jk δδδδ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。 解：(1)pi iq qj jk pq qj jk pj jk pk δδδδδδδδδδ===;
(2)()pqi ijk jk pj qk pk qj jk pq qp e e A A A A δδδδ=-=-; (3)()ijp klp ki lj ik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。
2.2证明：若ij ji a a =，则0ijk jk e a =。
证：20ijk jk jk jk ikj kj ijk jk ijk kj ijk jk ijk jk i e a e a e a e a e a e a e a ==-=-=+。
2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明：
2
[,,]??????=???a a a b a c
b a b b b
c a b c c a
c b c c 证：123111
2
1
232221
2
33
3
3
[,,]i i i i i i i i i i i i i i
i i
i i
a a a
b a
c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ??????=???==a a
a b a c b a b b b c a b c c a
c b
c c
。
2.4设a 、b 、c 和d 是四个矢量，证明：
()()()()()()???=??-??a b c d a c b d a d b c
证：()()i j ijk k l m lmn n i j l m ijk lmk a b e c d e a b c d e e ???=?=a b c d e e ()()()()()i j l m il jm im jl i i j j i i j j a b c d a c b d a d b c δδδδ=-=- ()()()()=??-??a c b d a d b c 。
2.5设有矢量i i u =u e 。原坐标系绕z 轴转动θ系，如图2.4所示。试求矢量u 在新坐标系中的分量。 解：11cos βθ'=，12sin βθ'=，130β'=， 21sin βθ'=-，22cos βθ'=，230β'=， 310β'=，320β'=，331β'=。 1112cos sin i i u u u u βθθ''==+，
2 2212sin cos i i u u u u βθθ''==-+，
333i i u u u β''==。
2.6设有二阶张量ij i j T =?T e e 。当作和上题相同的坐标变换时，试求张量T 在新坐标系
中的分量11T ''、12T ''、13T ''和33T ''。 解：变换系数同上题。
112211221221
1111cos 2sin 2222
i j ij T T T T T T T T ββθθ''''+-+==
++， 122112212211
12cos 2sin 2222T T T T T T T θθ''-+-=++，
131323cos sin T T T θθ''=+， 3333T T ''=。
2.7设有3n
个数12n
i i i A ???，对任意m 阶张量12m
j
j j B ???，定义
12121212n m
n
m
i i
i j j j i i
i j
j j C A B ????????????=
若1212n m
i i
i j j j C ??????为n m +阶张量，试证明12n
i i i A ???是n 阶张量。
证：为书写简单起见，取2n =，2m =，则
ijkl ij kl C A B =，
在新坐标系中，有
i j k l i j k l C A B ''''''''= (a) 因为ijkl C 和kl B 是张量，所以有
i j k l i i j j k k l l ijkl i i j j ij k k l l kl i i j j ij k l C C A B A B ββββββββββ''''''''''''''''=== 比较上式和式(a)，得 ()0i j i i j j ij k l A A B ββ''''''-=
由于B 是任意张量，故上式成立的充要条件是
i j i i j j ij A A ββ''''= 即ij A 是张量。
2.8设A 为二阶张量，试证明tr ?=?I A A 。
证：=()()===tr jk j k jk i j i k jk ij ik ii i i A A A A δδ?=???????I A A e e e e e e e e 。
2.9设a 为矢量，A 为二阶张量，试证明：
3
(1)()T T ?=-?a A A a ，(2)()T T ?=-?A a a A
证：(1) ()()()T T T T ji i j k k ji i k jkn n A a A a e -?=-??=-?A a e e e e e ()T ji k jkn i n jn k jki i n A a e A a e =-?=-?e e e e k k jn j n a A =??=?a A e e e 。
(2) ()()()T T T T i i kj j k kj i ijn n k a A A a e -?=-??=-?a A e e e e e ()nj i ijk n k nj n i jik k A a e A a e =-?=?e e e e
nj n j i i A a =??=?A a e e e
2.10已知张量T 具有矩阵
123[]456789=??
??????
T
求T 的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量。
解：T 的对称部分具有矩阵
1351
([][])3572579T +=??
????
??
T T ，
T 的反对称部分具有矩阵
0121
([][])1012210T ---=-??
??????
T T 。
和反对称部分对应的轴向矢量为 1232=-+ωe e e 。
2.11已知二阶张量T 的矩阵为
310[]130001-=-????????
T
求T 的特征值和特征矢量。
解：23101
30(1)[(3)1]00
1λλλλλ
----=---=-
由上式解得三个特征值为14λ=，22λ=，31λ=。
将求出的特征值代入书中的式(2.44),并利用式(2.45)，可以求出三个特征矢量为
4
112)=
-a e
，12)=
a e +e ，33=a e 。
2.12求下列两个二阶张量的特征值和特征矢量：
αβ=+?A I m m ，=?+?B m n n m
其中，α和β是实数，m 和n 是两个相互垂直的单位矢量。 解：因为
()()αβαβ?=+??=+A m I m m m m ，
所以m 是A 的特征矢量，αβ+ 是和其对应的特征值。设a 是和m 垂直的任意单位矢量，则有
αβα?=+??=A a I m m a a
所以和m 垂直的任意单位矢量都是A 的特征矢量，相应的特征值为α，显然α是特征方程的重根。 令
2)-m n e
，3)=
+m n e ，123?e =e e
则有
23)2=
m e +e
，23)2
-n e +e 上面定义的i e 是相互垂直的单位矢量。张量B 可以表示成
1122330=?-??B e e e e +e e
所以，三个特征值是1、0和－1，对应的特征矢量是3e 、1e 和2e 。
2.13设a 和b 是矢量，证明：
(1)2()()????=???-?a a a
(2)()()()()()???=??-??+??-??a b b a a b a b b a
证：(1) 这一等式的证明过程和书中证明式(2.14)的过程相同，在此略。 (2) ()()()j j k k j k jkm m i
i
i
i a b a b e x x ???????=??=?a b e e e e e
,,,,()()()j i k j k i jkm imn n j i k j k i jn ki ji kn n a b a b e e a b a b δδδδ=+=+-e e ,,,,j i i j j i i j j j k k i k i k a b a b a b a b =+--e e e e ()()()()=??-??+??-??b a a b a b b a
2.14设2321232x yz xz xz =-+a e e e ，求1
()2
=
?-?w a a 及其轴向矢量。
5
解：12
()=?-?w a a 23223211213212
[(2)()(2)x z z x y z z x z =+?+-?-+?e e e e e e 22222331326()6]xz z x y xz -?+-?+?e e e e e e 由上式很容易得到轴向矢量，也可以按下面的方法计算轴向矢量 222321112322[6()(2)]xz x y z z x z =??=+--+ωa e e e 。
2.15设S 是一闭曲面，r 是从原点O 到任意一点的矢径，试证明：
(1)若原点O 在S 的外面，积分
30S
dS r ?=?n r
；
(2)若原点O 在S 的内部，积分34S
dS r π?=?n r
。
证：(1)当0r ≠时，有 33
(
)()0i
i x r x r ???==?r (b) 因为原点在S 的外面，上式在S 所围的区域V 中处处成立，所以由高斯公式得
33
()0S
V
dS dv r r ?=??=?
?n r r
。 (2)因为原点在S 的内部，所以必定存在一个以原点为球心、半径为a 的球面S '完全在S 的内部。用V 表示由S 和S '所围的区域，在V 中式(b)成立，所以
3333()0S S
S
S
V
dS dS dS dV r r r r ''
+???=+=??=?
???n r n r n r r
即
33S
S
dS dS r r '
??=-??n r n r
在S '上，r a =，/a =-n r ，于是 332211
4S
S
S
S
dS dS dS dS r r a a π'''
??=-===?
???n r n r 。
2.16设123(2)y x xz xy =+--f e e e ，试计算积分()S
dS ????f n 。式中S 是球面
2222x y z a ++=在xy 平面的上面部分.
解：用c 表示圆222x y a +=，即球面2222x y z a ++=和xy 平面的交线。由Stokes
公式得
6 ()0S
c
c
dS d ydx xdy ???=?=+=???f n f r 。
第三章
3.1设r 是矢径、u 是位移，=+r
r u 。求d d r r ，并证明：当,1i j u <<时，d d r
r
是一个可逆 的二阶张量。 解：d d d d d d =+=+?r
r u I u r r r
d d =+?r
I u r
的行列式就是书中的式(3.2)，当,1i j u <<时，这一行列式大于零，所以d d r r
可逆。
3.2设位移场为=?u A r ，这里的A 是二阶常张量，即A 和r 无关。求应变张量ε、反对
称张量()/2=?-?Ωu u 及其轴向矢量ω。 解：?=u A ，1()2T =+εA A ，1
()2
T =-ΩA A ， 1122i jk j k l l i
A x x ?
