运用叠加法快速计算预应力混凝土梁上拱度
摘要：将预应力混凝土梁视为弹性材料。利用材料力学计算方法，通过分析起拱度最大的跨中截面，叠加各弯矩产生的挠度，快速得出预应力混凝土梁在张拉完成后的弹性上拱度。计算理论简单易懂，计算精度满足工程施工需要。
关键词: 弹性材料预应力梁叠加法弹性上拱度
在公路、铁路桥梁建设中，预应力箱梁、预应力T梁因其经济性被设计和施工单位广泛采用。张拉上拱度在抵消自重下挠度后，梁体跨中实际产生的上拱度称为弹性上拱度。而受混凝土收缩徐变影响，随着时间的推延而产生的称为徐变上拱度。上拱度的存在，影响桥面铺装层的厚度，甚至造成桥面不平顺。施工过程中需要预设反拱度，以抵消上拱度的影响。
1 理论基础
1.1 预应力混凝土的三种概念
中国科学院院士“预应力先生”林同炎从施加预应力目的的不同，提出了三种概念来理解分析预应力混凝土结构。下面重点解释第一种概念，这种概念是本文计算方法的理论基础。
第一种概念，预应力的目的是将普通钢筋混凝土变成弹性材料。这种概念认为普通的钢筋混凝土构件带裂缝工作,当出现裂缝后,即构件出现塑性变形,不再属弹性材料。而预应力钢筋的作用不是配筋，是作为一种手段用以改变钢筋混凝土构件的性能。如果预加应力大于荷载产生的拉应力，则混凝土不受拉应力影响。此时预应力混凝土构件不会产生裂缝，构件所发生的变形都是弹性变形，故认为预加应力使普通钢筋混凝土变为弹性材料。作为弹性材料就可以用材料力学公式计算预应力混凝土构件的应力、应变、挠度、上拱度，并可采用叠加原理，计算十分方便。
需要特别指出的是，这种概念成立的基础是材料弹性变形,混凝土构件不产生裂缝，即混凝土不产生拉应力，或者产生的拉应力小于混凝土的允许拉应力。故这种概念只在全预应力混凝土结构和A类部分预应力混凝土结构中适用，而如今我们的工程建设大多数预应力梁都采用这两种预应力混凝土结构。
第二种概念，预应力的目的是使高强度钢筋和混凝土能够共同工作。这种概念认为预应力混凝土结构中高强度钢筋受拉与混凝土受压共同工作时，若高强度钢筋未施加预应力，其被充分利用时必将产生很大的伸长，这将导致受拉区混凝土裂缝严重开裂，构件塑性变形严重。施加预应力可以提前拉伸高强度钢筋，从而减少荷载作用时高强度钢筋的伸长量，避免或减少荷载作用下受拉区混凝土的开裂，减少构件的变形。从这种概念可以看出，预应力混凝土并不能超过材料强度极限，只是减少了构件的变形。这种概念主要是用来计算结构极限承载能力。
第三种概念，预应力的目的是实现荷载平衡。这种概念是林同炎先生首次创造性提出的，
这种概念认为预加应力是对混凝土构件预先施加与使用荷载相反的荷载，以抵消全部或部分荷载，使受弯构件在给定荷载条件下不受挠曲应力，从而把挠曲构件转成轴向受力构件。这种概念主要是用来简化结构设计工作。
1.2 预应力损失及有效预应力
预应力损失与施工工艺、材料性能及环境影响有关，影响因素复杂，一般情况下应按《公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范》（下文简称《公路桥规》）中给出的公式计算。《公路桥规》中给出了六种引起预应力损失的因素，并给出了计算公式，一、预应力钢筋与管道壁之间的摩擦；二、锚具变形、钢筋回缩和接缝压缩；三、预应力钢筋与台座之间的温差；四、混凝土的弹性压缩；五、预应力钢筋的应力松弛；六、混凝土的收缩和徐变。由于计算过于复杂，不便于工程施工现场人员掌握。故有效预应力采用《公路桥涵施工技术规范》中给出的已考虑了预应力损失的用以计算预应力钢筋伸长值的预应力筋平均张拉力公式：
()(1)kx P p e P kx μθμθ
-+-=+ （1-1） 式中：P P ：预应力筋平均张拉力（N ）；p ：预应力筋张拉端张拉力（N ）；
x :从张拉端到计算截面孔道长度
（m ）； θ:从张拉端到计算截面孔道部分切线夹角之和（rad ） k :孔道每米局部偏差对摩擦的影响系数（查表）；μ：预应力筋与孔道的摩擦系数（查表）。 2 计算原理
2.1 叠加法释义
当弹性材料构件在弹性范围内工作时，弹性材料构件的挠度、转角均与荷载成线性关系，而且变形量是很小的。因此当构件上同时作用几种荷载时，任何一个荷载引起的变形，不会受到其他荷载的影响，即每种荷载对弯曲变形的影响是各自独立的。所以，几种荷载同时作用下构件的挠度、转角，等于各种荷载单独作用下挠度和转角的代数和。当只需确定某截面的挠度和转角时，叠加法是十分方便的。
2.2 预应力钢筋产生的上拱度
预应力混凝土梁挠度的精确计算应该同时考虑混凝土收缩、徐变、弹性模量等随时间变化的影响因素，需借助计算机软件计算。但对于视为弹性材料的预应力梁，弯矩荷载M 作用下的跨中截面挠度可直接套用材料力学挠度计算公式：
2
548M c o Ml w E I =? （2-1）
式中：l ：梁的计算跨径（m ）； M :弯矩荷载（N m ?）；
c E :混凝土的弹性模量（a Mp ）； o I ：梁体全截面的换算截面惯性矩（4m ）。
预应力钢筋张拉后，梁体跨中截面上拱度最大，根据叠加法原理以及指导施工的意义，
只计算梁体挠度最大值跨中截面的上拱度。取梁端至跨中截面作为隔离体进行分析（见图1）。从图1中看出预压力F 作用在预应力钢筋重心处，离梁重心轴的距离为e 。预应力是偏心压力，跨中截面被施加了弯矩M ，则预应力筋产生的预压力产生的弯矩公式：
图1
M 1 = F e （2-2）式中 F 取预应力筋平均张拉力P P ； e 通过截面特性计算得出。 将预应力筋平均张拉力P P 公式（1-1）代入公式（2-2）中即可得到预应力产生的弯矩()1(1)kx p e e M kx μθμθ
