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【数学】上海市静安区市北中学2016届高三上学期期中考试(理)

上海市市北中学2016届高三上学期期中考试

数学试卷（理）

一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接

填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1、已知集合，，若，则。

2、计算221

lim 3(1)

n n n n →∞+=+。

3、函数()()32log 3

1≥+=x x x f 的反函数的定义域．．．

是。 4、设{}n a 为等差数列,若π=++951a a a ,则28tan()a a +的值为。 5、方程)2lg(2--x x =)6lg(2x x --的解为x =_____________。 6、已知角α的终边上的一点的坐标为22(sin

,cos )33

P ππ

,则角α的最小正值为。 7、若向量a ，b 满足||2a = ，||1b = ， ()1a a b ?+= ，则向量a 和b

的夹角的大小为。

8、设sin x α=，且]6

5,6[π

πα-

∈，则arccos x 的取值范围是。

9、函数()sin()f x A x ω?=+（其中0,||)2

A π

?><

的图像如图所

示，为了得到()sin 2g x x =的图象，则需将的图象向右最少平移个长度单位。

10、已知a R ∈，若关于x 的方程2

||||04

x x a a ++-

+=有实根，则a 的取值范围是。 11、已知函数a x x f +=2)(，16)(2+-=x x x g ，对于任意的]1,1[1-∈x 都能找到

]1,1[2-∈x ，使得)()(12x f x g =，则实数a 的取值范围是。

12、已知函数2

()1

x f x x -=

-与()1g x mx m =+-的图像相交于A 、B 两点。若动点P 满足2PA PB +=

，则P 的轨迹方程为

13、已知函数()()y f x x R =∈，对函数()()y g x x I =∈，定义()g x 关于()f x 的“对称函

{}0,1,A a ={}0,3,3B a ={}0,3A B = A B = )(x

数”为()()y h x x I =∈，()y h x =满足：对任意x I ∈，两个点(,())x h x ，(,())x g x 关于点(,())x f x 对称。若()h x 是2()4g x x =-关于()3f x x b =+的“对称函数”，且

()()h x g x >恒成立，则实数b 的取值范围是。

14、对于非空实数集A ，定义{}

,A z x A z x *

=∈≥对任意。设非空实数集(],1C D ??-∞≠。现给出以下命题： (1)、对于任意给定符合题设条件的集合,,C D 必有**;D C ? (2)、对于任意给定符合题设条件的集合,,C D 必有*C D ≠? ； (3)、对于任意给定符合题设条件的集合,,C D 必有*C D =? ；

(4)、对于任意给定符合题设条件的集合,,C D 必存在常数a ，使得对任意的*b C ∈，恒有

*a b D +∈．以上命题正确的是。

二选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。 15、“3=a ”是“直线032=++a y ax 和直线07)1(3=+-+y a x 平行”的（） A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件 C 、充要条件 D 、既非充分也非必要条件 16、若圆1C ：04222=--+y x y x 与圆2C 关于直线x y =对称，则圆2C 的方程是( )

A. 5)1()2(2

=-+-y x B. 5)1()2(2

2=-+-y x C. 5)1()2(2

=++-y x

D. 5)1()2(2

=+++y x

17、设b a <<0，则函数)(||b x a x y --=的图像大致形状是( )

18、如图,四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE =CD .若动点P 从点A 出发，沿

正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中AE AB AP μλ+=，下列判断正

确的是( )

A 、满足2=+μλ的点P 必为BC 的中点

B 、满足1=+μλ的点P 有且只有一个

C 、μλ+的最大值为3

D 、μλ+的最小值不存在

三、解答题：（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.

19、（本题满分12分,其中第1小题5分，第二小题7分）

已知过点的动直线与圆：相交于、两点，与直线：相交于.

(1)、求证：当与垂直时，必过圆心； (2)、当时，求直线的方程。

20、（本题满分14分,其中第1小题7分，第二小题7分）

已知A 、B 、C ，为△ABC 的三个内角，向量(cos ,sin )p B B =- ，(cos ,sin )q C C =

，且(2)q p q -⊥

．

(1)、求∠A 的大小；

(2)、若23BC =，4AC AB +=，求△ABC 的面积。

21、（本题满分14分，其中第1小题小题6分，第2小题满分8分）

如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池()ABCD 的池底水平铺设污水净化管道

(RT FHE ，H 是直角顶点）来处理污水，管道越短，铺设管道的成本越低.设计要求管道

的接口H 是AB 的中点，,E F 分别落在线段BC ，AD 上.已知20AB =米，103AD =米，

记BHE θ∠=.