?=??=???ωu e e e e 111
222
jk ijm m k il l jk ijm m ki ji ijm m A e A e A e δδ=?==?e e e e e
3.3设位移场为=?u A r ，这里的A 是二阶常张量，且,1i j u 。请证明： (1)变形前的直线在变形后仍为直线；
(2)变形前的平面在变形后仍然是一个平面；
(3)变形前的两个平行平面在变形后仍为两个平行的平面。 证：(1)方向和矢量a 相同且过矢径为0r 的点的直线方程可以写成
0t =+r a r (1) 其中t 是可变的参数。变形后的矢径为
()=+=+?=+?r
r u r A r I A r (2) 用+I A 点积式(1)的两边，并利用式(2),得
0()()t =+++??r
I A a I A r 上式也是直线方程，所表示的直线和矢量()+?I A a 平行，过矢径为0()+?I A r 的点。所以变形前的直线变形后仍然是直线。
7
(2)因为,1i j u ，所以+I A 可逆。记1()-=+B I A ，则
1()-=+=??r I A r
B r (3) 变形前任意一个平面的方程可以表示成
c ?=a r (4) 其中a 是和平面垂直的一个常矢量，c 是常数。将式(3)代入式(4)，得
()c ??=a B r
(5) 上式表示的是和矢量?a B 垂直的平面。所以变形前的平面在变形后仍然是平面。
(3)变形前两个平行的平面可以表示成 1c ?=a r ，2c ?=a r 变形后变成
1()c ??=a B r
，2()c ??=a B r 仍是两个平行的平面。
3.4在某点附近，若能确定任意微线段的长度变化，试问是否能确定任意两条微线段之间
夹角的变化；反之，若能确定某点附近任意两条微线段之间的夹角变化，试问能否确定任意微线段的长度变化。 答案：能；能。
3.5设位移场为=?u A r ，其中A 是二阶常张量，n 和m 是两个单位矢量，它们之间的夹
角为θ。求变形后θ的减小量。 解：n 和m 方向的正应变分别为 n ε=??n εn ，m ε=??m εm
用n ε和m ε代替式(3.11)中的1ε和2ε，经整理，得θ的减小量θ?为 2
ctg ()sin θθθ
?=
??-??+??n εm n εn m εm 又()/2T =+εA A ，所以 1
()ctg ()sin T θθθ
?=
?+?-??+??n A A m n A n m A m 。
3.6设n 和m 是两个单位矢量，d dr =r n 和r δδ=r m 是两个微小的矢量，变形前它们
所张的平行四边形面积为A d δ=?r r ，试用应变张量把变形时它的面积变化率/A A ?表示出来，其中A ?是面积变形前后的改变量。 解：变形后，d r 和δr 变成
d d d d =+?+?r
r εr ωr ，δδδδ=+?+?r r εr ωr 对上面两式进行叉积，并略去高阶小量，得
d d d d δδδεδ?=?+??+??r
r r r r εr r r 对上式两边进行自身点积，略去高阶小量，得
8
()()d d δδ???r
r r r ()()2()()2()(d d d d d d δδδδεδδ=???+??
??+????r r r r r εr r r r r r r
(a) 注意到
22()()()2()d d A A A A A δδ???=+?≈+?r
r r r 2()()d d A
δδ???=r r r r 所以，从式(a)可得
()()()()()()
d d d d A A d d δδδδδδ????+
?????=
???r εr r r r εr r r r r r r ()()()()
()()
????+????=???n εm n m n εm n m n m n m
利用习题2.4中的等式，上式也可写成
22()()1()
A A ??-
???+??=-??n εn n εm n m m εm n m
3.7设在一个确定的坐标系中的应变分量为ij ε，让坐标系绕z 轴转动θ角，得一个新的坐
标系，求在新坐标系中的应变分量。 解：11cos βθ'=，12sin βθ'=，130β'=， 21sin βθ'=-，22cos βθ'=，230β'=， 310β'=，320β'=，331β'=。 cos 2sin 22
2
x y
x y
x xy εεεεεθεθ'+-=++， cos 2sin 222
x y
x y
y xy εεεεεθεθ'+-=
-
-，
sin 2cos 22
x y
x y xy εεεθεθ''-=-
+，
cos sin x z xz yz εεθεθ''=+，
sin cos y z xz yz εεθεθ''=-+，z z εε'=
3.8在Oxy 平面上，O a 、O b 、O c 和x 轴正方
向之间的夹角分别为0 、60 、120 ，如图
3.9所示，这三个方向的正应变分别为a ε、
b ε和
c ε。求平面上任意方向的相对伸长度n ε。 解：在Oxy 平面中，和x 方向成θ
角的方向，图3.9
9
其方向余弦为
1cos n θ=，2sin n θ=，30n = 这一方向的相对伸长度为 n ij i j n n εε=
22cos 2sin cos sin x xy y εθεθθεθ=++
cos 2sin 222
x y
x y
xy εεεεθεθ+-=
+
+
cos 2sin 2A B C θθ=++ (a) 利用上式，可得 a A B ε=+
，12b A B ε=-
，12
b A B ε=-
解之，得
3a b c
A εεε++=
，23
a b c
B εεε--=
，)3b c C εε=- 将求出的A 、B 和C 代回式(a)，得
2cos 223
3
a b c
a b c
n εεεεεεεθθ++--=
+
3.9试说明下列应变分量是否可能发生： 2x axy ε=，2y ax y ε=，z axy ε=， 22yz ay bz γ=+，22xz ax by γ=+，0xy γ=
其中a 和b 为常数。
解：如果列出的应变分量是可能的，则必须满足协调方程。将题中的应变分量代入协
调方程(3.34c)，可以发现，必须有0a b ==。所以当a 和b 不为零时，上述应变分量是不可能发生的。
3.10确定常数0A ，1A ，0B ，1B ，0C ，1C ，2C 之间的关系，使下列应变分量满足协
调方程 224401()x A A x y x y ε=++++， 224401()y B B x y x y ε=++++， 22012()xy C C xy x y C γ=+++，
0z zx zy εγγ===。
解：将所给应变分量代入协调方程，可以得到常数之间的关系如下： 14C =，1122A B C +=。
其它三个常数0A 、0B 、0C 可以是任意的。
10 3.11若物体的变形是均匀的，即应变张量和空间位置无关，试写出位移的一般表达式。 解：由于应变张量ε和空间位置无关，所以书中的式(3.36a)简化成 00000000()()()d =+?-+=+?-+-???r
r u u ωr r εr u ωr r εr r
其中0u 是任意的刚体平移，0ω是任意的角位移矢量。
3.12设x ax ε=，y by ε=，z cz ε=，0xy yz zx εεε===，其中a ，b ，c 是常量，求位
移的一般表达式。
解：所给的应变张量是，
112233ax by cz =?+?+?εe e e e e e 很容易验证0??=ε，且有 2221231231
()2
d ax dx by dy cz dz d ax by cz ε?=++=++r
e e e e e e 所以从式(3.36a),得
0000()d =+?-+??r
r u u ωr r εr
0002221231()()2d ax by cz =+?-+
++?r
r u ωr r e e e 0000
002
222221231()2
[()()()]a x x b y y c z z =+?-+-+-+-u ωr r e e e
第四章
4.1已知物体内一点的六个应力分量为：
50x a σ=，0y σ=，30z a σ=-，75yz a τ=-，80zx a τ=，50xy a τ= 试求法线方向余弦为112
n =
，122
n =
，3n =
的微分面上的总应力T 、正应力n σ和
剪应力n τ。
解：应力矢量T 的三个分量为
11106.57i i T n a σ==，228.033T a =-，318.71T a =-
总应力111.8T a =
。
正应力26.04n i i T n a σ==。
剪应力108.7n a τ。
4.2过某点有两个面，它们的法向单位矢量分别为n 和m ，在这两个面上的应力矢量分别
为1T 和2T ，试证12?=?T m T n 。
11
证：利用应力张量的对称性，可得
12()()ij i j ji i j n m n m σσ?=??===??=?T m n σm m σn T n 。证毕。
4.3某点的应力张量为
0121121
0x xy xz yx y yz y
zx zy z στττστσττσ=???????????
?????
且已知经过该点的某一平面上的应力矢量为零，求y σ及该平面的单位法向矢量。 解：设要求的单位法向矢量为i n ，则按题意有 0ij j n σ=
即
2320n n +=，1230y n n n σ++=，1220n n += (a) 上面第二式的两倍减去第一式和第三式，得 2(22)0y n σ-=
上式有两个解：20n =或1y σ=。若20n =，则代入式(a)中的三个式子，可得
1n =30n =，这是不可能的。所以必有1y σ=。将1y σ=代入式(a)，利用1i i n n =，可求得
=n
4.4基础的悬臂伸出部分具有三角柱体形状，见图4.8，下部受均匀压力作用，斜面自由，
试验证应力分量 22
(arctg )x y xy A C x x y σ=--++ 22
(arctg
)y y xy A B x
x y σ=-+
++
0z yz xz σττ===，2
22
xy y A
x y τ=-+
满足平衡方程，并根据面力边界条件确定常数
A 、
B 和
C 。
解：将题中的应力分量代入平衡方程，可知它们
满足平衡方程。
在0y =的边界上，有边界条件
0()y y q σ==-，0()0xy y τ==
O
图4.8
12 所给的应力分量xy τ自动满足上面的第二个条件。将y σ的表达式代入上面的第一个条件，得
AB q =- (1) 在上斜面上，有tg y x β=-，所以斜面上的应力分量可以简化成 (sin cos )x A C σβββ=++，(sin cos )x A B σβββ=-+，
2sin xy A τβ=-，0z yz xz σττ=== (2)
斜面上的外法向方向余弦为
1sin n β=-，2cos n β=-，30n = (3) 将式(2)和(3)代入边界条件0ij j n σ=，得 0
(sin cos )cos 0
C A AB βββββ+=--=??