-+-=+ （2-3），将公式（2-3）代入公式跨中截面挠度计算公式（2-1）中，即可得到在预应力作用下产生的梁体上拱度1M w ，1
2()5(1)48kx M c o l p e e w E I kx μθμθ-+-=??+ （2-4）。 2.3 梁体自重产生的下挠度
实际设计及施工中的预应力箱梁、T 梁，都不可能时完全的等截面构件，但为了简化计算，不考虑梁端的截面加厚。将梁体简化为跨中截面的等截面构件，就可以将梁体自重简化
为均布荷载（见图2）。跨中截面弯矩最大值22=8
ql M （2-5）。 将公式（2-5）代入跨中截面挠度计算公式（2-1），即可得到在梁体自重作用下产生的下挠度2M w ，2225488
M c o l ql w E I =?? （2-6）。
图2
2.4 梁体跨中挠度的叠加
前面已经分别计算得到预应力作用下产生的梁体上拱度1M w 和梁体自重作用下产生的
下挠度2M w ，根据叠加法，梁体完成张拉后的弹性上拱度12M M M w w w =-。
3 工程实例
3.1 实例简介
本工程实例为湖北省某高速公路，梁体采用25m 后张法预制等截面预应力箱梁（计算跨
径24.5m ）。其跨中截面尺寸如图3所示，梁底配置预应力钢筋8束。在AutoCAD 中绘出箱梁跨中截面，然后利用创建面域命令（REGION ）与面域相减命令（SUBTRACT ）获得该箱梁截面的面域，然后通过查询面域特性命令（MASSPROP ）得到面域的质心，最后将质心所在位置设为用户坐标系（UCS ）的原点。再次查询面域特性，可方便的得到箱梁的截面特性。因为8束预应力筋重心距质心距离不完全相等，故采用加权平均方法，得到8束预应力筋重心距质心的平均距离。
通过实例计算得：截面面积A =1.0382m ， 截面x 轴惯性矩x I =0.2504
m ， e =（0.763×4+0.653×2+0.543×2）÷8=0.681m 。
图3
3.2 计算过程
（1）预应力0.75p s p A δ==0.75×1860×(4+4+4+4)×2×140N =6249600N ,将预应力p 数值代入公式（2-4）得到仅在预应力作用下梁体上拱度1M w ：
12()5(1)48kx M c o l p e e w E I kx μθμθ
-+-=??+2(0.027)10524.56249600(1)0.6810.03048 3.45100.2500.027e m -?-=???=??。 （2）将箱梁截面积A =1.0382m 代入均布荷载计算公式，得到均布荷载q 的数值：
q =2.6×103×1.038×9.8/N m =2.645×104/N m ，将q 代入公式（2-6）得到梁体自重作用
下产生的下挠度2M w ，2225488M c o l ql w E I =??2210524.52645024.50.01448 3.45100.2508
m ?=??=??。 （3）叠加后的跨中截面上拱度M w =1M w -2M w =0.016m =1.6cm 。
结论：与实际施工中箱梁张拉后的起拱度对比，计算结果与箱梁预应力张拉后实际起拱度吻合，证明了此种方法的正确性与精确性。计算方法简单易懂，便于掌握且精度满足指导施工现场需要。
The way to get the prestressed concrete beam’s elastic arch degree quickly by useing the superpose calculation method
Abstract:The prestressed concrete beam is taken as the elastic material.Through the calculation method of the material mechanics and the analysis of the cross section whose arch degree is maximum, we can superpose the deflections produced by each bending moments, and then we can get the prestressed concrete beam’s elastic arch degree quickly when the beam’s prestressed tension is completed. The computational theory is simple and easy to understand, the accuracy of the calculation meet the needs of civil engineering construction.
Keywords:the elastic material the prestressed concrete beam
the superpose calculation method the elastic arch degree
参考文献：
[1]叶见曙；结构设计原理（第二版）；人民交通出版社；2015年；第239-275页。
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人民交通出版社；2004年；第54-58页
[3]中交第一公路工程局有限公司；公路桥涵施工技术规范JTGT F50-2011；人民交通出版
社；2011年；第272页