)0,1(-A l C 4)3(2

2=-+y x P Q l m 063=++y x N l m l C 32=PQ

(1)、试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数,并写出定义域； (2)、问：当θ取何值时，铺设管道的成本最低？并求出此时管道的长度。

22、（本题满分16分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题满分6分）

已知等比数列{}n a 的首项12015a =，数列{}n a 前n 项和记为n S ，前n 项积记为n T 。 (1)、若36045

S =

，求等比数列{}n a 的公比q ； (2)、在(1)的条件下，判断|n T |与|1n T +|的大小；并求n 为何值时，n T 取得最大值； (3)、在(1)的条件下，证明：若数列{}n a 中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其

成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为12,,,n d d d ，则数列{}n d 为等比数列。

23、（本题满分18分. 其中第1小题5分，第2小题6分，第3小题满分7分）

已知函数2

()5b

f x ax x

+(常数,a b R ∈）满足(1)(1)14f f +-=. (1)、求出a 的值，并就常数b 的不同取值讨论函数()f x 奇偶性； (2)、若()f x 在区间30.5-∞-（，）

上单调递减，求b 的最小值； (3)、在(2)的条件下，当b 取最小值时，证明：()f x 恰有一个零点q 且存在递增的正整数数

12 2

n a a

a a

q q q q

=+++++

成立。

列{}n a，使得3

参考答案

一、填空题

1、 2、

3 3、 (]1,∞- 4、 3- 5、2- 6、116

π 7、

34π8、]32,

0[π9、6

π 10、104a ≤≤ 11、[2,6]-12、22(1)(1)1x y -+-=13、),102(+∞ 14、（1）（4）二、选择题

15、A 16、A 17、B 18、 C 三、解答题

19、（本题满分12分,其中第1小题5分，第二小题7分）解： (1)、∵与垂直，且，∴，故直线方程为，即

∵圆心坐标（0，3）满足直线方程，∴当与垂直时，必过圆心

(2)、①当直线与轴垂直时, 易知符合题意

②当直线与轴不垂直时, 设直线的方程为，即， ∵，∴，

则由，得, ∴直线：. 故直线的方程为或

20、（本题满分14分,其中第1小题7分，第二小题7分）

解：解：（1）由(2)q p q -⊥ ，可得(2)q p - ·q

=0，

即2||2q p - ·0q = ，又(cos ,sin )p B B =- ，(cos ,sin )q C C =

所以22cos sin 2(cos cos sin sin )0C C B C B C +--=，

{}0,1,3,9l m 3

=m k 3l k =l 3(1)y x =+330x y -+=l l m l C l x 1-=x l x l )1(+=x k y 0=+-k y kx 32=PQ 134=-=CM 11

|3|2=++-=

k k CM 3

k l 0434=+-y x l 1-=x 0434=+-y x

即1cos()2B C +=

，又0B C π<+<， ∴3B C π+=，故2π()3

A B C π=-+=．（2）在△ABC 中，由2222cos BC AB AC AB AC A =+-?，可得22()2(1cos )BC AB AC AB AC A =+-?+，

即221

(23)42(1)2

AB AC =-??-，故4AB AC ?=，

∴113sin 43222

S AB AC A =

?=??=． 21、（本题满分14分，其中第1小题小题6分，第2小题满分8分）解：(1)10cos EH θ=

，10sin FH θ=10

sin cos EF θθ

由于10tan 103BE θ=?≤，10

103tan AF θ

≤ 3

tan 33θ≤≤， [,]63ππθ∈

101010cos sin sin cos L θθθθ=

++? ， [,]63

ππ

θ∈

(2)、 101010cos sin sin cos L θθθθ=

++?=sin cos 1

10()sin cos θθθθ

++? 设sin cos t θθ+= 则21sin cos 2

t θθ-?=

由于[

,]63ππθ∈，所以31sin cos 2sin()[,2]42

t πθθθ+=+=+∈ 201L t =

-在31

[

,2]2

+内单调递减，于是当2t =时4πθ=. L 的最小值20(21)+米.

答：当4

θ=时，所铺设管道的成本最低，此时管道的长度为20(21)+米

22、（本题满分16分，其中第1小题5分，第2小题5分，第3小题满分6分）解: (1)、2

360452015(1)4S q q =++=

，解得2

104q q ++=，12

q =-

(2)1121

1122015

2n n n n n

T a a a a a T a a a +++???????=

??????