? (4)
联立求解(1)和(4)，得 tg q
A ββ
=
-，tg B ββ=-，C β=-
4.5图4.9表示一三角形水坝，已求得应力分量为 x ax by σ=+，y cx dy σ=+，0z σ=， 0yz xz ττ==，xy dx ay x τγ=---
γ和1γ分别是坝身和水的比重。求常数a 、b 、c 、d ，
使上述应力分量满足边界条件。 解：在0x =的边界上，有边界条件 01()x x y σγ==-，0()0xy x τ==
将题中的应力分量代入上面两式，可解得：0a =，
1b γ=-。
在左侧的斜面上，tg x y β=，外法向方向余弦为 1cos n β=，2sin n β=-，30n =
把应力分量和上面得到的有关结果代入边界条件0ij j n σ=，可解得：
21ctg d γβγ=-，21ctg (2ctg )c βγγβ=-。
4.6物体的表面由(,,)0f x y z =确定，沿物体表面作用着与其外法向一致的分布载荷
(,,)p x y z ，试写出其边界条件。
解：物体表面上任意一点的外法向单位矢量为
图4.9
13
n 或
i f n =
按题意，边界条件为 p ?=σn n 因此
即 f p f ??=?σ
上式的指标形式为 ,,ij j i f pf σ=。
4.7如图4.10所示，半径为a 的球体，一半沉浸在密度为ρ的液体内，试写出该球的全
部边界条件。
图4.10
解：球面的外法向单位矢量为
i i
x a a =
=r n e 或 i i x n a
= 当0z ≤时，有边界条件
?=σn 0 即 ?=σr 0 或 0ij j x σ=。
当0z ≥时，球面上的压力为gz ρ，其中g 为重力加速度，边界条件为 gz σρ?=-n n 即 gz ρ?=-σr r 或 ij j i x gzx σρ=-。
4.8物体的应力状态为ij ij σσδ=，其中σ为矢径r 的函数。(1)证明物体所受的体积力是
有势力，即存在一个函数ψ，使ψ=-?f ；(2)写出物体表面上的面力表达式。 解：(1)应力场必须满足平衡方程，所以
,,i i i i σσσσ=-??=-??=-?=-=-?f σI I e e 所以，只要令ψσ=，就有ψ=-?f 。 (2)表面上的面力为
σσ=?=?=T n σn I n 或 i j T n σ=。
14 4.9已知六个应力分量ij σ中的30i σ=，求应力张量的不变量并导出主应力公式。
解：应力张量的三个不变量为：1x y I σσ=+，2
2x y xy I σστ=-，30I =。
特征方程是
3212122()0I I I I σσσσσσ-+=+=- 上式的三个根即三个主应力为0σ=和
2
x y
σσσ+=
4.10已知三个主应力为1σ、2σ和3σ，在主坐标系中取正八面体，它的每个面都为正三
角形，其法向单位矢量为
13n =
，23
n =
，33n = 求八面体各个面上的正应力0σ和剪应力0τ。 解：01231
()3
ij i j n n σσσσσ==
++， ij j i n σ=T e ，222
1232223
i i T n σσσσ++=?==T T ，
0τ。
4.11某点的应力分量为1122330σσσ===，122331σσσσ===，求： (1)
过此点法向为123)++n e e e 的面上的正应力和剪应力；
(2)主方向、主应力、最大剪应力及其方向。
解：
(1)123)ij j i n σ==
++T e e e e ，
224T σ=?=T T 。 正应力为2n σσ=?=T n 。
剪应力为0n τ=
。
由此可知，2σ
是主应力，123)=++n e e e 是和其对应的主方向。
(2)用λ表示主应力，则
15
2()(2)0λσσ
σ
λσλσλσσ
σλ
--=-+-=- 所以，三个主应力是12σσ=，23σσσ==-。由上面的结论可知，和1σ对应的主
方向是n ，又因为23σσσ==-是重根，所以和n 垂直的任何方向都是主方向。
第五章
5.1把线性各向同性弹性体的应变用应力表示为ij ijkl kl C εσ=，试写出柔度系数张量ijkl C 的
具体表达式。 解：11[()]2ij ij kk ij ik jl il jk ij kl kl E E E E
νννν
εσσδδδδδδδσ++=-=+- 所以 1[
()]2ik jl il jk ij kl ijkl C E E
νν
δδδδδδ+=+-。
5.2橡皮立方块放在同样大小的铁盒内，在上面用铁盖封闭，铁盖上受均布压力q 作用，
如图5.2所示。设铁盒和铁盖可以作为刚体看待，而且橡皮与铁盒之间无摩擦力。试求铁盒内侧面所受的压力、橡皮块的体积应变和橡皮中的最大剪应力。
图
5.2
解：取压力q 的方向为z 的方向，和其垂直的两个相互垂直的方向为x 、y 的方向。
按题意有
z q σ=-，0x y εε==，x y p σσ==- 由胡克定律得
11
[()][(1)]0x x y z p q E E
εσνσσνν=
-+=-+= 所以盒内侧面的压力为
16 1p q ν
ν
=
- 体积应变为
2(21)(1)121
[()](1)(1)
ii z z x y v q q E E E νννθεεσνσσνν-++-===-+==-- 最大剪应力为
max 122
2(1)
z x
q σσν
τν--=
=
-。
5.3证明：对线性各向同性的弹性体来说，应力主方向与应变主方向是一致的。非各向同
性体是否具有这样的性质？试举例说明。 解：对各向同性材料，设i n 是应力的主方向，σ是相应的主应力，则
ij j i n n σσ= (1) 各向同性的胡克定律是 2ij ij ij σλθδμε=+
将上式代入式(1)，得2i ij j i n n n λθμεσ+=，即 1
()2ij j i n n εσλθμ
=
- 由此可知，i n 也是应变的主方向。类似地可证，应变主方向也是应力主方向。因此，
应力主方向和应变主方向一致。
下面假定材料性质具有一个对称面。设所取的坐标系是应变主坐标系，且材料性
质关于Oxy 平面对称。因为0xy γ=，所以从式(5.14)得 414243xy x y z C C C τεεε=++
若应变主坐标系也是应力主坐标系，则0xy τ=，即 4142430x y z C C C εεε++=
上式只能在特殊的应变状态下才能成立。总之，对各向异性材料，应力主方向和应变
主方向不一定相同。
5.4对各向同性材料，试写出应力不变量和应变不变量之间的关系。 解：由式(5.17)可得主应力和主应变之间的关系
2i i σλθμε=+ (1) 从上式得
11(32)(32)ii I J σλμθλμ=Θ==+=+ (2) 2122331I σσσσσσ=++
17
122331(2)(2)(2)(2)(2)(2)μελθμελθμελθμελθμελθμελθ=++++++++ 2212(34)4J J λμλμ=++ （3） 3123123(2)(2)(2)I σσσλθμελθμελθμε==+++
23231123(2)48J J J J λλμμλμ=+++ (4)
式(2)、(3)、(4)就是用应变不变量表示应力不变量的关系。也容易得到用应力不变量
表示应变不变量的关系。
第六章
6.1为什么同时以应力、应变和位移15个量作未知函数求解时，应变协调方程是自动满足
的？
解：因为应变和位移满足几何方程，所以应变协调方程自动满足。
6.2设
2122()f g y g A B α=?-+?+??+u e e e
其中f 、g 、A 、B 为调和函数，问常数α为何值时，上述的u 为无体力弹性力学
的位移场。 解：11,1,1()()0k
i
k
i i j j ij ji k
i
k
A A A e A e x x x ?????????=?===???e e e e e e
同理2()0B ???=?e 。
由上面两式及f 和g 是调和函数可得 ,2(1)g θα=?=-?u
,2(1)g θα?=-? (1) 因f 、g 、A 、B 为调和函数，所以
2,22g ?=?u (2) 将式(1)、(2)代入无体力的Lamé-Navier 方程，得 ,2[()(1)2]0g λμαμ+-+?= 上式成立的条件是 ()(1)20λμαμ+-+= 即 3λμ
αλμ
+=
+。
6.3已知弹性体的应力场为
18 2x x σ=，2y y x σ=+，22xy x y τ=--，0zx zy ττ==，2z z σ=-。
(1) 求此弹性力学问题的体力场；
(2) 本题所给应力分量是否为弹性力学问题的应力场。
解：(1)将所给的应力分量代入平衡方程，就可以得到体力场为32=f e 。
(2)所给的应力分量和已求出的体积力满足Beltrami-Michell 应力协调方程，所以给出的应力分量是弹性力学问题的应力场。
6.4证明下述Betti 互易公式
i
i
i
i
i
i
i
i
S
V
S
V
T u dS f u dV T u dS f u dV
+=+????
，
其中i T 、i f 、i u 和i T 、i
f 、i u 分别为同一弹性体上的两组面力、体力和位移。 证：利用平衡方程、几何方程和弹性模量张量的对称性，可得
i
i
i
i
ij
j i i i S
V
S
V
T u dS f u dV n u
dS f u dV σ
+=+???? ,,,()()ij j i ij i j i i ij j i i ij ij V
V
V
V
u
u f u dV f u dV dV σσσσε=++=++???? ij ij ijkl kl ij klij ij kl kl kl V
V
V
V
dV E dV E dV dV σεεεεεσ
ε====???? ,,,[()]ij i j ij i j ij j i ij j i i i V
V
S
V
u dV u u dV n u dS f u dV σσσσ==-=+????
i i i i S
V
T u dS f u dV =+?? 。 证毕。
6.5如果体积力为零，试验证下述(Papkovich-Neuber)位移满足平衡方程
01
()4(1)
P ν=-
?+-?u p p r
其中2?=p 0，200P ?=。
证：无体力的Lam é-Navier 方程为
2()()λμμ+??+?=?u u 0 又
1
12λμμν
+=-，所以Lam é-Navier 方程可以写成 21
()12ν
?+
??=-?u u 0 将所给的位移代入上式的左边，并利用22()2?=?+????r p p r p ，可得
19
0222211
()()122(12)
νν??+
??=-??+?--??u u p p r p 因为p 和0p 是调和的，所以上式为零，即所给位移满足平衡方程。
6.6设有受纯弯的等截面直杆，取杆的形心轴为x 轴，弯矩所在的主平面为Oxy 平面。试
证下述位移分量是该问题的解
0y z M
u xy z y u EI ωω=
+-+ 2220()2z x M
v x y z x z v EI ννωω=-+-+-+
0x y M
w yz y x w EI
νωω=-+-+。
提示：在杆的端面上，按圣维南原理，已知面力的边界条件可以放松为 0x A
dA σ=?，0x A
zdA σ=?，x A
ydA M σ=?
其中A 是杆的横截面。
证：容易验证所给的位移分量满足无体力时的Lamé-Navier 方程。用所给的位移可以
求出应变，然后用胡克定律可以求出应力： x M y
I
σ=
，其它应力分量为零。 (a) 上述应力分量满足杆侧面无面力的边界条件。杆端面的边界条件为 0x z y z
ττ
==，0x A
dA σ=?，0x A
zdA σ=?，x A
ydA M σ=?
式(a)表示的应力分量满足上述端面条件。所以，所给的位移分量是受纯弯直杆的解。
6.7图6.6表示一矩形板，一对边均匀受拉，另一对边均匀受压，求应力和位移。
q 1
2
图6.6
解：显然板中的应力状态是均匀的。容易验证下述应力分量
20 1x q σ=，2y q σ=-，0z xy yz zx στττ====
满足平衡方程、协调方程和边界条件，即是本问题的解。由胡克定律可求得应变为
12112122123
3
11()()()q q q q q q E E E
ν
νν=
+?-+?--?εe e e e e e 利用题3.11的结果，可求得位移为
00012
01
2102
12
03
1()()()
1()()()()
q q x x E
q q y y q q z z E E
νν
ν=+?-++--+----u u ωr r e e e
6.8弹性半空间0z ≥，比重为γ，边界0z =上作用有均布压力q ，设在z h =处0w =，求位移和应力。
解：由问题的对称性，可以假设 0u v ==，()w w z =
把上述位移分量代入Lam é-Navier 方程，可以发现有两个自动满足，余下的一个变成
222d w dz γλμ=-+ 解之得
22(2)
w z A z B γ
λμ=-
+++
其中的A 、B 是待定常数。由已知条件得 2()02(2)
w h h Ah B γ
λμ=-++=+ 所以 22(2)
B h A h γ
λμ=-+
22)()2(2)
(w h A z h z γ
λμ=-
+-+-
应力分量为 []2x y dw
z A dz γσσλ
λλμ
===-++，(2)
(2)[]2z dw
z A dz γσλμλμλμ
=+=+-++，0xy yz zx τττ===。 在0z =边界上的边界条件为：10T =，20T =，3T q =。前两个条件自动满足，最后
一个成为
弹性力学基础知识归
一.填空题 1.最小势能原理等价于平衡微分方程和应力边界条件 2.—组可能的应力分量应满足平衡微分方程和相容方程。 二.简答题 1.简述圣维南原理并说明它在弹性力学中的作用。 如果把物体一小部分边界上的面力变换为分布不同但是静力等效的面力(主矢和主矩相同)，则近处的应力分布将有显著改变，远处所受的影响则忽略不计。 作用；(1)将次要边界上复杂的集中力或者力偶变换成为简单的分布的面力。 (2)将次要的位移边界条件做应力边界条件处理。 2.写出弹性力学的平面问题的基本方程。应用这些方程时，应注意什么问题？ (1).平衡微分方程：决定应力分量的问题是超静定的。 (2).物理方程：平面应力问题和应变问题的物理方程是不一样的，注意转换。 (3).几何方程：注意物体的位移分量完全确定时，形变分量也完全确定。但是形变分量完全确定时，位移分量不完全确定。 3.按照边界条件的不同，弹性力学分为哪几类边界问题？应力边界条件，位移边界条件和混合边界条件。
4.弹性体任意一点的应力状态由几个分量决定？如何确定他们的正负号？ 由六个分量决定。在确定方向的时候，正面上的应力沿正方向为正，负方向为负。负面上的应力沿负方向为正，正方向为负。5.什么叫平面应力问题和平面应变问题？举出工程实例。 平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。例如工程中的深梁和平板坝的平板支墩。 平面应变问题是指很长的柱形体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也不沿长度变化。例如 6.弹性力学中的基本假定有哪几个？什么是理想弹性体？举例说明。 （1 ）完全弹性假定。 （2）均匀性假定。 （3）连续性假定。 （4 ）各向同性假定。 （5）小变形假定。 满足完全弹性假定，均匀性假定，连续性假定和各向同性假定的是理想弹性体。一般混凝土构件和一般土质地基可以看做为理想
程稼夫电磁学篇第一章《静电场》课后习题 1-1设两个小球所带净电荷为q，距离为l，由库仑定律： 由题目，设小球质量m，铜的摩尔质量M，则有： 算得 1-2 取一小段电荷，其对应的圆心角为dθ： 这一小段电荷受力平衡，列竖直方向平衡方程，设张力增量为T： 解得 1-3（1）设地月距离R，电场力和万有引力抵消： 解得： （2）地球分到，月球分到，电场力和万有引力抵消： 解得：
1-4 设向上位移为x，则有： 结合牛顿第二定律以及略去高次项有： 1-5由于电荷受二力而平衡，故三个电荷共线且q3在q1和q2之间： 先由库仑定律写出静电力标量式： 有几何关系： 联立解得 由库仑定律矢量式得： 解得 1-6（1）对一个正电荷，受力平衡：
解得，显然不可能同时满足负电荷的平衡 （2）对一个负电荷，合外力提供向心力： 解得 1-7（1）设P限制在沿X轴夹角为θ的，过原点的直线上运动（θ∈[0,π)），沿着光滑直线位移x，势 能： 对势能求导得到受力： 小量近似，略去高阶量： 当q＞0时，；当q＜0时， （2）由上知 1-8设q位移x，势能： 对势能求导得到受力： 小量展开有：，知
1-9（1）对q受力平衡，设其横坐标的值为l0：，解得 设它在平衡位置移动一个小位移x，有： 小量展开化简有： 受力指向平衡位置，微小谐振周期 （2） 1-10 1-11 先证明，如图所示，带相同线电荷密度λ的圆弧2和直线1在OO处产生的电场强度相等.取和θ. 有： 显然两个电场强度相等，由于每一对微元都相等，所以总体产生的电场相等. 利用这一引理，可知题文中三角形在内心处产生的电场等价于三角形内切圆环在内心处产生的电场.由对称性，这一电场强度大小为0. 1-12（1）
基本概念： （1） 面力、体力与应力、应变、位移的概念及正负号规定 （2） 切应力互等定理： 作用在两个互相垂直的面上，并且垂直于改两面交线的切应力是互等的（大小相等，正负号也相同）。 （3） 弹性力学的基本假定： 连续性、完全弹性、均匀性、各向同性和小变形。 （4） 平面应力与平面应变； 设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力或约束。同时，体力也平行与板面并且不沿厚度方向变化。这时， 0,0,0z zx zy σττ===，由切应力互等，0,0,0z xz yz σττ===，这样只剩下平行于xy 面的三个平面应力分量，即,,x y xy yx σσττ=，所以这种问题称为平面应力问题。 设有很长的柱形体，它的横截面不沿长度变化，在柱面上受有平行于横截面且不沿长度变化的面力或约束，同时，体力也平行于横截面且不沿长度变化，由对称性可知，0,0zx zy ττ==，根据切应力互等，0,0xz yz ττ==。由胡克定律， 0,0zx zy γγ==，又由于z 方向的位移w 处处为零，即0z ε=。因此，只剩下平行于xy 面的三个应变分量，即,,x y xy εεγ，所以这种问题习惯上称为平面应变问题。 （5） 一点的应力状态； 过一个点所有平面上应力情况的集合，称为一点的应力状态。 （6） 圣维南原理；（提边界条件） 如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主失相同，主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处