.又111020152015122<< ,

∴当10n ≤时,1n n T T +>；当11n ≥时,1n n T T +<.∴当11n =时,n T 取得最大值,

又10119120,0,0,0T T T T <<>> ,∴n T 的最大值是9T 和12T 中的较大者,

又3

1210111291201512T a a a T ??

??=??=?->?? ???????

，129T T ∴>.因此当12n =时,n T 最大. (3)1

120152n n a -??=?- ?

,n a ∴随n 增大而减小,n a 奇数项均正,偶数项均负,

①当k 是奇数时,设{}n a 中的任意相邻三项按从小到大排列为12k k k a a a ++，，,

则1

111111222k k k k k a a a a a -+????+=-+-= ? ?

????

2112222k k k

a a a ++??

=-=

???

, 122k k k a a a ++∴+=,因此12k k k a a a ++，，成等差数列,

公差11

2111311222

k k k k k k a d a a a ++++??????=-=---=?? ? ?????????；

②当k 是偶数时,设{}n a 中的任意相邻三项按从小到大排列为21k k k a a a ++，，,

则1

111111222k k k k k

a a a a a -+????+=-+-=- ? ?

????

2112222

k k k a a a ++??=-=-

???

. ∴122k k k a a a +++=,因此21k k k a a a ++，，成等差数列,

公差111211311222

k k k k k k a d a a a +-++??????=-=---=?? ? ?????????,

综上可知,{}n a 中的任意相邻三项按从小到大排列,总可以使其成等差数列, 且1132k k a d +=

, ∵

2n n

d d -=,∴数列{}n d 为等比数列. 23、（本题满分18分. 其中第1小题5分，第2小题6分，第3小题满分7分）

解：(1)、由(1)(1)14f f +-=得

5)(5)14a b a b +++-+=（，解得2a =. 从而2

()25b

f x x x

+，定义域为00-∞?+∞（，）（，）当0b =时，对于定义域内的任意x ，有2

()()25f x f x x -==+，()f x 为偶函数

当0b ≠时，(1)(1)14f f +-=≠从而(1)(1f f -≠-，()f x 不是奇函数；

(1)(1)20f f b --=-≠，()f x 不是偶函数，()f x ∴非奇非偶

(2)、对于任意的3120.5x x <<-，总有12()()0f x f x ->恒成立，即

12122525b b x x x x +

+-++（）（）>0，得121212

2()0x x x x b x x -++>. 3120.5x x <<-，2312(0.5)x x > ，31220.5x x +<-?，从而12122()2x x x x -+>.

又12122()b x x x x >+，2b ∴≤-，b 的最小值等于2-. (3)、在（2）的条件下，2

()25f x x x

+. 当0x <时，()0f x >恒成立，函数()f x 在0-∞（，）

无零点. 当0x >时，对于任意的210x x >>，恒有21212112

()()2()()0f x f x x x x x x x -=-++>，即21()()f x f x >，所以函数()f x 在0∞（，+）

上递增，由()0f x =得3

2520x x +-=，再令3

()252g x x x =+-

13(0)20,()024g g =-<=>，故()g x 有唯一实数根1

(0,)2

q ∈.

即()f x 恰有一个零点q ，且1

(0,)2

q ∈

由3

2520q q +-=，得

3251q q

=-471032n q q q q q -=++++++ . 故数列),2,1(23 =-=n n a n 是满足题设要求的数列.

注：可以说明这样的数列也是唯一的，证明如下：

若存在两个不同的正整数数列 <<<

33121225

a b a a b b q q q q q q +++=+++=

，去掉上面等式两边相同的项，有331212s

q q q q q q +++=+++ ，

这里 <<<<<<321321,t t t s s s ，所有的i s 与j t 都是不同的.

不妨设11t s <，则11212s

q q q q q <++=++ ，

112121*********

t s t s q q q q q --<++≤++=

-<-=-- ，

矛盾.故满足题设的数列是唯一的.

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1．一元二次不等式解法若0>a ，02 =++c bx ax 有两实根βα,)(βα<，则 02<++c bx ax 解集),(βα 02>++c bx ax 解集),(),(+∞-∞βα 注：若0a 情况 2．其它不等式解法—转化 a x a a x <<-?a x a x >或a x - 0) () (>x g x f ?0)()(>x g x f ?>)()(x g x f a a )()(x g x f >（a >1） ?>)(log )(log x g x f a a f x f x g x ()()() >