所受到的影响可以忽略不计。 （7） 轴对称； 在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。 一、 平衡微分方程： (1) 平面问题的平衡微分方程； 00yx x x xy y y f x y f x y τστσ??++=????++=??（记） (2) 平面问题的平衡微分方程（极坐标）； 10210f f ρρ?ρ? ρ?ρ?ρ? ??σ?τσσ?ρρ??ρ ?σ?ττρ???ρρ -+++=+++= 1、平衡方程仅反映物体部的平衡，当应力分量满足平衡方程，则物体部是平衡的。 2、平衡方程也反映了应力分量与体力（自重或惯性力）的关系。 二、 几何方程； （1） 平面问题的几何方程； x y xy u x v y v u x y εεγ?= ??=???=+ ??（记） （2） 平面问题的几何方程（极坐标）；
弹性力学基本知识考试必备 一、 基本概念： （1） 面力、体力与应力、应变、位移的概念及正负号规定 （2） 切应力互等定理： 作用在两个互相垂直的面上，并且垂直于改两面交线的切应力是互等的（大小相等，正负号也相同）。 （3） 弹性力学的基本假定： 连续性、完全弹性、均匀性、各向同性和小变形。 （4） 平面应力与平面应变； 设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力或约束。同时，体力也平行与板面并且不沿厚度方向变化。这时，0,0,0z zx zy σττ===，由切应力互等，0,0,0z xz yz σττ===，这样只剩下平行于xy 面的三个平面应力分量，即,,x y xy yx σσττ=，所以这种问题称为平面应力问题。 设有很长的柱形体，它的横截面不沿长度变化，在柱面上受有平行于横截面且不沿长度变化的面力或约束，同时，体力也平行于横截面且不沿长度变化，由对称性可知，0,0zx zy ττ==，根据切应力互等，0,0xz yz ττ==。由胡克定律，0,0zx zy γγ==，又由于z 方向的位移w 处处为零，即0z ε=。因此，只剩下平行于xy 面的三个应变分量，即,,x y xy εεγ，所以这种问题习惯上称为平面应变 问题。
（5）一点的应力状态； 过一个点所有平面上应力情况的集合，称为一点的应力状态。 （6）圣维南原理；（提边界条件） 如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主失相同，主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受到的影响可以忽略不计。（7）差分法的基本概念： 是微分方程的近似解法，具体的讲，差分法就是把微分用差分来代替，把导数用差分商来代替，从而把基本方程和边界条件（微分方程）近似用差分方程来表示，把求解微分方程的问题变成求解代数方程问题。 （8）极小势能原理： 在给定外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移中间，实际存在的一组位移应使总势能成为极值，对于稳定平衡状态，这个值是极小值。 （9）轴对称； 在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。
3-10 【题目】一质子在某区域中做直线运动，该区域中有互相垂直的匀强电场和匀强磁场：4.0kV/m E =和50mT B =．质子的轨迹在xz 平面内，且与x 轴成30?=?角，如图所示．求撤去电场后，质子做螺旋运动的螺距（单位：cm ）． 【难度】 0 【分析】 先考虑粒子做匀速运动的状态，需要让洛仑兹力平衡电场力，这样计算出速度。去掉电场后，在沿着磁场方向粒子做匀速运动，在垂直于磁场方向做圆周运动。 【解答】 因为E 垂直于xz 平面而质子轨迹在xz 平面内，所以质子的动能守恒。因为洛伦兹力也垂直于xz 平面，所以粒子匀速运动，且洛伦兹力与电场力平衡： cos qE qBv ?= 解得cos E v B ? = 。 撤去电场后，质子运动在垂直于平面内的投影是匀速圆周运动： 2m r qB r ωω= 解得22m T qB ππω = = 而在沿B 方向匀速运动，故螺距为2 2tan sin 6.1mE h Tv cm qB π? ?=== 【答案】 6.1 3-11 【题目】 一束质子流(不考虑相对论效应)，不偏离地通过某一区域后击中接地的靶子．这个区域中有均匀的互相垂直的横向电场和磁场：120kV/m E =，50mT B =．如果质子束的电流强度为mA I =0.80，求作用在靶子上的力（单位：μΝ）． 【难度】 0 【分析】
粒子能在垂直的电场和磁场中沿直线运动，说明粒子受到的洛仑兹力和电场力平衡。这样能确定粒子在垂直于磁场方向的速度。已知电场和磁场都是横向的，即垂直于质子束的，即可由动量定理求出作用力。 【解答】 如图，速度方向、电场方向和磁场方向两两垂直，洛伦兹力与电场力平衡 qE qvB = 得E v B = 取一小段时间dt ，这期间冲到靶上的粒子的电量为 Idt 。这些粒子的质量为 m Idt e 。由动量定理 0m Fdt v Idt e =- 其中F 是质子束受到的力。作用在靶上的力是它的反作用力 '20μΝmIv mIE F F e eB =-= == 【答案】 20 3-12 【题目】一荷质比为/q m 的粒子以初速0v 从坐标的原点O 沿x 轴飞出，坐标所在区域有均匀的电场E 和磁场B ，它们的方向都和y 轴平行，如图所示．不考虑相对论效应，求： （1）当粒子第n 次穿过y 轴时，它的坐标n y （2）这时粒子的速度矢量和y 轴的夹角α． 【难度】 0 【分析】 沿磁场方向粒子做匀加速直线运动，在垂直于磁场方向粒子做匀速圆周运动。 【解答】 （1）在垂直于磁场方向粒子做匀速圆周运动，动力学方程 2m r qB r ωω= 解得2m T qB π= 。 沿磁场方向粒子做匀加速直线运动，动力学方程
竞赛模拟题 1. 如右图所示，平行四边形机械中，121211 22 O A O B O O AB l == ==，已知O 1A 以匀角速度ω转动，并通过AB 上套筒C 带动CD 杆在铅垂槽内平动。如以O 1A 杆为动参照系， 在图示位置时，O 1A 、O 2B 为铅垂，AB 为水平，C 在AB 之中点，试分析此瞬时套筒上销钉C 点的运动，试求：（1）C 点的牵连速度的大小V e ；（2）C 点的相对速度的大小V r ；（3）C 点的牵连加速度的大小a e ；(4) C 点的相对加速度的大小a r ；（提示：C 点绝对加 速度a e r c a a a a =++ ） （5）C 点的科里奥利加速度的大小a c ；（提示：2c r a v ω=? ） 2. 如右图所示，水平面内光滑直角槽中有两个质量均为m 的滑块A 和B ，它们由长为L 的 轻刚性杆铰链连接，初始静止，OAB α∠=，今在OA 方向给滑块A 作用一冲量I ，证 明：经过时间2sin ml t I πα = 后，A 和B 回到他们的初始状态。又证明：杆中张力在整个运 动期间保持常值，并求出它的大小。 3. 如右图所示，气枪有一气室V 及直径3mm 的球形钢弹B ，气室中空气的初态为900kP a 、 21C ? ，当阀门迅速打开时，气室中的气体压力使钢弹飞离枪管，若要求钢弹离开枪管 时有100m/s 的速度，问最小容积V 及枪管长度L 应为多少？已知空气C v =0.716kJ/(kg.k)，R 空气 =0.287kJ/(kg.k)，大气压P b =100kP a ，钢的密度3 7770/kg m ρ=。设枪管内径也为
《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟） 一、填空题（每小题4分） 1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。 2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。 3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D =?? 2?的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩 M 。 4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数?在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力 的矩 。 5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为： 0,=+i j ij X σ ，)(2 1,,i j j i ij u u +=ε。 二、简述题（每小题6分） 1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。 圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。 作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。 （2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。 2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数?的分离变量形式。 题二（2）图 （a ）???=++= )(),(),(222θθ??f r r cy bxy ax y x （b ）???=+++= )(),(),(3 3223θθ??f r r dy cxy y bx ax y x 3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。试 求薄板面积的改变量S ?。 题二（3）图
电磁学 静电学 1、 静电场的性质 静电场是一个保守场，也是一个有源场。 F dl o ?=? 高斯定理 静电力环路积分等于零 i o s q E ds E ?= ∑?? i v q dv ρ?? → ??? ∑??? 电场强度与电势是描述同一静电场的两种办法，两者有联系 b a b a qE d r w w ?=-∑ a b E dr U U ?=-∑ ① 过程 E dr dU ?=- 一维情况下 x dU E dx dx =- x dU E dx =- ② 2、 几个对称性的电场 （1） 球对称的电场
3 334 2 o 143o R r R E r E r πρρπ??= ??? 例:一半径为1R 的球体均匀带电,体电荷密度为ρ,球内有一半径为2R 的小球形空腔,空腔中心与与球心相距为a ,如图 (1) 求空腔中心处的电场E (2) 求空腔中心处的电势U 解:(1)在空腔中任选一点p , p E 可以看成两个均匀带电球体产生的电场强度之 差, 即 ()121 2 333p o o o E r r r r E E E ρ ρ ρ =- = - 令12a o o = 3p o E a E ρ = 这个与p 在空腔中位置无关,所以空腔中心处23o o E a E ρ = (2)求空腔中心处的电势 电势也满足叠加原理 p U 可以看成两个均匀带电球体产生电势之差 即 ()()()22222 2212123303666o o o o U R a R R R a E E E ρ ρ ρ??= -- -= --? ? 假设上面球面上,有两个无限小面原i j s s ,计算i s ,受到除了i s 上电 荷之处,球面上其它电荷对i s 的静电力,这个静电力包含了j s 上电荷对i s 上电荷的作用力. 同样j s 受到除了i s 上电荷以外,球面上其它电荷对j s 上电荷的作用力,
弹性理论基础 产生弹性形变的介质叫弹性介质。 （一）各向同性介质和各向异性介质 对弹性介质，如果沿不同方向测定的物理性质均相同，称各向同性介质，否则是各向异性介质。 （二）均匀介质、层状介质 若介质的弹性性质不仅与测定方向无关，而且与坐标位置无关，就称为均匀介质；非均匀介质中，介质的性质表现出成层性，称这种介质为层状介质；其中每一层是均匀介质；不同介质层的分界处称界面（平面或曲面）；两个界面之间的间隔称为该层的厚度。 （三）连续介质 将速度v是空间连续变化函数的介质定义为连续介质。连续介质是层状介质的一种极限情况。即当层状介质的层数无限增加，每层厚度无限减小，层状介质就过渡为连续介质，如 v=v0 (1+bz)叫线性连续介质。 （四）单相介质和双相介质 只考虑单一相态的介质称单相介质，由两种相态组成例如一种是固相一种是流相的，称为双相介质。 二、弹性模量 （一）应力与应变 1.应力：弹性体受力后产生的恢复原来形状的内力称内应力，简称为应力。应力和外力相抗衡，阻止弹性体的形变。对于一个均匀各向同性的弹性圆柱体，设作用于s面上的法向应力为N，若力f在s面上均匀分布，则应力pn定义为 Pn=f/s ，若外力f非均匀分布，则可以取一小面元△S,作用于小面元上的力为△f，则应力定义为（lim(△f/△S)）。因此应力的数学定义为：单位横截面上所产生的内聚力称为内力。根据力的分解定理，可以将力分解成垂直于单元面积的应力—法向应力（正应力）；相切于单元面积的应力—切向应力（剪切应力）。 2.应变：物理定义：弹性体受应力作用，产生的体积和形状的变化称为应变。只发生体积变化而形状不变的应变称正应变；反之，只发生形状变化的应变称切应变。数学定义：弹性理论中，将单位长度所产生的形变称应变。 3.应力与应变的关系：应力与应变成正比关系的物体叫完全弹性体，虎克定律表示了应力与应变之间的线性关系。对于一维弹性体，虎克定律为： F=kx； F: 外力； x: 形变； k: 弹性系数。对于三维弹性体，用广义虎克定律表示应力与应变之间的关系。
固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其他外界因素作用下产生的变形和内力，又称弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。 弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。 人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17世纪开始的。 弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。连续变形规律是指弹性力学在考虑物体的变形时，只考虑经过连续变形后仍为连续的物体，如果物体中本来就有裂纹，则只考虑裂纹不扩展的情况。这里主要使用数学中的几何方程和位移边界条件等方面的知识。
弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动（或平衡）规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。 ①变形连续规律弹性力学（和刚体的力学理论不同）考虑到物体的变形，但只限于考虑原来连续、变形后仍为连续的物体，在变形过程中，物体不产生新的不连续面。如果物体中本来就有裂纹，则弹性力学只考虑裂纹不扩展的情况。 反映变形连续规律的数学方程有两类：几何方程和位移边界条件。几何方程反映应变和位移的联系，它的力学含义是，应变完全由连续的位移所引起，
【此贴一出再无神贴】全！物理竞赛必修指导及推荐教材下载（蔡子星） 结合这么几年带物理竞赛的经验和自身当年竞赛的心得给出竞赛初学者的必读书目。当然啦，说是必读，如果能有类似的书替换也没有任何问题。只不过在浩如烟海的竞赛书籍中，缺的不是书，而是对书的挑选。所以下面分四个难度级别向大家提供高中物理竞赛详细培养计划 【初入殿堂篇】初赛及初赛前的准备 【强化学员篇】复赛难度 【难度补全篇】决赛难度 【究极领域篇】国家队及以上 第一阶段【初入殿堂篇】 难度：初赛；使用：选择新概念读本+任意一本；目标：决定是否开始往下看；《新概念:高中物理读本》by 赵凯华 第一册： 第二册： 第三册： 范晓辉“黑白书” 费曼第一册 北京市高中力学竞赛试题答案汇编 高中物理奥赛方法 3000物理习题经解 第二阶段【强化学员篇】 难度：复赛；使用：前三个任选2个+真题；目标：搞定复赛 程稼夫系列： 《力学篇》 《电磁学篇》 《中学奥林匹克竞赛物理讲座》 《热学光学近代物理篇》 物理竞赛教程（三册） by 张大同 第一册 第二册 第三册 《高中物理竞赛培优教程》by 舒幼生 《更高更妙的物理》 《全国中学生物理竞赛1-20届力学部分》 《全国中学生物理竞赛1-20届热学、光学及近代物理部分》 《金牌之路》 by 张大同 历年预赛复赛真题 200道物理学难题 第三阶段【难度补全篇】
难度：决赛；使用：新概念物理+难题集萃+任选两本；目标：搞定决赛 《物理学难题集萃》 by 舒幼生 《新编基础物理实验》 《新概念物理系列》by 赵凯华- 《力学》 《热学》 《电磁学》 新概念物理难度分级表 高等数学（上）（下） by 李忠 上册： 下册： 历届决赛题 第四阶段【究极领域篇】 难度：国际集训队；使用：结合国培搞定四大力学；目标：为从事物理行业打基础 历届IPhO试题 历届APhO试题 《国际物理奥赛的选拔与培训》 《简明理论力学教程》by 周乐柱 《经典力学》 by 梁昆淼 《电动力学》 by 郭硕鸿 《热力学与统计物理》 by 汪志诚 《量子力学》卷I卷II by 曾谨言
国物理学会委员会会员，原中国科技大学“少年班”班主任，中国科技大学教授，物理奥林匹克竞赛国家级教练，国际中学生物理奥林匹克中国队员教练，著有《中学奥林匹克竞赛物理讲座》、《中学奥林匹克竞赛物理课程力学篇》、《中学奥林匹克竞赛物理教程电磁学篇》等物理经典教材，是目前为止最具权威和实用性的系列工具书。 就常规刷题方法啊先看知识点，所有题目第一遍全做，不会的做不对的标记，每隔固定时间回头看一遍，确保之前不会的现在会了，不会的再增加标记，会了就把标记划了。普遍来说，难度：例题＞练习＞习题，二刷可以根据自己情况结合程书难度分级。做完如果能应付难集力学了就没必要二刷了。至于题主所说的重点，简单题能做对就没必要深究了，因为新高二才开始程力算比较落后的。。难题可以多种方法结合。然后就是效率，程力属于基础的了，学完一轮应该能一个月做完吧。。。同新高二，旁边大佬都一路刷到国培了。 程稼夫的力学和电磁学是先行竞赛最典型的参考书，涵盖了几乎所有重要的经典模型。如果你初学，那应该选择一本教材，比如舒幼生的力学或者梁昆淼的力学，都是经典的教材，不过后面这本稍微难点。如果有时间，应该做它们的课后习题。尤其是舒力，你要确保会做所有不加星号的题，简单题，加星号的稍难题，也应该有一部分独立做的能力（不会，不用太纠结，可以看答案，务必之后保证独立做的能力）。我的建议力学你每题都要做（没时间可以放弃波动，程 书的波动比较水，看舒力；交流电考的概率极低，你也可以选择不做，但是学是要学的），尤其是例题！程书的例题特别有价值，实际上，
可能比习题还好，所以一定要自己做（就是不会做，看完答案能也要独立做出），这很重要！当然，竞赛还有热光原子物理，如果没有足够的时间，可以粗略的看看崔宏滨的书，做题就从下面的考试中慢慢摸索也可以。刷完之后就可以考虑做一些提高题（我不建议反复刷，那样对你效益不高），比如体选，国培，难集，苏国珍的试卷或者是培尖等机构的试卷，一定要用考试的模式！然后是模拟复赛考试，做真题，练手感和心态
弹性力学基础知识归 纳
一．填空题 1.最小势能原理等价于平衡微分方程和应力边界条件 2.一组可能的应力分量应满足平衡微分方程和相容方程。二．简答题 1.简述圣维南原理并说明它在弹性力学中的作用。 如果把物体一小部分边界上的面力变换为分布不同但是静力等效的面力（主矢和主矩相同），则近处的应力分布将有显著改变，远处所受的影响则忽略不计。 作用;(1)将次要边界上复杂的集中力或者力偶变换成为简单的分布的面力。 （2）将次要的位移边界条件做应力边界条件处理。 2.写出弹性力学的平面问题的基本方程。应用这些方程时，应注意什么问题？ (1).平衡微分方程:决定应力分量的问题是超静定的。 (2).物理方程：平面应力问题和应变问题的物理方程是不一样的，注意转换。 (3).几何方程：注意物体的位移分量完全确定时，形变分量也完全确定。但是形变分量完全确定时，位移分量不完全确定。 3.按照边界条件的不同，弹性力学分为哪几类边界问题？应力边界条件，位移边界条件和混合边界条件。
4.弹性体任意一点的应力状态由几个分量决定？如何确定他们的正负号？ 由六个分量决定。在确定方向的时候，正面上的应力沿正方向为正，负方向为负。负面上的应力沿负方向为正，正方向为负。 5.什么叫平面应力问题和平面应变问题？举出工程实例。平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。例如工程中的深梁和平板坝的平板支墩。 平面应变问题是指很长的柱形体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也不沿长度变化。例如 6.弹性力学中的基本假定有哪几个？什么是理想弹性体？举例说明。 （1）完全弹性假定。 （2）均匀性假定。 （3）连续性假定。 （4）各向同性假定。 （5）小变形假定。
一．填空题 1.最小势能原理等价于平衡微分方程和应力边界条件 2.一组可能的应力分量应满足平衡微分方程和相容方程。二．简答题 1.简述圣维南原理并说明它在弹性力学中的作用。 如果把物体一小部分边界上的面力变换为分布不同但是静力等效的面力（主矢和主矩相同），则近处的应力分布将有显著改变，远处所受的影响则忽略不计。 作用;(1)将次要边界上复杂的集中力或者力偶变换成为简单的分布的面力。 （2）将次要的位移边界条件做应力边界条件处理。 2.写出弹性力学的平面问题的基本方程。应用这些方程时，应注意什么问题？ (1).平衡微分方程:决定应力分量的问题是超静定的。 (2).物理方程：平面应力问题和应变问题的物理方程是不一样的，注意转换。 (3).几何方程：注意物体的位移分量完全确定时，形变分量也完全确定。但是形变分量完全确定时，位移分量不完全确定。 3.按照边界条件的不同，弹性力学分为哪几类边界问题？ 应力边界条件，位移边界条件和混合边界条件。 4.弹性体任意一点的应力状态由几个分量决定？如何确定他们的正负号？
由六个分量决定。在确定方向的时候，正面上的应力沿正方向为正，负方向为负。负面上的应力沿负方向为正，正方向为负。 5.什么叫平面应力问题和平面应变问题？举出工程实例。平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。例如工程中的深梁和平板坝的平板支墩。平面应变问题是指很长的柱形体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也不沿长度变化。例如 6.弹性力学中的基本假定有哪几个？什么是理想弹性体？举例说明。 （1）完全弹性假定。 （2）均匀性假定。 （3）连续性假定。 （4）各向同性假定。 （5）小变形假定。 满足完全弹性假定，均匀性假定，连续性假定和各向同性假定的是理想弹性体。一般混凝土构件和一般土质地基可以看做为理想弹性体。 7.什么是差分法？写出基本差分公式？ 差分法是把基本方程和边界条件近似地看改用差分方程（代
前言：特别感谢质心教育的题库与解析，以及“程稼夫力学、电磁学习题答案详解”的作者前辈和血色の寂宁前辈的资料. 4-1动生电动势，电路中的电流 要使功率最大，应取最小值1，即. 4-2原题图片和答案结果不符，现分两种情况： （1）按答案来： 整体绕过o点且于磁感应强度平行的轴转动
将运动分解为绕c的平动和转动，转动对电势差无贡献 4-3（1）OP电势相等时，OP速度沿磁场方向，显然当OP位于YOZ平面时，OP电势相等 （2）当OP在YOZ平面右侧即X＞0时，电势差 （3）当OP在XOZ平面第一象限时，电势差最大 4-4在任意时刻t，线圈中的电流为，则由电磁感应定律和欧姆定律得，
该式也可以由能量得到 4-5 其中后一项式中与直杆平行，当与直杆方向垂直时，电动势绝对值最大故有. 4-6对于回路有，故有 力矩平衡
故有. 4-7（1）当转轮在磁场中旋转时，每一根轮辐上的感应电动势为 四根辐条作为电源是并联的，轮子产生的感应电动势不变 （2）根据戴维宁定理，将轮子作为电源，此时将外电路断路计算等效电动势 . 4-8 式中 当转轮1和转轮2分别以ω1和ω2旋转并达到稳定时，闭合回路中感应电流为 注意，因转轮1的四根轮辐并联，总电阻为；转轮2类似，其余连接导线、电刷、轮边 缘的电阻均忽略不计.又，因转轮1和转轮2同方向旋转，ε1和ε2同方向，但在电路中的作用是彼此减弱的 稳定转动时，转轮2所受磁力矩应与阻力矩抵消.磁力矩是四轮辐所受安培力产生的力矩，
为 式中是转轮2每根轮辐中的电流.阻力矩是阻力闸提供的力矩，因阻力恒为F，故有稳定 将要向下滑动时安培力加滑动摩擦力等于重力分力 解得可变电阻最大值 匀速向上滑动时，电路中 同时杆受力平衡，有 联立解得.
程稼夫电磁学篇第二章《恒定电流》 因此两球间介质间的电阻：. 法二：设总电流为，两球心间距，一球直径对另一球球心的张角 利用电流的叠加原理，用张角为的这部分电流计算电势差： 后同法一 2-2变阻器在A位置时，焦耳热：，其中. 变阻器在中间时，焦耳热：. 代入题中数据，可得. 2-3 2-4（1）
即，在图中作出该直线，交伏安特性曲线于. 电阻R热平衡：，解得. （2），即 在图中作出该直线，交伏安特性曲线于. 即. 2-5（1）消耗的功率，不变，而随减小而增大，因而时，最大， 消耗的功率最大. （2）电路中电流，消耗的功率 根据均值不等式得，时，消耗的功率最大. 2-6（1）电压按电阻分配.合上开关前，上电压为两端电压 . （2）电源功率之比就等于干路电流之比，即总电阻之反比，设总电阻分别为，则 . 2-7未烧断前总电阻，烧断后，故干路电流之比为
炉丝上电流由干路均分，所以 故，几乎相等. 2-8题意应是恰好不能烧开，即100℃时达到热平衡，断电后只下降1℃，可以认为散热功率是不变的： ，其中水的比热容为 2-9（1）周期， A位置时热平衡：，其中加热时间 B位置时热平衡：，其中加热时间 两式相除，解得 （2）连续加热时热平衡：，解得. 2-10注意电阻温度系数的基准是0℃，得. 负载时， 负载时， 联立解得：. 2-11题设是默认加热间断时间相等的，设为. 电压最小时，，解得. 2-12保险丝要保证熔断电流是一定的.在一定的融化温度下，辐射功率P与辐射体表面积S成正比.电流一定
时，电功率Q与R成正比. 解得，与无关. 2-13绝缘层损坏使得相邻的两圈电阻丝接触，相当于损坏处产生的接触电阻与一圈漆包线并联之后，再与剩余九圈漆包线串联. 一圈电阻为 设绝缘层损坏处产生电阻为，则 解得. 2-14（1）作直线交A于，交B于 故. （2）. 即110V为A、B串联时的工作电压的等差中项 作伏安特性曲线关于直线的对称图像，分别交另一曲线于和 . 得. 2-15（1）电容器极板带电量，极板间电流保持为 电势差为0时，极板不带电，所以. （2）最大动能的电子到达上极板时动能全部转化为电势能 所以，得. 2-16（1）设流过的电流为，上流过的电流为.所以 ，故.
精心整理 电磁学 静电学 1、 静电场的性质 静电场是一个保守场，也是一个有源场。 F dl o ?=?u r u u r ?高斯定理 静电力环路积分等于零o s q E ds E ?=∑??u u r u u r ò 电场强度与电势是描述同一静电场的两种办法，两者有联系 a b E dr U U ?=-∑u r r ① 过程E dr dU ?=-u r r 一维情况下x dU E dx dx =- x dU E dx =- ② 2、 几个对称性的电场 （1） 球对称的电场 场源 E U 点电荷 均匀对电球面 均匀带点球体 例:一半径为1R 的球体均匀带电,体电荷密度为ρ,球内有一半径为2R 的小球形空腔,空腔中心与与球心相距为a ,如图 (1) 求空腔中心处的电场E u r (2) 求空腔中心处的电势U 解:(1)在空腔中任选一点p , p E u u r 可以看成两个均匀带电球体产生的电场 强度之差, 即() 1212333p o o o E r r r r E E E ρρρ=-=-u u r u r u r u r u r 令12a o o =r u u u u r 这个与p 在空腔中位置无关,所以空腔中心处23o o E a E ρ=u u u r r
(2)求空腔中心处的电势 电势也满足叠加原理 p U 可以看成两个均匀带电球体产生电势之差 即()()()22222 2212123303666o o o o U R a R R R a E E E ρ ρ ρ??= -- -= --? ? 假设上面球面上,有两个无限小面原i j s s V V ,计算i s V ,受到除了i s V 上电荷之处,球面 上其它电荷对i s V 的静电力,这个静电力包含了j s V 上电荷对i s V 上电荷的作用力. 同样j s V 受到除了i s V 上电荷以外,球面上其它电荷对j s V 上电荷的作用力,这个力同样包含了i s V 对j s V 的作用力. 如果把这里的i j s s V V 所受力相加,则,i j s s V V 之间的相互作用力相抵消。 出于这个想法，现在把上半球面分成无限小的面元，把每个面元上所受的静电力（除 去各自小面元）相加，其和就是下半球面上的电荷对上半球面上电荷的作用力。 求 法:2 2 222 2=f 224o o o R Q F R R E E R σππππ??=?== ??? g L 再观察下,均匀带电球面上的电场强度=? 通常谈论的表面上电场强度是指什么? 电力?o f = 例:求均匀带电球面(),Q R ,单位面积受到的静解:令()R R R R R →+≤V V 过程无限缓慢 得出此过程中静电力做功的表达式: 或者算出2o o f E E E σ σ =?= 表面表面 而且可以推广到一般的面电荷()σ 在此面上电场强度()121 2 E E E = +表面 例:一个半径为R,带电量为Q 的均匀带电球面,求上下两半球之间的静电力? 解:原则上,这个作用力是上半球面上的电荷受到来自下半球面的电荷产生的电场强 度的空间分布,对上半球面上各电荷作用力之和,由于下半球面上电荷所产生的电场强度分布,所以这样计较有困难. 例:求半径为R,带电量为Q 的均匀带电球面,外侧的静电场能量密度. 解:静电场(真空)能量密度21 2 o E E ω=
程稼夫力学篇详细答案 中国物理学会委员会会员，原中国科技大学“少年班”班主任，中国科技大学教授，物理奥林匹克竞赛国家级教练，国际中学生物理奥林匹克中国队员教练，著有《中学奥林匹克竞赛物理讲座》、《中学奥林匹克竞赛物理课程力学篇》、《中学奥林匹克竞赛物理教程电磁学篇》等物理经典教材，是目前为止最具权威和实用性的系列工具书。 就常规刷题方法啊先看知识点，所有题目第一遍全做，不会的做不对的标记，每隔固定时间回头看一遍，确保之前不会的现在会了，不会的再增加标记，会了就把标记划了。普遍来说，难度：例题＞练习＞习题，二刷可以根据自己情况结合程书难度分级。做完如果能应付难集力学了就没必要二刷了。至于题主所说的重点，简单题能做对就没必要深究了，因为新高二才开始程力算比较落后的。。难题可以多种方法结合。然后就是效率，程力属于基础的了，学完一轮应该能一个月做完吧。。。同新高二，旁边大佬都一路刷到国培了。 程稼夫的力学和电磁学是先行竞赛最典型的参考书，涵盖了几乎所有重要的经典模型。如果你初学，那应该选择一本教材，比如舒幼生的力学或者梁昆淼的力学，都是经典的教材，不过后面这本稍微难点。如果有时间，应该做它们的课后习题。尤其是舒力，你要确保会做所有不加星号的题，简单题，加星号的稍难题，也应该有一部分独立做的能力（不会，不用太纠结，可以看答案，务必之后保证独立做的能力）。我的建议力学你每题都要做（没时间可以放弃波动，程
书的波动比较水，看舒力；交流电考的概率极低，你也可以选择不做，但是学是要学的），尤其是例题！程书的例题特别有价值，实际上，可能比习题还好，所以一定要自己做（就是不会做，看完答案能也要独立做出），这很重要！当然，竞赛还有热光原子物理，如果没有足够的时间，可以粗略的看看崔宏滨的书，做题就从下面的考试中慢慢摸索也可以。刷完之后就可以考虑做一些提高题（我不建议反复刷，那样对你效益不高），比如体选，国培，难集，苏国珍的试卷或者是培尖等机构的试卷，一定要用考试的模式！然后是模拟复赛考试，做真题，练手感和心态！
. 《弹性力学》习题 第一章：绪论 第二章：平面问题的基本理论 一、试导出求解平面应力问题的用应力分量表示的相容方程。 二、试叙述弹性力学两类平面问题的几何、受力、应力、应变特征，并指出这两类平面问题 中弹性常数间的转换关系。 三、弹性力学问题按应力和位移求解，分别应满足什么方程？ 四、写出直角坐标下弹性力学平面问题的基本方程和边界条件？ 五、求解弹性力学问题时，为什么需要利用圣维南原理？ 六、试判断下列应变场是否为可能的应变场？（需写出判断过程） , , 。 七、试写出应力边界条件： （a ）图用极坐标形式写出；（b ）图用直角坐标形式写出。 八、已知受力物体中某点的应力分量为：0,2,,,0,2x y z xy yz zx a a a a σσστττ======。试求 作用在过此点的平面31x y z ++=上的沿坐标轴方向的应力分量，以及该平面的正应力和切应力。 九、图示矩形截面悬臂梁，长为l ，高为h ，在左端面受力P 作用。不计体力，试求梁的应 力分量。（应力函数取为3Axy Bxy ?=+） 十、试用下面的应力函数求解如图所示挡水墙的应力分量。已知挡水墙的密度为ρ，厚度为 h ，水的密度为γ。
. 五、 2、（10分）如图所示为处于平面应力状态下的细长薄板条，上下边界受 P 力的作用，其余边界上均无面力作用。试证明A 点处为零应力状态。 第三章：平面问题的直角坐标解答 三、写出下列平面问题的定解条件 1、（10分）楔型体双边受对称均布剪力q 。 2、（10分）楔形体在一面受有均布压力q 和楔顶 A y 2233 3 3161066x y x Axy Bxy C x y D Exy ???=-++++ ???
弹性力学的基本理论及其在实际中的应用 弹性力学是固体力学学科的分支。其基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。 一．弹性力学的基本规律规律假设 弹性力学的研究对象是完全弹性体。弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。 井下工程是复杂多变的，随着工程的进展，巷道的应力情况也在不断的变化，我们研究的不是一个静止的物体，我们要研究的是一个动态的、不断变化的围岩条件。要研究岩体的弹性问题,必须要给它一个前提,也就是对它的假设,基本假设是弹性力学讨论问题的基础。没有基本假设任何问题也进行不了.下面简要介绍弹性力学的几个基本假设： 1.连续性假设：假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质 所充满，各个质点之间不存在任何空袭。 2.均匀性假设：假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。因此 物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。 因此，物体的弹性性质处处是相同的。 3.各向同性假设：假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质， 这就是说物体的弹性常熟将不随坐标方向的改变而变化。 4.完全弹性假设：对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一对 应关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，称为完全 弹性材料。 5.小变形假设：假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下， 物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。 6.无初始应力的假设：假设物体处于自然状态，即在外界因素（如外 力或温度变化等）作用之前，物体内部没有应力。根据这一假设， 弹性力学求解的应力仅仅是外力或温度改变而产生的。二．下面介绍一下弹性力学基本的解决问题的方法： 弹性力学的研究方法主要有数学方法和实验方法，以及二者结合的方法。 数学方法基本上是根据弹性力学的基本方程，对岩体在某种假设的前提下进行弹性分析，从而得出岩体的各种力学参数。数学方法是偏微分方程的边值问题，求解的方法有解析法和近似解法。 （1）解析法，即直接求解偏微分方程边值问题，这在数学上难度极大，因此仅适用于个别特殊边界条件问题。 （2）数值解法是采用计算机处理的近似解法。近年来，随着现代科学技术的发展，特别是计算机技术的迅速发展和广泛应用，使得有限元方法首先在弹性力学应用领域发展起来。有限元方法将计算数学与工程分析相结合，极大地扩展和延伸了弹性力学理论与方法，取得了当代力学理论应用的高度成就。